Proširivanje periodične funkcije u trigonometrijski Fourierov red. Proširivanje Fourierovog reda u kosinusima

Koje su već prilično dosadne. I osjećam da je došao trenutak kada je došlo vrijeme da se iz strateških rezervi teorije izvuku nova konzervirana roba. Da li je moguće proširiti funkciju u niz na neki drugi način? Na primjer, izraziti segment prave linije u smislu sinusa i kosinusa? Čini se nevjerovatnim, ali takve naizgled udaljene funkcije mogu biti
"ponovno ujedinjenje". Pored poznatih diploma u teoriji i praksi, postoje i drugi pristupi proširenju funkcije u niz.

On ovu lekciju Upoznat ćemo se s trigonometrijskim Fourierovim redom, dotaknuti se pitanja njegove konvergencije i sume i, naravno, analizirat ćemo brojne primjere proširenja funkcija u Fourierov red. Iskreno sam želio nazvati članak „Furierov niz za lutke“, ali to bi bilo neiskreno, jer bi rješavanje problema zahtijevalo poznavanje drugih grana matematičke analize i određeno praktično iskustvo. Stoga će preambula ličiti na obuku astronauta =)

Prvo, trebali biste pristupiti proučavanju materijala stranica u odličnom obliku. Pospan, odmoran i priseban. Bez jakih emocija o slomljenoj šapi hrčka i opsesivne misli o životnim teškoćama akvarijske ribe. Međutim, Fourierov niz nije teško razumjeti praktični zadaci jednostavno zahtijevaju povećanu koncentraciju pažnje - idealno bi bilo da se potpuno odvojite od vanjskih podražaja. Situaciju otežava činjenica da ne postoji lak način da se proveri rešenje i odgovori. Dakle, ako je vaše zdravlje ispod prosjeka, onda je bolje učiniti nešto jednostavnije. Da li je istina.

Drugo, prije letenja u svemir morate proučiti instrument tablu svemirski brod. Počnimo s vrijednostima funkcija koje treba kliknuti na mašini:

Za bilo koju prirodnu vrijednost:

1) . Zaista, sinusoida "prošiva" x-osu kroz svaki "pi":
. U slučaju negativne vrijednosti argument, rezultat će, naravno, biti isti: .

2) . Ali nisu svi to znali. Kosinus "pi" je ekvivalent "blinkaru":

Negativan argument ne mijenja stvar: .

Možda je to dovoljno.

I treće, dragi kosmonautski korpusi, morate biti sposobni da se... integrišete.
Konkretno, pouzdano podvesti funkciju pod diferencijalni predznak, integrirati po dijelovima i biti u skladu s Newton-Leibniz formulom. Počnimo sa važnim vježbama prije leta. Kategorično ne preporučujem da ga preskočite, kako se kasnije ne biste zgnječili u bestežinskom stanju:

Primjer 1

Izračunati određene integrale

gdje preuzima prirodne vrijednosti.

Rješenje: integracija se vrši preko varijable “x” i u ovoj fazi se diskretna varijabla “en” smatra konstantom. U svim integralima funkciju podvodimo pod diferencijalnim predznakom:

Kratka verzija rješenja na koju bi bilo dobro ciljati izgleda ovako:

Hajde da se naviknemo:

Četiri preostale tačke su za vas. Pokušajte savjesno pristupiti zadatku i ispuniti integrale kratki put. Primjeri rješenja na kraju lekcije.

Nakon izvođenja vježbi KVALITETNO obukli smo skafandere
i spremam se za početak!

Proširivanje funkcije u Fourierov niz na intervalu

Razmotrimo neku funkciju koja je definirana barem na intervalu (i, eventualno, na većem intervalu). Ako je ova funkcija integrabilna na intervalu, onda se može proširiti u trigonometrijski Fourierov niz:
, gdje se nalaze tzv Fourierovi koeficijenti.

U ovom slučaju, broj se naziva period dekompozicije, a broj se naziva poluperiod dekompozicije.

Očigledno je da se u opštem slučaju Fourierov red sastoji od sinusa i kosinusa:

Zaista, hajde da to zapišemo detaljno:

Nulti član serije obično se piše u obliku .

Fourierovi koeficijenti se izračunavaju pomoću sljedećih formula:

Savršeno dobro razumijem da onima koji počinju proučavati ovu temu još uvijek nisu jasni novi pojmovi: period raspadanja, poluciklus, Fourierovi koeficijenti itd. Bez panike, ovo se ne može porediti sa uzbuđenjem prije izlaska otvoreni prostor. Razumijemo sve u sljedećem primjeru, prije izvođenja kojeg je logično postaviti goruća praktična pitanja:

Šta treba da uradite u sledećim zadacima?

Proširite funkciju u Fourierov niz. Uz to, često je potrebno prikazati graf funkcije, graf zbira niza, djelomični zbir, au slučaju sofisticiranih profesorskih fantazija, učiniti nešto drugo.

Kako proširiti funkciju u Fourierov red?

U suštini, morate pronaći Fourierovi koeficijenti, odnosno sastaviti i izračunati tri određena integrala.

Molimo kopirajte opći oblik Fourierove serije i tri radne formule u svoju bilježnicu. Veoma mi je drago što neki posetioci sajta ostvaruju svoj detinji san da postanu astronaut pred mojim očima =)

Primjer 2

Proširite funkciju u Fourierov niz na intervalu. Konstruirajte graf, graf zbira niza i parcijalnog zbira.

Rješenje: Prvi dio zadatka je proširiti funkciju u Fourierov red.

Početak je standardan, obavezno zapišite:

U ovom problemu period ekspanzije je poluperiod.

Proširimo funkciju u Fourierov niz na intervalu:

Koristeći odgovarajuće formule, nalazimo Fourierovi koeficijenti. Sada trebate sastaviti i izračunati tri određena integrala. Radi praktičnosti, numerisaću tačke:

1) Prvi integral je najjednostavniji, međutim, za njega su potrebne i očne jabučice:

2) Koristite drugu formulu:

Ovaj integral je dobro poznat i uzet je u delovima:

Prilikom pronalaženja korištena je metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak.

U zadatku koji se razmatra, pogodnije je odmah koristiti formulu za integraciju po dijelovima u određenom integralu :

Par tehničkih napomena. Prvo, nakon primjene formule, cijeli izraz mora biti stavljen u velike zagrade, jer se ispred originalnog integrala nalazi konstanta. Nemojmo je izgubiti! Zagrade se mogu proširiti u bilo kojem daljnjem koraku. U prvom "komadu" Pokazujemo izuzetnu pažnju u zamjeni, kao što vidite, konstanta se ne koristi, a granice integracije su zamijenjene u proizvodu. Ova radnja je istaknuta u uglastim zagradama. Pa, upoznati ste sa integralom drugog “komada” formule iz zadatka za obuku ;-)

I što je najvažnije - maksimalna koncentracija!

3) Tražimo treći Furijeov koeficijent:

Dobija se relativ prethodnog integrala, koji je također integriran po dijelovima:

Ovaj primjer je malo složeniji, komentirat ću dalje korake korak po korak:

(1) Cijeli izraz stavljamo u velike zagrade. Nisam želeo da delujem dosadno, prečesto gube konstantu.

(2) U ovom slučaju, odmah sam otvorio ove velike zagrade. Posebnu pažnju posvećujemo prvom “komadu”: stalno se puši sa strane i ne učestvuje u zamjeni granica integracije ( i ) u proizvod. Zbog nereda u zapisu, ponovo je preporučljivo ovu radnju istaknuti uglastim zagradama. Sa drugim "komadom" sve je jednostavnije: ovdje se razlomak pojavio nakon otvaranja velikih zagrada, a konstanta - kao rezultat integracije poznatog integrala;-)

(3) Transformacije provodimo u uglastim zagradama, au desnom integralu zamjenjujemo granice integracije.

(4) Uklonimo „trepćuće svjetlo“ iz uglastih zagrada: , a zatim otvorimo unutrašnje zagrade: .

(5) Poništavamo 1 i –1 u zagradama i činimo konačna pojednostavljenja.

Konačno, sva tri Furijeova koeficijenta su pronađena:

Zamijenimo ih u formulu :

U isto vrijeme, ne zaboravite podijeliti na pola. U posljednjem koraku, konstanta (“minus dva”), koja ne zavisi od “en”, uzima se izvan zbira.

Tako smo dobili proširenje funkcije u Fourierov red na intervalu:

Proučimo pitanje konvergencije Fourierovog reda. Posebno ću objasniti teoriju Dirichletova teorema, doslovno "na prstima", pa ako su vam potrebne stroge formulacije, pogledajte udžbenik na matematička analiza (na primjer, 2. tom Bohana; ili 3. tom Fihtenholca, ali je teže).

Drugi dio zadatka zahtijeva crtanje grafa, grafa zbira niza i grafa parcijalnog zbira.

Grafikon funkcije je obična ravna linija na ravni koja je nacrtana crnom isprekidanom linijom:

Hajde da shvatimo zbir serije. Kao što znate, nizovi funkcija konvergiraju funkcijama. U našem slučaju, konstruisani Fourierov red za bilo koju vrijednost "x"će konvergirati funkciji koja je prikazana crvenom bojom. Ova funkcija toleriše diskontinuitete 1. vrste u tačkama, ali je i definisana na njima (crvene tačke na crtežu)

ovako: . Lako je uočiti da se primjetno razlikuje od originalne funkcije, zbog čega u unosu Koristi se tilda umjesto znaka jednakosti.

Hajde da proučimo algoritam koji je pogodan za konstruisanje sume niza.

Na središnjem intervalu, Fourierov red konvergira samoj funkciji (središnji crveni segment poklapa se sa crnom isprekidanom linijom linearne funkcije).

Hajdemo sada malo o prirodi trigonometrijske ekspanzije koja se razmatra. Fourierova serija uključene su samo periodične funkcije (konstante, sinusi i kosinusi), tako da je zbir niza je također periodična funkcija.

Šta ovo znači u našoj konkretan primjer? A to znači da je zbir serije – svakako je periodičan i crveni segment intervala se mora beskonačno ponavljati lijevo i desno.

Mislim da je značenje izraza „period raspadanja“ sada konačno postalo jasno. Pojednostavljeno rečeno, svaki put se situacija iznova ponavlja.

U praksi je obično dovoljno prikazati tri perioda dekompozicije, kao što je to učinjeno na crtežu. Pa, i "panjevi" susjednih perioda - tako da je jasno da se grafikon nastavlja.

Posebno su interesantne tačke diskontinuiteta 1. vrste. U takvim tačkama Fourierov red konvergira ka izolovanim vrednostima, koje se nalaze tačno u sredini „skoka“ diskontinuiteta (crvene tačke na crtežu). Kako saznati ordinate ovih tačaka? Prvo, pronađimo ordinatu “gornjeg kata”: da bismo to učinili, izračunamo vrijednost funkcije u krajnjoj desnoj tački centralnog perioda proširenja: . Da biste izračunali ordinatu "donjeg sprata", najlakši način je da uzmete najlijevu vrijednost istog perioda: . Ordinata srednje vrijednosti je prosjek aritmetički zbir"gore i dolje": . Ugodna činjenica je da ćete prilikom konstruiranja crteža odmah vidjeti da li je sredina izračunata ispravno ili netačno.

Konstruirajmo parcijalni zbir niza i u isto vrijeme ponovimo značenje pojma "konvergencija". Motiv je poznat i iz lekcije o zbiru brojevnog niza. Hajde da detaljno opišemo naše bogatstvo:

Da biste sastavili delimični zbir, potrebno je da napišete nula + još dva člana serije. to je,

Na crtežu je grafik funkcije prikazan zelenom bojom i, kao što vidite, prilično čvrsto „omotava“ punu sumu. Ako uzmemo u obzir djelomični zbir od pet članova serije, onda će graf ove funkcije još preciznije aproksimirati crvene linije, ako postoji sto članova, tada će se “zelena zmija” zapravo potpuno spojiti s crvenim segmentima; itd. Dakle, Fourierov red konvergira svom zbiru.

Zanimljivo je napomenuti da je svaki parcijalni zbir kontinuirana funkcija, ali je ukupni zbir niza i dalje diskontinuiran.

U praksi, nije tako retko konstruisati graf parcijalne sume. Kako to učiniti? U našem slučaju, potrebno je razmotriti funkciju na segmentu, izračunati njene vrijednosti na krajevima segmenta i u međutočkama (što više tačaka uzmete u obzir, to će graf biti tačniji). Zatim treba da označite ove tačke na crtežu i pažljivo nacrtate grafikon na periodu, a zatim ga „replicirate“ u susedne intervale. Kako drugačije? Na kraju krajeva, aproksimacija je također periodična funkcija... ...na neki način me njen grafikon podsjeća na uglađen srčani ritam na displeju medicinskog uređaja.

Izvođenje konstrukcije, naravno, nije baš zgodno, jer morate biti izuzetno oprezni, održavajući tačnost ne manju od pola milimetra. Međutim, ugodit ću čitateljima kojima crtanje nije ugodno – u “pravom” problemu nije uvijek potrebno izvršiti crtež u oko 50% slučajeva potrebno je proširiti funkciju u Fourierov niz i to je to; .

Nakon završetka crteža, završavamo zadatak:

Odgovor :

U mnogim problemima, funkcija trpi diskontinuitet 1. vrste upravo u periodu ekspanzije:

Primjer 3

Proširite funkciju datu na intervalu u Fourierov niz. Nacrtajte graf funkcije i ukupnog zbroja niza.

Predložena funkcija je specificirana u komadima (i, imajte na umu, samo na segmentu) i trpi diskontinuitet 1. vrste u tački . Da li je moguće izračunati Fourierove koeficijente? Nema problema. I lijeva i desna strana funkcije su integrabilne na svojim intervalima, stoga integrale u svakoj od tri formule treba prikazati kao zbir dva integrala. Pogledajmo, na primjer, kako se to radi za nulti koeficijent:

Pokazalo se da je drugi integral jednak nuli, što je smanjilo rad, ali to nije uvijek slučaj.

Druga dva Fourierova koeficijenta opisana su slično.

Kako prikazati zbir niza? Na lijevom intervalu crtamo ravnu liniju, a na intervalu - ravnu liniju (odsjek ose ističemo podebljano i podebljano). Odnosno, na intervalu ekspanzije, zbir niza se poklapa sa funkcijom svuda osim za tri „loše“ tačke. U tački diskontinuiteta funkcije, Fourierov red će konvergirati do izolovane vrijednosti, koja se nalazi tačno u sredini „skoka“ diskontinuiteta. Nije teško to usmeno vidjeti: lijevo ograničenje: , desno ograničenje: i, očigledno, ordinata sredine je 0,5.

Zbog periodičnosti zbira, slika se mora „pomnožiti“ u susjedne periode, posebno ista stvar mora biti prikazana na intervalima i . Istovremeno, u tačkama će Fourierov red konvergirati srednjim vrijednostima.

U stvari, tu nema ničeg novog.

Pokušajte sami da se nosite sa ovim zadatkom. Približan uzorak konačnog dizajna i crtež na kraju lekcije.

Proširenje funkcije u Fourierov niz u proizvoljnom periodu

Za proizvoljni period ekspanzije, gdje je "el" bilo koji pozitivan broj, formule za Fourierov red i Fourierove koeficijente razlikuju se malo složenijim argumentom za sinus i kosinus:

Ako je , tada dobivamo intervalne formule s kojima smo započeli.

Algoritam i principi za rješavanje problema u potpunosti su očuvani, ali se povećava tehnička složenost proračuna:

Primjer 4

Proširite funkciju u Fourierov red i nacrtajte zbir.

Rešenje: zapravo analog Primera br. 3 sa diskontinuitetom 1. vrste u tački. U ovom problemu period ekspanzije je poluperiod. Funkcija je definirana samo na poluintervalu, ali to ne mijenja stvar - važno je da su oba dijela funkcije integrabilna.

Proširimo funkciju u Fourierov niz:

Budući da je funkcija diskontinuirana u početku, svaki Fourierov koeficijent očito treba napisati kao zbir dvaju integrala:

1) Prvi integral ću napisati što je moguće detaljnije:

2) Pažljivo gledamo na površinu Mjeseca:

Drugi integral uzimamo po dijelovima:

Na šta treba obratiti posebnu pažnju nakon što otvorimo nastavak rješenja sa zvjezdicom?

Prvo, ne gubimo prvi integral , gdje odmah primjenjujemo diferencijalni predznak. Drugo, ne zaboravite nesretnu konstantu prije velikih zagrada i nemojte se zbuniti u znakovima kada koristite formulu . Velike zagrade je ipak pogodnije otvoriti odmah u sljedećem koraku.

Ostalo je stvar tehnike poteškoće mogu biti uzrokovane samo nedovoljnim iskustvom u rješavanju integrala.

Da, nisu uzalud bili ogorčeni ugledni kolege francuskog matematičara Fouriera - kako se on usudio složiti funkcije u trigonometrijske nizove?! =) Inače, vjerovatno sve zanima praktično značenje dotičnog zadatka. Na tome je radio i sam Fourier matematički model toplotne provodljivosti, a kasnije se serija nazvana po njemu počela koristiti za proučavanje mnogih periodičnih procesa, koji su vidljivi i nevidljivi u okolnom svijetu. Sada sam, inače, uhvatio sebe kako mislim da nisam slučajno uporedio grafik drugog primjera s periodičnim ritmom srca. Zainteresovani se mogu upoznati praktična primjena Fourierova transformacija u izvorima trećih strana. ...Iako je bolje ne - pamtiće se kao Prva ljubav =)

3) Uzimajući u obzir više puta spominjane slabe karike, pogledajmo treći koeficijent:

Integrirajmo po dijelovima:

Zamijenimo pronađene Fourierove koeficijente u formulu , ne zaboravljajući podijeliti nulti koeficijent na pola:

Nacrtajmo zbir serije. Ponovimo ukratko postupak: na intervalu konstruišemo pravu, a na intervalu pravu. Ako je vrijednost “x” nula, stavljamo tačku u sredinu “skoka” jaza i “repliciramo” graf za susjedne periode:

Na “spojnicama” perioda, zbir će takođe biti jednak sredinama “skoka” jaza.

Spreman. Da vas podsjetim da je sama funkcija po uvjetu definirana samo na poluintervalu i očito se poklapa sa zbirom nizova na intervalima

Odgovor :

Ponekad je funkcija zadana po komadima kontinuirana tokom perioda ekspanzije. Najjednostavniji primjer: . Rješenje (vidi Bohan tom 2) isto kao u prethodna dva primjera: uprkos kontinuitetu funkcije u tački, svaki Fourierov koeficijent se izražava kao zbir dvaju integrala.

U intervalu ekspanzije može postojati više tačaka diskontinuiteta prve vrste i/ili „zglobnih“ tačaka grafa (dvije, tri i općenito bilo koje final količina). Ako je funkcija integrabilna na svakom dijelu, onda je također proširiva u Fourierov red. Ali iz praktičnog iskustva ne pamtim tako okrutnu stvar. Međutim, postoje teži zadaci od onih koji su upravo razmatrani, a na kraju članka su linkovi na Fourierove serije povećane složenosti za sve.

U međuvremenu, opustimo se, zavalimo se u fotelje i promatrajmo beskrajna zvjezdana prostranstva:

Primjer 5

Proširite funkciju u Fourierov niz na intervalu i nacrtajte zbir tog niza.

U ovom zadatku, funkcija je kontinuirana na poluintervalu proširenja, što pojednostavljuje rješenje. Sve je vrlo slično primjeru br. 2. Iz svemirskog broda nema bijega - morat ćete odlučiti =) Približan primjer dizajna na kraju lekcije, raspored je u prilogu.

Proširivanje parnih i neparnih funkcija u Fourierov red

Uz parne i neparne funkcije, proces rješavanja problema je značajno pojednostavljen. A evo i zašto. Vratimo se na proširenje funkcije u Fourierov red s periodom od “dva pi” i proizvoljna tačka “dva el” .

Pretpostavimo da je naša funkcija parna. Opšti pojam serije, kao što vidite, sadrži parne kosinuse i neparne sinuse. A ako proširujemo EVEN funkciju, zašto su nam onda potrebni neparni sinusi?! Resetujmo nepotreban koeficijent: .

Dakle, parna funkcija se može proširiti u Fourierov red samo u kosinusima:

Budući da se integrali parnih funkcija nad segmentom integracije koji je simetričan u odnosu na nulu mogu udvostručiti, preostali Fourierovi koeficijenti su također pojednostavljeni.

Za prazninu:

Za proizvoljan interval:

Primjeri iz udžbenika koji se mogu naći u gotovo svakom udžbeniku matematičke analize uključuju proširenja parnih funkcija . Osim toga, nekoliko puta su se susreli u mojoj ličnoj praksi:

Primjer 6

Funkcija je data. Obavezno:

1) proširiti funkciju u Fourierov red s periodom, gdje je proizvoljan pozitivan broj;

2) zapisati ekspanziju na intervalu, konstruisati funkciju i nacrtati ukupan zbir niza.

Rješenje: u prvom pasusu predlaže se rješavanje problema u opšti pogled, i veoma je zgodno! Ako se ukaže potreba, samo zamijenite svoju vrijednost.

1) U ovom problemu, period ekspanzije je poluperiod. Tokom daljih radnji, posebno tokom integracije, “el” se smatra konstantom

Funkcija je parna, što znači da se može proširiti u Fourierov red samo u kosinusima: .

Fourierove koeficijente tražimo koristeći formule . Obratite pažnju na njihove bezuslovne prednosti. Prvo, integracija se vrši preko pozitivnog segmenta proširenja, što znači da se sigurno rješavamo modula , uzimajući u obzir samo “X” od dva komada. I, drugo, integracija je primjetno pojednostavljena.

dva:

Integrirajmo po dijelovima:

ovako:
, dok se konstanta , koja ne zavisi od “en”, uzima izvan zbira.

Odgovor :

2) Zapišimo ekspanziju na interval, u tu svrhu u opšta formula zamijenite željenu vrijednost poluperioda:

Kako umetnuti matematičke formule na stranicu?

Ako ikada trebate dodati jednu ili dvije matematičke formule na web stranicu, onda je najlakši način da to učinite kao što je opisano u članku: matematičke formule se lako ubacuju na stranicu u obliku slika koje automatski generira Wolfram Alpha . Osim jednostavnosti, ovo univerzalna metoda pomoći će poboljšanju vidljivosti web stranice tražilice. Radi već dugo (i mislim da će raditi zauvijek), ali je već moralno zastario.

Ako stalno koristite matematičke formule na svojoj web stranici, onda preporučujem da koristite MathJax - posebnu JavaScript biblioteku koja prikazuje matematička notacija u web pretraživačima koji koriste MathML, LaTeX ili ASCIIMathML oznake.

Postoje dva načina da počnete koristiti MathJax: (1) pomoću jednostavnog koda možete brzo povezati MathJax skriptu na svoju web stranicu, koja će se automatski učitati sa udaljenog servera u pravo vrijeme (lista servera); (2) preuzmite MathJax skriptu sa udaljenog servera na vaš server i povežite ga sa svim stranicama vašeg sajta. Drugi metod - složeniji i dugotrajniji - ubrzaće učitavanje stranica vašeg sajta, a ako roditeljski MathJax server iz nekog razloga postane privremeno nedostupan, to ni na koji način neće uticati na vašu veb lokaciju. Unatoč ovim prednostima, odabrao sam prvi metod jer je jednostavniji, brži i ne zahtijeva tehničke vještine. Slijedite moj primjer i za samo 5 minuta moći ćete koristiti sve mogućnosti MathJaxa na svojoj web stranici.

Možete povezati skriptu MathJax biblioteke sa udaljenog servera koristeći dvije opcije koda preuzete sa glavne MathJax web stranice ili na stranici dokumentacije:

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kod vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake. Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako unesete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način za povezivanje MathJax-a je u Blogger-u ili WordPress-u: na kontrolnoj ploči stranice dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, u njega kopirajte prvu ili drugu verziju koda za preuzimanje prikazanog iznad i postavite widget bliže na početak šablona (usput, to uopće nije potrebno, pošto se MathJax skripta učitava asinhrono). To je to. Sada naučite sintaksu označavanja MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste da umetnete matematičke formule u web stranice svoje web stranice.

Svaki fraktal je konstruisan prema određeno pravilo, koji se primjenjuje uzastopno neograničen broj puta. Svako takvo vrijeme naziva se iteracija.

Iterativni algoritam za konstruisanje Mengerovog sunđera je prilično jednostavan: originalna kocka sa stranom 1 podeljena je ravninama paralelnim sa njenim plohama na 27 jednakih kocki. Iz nje se uklanja jedna središnja kocka i 6 susjednih kocki duž lica. Rezultat je set koji se sastoji od preostalih 20 manjih kockica. Učinivši isto sa svakom od ovih kockica, dobijamo set koji se sastoji od 400 manjih kockica. Nastavljajući ovaj proces beskonačno, dobijamo Menger sunđer.

Predavanje br. 60

6.21. Fourierov red za parne i neparne funkcije.

Teorem: Za bilo koju parnu funkciju, njen Fourierov red se sastoji samo od kosinusa.

Za bilo koju neparnu funkciju:
.

Dokaz: Iz definicije parnih i neparnih funkcija slijedi da ako je ψ(x) – ravnomjerna funkcija, To

stvarno,

budući da je po definiciji parne funkcije ψ(- x) = ψ(x).

Slično, možemo dokazati da ako je ψ(x) neparna funkcija, onda

Ako se neparna funkcija ƒ(x) proširi u Fourierov red, tada je proizvod ƒ(x) ·coskx također neparna funkcija, a ƒ(x) ·sinkx je parna funkcija; dakle,

(21)

tj. Fourierov niz neparne funkcije sadrži “samo sinuse”.

Ako se parna funkcija proširi u Fourierov red, tada je proizvod ƒ(x)·sinkx neparna funkcija, a ƒ(x)·coskx je parna funkcija, tada:

(22)

to jest, Fourierov red parne funkcije sadrži “samo kosinuse”.

Rezultirajuće formule omogućavaju pojednostavljenje izračunavanja pri pronalaženju Fourierovih koeficijenata u slučajevima kada je data funkcija parna ili neparna, kao i dobijanje Proširenje u Fourierov red funkcije definirane na dijelu intervala .

U mnogim zadacima funkcija
je specificirano u intervalu
. Ovu funkciju je potrebno predstaviti kao beskonačan zbir sinusa i kosinusa uglova koji su višestruki prirodnim brojevima, tj. potrebno je proširiti funkciju u Fourierov red. Obično u takvim slučajevima postupaju na sljedeći način.

Za proširenje date funkcije u kosinusima, funkcija
dodatno određena u intervalu
na ravnomeran način, tj. tako da u intervalu

. Tada su za “proširenu” parnu funkciju svi argumenti iz prethodnog paragrafa važeći, pa su, prema tome, koeficijenti Fourierovog reda određeni formulama

Ove formule, kao što vidimo, uključuju vrijednosti funkcije
, navedeno samo u intervalu
. Za proširenje funkcije
, navedeno u intervalu
, po sinusima, potrebno je dodatno definirati ovu funkciju u intervalu
na čudan način, tj. tako da u intervalu

.

Zatim se izračunavanje koeficijenata Fourierovog reda mora izvršiti pomoću formula

Teorema 1. Funkcija data na intervalu može se proširiti na beskonačan broj načina u trigonometrijski Fourierov red, posebno u cos ili sin.

Komentar. Funkcija
, navedeno u intervalu
može se dalje definisati u intervalu
na bilo koji način, a ne samo kao što je gore urađeno. Ali s proizvoljnom redefiniranjem funkcije, proširenje u Fourierovom redu bit će složenije od onog dobivenog proširenjem u sinusima ili kosinusima.

Primjer. Proširite funkciju u Fourierov red u kosinusima
, navedeno u intervalu
(Sl. 2a).

Rješenje. Definirajmo funkciju
u intervalu
paran (grafikon je simetričan u odnosu na os
)

Jer
, To

at

,

6.22. Fourierov red za funkciju specificiranu na proizvoljnom intervalu

Do sada smo razmatrali funkciju definiranu u intervalu
, smatrajući da je periodično izvan ovog intervala, sa tačkom
.

Razmotrimo sada funkciju
, čiji je period 2 l, tj.
na intervalu
, i pokazati da je u ovom slučaju funkcija
može se proširiti u Fourierov niz.

Hajde da stavimo
, ili
. Onda kada se menja od – l to l nova varijabla varira od
to a samim tim i funkciju može se smatrati funkcijom specificiranom u intervalu od
to i periodično izvan ovog intervala, sa tačkom
.

dakle,
.

Raširivši se
u Fourierovom nizu, dobijamo

Prelazimo na stare varijable, tj. vjerujući

, dobijamo
,
I
.

To jest, Fourierov red za funkciju
, navedeno u intervalu
, izgledat će ovako:

Ako je funkcija
je paran, onda su formule za određivanje koeficijenata Fourierovog reda pojednostavljene:

U slučaju da je funkcija
čudno:

Ako je funkcija
navedeno u intervalu
, onda se može nastaviti u intervalu
bilo paran ili neparan. U slučaju ravnomjernog nastavka funkcije u intervalu