Mis on täisnurkse kolmnurga kõrgus. Täisnurkne kolmnurk

Keskmine tase

Täisnurkne kolmnurk. Täielik illustreeritud juhend (2019)

PAREM KOLMNURK. ESIMESE TASE.

Ülesannetes pole täisnurk üldse vajalik - alumine vasak, nii et peate õppima, kuidas sellel kujul täisnurkset kolmnurka ära tunda,

ja sellises

ja sellises

Mis on täisnurkses kolmnurgas head? Noh... esiteks on seal erilised ilusad nimed tema külgede jaoks.

Tähelepanu joonisele!

Pidage meeles ja ärge ajage segadusse: jalad - kaks ja hüpotenuus - ainult üks(ainus, ainulaadne ja pikim)!

Noh, arutasime nimesid, nüüd kõige olulisemat: Pythagorase teoreemi.

Pythagorase teoreem.

See teoreem on võti paljude täisnurkse kolmnurgaga seotud probleemide lahendamiseks. Seda tõestas Pythagoras täiesti ammustel aegadel ja sellest ajast alates on see toonud palju kasu neile, kes seda teavad. Ja parim asi tema juures on see, et ta on lihtne.

Niisiis, Pythagorase teoreem:

Kas mäletate nalja: "Pythagorase püksid on igast küljest võrdsed!"?

Joonistame need väga Pythagorase püksid ja vaatame neid.

Kas see näeb tõesti välja nagu lühikesed püksid? Noh, millistel pooltel ja kus nad on võrdsed? Miks ja kust nali tuli? Ja see nali on seotud just Pythagorase teoreemiga, täpsemalt sellega, kuidas Pythagoras ise oma teoreemi sõnastas. Ja ta sõnastas selle nii:

"Summa ruutude pindala, ehitatud jalgadele, on võrdne ruudu pindala ehitatud hüpotenuusile.

Kas see ei kõla natuke teistmoodi, kas pole? Ja nii, kui Pythagoras joonistas oma teoreemi avalduse, selgus just selline pilt.

Sellel pildil on väikeste ruutude pindalade summa võrdne suure ruudu pindalaga. Ja et lapsed mäletaksid paremini, et jalgade ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga, mõtles keegi vaimukas selle nalja Pythagorase pükste kohta.

Miks me nüüd Pythagorase teoreemi sõnastame

Kas Pythagoras kannatas ja rääkis väljakutest?

Näete, iidsetel aegadel polnud ... algebrat! Mingeid märke polnud ja nii edasi. Silte polnud. Kas kujutate ette, kui kohutav oli vaestel muistsetel õpilastel kõike sõnadega pähe õppida??! Ja me võime olla rõõmsad, et meil on Pythagorase teoreemi lihtne sõnastus. Kordame seda uuesti, et paremini meeles pidada:

Nüüd peaks see olema lihtne:

Hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga.

Noh, arutati kõige olulisemat teoreemi täisnurkse kolmnurga kohta. Kui teid huvitab, kuidas seda tõestatakse, lugege teooria järgmisi tasemeid ja nüüd liigume edasi ... trigonomeetria pimedasse metsa ...! To kohutavad sõnad siinus, koosinus, puutuja ja kotangens.

Siinus, koosinus, puutuja, kootangens täisnurkses kolmnurgas.

Tegelikult pole kõik üldse nii hirmus. Muidugi tuleks artiklis vaadata siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi "päris" määratlust. Aga sa tõesti ei taha, eks? Võime rõõmustada: täisnurkse kolmnurga probleemide lahendamiseks võite lihtsalt täita järgmised lihtsad asjad:

Miks on kõik nurga all? Kus on nurk? Selle mõistmiseks peate teadma, kuidas väiteid 1–4 sõnadega kirjutatakse. Vaata, mõista ja jäta meelde!

1.
See kõlab tegelikult nii:

Aga nurk? Kas on jalg, mis on nurga vastas, st vastasjalg (nurga jaoks)? Muidugi on! See on kateet!

Aga kuidas on nurgaga? Vaata lähemalt. Milline jalg külgneb nurgaga? Muidugi, kass. Niisiis, nurga jaoks on jalg külgnev ja

Ja nüüd tähelepanu! Vaata, mis meil on:

Vaadake, kui suurepärane see on:

Liigume nüüd puutuja ja kotangensi juurde.

Kuidas seda nüüd sõnadesse panna? Mis on jalg nurga suhtes? Muidugi vastas – see "lemab" nurga vastas. Ja kateet? Kõrval nurgaga. Mida me siis saime?

Kas näete, kuidas lugeja ja nimetaja on ümber pööratud?

Ja nüüd jälle nurgad ja vahetus tehtud:

Kokkuvõte

Paneme õpitu lühidalt kirja.

Pythagorase teoreem:

Peamine täisnurkse kolmnurga teoreem on Pythagorase teoreem.

Pythagorase teoreem

Muide, kas mäletate hästi, mis on jalad ja hüpotenuus? Kui ei, siis vaata pilti – värskenda oma teadmisi

Võimalik, et olete Pythagorase teoreemi juba korduvalt kasutanud, kuid kas olete kunagi mõelnud, miks selline teoreem on tõene. Kuidas sa seda tõestaksid? Teeme nii nagu vanad kreeklased. Joonistame küljega ruudu.

Näete, kui kavalalt me selle küljed pikkusteks jagasime!

Nüüd ühendame märgitud punktid

Siin aga märkisime veel midagi, aga vaata ise pilti ja mõtle, miks.

Kui suur on suurema ruudu pindala? Õigesti,. Aga väiksema alaga? Muidugi, . Nelja nurga kogupindala jääb alles. Kujutage ette, et võtsime neist kaks ja nõjatusime hüpotenuusidega üksteise vastu. Mis juhtus? Kaks ristkülikut. Seega on "pistikute" pindala võrdne.

Paneme nüüd kõik kokku.

Muutame:

Niisiis külastasime Pythagorast – tõestasime tema teoreemi iidsel moel.

Täisnurkne kolmnurk ja trigonomeetria

Täisnurkse kolmnurga puhul kehtivad järgmised seosed:

Teravnurga siinus võrdub vastasjala ja hüpotenuusi suhtega

Terava nurga koosinus võrdub külgneva jala ja hüpotenuusi suhtega.

Teravnurga puutuja on võrdne vastasjala ja külgneva jala suhtega.

Teravnurga kotangens on võrdne külgneva jala ja vastasjala suhtega.

Ja veel kord, kõik see taldriku kujul:

See on väga mugav!

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid

I. Kahel jalal

II. Jala ja hüpotenuusiga

III. Hüpotenuusi ja teravnurga järgi

IV. Mööda jalga ja teravnurka

Tähelepanu! Siin on väga oluline, et jalad oleksid "vastavad". Näiteks kui see läheb nii:

SIIS EI OLE KOLMNURGAD VÕRDSED, hoolimata asjaolust, et neil on üks identne teravnurk.

Vaja mõlemas kolmnurgas oli jalg külgnev või mõlemas vastas.

Kas olete märganud, kuidas täisnurksete kolmnurkade võrdusmärgid erinevad tavalistest kolmnurkade võrdusmärkidest? Vaadake teemat "ja pöörake tähelepanu asjaolule, et "tavaliste" kolmnurkade võrdsuse jaoks on vaja nende kolme elemendi võrdsust: kaks külge ja nendevaheline nurk, kaks nurka ja nendevaheline külg või kolm külge. Kuid täisnurksete kolmnurkade võrdsuse jaoks piisab ainult kahest vastavast elemendist. See on suurepärane, eks?

Ligikaudu sama olukord täisnurksete kolmnurkade sarnasusmärkidega.

Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märgid

I. Äge nurk

II. Kahel jalal

III. Jala ja hüpotenuusiga

Mediaan täisnurkses kolmnurgas

Miks see nii on?

Mõelge täisnurkse kolmnurga asemel tervele ristkülikule.

Joonistame diagonaali ja vaatleme punkti – diagonaalide lõikepunkti. Mida teate ristküliku diagonaalide kohta?

Ja mis sellest järeldub?

Nii juhtuski

- mediaan:

Pidage meeles seda fakti! Aitab palju!

Veelgi üllatavam on see, et ka vastupidine on tõsi.

Mida kasu saab sellest, et hüpotenuusile tõmmatud mediaan võrdub poolega hüpotenuusist? Vaatame pilti

Vaata lähemalt. Meil on: , see tähendab, et kaugused punktist kolmnurga kõigi kolme tipuni osutusid võrdseks. Kuid kolmnurgas on ainult üks punkt, mille kaugused on umbes kolmnurga kõik kolm tippu võrdsed, ja see on KIRJELDATUD RINGI KESK. Mis juhtus?

Nii et alustame sellest "pealegi...".

Vaatame i.

Kuid sarnastes kolmnurkades on kõik nurgad võrdsed!

Sama võib öelda ja kohta

Nüüd joonistame selle koos:

Mis kasu on sellest "kolmekordsest" sarnasusest.

No näiteks - kaks valemit täisnurkse kolmnurga kõrguse kohta.

Kirjutame vastavate osapoolte suhted:

Kõrguse leidmiseks lahendame proportsiooni ja saame esimene valem "Kõrgus täisnurkses kolmnurgas":

Niisiis, rakendame sarnasust: .

Mis nüüd saab?

Jällegi lahendame proportsiooni ja saame teise valemi:

Neid mõlemaid valemeid tuleb väga hästi meeles pidada ja seda, mida on mugavam rakendada. Paneme need uuesti kirja.

Pythagorase teoreem:

Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruut võrdne jalgade ruutude summaga:.

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid:

kahel jalal:
piki jalga ja hüpotenuusi: või
piki jalga ja sellega külgnevat teravnurka: või
piki jalga ja vastassuunas teravnurka: või
hüpotenuusi ja teravnurga järgi: või.

Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märgid:

üks terav nurk: või
kahe jala proportsionaalsusest:
jala ja hüpotenuusi proportsionaalsusest: või.

Siinus, koosinus, puutuja, kootangens täisnurkses kolmnurgas

Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastasjala ja hüpotenuusi suhe:
Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe:
Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on vastasjala ja külgneva jala suhe:
Täisnurkse kolmnurga teravnurga kootangens on külgneva jala ja vastandi suhe:.

Täisnurkse kolmnurga kõrgus: või.

Täisnurkses kolmnurgas on tipust tõmmatud mediaan täisnurk, võrdub poolega hüpotenuusist: .

Täisnurkse kolmnurga pindala:

läbi kateetrite:

(ABC) ja selle omadused, mis on näidatud joonisel. Täisnurksel kolmnurgal on hüpotenuus, täisnurga vastaskülg.

1. nõuanne: kuidas leida täisnurkse kolmnurga kõrgust

Külgi, mis moodustavad täisnurga, nimetatakse jalgadeks. Külgjoonis AD, DC ja BD, DC- jalad ja küljed AC ja SW- hüpotenuus.

Teoreem 1. Täisnurkses kolmnurgas, mille nurk on 30°, rebeneb selle nurga vastas olev jalg pooleks hüpotenuusist.

AB- hüpotenuus;

AD ja DB

Kolmnurk
Seal on teoreem:
kommenteerimise süsteem CACKLE

Lahendus: 1) Iga ristküliku diagonaalid on võrdsed Tõsi 2) Kui kolmnurgas on üks teravnurk, siis see kolmnurk on teravnurkne. Pole tõsi. Kolmnurkade tüübid. Kolmnurka nimetatakse teravnurkseks, kui selle kõik kolm nurka on teravnurgad, st alla 90 ° 3) Kui punkt asub.

Või teises postituses

Pythagorase teoreemi järgi

Mis on täisnurkse kolmnurga valemis kõrgus

Täisnurkse kolmnurga kõrgus

Hüpotenuusile tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrguse saab ühel või teisel viisil leida, olenevalt ülesandepüstituse andmetest.

Või teises postituses

Kus BK ja KC on jalgade projektsioonid hüpotenuusil (segmendid, milleks kõrgus jagab hüpotenuusi).

Hüpotenuusile tõmmatud kõrguse saab leida täisnurkse kolmnurga ala kaudu. Kui rakendame kolmnurga pindala leidmise valemit

(pool külje ja sellele küljele tõmmatud kõrguse korrutis) hüpotenuusile ja hüpotenuusile tõmmatud kõrgusele, saame:

Siit leiame kõrguse kolmnurga kahekordse pindala ja hüpotenuusi pikkuse suhtena:

Kuna täisnurkse kolmnurga pindala on pool jalgade korrutisest:

See tähendab, et hüpotenuusile tõmmatud kõrguse pikkus võrdub jalgade ja hüpotenuusi korrutise suhtega. Kui tähistame jalgade pikkused läbi a ja b, hüpotenuusi pikkuse läbi c, saab valemi ümber kirjutada järgmiselt

Kuna täisnurkse kolmnurga ümber piiritletud ringi raadius on võrdne poolega hüpotenuusist, saab kõrguse pikkust väljendada jalgade ja piiritletud ringi raadiusega:

Kuna hüpotenuusile tõmmatud kõrgus moodustab veel kaks täisnurkset kolmnurka, saab selle pikkuse leida täisnurkses kolmnurgas olevate suhete kaudu.

Täisnurksest kolmnurgast ABK

Täisnurksest kolmnurgast ACK

Täisnurkse kolmnurga kõrguse pikkust saab väljendada jalgade pikkustega. Sest

Pythagorase teoreemi järgi

Kui paneme võrrandi mõlemad pooled ruutu:

Võite saada teise valemi täisnurkse kolmnurga kõrguse seostamiseks jalgadega:

Mis on täisnurkse kolmnurga valemis kõrgus

Täisnurkne kolmnurk. Keskmine tase.

Kas soovite oma jõudu proovile panna ja saada teada, kui valmis olete ühtseks riigieksamiks või OGE-ks?

Peamine täisnurkse kolmnurga teoreem on Pythagorase teoreem.

Pythagorase teoreem

Muide, kas mäletate hästi, mis on jalad ja hüpotenuus? Kui ei, siis vaata pilti – värskenda oma teadmisi

Näete, kui kavalalt me selle küljed pikkusteks jagasime!

Nüüd ühendame märgitud punktid

Siin aga märkisime veel midagi, aga vaata ise pilti ja mõtle, miks.

Paneme nüüd kõik kokku.

Niisiis külastasime Pythagorast – tõestasime tema teoreemi iidsel moel.

Täisnurkne kolmnurk ja trigonomeetria

Täisnurkse kolmnurga puhul kehtivad järgmised seosed:

Teravnurga siinus võrdub vastasjala ja hüpotenuusi suhtega

Terava nurga koosinus võrdub külgneva jala ja hüpotenuusi suhtega.

Teravnurga puutuja on võrdne vastasjala ja külgneva jala suhtega.

Teravnurga kotangens on võrdne külgneva jala ja vastasjala suhtega.

Ja veel kord, kõik see taldriku kujul:

Kas olete märganud üht väga mugavat asja? Vaadake plaati hoolikalt.

See on väga mugav!

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid

II. Jala ja hüpotenuusiga

III. Hüpotenuusi ja teravnurga järgi

IV. Mööda jalga ja teravnurka

Tähelepanu! Siin on väga oluline, et jalad oleksid "vastavad". Näiteks kui see läheb nii:

SIIS EI OLE KOLMNURGAD VÕRDSED, hoolimata asjaolust, et neil on üks identne teravnurk.

Vaja Mõlemas kolmnurgas oli jalg külgnev või mõlemas vastas.

Kas olete märganud, kuidas täisnurksete kolmnurkade võrdusmärgid erinevad tavalistest kolmnurkade võrdusmärkidest? Heitke pilk teemale "Kolmnurk" ja pöörake tähelepanu asjaolule, et "tavaliste" kolmnurkade võrdsuse jaoks on vaja nende kolme elemendi võrdsust: kaks külge ja nendevaheline nurk, kaks nurka ja külg nende vahel, või kolm külge. Kuid täisnurksete kolmnurkade võrdsuse jaoks piisab ainult kahest vastavast elemendist. See on suurepärane, eks?

Ligikaudu sama olukord täisnurksete kolmnurkade sarnasusmärkidega.

Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse märgid

III. Jala ja hüpotenuusiga

Mediaan täisnurkses kolmnurgas

Mõelge täisnurkse kolmnurga asemel tervele ristkülikule.

Joonistage diagonaal ja arvestage diagonaalide ristumispunktiga. Mida teate ristküliku diagonaalide kohta?

Diagonaalide lõikepunkt poolitab Diagonaalid on võrdsed

Ja mis sellest järeldub?

Nii juhtuski

Pidage meeles seda fakti! Aitab palju!

Veelgi üllatavam on see, et ka vastupidine on tõsi.

Mida kasu saab sellest, et hüpotenuusile tõmmatud mediaan võrdub poolega hüpotenuusist? Vaatame pilti

Nii et alustame sellest "pealegi. ".

Kuid sarnastes kolmnurkades on kõik nurgad võrdsed!

Sama võib öelda ja kohta

Nüüd joonistame selle koos:

Mõlemal on ühesugused teravad nurgad!

Mis kasu on sellest "kolmekordsest" sarnasusest.

No näiteks - Kaks täisnurkse kolmnurga kõrguse valemit.

Kirjutame vastavate osapoolte suhted:

Kõrguse leidmiseks lahendame proportsiooni ja saame Esimene valem "Kõrgus täisnurkses kolmnurgas":

Kuidas saada teine?

Ja nüüd rakendame kolmnurkade sarnasust ja.

Niisiis, rakendame sarnasust: .

Mis nüüd saab?

Jällegi lahendame proportsiooni ja saame teise valemi "Kõrgus täisnurkses kolmnurgas":

Neid mõlemaid valemeid tuleb väga hästi meeles pidada ja seda, mida on mugavam rakendada. Paneme need uuesti kirja.

Noh, nüüd, rakendades ja kombineerides neid teadmisi teistega, lahendate kõik ülesanded täisnurkse kolmnurga abil!

Kommentaarid

Materjalide levitamine ilma kooskõlastuseta on lubatud, kui lähtelehele on lisatud dofollow link.

Privaatsuspoliitika

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

Meil

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

isiklik informatsioon

Täisnurkse kolmnurga kõrgusomadus langes hüpotenuusile

Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

kohtuvaidlusi

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Aitäh sõnumi eest!

Teie kommentaar on vastu võetud, pärast modereerimist avaldatakse see sellel lehel.

Kas soovite teada, mis on lõike all peidus, ja saada eksklusiivseid materjale OGE ja USE ettevalmistamiseks? Jäta e-mail

Täisnurkse kolmnurga omadused

Mõelge täisnurksele kolmnurgale (ABC) ja selle omadused, mis on näidatud joonisel. Täisnurksel kolmnurgal on hüpotenuus, täisnurga vastaskülg. Külgi, mis moodustavad täisnurga, nimetatakse jalgadeks. Külgjoonis AD, DC ja BD, DC- jalad ja küljed AC ja SW- hüpotenuus.

Täisnurkse kolmnurga võrdsuse märgid:

Teoreem 1. Kui täisnurkse kolmnurga hüpotenuus ja jalg on sarnased teise kolmnurga hüpotenuusi ja jalaga, siis on sellised kolmnurgad võrdsed.

Teoreem 2. Kui täisnurkse kolmnurga kaks haru on võrdsed teise kolmnurga kahe haruga, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed.

Teoreem 3. Kui täisnurkse kolmnurga hüpotenuus ja teravnurk on sarnased teise kolmnurga hüpotenuusiga ja teravnurk, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed.

Teoreem 4. Kui täisnurkse kolmnurga jalg ja sellega külgnev (vastane) teravnurk on võrdsed teise kolmnurga haru ja sellega külgneva (vastassuunalise) teravnurgaga, siis on sellised kolmnurgad kongruentsed.

30 ° nurga vastas oleva jala omadused:

1. teoreem.

Kõrgus täisnurkses kolmnurgas

Täisnurkses kolmnurgas, mille nurk on 30°, rebeneb selle nurga vastas olev jalg pooleks hüpotenuusist.

Teoreem 2. Kui täisnurkses kolmnurgas on jalg võrdne poolega hüpotenuusist, siis vastasnurk on 30°.

Kui tõmmata kõrgus täisnurga tipust hüpotenuusile, siis jagatakse selline kolmnurk kaheks väiksemaks, mis on sarnased väljuva ja sarnased teisega. Sellest tulenevad järgmised järeldused:

Kõrgus on kahe hüpotenuusi segmendi geomeetriline keskmine (proportsionaalne keskmine).
Kolmnurga iga jalg on hüpotenuusi ja külgnevate segmentidega võrdeline keskmine.

Täisnurkses kolmnurgas toimivad jalad kõrgustena. Ortotsenter on punkt, kus kolmnurga kõrgused ristuvad. See langeb kokku joonise õige nurga ülaosaga.

hC- kolmnurga täisnurga alt väljuv kõrgus;

AB- hüpotenuus;

AD ja DB- segmendid, mis tekkisid hüpotenuusi jagamisel kõrgusega.

Tagasi distsipliini "Geomeetria" viidete vaatamise juurde

Kolmnurk- see on geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest punktist (tipust), mis ei asu samal sirgel, ja kolmest neid punkte ühendavast segmendist. Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, millel on üks 90° nurkadest (täisnurk).
Seal on teoreem: täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa on 90°.
kommenteerimise süsteem CACKLE

Märksõnad: kolmnurk, ristkülik, jalg, hüpotenuus, Pythagorase teoreem, ring

Kolmnurk kutsus ristkülikukujuline kui sellel on täisnurk.
Täisnurksel kolmnurgal on kaks vastastikku risti olevat külge, mida nimetatakse jalad; kolmandat poolt nimetatakse hüpotenuus.

Perpendikulaarse ja kaldu hüpotenuusi omaduste järgi on kumbki jalg pikem (kuid vähem kui nende summa).
Täisnurkse kolmnurga kahe teravnurga summa on võrdne täisnurgaga.
Täisnurkse kolmnurga kaks kõrgust langevad kokku selle jalgadega. Seetõttu langeb üks neljast tähelepanuväärsest punktist kolmnurga täisnurga tippudele.
Täisnurkse kolmnurga piiritletud ringi keskpunkt asub hüpotenuusi keskpunktis.
Täisnurga tipust hüpotenuusini tõmmatud täisnurkse kolmnurga mediaan on selle kolmnurga ümber piiratud ringjoone raadius.

Vaatleme suvalist täisnurkset kolmnurka ABC ja joonestame selle täisnurga tipust C kõrguse CD = hc.

See jagab antud kolmnurga kaheks täisnurkseks kolmnurgaks ACD ja BCD; kõigil neil kolmnurkadel on kolmnurgaga ABC ühine teravnurk ja seepärast sarnaneb see kolmnurgaga ABC.

Kõik kolm kolmnurka ABC, ACD ja BCD on üksteisega sarnased.

Kolmnurkade sarnasuse põhjal määratakse järgmised seosed:

$$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
c = ac + bc;
$$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
$$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Pythagorase teoreemÜks eukleidilise geomeetria põhiteoreeme, mis loob seose täisnurkse kolmnurga külgede vahel.

Geomeetriline sõnastus. Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala võrdne jalgadele ehitatud ruutude pindalade summaga.

Algebraline sõnastus. Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruut võrdne jalgade ruutude summaga.
See tähendab, et tähistab kolmnurga hüpotenuusi pikkust läbi c ja jalgade pikkust läbi a ja b:
a2 + b2 = c2

Pythagorase pöördteoreem.

Täisnurkse kolmnurga kõrgus

Positiivsete arvude a, b ja c mis tahes kolmiku puhul, nii et
a2 + b2 = c2,
on täisnurkne kolmnurk jalgadega a ja b ning hüpotenuus c.

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid:

mööda jalga ja hüpotenuusi;
kahel jalal;
piki jalga ja teravnurka;
hüpotenuus ja teravnurk.

Vaata ka:
Kolmnurga pindala, Võrdhaarne kolmnurk, Võrdkülgne kolmnurk

Geomeetria. 8 Klass. Test 4. Võimalus 1 .

AD : CD = CD : B.D. Seega CD2 = AD ∙ B.D. Nad ütlesid:

AD : AC=AC : AB. Seega AC2 = AB ∙ AD. Nad ütlesid:

BD : BC=BC : AB. Seega BC2 = AB ∙ B.D.

Probleeme lahendama:

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Hüpotenuusile tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus jagab hüpotenuusi segmentideks 9 ja 36.

Määrake selle kõrguse pikkus.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

8. Täisnurkse kolmnurga jalg on 30.

Kuidas leida täisnurkse kolmnurga kõrgust?

Leidke kaugus täisnurga tipust hüpotenuusini, kui selle kolmnurga ümber piiritletud ringi raadius on 17.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Kontrolli vastuseid!

D8.04.1. Proportsionaalsed lõigud täisnurkses kolmnurgas

Geomeetria. 8 Klass. Test 4. Võimalus 1 .

In Δ ABC ∠ACV = 90°. AC ja BC jalad, AB hüpotenuus.

CD on hüpotenuusile tõmmatud kolmnurga kõrgus merepinnast.

AC-jala AD projektsioon hüpotenuusile,

BC jala BD projektsioon hüpotenuusile.

Kõrgus CD jagab kolmnurga ABC kaheks sellega (ja üksteisega sarnaseks) kolmnurgaks: Δ ADC ja Δ CDB.

Sarnaste Δ ADC ja Δ CDB külgede proportsionaalsusest tuleneb:

AD : CD = CD : B.D.

Hüpotenuusile langenud täisnurkse kolmnurga kõrguse omadus.

Seega CD2 = AD ∙ B.D. Nad ütlesid: hüpotenuusile tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus,on keskmine proportsionaalne väärtus hüpotenuusil olevate jalgade projektsioonide vahel.

Δ ADC ja Δ ACB sarnasusest järeldub:

AD : AC=AC : AB. Seega AC2 = AB ∙ AD. Nad ütlesid: iga jalg on keskmine proportsionaalne väärtus kogu hüpotenuusi ja selle jala hüpotenuusile projektsiooni vahel.

Samamoodi tuleneb Δ CDB ja Δ ACB sarnasusest:

BD : BC=BC : AB. Seega BC2 = AB ∙ B.D.

Probleeme lahendama:

1. Leidke hüpotenuusi külge tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus, kui see jagab hüpotenuusi segmentideks 25 cm ja 81 cm.

A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm

2. Hüpotenuusile tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus jagab hüpotenuusi lõikudeks 9 ja 36. Määrake selle kõrguse pikkus.

A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.

4. Hüpotenuusile tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus on 22, ühe jala projektsioon on 16. Leia teise jala projektsioon.

A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.

5. Täisnurkse kolmnurga jalg on 18 ja selle projektsioon hüpotenuusile on 12. Leidke hüpotenuus.

A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.

6. Hüpotenuus on 32. Leidke jalg, mille projektsioon hüpotenuusile on 2.

A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.

7. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on 45. Leia jalg, mille projektsioon hüpotenuusile on 9.

8. Täisnurkse kolmnurga jalg on 30. Leidke kaugus täisnurga tipust hüpotenuusini, kui selle kolmnurga ümber piiratud ringjoone raadius on 17.

A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.

10. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on 41 ja ühe haru projektsioon 16. Leidke täisnurga tipust hüpotenuusini tõmmatud kõrguse pikkus.

A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.

A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.

12. Jalgade projektsioonide erinevus hüpotenuusil on 15 ja kaugus täisnurga tipust hüpotenuusini on 4. Leidke piiritletud ringi raadius.

A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.

Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurkadest on täisnurkne, st võrdne 90 kraadiga.

Täisnurga vastas olevat külge nimetatakse hüpotenuusiks. c või AB)
Täisnurgaga külgnevat külge nimetatakse jalaks. Igal täisnurksel kolmnurgal on kaks jalga (tähistatud kui a ja b või AC ja BC)

Täisnurkse kolmnurga valemid ja omadused

Valemite tähised:

(vt pilti ülal)

a, b- täisnurkse kolmnurga jalad

c- hüpotenuus

α, β - kolmnurga teravnurgad

S- ruut

h- kõrgus langenud täisnurga tipust hüpotenuusile

m a a vastasnurgast ( α )

m b- mediaan küljele tõmmatud b vastasnurgast ( β )

mc- mediaan küljele tõmmatud c vastasnurgast ( γ )

AT täisnurkne kolmnurk kumbki jalg on väiksem kui hüpotenuus(Vormel 1 ja 2). See omadus on Pythagorase teoreemi tagajärg.

Mis tahes teravnurga koosinus vähem kui üks (vormel 3 ja 4). See omadus tuleneb eelmisest. Kuna mõni jalg on hüpotenuusist väiksem, on jala ja hüpotenuusi suhe alati väiksem kui üks.

Hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga (Püthagorase teoreem). (Vormel 5). Seda omadust kasutatakse pidevalt probleemide lahendamisel.

Täisnurkse kolmnurga pindala võrdne poolega jalgade korrutisest (vormel 6)

Mediaanide ruudu summa jalgadele võrdub hüpotenuusi mediaani viie ruuduga ja hüpotenuusi viie ruuduga jagatud neljaga (valem 7). Lisaks eelnevale on seal Veel 5 valemit, seega on soovitatav tutvuda ka õppetükiga " Täisnurkse kolmnurga mediaan", mis kirjeldab üksikasjalikumalt mediaani omadusi.

Kõrgus täisnurkse kolmnurga väärtus võrdub jalgade korrutisega, mis on jagatud hüpotenuusiga (valem 8)

Jalgade ruudud on pöördvõrdelised hüpotenuusile langenud kõrguse ruuduga (valem 9). See identiteet on ka üks Pythagorase teoreemi tagajärgi.

Hüpotenuusi pikkus võrdne piiritletud ringi läbimõõduga (kaks raadiust) (valem 10). Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on piiritletud ringi läbimõõt. Seda omadust kasutatakse sageli probleemide lahendamisel.

Sissekirjutatud raadius sisse täisnurkne kolmnurk ringid võib leida poolena avaldisest, mis sisaldab selle kolmnurga jalgade summa miinus hüpotenuusi pikkus. Või kui jalgade korrutis jagatud kõigi külgede summaga (ümbermõõt) antud kolmnurk. (Vormel 11)
Nurga siinus vastupidine see nurk jalg hüpotenuusile(siinuse definitsiooni järgi). (Vormel 12). Seda omadust kasutatakse probleemide lahendamisel. Teades külgede mõõtmeid, saate leida nende moodustatud nurga.

Nurga A koosinus (α, alfa) täisnurkses kolmnurgas on võrdne suhe külgnevad see nurk jalg hüpotenuusile(siinuse definitsiooni järgi). (Vormel 13)