Lineaarvõrrandi süsteemi nimetatakse liigeseks, kui mti. Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Jordani-Gaussi meetodil

Lineaarvõrrandid kahe muutujaga

Õpilasel on koolis lõunatamiseks 200 rubla. Kook maksab 25 rubla ja tass kohvi 10 rubla. Mitu kooki ja tassi kohvi saab osta 200 rubla eest?

Tähistage läbivate kookide arvu x, ja kohvitasside arv läbi y. Siis tähistatakse kookide maksumust avaldisega 25 x ja kohvitasside hind 10 y .

25x- hind x koogid
10ja- hind y tassid kohvi

Kogusumma peaks olema 200 rubla. Siis saame kahe muutujaga võrrandi x ja y

25x+ 10y= 200

Mitu juurt sellel võrrandil on?

Kõik oleneb õpilase isust. Kui ta ostab 6 kooki ja 5 tassi kohvi, siis on võrrandi juurteks numbrid 6 ja 5.

Väärtuste paar 6 ja 5 on võrrandi 25 juured x+ 10y= 200. Kirjutatud kujul (6; 5) , kusjuures esimene number on muutuja väärtus x, ja teine ​​- muutuja väärtus y .

6 ja 5 ei ole ainsad juured, mis võrrandit 25 ümber pööravad x+ 10y= 200 identiteedile. Soovi korral saab tudeng sama 200 rubla eest osta 4 kooki ja 10 tassi kohvi:

Sel juhul on võrrandi 25 juured x+ 10y= 200 on väärtuste paar (4; 10) .

Pealegi ei pruugi tudeng üldse kohvi osta, vaid osta koogid kõigi 200 rubla eest. Siis võrrandi 25 juured x+ 10y= 200 on väärtused 8 ja 0

Või vastupidi, ära osta kooke, vaid osta kohvi kõigi 200 rubla eest. Siis võrrandi 25 juured x+ 10y= 200 on väärtused 0 ja 20

Proovime loetleda kõik võrrandi 25 võimalikud juured x+ 10y= 200. Leppigem kokku, et väärtused x ja y kuuluvad täisarvude hulka. Ja olgu need väärtused suuremad või võrdsed nulliga:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Nii on see õpilasele endale mugav. Kooke on mugavam osta tervelt kui näiteks mitut tervet kooki ja pool kooki. Samuti on kohvi tervete tasside kaupa mugavam võtta kui näiteks mitut tervet tassi ja pool tassi.

Pange tähele, et paaritu jaoks xühegi all on võrdsust võimatu saavutada y. Siis väärtused x seal on järgmised numbrid 0, 2, 4, 6, 8. Ja teadmine x saab kergesti määrata y

Seega saime järgmised väärtuspaarid (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Need paarid on võrrandi 25 lahendid või juured x+ 10y= 200. Nad muudavad selle võrrandi identiteediks.

Tüüpvõrrand ax + by = c helistas kahe muutujaga lineaarvõrrand. Selle võrrandi lahendus või juured on väärtuste paar ( x; y), mis muudab selle identiteediks.

Pange tähele ka seda, et kui kahe muutujaga lineaarvõrrand on kirjutatud kujul ax + b y = c , siis nad ütlevad, et see on sisse kirjutatud kanooniline(tavaline) vorm.

Mõned lineaarvõrrandid kahes muutujas saab taandada kanooniliseks vormiks.

Näiteks võrrand 2(16x+ 3ja- 4) = 2(12 + 8x − y) võib meelde tuletada ax + by = c. Avame selle võrrandi mõlemas osas sulud, saame 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Tundmatuid sisaldavad terminid on rühmitatud võrrandi vasakule küljele ja tundmatutest vabad terminid paremale. Siis saame 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Toome mõlemas osas sarnased terminid, saame võrrandi 16 x+ 8y= 32. See võrrand taandatakse kujule ax + by = c ja on kanooniline.

Varem vaadeldud võrrand 25 x+ 10y= 200 on ka kahe muutujaga lineaarvõrrand kanoonilisel kujul. Selles võrrandis on parameetrid a , b ja c võrdub väärtustega vastavalt 25, 10 ja 200.

Tegelikult võrrand ax + by = c on lõpmatu arv lahendusi. Võrrandi lahendamine 25x+ 10y= 200, otsisime selle juuri ainult täisarvude hulgast. Selle tulemusena saime mitu väärtuspaari, mis muutsid selle võrrandi identiteediks. Aga võtteplatsil ratsionaalsed arvud võrrand 25 x+ 10y= 200 on lõpmatu arv lahendusi.

Uute väärtuspaaride saamiseks peate võtma suvalise väärtuse x, siis väljenda y. Näiteks võtame muutuja x väärtus 7. Siis saame ühe muutujaga võrrandi 25 × 7 + 10y= 200 milles väljendada y

Lase x= 15. Siis võrrand 25x+ 10y= 200 saab 25 × 15 + 10y= 200. Siit leiame selle y = −17,5

Lase x= –3 . Siis võrrand 25x+ 10y= 200 muutub 25 × (−3) + 10y= 200. Siit leiame selle y = −27,5

Kahe kahe muutujaga lineaarvõrrandi süsteem

Võrrandi jaoks ax + by = c võite võtta suvalise arvu suvalisi väärtusi x ja leida väärtusi y. Eraldi võttes on sellisel võrrandil lõpmatu arv lahendusi.

Kuid juhtub ka seda, et muutujad x ja yühendatud mitte ühe, vaid kahe võrrandiga. Sel juhul moodustavad nad nn süsteem lineaarvõrrandid kahe muutujaga. Sellisel võrrandisüsteemil võib olla üks väärtuspaar (või teisisõnu: "üks lahendus").

Samuti võib juhtuda, et süsteemil puuduvad lahendused. Lineaarvõrrandisüsteemil võib harvadel ja erandjuhtudel olla lõpmatu arv lahendusi.

Kaks lineaarset võrrandit moodustavad süsteemi, kui väärtused x ja y sisalduvad kõigis nendes võrrandites.

Läheme tagasi kõige esimese võrrandi 25 juurde x+ 10y= 200. Üks selle võrrandi väärtuste paaridest oli paar (6; 5) . Seda siis, kui 200 rubla eest sai osta 6 kooki ja 5 tassi kohvi.

Koostame ülesande nii, et paarist (6; 5) saab võrrandi 25 ainus lahendus x+ 10y= 200. Selleks koostame teise võrrandi, mis ühendaks sama x koogid ja y tassid kohvi.

Paneme ülesande teksti järgmiselt:

«Koolipoiss ostis 200 rubla eest mitu kooki ja mitu tassi kohvi. Kook maksab 25 rubla ja tass kohvi 10 rubla. Mitu kooki ja tassi kohvi ostis õpilane, kui on teada, et kooke on ühe võrra rohkem kui kohvitasse?

Meil on juba esimene võrrand. See on võrrand 25 x+ 10y= 200. Nüüd kirjutame tingimuse võrrandi "kookide arv on ühe ühiku võrra rohkem kui tasside arv kohvi" .

Tortide arv on x, ja kohvitasside arv on y. Selle fraasi saate kirjutada võrrandi abil x − y= 1. See võrrand tähendaks, et kookide ja kohvi erinevus on 1.

x=y+ 1 . See võrrand tähendab, et kookide arv on ühe võrra suurem kui tasside arv kohvi. Seetõttu lisatakse võrdsuse saavutamiseks kohvitasside arvule üks. Seda saab hõlpsasti mõista, kui kasutame kaalumudelit, mida kaalusime kõige lihtsamate probleemide uurimisel:

Saime kaks võrrandit: 25 x+ 10y= 200 ja x=y+ 1. Kuna väärtused x ja y, nimelt 6 ja 5 sisalduvad kõigis nendes võrrandites, siis moodustavad nad koos süsteemi. Paneme selle süsteemi kirja. Kui võrrandid moodustavad süsteemi, siis on need raamitud süsteemi märgiga. Süsteemimärk on lokkis sulg:

Lahendame selle süsteemi. See võimaldab meil näha, kuidas jõuame väärtusteni 6 ja 5. Selliste süsteemide lahendamiseks on palju meetodeid. Mõelge neist kõige populaarsematele.

Asendusmeetod

Selle meetodi nimi räägib enda eest. Selle olemus seisneb ühe võrrandi asendamises teisega, olles eelnevalt ühe muutuja väljendanud.

Meie süsteemis ei pea midagi väljendama. Teises võrrandis x = y+ 1 muutuja x juba väljendatud. See muutuja on võrdne avaldisega y+ 1 . Seejärel saate selle avaldise muutuja asemel asendada esimeses võrrandis x

Pärast väljendi asendamist y+ 1 asemel esimesse võrrandisse x, saame võrrandi 25(y+ 1) + 10y= 200 . See on ühe muutujaga lineaarne võrrand. Seda võrrandit on üsna lihtne lahendada:

Leidsime muutuja väärtuse y. Nüüd asendame selle väärtuse ühe võrrandiga ja leiame väärtuse x. Selleks on mugav kasutada teist võrrandit x = y+ 1 . Paneme sellesse väärtuse y

Seega on paar (6; 5) võrrandisüsteemi lahendus, nagu me kavatsesime. Kontrollime ja veendume, et paar (6; 5) vastab süsteemile:

Näide 2

Asendage esimene võrrand x= 2 + y teise võrrandisse 3 x - 2y= 9. Esimeses võrrandis muutuja x on võrdne avaldisega 2 + y. Selle asemel asendame selle avaldise teise võrrandiga x

Nüüd leiame väärtuse x. Selleks asendage väärtus y esimesse võrrandisse x= 2 + y

Seega on süsteemi lahenduseks paari väärtus (5; 3)

Näide 3. Lahendage asendusmeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:

Erinevalt eelmistest näidetest ei ole siin üks muutujatest selgesõnaliselt väljendatud.

Ühe võrrandi asendamiseks teisega peate esmalt .

Soovitav on väljendada muutujat, mille koefitsient on üks. Koefitsiendi ühikul on muutuja x, mis sisaldub esimeses võrrandis x+ 2y= 11. Väljendame seda muutujat.

Pärast muutuvat avaldist x, näeb meie süsteem välja selline:

Nüüd asendame esimese võrrandi teisega ja leiame väärtuse y

Asendaja y x

Seega on süsteemi lahenduseks väärtuste paar (3; 4)

Muidugi saab väljendada ka muutujat y. Juured ei muutu. Aga kui sa väljendad y, tulemuseks ei ole väga lihtne võrrand, mille lahendamine võtab rohkem aega. See näeb välja selline:

Näeme seda selles näites väljendada x palju mugavam kui väljendada y .

Näide 4. Lahendage asendusmeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:

Väljendage esimeses võrrandis x. Seejärel võtab süsteem järgmise kuju:

y

Asendaja y esimesse võrrandisse ja leidke x. Võite kasutada algset võrrandit 7 x+ 9y= 8 või kasutage võrrandit, milles muutuja on väljendatud x. Kasutame seda võrrandit, kuna see on mugav:

Seega on süsteemi lahenduseks väärtuste paar (5; −3)

Lisamise meetod

Liitmismeetodiks on süsteemis sisalduvate võrrandite liitmine termini haaval. Selle liitmise tulemuseks on uus ühe muutuja võrrand. Ja seda võrrandit on üsna lihtne lahendada.

Lahendame järgmise võrrandisüsteemi:

Lisage esimese võrrandi vasak pool teise võrrandi vasakpoolsele küljele. Ja esimese võrrandi parem pool teise võrrandi parema küljega. Saame järgmise võrdsuse:

Siin on sarnased terminid:

Selle tulemusena saime kõige lihtsama võrrandi 3 x= 27 mille juur on 9. Väärtuse teadmine x leiate väärtuse y. Asendage väärtus x teise võrrandisse x − y= 3. Saame 9 − y= 3. Siit y= 6 .

Seega on süsteemi lahenduseks väärtuste paar (9; 6)

Näide 2

Lisage esimese võrrandi vasak pool teise võrrandi vasakpoolsele küljele. Ja esimese võrrandi parem pool teise võrrandi parema küljega. Saadud võrdsuses esitame sarnased terminid:

Selle tulemusena saime lihtsaima võrrandi 5 x= 20, mille juur on 4. Väärtuse teadmine x leiate väärtuse y. Asendage väärtus x esimesse võrrandisse 2 x+y= 11. Võtame 8+ y= 11. Siit y= 3 .

Seega on süsteemi lahenduseks väärtuste paar (4;3)

Lisamisprotsessi pole üksikasjalikult kirjeldatud. Seda tuleb teha mõttes. Liitmisel tuleb mõlemad võrrandid taandada kanoonilisele kujule. See tähendab mõistusele ac+by=c .

Vaadeldavatest näidetest on näha, et võrrandite lisamise peamine eesmärk on vabaneda ühest muutujast. Kuid alati pole võimalik võrrandisüsteemi kohe liitmismeetodiga lahendada. Kõige sagedamini viiakse süsteem eelnevalt sellisele kujule, kus on võimalik selles süsteemis sisalduvad võrrandid liita.

Näiteks süsteem saab lahendada otse liitmismeetodiga. Mõlema võrrandi liitmisel terminid y ja −y kaovad, sest nende summa on null. Selle tulemusena moodustub lihtsaim võrrand 11 x= 22 , mille juur on 2. Siis on võimalik määrata y võrdne 5-ga.

Ja võrrandisüsteem liitmismeetodit ei saa kohe lahendada, kuna see ei too kaasa ühe muutuja kadumist. Lisamise tulemuseks on võrrand 8 x+ y= 28 , millel on lõpmatu arv lahendeid.

Kui võrrandi mõlemad osad korrutada või jagada sama arvuga, mis ei ole võrdne nulliga, saadakse võrrand, mis on võrdne antud arvuga. See reegel kehtib ka kahe muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi puhul. Ühe võrrandi (või mõlema võrrandi) saab korrutada mõne arvuga. Tulemuseks on samaväärne süsteem, mille juured langevad kokku eelmisega.

Tuleme tagasi kõige esimese süsteemi juurde, mis kirjeldas, mitu kooki ja tassi kohvi õpilane ostis. Selle süsteemi lahendus oli väärtuste paar (6; 5) .

Korrutame mõlemad selles süsteemis sisalduvad võrrandid mõne arvuga. Oletame, et korrutame esimese võrrandi 2-ga ja teise võrrandi 3-ga

Tulemuseks on süsteem
Selle süsteemi lahendus on ikkagi väärtuste paar (6; 5)

See tähendab, et süsteemis olevaid võrrandeid saab taandada liitmismeetodi rakendamiseks sobivale kujule.

Tagasi süsteemi juurde , mida me ei saanud liitmismeetodiga lahendada.

Korrutage esimene võrrand 6-ga ja teine ​​-2-ga

Siis saame järgmise süsteemi:

Lisame selles süsteemis sisalduvad võrrandid. Komponentide lisamine 12 x ja -12 x tulemuseks on 0, lisandub 18 y ja 4 y annab 22 y, ning 108 ja −20 liitmine annab 88. Siis saadakse võrrand 22 y= 88, seega y = 4 .

Kui alguses on võrrandite lisamine mõttes raske, siis võid kirja panna, kuidas esimese võrrandi vasak pool liidetakse teise võrrandi vasaku poole ja esimese võrrandi parem pool teine ​​võrrand:

Teades, et muutuja väärtus y on 4, leiate väärtuse x. Asendaja yühte võrrandisse, näiteks esimesse võrrandisse 2 x+ 3y= 18. Siis saame võrrandi ühe muutujaga 2 x+ 12 = 18 . Viime 12 paremale küljele, muutes märki, saame 2 x= 6, seega x = 3 .

Näide 4. Lahendage liitmismeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:

Korrutage teine ​​võrrand -1-ga. Seejärel võtab süsteem järgmise vormi:

Lisame mõlemad võrrandid. Komponentide lisamine x ja −x tulemuseks on 0, lisandub 5 y ja 3 y annab 8 y, ning 7 ja 1 liitmisel saadakse 8. Tulemuseks on võrrand 8 y= 8 , mille juur on 1. Teades, et väärtus y on 1, leiate väärtuse x .

Asendaja y esimesse võrrandisse, saame x+ 5 = 7, seega x= 2

Näide 5. Lahendage liitmismeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:

Soovitav on, et samu muutujaid sisaldavad terminid paikneksid üksteise all. Seetõttu on teises võrrandis terminid 5 y ja −2 x kohta vahetada. Selle tulemusena on süsteem järgmisel kujul:

Korrutage teine ​​võrrand 3-ga. Seejärel saab süsteem järgmise kuju:

Nüüd lisame mõlemad võrrandid. Liitmise tulemusena saame võrrandi 8 y= 16 , mille juur on 2.

Asendaja y esimesse võrrandisse saame 6 x− 14 = 40 . Viime termini −14 paremale poole, muutes märki, saame 6 x= 54 . Siit x= 9.

Näide 6. Lahendage liitmismeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:

Vabaneme murdudest. Korrutage esimene võrrand 36-ga ja teine ​​​​12-ga

Saadud süsteemis esimest võrrandit saab korrutada -5-ga ja teise võrrandiga 8

Lisame saadud süsteemi võrrandid. Siis saame lihtsaima võrrandi −13 y= –156 . Siit y= 12. Asendaja y esimesse võrrandisse ja leidke x

Näide 7. Lahendage liitmismeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:

Toome mõlemad võrrandid normaalkujule. Siin on mugav mõlemas võrrandis rakendada proportsioonireeglit. Kui esimeses võrrandis on parem pool kujutatud kui , ja teise võrrandi parem pool kui , siis saab süsteem järgmise kuju:

Meil on proportsioon. Korrutame selle äärmus- ja keskterminid. Seejärel võtab süsteem järgmise kuju:

Korrutame esimese võrrandi -3-ga ja avame teises sulud:

Nüüd lisame mõlemad võrrandid. Nende võrrandite liitmise tulemusena saame võrdsuse, mille mõlemas osas on null:

Selgub, et süsteemil on lõpmatu arv lahendusi.

Kuid me ei saa lihtsalt suvalisi väärtusi taevast võtta x ja y. Saame määrata ühe väärtustest ja teine ​​määratakse sõltuvalt meie määratud väärtusest. Näiteks lase x= 2. Asendage see väärtus süsteemis:

Ühe võrrandi lahendamise tulemusena tekib väärtus for y, mis rahuldab mõlemad võrrandid:

Saadud väärtuste paar (2; −2) rahuldab süsteemi:

Leiame veel ühe väärtuspaari. Lase x= 4. Asendage see väärtus süsteemis:

Seda saab silma järgi kindlaks teha y võrdub nulliga. Seejärel saame väärtuste paari (4; 0), mis rahuldab meie süsteemi:

Näide 8. Lahendage liitmismeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:

Korrutage esimene võrrand 6-ga ja teine ​​​​12-ga

Kirjutame üle, mis üle jääb:

Korrutage esimene võrrand -1-ga. Seejärel võtab süsteem järgmise kuju:

Nüüd lisame mõlemad võrrandid. Liitmise tulemusena moodustub võrrand 6 b= 48 , mille juur on 8. Asendaja b esimesse võrrandisse ja leidke a

Kolme muutujaga lineaarvõrrandi süsteem

Kolme muutujaga lineaarvõrrand sisaldab kolme koefitsientidega muutujat ja lõikepunkti. Kanoonilises vormis saab selle kirjutada järgmiselt:

ax + by + cz = d

Sellel võrrandil on lõpmatu arv lahendeid. Kahe muutuja andmine erinevaid tähendusi, leiate kolmanda väärtuse. Lahenduseks on sel juhul väärtuste kolmik ( x; y; z), mis muudab võrrandi identiteediks.

Kui muutujad x, y, z on omavahel ühendatud kolme võrrandiga, siis moodustub kolmest lineaarsest võrrandist koosnev süsteem kolme muutujaga. Sellise süsteemi lahendamiseks saate rakendada samu meetodeid, mis kehtivad kahe muutujaga lineaarsete võrrandite puhul: asendusmeetod ja liitmismeetod.

Näide 1. Lahendage asendusmeetodi abil järgmine võrrandisüsteem:

Avaldame kolmandas võrrandis x. Seejärel võtab süsteem järgmise kuju:

Nüüd teeme asendustööd. Muutuv x on võrdne väljendiga 3 − 2y − 2z . Asendage see avaldis esimeses ja teises võrrandis:

Avame mõlemas võrrandis sulud ja esitame sarnased terminid:

Oleme jõudnud kahe muutujaga lineaarsete võrrandite süsteemini. Sel juhul on mugav rakendada lisamismeetodit. Selle tulemusena muutuja y kaob ja leiame muutuja väärtuse z

Nüüd leiame väärtuse y. Selleks on mugav kasutada võrrandit − y+ z= 4. Asendage väärtus z

Nüüd leiame väärtuse x. Selleks on mugav kasutada võrrandit x= 3 − 2y − 2z . Asendage väärtused sellesse y ja z

Seega on väärtuste kolmik (3; −2; 2) meie süsteemi lahendus. Kontrollides veendume, et need väärtused vastavad süsteemile:

Näide 2. Lahendage süsteem liitmismeetodil

Liidame esimese võrrandi teise võrrandiga, mis on korrutatud -2-ga.

Kui teine ​​võrrand korrutada -2-ga, saab see kuju −6x+ 6ja- 4z = −4 . Nüüd lisage see esimesse võrrandisse:

Näeme, et elementaarteisenduste tulemusena määrati muutuja väärtus x. See on võrdne ühega.

Läheme tagasi põhisüsteemi juurde. Liidame teise võrrandi kolmandaga, mis on korrutatud -1-ga. Kui kolmas võrrand korrutada -1-ga, saab see kuju −4x + 5y − 2z = −1 . Nüüd lisage see teise võrrandisse:

Sain võrrandi x - 2y= −1. Asendage väärtus sellega x mille me varem leidsime. Siis saame väärtuse määrata y

Nüüd teame väärtusi x ja y. See võimaldab teil määrata väärtuse z. Kasutame üht süsteemis sisalduvatest võrranditest:

Seega on väärtuste kolmik (1; 1; 1) meie süsteemi lahendus. Kontrollides veendume, et need väärtused vastavad süsteemile:

Lineaarvõrrandisüsteemide koostamise ülesanded

Võrrandisüsteemide koostamise ülesanne lahendatakse mitme muutuja sisseviimisega. Järgmiseks koostatakse võrrandid lähtudes ülesande tingimustest. Koostatud võrranditest moodustavad nad süsteemi ja lahendavad selle. Pärast süsteemi lahendamist tuleb kontrollida, kas selle lahendus vastab probleemi tingimustele.

Ülesanne 1. Sõiduauto Volga lahkus linnast kolhoosi. Ta naasis tagasi mööda teist teed, mis oli 5 km lühem kui esimene. Kokku sõitis auto mõlemale poole 35 km. Mitu kilomeetrit on iga tee pikk?

Lahendus

Lase x- esimese tee pikkus, y- teise pikkus. Kui auto sõitis mõlemale poole 35 km, siis võib esimese võrrandi kirjutada järgmiselt x+ y= 35. See võrrand kirjeldab mõlema tee pikkuste summat.

Väidetavalt pöördus auto tagasi mööda teed, mis oli esimesest 5 km lühem. Siis saab teise võrrandi kirjutada kujul x− y= 5. See võrrand näitab, et teede pikkuste vahe on 5 km.

Või võib teise võrrandi kirjutada kui x= y+ 5 . Me kasutame seda võrrandit.

Kuna muutujad x ja y mõlemas võrrandis tähistavad sama numbrit, siis saame neist moodustada süsteemi:

Lahendame selle süsteemi ühe eelnevalt uuritud meetodi abil. Sel juhul on mugav kasutada asendusmeetodit, kuna teises võrrandis on muutuja x juba väljendatud.

Asendage teine ​​võrrand esimesega ja leidke y

Asendage leitud väärtus y teise võrrandisse x= y+ 5 ja leia x

Esimese tee pikkust tähistati muutujaga x. Nüüd oleme leidnud selle tähenduse. Muutuv x on 20. Seega on esimese tee pikkus 20 km.

Ja teise tee pikkust näitas y. Selle muutuja väärtus on 15. Seega on teise tee pikkus 15 km.

Teeme kontrolli. Esmalt veendume, et süsteem on õigesti lahendatud:

Nüüd kontrollime, kas lahendus (20; 15) vastab ülesande tingimustele.

Räägiti, et kokku sõitis auto mõlemale poole 35 km. Liidame mõlema tee pikkused kokku ja veendume, et lahendus (20; 15) vastab sellele tingimusele: 20 km + 15 km = 35 km

Järgmine tingimus: auto naasis tagasi mööda teist teed, mis oli 5 km lühem kui esimene . Näeme, et lahendus (20; 15) vastab ka sellele tingimusele, kuna 15 km on lühem kui 20 km 5 km võrra: 20 km − 15 km = 5 km

Süsteemi koostamisel on oluline, et muutujad tähistaksid kõigis selles süsteemis sisalduvates võrrandites samu numbreid.

Seega sisaldab meie süsteem kahte võrrandit. Need võrrandid sisaldavad omakorda muutujaid x ja y, mis tähistavad mõlemas võrrandis samu numbreid, nimelt teede pikkusi 20 km ja 15 km.

2. ülesanne. Platvormile laaditi tamme- ja männipuidust liiprid, kokku 300 liiprit. Teadaolevalt kaalusid kõik tammeliiprid 1 tonni vähem kui kõik männipuidust liiprid. Tehke kindlaks, mitu tamme- ja männiliiprit oli eraldi, kui iga tammeliipri kaal oli 46 kg ja iga männiliips 28 kg.

Lahendus

Lase x tamm ja y platvormile laaditi männiliiprid. Kui liipriid oli kokku 300, siis võib esimese võrrandi kirjutada järgmiselt x+y = 300 .

Kõik tammepuidust liiprid kaalusid 46 x kg ja mänd kaalus 28 y kg. Kuna tammeliiprid kaalusid 1 tonni vähem kui männipuidust liiprid, võib teise võrrandi kirjutada järgmiselt. 28ja- 46x= 1000 . See võrrand näitab, et tamme- ja männipuidust liiprite massivahe on 1000 kg.

Tonnid on ümber arvestatud kilogrammideks, sest tamme- ja männipuidust liiprite massi mõõdetakse kilogrammides.

Selle tulemusena saame kaks võrrandit, mis moodustavad süsteemi

Lahendame selle süsteemi. Väljendage esimeses võrrandis x. Seejärel võtab süsteem järgmise kuju:

Asendage esimene võrrand teisega ja leidke y

Asendaja y võrrandisse x= 300 − y ja uuri, mida x

See tähendab, et platvormile laaditi 100 tamme- ja 200 männipuidust liiprit.

Kontrollime, kas lahendus (100; 200) vastab ülesande tingimustele. Esmalt veendume, et süsteem on õigesti lahendatud:

Öeldi, et kokku oli 300 magajat. Liidame kokku tamme- ja männipuidust liiprite arvud ja veendume, et lahendus (100; 200) vastab sellele tingimusele: 100 + 200 = 300.

Järgmine tingimus: kõik tammest liiprid kaalusid 1 tonni vähem kui kõik männid . Näeme, et lahendus (100; 200) vastab ka sellele tingimusele, kuna 46 × 100 kg tammeliiprid on kergemad kui 28 × 200 kg männipuidust liiprid: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

3. ülesanne. Võtsime kolm tükki vase ja nikli sulamit massi vahekorras 2:1, 3:1 ja 5:1. Neist 12 kg kaaluv tükk sulatati vase ja nikli suhtega 4: 1. Leidke iga algse tüki mass, kui neist esimese mass on kaks korda suurem kui teise mass.

kus x* - üks mittehomogeense süsteemi (2) lahendustest (näiteks (4)), (E−A + A) moodustab maatriksi tuuma (nullruumi). A.

Teeme maatriksi skeleti lagunemise (E−A + A):

E−A + A=Q S

kus K n×n-r- järgu maatriks (Q) = n-r, S n-r×n-järgu maatriks (S)=n-r.

Seejärel saab (13) kirjutada järgmisel kujul:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

kus k=Sz.

Niisiis, üldine lahendusprotseduur lineaarvõrrandi süsteem pseudo abil pöördmaatriks saab esitada järgmisel kujul:

1. Arvutage pseudoinversne maatriks A + .
2. Arvutame ebahomogeense lineaarvõrrandisüsteemi (2) konkreetse lahenduse: x*=A + b.
3. Kontrollime süsteemi ühilduvust. Selleks arvutame AA + b. Kui a AA + b≠b, siis on süsteem ebajärjekindel. Vastasel juhul jätkame protseduuri.
4. vyssylyaem E−A+A.
5. Skeleti lagunemise tegemine E−A + A=Q·S.
6. Lahenduse loomine

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine võrgus

Veebikalkulaator võimaldab leida lineaarvõrrandisüsteemi üldlahenduse koos üksikasjalike selgitustega.

§üks. Lineaarvõrrandisüsteemid.

vaatamise süsteem

nimetatakse süsteemiks m lineaarvõrrandid n teadmata.

Siin
- teadmata, - tundmatute koefitsiendid,
- võrrandite vabaliikmed.

Kui kõik võrrandite vabad liikmed on võrdsed nulliga, kutsutakse süsteem homogeenne.Otsus süsteemi nimetatakse arvude kogumiks
, kui asendada need tundmatute asemel süsteemi, muutuvad kõik võrrandid identiteetideks. Süsteemi nimetatakse liigend kui sellel on vähemalt üks lahendus. Unikaalse lahendusega liitsüsteemi nimetatakse teatud. Neid kahte süsteemi nimetatakse samaväärne kui nende lahenduste hulgad on samad.

Süsteemi (1) saab esitada maatriksi kujul, kasutades võrrandit

(2)

.

§2. Lineaarvõrrandisüsteemide ühilduvus.

Nimetame süsteemi (1) laiendatud maatriksit maatriksiks

Kronecker – Capelli teoreem. Süsteem (1) on järjekindel siis ja ainult siis, kui süsteemimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi astmega:

.

§3. Süsteemne lahendusn lineaarvõrrandidn teadmata.

Mõelge ebahomogeensele süsteemile n lineaarvõrrandid n teadmata:

(3)

Crameri teoreem.Kui süsteemi põhideterminant (3)
, siis on süsteemil ainulaadne lahendus, mille määravad järgmised valemid:

need.
,

kus - determinandist saadud determinant asendamine veerust vabaliikmete veergu.

Kui a
ja vähemalt üks neist ≠0, siis pole süsteemil lahendusi.

Kui a
, siis on süsteemil lõpmatult palju lahendusi.

Süsteemi (3) saab lahendada selle maatriksmärgistuse (2) abil. Kui maatriksi auaste AGA võrdub n, st.
, siis maatriks AGA on pöördvõrdeline
. Maatriksvõrrandi korrutamine
maatriksiks
vasakul saame:

.

Viimane võrdsus väljendab viisi, kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteeme pöördmaatriksi abil.

Näide. Lahenda võrrandisüsteem pöördmaatriksi abil.

Lahendus. Maatriks
mitte-mandunud, sest
, seega on olemas pöördmaatriks. Arvutame pöördmaatriksi:
.

,

Harjutus. Lahendage süsteem Crameri meetodil.

§ neli. Suvaliste lineaarvõrrandisüsteemide lahendus.

Olgu antud mittehomogeenne lineaarvõrrandisüsteem kujul (1).

Oletame, et süsteem on järjepidev, s.t. Kroneckeri-Capelli teoreemi tingimus on täidetud:
. Kui maatriksi auaste
(tundmatute arvuni), siis on süsteemil unikaalne lahendus. Kui a
, siis on süsteemil lõpmatult palju lahendusi. Selgitame.

Olgu maatriksi auaste r(A)= r< n. Kuna
, siis on olemas mingi nullist erinev järjekord r. Nimetagem seda põhimolliks. Tundmatud, mille koefitsiendid moodustavad põhimoll, kutsume põhimuutujaid. Ülejäänud tundmatuid nimetatakse vabadeks muutujateks. Korraldame võrrandid ümber ja nummerdame muutujad ümber nii, et see minoor asub süsteemimaatriksi ülemises vasakus nurgas:

.

Esiteks r read on lineaarselt sõltumatud, ülejäänud väljendatakse nende kaudu. Seetõttu võib need read (võrrandid) kõrvale jätta. Saame:

Anname vabad muutujad suvalised arvväärtusi: . Jätame ainult põhimuutujad vasakule poole ja liigutame vabad muutujad paremale.

Sai süsteemi r lineaarvõrrandid r tundmatu, mille determinant erineb 0-st. Sellel on unikaalne lahendus.

Seda süsteemi nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi (1) üldlahenduseks. Vastasel juhul: nimetatakse põhimuutujate väljendamist vabade muutujate kujul ühine lahendus süsteemid. Sellest saad lõpmatu arvu eraotsused, mis annab vabadele muutujatele suvalised väärtused. Kutsutakse konkreetset lahendust, mis on saadud vabade muutujate nullväärtuste korral üldisest põhilahendus. Erinevate põhilahenduste arv ei ületa
. Nimetatakse mittenegatiivsete komponentidega põhilahendust pöördeline süsteemne lahendus.

Näide.

,r=2.

Muutujad
- põhiline,
- tasuta.

Lisame võrrandid; väljendada
läbi
:

- ühine otsus.

- privaatne lahendus
.

- põhilahendus, põhiline.

§5. Gaussi meetod.

Gaussi meetod on universaalne meetod suvaliste lineaarvõrrandisüsteemide uurimiseks ja lahendamiseks. See seisneb süsteemi viimises diagonaalsesse (või kolmnurksesse) vormi tundmatute järjestikuse kõrvaldamise teel, kasutades elementaarseid teisendusi, mis ei riku süsteemide samaväärsust. Muutujat loetakse välistatuks, kui see sisaldub ainult ühes süsteemi võrrandis koefitsiendiga 1.

Elementaarsed teisendused süsteemid on:

Võrrandi korrutamine nullist erineva arvuga;

Mis tahes arvuga korrutatud võrrandi liitmine teise võrrandiga;

võrrandite ümberpaigutamine;

Võrrandi mahajätmine 0 = 0.

Elementaarteisendusi saab sooritada mitte võrranditega, vaid saadud ekvivalentsüsteemide laiendatud maatriksitega.

Näide.

Lahendus. Kirjutame süsteemi laiendatud maatriksi:

.

Sooritades elementaarteisendusi, viime maatriksi vasaku poole ühikuvormile: põhidiagonaalile loome ühikud ja sellest väljapoole nullid.

Kommenteeri. Kui elementaarteisenduste sooritamisel on võrrand kujul 0 = kuni(kus juurde0), siis on süsteem ebaühtlane.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamist tundmatute järjestikuse elimineerimise meetodil saab vormistada kujul tabelid.

Tabeli vasakpoolne veerg sisaldab teavet välistatud (põhi)muutujate kohta. Ülejäänud veerud sisaldavad tundmatute koefitsiente ja võrrandite vabaliikmeid.

Süsteemi laiendatud maatriks kirjutatakse lähtetabelisse. Järgmisena jätkake Jordaania teisenduste rakendamisega:

1. Valige muutuja , millest saab aluseks. Vastavat veergu nimetatakse võtmeveeruks. Valige võrrand, milles see muutuja jääb teistest võrranditest välja. Vastavat tabelirida nimetatakse võtmereaks. Koefitsient Võtmerea ja võtme veeru ristumiskohas seisvat klahvi nimetatakse võtmeks.

2. Võtmestringi elemendid on jagatud võtmeelemendiga.

3. Võtme veerg täidetakse nullidega.

4. Ülejäänud elemendid arvutatakse ristküliku reegli järgi. Need moodustavad ristküliku, mille vastastippudes on võtmeelement ja ümberarvutatud element; ristküliku diagonaalil olevate elementide korrutisest võtmeelemendiga lahutatakse teise diagonaali elementide korrutis, saadud erinevus jagatakse võtmeelemendiga.

Näide. Leidke võrrandisüsteemi üldlahend ja põhilahend:

Lahendus.

Süsteemi üldine lahendus:

Põhilahendus:
.

Ühekordne asendusteisendus võimaldab minna süsteemi ühelt aluselt teisele: ühe põhimuutuja asemel sisestatakse baasi üks vabadest muutujatest. Selleks valitakse vaba muutuja veerus võtmeelement ja teostatakse teisendused vastavalt ülaltoodud algoritmile.

§6. Tugilahenduste leidmine

Lineaarvõrrandisüsteemi võrdluslahend on põhilahend, mis ei sisalda negatiivseid komponente.

Süsteemi tugilahendused leitakse Gaussi meetodil järgmistel tingimustel.

1. Algses süsteemis ei tohi kõik tasuta terminid olla negatiivsed:
.

2. Võtmeelement valitakse positiivsete koefitsientide hulgast.

3. Kui baasi sisestatud muutujal on mitu positiivset koefitsienti, siis on võtmejadaks see, milles vaba liikme ja positiivse koefitsiendi suhe on väikseim.

Märkus 1. Kui tundmatute elimineerimise käigus ilmub võrrand, milles kõik koefitsiendid on mittepositiivsed ja vaba liige
, siis pole süsteemil mittenegatiivseid lahendusi.

Märkus 2. Kui vabade muutujate koefitsientide veergudes pole ühtegi positiivset elementi, on üleminek teisele võrdluslahendusele võimatu.

Näide.

Lahendus. A= . Leidke r(A). Sest maatriks A-l on siis järjekord 3x4 kõrgeim järjekord alaealised on 3. Sel juhul on kõik kolmandat järku alaealised võrdsed nulliga (kontrollige ise). Tähendab, r(A)< 3. Возьмем главный põhimoll = -5-4 = -9 ≠ 0. Seega r(A) =2.

Kaaluge maatriks FROM = .

Väike kolmas tellida ≠ 0. Seega r(C) = 3.

Kuna r(A) ≠ r(C) , siis on süsteem ebajärjekindel.

Näide 2 Määrake võrrandisüsteemi ühilduvus

Lahendage see süsteem, kui see ühildub.

Lahendus.

A = , C = . Ilmselgelt r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Kuna detC = 0, siis r(C)< 4. Kaaluge alaealine kolmandaks tellida, mis asub maatriksi A ja C ülemises vasakus nurgas: = -23 ≠ 0. Seega r(A) = r(C) = 3.

Number teadmata süsteemis n=3. Seega on süsteemil ainulaadne lahendus. Sel juhul on neljas võrrand esimese kolme summa ja seda võib ignoreerida.

Crameri valemite järgi saame x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Maatriksmeetod. Gaussi meetod

süsteem n lineaarvõrrandid Koos n tundmatuid saab lahendada maatriks meetod vastavalt valemile X \u003d A -1 B (Δ jaoks ≠ 0), mis saadakse punktist (2), korrutades mõlemad osad A -1-ga.

Näide 1. Lahenda võrrandisüsteem

maatriksmeetodil (punktis 2.2 lahendati see süsteem Crameri valemite abil)

Lahendus. Δ=10 ≠ 0 A = - mitteainsuse maatriks.

= (veenduge selles ise, tehes vajalikud arvutused).

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x= .

Vastus: .

Praktilisest vaatenurgast maatriksmeetod ja valemid Kramer on seotud suure arvutusmahuga, seega eelistatakse Gaussi meetod, mis koosneb järjestikune välistamine teadmata. Selleks taandatakse võrrandisüsteem samaväärseks kolmnurkse liitmaatriksiga süsteemiks (kõik põhidiagonaalist allpool olevad elemendid on võrdsed nulliga). Neid toiminguid nimetatakse otseseks liikumiseks. Saadud kolmnurksüsteemist leitakse muutujad järjestikuste asenduste abil (tagurpidi).

Näide 2. Lahendage süsteem Gaussi meetodil

(See süsteem lahendati ülal, kasutades Crameri valemit ja maatriksmeetodit).

Lahendus.

Otsene liikumine. Kirjutame suurendatud maatriksi ja viime elementaarsete teisenduste abil kolmnurksesse vormi:

~ ~ ~ ~ .

Hangi süsteem

Tagurpidi liikumine. Viimasest võrrandist leiame X 3 = -6 ja asendage see väärtus teise võrrandiga:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Vastus: .

2.5. Lineaarvõrrandisüsteemi üldlahendus

Olgu antud lineaarvõrrandisüsteem = b i(i=). Olgu r(A) = r(C) = r, s.t. süsteem on koostööpõhine. Iga nullist erinev järgu r minoor on põhimoll.Üldisust kaotamata eeldame, et põhimoll asub maatriksi A esimestes r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) ridades ja veergudes. Viimasest loobumine m-r võrrandid süsteem, kirjutame lühendatud süsteemi:

mis on samaväärne originaaliga. Nimetagem tundmatuid x 1,….x r põhiline ja x r +1 ,…, x r vabaks ja liigutage vabu tundmatuid sisaldavad liikmed kärbitud süsteemi võrrandite paremale poole. Saame süsteemi põhiliste tundmatute suhtes:

mis iga vabade tundmatute väärtuste komplekti jaoks x r +1 \u003d C 1, ..., x n \u003d C n-r on ainus lahendus x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r), leitud Crameri reegli järgi.

Sobiv lahendus lühendatud ja seega on algsel süsteemil järgmine vorm:

Х(С 1 ,…, С n-r) = - süsteemi üldine lahendus.

Kui anname üldlahenduses vabadele tundmatutele mõned arvväärtused, siis saame lahenduse lineaarne süsteem, mida nimetatakse privaatseks.

Näide. Looge ühilduvus ja leidke süsteemi üldine lahendus

Lahendus. A = , С = .

Niisiis kuidas r(A)= r(C) = 2 (vaata ise), siis on algne süsteem ühilduv ja sellel on lõpmatu arv lahendeid (kuna r< 4).

Lineaarsete vanusevõrrandite (SLAE) süsteemi ühilduvuse uurimine tähendab, et välja selgitada, kas sellel süsteemil on lahendusi või mitte. Noh, kui on lahendusi, siis märkige, kui palju neid on.

Vajame infot teemast "Lineaaralgebraliste võrrandite süsteem. Põhimõisted. Maatrikstähistus". Eelkõige on vaja selliseid mõisteid nagu süsteemi maatriks ja süsteemi laiendatud maatriks, kuna Kroneckeri-Capelli teoreemi formuleerimine põhineb neil. Nagu tavaliselt, tähistatakse süsteemi maatriksit tähega $A$ ja süsteemi laiendatud maatriksit tähega $\widetilde(A)$.

Kroneckeri-Capelli teoreem

Lineaarne süsteem algebralised võrrandid on järjepidev siis ja ainult siis, kui süsteemimaatriksi auaste on võrdne süsteemi laiendatud maatriksi auastmega, st. $\rank A=\rang\widetilde(A)$.

Tuletan meelde, et süsteemi nimetatakse liigendiks, kui sellel on vähemalt üks lahendus. Kroneckeri-Capelli teoreem ütleb nii: kui $\rang A=\rang\widetilde(A)$, siis on lahendus olemas; kui $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, siis sellel SLAE-l pole lahendusi (see on vastuolus). Vastuse küsimusele nende lahenduste arvu kohta annab Kroneckeri-Capelli teoreemi järeldus. Järelduslauses kasutatakse tähte $n$, mis on võrdne antud SLAE muutujate arvuga.

Järeldus Kroneckeri-Capelli teoreemist

1. Kui $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, siis on SLAE ebajärjekindel (lahendeid pole).
2. Kui $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Kui $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, siis on SLAE kindel (sellel on täpselt üks lahendus).

Pange tähele, et sõnastatud teoreem ja selle tagajärg ei näita, kuidas SLAE-le lahendust leida. Nende abiga saate ainult teada, kas need lahendused on olemas või mitte, ja kui need on olemas, siis kui palju.

Näide nr 1

Uurige SLAE $ \left \(\begin(joonatud) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(joondatud) )\right.$ järjepidevuse tagamiseks Kui SLAE on järjepidev, märkige lahenduste arv.

Antud SLAE lahenduste olemasolu väljaselgitamiseks kasutame Kroneckeri-Capelli teoreemi. Vajame süsteemi $A$ maatriksit ja süsteemi $\widetilde(A)$ laiendatud maatriksit, kirjutame need üles:

$$ A=\left(\begin(massiivi) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(massiivi) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(massiivi) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(massiivi)\right). $$

Peame leidma $\rang A$ ja $\rang\widetilde(A)$. Selleks on palju viise, millest mõned on loetletud jaotises Matrix Rank. Tavaliselt kasutatakse selliste süsteemide uurimiseks kahte meetodit: "Maatriksi järgu arvutamine definitsiooni järgi" või "Maatriksi järgu arvutamine elementaarteisenduste meetodil".

Meetod number 1. Auastmete arvutamine määratluse järgi.

Definitsiooni järgi on auaste maatriksi alaealiste kõrgeim järk, mille hulgas on vähemalt üks muu kui null. Tavaliselt algab uuring esimest järku mollidega, kuid siin on mugavam asuda koheselt maatriksi $A$ kolmanda järgu molli arvutamisele. Kolmandat järku molli elemendid asuvad vaadeldava maatriksi kolme rea ja kolme veeru ristumiskohas. Kuna maatriksis $A$ on ainult 3 rida ja 3 veergu, on maatriksi $A$ kolmandat järku minooriks maatriksi $A$ determinant, s.o. $\DeltaA$. Determinandi arvutamiseks rakendame valemit nr 2 teemast "Teist ja kolmandat järku determinantide arvutamise valemid":

$$ \Delta A=\left| \begin(massiivi) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(massiivi) \right|=-21. $$

Seega on maatriksis $A$ kolmandat järku moll, mis ei ole võrdne nulliga. Neljandat järku molli ei saa koostada, kuna selleks on vaja 4 rida ja 4 veergu ning maatriksis $A$ on ainult 3 rida ja 3 veergu. Niisiis, maatriksi $A$ alaealiste kõrgeim järk, mille hulgas on vähemalt üks nullist erinev, võrdub 3-ga. Seega $\rang A=3$.

Samuti peame leidma $\rang\widetilde(A)$. Vaatame maatriksi $\widetilde(A)$ struktuuri. Kuni rea maatriksis $\widetilde(A)$ on maatriksi $A$ elemendid ja saime teada, et $\Delta A\neq 0$. Seetõttu on maatriksil $\widetilde(A)$ kolmandat järku minor, mis ei ole võrdne nulliga. Me ei saa koostada maatriksi $\widetilde(A)$ neljandat järku minoori, seega järeldame: $\rang\widetilde(A)=3$.

Kuna $\rang A=\rang\widetilde(A)$, on Kroneckeri-Capelli teoreemi järgi süsteem järjekindel, s.t. on lahendus (vähemalt üks). Lahenduste arvu näitamiseks võtame arvesse, et meie SLAE sisaldab 3 tundmatut: $x_1$, $x_2$ ja $x_3$. Kuna tundmatute arv on $n=3$, siis järeldame: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, mistõttu on Kroneckeri-Capelli teoreemi järelduvuse järgi süsteem kindel, s.t. on ainulaadne lahendus.

Probleem lahendatud. Millised on miinused ja eelised seda meetodit? Kõigepealt räägime plussidest. Esiteks pidime leidma ainult ühe määraja. Pärast seda tegime kohe järelduse lahenduste arvu kohta. Tavaliselt antakse standardsetes tüüpilistes arvutustes võrrandisüsteemid, mis sisaldavad kolme tundmatut ja millel on üks lahendus. Selliste süsteemide jaoks seda meetodit väga mugav, sest me teame ette, et lahendus on olemas (muidu poleks tüüpilises arvutuses näidet). Need. Jääb vaid näidata, et enamikule on lahendus olemas kiire tee. Teiseks tuleb süsteemimaatriksi determinandi (st $\Delta A$) arvutatud väärtus kasuks hiljem: kui hakkame antud süsteemi lahendama Crameri meetodil või pöördmaatriksiga .

Kuid definitsiooni järgi on auastme arvutamise meetod ebasoovitav, kui süsteemimaatriks $A$ on ristkülikukujuline. Sel juhul on parem kasutada teist meetodit, mida arutatakse allpool. Pealegi, kui $\Delta A=0$, siis ei saa me antud mittehomogeense SLAE lahenduste arvu kohta midagi öelda. Võib-olla on SLAE-l lõpmatu arv lahendusi või mitte ühtegi. Kui $\Delta A=0$, siis on vaja lisauuringuid, mis on sageli tülikad.

Öeldut kokku võttes märgin, et esimene meetod sobib neile SLAE-dele, mille süsteemimaatriks on ruut. Samal ajal sisaldab SLAE ise kolme või nelja tundmatut ja on võetud standardsetest standardarvutustest või juhtimistöödest.

Meetod number 2. Auastme arvutamine elementaarteisenduste meetodil.

Seda meetodit kirjeldatakse üksikasjalikult vastavas teemas. Arvutame maatriksi $\widetilde(A)$ auastme. Miks maatriksid $\widetilde(A)$ ja mitte $A$? Asi on selles, et maatriks $A$ on osa maatriksist $\widetilde(A)$, nii et maatriksi $\widetilde(A)$ auastme arvutamisel leiame samaaegselt maatriksi $A$ auastme. .

\begin(joondatud) &\widetilde(A) =\left(\begin(massiivi) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(massiivi) \right) \rightarrow \left|\text(vahetage esimene ja teine ​​rida)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(massiivi) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(massiivi) \right) \begin(massiivi) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(massiivi) \rightarrow \left(\begin (massiiv) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(massiivi) \right) \begin(massiivi) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(massiivi)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(massiivi) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(massiivi) \right) \end(joondatud)

Oleme taandanud maatriksi $\widetilde(A)$ trapetsikujuliseks . Saadud maatriksi põhidiagonaalil $\left(\begin(massiivi) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ sisaldab kolme nullist erinevat elementi: -1, 3 ja -7. Järeldus: maatriksi $\widetilde(A)$ auaste on 3, s.o. $\rank\widetilde(A)=3$. Tehes teisendusi maatriksi $\widetilde(A)$ elementidega, teisendasime samaaegselt maatriksi $A$ elemendid, mis asuvad enne rida. Maatriks $A$ on samuti trapetsikujuline: $\left(\begin(massiivi) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(massiivi) \right ) $. Järeldus: maatriksi $A$ aste võrdub samuti 3-ga, s.o. $\rank A=3$.

Kuna $\rang A=\rang\widetilde(A)$, on Kroneckeri-Capelli teoreemi järgi süsteem järjekindel, s.t. on lahendus. Lahenduste arvu näitamiseks võtame arvesse, et meie SLAE sisaldab 3 tundmatut: $x_1$, $x_2$ ja $x_3$. Kuna tundmatute arv on $n=3$, siis järeldame: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, mistõttu Kroneckeri-Capelli teoreemi järelduvuse järgi on süsteem defineeritud, s.t. on ainulaadne lahendus.

Millised on teise meetodi eelised? Peamine eelis on selle mitmekülgsus. Meile pole vahet, kas süsteemi maatriks on ruut või mitte. Lisaks oleme tegelikult läbi viinud Gaussi meetodi teisendusi edasi. Jäänud on vaid paar sammu ja me saame selle SLAE lahenduse. Ausalt öeldes meeldib mulle teine ​​viis rohkem kui esimene, aga valik on maitse asi.

Vastus: antud SLAE on järjepidev ja määratletud.

Näide nr 2

Tutvuge SLAE-ga $ \left\( \begin( joondatud) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(joondatud) \right.$ järjepidevuse tagamiseks.

Süsteemi maatriksi ja süsteemi laiendatud maatriksi auastmed leiame elementaarteisenduste meetodil. Laiendatud süsteemimaatriks: $\widetilde(A)=\left(\begin(massiivi) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(massiivi) \right)$. Leiame vajalikud auastmed, teisendades süsteemi liitmaatriksit:

Süsteemi laiendatud maatriks taandatakse astmeliseks. Kui maatriks taandatakse astmelisele kujule, on selle järjestus võrdne nullist erineva ridade arvuga. Seetõttu $\rank A=3$. Maatriks $A$ (kuni jooneni) taandatakse trapetsikujuliseks ja selle järk on võrdne 2, $\rang A=2$.

Kuna $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, siis Kroneckeri-Capelli teoreemi kohaselt on süsteem ebajärjekindel (st tal pole lahendusi).

Vastus: süsteem on ebaühtlane.

Näide nr 3

Uurige SLAE-d $ \left\( \begin( joondatud) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-6 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(joondatud) \right.$ ühilduvuse tagamiseks.

Laiendatud süsteemimaatriks on: $\widetilde(A)=\left(\begin(massiivi) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(massiivi)\right)$. Vahetage selle maatriksi esimene ja teine ​​rida nii, et esimese rea esimene element oleks üks: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(massiivi) \right)$.

Oleme taandanud süsteemi laiendatud maatriksi ja süsteemi enda maatriksi trapetsikujuliseks. Süsteemi laiendatud maatriksi aste võrdub kolmega, süsteemi maatriksi auaste on samuti võrdne kolmega. Kuna süsteem sisaldab $n=5$ tundmatut, st. $\rang\widetilde(A)=\rank A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли see süsteem on tähtajatu, s.t. on lõpmatu arv lahendusi.

Vastus: süsteem on määramatu.

Teises osas analüüsime näiteid, mis sageli sisalduvad tüüpilistes arvutustes või proovipaberid kõrgemas matemaatikas: uuring SLAE ühilduvuse ja lahenduse kohta sõltuvalt selles sisalduvate parameetrite väärtustest.