Ristküliku kontseptsiooni viis olulist omadust. Mis on ristkülik? Ristküliku erijuhud

Ristkülik on rööpkülik, mille kõik nurgad on täisnurgad (võrdne 90 kraadiga). Ristküliku pindala on võrdne selle külgnevate külgede korrutisega. Ristküliku diagonaalid on võrdsed. Teine valem ristküliku pindala leidmiseks pärineb diagonaalides väljendatud nelinurga pindala valemist.

Ristkülik on nelinurk, mille iga nurk on täisnurk.

Ruut on ristküliku erijuhtum.

Ristkülikul on kaks paari võrdseid külgi. Pikima külgede paari pikkust nimetatakse ristküliku pikkus ja lühima pikkus - ristküliku laius.

Ristküliku omadused

1. Ristkülik on rööpkülik.

Seda omadust seletatakse rööpküliku tunnuse 3 tegevusega (st \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) )

2. Vastasküljed on võrdsed.

\(AB = CD,\entühik BC = AD \)

3. Vastasküljed on paralleelsed.

\(AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD \)

4. Külgnevad küljed on üksteisega risti.

\(AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD\perp AB \)

5. Ristküliku diagonaalid on võrdsed.

\(AC = BD\)

Vastavalt vara 1 ristkülik on rööpkülik, mis tähendab \(AB = CD \) .

Järelikult \(\kolmnurk ABD = \kolmnurk DCA \) kahel jalal (\(AB = CD \) ja \(AD \) - liigend).

Kui mõlemad arvud - \(ABC \) ja \(DCA \) on identsed, siis on ka nende hüpotenuusid \(BD \) ja \(AC \) identsed.

Seega \(AC = BD \) .

Ainult kõigist kujunditest koosnev ristkülik (ainult rööpkülikutest!) Omab võrdseid diagonaale.

Tõestame ka seda.

\(\Paremnool AB = CD \) , \(AC = BD \) tingimuse järgi. \(\Paremnool \kolmnurk ABD = \kolmnurk DCA \) juba kolmest küljest.

Selgub, et \(\nurk A = \nurk D \) (nagu rööpküliku nurgad). Ja \(\nurk A = \nurk C \) , \(\nurk B = \nurk D \) .

Me järeldame seda \(\nurk A = \nurk B = \nurk C = \nurk D \). Kõik need \(90^(\circ) \) . Summa on \(360^(\circ) \) .

7. Diagonaal jagab ristküliku kaheks identseks täisnurkseks kolmnurgaks.

\(\kolmnurk ABC = \kolmnurk ACD, \entühik \kolmnurk ABD = \kolmnurk BCD \)

8. Diagonaalide lõikepunkt poolitab need.

\(AO = BO = CO = DO \)

9. Diagonaalide lõikepunktiks on ristküliku ja piiritletud ringi keskpunkt.

Definitsioon.

Ristkülikud erinevad üksteisest ainult pika külje ja lühikese külje suhte poolest, kuid kõik neli on õiged, st igaüks 90 kraadi.

Ristküliku pikka külge nimetatakse ristküliku pikkus ja lühike ristküliku laius.

Ristküliku küljed on ka selle kõrgused.

Ristküliku põhiomadused

Ristkülik võib olla rööpkülik, ruut või romb.

1. Ristküliku vastasküljed on ühepikkused, st võrdsed:

AB = CD, BC = AD

2. Ristküliku vastasküljed on paralleelsed:

3. Ristküliku külgnevad küljed on alati risti:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Ristküliku kõik neli nurka on sirged:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Ristküliku nurkade summa on 360 kraadi:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Ristküliku diagonaalid on ühepikkused:

7. Ristküliku diagonaali ruutude summa võrdub külgede ruutude summaga:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Iga ristküliku diagonaal jagab ristküliku kaheks identseks kujundiks, nimelt täisnurkseks kolmnurgaks.

9. Ristküliku diagonaalid lõikuvad ja jagatakse lõikepunktis pooleks:

10. Diagonaalide lõikepunkti nimetatakse ristküliku keskpunktiks ja see on ka piiritletud ringi keskpunkt

11. Ristküliku diagonaal on piiritletud ringi läbimõõt

12. Ringi saab alati kirjeldada ümber ristküliku, kuna vastasnurkade summa on 180 kraadi:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Ringi ei saa kirjutada ristkülikusse, mille pikkus ei ole võrdne selle laiusega, kuna vastaskülgede summad ei ole üksteisega võrdsed (ringi saab kirjutada ainult ristküliku erijuhul - ruut).

Ristküliku küljed

Definitsioon.

Valemid ristküliku külgede pikkuste määramiseks

1. Ristküliku külje (ristküliku pikkus ja laius) diagonaali ja teise külje valem:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Ristküliku külje (ristküliku pikkus ja laius) pindala ja teise külje valem:

Ristkülik diagonaal

Definitsioon.

Valemid ristküliku diagonaali pikkuse määramiseks

1. Ristküliku diagonaali valem ristküliku kahe külje järgi (Pythagorase teoreemi kaudu):

d = √ a 2 + b 2

2. Ristküliku pindala ja mis tahes külje diagonaali valem:

4. Ristküliku diagonaali valem piiritletud ringi raadiuse järgi:

d=2R

5. Ristküliku diagonaali valem piiritletud ringi läbimõõdu järgi:

d = D o

6. Ristküliku diagonaali valem diagonaaliga külgneva nurga siinuse ja selle nurga vastaskülje pikkuse järgi:

8. Ristküliku diagonaali valem diagonaalide ja ristküliku pindala vahelise teravnurga siinuse järgi

d = √2S: sinβ

Ristküliku ümbermõõt

Definitsioon.

Valemid ristküliku perimeetri pikkuse määramiseks

1. Ristküliku ümbermõõdu valem ristküliku kahe külje järgi:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Ristküliku ümbermõõdu valem pindala ja mis tahes külje järgi:

3. Ristküliku ümbermõõdu valem diagonaali ja mis tahes külje järgi:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Ristküliku ümbermõõdu valem piiritletud ringi ja mis tahes külje raadiuse järgi:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Ristküliku ümbermõõdu valem piiritletud ringi ja mis tahes külje läbimõõdu järgi:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Ristküliku ala

Definitsioon.

Valemid ristküliku pindala määramiseks

1. Ristküliku kahe külje pindala valem:

S = a b

2. Perimeetrit ja mis tahes külge läbiva ristküliku pindala valem:

5. Ristküliku pindala valem piiritletud ringi ja mis tahes külje raadiuse järgi:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Ristküliku pindala valem piiritletud ringi ja mis tahes külje läbimõõdu järgi:

S \u003d a √ D o 2 - a 2= b √ D o 2 - b 2

Ring, mis on ümbritsetud ristküliku ümber

Definitsioon.

Valemid ristküliku ümber piiratud ringjoone raadiuse määramiseks

1. Ristküliku ümber kahe küljega ümbritsetud ringi raadiuse valem:

Tunni eesmärgid

Kinnitada õpilaste teadmisi ristküliku teemal;
Jätkata õpilastele ristküliku definitsioonide ja omaduste tutvustamist;
Õpetada kooliõpilasi kasutama antud teemal omandatud teadmisi ülesannete lahendamisel;
Arendage huvi matemaatika, tähelepanu, loogiline mõtlemine;
Kasvatage enesevaatluse ja distsipliini võimet.

Tunni eesmärgid

Korrata ja kinnistada kooliõpilaste teadmisi sellisest mõistest nagu ristkülik, lähtudes eelmistes tundides omandatud teadmistest;
Jätkata kooliõpilaste teadmiste täiendamist ristkülikute omaduste ja tunnuste kohta;
Jätkata oskuste arendamist ülesannete lahendamise protsessis;
Tekitada huvi matemaatikatundide vastu;
Kasvatage huvi vastu täppisteadused ja positiivne suhtumine matemaatikatundi.

Tunniplaan

1. Teoreetiline osa, Üldine informatsioon, definitsioonid.
2. Teema "Ristkülikud" kordamine.
3. Ristküliku omadused.
4. Ristküliku märgid.
5. Huvitavaid fakte kolmnurkade elust.
6. Kuldne ristkülik, üldmõisted.
7. Küsimused ja ülesanded.

Mis on ristkülik

Eelmistes tundides olete juba õppinud ristkülikute teemasid. Nüüd värskendame oma mälu ja meenutame, mis kujuga see on, mida nimetatakse ristkülikuks.

Ristkülik on rööpkülik, mille neli nurka on täisnurksed ja võrdne 90 kraadiga.

Ristkülik on selline geomeetriline kujund, mis koosneb neljast küljest ja neljast täisnurgast.

Ristküliku vastasküljed on alati võrdsed.

Kui võtta arvesse ristküliku määratlust Eukleidilise geomeetrias, siis selleks, et nelinurka saaks pidada ristkülikuks, on vajalik, et sellel geomeetrilisel joonisel oleks vähemalt kolm nurka õiged. Sellest järeldub, et ka neljas nurk on üheksakümmend kraadi.

Kuigi on selge, et kui nelinurga nurkade summal ei ole 360 ​​kraadi, pole see arv ristkülik.

Kui tavalise ristküliku kõik küljed on üksteisega võrdsed, nimetatakse sellist ristkülikut ruuduks.

Mõnel juhul võib ruut toimida rombina, kui sellisel rombil on kõik täisnurgad, välja arvatud võrdsed küljed.

Mis tahes geomeetrilise kujundi seotuse tõestamiseks ristkülikus piisab, kui see geomeetriline kujund vastab vähemalt ühele järgmistest nõuetest:

1. selle joonise diagonaali ruut peab olema võrdne kahe ühise punktiga külje ruutude summaga;
2. geomeetrilise kujundi diagonaalid peavad olema ühepikkused;
3. geomeetrilise kujundi kõik nurgad peavad olema üheksakümmend kraadi.

Kui need tingimused vastavad vähemalt ühele nõudele, on teil ristkülik.

Ristkülik geomeetrias on peamine põhikuju, millel on palju alamliike, millel on oma erilised omadused ja omadused.

Harjutus: nimi geomeetrilised kujundid, mis viitavad ristkülikutele.

Ristkülik ja selle omadused

Tuletagem nüüd meelde ristküliku omadusi:

Ristküliku kõik diagonaalid on võrdsed;
Ristkülik on rööpkülik, mille vastasküljed on paralleelsed;
Ristküliku küljed on ka selle kõrgused;
Ristkülikul on võrdsed vastasküljed ja nurgad;
Ringi saab piirata mis tahes ristküliku ümber, pealegi on ristküliku diagonaal võrdne piiratud ringi läbimõõduga.
Ristküliku diagonaalid jagavad selle kaheks võrdne kolmnurk;
Pythagorase teoreemi järgi on ristküliku diagonaali ruut võrdne selle 2 mittevastandkülje ruutude summaga;

Harjutus:

1. Ristkülikul on kaks võimalust, mille puhul saab selle jagada 2 võrdseks ristkülikuks. Joonistage vihikusse kaks ristkülikut ja jagage need nii, et saaksite 2 üksteisega võrdset ristkülikut.

2. Kirjeldage ristküliku ümber ringjoont, mille läbimõõt on võrdne ristküliku diagonaaliga.

3. Kas ristkülikusse saab kirjutada ringi nii, et see puudutab kõiki selle külgi, kuid tingimusel, et see ristkülik pole ruut?

Ristküliku omadused

Rööpkülik on ristkülik, kui:

1. kui sellel on vähemalt üks täisnurk;
2. kui selle kõik neli nurka on õiged;
3. kui vastasküljed on võrdsed;
4. kui vähemalt kolm nurka on õiged;
5. kui selle diagonaalid on võrdsed;
6. kui diagonaali ruut on võrdne mittevastaste külgede ruutude summaga.

See on huvitav teada

Kas teadsite, et kui joonistada nurgapoolitajad ristkülikusse, mille külgnevad küljed on ebaühtlased, siis nende lõikumisel saadakse ristkülik.

Aga kui ristküliku tõmmatud poolitaja lõikab selle ühte külge, siis lõikab see sellest ristkülikust ära võrdhaarse kolmnurga.

Kas teate, et juba enne seda, kui Malevitš maalis oma silmapaistva “Musta ruudu”, 1882. aastal esitleti Pariisi näitusel Paul Bilo maali, mille lõuendil oli kujutatud musta ristkülikut omapärase nimega “Musta ruudu lahing”. Neegrid tunnelis”.

Selline musta ristkülikuga idee inspireeris teisi kultuuritegelasi. prantsuse kirjanik humorist Alphonse Allais valmistas terve rea oma töid ja aja jooksul tekkis radikaalpunases värvitoonis ristkülikukujuline maastik nimega "Tomatite saagikoristus Punase mere rannikul apoplektiliste kardinalide poolt", millel samuti puudus pilt.

Harjutus

1. Nimetage omadus, mis on ristkülikule ainulaadne?
2. Mis vahe on suvalise rööpküliku ja ristküliku vahel?
3. Kas vastab tõele, et rööpkülik võib olla iga ristkülik? Kui jah, siis palun tõestage, miks?
4. Nimetage nelinurgad, mis on ristkülikud.
5. Sõnasta ristküliku omadused.

ajalooline fakt

Eukleidese ristkülik

Kas teadsite, et Eukleidese ristkülik, mida nimetatakse kuldseks lõikeks, oli pikka aega mis tahes religioosse tähtsusega ehitise jaoks, tollal täiuslik ja proportsionaalne ehituse alus. Tema abiga ehitati enamus Vana-Kreeka renessansi- ja klassikaliste templite hooneid.

"Kuldset" ristkülikut nimetatakse selliseks geomeetriliseks ristkülikuks, suhteks suurem külg mis võrdub kuldsuhtega väiksemaga.

Selle ristküliku külgede suhe oli 382:618 ehk ligikaudu 19:31. Eukleidese ristkülik oli sel ajal kõige otstarbekam, mugavam, ohutum ja ohutum. tavaline ristkülik kõikidest geomeetrilistest kujunditest. Selle tunnuse tõttu on läbivalt kasutatud Eukleidese ristkülikut või selle lähendust. Seda kasutati majades, maalides, mööblis, akendes, ustes ja isegi raamatutes.

Navaho indiaanlaste seas võrreldi ristkülikut naise kujuga, kuna seda peeti maja tavapäraseks standardvormiks, mis sümboliseerib seda maja omavat naist.

Ristkülik on nelinurk, mille iga nurk on täisnurk.

Tõestus

Seda omadust seletatakse rööpküliku tunnuse 3 toimega (st \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Vastasküljed on võrdsed.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Vastasküljed on paralleelsed.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Külgnevad küljed on üksteisega risti.

AB \perp BC,\entühik BC \perp CD,\entühik CD \perp AD,\enspace AD ​​​​\perp AB

5. Ristküliku diagonaalid on võrdsed.

AC=BD

Tõestus

Vastavalt vara 1 ristkülik on rööpkülik, mis tähendab AB = CD.

Seetõttu \kolmnurk ABD = \kolmnurk DCA piki kahte jalga (AB = CD ja AD - liigend).

Kui mõlemad joonised - ABC ja DCA on identsed, siis on ka nende hüpotenuusid BD ja AC identsed.

Seega AC = BD.

Ainult kõigist kujunditest koosnev ristkülik (ainult rööpkülikutest!) Omab võrdseid diagonaale.

Tõestame ka seda.

ABCD on rööpkülik \Paremnool AB = CD , AC = BD tingimuse järgi. \Paremnool \kolmnurk ABD = \kolmnurk DCA juba kolmest küljest.

Selgub, et \nurk A = \nurk D (nagu rööpküliku nurgad). Ja \nurk A = \nurk C, \nurk B = \nurk D.

Me järeldame seda \nurk A = \nurk B = \nurk C = \nurk D. Kõik need on 90^(\circ) . Kokku on 360^(\circ) .

Tõestatud!

6. Diagonaali ruut võrdub selle kahe külgneva külje ruutude summaga.

See omadus kehtib Pythagorase teoreemi alusel.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Diagonaal jagab ristküliku kaheks identseks täisnurkseks kolmnurgaks.

\kolmnurk ABC = \kolmnurk ACD, \enspace \kolmnurk ABD = \kolmnurk BCD

8. Diagonaalide lõikepunkt poolitab need.

AO=BO=CO=DO

9. Diagonaalide lõikepunktiks on ristküliku ja piiritletud ringi keskpunkt.

10. Kõikide nurkade summa on 360 kraadi.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Ristküliku kõik nurgad on õiged.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Ristkülikut ümbritseva ringjoone läbimõõt on võrdne ristküliku diagonaaliga.

13. Ringi saab alati kirjeldada ristküliku ümber.

See omadus kehtib, kuna ristküliku vastasnurkade summa on 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Ristkülik võib sisaldada sissekirjutatud ringi ja ainult ühte, kui sellel on ühesugused küljepikkused (see on ruut).

Õppetund teemal "Ristkülik ja selle omadused"

Tunni eesmärgid:

Korrake ristküliku kontseptsiooni, tuginedes 1.–6. klassi õpilaste matemaatika käigus omandatud teadmistele.

Mõelge ristküliku omadustele kui teatud tüüpi rööpkülikule.

Mõelge ristküliku konkreetsele omadusele.

Näidake omaduste rakendamist probleemide lahendamisel.

Tundide ajal.

I Oorganiseerimise hetk.

Teatage tunni eesmärk, tunni teema. (slaid 1)

IIUue materjali õppimine.

· Korda:

1. Millist kujundit nimetatakse rööpkülikuks?

2. Millised omadused on rööpkülikul? (slaid 2)

● Tutvustage ristküliku mõistet.

Millist rööpkülikut saab nimetada ristkülikuks?

Definitsioon: ristkülik on rööpkülik, millel on kõik täisnurgad.(slaid 3)

Seega, kuna ristkülik on rööpkülik, on sellel kõik rööpküliku omadused. Kuna ristkülikul on erinev nimi, peab sellel olema oma omadus (slaid 4).

● Õpilase ülesanne (isejuhitav): uurige rööpküliku ja ristküliku külgi, nurki ja diagonaale, salvestades tulemused tabelisse.

Tee järeldus: ristküliku diagonaalid on võrdsed.

● See väljund on ristküliku eraomand:

Teoreem. D ristküliku diagonaalid on võrdsed.(slaidid 5)

Tõestus:

1) Vaatleme ∆ACD ja ∆ABD:

a) ADC = https://pandia.ru/text/78/059/images/image005_65.jpg" width="120" height="184 src="> a) b) 181">

2. Leidke ristküliku küljed, teades, et selle ümbermõõt on 24 cm.

1) ACD - ristkülikukujuline, selles CAD \u003d 30 °,

seega CD = 0,5AC = 6 cm.

2) AB = CD = 6 cm.

3) Ristkülikus on diagonaalid võrdsed ja lõikepunkt jagatakse pooleks, st AO \u003d VO \u003d 6 cm.

4) p (aow) = AO + BO + AB \u003d 6 + 6 + 6 = 18 cm.

Vastus: 18 cm.

IV Õppetunni kokkuvõte.

Ristkülikul on järgmised omadused:

1. Ristküliku nurkade summa on 360°.

2. Ristküliku vastasküljed on võrdsed.

3. Ristküliku diagonaalid lõikuvad ja lõikepunkt jagatakse pooleks.

4. Ristküliku nurgapoolitaja lõikab sellest ära võrdhaarse kolmnurga.

5. Ristküliku diagonaalid on võrdsed.

V Kodutöö.

Lk 45, küsimused 12,13. Nr 000, 401 a), 404 (16. slaid)

Kodus kaaluge iseseisvalt ristküliku märki.