Ratsionaalsete murdude integreerimine määramatusse integraali. Näited ratsionaalsete funktsioonide (murrud) integreerimisest
Üks olulisemaid funktsioonide klasse, mille integraale väljendatakse elementaarfunktsioonide kaudu, on klass ratsionaalsed funktsioonid.
Definitsioon 1. Vormi kus funktsioon 
- kraadide polünoomidnJamnimetatakse ratsionaalseks. Terve ratsionaalne funktsioon, s.t. polünoom, integreerib otse. Integraal murdosaline ratsionaalne funktsioon on võimalik leida, lagundades terminiteks, mis teisendatakse standardsel viisil põhilisteks tabeliintegraalideks.
Definitsioon 2. Murd 
nimetatakse õigeks, kui lugeja astenvähem kui nimetaja võimsusm. Murru, milles lugeja aste on nimetaja astmest suurem või sellega võrdne, nimetatakse ebaõigeks.
Iga vale murdosa saab esitada polünoomi ja õige murru summana. Seda tehakse polünoomi jagamisel polünoomiga, nagu arvude jagamine.
Näide.
Kujutagem ette murdosa 
polünoomi ja õige murru summana:
x - 1
3
3
3
Esimene ametiaeg 
jagatis saadakse juhtliikme jagamise tulemusena 
, jagatud juhtterminiga X jagaja Siis korrutame 
jagaja kohta x-1 ja saadud tulemus lahutatakse dividendist; Sarnaselt leitakse ka mittetäieliku jagatise ülejäänud liikmed.
Pärast polünoomide jagamist saame:
Seda toimingut nimetatakse terve osa valimiseks.
Definitsioon 3. Kõige lihtsamad murded on õiged ratsionaalsed murded järgmistest tüüpidest:
I. 
II. 
(K = 2, 3, …).
III. 
kus on ruuttrinoom 
IV. 
kus K = 2, 3, …; ruuttrinoom 
tal pole tõelisi juuri.
a) laiendage nimetajat 
kõige lihtsamateks reaalteguriteks (algebra põhiteoreemi kohaselt võib see laiendus sisaldada vormi lineaarseid binoome 
ja ruuttrinoomid 
, millel puuduvad juured);
b) kirjutage skeem etteantud murru lagunemisest lihtmurdude summaks. Veelgi enam, iga vormi tegur 
vastab k I ja II tüüpi komponendid:
vormi igale tegurile 
vastab III ja IV tüüpi e tingimustele:
Näide.
Kirjutage üles murdosa laiendamise skeem 
kõige lihtsamate summani.
c) sooritada saadud lihtsamate murdude liitmine. Kirjutage üles saadud ja algmurru lugejate võrdsus;
d) leidke vastava laienemise koefitsiendid: 
(lahendusmeetodeid käsitletakse allpool);
e) asendada koefitsientide leitud väärtused lagunemisskeemi.
Mis tahes õige ratsionaalse murru integreerimine pärast lagunemist selle lihtsaimatesse terminitesse taandab integraalide leidmiseks ühte järgmistest tüüpidest:
(k Ja e =2, 3, …).
Integraali arvutamine 
taandub valemiks III:
lahutamatu 
- valemile II:
lahutamatu 
on leitav ruuttrinoomi sisaldavate funktsioonide integreerimise teoorias määratud reegliga; 
- allpool näites 4 näidatud teisenduste kaudu.
Näide 1.
a) faktori nimetaja:
b) kirjutage skeem integrandi terminiteks jaotamiseks:
c) lisage lihtmurrud:
Kirjutame üles murdude lugejate võrdsuse:
d) tundmatute koefitsientide A, B, C leidmiseks on kaks meetodit.
Kaks polünoomi on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende koefitsiendid on samade astmete korral võrdsed X, et saaksite luua vastava võrrandisüsteemi. See on üks lahendusmeetoditest.
Koefitsiendid juures 
vabaliikmed (koefitsient at 
):4A=8.
Olles lahendanud süsteemi, saame A=2, B=1, C = -10.
Järgmises näites käsitletakse teist meetodit - privaatseid väärtusi;
e) asendage leitud väärtused lagunemisskeemi:
Asendades saadud summa integraalimärgi alla ja integreerides iga liikme eraldi, leiame:
Näide 2.
Identiteet on võrdsus, mis kehtib selles sisalduvate tundmatute mis tahes väärtuste puhul. Selle põhjal eraväärtuse meetod. Võib anda X mingeid väärtusi. Arvutuste jaoks on mugavam võtta need väärtused, mis muudavad kõik võrdsuse paremal küljel olevad tingimused kaduma.
Lase x = 0. Siis 1 = A 0(0+2)+V 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).
Samamoodi jaoks x = -2 meil on 1= -2V*(-3), kell x = 1 meil on 1 = 3A.
Seega 
Näide 3.
d) esmalt kasutame osaväärtuse meetodit.
Lase x = 0, Siis 1 = A 1, A = 1.
Kell x = -1 meil on - 1+4+2+1 = - B(1+1+1) või 6 = -3 V, B = -2.
Koefitsientide C ja D leidmiseks peate looma veel kaks võrrandit. Selleks võite võtta mis tahes muid väärtusi X, Näiteks x = 1 Ja x = 2. Võite kasutada esimest meetodit, st. võrdsustada koefitsiente mis tahes identsetel astmetel X, näiteks millal 
Ja 
. Saame
1 = A+B+C ja 4 = C+D- IN.
Teades A = 1, B = -2, leiame C = 2, D = 0 .
Seega saab koefitsientide arvutamisel kombineerida mõlemat meetodit.
Viimane integraal 
leiame eraldi uue muutuja määramise meetodis määratud reegli järgi. Valime nimetajas täiusliku ruudu:
ütleme 
Siis 
Saame:
=
Asendades eelmise võrdsusega, leiame
Näide 4.
Otsi 
b) 
d) 
Integreerides on meil:
Teisendame esimese integraali valemiks III:
Teisendame teise integraali valemiks II:
Kolmandas integraalis asendame muutuja: 
(Teisenduste tegemisel kasutasime trigonomeetria valemit 
Leidke integraalid:
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
Enesetesti küsimused.
Milline andmetest ratsionaalsed murded on õiged:
2. Kas skeem murdu lihtmurdude summaks lagundamiseks on õigesti kirjutatud?
Ratsionaalfunktsioon on murdosa vormist, mille lugejaks ja nimetajaks on polünoomid või polünoomide korrutised.
Näide 1. 2. samm.
.
Korrutame määramata koefitsiendid polünoomidega, mis ei ole selles üksikmurrus, kuid on teistes saadud murdudes:
Avame sulud ja võrdsustame algse integrandi lugeja saadud avaldisega:
Võrdsuse mõlemal poolel otsime termineid, millel on samad x astmed, ja koostame nendest võrrandisüsteemi:
.
Tühistame kõik x-id ja saame samaväärse võrrandisüsteemi:
.
Seega integrandi lõplik laiendamine summaks lihtmurrud:
.
Näide 2. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:
.
Nüüd hakkame otsima ebakindlaid koefitsiente. Selleks võrdsustame funktsiooniavaldises oleva algse murru lugeja avaldise lugejaga, mis saadakse pärast murdude summa taandamist ühiseks nimetajaks:
Nüüd peate looma ja lahendama võrrandisüsteemi. Selleks võrdsustame muutuja koefitsiendid vastava astmega funktsiooni algse avaldise lugejas ja sarnased koefitsiendid eelmises etapis saadud avaldises:
Lahendame saadud süsteemi:
Niisiis, siit
.
Näide 3. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:
Hakkame otsima ebakindlaid koefitsiente. Selleks võrdsustame funktsiooniavaldises oleva algse murru lugeja avaldise lugejaga, mis saadakse pärast murdude summa taandamist ühiseks nimetajaks:
Nagu eelmistes näidetes, koostame võrrandisüsteemi:
Vähendame x-e ja saame samaväärse võrrandisüsteemi:
Süsteemi lahendades saame ebakindlate koefitsientide järgmised väärtused:
Saame integrandi lõpliku lagunemise lihtmurdude summaks:
.
Näide 4. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:
.
Teame juba varasematest näidetest, kuidas võrdsustada algmurru lugejat lugejas oleva avaldisega, mis on saadud pärast murdarvu lammutamist lihtmurdude summaks ja selle summa viimist ühisnimetajasse. Seetõttu esitame lihtsalt kontrolli eesmärgil saadud võrrandisüsteemi:
Süsteemi lahendades saame ebakindlate koefitsientide järgmised väärtused:
Saame integrandi lõpliku lagunemise lihtmurdude summaks:
Näide 5. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:
.
Me taandame selle summa iseseisvalt ühiseks nimetajaks, võrdsustades selle avaldise lugeja algmurru lugejaga. Tulemuseks peaks olema järgmine võrrandisüsteem:
Süsteemi lahendades saame ebakindlate koefitsientide järgmised väärtused:
.
Saame integrandi lõpliku lagunemise lihtmurdude summaks:
.
Näide 6. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:
Teeme selle summaga samad toimingud nagu eelmistes näidetes. Tulemuseks peaks olema järgmine võrrandisüsteem:
Süsteemi lahendades saame ebakindlate koefitsientide järgmised väärtused:
.
Saame integrandi lõpliku lagunemise lihtmurdude summaks:
.
Näide 7. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:
.
Pärast teatud toiminguid saadud summaga tuleks saada järgmine võrrandisüsteem:
Süsteemi lahendades saame ebakindlate koefitsientide järgmised väärtused:
Saame integrandi lõpliku lagunemise lihtmurdude summaks:
.
Näide 8. 2. samm. Etapis 1 saime algse murdosa järgmise jaotuse lihtsate murdude summaks, mille lugejate koefitsiendid on määramata:
.
Teeme võrrandisüsteemi saamiseks mõned muudatused toimingutes, mis on juba automaatseks viidud. On kunstlik tehnika, mis mõnel juhul aitab vältida tarbetuid arvutusi. Viies murdude summa ühise nimetajani, saame ja võrdsustades selle avaldise lugeja algmurru lugejaga, saame.
Antud teemas esitatav materjal põhineb teemas "Ratsionaalmurrud. Ratsionaalmurdude lagundamine elementaar(liht)murdudeks" toodud infol. Soovitan tungivalt enne selle materjali lugemise juurde asumist see teema vähemalt läbi sirvida. Lisaks vajame määramata integraalide tabelit.
Lubage mul teile meelde tuletada paar terminit. Neid käsitleti vastavas teemas, seega piirdun siinkohal lühikese sõnastusega.
Kahe polünoomi suhet $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ nimetatakse ratsionaalfunktsiooniks või ratsionaalseks murdeks. Ratsionaalmurdu nimetatakse õige, kui $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется vale.
Elementaarsed (lihtsamad) ratsionaalsed murrud on ratsionaalsed murrud nelja tüüpi:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Märkus (soovitav teksti täielikumaks mõistmiseks): näita\peida
Miks on vaja tingimust $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Näiteks avaldise $x^2+5x+10$ jaoks saame: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Kuna $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Muide, selle kontrolli jaoks pole üldse vajalik, et koefitsient enne $x^2$ oleks võrdne 1-ga. Näiteks $5x^2+7x-3=0$ korral saame: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 $. Kuna $D > 0$, on avaldis $5x^2+7x-3$ faktoriseeritav.
Võib leida näiteid ratsionaalsetest murdudest (õigest ja ebaõigest), samuti näiteid ratsionaalse murru lagunemisest elementaarmurdudeks. Siin huvitavad meid ainult nende integreerimise küsimused. Alustame elementaarmurdude integreerimisega. Seega on kõiki nelja ülaltoodud elementaarmurdu tüüpi lihtne integreerida allolevate valemite abil. Tuletan meelde, et tüüpide (2) ja (4) murdude integreerimisel eeldatakse $n=2,3,4,\ldots$. Valemid (3) ja (4) nõuavad tingimuse $p^2-4q täitmist< 0$.
\begin(võrrand) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(võrrand) \begin(võrrand) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(võrrand) \begin(võrrand) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(võrrand)
$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ jaoks tehakse asendus $t=x+\frac(p)(2)$, mille järel saadakse saadud intervall jagatud kaheks. Esimene arvutatakse diferentsiaalmärgi alla sisestades ja teine on kujul $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. See integraal võetakse kordusseost kasutades
\begin(võrrand) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(võrrand)
Sellise integraali arvutamist käsitletakse näites nr 7 (vt kolmas osa).
Ratsionaalfunktsioonide integraalide (ratsionaalmurrud) arvutamise skeem:
- Kui integrand on elementaarne, rakendage valemeid (1)-(4).
- Kui integrand ei ole elementaarne, siis esitage see elementaarmurdude summana ja seejärel integreerige valemite (1)-(4) abil.
Ülaltoodud algoritmil ratsionaalsete murdude integreerimiseks on vaieldamatu eelis - see on universaalne. Need. selle algoritmi abil saate integreerida ükskõik milline ratsionaalne murdosa. Seetõttu tehakse peaaegu kõik muutujate muudatused määramata integraalis (Euler, Tšebõšev, universaalne trigonomeetriline asendus) nii, et pärast seda muutust saame intervalli all oleva ratsionaalse murdosa. Ja seejärel rakendage sellele algoritm. Pärast väikese märkuse tegemist analüüsime selle algoritmi otsest rakendamist näidete abil.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
Põhimõtteliselt on seda integraali lihtne saada ilma valemi mehaanilise rakendamiseta. Kui võtame integraalimärgist välja konstantse $7$ ja võtame arvesse, et $dx=d(x+9)$, saame:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Täpsema teabe saamiseks soovitan vaadata teemat. See selgitab üksikasjalikult, kuidas selliseid integraale lahendatakse. Muide, valemit tõestavad samad teisendused, mida rakendati selles lõigus selle "käsitsi" lahendamisel.
2) Jällegi on kaks võimalust: kasutada valmis valemit või teha ilma selleta. Kui rakendate valemit, peaksite arvestama, et koefitsient $x$ (number 4) ees tuleb eemaldada. Selleks võtame need neli lihtsalt sulgudest välja:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$
Nüüd on aeg rakendada valemit:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\vasak(x+\frac(19)(4) \parem)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Saate teha ilma valemit kasutamata. Ja isegi ilma pidevat 4 dollarit sulgudest välja võtmata. Kui võtta arvesse, et $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, saame:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Täpsemad selgitused selliste integraalide leidmiseks on antud teemas “Integreerimine asendusega (asendamine diferentsiaalmärgi all)”.
3) Peame integreerima murdosa $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Selle murdosa struktuur on $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, kus $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Kuid veendumaks, et see on tõesti kolmanda tüübi elementaarmurd, peate kontrollima, kas tingimus $p^2-4q on täidetud< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Lahendame sama näite, kuid ilma valmis valemit kasutamata. Proovime eraldada lugejas nimetaja tuletist. Mida see tähendab? Teame, et $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Lugejas peame isoleerima avaldise $2x+10$. Seni sisaldab lugeja ainult $4x+7$, kuid see ei kesta kaua. Rakendame lugejale järgmise teisenduse:
$ 4x+7=2\cpunkt 2x+7=2\cpunkt (2x+10-10)+7=2\cpunkt(2x+10)-2\cpunkt 10+7=2\cpunkt(2x+10) -13. $$
Nüüd ilmub lugejasse vajalik avaldis $2x+10$. Ja meie integraali saab ümber kirjutada järgmiselt:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Jagame integrandi kaheks. Noh, ja vastavalt sellele on ka integraal ise "kaheharuline":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \parem)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Räägime esmalt esimesest integraalist, s.o. umbes $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Kuna $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, siis integrandi lugeja sisaldab nimetaja diferentsiaali. Lühidalt, selle asemel avaldisest $( 2x+10)dx$ kirjutame $d(x^2+10x+34)$.
Nüüd ütleme paar sõna teise integraali kohta. Valime nimetajas terve ruudu: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Lisaks võtame arvesse $dx=d(x+5)$. Nüüd saab varem saadud integraalide summa veidi teistsugusel kujul ümber kirjutada:
$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
Kui teeme esimeses integraalis asendus $u=x^2+10x+34$, siis võtab see kuju $\int\frac(du)(u)$ ja võtab lihtne kasutada teine valem alates . Mis puutub teise integraali, siis selle jaoks on muudatus $u=x+5$ teostatav, misjärel saab see kuju $\int\frac(du)(u^2+9)$. See puhas vesiüheteistkümnes valem määramata integraalide tabelist. Niisiis, naastes integraalide summa juurde, on meil:
$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Saime sama vastuse nagu valemi rakendamisel, mis rangelt võttes pole üllatav. Üldiselt tõestatakse valemit samade meetoditega, mida kasutasime selle integraali leidmiseks. Usun, et tähelepanelikul lugejal võib siin tekkida üks küsimus, seega sõnastan selle:
Küsimus nr 1
Kui rakendada teist valemit määramata integraalide tabelist integraalile $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, siis saame järgmise:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Miks lahenduses moodulit polnud?
Vastus küsimusele nr 1
Küsimus on täiesti loomulik. Moodul puudus ainult seetõttu, et mis tahes $x\in R$ avaldis $x^2+10x+34$ on suurem kui null. Seda on üsna lihtne mitmel viisil näidata. Näiteks kuna $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ja $(x+5)^2 ≥ 0$, siis $(x+5)^2+9 > 0$ . Võite mõelda teisiti, ilma terve ruudu valikut kasutamata. Alates $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ mis tahes $x\in R$ (kui see loogiline ahel on üllatav, soovitan teil vaadata ruutvõrratuste lahendamise graafilist meetodit). Igal juhul kuna $x^2+10x+34 > 0$, siis $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, s.o. Mooduli asemel võite kasutada tavalisi sulgusid.
Kõik näite nr 1 punktid on lahendatud, jääb üle vaid vastus kirja panna.
Vastus:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.
Näide nr 2
Leidke integraal $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
Integrandi murd $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ on esmapilgul väga sarnane kolmanda tüübi elementaarmurdule, s.t. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ järgi. Tundub, et ainus erinevus on $x^2$ ees olev koefitsient $3$, kuid koefitsiendi eemaldamine (sulgudest välja panemine) ei võta kaua aega. See sarnasus on aga ilmne. Murru $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ puhul on tingimus $p^2-4q kohustuslik< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Meie koefitsient enne $x^2$ ei ole võrdne ühega, seetõttu kontrollige tingimust $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант ruutvõrrand$x^2+px+q=0$. Kui diskrimineerija vähem kui null, siis ei saa avaldist $x^2+px+q$ faktoriseerida. Arvutame meie murru nimetajas paikneva polünoomi $3x^2-5x-2$ diskriminandi: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Seega $D > 0$, seega saab avaldise $3x^2-5x-2$ faktoriseerida. See tähendab, et murd $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ei ole kolmanda tüübi elementaarmurd ja rakendatakse $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) integraali 5x-2)dx$ valemiga pole võimalik.
Noh, kui antud ratsionaalne murd ei ole elementaarmurd, siis tuleb see esitada elementaarmurdude summana ja seejärel integreerida. Ühesõnaga, kasutage rada ära. Kuidas ratsionaalne murd elementaarseteks lagundada, on üksikasjalikult kirjutatud. Alustuseks arvutame nimetaja:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(joondatud) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(joondatud)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$
Esitame subinterkaalse fraktsiooni järgmisel kujul:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$
Jagame nüüd murdosa $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ elementaarseteks:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\paremal). $$
Koefitsientide $A$ ja $B$ leidmiseks on kaks standardset viisi: määramata koefitsientide meetod ja osaväärtuste asendusmeetod. Rakendame osalise väärtuse asendusmeetodit, asendades $x=2$ ja seejärel $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Kuna koefitsiendid on leitud, jääb üle vaid valmis laiendus üles kirjutada:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3)+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
Põhimõtteliselt võite selle kirje jätta, kuid mulle meeldib täpsem variant:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3)+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Naastes algse integraali juurde, asendame sellega saadud laienduse. Seejärel jagame integraali kaheks ja rakendame mõlemale valemit. Eelistan paigutada konstandid kohe integraalimärgist väljapoole:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3)+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3)+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Vastus: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Näide nr 3
Leidke integraal $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Peame integreerima murdosa $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Lugeja sisaldab teise astme polünoomi ja nimetaja kolmanda astme polünoomi. Kuna polünoomi aste lugejas on väiksem kui nimetaja polünoomi aste, s.o. 2 dollarit< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x) +4)-\frac(1)(x-9). $$
Peame vaid jagama antud integraali kolmeks ja rakendama igaühele valemi. Eelistan paigutada konstandid kohe integraalimärgist väljapoole:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Vastus: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Selle teema näidete analüüsi jätk asub teises osas.
TEEMA: Ratsionaalsete murdude lõimimine.
Tähelepanu! Uurides üht integreerimise põhimeetodit: ratsionaalsete murdude integreerimist, on rangete tõestuste tegemiseks vaja arvestada kompleksvaldkonna polünoomidega. Seetõttu on vajalik eelnevalt õppima mõned kompleksarvude omadused ja tehted nendega.
Lihtratsionaalsete murdude integreerimine.
Kui P(z) Ja K(z) on kompleksvaldkonnas polünoomid, siis on need ratsionaalsed murrud. Seda nimetatakse õige, kui kraad P(z) vähem kraadi K(z) , Ja vale, kui kraad R mitte vähem kui kraad K.
Ma ei armasta õige murdosa võib esitada järgmiselt: 
,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
a R(z) – polünoom, mille aste on astmest väiksem K(z).
Seega taandub ratsionaalsete murdude integreerimine polünoomide, st astmefunktsioonide ja õigete murdude integreerimisele, kuna see on õige murd.
Definitsioon 5. Lihtsamad (või elementaar-) murrud on järgmist tüüpi murded:
1) , 2) , 3) , 4) 
.
Uurime, kuidas nad integreeruvad.
3) 
(uurinud varem).
Teoreem 5. Iga õiget murdu saab esitada lihtmurdude summana (ilma tõestuseta).
Järeldus 1. Kui on õige ratsionaalne murd ja kui polünoomi juurte hulgas on ainult lihtreaaljuured, siis murdu lihtmurdude summaks on ainult 1. tüüpi lihtmurrud:
Näide 1.
Järeldus 2. Kui on õige ratsionaalne murd ja kui polünoomi juurte hulgas on ainult mitu reaaljuurt, siis murdu lagundamisel lihtmurdude summaks on ainult 1. ja 2. tüübi lihtmurrud. :
Näide 2.
Järeldus 3. Kui on õige ratsionaalne murd ja kui polünoomi juurte hulgas on ainult lihtsad komplekssed konjugaatjuured, siis murdu lagundamisel lihtmurdude summaks on ainult 3. tüüpi lihtmurrud:
Näide 3.
Järeldus 4. Kui on õige ratsionaalne murd ja kui polünoomi juurte hulgas on ainult mitu kompleksset konjugaatjuurt, siis murdu lagundamisel lihtmurdude summaks on ainult 3. ja 4. lihtmurrud. tüübid:
Tundmatute koefitsientide määramiseks antud laiendustes toimige järgmiselt. Tundmatuid koefitsiente sisaldava laienduse vasak ja parem pool korrutatakse kahe polünoomi võrdsusega. Sellest saadakse nõutavate koefitsientide võrrandid, kasutades:
1. võrdsus kehtib kõigi X väärtuste puhul (osalise väärtuse meetod). Sel juhul saadakse suvaline arv võrrandeid, millest mis tahes m võimaldab leida tundmatuid koefitsiente.
2. koefitsiendid langevad kokku X samade astmete korral (määramatute koefitsientide meetod). Sel juhul saadakse m - võrrandite süsteem m - tundmatutega, millest leitakse tundmatud koefitsiendid.
3. kombineeritud meetod.
Näide 5. Laienda murdosa 
kõige lihtsamatele.
Lahendus:
Leiame koefitsiendid A ja B.
1. meetod – eraväärtuse meetod:
2. meetod – määramata koefitsientide meetod:
Vastus: 
Ratsionaalsete murdude integreerimine.
6. teoreem. Mis tahes ratsionaalse murru määramatu integraal mis tahes intervallil, mille nimetaja ei ole võrdne nulliga, on olemas ja seda väljendatakse elementaarfunktsioonide, nimelt ratsionaalsete murdude, logaritmide ja arctangentide kaudu.
Tõestus.
Kujutagem ette ratsionaalset murdosa kujul: 
. Sel juhul on viimane liige korralik murd ja teoreemi 5 kohaselt võib seda esitada lihtmurdude lineaarse kombinatsioonina. Seega taandatakse ratsionaalse murru integreerimine polünoomi integreerimiseks S(x)
ja lihtmurrud, mille antiderivaadid, nagu näidatud, on teoreemis näidatud kujul.
Kommenteeri. Peamine raskus on sel juhul nimetaja faktoriseerimine, see tähendab kõigi selle juurte otsimine.
Näide 1. Leidke integraal
Laadimine...
