Murdarvude jagamise reeglid. Murdude korrutamine ja jagamine

Murdudega saate teha kõiki toiminguid, sealhulgas jagamist. See artikkel näitab jaotust tavalised murrud. Antakse definitsioonid, vaadeldakse näiteid. Peatugem murdude jagamisel naturaalarvudega ja vastupidi. Arvesse võetakse hariliku murru jagamist segaarvuga.

Harilike murdude jagamine

Jagamine on korrutamise pöördväärtus. Jagamisel on tundmatu tegur teadaoleva korrutise juures ja teine ​​tegur, kus selle antud tähendus säilib tavaliste murdudega.

Kui on vaja jagada harilik murd a b arvuga c d, siis sellise arvu määramiseks peate korrutama jagajaga c d, see annab lõpuks dividendi a b. Leiame arvu ja kirjutame selle a b · d c , kus d c on arvu c d pöördväärtus. Võrdused saab kirjutada korrutamise omaduste abil, nimelt: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , kus avaldis a b d c on a b jagamise jagatis c d .

Siit saame ja sõnastame harilike murdude jagamise reegli:

Definitsioon 1

Hariliku murru a b jagamiseks c d-ga on vaja dividendi korrutada jagaja pöördarvuga.

Kirjutame reegli avaldisena: a b: c d = a b d c

Jagamise reeglid taandatakse korrutamiseks. Sellest kinnipidamiseks peate olema tavaliste murdude korrutamises hästi kursis.

Liigume edasi harilike murdude jagamise juurde.

Näide 1

Tehke jagamine 9 7 5 3-ga. Kirjutage tulemus murdarvuna.

Lahendus

Arv 5 3 on arvu 3 5 pöördväärtus. Peate kasutama tavaliste murdude jagamise reeglit. Kirjutame selle avaldise järgmiselt: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.

Vastus: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Murdude vähendamisel tuleks esile tõsta kogu osa, kui lugeja on nimetajast suurem.

Näide 2

Jagage 8 15: 24 65 . Kirjuta vastus murruna.

Lahendus

Lahenduseks on üleminek jagamiselt korrutamisele. Kirjutame selle järgmisel kujul: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Vähendamine on vajalik ja seda tehakse järgmiselt: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

Valime täisarvulise osa ja saame 13 9 = 1 4 9 .

Vastus: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Erakorralise murru jagamine naturaalarvuga

Kasutame murdosa jagamise reeglit naturaalarv: a b jagamiseks naturaalarvuga n, peate korrutama ainult nimetaja n-ga. Siit saame avaldise: a b: n = a b · n .

Jagamisreegel on korrutamisreegli tagajärg. Seetõttu annab naturaalarvu murdena esitamine seda tüüpi võrdsuse: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.

Mõelge sellele murdosa jagamisele arvuga.

Näide 3

Jagage murd 1645 arvuga 12.

Lahendus

Rakendage murdarvu arvuga jagamise reeglit. Saame avaldise nagu 16 45: 12 = 16 45 12 .

Vähendame murdosa. Saame 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .

Vastus: 16 45: 12 = 4 135 .

Naturaalarvu jagamine hariliku murruga

Jagamise reegel on sarnane O naturaalarvu jagamise reegel hariliku murruga: naturaalarvu n jagamiseks harilikuga a b on vaja arv n korrutada murdarvu a b pöördarvuga.

Reegli põhjal on meil n: a b \u003d n b a ja tänu naturaalarvu korrutamise reeglile tavalise murdosaga saame avaldise kujul n: a b \u003d n b a. Seda jaotust on vaja vaadelda näitega.

Näide 4

Jagage 25 15-ga 28 .

Lahendus

Peame liikuma jagamiselt korrutamisele. Kirjutame avaldise 25 kujul: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Vähendame murdu ja saame tulemuseks murdosa 46 2 3 .

Vastus: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Hariliku murru jagamine segaarvuga

Hariliku murru jagamisel segaarvuga saate hõlpsalt särada tavaliste murdude jagamisel. Segaarvu peate teisendama valeks murdarvuks.

Näide 5

Jagage murdosa 35 16 3 1 8-ga.

Lahendus

Kuna 3 1 8 on segaarv, esitame selle valemurruna. Siis saame 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Nüüd jagame murrud. Saame 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Vastus: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Segaarvu jagamine toimub samamoodi nagu tavaarvud.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Samade nimetajatega murdude liitmine

Murdude lisamist on kahte tüüpi:

1. Samade nimetajatega murdude liitmine
2. Murdude lisamine koos erinevad nimetajad

Alustame samade nimetajatega murdude liitmisest. Siin on kõik lihtne. Samade nimetajatega murdude lisamiseks peate lisama nende lugejad ja jätma nimetaja muutmata. Näiteks liidame murrud ja . Lisame lugejad ja jätame nimetaja muutmata:

Seda näidet on lihtne mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lisate pitsale pitsa, saate pizza:

Näide 2 Lisage fraktsioonid ja .

Vastus on vale murd. Kui ülesanne lõpeb, siis ebaõiged murded aktsepteeritud vabanemiseks. Ebaõigest murdosast vabanemiseks peate valima selles kogu osa. Meie puhul terve osa paistab kergesti silma - kaks jagatud kahega võrdub ühega:

Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud kaheks osaks. Kui lisad pitsale rohkem pitsasid, saad ühe terve pitsa:

Näide 3. Lisage fraktsioonid ja .

Lisage uuesti lugejad ja jätke nimetaja muutmata:

Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsasid, saate pitsad:

Näide 4 Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Lugejad tuleb lisada ja nimetaja jätta muutmata:

Proovime oma lahendust pildi abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsad ja lisate rohkem pitsasid, saate 1 terve pitsa ja rohkem pitsasid.

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude lisamine keeruline. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

1. Sama nimetajaga murdude lisamiseks peate lisama nende lugejad ja jätma nimetaja muutmata;

Erinevate nimetajatega murdude liitmine

Nüüd õpime, kuidas liita erinevate nimetajatega murde. Murdude liitmisel peavad nende murdude nimetajad olema samad. Kuid need ei ole alati ühesugused.

Näiteks võib murde lisada, kuna neil on samad nimetajad.

Kuid murde ei saa korraga lisada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.

Murdude samale nimetajale taandamiseks on mitu võimalust. Täna käsitleme neist ainult ühte, kuna ülejäänud meetodid võivad algajale tunduda keerulised.

Selle meetodi olemus seisneb selles, et mõlema murru nimetajatest otsitakse esimest (LCM). Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga ja saadakse esimene lisategur. Nad teevad sama ka teise murdosaga – LCM jagatakse teise murdosa nimetajaga ja saadakse teine ​​lisategur.

Seejärel korrutatakse murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusel muutuvad erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada.

Näide 1. Lisage fraktsioonid ja

Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate väikseima ühiskordse. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 2. Nende arvude vähim ühiskordne on 6

LCM (2 ja 3) = 6

Nüüd tagasi murdude ja . Esiteks jagame LCM-i esimese murru nimetajaga ja saame esimese lisateguri. LCM on arv 6 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 6 3-ga, saame 2.

Saadud arv 2 on esimene lisategur. Kirjutame selle esimese murruni. Selleks teeme murdosa kohale väikese kaldjoone ja kirjutame selle kohale leitud lisateguri:

Teeme sama teise murdosaga. Jagame LCM-i teise murru nimetajaga ja saame teise lisateguri. LCM on arv 6 ja teise murdosa nimetaja on arv 2. Jagage 6 2-ga, saame 3.

Saadud arv 3 on teine ​​lisategur. Kirjutame selle teise murdossa. Jällegi teeme teise murru kohale väikese kaldus joone ja kirjutame selle kohale leitud lisateguri:

Nüüd oleme kõik valmis lisama. Jääb üle korrutada murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:

Vaadake tähelepanelikult, milleni oleme jõudnud. Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada. Lõpetame selle näite lõpuni:

Sellega näide lõpeb. Lisamiseks selgub.

Proovime oma lahendust pildi abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsad, saate ühe terve pitsa ja veel kuuendiku pitsast:

Murdude taandamist samale (ühis)nimetajale saab kujutada ka pildi abil. Tuues murrud ja ühise nimetaja, saame murrud ja . Neid kahte fraktsiooni esindavad samad pitsalõigud. Ainus erinevus seisneb selles, et seekord jagatakse need võrdseteks osadeks (vähendatud samale nimetajale).

Esimesel joonisel on kujutatud murdosa (neli tükki kuuest) ja teisel pildil murdosa (kolm tükki kuuest). Neid tükke kokku pannes saame (seitse tükki kuuest). See murd on vale, seetõttu oleme selles täisarvu osa esile tõstnud. Tulemus oli (üks terve pitsa ja teine ​​kuues pitsa).

Pange tähele, et oleme selle näite liiga üksikasjalikult maalinud. IN õppeasutused pole kombeks nii detailselt kirjutada. Peate suutma kiiresti leida mõlema nimetaja ja nende lisategurite LCM-i, samuti kiiresti korrutama lugejate ja nimetajate abil leitud lisategurid. Koolis olles peaksime selle näite kirjutama järgmiselt:

Kuid on ka mündi teine ​​pool. Kui matemaatika õppimise esimestel etappidel üksikasjalikke märkmeid ei tehta, siis sedalaadi küsimused “Kust see arv tuleb?”, “Miks muutuvad murrud järsku täiesti erinevateks murdudeks? «.

Erinevate nimetajatega murdude lisamise hõlbustamiseks võite kasutada järgmisi samm-sammulisi juhiseid.

1. Leia murdude nimetajate LCM;
2. Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks täiendav kordaja;
3. Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega;
4. Lisa murrud, millel on samad nimetajad;
5. Kui vastus osutus valeks murdarvuks, valige selle osa;

Näide 2 Leidke avaldise väärtus .

Kasutame ülaltoodud juhiseid.

Samm 1. Leidke murdude nimetajate LCM

Leidke mõlema murru nimetajate LCM. Murdude nimetajad on numbrid 2, 3 ja 4

2. samm. Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks täiendav kordaja

Jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 2. Jagage 12 2-ga, saame 6. Saime esimese lisateguri 6. Kirjutame selle esimese murru peale:

Nüüd jagame LCM-i teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Saime teise lisateguri 4. Kirjutame selle teise murru peale:

Nüüd jagame LCM-i kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja kolmanda murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Saime kolmanda lisateguri 3. Kirjutame selle kolmanda murru peale:

3. samm. Korrutage murdude lugejad ja nimetajad lisateguritega

Korrutame lugejad ja nimetajad meie lisateguritega:

4. samm. Lisage samade nimetajatega murrud

Jõudsime järeldusele, et murrud, millel olid erinevad nimetajad, muutusid murdudeks, millel on samad (ühised) nimetajad. Jääb need fraktsioonid lisada. Kokku liitma:

Lisand ei mahtunud ühele reale, nii et teisaldasime ülejäänud avaldise järgmisele reale. See on matemaatikas lubatud. Kui avaldis ühele reale ei mahu, kantakse see üle järgmisele reale ning esimese rea lõppu ja uue rea algusesse tuleb panna võrdusmärk (=). Võrdsusmärk teisel real näitab, et see on esimesel real olnud avaldise jätk.

Samm 5. Kui vastus osutus valeks murdeks, siis valige selles kogu osa

Meie vastus on vale murd. Peame välja tooma kogu selle osa. Toome esile:

Sai vastuse

Samade nimetajatega murdude lahutamine

Murdarvu lahutamist on kahte tüüpi:

1. Samade nimetajatega murdude lahutamine
2. Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Esiteks õpime, kuidas lahutada samade nimetajatega murde. Siin on kõik lihtne. Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja samaks.

Näiteks leiame avaldise väärtuse. Selle näite lahendamiseks on vaja esimese murru lugejast lahutada teise murru lugeja ja nimetaja jätta muutmata. Teeme ära:

Seda näidet on lihtne mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 2 Leidke avaldise väärtus.

Jällegi lahutage esimese murru lugejast teise murru lugeja ja jätke nimetaja muutmata:

Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui mõelda pitsale, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 3 Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Esimese murru lugejast peate lahutama ülejäänud murdude lugejad:

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude lahutamisel midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

1. Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja muutmata;
2. Kui vastus osutus valeks murdarvuks, peate valima selles kogu osa.

Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Näiteks võib murdosast lahutada murdosa, kuna nendel murdudel on samad nimetajad. Kuid murdu ei saa murdosast lahutada, sest neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.

Ühine nimetaja leitakse sama põhimõtte järgi, mida kasutasime erinevate nimetajatega murdude liitmisel. Kõigepealt leidke mõlema murru nimetajate LCM. Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga ja saadakse esimene lisategur, mis kirjutatakse üle esimese murru. Samamoodi jagatakse LCM teise murru nimetajaga ja saadakse teine ​​lisategur, mis kirjutatakse teise murru peale.

Seejärel korrutatakse fraktsioonid nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusel muutuvad erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada.

Näide 1 Leidke avaldise väärtus:

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, seega peate need viima sama (ühise) nimetaja juurde.

Esiteks leiame mõlema murru nimetajate LCM-i. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 4. Nende arvude vähim ühiskordne on 12

LCM (3 ja 4) = 12

Nüüd tagasi murdude ja

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. Selleks jagame LCM-i esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Kirjutame nelja esimese murru peale:

Teeme sama teise murdosaga. Jagame LCM-i teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Kirjutage teise murru kohale kolmik:

Nüüd oleme kõik lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Lõpetame selle näite lõpuni:

Sai vastuse

Proovime oma lahendust pildi abil kujutada. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad.

See on lahenduse üksikasjalik versioon. Koolis olles peaksime selle näite lühemalt lahendama. Selline lahendus näeks välja järgmine:

Murdude ja ühisnimetaja taandamist saab kujutada ka pildi abil. Viies need murrud ühise nimetaja juurde, saame murrud ja . Neid murde esindavad samad pitsaviilud, kuid seekord jagatakse need samadeks murdudeks (vähendatud samale nimetajale):

Esimesel joonisel on kujutatud murdosa (kaheksa tükki kaheteistkümnest) ja teisel pildil murdosa (kolm tükki kaheteistkümnest). Kaheksast tükist kolm tükki ära lõigates saame kaheteistkümnest viis tükki. Murd kirjeldab neid viit tükki.

Näide 2 Leidke avaldise väärtus

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, seega peate need esmalt viima sama (ühise) nimetajani.

Leidke nende murdude nimetajate LCM.

Murdude nimetajateks on arvud 10, 3 ja 5. Nende arvude vähim ühiskordne on 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nüüd leiame iga murdosa jaoks täiendavaid tegureid. Selleks jagame LCM-i iga murdosa nimetajaga.

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. LCM on arv 30 ja esimese murru nimetaja on arv 10. Jagage 30 10-ga, saame esimese lisateguri 3. Kirjutame selle esimese murru peale:

Nüüd leiame teise murru jaoks lisateguri. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 30 3-ga, saame teise lisateguri 10. Kirjutame selle teise murru peale:

Nüüd leiame kolmanda murru jaoks lisateguri. Jagage LCM kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja kolmanda murru nimetaja on arv 5. Jagage 30 5-ga, saame kolmanda lisateguri 6. Kirjutame selle kolmanda murru peale:

Nüüd on kõik lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et murrud, millel olid erinevad nimetajad, muutusid murdudeks, millel on samad (ühised) nimetajad. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Lõpetame selle näite.

Näite jätk ei mahu ühele reale, seega liigume jätku järgmisele reale. Ärge unustage uuel real võrdusmärki (=):

Vastus osutus õigeks murdarvuks ja meile tundub, et kõik sobib, kuid see on liiga tülikas ja kole. Peaksime selle lihtsamaks tegema. Mida saaks teha? Saate seda osa vähendada.

Murru vähendamiseks peate jagama selle lugeja ja nimetaja (gcd) arvudega 20 ja 30.

Niisiis, leiame numbrite 20 ja 30 GCD:

Nüüd pöördume tagasi oma näite juurde ja jagame murdosa lugeja ja nimetaja leitud GCD-ga, see tähendab 10-ga

Sai vastuse

Murru korrutamine arvuga

Murru korrutamiseks arvuga peate korrutama antud murru lugeja selle arvuga ja jätma nimetaja muutmata.

Näide 1. Korrutage murdarvuga 1.

Korrutage murdosa lugeja arvuga 1

Sisenemist võib mõista nii, et see võtab pool 1 korda. Näiteks kui võtate pizza 1 kord, saate pizza

Korrutamise seadustest teame, et kui kordajat ja kordajat vahetada, siis korrutis ei muutu. Kui avaldis on kirjutatud kujul , on korrutis ikkagi võrdne . Jällegi töötab täisarvu ja murdarvu korrutamise reegel:

Seda kirjet võib mõista nii, et see võtab poole ühikust. Näiteks kui on 1 terve pitsa ja me võtame sellest poole, siis saame pitsa:

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage murdosa lugeja 4-ga

Vastus on vale murd. Võtame sellest terve osa:

Väljendit võib mõista nii, et see võtab kaks veerandit 4 korda. Näiteks kui võtate pitsasid 4 korda, saate kaks tervet pitsat.

Ja kui vahetame kordaja ja kordaja kohad, saame avaldise. See on samuti võrdne 2-ga. Seda väljendit võib mõista nii, et neljast tervest pitsast võetakse kaks pitsat:

Arv, mida korrutatakse murdosaga, ja murdosa nimetaja lahendatakse, kui neil on ühine jagaja, suurem kui ühtsus.

Näiteks saab avaldist hinnata kahel viisil.

Esimene viis. Korrutage arv 4 murru lugejaga ja jätke murdosa nimetaja muutmata:

Teine viis. Korrutatavat neljakordset ja murdosa nimetaja neljakordset saab vähendada. Saate neid neljasid vähendada 4 võrra, kuna kahe nelja suurim ühine jagaja on neli ise:

Saime sama tulemuse 3. Peale neljade vähendamist moodustuvad nende asemele uued numbrid: kaks ühte. Kuid ühe kolmekordse korrutamine ja seejärel ühega jagamine ei muuda midagi. Seetõttu võib lahenduse kirjutada lühemalt:

Vähendamist saab teha isegi siis, kui otsustasime kasutada esimest meetodit, kuid arvu 4 ja lugeja 3 korrutamise etapis otsustasime kasutada vähendamist:

Kuid näiteks avaldist saab arvutada ainult esimesel viisil - korrutage 7 murdosa nimetajaga ja jätke nimetaja muutmata:

See on tingitud asjaolust, et arvul 7 ja murdosa nimetajal ei ole ühest suuremat ühist jagajat ja seetõttu ei vähene.

Mõned õpilased lühendavad ekslikult korrutatavat arvu ja murdosa lugejat. Sa ei saa seda teha. Näiteks järgmine kirje pole õige:

Murru vähendamine tähendab seda ning lugeja ja nimetaja jagatakse sama arvuga. Avaldise olukorras toimub jagamine ainult lugejas, kuna selle kirjutamine on sama, mis kirjutamine . Näeme, et jagamine toimub ainult lugejas ja nimetajas jagamist ei toimu.

Murdude korrutamine

Murdude korrutamiseks peate korrutama nende lugejad ja nimetajad. Kui vastus on vale murd, peate valima selles kogu osa.

Näide 1 Leidke avaldise väärtus.

Sai vastuse. Soovitav on seda fraktsiooni vähendada. Fraktsiooni saab vähendada 2 võrra. Seejärel saab lõpplahus järgmise kuju:

Väljendit võib mõista kui pizza võtmist poole pitsa pealt. Oletame, et meil on pool pitsat:

Kuidas sellest poolest kaks kolmandikku võtta? Kõigepealt peate selle poole jagama kolmeks võrdseks osaks:

Ja võtke nendest kolmest tükist kaks:

Toome pitsa. Pidage meeles, kuidas pitsa välja näeb, jagatud kolmeks osaks:

Üks viil sellest pitsast ja kahel meie võetud viilul on samad mõõtmed:

Teisisõnu, me räägime samast pitsa suurusest. Seetõttu on avaldise väärtus

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:

Vastus on vale murd. Võtame sellest terve osa:

Näide 3 Leidke avaldise väärtus

Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:

Vastus osutus õigeks murdarvuks, kuid on hea, kui seda vähendada. Selle murdosa vähendamiseks peate jagama selle murru lugeja ja nimetaja arvude 105 ja 450 suurima ühisjagajaga (GCD).

Niisiis, leiame numbrite 105 ja 450 GCD:

Jagame nüüd leitud GCD vastuse lugeja ja nimetaja, st 15-ga

Täisarvu esitamine murruna

Mis tahes täisarvu saab esitada murdarvuna. Näiteks numbrit 5 saab esitada kui . Sellest alates ei muuda viis selle tähendust, kuna väljend tähendab "arv viis jagatud ühega" ja see, nagu teate, võrdub viiega:

Tagurpidi numbrid

Nüüd saame tuttavaks huvitav teema matemaatikas. Seda nimetatakse "tagurpidi numbriteks".

Definitsioon. Tagurpidi numbrilea on arv, mis korrutatunaa annab ühiku.

Asendame selles definitsioonis muutuja asemel a number 5 ja proovige definitsiooni lugeda:

Tagurpidi numbrile 5 on arv, mis korrutatuna 5 annab ühiku.

Kas on võimalik leida arvu, mis 5-ga korrutades annab ühe? Selgub, et saate. Esitame viit murruna:

Seejärel korrutage see murdosa iseendaga, vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Teisisõnu, korrutame murdosa iseendaga, ainult ümberpööratult:

Mis on selle tulemus? Kui jätkame selle näite lahendamist, saame ühe:

See tähendab, et arvu 5 pöördväärtus on arv, sest kui 5 korrutada ühega, saadakse üks.

Pöördarvu võib leida ka mis tahes muu täisarvu jaoks.

Samuti saate leida pöördarvu mis tahes muu murru jaoks. Selleks piisab selle ümberpööramisest.

Murru jagamine arvuga

Oletame, et meil on pool pitsat:

Jagame selle kahe vahel võrdselt. Mitu pitsat igaüks saab?

On näha, et peale poole pitsa poolitamist saadi kaks võrdset tükki, millest igaüks moodustab pitsa. Nii et igaüks saab pitsa.

Murdude korrutamine ja jagamine.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

See tehe on palju toredam kui liitmine-lahutamine! Sest see on lihtsam. Tuletan teile meelde: murdosa korrutamiseks murdosaga peate korrutama lugejad (see on tulemuse lugeja) ja nimetajad (see on nimetaja). See on:

Näiteks:

Kõik on äärmiselt lihtne. Ja palun ärge otsige ühist nimetajat! Pole seda siin vaja...

Murru jagamiseks murdosaga peate ümber pöörama teiseks(see on oluline!) murdosa ja korrutage need, st:

Näiteks:

Kui täisarvude ja murdudega korrutamine või jagamine on tabatud, on kõik korras. Nagu liitmisegi puhul, teeme täisarvust murdosa, mille nimetajas on ühik – ja mine! Näiteks:

Keskkoolis tuleb sageli tegeleda kolmekorruseliste (või isegi neljakorruseliste!) murdudega. Näiteks:

Kuidas viia see murd korralikule vormile? Jah, väga lihtne! Kasutage jagamist kahe punkti kaudu:

Kuid ärge unustage jagamise järjekorda! Erinevalt korrutamisest on see siin väga oluline! Muidugi ei aja me 4:2 ega 2:4 segi. Kuid kolmekorruselises murdosas on lihtne eksida. Pange tähele, näiteks:

Esimesel juhul (avaldis vasakul):

Teises (avaldis paremal):

Kas tunnete erinevust? 4 ja 1/9!

Mis on jagamise järjekord? Või sulud või (nagu siin) horisontaalsete kriipsude pikkus. Arendage silma. Ja kui sulgusid või sidekriipse pole, näiteks:

siis jaga-korruta järjekorras, vasakult paremale!

Ja veel üks väga lihtne ja oluline nipp. Kraadidega tegudes tuleb see sulle kasuks! Jagame ühiku mis tahes murdosaga, näiteks 13/15-ga:

Lask on ümber läinud! Ja seda juhtub alati. Jagades 1 suvalise murdosaga, on tulemuseks sama murd, ainult tagurpidi.

See on kõik toimingud murdarvudega. Asi on üsna lihtne, kuid annab rohkem kui piisavalt vigu. Märge praktilisi nõuandeid, ja neid (vigu) on vähem!

Praktilised näpunäited:

1. Murdlausetega töötamisel on kõige olulisem täpsus ja tähelepanelikkus! Need ei ole tavalised sõnad, mitte head soovid! See on tõsine vajadus! Tehke kõik eksami arvutused täisväärtusliku ülesandena, keskendudes ja selgelt. Parem kirjutada mustandisse kaks lisarida, kui peast arvutades sassi ajada.

2. Erinevat tüüpi murdude näidetes - minge tavaliste murdude juurde.

3. Vähendame kõik murded lõpuni.

4. Redendame mitmetasandilised murdavaldised tavalisteks, kasutades jagamist läbi kahe punkti (jälgime jagamise järjekorda!).

5. Me jagame ühiku mõttes murdosa, lihtsalt murru ümber pöörates.

Siin on ülesanded, mida peate täitma. Vastused antakse pärast kõiki ülesandeid. Kasutage selle teema materjale ja praktilisi nõuandeid. Hinnake, mitu näidet saaksite õigesti lahendada. Esimene kord! Ilma kalkulaatorita! Ja tehke õiged järeldused...

Pidage meeles õiget vastust saadud teisest (eriti kolmandast) korrast - ei lähe arvesse! Selline on karm elu.

Niisiis, lahendada eksamirežiimis ! See on muide eksamiks valmistumine. Lahendame näite, kontrollime, lahendame järgmise. Otsustasime kõik – kontrollisime uuesti esimesest viimaseni. Aga ainult Siis vaata vastuseid.

Arvutama:

Kas otsustasite?

Otsite vastuseid, mis vastavad teie omadele. Panin need konkreetselt sassi kirja, nii-öelda kiusatusest eemale... Siin need on, vastused, semikooloniga kirja pandud.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Ja nüüd teeme järeldused. Kui kõik õnnestus - palju õnne teile! Elementaarsed arvutused murdarvudega pole teie probleem! Saate teha tõsisemaid asju. Kui ei...

Nii et teil on üks kahest probleemist. Või mõlemad korraga.) Teadmiste puudumine ja (või) tähelepanematus. Aga see lahendatav Probleemid.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Tavalised murdarvud kohtuvad koolilastega esmakordselt 5. klassis ja saadavad neid kogu elu, kuna igapäevaelus on sageli vaja mõnda objekti käsitleda või kasutada mitte täielikult, vaid eraldi tükkidena. Selle teema uurimise algus - jaga. Aktsiad on võrdsed osad milleks objekt on jagatud. Alati ei ole ju võimalik näiteks toote pikkust või hinda täisarvuna väljendada, arvesse tuleks võtta mis tahes mõõdu osasid või osasid. Moodustati tegusõnast "purustama" - osadeks jagama ja millel on araabia juured, ilmus VIII sajandil vene keeles sõna "fraktsioon".

Murdlauseid on pikka aega peetud matemaatika kõige raskemaks osaks. 17. sajandil, kui ilmusid esimesed matemaatikaõpikud, hakati neid nimetama "katkiseteks numbriteks", mida oli inimeste arusaamises väga raske kuvada.

moodne välimus Lihtsad fraktsioonijäägid, mille osad on eraldatud täpselt horisontaalse joonega, panustati esmakordselt Fibonacci - Leonardo of Pisa. Tema kirjutised pärinevad aastast 1202. Kuid selle artikli eesmärk on lihtsalt ja selgelt selgitada lugejale, kuidas toimub erinevate nimetajatega segamurdude korrutamine.

Erinevate nimetajatega murdude korrutamine

Esialgu on vaja kindlaks teha murdude sordid:

• õige;
• vale;
• segatud.

Järgmiseks peate meeles pidama, kuidas samade nimetajatega murdarvud korrutatakse. Selle protsessi reeglit on lihtne iseseisvalt sõnastada: samade nimetajatega lihtmurdude korrutamise tulemus on murdosa avaldis, mille lugeja on lugejate korrutis ja nimetaja on nende murdude nimetajate korrutis. . See tähendab, et tegelikult on uus nimetaja esialgu ühe olemasoleva nimetaja ruut.

Korrutamisel lihtmurrud erinevate nimetajatega kahe või enama teguri puhul reegel ei muutu:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Ainus erinevus seisneb selles, et murdvarba all moodustatud arv on erinevate arvude korrutis ja loomulikult ei saa seda nimetada ühe arvavaldise ruuduks.

Tasub kaaluda erinevate nimetajatega murdude korrutamist näidete abil:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Näidetes kasutatakse võimalusi murdavaldiste vähendamiseks. Nimetaja numbritega saab vähendada ainult lugeja numbreid, murdvarba kohal või all olevaid külgnevaid tegureid ei saa vähendada.

Lihtsate murdarvude kõrval on ka segamurdude mõiste. Segaarv koosneb täisarvust ja murdosast, see tähendab, et see on nende arvude summa:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kuidas korrutamine toimib?

Kaalumiseks on toodud mitu näidet.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Näites kasutatakse arvu korrutamist tavaline murdosa, saate selle toimingu reegli valemiga üles kirjutada:

* b/c = a*b /c.

Tegelikult on selline korrutis identsete murdjääkide summa ja terminite arv näitab seda naturaalarvu. erijuhtum:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Arvu murdosa jäägiga korrutamise lahendamiseks on veel üks võimalus. Lihtsalt jagage nimetaja selle arvuga:

d* e/f = e/f: d.

Seda tehnikat on kasulik kasutada siis, kui nimetaja jagatakse naturaalarvuga ilma jäägita või, nagu öeldakse, täielikult.

Teisendage segaarvud valedeks murdudeks ja hankige korrutis eelnevalt kirjeldatud viisil:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

See näide hõlmab viisi, kuidas segamurdu esitada vale murdena, seda saab esitada ka üldvalemina:

a bc = a*b+ c / c, kus uue murdosa nimetaja moodustatakse, korrutades täisarvu nimetajaga ja lisades selle algse murdosa lugejale ning nimetaja jääb samaks.

See protsess toimib ka tagakülg. Täisarvulise osa ja murdosa valimiseks peate vale murdu lugeja jagama selle nimetajaga nurgaga.

Vale murdude korrutamine toodetakse tavapärasel viisil. Kui kirje läheb ühe murrurea alla, peate vajadusel murde vähendama, et seda meetodit kasutades arvusid vähendada ja tulemust on lihtsam arvutada.

Internetis on palju abilisi ka keeruliste probleemide lahendamiseks. matemaatika ülesandeid erinevates programmides. Piisav hulk selliseid teenuseid pakub abi murdarvude korrutamise lugemisel erinevad numbrid nimetajates - nn võrgukalkulaatorid murdude arvutamiseks. Nad on võimelised mitte ainult korrutama, vaid tegema ka kõiki muid lihtsaid aritmeetilisi tehteid tavaliste murdude ja seganumbrid. Sellega töötamine pole keeruline, saidi lehel täidetakse vastavad väljad, valitakse matemaatilise toimingu märk ja vajutatakse “arvuta”. Programm loeb automaatselt.

Murdarvudega aritmeetiliste tehteteema on aktuaalne kogu kesk- ja vanema kooliõpilase hariduses. Keskkoolis ei arvestata enam kõige lihtsamate liikidega, vaid täisarvu murdosa avaldised, kuid varem saadud teadmisi teisendus- ja arvutusreeglitest rakendatakse algsel kujul. Hästi õpitud baasteadmised annavad täieliku kindlustunde kõige keerulisemate ülesannete edukaks lahendamiseks.

Kokkuvõtteks on mõttekas tsiteerida Lev Tolstoi sõnu, kes kirjutas: “Inimene on murdosa. Inimese võimuses ei ole suurendada oma lugejat - oma teeneid, kuid igaüks võib vähendada oma nimetajat - oma arvamust iseendast ja jõuda selle vähenemisega lähemale oma täiuslikkusele.

Murd on üks või mitu terviku osa, mida tavaliselt võetakse ühikuna (1). Nagu naturaalarvude puhul, saate murdudega teha kõiki põhilisi aritmeetilisi toiminguid (liitmine, lahutamine, jagamine, korrutamine), selleks peate teadma murdudega töötamise funktsioone ja eristama nende tüüpe. Murrud on mitut tüüpi: kümnend- ja tavalised või lihtmurrud. Igal murdutüübil on oma eripärad, kuid kui olete põhjalikult välja mõelnud, kuidas nendega üks kord hakkama saada, saate lahendada kõik näited murdudega, kuna teate murdarvudega aritmeetiliste arvutuste tegemise põhiprintsiipe. Vaatame näiteid, kuidas jagada murdosa täisarvuga kasutades erinevad tüübid fraktsioonid.

Kuidas jagada koma täisarvuga?
Kümnendmurd on murd, mis saadakse ühiku jagamisel kümneks, tuhandeks ja nii edasi osadeks. Aritmeetilised toimingud kümnendmurdudega on üsna lihtsad.

Vaatleme näidet, kuidas jagada murdosa täisarvuga. Oletame, et peame jagama kümnendmurru 0,925 naturaalarvuga 5.

• eraldada kümnendmurd naturaalarvule rakendatakse veergu jagamist;
  
• privaatsesse pannakse koma, kui dividendi täisarvulise osa jagamine on lõpetatud.