Vähima ühiskordaja leidmine: meetodid, näited LCM-i leidmiseks. Ühisjagaja ja mitmik

Suurim ühine jagaja

2. definitsioon

Kui naturaalarv a jagub naturaalarvuga $b$, siis $b$ nimetatakse arvu $a$ jagajaks ja $a$ arvu $b$ kordseks.

Olgu $a$ ja $b$ naturaalarvud. Arvu $c$ nimetatakse nii $a$ kui ka $b$ ühisjagajaks.

Arvude $a$ ja $b$ ühisjagajate hulk on lõplik, kuna ükski neist jagajatest ei saa olla suurem kui $a$. See tähendab, et nende jagajate hulgas on suurim, mida nimetatakse arvude $a$ ja $b$ suurimaks ühisjagajaks ning mida tähistatakse järgmiste tähistega:

$GCD\(a;b)\ või \D\(a;b)$

Kahe arvu suurima ühisjagaja leidmiseks vajate:

1. Leidke sammus 2 leitud arvude korrutis. Saadud arv on soovitud suurim ühisjagaja.

Näide 1

Leidke numbrite $121$ ja $132.$ gcd

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Valige numbrid, mis sisalduvad nende numbrite laienduses

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Leidke sammus 2 leitud arvude korrutis. Saadud arv on soovitud suurim ühisjagaja.

$GCD=2\cdot 11=22$

Näide 2

Leidke monomialide gcd $63$ ja $81$.

Leiame vastavalt esitatud algoritmile. Selle jaoks:

Jagame arvud algteguriteks

63 $=3\cdot 3\cdot 7$

81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Valime numbrid, mis sisalduvad nende numbrite laienduses

63 $=3\cdot 3\cdot 7$

81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Leiame sammus 2 leitud arvude korrutise. Saadud arv on soovitud suurim ühisjagaja.

$GCD=3\cdot 3=9$

Kahe arvu gcd leiate muul viisil, kasutades arvude jagajate komplekti.

Näide 3

Leidke numbrite $48$ ja $60$ gcd.

Lahendus:

Leiame arvu $48 jagajate komplekti: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Nüüd leiame arvu $60 jagajate komplekti:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Leiame nende hulkade ristumiskoha: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ – see hulk määrab arvude $48$ ja $60 ühisjagajate hulga $. Selle komplekti suurim element on number 12 $. See tähendab, et arvude $48$ ja $60 suurim ühine jagaja on $12$.

Viivislaenu määratlus

3. määratlus

Naturaalarvude ühiskordsed$a$ ja $b$ on naturaalarv, mis on arvude $a$ ja $b$ kordne.

Arvude ühiskordsed on arvud, mis jaguvad algsete arvudega ilma jäägita. Näiteks arvude $25$ ja $50$ puhul on ühiskordseteks numbrid $50,100,150,200 $ jne.

Väikseimat ühiskordset nimetatakse väikseimaks ühiskordseks ja seda tähistatakse kui LCM$(a;b)$ või K$(a;b).$

Kahe numbri LCM-i leidmiseks peate:

1. Tegurarvud algteguriteks
2. Kirjutage üles tegurid, mis on osa esimesest arvust ja lisage neile tegurid, mis on osa teisest ja ei kuulu esimesesse

Näide 4

Leidke numbrite 99 $ ja 77 $ LCM.

Leiame vastavalt esitatud algoritmile. Selle jaoks

Tegurarvud algteguriteks

99 $=3\cdot 3\cdot 11$

Kirjutage üles esimeses sisalduvad tegurid

lisada neile kordajad, mis on osa teisest, mitte aga esimesest

Leidke sammus 2 leitud arvude korrutis. Saadud arv on soovitud vähim ühiskordne

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Arvude jagajate loendite koostamine on sageli väga töömahukas ülesanne. On olemas viis GCD leidmiseks, mida nimetatakse eukleidiliseks algoritmiks.

Väited, millel eukleidiline algoritm põhineb:

Kui $a$ ja $b$ on naturaalarvud ja $a\vdots b$, siis $D(a;b)=b$

Kui $a$ ja $b$ on naturaalarvud, nii et $b

Kasutades $D(a;b)= D(a-b;b)$, saame vaadeldavaid arve järjest vähendada, kuni jõuame sellise arvupaarini, et üks neist jagub teisega. Siis neist arvudest väiksem on arvude $a$ ja $b$ soovitud suurim ühisjagaja.

GCD ja LCM omadused

1. $a$ ja $b$ mis tahes ühiskordne jagub K$(a;b)$-ga
2. Kui $a\vdots b$ , siis К$(a;b)=a$

Kui K$(a;b)=k$ ja $m$ on naturaalarv, siis K$(am;bm)=km$

Kui $d$ on väärtuste $a$ ja $b$ ühine jagaja, siis K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Kui $a\vdots c$ ja $b\vdots c$ , siis on $\frac(ab)(c)$ väärtuste $a$ ja $b$ ühiskordne

Kõigi naturaalarvude $a$ ja $b$ puhul kehtib võrdsus

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Arvude $a$ ja $b$ mis tahes ühisjagaja on arvu $D(a;b)$ jagaja

Jätkame vestlust vähim ühiskordsest, mida alustasime jaotises “LCM – vähim ühiskordaja, määratlus, näited”. Selles teemas vaatleme viise, kuidas leida kolme või enama arvu LCM-i, ja käsitleme küsimust, kuidas leida negatiivse arvu LCM-i.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Least Common Multiple (LCM) arvutamine GCD kaudu

Oleme juba loonud seose vähima ühiskordaja ja suurima ühisjagaja vahel. Nüüd õpime, kuidas GCD abil LCM-i määrata. Kõigepealt mõelgem välja, kuidas seda positiivsete arvude puhul teha.

Definitsioon 1

Väikseima ühiskordaja leiate suurima ühisjagaja kaudu valemiga LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Näide 1

Peate leidma numbrite 126 ja 70 LCM-i.

Lahendus

Võtame a = 126, b = 70. Asendame väärtused väikseima ühiskordse arvutamise valemis suurima ühisjagaja kaudu LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Leiab arvude 70 ja 126 gcd. Selleks vajame eukleidilist algoritmi: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, seega GCD (126 , 70) = 14 .

Arvutame LCM-i: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Vastus: LCM(126; 70) = 630.

Näide 2

Leidke numbrid 68 ja 34.

Lahendus

GCD-d pole sel juhul raske leida, kuna 68 jagub 34-ga. Arvutame väikseima ühiskordse valemi abil: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Vastus: LCM(68; 34) = 68.

Selles näites kasutasime positiivsete täisarvude a ja b vähima ühiskordse leidmiseks reeglit: kui esimene arv jagub teisega, on nende arvude LCM võrdne esimese arvuga.

LCM-i leidmine arvude algteguriteks faktoriseerimise teel

Nüüd vaatame LCM-i leidmise meetodit, mis põhineb arvude algteguriteks arvutamisel.

2. definitsioon

Vähima ühiskordaja leidmiseks peame tegema mitmeid lihtsaid samme:

• koostame nende arvude kõigi algtegurite korrutise, mille jaoks peame leidma LCM-i;
• me jätame nende tulemuseks olevatest toodetest välja kõik peamised tegurid;
• pärast ühiste algtegurite kõrvaldamist saadud korrutis on võrdne antud arvude LCM-iga.

See vähima ühiskordaja leidmise meetod põhineb võrdusel LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Kui vaadata valemit, siis selgub: arvude a ja b korrutis võrdub kõigi nende kahe arvu lagunemisel osalevate tegurite korrutisega. Sel juhul on kahe arvu gcd võrdne kõigi nende kahe arvu faktorisatsioonis samaaegselt esinevate algtegurite korrutisega.

Näide 3

Meil on kaks numbrit 75 ja 210. Saame neid arvutada järgmiselt: 75 = 3 5 5 Ja 210 = 2 3 5 7. Kui moodustate kahe algarvu kõigi tegurite korrutise, saate: 2 3 3 5 5 5 7.

Kui jätame välja nii arvude 3 kui ka 5 ühised tegurid, saame järgmise kujuga korrutise: 2 3 5 5 7 = 1050. Sellest tootest saab meie LCM numbrite 75 ja 210 jaoks.

Näide 4

Leidke numbrite LCM 441 Ja 700 , arvestades mõlemad arvud algteguriteks.

Lahendus

Leiame kõik tingimuses antud arvude algtegurid:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Saame kaks arvuahelat: 441 = 3 3 7 7 ja 700 = 2 2 5 5 7.

Kõigi nende arvude lagunemisel osalenud tegurite korrutis on järgmine: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Leiame ühised tegurid. See on number 7. Jätame selle toote koguarvust välja: 2 2 3 3 5 5 7 7. Selgub, et NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Vastus: LOC(441; 700) = 44 100.

Esitame veel ühe meetodi sõnastus LCM-i leidmiseks, jagades arvud algteguriteks.

3. määratlus

Varem jätsime mõlemale arvule ühiste tegurite koguarvust välja. Nüüd teeme seda teisiti:

• Kombineerime mõlemad arvud algteguriteks:
• liita esimese arvu algtegurite korrutisele teise arvu puuduvad tegurid;
• saame toote, mis on soovitud kahe numbri LCM.

Näide 5

Pöördume tagasi numbrite 75 ja 210 juurde, mille jaoks me juba ühes eelmises näites LCM-i otsisime. Jaotame need lihtsateks teguriteks: 75 = 3 5 5 Ja 210 = 2 3 5 7. Koefitsientide 3, 5 ja korrutisesse 5 numbrid 75 lisavad puuduvad tegurid 2 Ja 7 numbrid 210. Saame: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . See on numbrite 75 ja 210 LCM.

Näide 6

On vaja arvutada numbrite 84 ja 648 LCM.

Lahendus

Jaotame tingimuse arvud lihtsateks teguriteks: 84 = 2 2 3 7 Ja 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Lisame korrutisele tegurid 2, 2, 3 ja 7 numbrid 84 puuduvad tegurid 2, 3, 3 ja
3 numbrid 648. Saame toote kätte 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. See on 84 ja 648 vähim ühiskordne.

Vastus: LCM(84648) = 4536.

Kolme või enama numbri LCM-i leidmine

Sõltumata sellest, kui paljude arvudega me tegeleme, on meie toimingute algoritm alati sama: leiame järjestikku kahe arvu LCM-i. Selle juhtumi jaoks on olemas teoreem.

1. teoreem

Oletame, et meil on täisarvud a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k need arvud leitakse, arvutades järjestikku m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Nüüd vaatame, kuidas saab teoreemi konkreetsete probleemide lahendamiseks rakendada.

Näide 7

Peate arvutama nelja arvu 140, 9, 54 ja vähima ühiskordse 250 .

Lahendus

Tutvustame tähistust: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Alustuseks arvutame m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Arvude 140 ja 9 GCD arvutamiseks rakendame eukleidilist algoritmi: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Saame: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Seetõttu m 2 = 1260.

Nüüd arvutame sama algoritmi abil m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Arvutuste käigus saame m 3 = 3 780.

Peame vaid arvutama m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Me järgime sama algoritmi. Saame m 4 = 94 500.

Näidistingimuse nelja numbri LCM on 94500.

Vastus: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Nagu näete, on arvutused lihtsad, kuid üsna töömahukad. Aja säästmiseks võite minna muul viisil.

4. definitsioon

Pakume teile järgmist toimingute algoritmi:

• lagundame kõik arvud algteguriteks;
• esimese arvu tegurite korrutisele liidame puuduvad tegurid teise arvu korrutisest;
• eelmises etapis saadud korrutisele lisame kolmanda arvu puuduvad tegurid jne;
• saadud korrutis on tingimuse kõigi arvude vähim ühiskordne.

Näide 8

Peate leidma viie numbri 84, 6, 48, 7, 143 LCM-i.

Lahendus

Korrigeerime kõik viis arvu algteguriteks: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. algarvud, mis on arv 7, ei saa algteguriteks faktoreerida. Sellised arvud langevad kokku nende lagunemisega algteguriteks.

Nüüd võtame arvu 84 algtegurite 2, 2, 3 ja 7 korrutise ja liidame neile teise arvu puuduvad tegurid. Jagasime arvu 6 kaheks ja 3-ks. Need tegurid on juba esimese numbri korrutises. Seetõttu jätame need välja.

Jätkame puuduvate kordajate lisamist. Liigume edasi arvu 48 juurde, mille algtegurite korrutisest võtame 2 ja 2. Seejärel liidame neljanda arvu algteguri 7 ning viienda arvu tegurid 11 ja 13. Saame: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. See on algse viie arvu väikseim ühiskordne.

Vastus: LCM(84; 6; 48; 7; 143) = 48 048.

Negatiivsete arvude vähima ühiskordse leidmine

Vähima ühiskordse leidmiseks negatiivsed arvud, tuleb need numbrid esmalt asendada vastupidise märgiga numbritega ja seejärel teha arvutused ülaltoodud algoritmide abil.

Näide 9

LCM (54, -34) = LCM (54, 34) ja LCM (-622, -46, -54, -888) = LCM (622, -46,54,888).

Sellised toimingud on lubatavad, kuna me sellega nõustume a Ja − a- vastandarvud,
siis arvu kordsete hulk aühtib arvu kordsete hulgaga − a.

Näide 10

On vaja arvutada negatiivsete arvude LCM − 145 Ja − 45 .

Lahendus

Asendame numbrid − 145 Ja − 45 nende vastandarvudele 145 Ja 45 . Nüüd, kasutades algoritmi, arvutame LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, olles eelnevalt määranud GCD eukleidilise algoritmi abil.

Saame, et arvude LCM on − 145 ja − 45 võrdub 1 305 .

Vastus: LCM (− 145, − 45) = 1305.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Teine number: b=

Tuhande eraldaja Ilma tühiku eraldajata "´

Tulemus:

Suurim ühisjagaja gcd( a,b)=6

LCM(i vähim ühiskordne a,b)=468

Nimetatakse suurimat naturaalarvu, mida saab ilma jäägita jagada arvudega a ja b suurim ühine jagaja(GCD) nendest numbritest. Tähistatakse gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) või hcf(a,b).

Vähim ühine kordne Kahe täisarvu a ja b LCM on väikseim naturaalarv, mis jagub a ja b-ga ilma jäägita. Tähistatakse kui LCM(a,b) või lcm(a,b).

Kutsutakse täisarve a ja b vastastikku prime, kui neil pole muid ühiseid jagajaid peale +1 ja –1.

Suurim ühine jagaja

Olgu antud kaks positiivset arvu a 1 ja a 2 1). On vaja leida nende arvude ühisjagaja, s.o. leida selline number λ , mis jagab numbreid a 1 ja a 2 samal ajal. Kirjeldame algoritmi.

1) Selles artiklis mõistetakse sõna number täisarvuna.

Lase a 1 ≥ a 2 ja lase

Kus m 1 , a 3 on mõned täisarvud, a 3 <a 2 (ülejäänud osa a 1 per a 2 peaks olema vähem a 2).

Teeskleme seda λ jagab a 1 ja a 2 siis λ jagab m 1 a 2 ja λ jagab a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Artikli „Arvude jaguvus. Jaguvuse test“ väide 2). Sellest järeldub, et iga ühine jagaja a 1 ja a 2 on ühisjagaja a 2 ja a 3. Ka vastupidine on tõsi, kui λ ühine jagaja a 2 ja a 3 siis m 1 a 2 ja a 1 =m 1 a 2 +a 3 on samuti jagatav λ . Seetõttu ühine jagaja a 2 ja a 3 on samuti ühine jagaja a 1 ja a 2. Sest a 3 <a 2 ≤a 1, siis võime öelda, et arvude ühisjagaja leidmise ülesande lahendus a 1 ja a 2 taandatakse lihtsamaks ülesandeks leida arvude ühisjagaja a 2 ja a 3 .

Kui a 3 ≠0, siis saame jagada a 2 sisse a 3. Siis

,

Kus m 1 ja a 4 on mõned täisarvud, ( a 4 ülejäänud jaotusest a 2 sisse a 3 (a 4 <a 3)). Sarnaste arutluste põhjal jõuame järeldusele, et arvude ühised jagajad a 3 ja a 4 langeb kokku arvude tavaliste jagajatega a 2 ja a 3 ja ka ühiste jagajatega a 1 ja a 2. Sest a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... on arvud, mis pidevalt vähenevad ja kuna nende vahel on lõplik arv täisarve a 2 ja 0, siis mingil sammul n, ülejäänud osa a n edasi a n+1 on võrdne nulliga ( a n+2 =0).

.

Iga ühine jagaja λ numbrid a 1 ja a 2 on ka arvude jagaja a 2 ja a 3 , a 3 ja a 4 , .... a n ja a n+1. Tõsi on ka vastupidi, arvude ühised jagajad a n ja a n+1 on ka arvude jagajad a n-1 ja a n , .... , a 2 ja a 3 , a 1 ja a 2. Aga arvude ühisjagaja a n ja a n+1 on arv a n+1, sest a n ja a n+1 jaguvad arvuga a n+1 (pidage meeles a n+2 =0). Seega a n+1 on ka arvude jagaja a 1 ja a 2 .

Pange tähele, et number a n+1 on arvude suurim jagaja a n ja a n+1 , kuna suurim jagaja a n+1 on ta ise a n+1. Kui a n+1 saab esitada täisarvude korrutisena, siis on need arvud ka arvude tavalised jagajad a 1 ja a 2. Number a n+1 nimetatakse suurim ühine jagaja numbrid a 1 ja a 2 .

Numbrid a 1 ja a 2 võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed arvud. Kui üks arvudest on võrdne nulliga, võrdub nende arvude suurim ühisjagaja teise arvu absoluutväärtusega. Nullarvude suurim ühisjagaja on määratlemata.

Ülaltoodud algoritmi nimetatakse Eukleidiline algoritm kahe täisarvu suurima ühisjagaja leidmiseks.

Näide kahe arvu suurima ühisjagaja leidmisest

Leidke kahe arvu 630 ja 434 suurim ühisjagaja.

• 1. samm. Jagage arv 630 434-ga. Ülejäänud osa on 196.
• 2. samm. Jagage arv 434 196-ga. Ülejäänud osa on 42.
• Samm 3. Jagage arv 196 42-ga. Ülejäänud osa on 28.
• Samm 4. Jagage arv 42 28-ga. Ülejäänud osa on 14.
• Samm 5. Jagage arv 28 14-ga. Ülejäänud osa on 0.

Sammus 5 on jagamise jääk 0. Seetõttu on arvude 630 ja 434 suurim ühisjagaja 14. Pange tähele, et arvud 2 ja 7 on ka arvude 630 ja 434 jagajad.

Koaprarvud

Definitsioon 1. Olgu arvude suurim ühisjagaja a 1 ja a 2 on võrdne ühega. Siis kutsutakse neid numbreid koalgarvud, millel puudub ühine jagaja.

Teoreem 1. Kui a 1 ja a 2 koalgarvu ja λ mingi arv, siis mis tahes arvude ühisjagaja λa 1 ja a 2 on ka arvude ühine jagaja λ Ja a 2 .

Tõestus. Mõelge arvude suurima ühisjagaja leidmiseks eukleidilisele algoritmile a 1 ja a 2 (vt eespool).

.

Teoreemi tingimustest järeldub, et arvude suurim ühisjagaja a 1 ja a 2 ja seetõttu a n ja a n+1 on 1. See tähendab a n+1 =1.

Korrutame kõik need võrdsused arvuga λ , Siis

.

Olgu ühisjagaja a 1 λ Ja a 2 jah δ . Siis δ sisaldub kordajana a 1 λ , m 1 a 2 λ ja sisse a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (vt "Arvude jagatavus", väide 2). Edasi δ sisaldub kordajana a 2 λ Ja m 2 a 3 λ , ja seetõttu on see kaasatud tegurina a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Sel viisil arutledes oleme selles veendunud δ sisaldub kordajana a n-1 λ Ja m n-1 a n λ ja seega sisse a n-1 λ −m n-1 a n λ =a n+1 λ . Sest a n+1 =1, siis δ sisaldub kordajana λ . Seetõttu number δ on arvude ühisjagaja λ Ja a 2 .

Vaatleme teoreemi 1 erijuhtumeid.

Tagajärg 1. Lase a Ja c Algarvud on suhteliselt b. Siis nende toode ac suhtes on algarv b.

Tõesti. 1. teoreemist ac Ja b neil on samad ühised jagajad nagu c Ja b. Aga numbrid c Ja b suhteliselt lihtne, s.t. neil on üks ühine jagaja 1. Siis ac Ja b neil on ka üks ühine jagaja 1. Seetõttu ac Ja b vastastikku lihtne.

Tagajärg 2. Lase a Ja b koalgarvud ja let b jagab ak. Siis b jagab ja k.

Tõesti. Heakskiitmise tingimusest ak Ja b neil on ühine jagaja b. teoreemi 1 alusel b peab olema ühine jagaja b Ja k. Seega b jagab k.

Järeldust 1 võib üldistada.

Tagajärg 3. 1. Lase numbrid a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m on arvu suhtes algarvud b. Siis a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, on nende arvude korrutis arvu suhtes algmäär b.

2. Olgu meil kaks numbririda

nii, et iga arv esimeses reas on algarvuks teise rea kõigi arvude suhtes. Siis toode

Peate leidma arvud, mis jaguvad kõigi nende arvudega.

Kui arv jagub arvuga a 1, siis on sellel vorm sa 1 kus s mingi number. Kui q on arvude suurim ühisjagaja a 1 ja a 2, siis

Kus s 1 on mingi täisarv. Siis

on arvude vähim ühised kordsed a 1 ja a 2 .

a 1 ja a 2 on suhteliselt algarvud, siis arvude vähim ühiskordne a 1 ja a 2:

Peame leidma nende arvude vähima ühiskordse.

Eeltoodust järeldub, et mis tahes arvude kordne a 1 , a 2 , a 3 peab olema arvude kordne ε Ja a 3 ja tagasi. Olgu arvude vähim ühiskordne ε Ja a 3 jah ε 1 . Järgmiseks arvude kordsed a 1 , a 2 , a 3 , a 4 peab olema arvude kordne ε 1 ja a 4 . Olgu arvude vähim ühiskordne ε 1 ja a 4 jah ε 2. Nii saime teada, et kõik arvude kordsed a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ühtivad teatud arvu kordsetega ε n, mida nimetatakse antud arvude vähimaks ühiskordseks.

Erijuhul, kui numbrid a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m on suhteliselt algarvud, siis arvude vähim ühiskordne a 1 , a 2, nagu ülal näidatud, on kujul (3). Järgmine, alates a 3 algarvu arvude suhtes a 1 , a 2 siis a 3 algarv a 1 · a 2 (järeldus 1). Tähendab arvude vähimat ühiskordset a 1 ,a 2 ,a 3 on arv a 1 · a 2 · a 3. Sarnasel viisil arutledes jõuame järgmiste väideteni.

avaldus 1. Koalgarvude vähim ühiskordne a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m on võrdne nende korrutisega a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

avaldus 2. Iga arv, mis jagub iga koalgarvuga a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m jagub samuti nende korrutisega a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Mitmekordne on arv, mis jagub antud arvuga ilma jäägita. Arvude rühma vähim ühiskordne (LCM) on väikseim arv, mis jagub rühma iga arvuga jääki jätmata. Vähima ühiskordse leidmiseks peate leidma antud arvude algtegurid. LCM-i saab arvutada ka mitmete muude meetodite abil, mis kehtivad kahe või enama numbriga rühmade puhul.

Sammud

Mitmekordsete seeria

Vaadake neid numbreid. Siin kirjeldatud meetodit on kõige parem kasutada, kui on antud kaks arvu, millest igaüks on väiksem kui 10. Kui on antud suuremad arvud, kasutage teist meetodit.

• Näiteks leidke 5 ja 8 vähim ühiskordne. Need on väikesed arvud, nii et saate seda meetodit kasutada.

1. Mitmekordne on arv, mis jagub antud arvuga ilma jäägita. Korrutised leiate korrutustabelist.

   • Näiteks arvud, mis on 5-kordsed, on: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Kirjutage üles arvude jada, mis on esimese arvu kordsed. Tehke seda esimese arvu kordsete all, et võrrelda kahte arvude komplekti.

   • Näiteks arvud, mis on 8-kordsed, on: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ja 64.

3. Leidke väikseim arv, mis esineb mõlemas kordajate hulgas. Koguarvu leidmiseks peate võib-olla kirjutama pikki kordiseid. Väikseim arv, mis esineb mõlemas kordajate hulgas, on väikseim ühiskordne.

   • Näiteks väikseim arv, mis 5 ja 8 kordajate reas esineb, on arv 40. Seetõttu on 40 arvude 5 ja 8 vähim ühiskordne.

   Peamine faktoriseerimine

   1. Vaadake neid numbreid. Siin kirjeldatud meetodit on kõige parem kasutada siis, kui on antud kaks arvu, millest igaüks on suurem kui 10. Kui on antud väiksemad arvud, kasutage teist meetodit.

      • Näiteks leidke arvude 20 ja 84 vähim ühiskordne. Iga arv on suurem kui 10, nii et saate seda meetodit kasutada.

   2. Korrigeerige esimene arv algteguriteks. See tähendab, et peate leidma sellised algarvud, mille korrutamisel saadakse antud arv. Kui olete algtegurid leidnud, kirjutage need võrdseteks.

      • Näiteks, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Ja 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Seega on arvu 20 algteguriteks arvud 2, 2 ja 5. Kirjutage need avaldisena: .

   3. Teisendage teine ​​arv algteguriteks. Tehke seda samamoodi, nagu arvutasite esimese arvu, st leidke sellised algarvud, mille korrutamisel saadakse antud arv.

      • Näiteks, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Ja 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Seega on arvu 84 algteguriteks arvud 2, 7, 3 ja 2. Kirjuta need avaldisena: .

   4. Kirjutage üles mõlema arvu ühised tegurid. Kirjutage sellised tegurid korrutustehtena. Iga teguri kirjutamisel kriipsutage see mõlemas avaldises läbi (avaldised, mis kirjeldavad arvude faktoriseerimist algteguriteks).

      • Näiteks mõlemal arvul on ühine tegur 2, nii et kirjuta 2 × (\displaystyle 2\times) ja kriipsutage mõlemas väljendis läbi 2.
      • Mõlemal arvul on ühine tegur 2, nii et kirjutage 2 × 2 (\displaystyle 2\ korda 2) ja kriipsutage mõlemas avaldises teine ​​2 läbi.

   5. Lisa ülejäänud tegurid korrutustehtele. Need on tegurid, mis pole mõlemas avaldises läbi kriipsutatud, st tegurid, mis ei ole mõlema arvu jaoks ühised.

      • Näiteks väljendis 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\ korda 2\ korda 5) Mõlemad kaks (2) on läbi kriipsutatud, kuna need on ühised tegurid. Koefitsient 5 ei ole läbi kriipsutatud, seega kirjutage korrutustehte järgmiselt: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\ korda 2\ korda 5)
      • Väljenduses 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84 = 2 korda 7 korda 3 korda 2) mõlemad kahed (2) on samuti läbi kriipsutatud. Tegureid 7 ja 3 läbi ei kriipsutata, seega kirjutage korrutustehte järgmiselt: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\ korda 2\ korda 5\ korda 7 korda 3).

   6. Arvutage vähim ühiskordne. Selleks korrutage kirjutatud korrutustehtega arvud.

      • Näiteks, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\ korda 2\ korda 5\ korda 7 korda 3 = 420). Seega on 20 ja 84 vähim ühiskordne 420.

   Ühiste tegurite leidmine

   1. Joonistage ruudustik nagu tic-tac-toe mängu jaoks. Selline ruudustik koosneb kahest paralleelsest sirgest, mis ristuvad (täisnurga all) teise kahe paralleelse sirgega. See annab teile kolm rida ja kolm veergu (ruudustik sarnaneb ikooniga #). Kirjutage esimene number esimesse rida ja teise veergu. Kirjutage teine ​​number esimesse rida ja kolmandasse veergu.

      • Näiteks leidke arvude 18 ja 30 vähim ühiskordne. Esimesse ritta ja teise veergu kirjutage arv 18 ning esimesse ritta ja kolmandasse veergu arv 30.

   2. Leidke mõlema arvu ühine jagaja. Kirjutage see esimesse rida ja esimesse veergu. Parem on otsida esmaseid tegureid, kuid see pole nõue.

      • Näiteks 18 ja 30 on paarisarvud, seega on nende ühine tegur 2. Seega kirjutage esimesse ritta ja esimesse veergu 2.

   3. Jagage iga arv esimese jagajaga. Kirjutage iga jagatis vastava numbri alla. Jagatis on kahe arvu jagamise tulemus.

      • Näiteks, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2 = 9), seega kirjutage 9 alla 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), seega kirjutage 15 alla 30.

   4. Leidke mõlema jagatise ühine jagaja. Kui sellist jagajat pole, jätke järgmised kaks sammu vahele. Vastasel juhul kirjutage jagaja teise rida ja esimesse veergu.

      • Näiteks 9 ja 15 jaguvad 3-ga, seega kirjutage teise rida ja esimesse veergu 3.

   5. Jagage iga jagatis selle teise jagajaga. Kirjutage iga jagamise tulemus vastava jagatise alla.

      • Näiteks, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), seega kirjutage 3 alla 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3 = 5), seega kirjutage 5 alla 15.

   6. Vajadusel lisage ruudustikule täiendavaid lahtreid. Korrake kirjeldatud samme, kuni jagatistel on ühine jagaja.

   7. Tõmmake ruudustiku esimeses veerus ja viimases reas numbrid ümber. Seejärel kirjutage valitud arvud korrutustehtena.

      • Näiteks numbrid 2 ja 3 on esimeses veerus ning numbrid 3 ja 5 on viimases reas, seega kirjutage korrutustehte järgmiselt: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\ korda 3\ korda 3\ korda 5).

   8. Leidke arvude korrutamise tulemus. See arvutab kahe antud arvu väikseima ühiskordse.

      • Näiteks, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\kuvastiil 2\ korda 3\ korda 3\ korda 5 = 90). Seega on 18 ja 30 vähim ühiskordne 90.

   Eukleidese algoritm

   1. Pidage meeles jagamise operatsiooniga seotud terminoloogiat. Dividend on arv, mida jagatakse. Jagaja on arv, millega jagatakse. Jagatis on kahe arvu jagamise tulemus. Jääk on arv, mis jääb kahe arvu jagamisel.

      • Näiteks väljendis 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 on dividend
        6 on jagaja
        2 on jagatis
        3 on ülejäänud osa.

Koolilastele antakse palju matemaatika ülesandeid. Nende hulgas on väga sageli probleeme järgmise sõnastusega: on kaks tähendust. Kuidas leida antud arvude vähim ühiskordne? Selliseid ülesandeid on vaja osata täita, kuna omandatud oskusi kasutatakse erinevate nimetajatega murdudega töötamiseks. Selles artiklis vaatleme, kuidas leida LOC ja põhimõisteid.

Enne vastuse leidmist küsimusele, kuidas leida LCM-i, peate määratlema termini mitu. Kõige sagedamini kõlab selle mõiste sõnastus järgmiselt: teatud väärtuse A kordne on naturaalarv, mis jagub A-ga ilma jäägita. ja nii edasi nõutava piirini.

Sel juhul saab konkreetse väärtuse jagajate arvu piirata, kuid kordajaid on lõpmatult palju. Sama väärtus on ka loodusväärtustel. See on näitaja, mis jaguneb nendeks ilma jäägita. Olles mõistnud teatud näitajate väikseima väärtuse mõistet, liigume edasi selle leidmise juurde.

NOC leidmine

Kahe või enama eksponendi vähim kordne on väikseim naturaalarv, mis jagub täielikult kõigi määratud arvudega.

Sellise väärtuse leidmiseks on mitu võimalust, kaaluge järgmisi meetodeid:

1. Kui arvud on väikesed, siis kirjutage reale kõik sellega jaguvad numbrid. Tehke seda seni, kuni leiate nende seast midagi ühist. Kirjalikult tähistatakse neid tähega K. Näiteks 4 ja 3 puhul on väikseim kordne 12.
2. Kui need on suured või teil on vaja leida kolme või enama väärtuse kordne, peaksite kasutama mõnda muud tehnikat, mis hõlmab arvude jaotamist algteguriteks. Esmalt pange välja loetletud suurim, seejärel kõik teised. Igal neist on oma kordajate arv. Näitena lagundame 20 (2*2*5) ja 50 (5*5*2). Väiksema puhul tõmmake tegurid alla ja lisage need suurimale. Tulemuseks on 100, mis on ülaltoodud arvude vähim ühiskordne.
3. 3 numbri (16, 24 ja 36) leidmisel on põhimõtted samad, mis ülejäänud kahe puhul. Laiendame igaüks neist: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Arvu 16 laiendusest ei arvestatud suurimate laiendisse vaid kaks kahest. Liidame need kokku ja saame 144, mis on eelnevalt näidatud arvväärtuste puhul väikseim tulemus.

Nüüd teame, milline on üldine tehnika kahe, kolme või enama väärtuse väikseima väärtuse leidmiseks. Siiski on ka privaatseid meetodeid, aidates NOC-i otsida, kui eelmised ei aita.

Kuidas leida GCD ja NOC.

Privaatsed leidmise meetodid

Nagu iga matemaatilise jaotise puhul, on ka LCM-i leidmisel erijuhtumeid, mis aitavad konkreetsetes olukordades.

• kui üks arvudest jagub teistega ilma jäägita, siis on nende arvude väikseim kordne (60 ja 15 LCM on 15);
• suhteliselt algarvudel ühiseid algtegureid pole. Nende väikseim väärtus on võrdne nende arvude korrutisega. Seega on numbrite 7 ja 8 puhul 56;
• sama reegel kehtib ka muudel juhtudel, sealhulgas erijuhtudel, mille kohta saab lugeda erialakirjandusest. See peaks hõlmama ka liitarvude lagunemise juhtumeid, mis on üksikute artiklite ja isegi kandidaadiväitekirjade teemaks.

Erijuhtumid on vähem levinud kui standardnäidised. Kuid tänu neile saate õppida töötama erineva keerukusastmega murdosadega. See kehtib eriti murdude kohta, kus on ebavõrdsed nimetajad.

Mõned näited

Vaatame mõnda näidet, mis aitavad teil mõista vähima mitmekordse leidmise põhimõtet:

1. Leidke LOC (35; 40). Esmalt lagundame 35 = 5*7, seejärel 40 = 5*8. Lisage väikseimale arvule 8 ja saate LOC 280.
2. NOC (45; 54). Me lagundame igaüks neist: 45 = 3 * 3 * 5 ja 54 = 3 * 3 * 6. Lisame arvu 6 kuni 45. Saame LCM-i, mis on võrdne 270-ga.
3. Noh, viimane näide. Neid on 5 ja 4. Nendel algkordajaid pole, seega on väikseim ühiskordne sel juhul nende korrutis, mis võrdub 20-ga.

Tänu näidetele saate aru, kuidas NOC asub, millised on nüansid ja mis on selliste manipulatsioonide tähendus.

NOC leidmine on palju lihtsam, kui esialgu võib tunduda. Selleks kasutatakse nii lihtsat laiendamist kui ka lihtsate väärtuste korrutamist üksteisega. Oskus töötada selle matemaatika osaga aitab edasi õppida matemaatilisi teemasid, eriti erineva keerukusastmega murde.

Ärge unustage perioodiliselt erinevaid meetodeid kasutades näiteid lahendada; see arendab teie loogilist aparaati ja võimaldab teil meeles pidada mitmeid termineid. Õppige sellist eksponenti leidma ja saate ülejäänud matemaatika osades hästi hakkama. Head matemaatika õppimist!

Video

See video aitab teil mõista ja meeles pidada, kuidas leida kõige vähem levinud kordne.