Izračunajte površinu zakrivljenog trapeza na mreži. Pronalaženje površine figure ograničene linijama y=f(x), x=g(y)

U ovom članku ćete naučiti kako pronaći površinu figure ograničenu linijama koristeći integralne proračune. S formulisanjem ovakvog problema prvi put se susrećemo u srednjoj školi, kada smo tek završili proučavanje određenih integrala i vreme je da počnemo sa geometrijskom interpretacijom stečenog znanja u praksi.

Dakle, ono što je potrebno za uspješno rješavanje problema pronalaženja površine figure pomoću integrala:

Sposobnost izrade kompetentnih crteža;
Sposobnost rješavanja određenog integrala koristeći dobro poznatu Newton-Leibnizovu formulu;
Sposobnost da se "vidi" isplativija opcija rješenja - tj. razumjeti kako će biti zgodnije izvršiti integraciju u jednom ili drugom slučaju? Duž x-ose (OX) ili y-ose (OY)?
Pa, gdje bismo bili bez tačnih proračuna?) Ovo uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke proračune.

Algoritam za rješavanje problema izračunavanja površine figure ograničene linijama:

1. Pravimo crtež. Preporučljivo je to učiniti na kockastom komadu papira, u velikom obimu. Naziv ove funkcije potpisujemo olovkom iznad svakog grafikona. Potpisivanje grafikona se vrši isključivo radi pogodnosti daljih proračuna. Nakon što dobijete graf željene brojke, u većini slučajeva odmah će biti jasno koje će se granice integracije koristiti. Tako problem rješavamo grafički. Međutim, dešava se da su vrijednosti granica razlomke ili iracionalne. Stoga možete napraviti dodatne proračune, idite na drugi korak.

2. Ako granice integracije nisu eksplicitno specificirane, tada nalazimo tačke preseka grafova među sobom i vidimo da li se naše grafičko rešenje poklapa sa analitičkim.

3. Zatim morate analizirati crtež. Ovisno o tome kako su grafovi funkcija raspoređeni, postoje različiti pristupi pronaći površinu figure. Hajde da razmotrimo različiti primjeri o pronalaženju površine figure pomoću integrala.

3.1. Najklasičnija i najjednostavnija verzija problema je kada trebate pronaći područje zakrivljenog trapeza. Šta je zakrivljeni trapez? Ovo ravna figura, ograničen x-osom (y = 0), ravno x = a, x = b i bilo koja kriva kontinuirana na intervalu od a to b. Štaviše, ova brojka nije negativna i nalazi se ne ispod x-ose. U ovom slučaju, površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu, izračunatom pomoću Newton-Leibnizove formule:

Primjer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Kojim linijama je lik ograničen? Imamo parabolu y = x2 – 3x + 3, koji se nalazi iznad ose OH, nije negativan, jer sve tačke ove parabole imaju pozitivne vrijednosti. Dalje, date prave linije x = 1 I x = 3, koji idu paralelno sa osom Op-amp, su granične linije figure lijevo i desno. Pa y = 0, to je i x-osa, koja ograničava sliku odozdo. Dobivena figura je zasjenjena, kao što se može vidjeti sa slike s lijeve strane. U tom slučaju možete odmah početi rješavati problem. Pred nama je jednostavan primjer zakrivljenog trapeza, koji dalje rješavamo pomoću Newton-Leibnizove formule.

3.2. U prethodnom paragrafu 3.1 ispitali smo slučaj kada se zakrivljeni trapez nalazi iznad x-ose. Sada razmotrite slučaj kada su uslovi problema isti, osim što funkcija leži ispod x-ose. Standardnoj Newton-Leibnizovoj formuli dodaje se minus. U nastavku ćemo razmotriti kako riješiti takav problem.

Primjer 2 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

U ovom primjeru imamo parabolu y = x2 + 6x + 2, koji potiče od ose OH, ravno x = -4, x = -1, y = 0. Evo y = 0 ograničava željenu figuru odozgo. Direktno x = -4 I x = -1 ovo su granice unutar kojih će se izračunati definitivni integral. Princip rješavanja problema pronalaženja površine figure gotovo se u potpunosti poklapa s primjerom broj 1. Jedina razlika je u tome što data funkcija nije pozitivna, a također je kontinuirana na intervalu [-4; -1] . Kako to misliš nije pozitivno? Kao što se vidi sa slike, figura koja se nalazi unutar datih x ima isključivo “negativne” koordinate, što trebamo vidjeti i zapamtiti prilikom rješavanja problema. Područje figure tražimo koristeći Newton-Leibniz formulu, samo sa znakom minus na početku.

Članak nije dovršen.

Problem 1(o izračunavanju površine zakrivljenog trapeza).

U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu xOy, data je figura (vidi sliku) ograničena osom x, pravim linijama x = a, x = b (a krivolinijskim trapezom. Potrebno je izračunati površinu krivolinijskog trapezoid.
Rješenje. Geometrija nam daje recepte za izračunavanje površina poligona i nekih dijelova kruga (sektora, segmenta). Koristeći geometrijska razmatranja, možemo pronaći samo približnu vrijednost tražene površine, rezonirajući na sljedeći način.

Podijelimo segment [a; b] (osnova zakrivljenog trapeza) na n jednaki dijelovi; ova particija se izvodi pomoću tačaka x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Nacrtajmo prave linije kroz ove tačke paralelne sa y-osi. Tada će dati krivolinijski trapez biti podijeljen na n dijelova, na n uskih stupaca. Površina cijelog trapeza jednaka je zbiru površina stupova.

Razmotrimo k-tu kolonu posebno, tj. zakrivljeni trapez čija je osnova segment. Zamenimo ga pravougaonikom sa istom osnovom i visinom jednakom f(x k) (vidi sliku). Površina pravougaonika jednaka je $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, gdje je $\Delta x_k $ dužina segmenta; Prirodno je uzeti u obzir dobiveni proizvod kao približnu vrijednost površine k-te kolone.

Ako sada učinimo isto sa svim ostalim stupcima, doći ćemo do sljedećeg rezultata: površina S datog krivolinijskog trapeza je približno jednaka površini S n stepenastog lika sastavljenog od n pravokutnika (vidi sliku):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Ovdje, radi uniformnosti notacije, pretpostavljamo da je a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - dužina segmenta, $\Delta x_1 $ - dužina segmenta, itd.; u ovom slučaju, kao što smo se prethodno dogovorili, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Dakle, $S \približno S_n $, a ova približna jednakost je tačnija, što je n veće.
Po definiciji, vjeruje se da je potrebna površina krivolinijskog trapeza jednaka granici niza (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problem 2(o pomicanju tačke)
Kreće se pravolinijski materijalna tačka. Ovisnost brzine o vremenu izražava se formulom v = v(t). Pronađite kretanje tačke tokom vremenskog perioda [a; b].
Rješenje. Kada bi kretanje bilo ravnomjerno, onda bi problem bio riješen vrlo jednostavno: s = vt, tj. s = v(b-a). Za neravnomjerno kretanje morate koristiti iste ideje na kojima je zasnovano rješenje prethodnog problema.
1) Podijelite vremenski interval [a; b] na n jednakih dijelova.
2) Razmotrite vremenski period i pretpostavite da je tokom tog vremenskog perioda brzina bila konstantna, ista kao u trenutku t k. Dakle, pretpostavljamo da je v = v(t k).
3) Nađimo približnu vrijednost kretanja tačke u određenom vremenskom periodu, označićemo ovu približnu vrijednost kao s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Pronađite približnu vrijednost pomaka s:
$s \približno S_n $ gdje
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Traženi pomak je jednak granici niza (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Hajde da sumiramo. Rješenja razne zadatke svedeno na isti matematički model. Mnogi problemi iz različitih oblasti nauke i tehnologije vode ka istom modelu u procesu rešavanja. Dakle ovo matematički model potrebno je posebno proučiti.

Koncept određenog integrala

Dajemo matematički opis modela koji je izgrađen u tri razmatrana problema za funkciju y = f(x), kontinuiranu (ali ne nužno nenegativnu, kao što je pretpostavljeno u razmatranim problemima) na intervalu [a; b]:
1) podijeliti segment [a; b] na n jednakih dijelova;
2) čine zbir $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) izračunajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Upoznat matematička analiza dokazano je da ova granica postoji u slučaju kontinuirane (ili komadno kontinuirane) funkcije. Zovu ga određeni integral funkcije y = f(x) nad segmentom [a; b] i označena na sljedeći način:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Brojevi a i b nazivaju se granicama integracije (donja i gornja, respektivno).

Vratimo se zadacima o kojima smo gore govorili. Definicija površine data u Zadatku 1 sada se može prepisati na sljedeći način:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
ovdje je S površina krivolinijskog trapeza prikazanog na gornjoj slici. Ovo je geometrijsko značenje određenog integrala.

Definicija pomaka s tačke koja se kreće pravolinijski brzinom v = v(t) tokom vremenskog perioda od t = a do t = b, data u zadatku 2, može se prepisati na sljedeći način:

Newton-Leibnizova formula

Prvo, odgovorimo na pitanje: kakva je veza između određenog integrala i antiderivata?

Odgovor se može naći u zadatku 2. S jedne strane, pomak s tačke koja se kreće pravolinijski brzinom v = v(t) tokom vremenskog perioda od t = a do t = b izračunava se po formula
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

S druge strane, koordinata pokretne tačke je antiderivat za brzinu – označimo je s(t); To znači da je pomak s izražen formulom s = s(b) - s(a). Kao rezultat dobijamo:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
gdje je s(t) antiderivat od v(t).

Sljedeća teorema je dokazana tokom matematičke analize.
Teorema. Ako je funkcija y = f(x) kontinuirana na intervalu [a; b], onda je formula važeća
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
gdje je F(x) antiderivat od f(x).

Zadata formula se obično naziva Newton-Leibnizova formula u čast engleskog fizičara Isaaca Newtona (1643-1727) i njemačkog filozofa Gottfried Leibniza (1646-1716), koji su ga primili nezavisno jedan od drugog i gotovo istovremeno.

U praksi, umjesto pisanja F(b) - F(a), oni koriste notaciju $\left. F(x)\right|_a^b $ (ponekad se naziva dvostruka zamjena) i, shodno tome, prepišite Newton-Leibniz formulu u ovom obliku:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \lijevo. F(x)\desno|_a^b $

Prilikom izračunavanja određenog integrala, prvo pronađite antiderivat, a zatim izvršite dvostruku zamjenu.

Na osnovu Newton-Leibniz formule možemo dobiti dva svojstva određenog integrala.

Nekretnina 1. Integral zbira funkcija jednak je zbiru integrala:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Izračunavanje površina ravnih figura pomoću određenog integrala

Koristeći integral, možete izračunati površine ne samo krivolinijskih trapeza, već i ravnih figura više složenog tipa, na primjer onaj prikazan na slici. Slika P je ograničena pravim linijama x = a, x = b i grafovima kontinuiranih funkcija y = f(x), y = g(x), a na segmentu [a; b] vrijedi nejednakost $g(x) \leq f(x) $. Da bismo izračunali površinu S takve figure, postupit ćemo na sljedeći način:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Dakle, površina S figure ograničene pravim linijama x = a, x = b i grafovima funkcija y = f(x), y = g(x), kontinuiranim na segmentu i takvim da za bilo koje x iz segmenta [a; b] nejednakost $g(x) \leq f(x) $ je zadovoljena, izračunata po formuli
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabela neodređenih integrala (antiderivata) nekih funkcija

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Dakle, ono što je potrebno za uspješno rješavanje problema pronalaženja površine figure pomoću integrala:

Sposobnost izrade kompetentnih crteža;
Sposobnost rješavanja određenog integrala koristeći dobro poznatu Newton-Leibnizovu formulu;
Sposobnost da se "vidi" isplativija opcija rješenja - tj. razumjeti kako će biti zgodnije izvršiti integraciju u jednom ili drugom slučaju? Duž x-ose (OX) ili y-ose (OY)?
Pa, gdje bismo bili bez tačnih proračuna?) Ovo uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke proračune.

Algoritam za rješavanje problema izračunavanja površine figure ograničene linijama:

2. Ako granice integracije nisu eksplicitno specificirane, tada nalazimo tačke preseka grafova među sobom i vidimo da li se naše grafičko rešenje poklapa sa analitičkim.

3. Zatim morate analizirati crtež. Ovisno o tome kako su raspoređeni grafovi funkcija, postoje različiti pristupi pronalaženju površine figure. Pogledajmo različite primjere pronalaženja površine figure pomoću integrala.

3.1. Najklasičnija i najjednostavnija verzija problema je kada trebate pronaći područje zakrivljenog trapeza. Šta je zakrivljeni trapez? Ovo je ravna figura ograničena x-osom (y = 0), ravno x = a, x = b i bilo koja kriva kontinuirana na intervalu od a to b. Štaviše, ova brojka nije negativna i nalazi se ne ispod x-ose. U ovom slučaju, površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu, izračunatom pomoću Newton-Leibnizove formule:

Primjer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Primjer 2 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Članak nije dovršen.

U prethodnom odeljku o raščlanjivanju geometrijsko značenje definitivnog integrala, dobili smo niz formula za izračunavanje površine krivolinijskog trapeza:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x za kontinuiranu i nenegativnu funkciju y = f (x) na intervalu [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x za kontinuiranu i nepozitivnu funkciju y = f (x) na intervalu [ a ; b ] .

Ove formule su primjenjive za rješavanje u vezi jednostavni zadaci. U stvarnosti, često ćemo morati da radimo sa složenijim figurama. S tim u vezi, ovaj dio ćemo posvetiti analizi algoritama za izračunavanje površine figura koje su ograničene funkcijama u eksplicitnom obliku, tj. kao y = f(x) ili x = g(y).

Teorema

Neka su funkcije y = f 1 (x) i y = f 2 (x) definirane i kontinuirane na intervalu [ a ; b ] , i f 1 (x) ≤ f 2 (x) za bilo koju vrijednost x iz [ a ; b ] . Tada će formula za izračunavanje površine figure G, ograničene linijama x = a, x = b, y = f 1 (x) i y = f 2 (x) izgledati kao S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Slična formula će biti primenljiva za površinu figure ograničenu linijama y = c, y = d, x = g 1 (y) i x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Dokaz

Pogledajmo tri slučaja za koja će formula vrijediti.

U prvom slučaju, uzimajući u obzir svojstvo aditivnosti površine, zbir površina originalne figure G i krivolinijskog trapeza G1 jednak je površini figure G2. To znači da

Dakle, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Posljednju tranziciju možemo izvesti koristeći treće svojstvo određenog integrala.

U drugom slučaju, jednakost je tačna: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafička ilustracija će izgledati ovako:

Ako su obe funkcije nepozitivne, dobijamo: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafička ilustracija će izgledati ovako:

Idemo dalje na razmatranje opšteg slučaja kada y = f 1 (x) i y = f 2 (x) sijeku osu O x.

Tačke presjeka označavamo sa x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Ove tačke dijele segment [a; b ] na n dijelova x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, gdje je α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

dakle,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Posljednju tranziciju možemo napraviti koristeći peto svojstvo određenog integrala.

Ilustrujmo opšti slučaj na grafu.

Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x može se smatrati dokazanom.

Sada prijeđimo na analizu primjera izračunavanja površine figura koje su ograničene linijama y = f (x) i x = g (y).

Započet ćemo naše razmatranje bilo kojeg od primjera konstruiranjem grafa. Slika će nam omogućiti da složene oblike predstavimo kao spojeve jednostavnijih oblika. Ako vam konstrukcija grafova i figura na njima stvara poteškoće, možete proučiti dio o osnovnim elementarnim funkcijama, geometrijskoj transformaciji grafova funkcija i konstruiranju grafova dok proučavate funkciju.

Primjer 1

Potrebno je odrediti površinu figure koja je ograničena parabolom y = - x 2 + 6 x - 5 i pravim linijama y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Rješenje

Nacrtajmo linije na grafikonu Kartezijanski sistem koordinate

Na segmentu [ 1 ; 4 ] grafik parabole y = - x 2 + 6 x - 5 nalazi se iznad prave linije y = - 1 3 x - 1 2. U tom smislu, da bismo dobili odgovor koristimo formulu dobijenu ranije, kao i metodu izračunavanja definitivnog integrala pomoću Newton-Leibnizove formule:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odgovor: S(G) = 13

Pogledajmo složeniji primjer.

Primjer 2

Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena linijama y = x + 2, y = x, x = 7.

Rješenje

U ovom slučaju imamo samo jednu pravu liniju koja je paralelna sa x-osi. Ovo je x = 7. To od nas zahtijeva da sami pronađemo drugu granicu integracije.

Napravimo graf i nacrtajmo na njemu linije date u iskazu problema.

Imajući graf pred očima, lako možemo odrediti da će donja granica integracije biti apscisa tačke preseka grafika prave linije y = x i poluparabole y = x + 2. Da bismo pronašli apscisu koristimo jednakosti:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Ispada da je apscisa presječne tačke x = 2.

Skrećemo vam pažnju da u opšti primjer na crtežu se prave y = x + 2, y = x seku u tački (2; 2), pa se ovakvi detaljni proračuni mogu činiti nepotrebnim. Donijeli smo ovo ovdje detaljno rješenje samo zato što u složenijim slučajevima rješenje možda nije tako očigledno. To znači da je uvijek bolje analitički izračunati koordinate presjeka linija.

Na intervalu [ 2 ; 7] grafik funkcije y = x nalazi se iznad grafika funkcije y = x + 2. Primijenimo formulu za izračunavanje površine:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odgovor: S (G) = 59 6

Primjer 3

Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena grafovima funkcija y = 1 x i y = - x 2 + 4 x - 2.

Rješenje

Nacrtajmo linije na graf.

Hajde da definišemo granice integracije. Da bismo to učinili, odredimo koordinate tačaka presjeka pravih izjednačavanjem izraza 1 x i - x 2 + 4 x - 2. Pod uslovom da x nije nula, jednakost 1 x = - x 2 + 4 x - 2 postaje ekvivalentna jednačini trećeg stepena - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 sa cjelobrojnim koeficijentima. Da biste osvježili vaše sjećanje na algoritam za rješavanje ovakvih jednadžbi, možemo pogledati odjeljak “Rješavanje kubnih jednadžbi”.

Koren ove jednadžbe je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Podijelimo izraz - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomom x - 1, dobijamo: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Preostale korijene možemo pronaći iz jednačine x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Našli smo interval x ∈ 1; 3 + 13 2, u kojem se lik G nalazi iznad plave i ispod crvene linije. Ovo nam pomaže da odredimo površinu figure:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odgovor: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Primjer 4

Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena krivuljama y = x 3, y = - log 2 x + 1 i osom apscisa.

Rješenje

Nacrtajmo sve linije na graf. Graf funkcije y = - log 2 x + 1 možemo dobiti iz grafika y = log 2 x ako ga postavimo simetrično oko x-ose i pomaknemo za jednu jedinicu gore. Jednačina x-ose je y = 0.

Označimo tačke preseka pravih.

Kao što se vidi sa slike, grafovi funkcija y = x 3 i y = 0 seku se u tački (0; 0). Ovo se dešava zato što je x = 0 jedini pravi koren jednačine x 3 = 0.

x = 2 je jedini korijen jednadžbe - log 2 x + 1 = 0, pa se grafovi funkcija y = - log 2 x + 1 i y = 0 sijeku u tački (2; 0).

x = 1 je jedini korijen jednadžbe x 3 = - log 2 x + 1 . U tom smislu, grafovi funkcija y = x 3 i y = - log 2 x + 1 seku se u tački (1; 1). Posljednja izjava možda nije očigledna, ali jednačina x 3 = - log 2 x + 1 ne može imati više od jednog korijena, jer je funkcija y = x 3 striktno rastuća, a funkcija y = - log 2 x + 1 je striktno opadajuće.

Dalje rješenje uključuje nekoliko opcija.

Opcija #1

Lik G možemo zamisliti kao zbir dva krivolinijska trapeza koja se nalaze iznad x-ose, od kojih se prvi nalazi ispod srednje linije na segmentu x ∈ 0; 1, a drugi je ispod crvene linije na segmentu x ∈ 1; 2. To znači da će površina biti jednaka S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opcija br. 2

Slika G se može predstaviti kao razlika dvije figure, od kojih se prva nalazi iznad x-ose i ispod plave linije na segmentu x ∈ 0; 2, a druga između crvene i plave linije na segmentu x ∈ 1; 2. To nam omogućava da pronađemo područje na sljedeći način:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

U ovom slučaju, da biste pronašli površinu, moraćete da koristite formulu oblika S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. U stvari, linije koje ograničavaju figuru mogu se predstaviti kao funkcije argumenta y.

Riješimo jednadžbe y = x 3 i - log 2 x + 1 u odnosu na x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Dobijamo potrebnu površinu:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odgovor: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Primjer 5

Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena linijama y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Rješenje

Na grafikonu ćemo nacrtati liniju crvenom linijom, dato funkcijom y = x. Plavom bojom ćemo nacrtati liniju y = - 1 2 x + 4, a crnom liniju y = 2 3 x - 3.

Označimo tačke ukrštanja.

Nađimo točke presjeka grafova funkcija y = x i y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Provjerite: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nije rješenje jednadžbe x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je rješenje jednadžbe ⇒ (4; 2) presječna tačka i y = x i y = - 1 2 x + 4

Nađimo točku presjeka grafova funkcija y = x i y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Provjerite: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je rješenje jednadžbe ⇒ (9 ; 3) tačka a s y = x i y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Ne postoji rješenje jednačine

Nađimo točku presjeka pravih y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) tačka presjeka y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3

Metoda br. 1

Zamislimo površinu željene figure kao zbir površina pojedinih figura.

Tada je površina figure:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda br. 2

Površina originalne figure može se predstaviti kao zbir dvije druge figure.

Zatim rješavamo jednadžbu linije u odnosu na x, a tek nakon toga primjenjujemo formulu za izračunavanje površine figure.

y = x ⇒ x = y 2 crvena linija y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 crna linija y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Dakle, područje je:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Kao što vidite, vrijednosti su iste.

Odgovor: S (G) = 11 3

Rezultati

Da biste pronašli područje figure koja je ograničena date linije treba da konstruišemo prave na ravni, pronađemo njihove tačke preseka i primenimo formulu da pronađemo površinu. U ovom dijelu smo ispitali najčešće varijante zadataka.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Zadatak br. 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure ograničene linijama

Primena integrala za rešavanje primenjenih problema

Obračun površine

Definitivni integral neprekidne nenegativne funkcije f(x) je numerički jednak površina krivolinijskog trapeza ograničenog krivom y = f(x), osom O x i pravim linijama x = a i x = b. U skladu s tim, formula površine se piše na sljedeći način:

Pogledajmo neke primjere izračunavanja površina ravnih figura.

Zadatak br. 1. Izračunajte površinu ograničenu linijama y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Rješenje. Konstruirajmo figuru čiju ćemo površinu morati izračunati.

y = x 2 + 1 je parabola čije su grane usmjerene prema gore, a parabola je pomjerena prema gore za jednu jedinicu u odnosu na O y osu (slika 1).

Slika 1. Grafikon funkcije y = x 2 + 1

Zadatak br. 2. Izračunajte površinu ograničenu linijama y = x 2 – 1, y = 0 u rasponu od 0 do 1.

Rješenje. Grafikon ove funkcije je parabola grana koje su usmjerene prema gore, a parabola je pomjerena u odnosu na osu O y dolje za jednu jedinicu (slika 2).

Slika 2. Grafikon funkcije y = x 2 – 1

Zadatak br. 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure ograničene linijama

y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4.

Rješenje. Prva od ove dvije linije je parabola čije su grane usmjerene prema dolje, jer je koeficijent x 2 negativan, a druga prava je prava koja seče obje koordinatne ose.

Da bismo konstruisali parabolu, nalazimo koordinate njenog vrha: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – apscisa temena; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je njegova ordinata, N(1;9) je vrh.

Sada pronađimo tačke preseka parabole i prave tako što ćemo rešiti sistem jednačina:

Izjednačavanje desnih strana jednačine čije su lijeve strane jednake.

Dobijamo 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ili x 2 – 12 = 0, odakle .

Dakle, tačke su presečne tačke parabole i prave (slika 1).

Slika 3 Grafikoni funkcija y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4

Konstruirajmo pravu liniju y = 2x – 4. Ona prolazi kroz tačke (0;-4), (2;0) na koordinatnim osa.

Da biste konstruisali parabolu, možete koristiti i njene tačke preseka sa osom 0x, odnosno korenima jednačine 8 + 2x – x 2 = 0 ili x 2 – 2x – 8 = 0. Koristeći Vietinu teoremu, lako je pronaći njegove korijene: x 1 = 2, x 2 = 4.

Na slici 3 prikazana je figura (parabolički segment M 1 N M 2) ograničena ovim linijama.

Drugi dio problema je pronaći površinu ove figure. Njegova površina se može pronaći pomoću određenog integrala prema formuli .

U odnosu na ovaj uslov dobijamo integral:

2 Izračunavanje zapremine tela rotacije

Zapremina tijela dobivena rotacijom krive y = f(x) oko ose O x izračunava se po formuli:

Kada se rotira oko ose O y, formula izgleda ovako:

Zadatak br. 4. Odrediti zapreminu tijela dobivenu rotacijom zakrivljenog trapeza ograničenog pravim linijama x = 0 x = 3 i krivom y = oko ose O x.

Rješenje. Nacrtajmo sliku (slika 4).

Slika 4. Grafikon funkcije y =

Potrebna zapremina je

Zadatak br. 5. Izračunajte zapreminu tela dobijenu rotacijom zakrivljenog trapeza ograničenog krivom y = x 2 i pravim linijama y = 0 i y = 4 oko ose O y.

Rješenje. imamo:

Pregledajte pitanja