Esitage aste negatiivse täisarvu eksponendiga. Arvu aste: määratlused, tähistus, näited

Esimene tase

Kraad ja selle omadused. Põhjalik juhend (2019)

Miks on kraade vaja? Kus sa neid vajad? Miks peate nende õppimisele aega kulutama?

Et õppida kõike kraadide kohta, milleks need on mõeldud ja kuidas oma teadmisi kasutada Igapäevane elu lugege seda artiklit.

Ja muidugi lähendab kraadide teadmine edukas tarne OGE või USE ja astuda oma unistuste ülikooli.

Lähme... (Lähme!)

Oluline märkus! Kui valemite asemel näete jaburat, tühjendage vahemälu. Selleks vajutage klahvikombinatsiooni CTRL+F5 (Windowsis) või Cmd+R (Maci puhul).

ESIMESE TASE

Astendamine on sama matemaatiline tehe nagu liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine.

Nüüd selgitan kõike inimkeeli väga lihtsaid näiteid. Ole ettevaatlik. Näited on elementaarsed, kuid selgitavad olulisi asju.

Alustame lisamisega.

Siin pole midagi seletada. Sa tead juba kõike: meid on kaheksa. Mõlemas on kaks pudelit koolat. Kui palju koolat? Täpselt nii – 16 pudelit.

Nüüd korrutamine.

Sama näite koolaga saab kirjutada erineval viisil: . Matemaatikud on kavalad ja laisad inimesed. Esmalt märkavad nad mõnda mustrit ja siis leiavad viisi, kuidas neid kiiremini "loendada". Meie puhul märkasid nad, et kõigil kaheksal inimesel oli sama palju koolapudeleid ja nad leidsid tehnika, mida nimetatakse korrutamiseks. Nõus, seda peetakse lihtsamaks ja kiiremaks kui.

Seega, et loendada kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta, peate lihtsalt meeles pidama korrutustabel. Muidugi saab kõike teha ka aeglasemalt, raskemini ja vigadega! Aga…

Siin on korrutustabel. Korda.

Ja veel üks ilusam:

Ja mida veel keerulisi nippe laisad matemaatikud tulid arveid välja? Õigesti - arvu tõstmine astmeni.

Arvu tõstmine astmeni

Kui peate arvu endaga viis korda korrutama, siis matemaatikud ütlevad, et peate selle arvu viienda astmeni tõstma. Näiteks, . Matemaatikud mäletavad, et kaks kuni viies aste on. Ja nad lahendavad sellised probleemid oma mõtetes – kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta.

Selleks on vaja ainult pidage meeles, mis on numbrite astmete tabelis värviliselt esile tõstetud. Uskuge mind, see muudab teie elu palju lihtsamaks.

Muide, miks nimetatakse teist kraadi ruut numbrid ja kolmas kuubik? Mida see tähendab? Väga hea küsimus. Nüüd on teil nii ruudud kui ka kuubikud.

Näide päriselust nr 1

Alustame ruudust või arvu teisest astmest.

Kujutage ette ruudukujulist basseini, mille mõõtmed on meetrit meetrit. Bassein on teie tagahoovis. On palav ja ma tahan väga ujuda. Aga ... bassein ilma põhjata! Basseini põhi on vaja katta plaatidega. Mitu plaati vajate? Selle kindlaksmääramiseks peate teadma basseini põhja pindala.

Saate lihtsalt näpuga torkades kokku lugeda, et basseini põhi koosneb meeterhaaval kuubikutest. Kui teie plaadid on meeter-meetri haaval, vajate tükke. See on lihtne... Aga kus sa sellist plaati nägid? Plaat tuleb pigem cm kaupa ja siis piinleb “näpuga lugedes”. Siis tuleb korrutada. Seega paigaldame basseini põhja ühele küljele plaadid (tükid) ja teisele ka plaadid. Korrutades saate plaadid ().

Kas märkasite, et basseini põhja pindala määramiseks korrutasime sama arvu iseendaga? Mida see tähendab? Kuna sama arv korrutatakse, saame kasutada astendamise tehnikat. (Muidugi, kui teil on ainult kaks arvu, peate need ikkagi korrutama või tõstma astmeni. Aga kui neid on palju, siis on astmeni tõstmine palju lihtsam ja arvutustes on ka vähem vigu. Eksami jaoks on see väga oluline).
Niisiis, kolmkümmend kuni teine ​​aste on (). Või võite öelda, et kolmkümmend ruutu tuleb. Teisisõnu, arvu teist astet saab alati esitada ruuduna. Ja vastupidi, kui näete ruutu, on see ALATI mõne arvu teine ​​aste. Ruut on arvu teise astme kujutis.

Näide päriselust nr 2

Siin on teile ülesanne: loendage, mitu ruutu on malelaual, kasutades numbri ruutu ... Ühel pool lahtreid ja ka teisel pool. Nende arvu kokkulugemiseks peate korrutama kaheksa kaheksaga või ... kui märkate, et malelaud on küljega ruut, siis saate kaheksa ruutu. Hangi rakud. () Nii et?

Näide päriselust nr 3

Nüüd kuup ehk arvu kolmas aste. Sama bassein. Kuid nüüd peate välja selgitama, kui palju vett tuleb sellesse basseini valada. Peate helitugevuse arvutama. (Mahtusi ja vedelikke, muide, mõõdetakse kuupmeetrites. Ootamatu, eks?) Joonistage bassein: meetri suurune ja meetri sügavune põhi ning proovige arvutada, mitu meeterhaaval kuubikuid teie basseini siseneb.

Näita lihtsalt näpuga ja loe! Üks, kaks, kolm, neli… kakskümmend kaks, kakskümmend kolm… Kui palju see välja tuli? Ei eksinud ära? Kas sõrmega on raske lugeda? Nii et! Võtke näide matemaatikutelt. Nad on laisad, nii et nad märkasid, et basseini mahu arvutamiseks peate selle pikkuse, laiuse ja kõrguse üksteisega korrutama. Meie puhul võrdub basseini maht kuubikutega ... Lihtsam, eks?

Kujutage nüüd ette, kui laisad ja kavalad on matemaatikud, kui nad selle liiga lihtsaks teevad. Tahandati kõik ühele toimingule. Nad märkasid, et pikkus, laius ja kõrgus on võrdsed ning sama arv korrutatakse iseenesest ... Ja mida see tähendab? See tähendab, et saate kraadi kasutada. Niisiis, see, mida te kunagi näpuga lugesite, teevad nad ühe toiminguga: kolm kuubis on võrdne. See on kirjutatud nii:

Jääb ainult kraaditabel meelde jätta. Kui te pole muidugi sama laisk ja kaval nagu matemaatikud. Kui sulle meeldib kõvasti tööd teha ja vigu teha, võid näpuga loendada.

Noh, selleks, et lõpuks veenda teid, et kraadid leiutasid looderid ja kavalad inimesed, et lahendada eluprobleemid, ja et mitte teile probleeme tekitada, on siin veel paar näidet elust.

Näide päriselust nr 4

Sul on miljon rubla. Iga aasta alguses teenite iga miljoni kohta veel ühe miljoni. See tähendab, et iga teie miljon iga aasta alguses kahekordistub. Kui palju teil aastate pärast raha on? Kui sa nüüd istud ja “näpuga loed”, siis oled väga töökas inimene ja .. loll. Aga suure tõenäosusega annad vastuse paari sekundiga, sest oled tark! Niisiis, esimesel aastal - kaks korda kaks ... teisel aastal - mis juhtus, veel kahe võrra, kolmandal aastal ... Stop! Märkasite, et arv korrutatakse iseendaga üks kord. Nii et kaks kuni viies aste on miljon! Kujutage nüüd ette, et teil on võistlus ja see, kes kiiremini arvutab, saab need miljonid ... Kas tasub meeles pidada arvude astmeid, mida arvate?

Näide päriselust nr 5

Sul on miljon. Iga aasta alguses teenite iga miljoni kohta kaks rohkem. See on suurepärane eks? Iga miljon kolmekordistub. Kui palju raha teil aasta pärast on? Loeme. Esimene aasta – korruta teisega, siis tulemus teisega... See on juba igav, sest sa oled juba kõigest aru saanud: kolm korrutatakse iseendaga kordadega. Nii et neljas aste on miljon. Peate lihtsalt meeles pidama, et kolm kuni neljas aste on või.

Nüüd teate, et tõstes arvu astmeni, muudate oma elu palju lihtsamaks. Vaatame lähemalt, mida saate kraadidega teha ja mida peate nende kohta teadma.

Mõisted ja mõisted ... et mitte segadusse sattuda

Niisiis, kõigepealt määratleme mõisted. Mida sa arvad, mis on eksponent? See on väga lihtne – see on number, mis on numbri astme "ülaosas". Mitte teaduslik, kuid selge ja kergesti meeldejääv ...

Noh, samal ajal, mida selline kraadiõppebaas? Veelgi lihtsam on number, mis asub allosas, põhjas.

Siin on teile kindel pilt.

Noh, üldiselt, et üldistada ja paremini meelde jätta ... Kraad alusega "" ja näitajaga "" loetakse kui "kraadis" ja kirjutatakse järgmiselt:

Naturaalastendajaga arvu võimsus

Tõenäoliselt arvasite seda juba: kuna astendaja on naturaalarv. Jah, aga mis on naturaalarv? Elementaarne! Naturaalarvud on need, mida kasutatakse loendamisel üksuste loetlemisel: üks, kaks, kolm ... Üksusi loendades ei ütle me: "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse". Me ei ütle ka "üks kolmandik" või "null koma viis kümnendikku". Need ei ole naturaalarvud. Mis te arvate, millised need numbrid on?

Numbrid nagu "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse" viitavad täisarvud.Üldiselt hõlmavad täisarvud kõiki naturaalarve, naturaalarvudele vastandlikke numbreid (see tähendab, et need on võetud miinusmärgiga) ja arvu. Nulli on lihtne mõista – see on siis, kui midagi pole. Ja mida tähendavad negatiivsed ("miinus") numbrid? Kuid need leiutati peamiselt võlgade näitamiseks: kui teie telefonis on saldo rublades, tähendab see, et olete operaatorile rublades võlgu.

Kõik murrud on ratsionaalarvud. Kuidas need tekkisid, mis sa arvad? Väga lihtne. Mitu tuhat aastat tagasi avastasid meie esivanemad, et neil pole piisavalt naturaalnumbreid pikkuse, kaalu, pindala jne mõõtmiseks. Ja nad mõtlesid välja ratsionaalsed arvud… Huvitav, kas pole?

On ka irratsionaalseid numbreid. Mis need numbrid on? Lühidalt, lõpmatu kümnendmurd. Näiteks kui jagate ringi ümbermõõdu selle läbimõõduga, saate irratsionaalarvu.

Kokkuvõte:

Defineerime astme mõiste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

1. Iga arv esimeses astmes võrdub iseendaga:
2. Arvu ruudu korrutamine tähendab selle korrutamist iseendaga:
3. Arvu kuubiks korrutamine tähendab selle endaga kolm korda korrutamist:

Definitsioon. Arvu tõstmine loomuliku astmeni tähendab arvu korrutamist iseendaga kordadega:
.

Kraadi omadused

Kust need omadused tulid? Ma näitan sulle nüüd.

Vaatame, mis on ja ?

Definitsiooni järgi:

Mitu kordajat on kokku?

See on väga lihtne: lisasime teguritele tegurid ja tulemuseks on tegurid.

Kuid definitsiooni järgi on see astendajaga arvu aste, st: , mida oli vaja tõestada.

Näide: avaldise lihtsustamine.

Lahendus:

Näide: Lihtsustage väljendit.

Lahendus: Oluline on märkida, et meie reeglis tingimata põhjus peab olema sama!
Seetõttu ühendame kraadid baasiga, kuid jääme eraldi teguriks:

ainult võimsustoodete jaoks!

Mitte mingil juhul ei tohiks te seda kirjutada.

2. see tähendab -arvu aste

Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume astme määratluse juurde:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga üks kord, see tähendab, et definitsiooni järgi on see arvu aste:

Tegelikult võib seda nimetada "indikaatori sulgudes". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku:

Tuletame meelde lühendatud korrutamise valemeid: mitu korda tahtsime kirjutada?

Aga see pole tõsi, tõesti.

Negatiivse baasiga kraad

Siiani oleme arutanud ainult seda, milline peaks olema astendaja.

Aga mis peaks olema aluseks?

Kraadides alates loomulik näitaja aluseks võib olla suvaline number. Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvu üksteisega, olgu need positiivsed, negatiivsed või isegi.

Mõelgem, millistel märkidel (" " või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude aste?

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? AGA? ? Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid arve me omavahel korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. Meenub ju 6. klassist lihtne reegel: "miinus korda miinus annab plussi." See tähendab, või. Aga kui korrutada, siis selgub.

Määrake ise, mis märk on järgmistel väljenditel:

Kas said hakkama?

Siin on vastused: Ma loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Näites 5) pole kõik ka nii hirmutav, kui tundub: pole vahet, millega baas on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne.

Noh, välja arvatud siis, kui baas on null. Põhi pole ju sama? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne!

6 praktika näidet

Lahenduse analüüs 6 näidet

Kui me ei pööra tähelepanu kaheksandale astmele, mida me siin näeme? Heidame pilgu 7. klassi programmile. Niisiis, mäletad? See on lühendatud korrutamisvalem, nimelt ruutude erinevus! Saame:

Vaatame hoolikalt nimetajat. See näeb välja nagu üks lugejate tegureid, kuid mis on valesti? Vale terminite järjekord. Kui need vahetataks, võiks reegel kehtida.

Aga kuidas seda teha? Selgub, et see on väga lihtne: nimetaja paarisaste aitab meid siin.

Terminid on võluväel kohad muutnud. See "nähtus" kehtib iga väljendi kohta ühtlasel määral: me võime vabalt muuta sulgudes olevaid märke.

Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad samal ajal!

Läheme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

terve nimetame naturaalarvud, nende vastandid (see tähendab märgiga "" võetud) ja arvu.

positiivne täisarv, ja see ei erine loomulikust, siis näeb kõik välja täpselt nagu eelmises jaotises.

Vaatame nüüd uusi juhtumeid. Alustame näitajaga, mis on võrdne.

Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega:

Nagu alati, küsime endalt: miks see nii on?

Kaaluge aluse võimsust. Võtke näiteks ja korrutage järgmisega:

Niisiis, me korrutasime arvuga ja saime sama, mis see oli -. Millise arvuga tuleb korrutada, et midagi ei muutuks? Täpselt nii, edasi. Tähendab.

Sama saame teha suvalise arvuga:

Kordame reeglit:

Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega.

Kuid paljudest reeglitest on erandeid. Ja siin on see ka seal - see on arv (alusena).

Ühest küljest peab see olema võrdne mis tahes kraadiga – ükskõik kui palju sa nulli iseendaga korrutad, saad ikkagi nulli, see on selge. Kuid teisest küljest, nagu iga null kraadini ulatuv arv, peab see olema võrdne. Mis on selle tõde? Matemaatikud otsustasid mitte sekkuda ja keeldusid nulli nullvõimsusele tõstmast. See tähendab, et nüüd saame mitte ainult nulliga jagada, vaid ka tõsta selle nullvõimsuseni.

Lähme edasi. Täisarvud sisaldavad lisaks naturaalarvudele ja arvudele ka negatiivseid arve. Et mõista, mis on negatiivne aste, teeme sama, mis eelmisel korral: korrutame mõne normaalse arvu negatiivses astmes samaga:

Siit on juba lihtne soovitud väljendada:

Nüüd laiendame saadud reeglit suvalises ulatuses:

Niisiis, sõnastame reegli:

Negatiivse astme arv on sama arvu ja positiivse astme pöördväärtus. Aga samas baas ei saa olla null:(sest jagada pole võimalik).

Teeme kokkuvõtte:

I. Väljend ei ole defineeritud juhul. Kui siis.

II. Suvaline arv nullastmeni on võrdne ühega: .

III. Arv, mis ei ole võrdne nulliga negatiivse astme suhtes, on sama arvu pöördväärtus positiivse astme suhtes: .

Iseseisva lahenduse ülesanded:

Noh, nagu tavaliselt, näited iseseisva lahenduse jaoks:

Iseseisva lahenduse ülesannete analüüs:

Ma tean, ma tean, numbrid on hirmutavad, aga eksamil pead olema kõigeks valmis! Lahendage need näited või analüüsige nende lahendust, kui te ei suutnud seda lahendada, ja eksamil saate teada, kuidas nendega hõlpsalt toime tulla!

Jätkame eksponendiks "sobivate" arvude ringi laiendamist.

Nüüd kaaluge ratsionaalsed arvud. Milliseid arve nimetatakse ratsionaalseteks?

Vastus: kõik, mida saab esitada murdarvuna, kus ja on täisarvud, pealegi.

Et mõista, mis on "murdjärguline aste" Vaatleme murdosa:

Tõstame võrrandi mõlemad pooled astmeks:

Nüüd pidage meeles reeglit "kraadist kraadini":

Millise arvu tuleb astmeni tõsta, et saada?

See sõnastus on astme juure määratlus.

Tuletan teile meelde: arvu th astme juur () on arv, mis astmeks tõsttuna on võrdne.

See tähendab, et astme juur on astendamise pöördtehte: .

Selgub, et. Ilmselgelt see erijuhtum saab pikendada: .

Nüüd lisage lugeja: mis see on? Vastuse on lihtne saada võimsus-võimsuse reegli abil:

Kuid kas baas võib olla suvaline arv? Juurt ei saa ju kõikidest numbritest välja võtta.

Mitte ühtegi!

Pidage meeles reeglit: iga paarisastmeni tõstetud arv on positiivne. See tähendab, et negatiivsetest arvudest on võimatu eraldada paarisastme juuri!

Ja see tähendab, et selliseid numbreid ei saa tõsta paarisnimetajaga murdarvuni, see tähendab, et avaldisel pole mõtet.

Aga väljendus?

Siin aga tekib probleem.

Arvu võib esitada näiteks muude, vähendatud murdudena või.

Ja selgub, et see on olemas, aga ei eksisteeri ja need on vaid kaks erinevat sama numbri kirjet.

Või teine ​​näide: üks kord, siis saate selle üles kirjutada. Kuid niipea, kui kirjutame indikaatori erineval viisil, tekib jälle probleeme: (st saime täiesti erineva tulemuse!).

Selliste paradokside vältimiseks kaaluge ainult positiivne baaseksponent koos murdosa eksponendiga.

Nii et kui:

• - naturaalarv;
• on täisarv;

Näited:

Ratsionaalse astendajaga astmed on väga kasulikud juurtega avaldiste teisendamiseks, näiteks:

5 praktika näidet

5 näite analüüs koolituseks

Noh, nüüd - kõige raskem. Nüüd analüüsime aste irratsionaalse astendajaga.

Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga kraadide puhul, välja arvatud

Tõepoolest, definitsiooni järgi on irratsionaalarvud arvud, mida ei saa esitada murdena, kus ja on täisarvud (st irratsionaalarvud on kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalsed).

Naturaalse, täisarvu ja ratsionaalse indikaatoriga kraade uurides koostasime iga kord kindla “pildi”, “analoogia” või tuttavama kirjelduse.

Näiteks loomulik astendaja on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda;

...nullvõimsus- see on justkui arv, mis on korrutatud iseendaga üks kord, see tähendab, et seda pole veel korrutama hakatud, mis tähendab, et arv ise pole veel ilmunudki - seega on tulemuseks vaid teatav "ettevalmistus number”, nimelt number;

...negatiivne täisarvu astendaja- justkui oleks toimunud teatud "pöördprotsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.

Muide, teaduses kasutatakse sageli kompleksi astendajaga kraadi, see tähendab, et astendaja pole isegi reaalarv.

Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi mõisteid mõista.

KUHU OLEME KINDEL, ET LÄHED! (kui õpid selliseid näiteid lahendama :))

Näiteks:

Otsustage ise:

Lahenduste analüüs:

1. Alustame juba tavapärasest kraadi tõstmise reeglist kraadini:

Vaata nüüd skoori. Kas ta meenutab sulle midagi? Tuletame meelde ruutude erinevuse lühendatud korrutamise valemit:

Sel juhul,

Selgub, et:

Vastus: .

2. Toome astendajates murrud samale kujule: kas mõlemad kümnendkohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks:

Vastus: 16

3. Ei midagi erilist, rakendame kraadide tavalisi omadusi:

EDASIJÕUDNUTE TASE

Kraadi määratlus

Kraad on vormi: , kus:

• — kraadi alus;
• - eksponent.

Kraad naturaalse astendajaga (n = 1, 2, 3,...)

Arvu suurendamine loomuliku astmeni n tähendab arvu korrutamist iseendaga:

Positsioon täisarvu eksponendiga (0, ±1, ±2,...)

Kui eksponendiks on positiivne täisarv number:

erektsioon nullvõimsusele:

Väljend on määramatu, sest ühelt poolt on see mis tahes määral see ja teisest küljest mis tahes arv kuni astmeni on see.

Kui eksponendiks on täisarv negatiivne number:

(sest jagada pole võimalik).

Veel kord nullide kohta: avaldis pole käändes defineeritud. Kui siis.

Näited:

Kraad ratsionaalse astendajaga

• - naturaalarv;
• on täisarv;

Näited:

Kraadi omadused

Et probleeme oleks lihtsam lahendada, proovime mõista: kust need omadused tulid? Tõestame neid.

Vaatame: mis on ja?

Definitsiooni järgi:

Seega saadakse selle avaldise paremal küljel järgmine toode:

Kuid definitsiooni järgi on see arvu aste koos astendajaga, see tähendab:

Q.E.D.

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : .

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : Oluline on märkida, et meie reeglis tingimata peab olema samal alusel. Seetõttu ühendame kraadid baasiga, kuid jääme eraldi teguriks:

Veel üks oluline märkus: see reegel - ainult võimsuste toodete puhul!

Mitte mingil juhul ei tohiks ma seda kirjutada.

Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume astme määratluse juurde:

Korraldame selle ümber nii:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga üks kord, see tähendab, et definitsiooni kohaselt on see arvu -th aste:

Tegelikult võib seda nimetada "indikaatori sulgudes". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku:!

Tuletame meelde lühendatud korrutamise valemeid: mitu korda tahtsime kirjutada? Aga see pole tõsi, tõesti.

Võimsus negatiivse alusega.

Siiani oleme arutanud ainult seda, mis peaks olema indeks kraadi. Aga mis peaks olema aluseks? Kraadides alates loomulik indikaator aluseks võib olla suvaline number .

Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvu üksteisega, olgu need positiivsed, negatiivsed või isegi. Mõelgem, millistel märkidel (" " või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude aste?

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? AGA? ?

Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid arve me omavahel korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. Meenub ju 6. klassist lihtne reegel: "miinus korda miinus annab plussi." See tähendab, või. Kui aga korrutada (-ga), saame -.

Ja nii edasi lõpmatuseni: iga järgneva korrutamisega märk muutub. Selliseid on võimalik sõnastada lihtsad reeglid:

1. isegi aste, - arv positiivne.
2. Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - arv negatiivne.
3. Mis tahes astme positiivne arv on positiivne arv.
4. Null mis tahes astmeni on võrdne nulliga.

Määrake ise, mis märk on järgmistel väljenditel:

Kas said hakkama? Siin on vastused:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

Näites 5) pole kõik ka nii hirmutav, kui tundub: pole vahet, millega baas on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne. Noh, välja arvatud siis, kui baas on null. Põhi pole ju sama? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne. Siin peate välja selgitama, kumb on vähem: või? Kui seda meeles pidada, saab selgeks, et see tähendab, et alus vähem kui null. See tähendab, et rakendame reeglit 2: tulemus on negatiivne.

Ja jällegi kasutame kraadi määratlust:

Kõik on nagu tavaliselt - kirjutame üles kraadide määratlused ja jagame need üksteiseks, jagame paarideks ja saame:

Enne lahtivõtmist viimane reegel Vaatame mõnda näidet.

Arvutage avaldiste väärtused:

Lahendused :

Kui me ei pööra tähelepanu kaheksandale astmele, mida me siin näeme? Heidame pilgu 7. klassi programmile. Niisiis, mäletad? See on lühendatud korrutamisvalem, nimelt ruutude erinevus!

Saame:

Vaatame hoolikalt nimetajat. See näeb välja nagu üks lugejate tegureid, kuid mis on valesti? Vale terminite järjekord. Kui need oleksid vastupidised, saaks rakendada reeglit 3. Aga kuidas seda teha? Selgub, et see on väga lihtne: nimetaja paarisaste aitab meid siin.

Kui see korrutada, ei muutu midagi, eks? Aga nüüd näeb see välja selline:

Terminid on võluväel kohad muutnud. See "nähtus" kehtib iga väljendi kohta ühtlasel määral: me võime vabalt muuta sulgudes olevaid märke. Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad samal ajal! Seda ei saa asendada ainult ühe meie jaoks taunitava miinuse muutmisega!

Läheme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

Nüüd viimane reegel:

Kuidas me seda tõestame? Muidugi, nagu tavaliselt: laiendame kraadi mõistet ja lihtsustame:

Noh, nüüd avame sulgud. Mitu tähte tuleb? korda kordajatega – kuidas see välja näeb? See pole midagi muud kui operatsiooni määratlus korrutamine: kokku osutusid kordajad. See tähendab, et see on definitsiooni järgi astendajaga arvu aste:

Näide:

Kraad irratsionaalse astendajaga

Lisaks keskmise taseme kraadide teabele analüüsime kraadi irratsionaalse näitajaga. Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga astme puhul, erandiga - on ju definitsiooni järgi irratsionaalarvud arvud, mida ei saa murdena esitada, kus ja on täisarvud (st. , on irratsionaalarvud kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalsed).

Naturaalse, täisarvu ja ratsionaalse indikaatoriga kraade uurides koostasime iga kord kindla “pildi”, “analoogia” või tuttavama kirjelduse. Näiteks loomulik astendaja on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda; nullkraadine arv on justkui arv, mis on korrutatud iseendaga üks kord, see tähendab, et seda pole veel korrutama hakatud, mis tähendab, et arv ise pole veel ilmunudki - seega on tulemuseks ainult teatud "numbri ettevalmistamine", nimelt number; negatiivse täisarvuga kraad - justkui oleks toimunud teatud "pöördprotsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.

Äärmiselt raske on ette kujutada kraadi irratsionaalse eksponendiga (nagu on raske ette kujutada 4-mõõtmelist ruumi). Pigem on see puhtalt matemaatiline objekt, mille matemaatikud on loonud, et laiendada kraadi mõistet kogu arvude ruumile.

Muide, teaduses kasutatakse sageli kompleksi astendajaga kraadi, see tähendab, et astendaja pole isegi reaalarv. Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi mõisteid mõista.

Mida me siis teeme, kui näeme irratsionaalset eksponenti? Anname endast parima, et sellest lahti saada! :)

Näiteks:

Otsustage ise:

Vastused:

1. Pidage meeles ruutude valemi erinevust. Vastus:.
2. Toome murrud samale kujule: kas mõlemad kümnendkohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks: .
3. Ei midagi erilist, rakendame kraadide tavalisi omadusi:

OSA KOKKUVÕTE JA PÕHIVALEMID

Kraad nimetatakse väljendiks kujul: , kus:

Kraad täisarvu eksponendiga

aste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

Kraad ratsionaalse astendajaga

aste, mille indikaatoriks on negatiivsed ja murdarvud.

Kraad irratsionaalse astendajaga

eksponent, mille astendaja on lõpmatu kümnendmurd või juur.

Kraadi omadused

Kraadide omadused.

• Negatiivne arv tõsteti väärtusele isegi aste, - arv positiivne.
• Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - arv negatiivne.
• Mis tahes astme positiivne arv on positiivne arv.
• Null on võrdne mis tahes võimsusega.
• Mis tahes arv nullastmega on võrdne.

NÜÜD ON SUL SÕNA...

Kuidas teile artikkel meeldib? Andke mulle allolevates kommentaarides teada, kas teile meeldis või mitte.

Rääkige meile oma kogemustest võimsusomadustega.

Võib-olla on teil küsimusi. Või ettepanekuid.

Kirjutage kommentaaridesse.

Ja edu teile eksamitel!

Negatiivsesse astmesse tõstmine on matemaatika üks põhielemente, millega sageli kokku puutub lahendamisel algebralisi probleeme. Allpool on üksikasjalik juhend.

Kuidas tõsta negatiivsesse jõudu – teooria

Kui võtame arvu tavalise astmeni, korrutame selle väärtuse mitu korda. Näiteks 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Negatiivse murdosa korral on vastupidine. Üldine vorm valemi järgi on järgmine vorm: a -n = 1/a n . Seega, et tõsta arvu negatiivsesse astmesse, peate jagama ühe antud arvuga, kuid juba positiivse astmega.

Kuidas tõsta negatiivse astmeni - näited tavaarvude kohta

Ülaltoodud reeglit silmas pidades lahendame mõned näited.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Vastus: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Vastus on -4 -2 = 1/16.

Aga miks on esimese ja teise näite vastus sama? Asi on selles, et ehitamisel negatiivne arvühtlase astmeni (2, 4, 6 jne), muutub märk positiivseks. Kui kraad oleks ühtlane, siis miinus säilib:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kuidas tõsta negatiivse astmeni - numbrid 0-st 1-ni

Tuletage meelde, et kui arv vahemikus 0 kuni 1 tõstetakse positiivse astmeni, väheneb väärtus võimsuse kasvades. Näiteks 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Näide 3: Arvutage 0,5 -2
Lahendus: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Vastus: 0,5 -2 = 4

Parsimine (toimingute jada):

• Tõlge kümnend 0,5 kuni murdosa 1/2. See on lihtsam.
  Tõstke 1/2 negatiivse astmeni. 1/(2) -2 . Jagage 1 1/(2) 2-ga, saame 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Näide 4: Arvutage 0,5 -3
Lahendus: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Näide 5: Arvutage -0,5 -3
Lahendus: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Vastus: -0,5 -3 = -8

4. ja 5. näite põhjal teeme mitmeid järeldusi:

• Positiivse arvu puhul vahemikus 0 kuni 1 (näide 4), mis on tõstetud negatiivse astmeni, pole paaris või paaritu aste oluline, avaldise väärtus on positiivne. Sel juhul, mida suurem on kraad, seda suurem on väärtus.
• Negatiivse arvu 0 ja 1 vahel (näide 5), mis on tõstetud negatiivse astmeni, pole paaris või paaritu aste oluline, avaldise väärtus on negatiivne. Sel juhul, mida kõrgem on kraad, seda madalam on väärtus.

Kuidas tõsta negatiivse astmeni – võimsus murdarvuna

Seda tüüpi avaldised on järgmisel kujul: a -m/n , kus a on ühine number, m on astme lugeja, n on astme nimetaja.

Kaaluge näidet:
Arvuta: 8 -1/3

Lahendus (toimingute jada):

• Pidage meeles reeglit arvu tõstmiseks negatiivsesse astmesse. Saame: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Pange tähele, et nimetaja on 8 kuni murdosa astmeni. Murdastme arvutamise üldvorm on järgmine: a m/n = n √8 m .
• Seega 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Saame kaheksa kuupjuure, mis on 2. Selle põhjal 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Vastus: 8 -1/3 = 2

Võimsuse valemid kasutatakse keeruliste avaldiste taandamise ja lihtsustamise protsessis, võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Number c on n-arvu aste a millal:

Toimingud volitustega.

1. Kraadide korrutamisel sama baasiga saadakse nende näitajad kokku:

olena n = a m + n .

2. Sama alusega kraadide jaotuses lahutatakse nende näitajad:

3. Korrutise aste 2 või rohkem tegurid on võrdne nende tegurite astmete korrutisega:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Murru aste võrdub dividendi ja jagaja astmete suhtega:

(a/b) n = a n/bn.

5. Tõsttes astme astmeks, korrutatakse eksponendid:

(am) n = a m n .

Iga ülaltoodud valem on õige suunaga vasakult paremale ja vastupidi.

Näiteks. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operatsioonid juurtega.

1. Mitme teguri korrutis on võrdne nende tegurite juurte korrutisega:

2. Suhtarvu juur võrdub dividendi ja juurte jagaja suhtega:

3. Juure tõstmisel astmele piisab juurarvu tõstmisest selle astmeni:

4. Kui suurendame juure astet sisse nüks kord ja samal ajal tõsta kuni n aste on juurarv, siis juure väärtus ei muutu:

5. Kui me vähendame juure astet n juur samal ajal n kraadi võrra radikaalarvust, siis juure väärtus ei muutu:

Kraad negatiivse astendajaga. Mittepositiivse (täisarvulise) astendajaga arvu aste on defineeritud kui jagamine sama arvu astmega, mille astendaja on võrdne mittepositiivse astendaja absoluutväärtusega:

Valem olen:a n = a m - n saab kasutada mitte ainult m> n, aga ka kl m< n.

Näiteks. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Valemile olen:a n = a m - n sai õiglaseks m = n, vajate nullkraadi olemasolu.

Kraad nullastendajaga. Iga nullist erineva arvu nullastendajaga aste on võrdne ühega.

Näiteks. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kraad murdosa astendajaga. Tõsta reaalarvu a mingil määral m/n, peate juure ekstraheerima n aste m selle arvu võimsus a.

Selles artiklis saame aru, mis see on kraad. Siin anname arvu astme määratlused, kaaludes samal ajal üksikasjalikult kõiki astme võimalikke eksponente, alustades loomulikust astendajast ja lõpetades irratsionaalsega. Materjalist leiate palju näiteid kraadide kohta, mis hõlmavad kõiki esilekerkivaid peensusi.

Leheküljel navigeerimine.

Kraad naturaalastendajaga, arvu ruut, arvu kuup

Alustame . Vaadates tulevikku, oletame, et a astme määratlus naturaalse astendajaga n on antud a jaoks, mida me nimetame kraadi alus, ja n , mida me nimetame eksponent. Samuti märgime, et loomuliku indikaatoriga aste määratakse toote kaudu, nii et alloleva materjali mõistmiseks peab teil olema ettekujutus arvude korrutamisest.

Definitsioon.

Arvu a aste naturaalastendajaga n on avaldis kujul a n , mille väärtus on võrdne n teguri korrutisega, millest igaüks on võrdne a , see tähendab .
Eelkõige on astendajaga 1 arvu a aste arv a ise, st a 1 =a.

Kohe tasub mainida kraadide lugemise reegleid. Universaalne viis kirje a n lugemine on: "a astmeni n". Mõnel juhul on vastuvõetavad ka sellised valikud: "a n-nda astmeni" ja "arvu a n-nda astmeni". Näiteks võtame astme 8 12, see on "kaheksa kaheteistkümne astmeni" või "kaheksa kuni kaheteistkümnendik aste" või "kaheksateistkümnes aste".

Arvu teisel astmel ja ka arvu kolmandal astmel on oma nimed. Arvu teist astet nimetatakse arvu ruut, näiteks 7 2 loetakse "seitse ruutu" või "arvu seitsme ruutu". Arvu kolmandat astet nimetatakse kuubi number, näiteks 5 3 võib lugeda kui "viie kuubikuga" või öelda "kuubik numbrist 5".

On aeg tuua kraadide näited koos füüsikaliste näitajatega. Alustame astmega 5 7 , kus 5 on astme alus ja 7 astendaja. Toome veel ühe näite: 4.32 on alus ja naturaalarv 9 on eksponent (4.32) 9 .

Pange tähele, et viimases näites on astme alus 4,32 kirjutatud sulgudesse: lahknevuste vältimiseks võtame sulgudesse kõik astme alused, mis erinevad naturaalarvudest. Näitena toome naturaalsete näitajatega järgmised kraadid , nende alused ei ole naturaalarvud, seega kirjutatakse need sulgudesse. Noh, täieliku selguse huvides näitame siinkohal vormi (−2) 3 ja −2 3 kirjetes sisalduvat erinevust. Avaldis (−2) 3 on astme −2 aste naturaalastendajaga 3 ja avaldis −2 3 (selle võib kirjutada kui −(2 3) ) vastab arvule, astme 2 3 väärtusele.

Pange tähele, et a astme jaoks on olemas tähis koos eksponendiga n kujul a^n . Veelgi enam, kui n on mitme väärtusega naturaalarv, võetakse eksponent sulgudes. Näiteks 4^9 on teine ​​tähis 4 9 astme kohta. Ja siin on veel näiteid kraadide kirjutamise kohta, kasutades sümbolit “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Edaspidi kasutame põhiliselt vormi a n astme tähistust.

Üks loomuliku astendajaga astendamisele vastupidine probleem on astme aluse leidmise probleem teadaolev väärtus aste ja teadaolev astendaja. See ülesanne viib .

On teada, et paljud ratsionaalsed arvud koosneb täis- ja murdarvudest, igaüks neist murdarv võib esitada positiivse või negatiivsena harilik murd. Eelmises lõigus määratlesime astme täisarvu eksponendiga, seetõttu peame astme määratluse täiendamiseks ratsionaalse astendajaga andma arvu a astme tähenduse murdosa astendajaga m / n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Teeme seda.

Vaatleme vormi murdosalise astendajaga kraadi. Et kraadi omadus kraadis kehtima jääks, peab kehtima võrdsus . Kui võtta arvesse saadud võrdsust ja viisi, kuidas me defineerisime , siis on loogiline aktsepteerida, eeldusel, et antud m, n ja a puhul on avaldis mõttekas.

Lihtne on kontrollida, et kõik täisarvulise astendajaga astme omadused kehtivad as-ile (seda tehakse ratsionaalse astendajaga astme omaduste jaotises).

Ülaltoodud arutluskäik võimaldab meil teha järgmist järeldus: kui antud m, n ja a korral on avaldis mõttekas, siis on arvu a aste murdeksponentiga m / n a astme a n-nda astme juur.

See väide viib meid murdosalise astendajaga astme määratluse lähedale. Jääb vaid kirjeldada, mille m, n ja a jaoks on avaldis mõttekas. Olenevalt m , n ja a jaoks kehtestatud piirangutest on kaks peamist lähenemist.

Lihtsaim viis a piiramiseks on eeldada a≥0 positiivse m ja a>0 negatiivse m puhul (kuna m≤0 ei oma 0 m võimsust). Siis saame järgmise astme definitsiooni murdosaastendajaga.

Definitsioon.

Positiivse arvu a võimsus murdeksponentiga m/n, kus m on täisarv ja n on naturaalarv, nimetatakse arvu a n-nda juureks m astmeni, see tähendab .

Nulli murdosa on määratletud ka ainsa hoiatusega, et eksponent peab olema positiivne.

Definitsioon.

Nulli võimsus murdosalise positiivse eksponendiga m/n, kus m on positiivne täisarv ja n on naturaalarv, on defineeritud kui .
Kui aste pole määratletud, see tähendab, et arvu nulli astmel koos murdosalise negatiivse eksponendiga pole mõtet.

Tuleb märkida, et sellise murdosaastendajaga astme määratlusega on üks nüanss: mõne negatiivse a ning mõne m ja n puhul on avaldis mõttekas ning me jätsime need juhud kõrvale, lisades tingimuse a≥0 . Näiteks on mõtet kirjutada või , ja ülaltoodud definitsioon sunnib meid ütlema, et kraadid vormi murdosalise astendajaga on mõttetud, kuna alus ei tohi olla negatiivne.

Teine lähenemine astme määramiseks murdosa astendajaga m / n on juure paaris ja paaritu astendaja eraldi arvessevõtmine. See lähenemine nõuab lisatingimust: arvu a aste, mille eksponent on , loetakse arvu a astmeks, mille eksponendiks on vastav taandamatu murd (selle tingimuse tähtsust selgitatakse allpool). See tähendab, et kui m/n on taandamatu murd, siis mis tahes naturaalarvu k korral asendatakse aste esmalt arvuga .

Paaris n ja positiivse m korral on avaldis mõttekas mis tahes mittenegatiivse a korral (negatiivse arvu paarisastme juur ei ole mõttekas), negatiivse m korral peab arv a ikkagi nullist erinema (muidu on on jagamine nulliga). Ja paaritu n ja positiivse m korral võib arv a olla ükskõik milline (paaritu astme juur on defineeritud mis tahes reaalarvu jaoks) ja negatiivse m korral peab arv a erinema nullist (et ei oleks jagamist null).

Ülaltoodud arutluskäik viib meid sellise astme määratluseni murdosaastendajaga.

Definitsioon.

Olgu m/n taandamatu murd, m täisarv ja n naturaalarv. Iga taandatava hariliku murru puhul asendatakse aste väärtusega . A võimsus taandamatu murdeksponentiga m / n on jaoks



Selgitame, miks taandatava murdeksponendiga aste asendatakse esmalt taandamatu astendajaga astmega. Kui me lihtsalt defineeriksime astme kui , ja ei teeks reservatsiooni murru m / n taandatamatuse osas, siis tekiks sarnaseid olukordi: kuna 6/10=3/5 , siis võrdsus , aga , a .