Kaava puolisuunnikkaan pinta-alalle keskiarvon kautta. Kuinka löytää puolisuunnikkaan pinta-ala

Trapetsi kutsutaan nelikulmioksi, jonka vain kaksi sivut ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa.

Niitä kutsutaan kuvion pohjaksi, loput sivuiksi. Rinnakkaiset katsotaan kuvion erikoistapauksiksi. On myös kaareva puolisuunnikasta, joka sisältää funktion kaavion. Puolisuunnikkaan alueen kaavat sisältävät melkein kaikki sen elementit, ja paras ratkaisu valitaan annettujen arvojen mukaan.
Puolisuunnikkaan pääroolit on määritetty korkeudelle ja keskiviivalle. keskiviiva- Tämä on viiva, joka yhdistää sivujen keskipisteet. Korkeus Trapetsi piirretään suorassa kulmassa yläkulmasta alustaan.
Puolisuunnikkaan pinta-ala sen korkeuden läpi on yhtä suuri kuin puolet kantojen pituuksien summasta kerrottuna korkeudella:

Jos keskimääräinen viiva tunnetaan olosuhteiden mukaan, tämä kaava yksinkertaistuu merkittävästi, koska se on yhtä suuri kuin puolet kantojen pituuksien summasta:

Jos olosuhteiden mukaan annetaan kaikkien sivujen pituudet, voimme harkita esimerkkiä puolisuunnikkaan pinta-alan laskemisesta näiden tietojen avulla:

Oletetaan, että meille annetaan puolisuunnikkaan kantat a = 3 cm, b = 7 cm ja sivut c = 5 cm, d = 4 cm. Etsitään kuvan pinta-ala:

Tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala

Tasakylkistä puolisuunnikasta tai, kuten sitä kutsutaan myös tasakylkiseksi puolisuunnikkaaksi, pidetään erillisenä tapauksena.
Erikoistapaus on tasakylkisen (tasasivuisen) puolisuunnikkaan alueen löytäminen. Kaava on johdettu eri tavoilla– diagonaalien läpi, kantaa viereisten kulmien kautta ja piirretyn ympyrän säde.
Jos diagonaalien pituus on määritetty olosuhteiden mukaan ja niiden välinen kulma tunnetaan, voit käyttää seuraavaa kaavaa:

Muista, että tasakylkisen puolisuunnikkaan lävistäjät ovat keskenään yhtä suuret!

Toisin sanoen, kun tiedät yhden niiden kannan, sivun ja kulman, voit helposti laskea alueen.

Kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala

Erikoinen tapaus on kaareva trapetsi. Se sijaitsee koordinaattiakselilla ja sitä rajoittaa jatkuvan positiivisen funktion kuvaaja.

Sen pohja sijaitsee X-akselilla ja on rajoitettu kahteen pisteeseen:
Integraalit auttavat laskemaan pinta-alaa kaareva trapetsi.
Kaava on kirjoitettu näin:

Tarkastellaan esimerkkiä kaarevan puolisuunnikkaan alueen laskemisesta. Kaava vaatii tiettyä tietoa toimiakseen tiettyjen integraalien kanssa. Tarkastellaan ensin määrätyn integraalin arvoa:

Tässä F(a) on antiderivatiivisen funktion f(x) arvo pisteessä a, F(b) on saman funktion f(x) arvo pisteessä b.

Nyt ratkaistaan ​​ongelma. Kuvassa on kaareva puolisuunnikas, jota funktio rajoittaa. Toiminto
Meidän on löydettävä valitun kuvion pinta-ala, joka on kaareva puolisuunnikas, jonka yläpuolelta rajaa kuvaaja, oikealta suora x =(-8), vasemmalta suora x =(-10 ) ja alla oleva OX-akseli.
Laskemme tämän kuvan pinta-alan kaavalla:

Ongelman ehdot antavat meille funktion. Sen avulla löydämme antijohdannaisen arvot jokaisesta pisteestämme:


Nyt
Vastaus: Tietyn kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on 4.

Tämän arvon laskemisessa ei ole mitään monimutkaista. Ainoa tärkeä asia on äärimmäinen huolellisuus laskelmissa.

Monipuolinen puolisuunnikkaan muotoinen... Se voi olla mielivaltainen, tasakylkinen tai suorakaiteen muotoinen. Ja jokaisessa tapauksessa sinun on tiedettävä, kuinka löytää puolisuunnikkaan pinta-ala. Tietysti helpoin tapa on muistaa peruskaavat. Mutta joskus on helpompi käyttää sellaista, joka on johdettu ottaen huomioon tietyn geometrisen hahmon kaikki ominaisuudet.

Muutama sana puolisuunnikkaan ja sen elementeistä

Mitä tahansa nelikulmiota, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset, voidaan kutsua puolisuunnikkaan. Yleensä ne eivät ole samanarvoisia ja niitä kutsutaan emäksiksi. Isompi on alempi ja toinen on ylempi.

Kaksi muuta puolta osoittautuvat sivuttaisiksi. Mielivaltaisessa puolisuunnikkaassa niillä on eri pituudet. Jos ne ovat yhtä suuret, kuviosta tulee tasakylkinen.

Jos yhtäkkiä minkä tahansa sivun ja pohjan välinen kulma osoittautuu 90 astetta, niin puolisuunnikkaan muoto on suorakaiteen muotoinen.

Kaikki nämä ominaisuudet voivat auttaa ratkaisemaan puolisuunnikkaan alueen löytämisongelman.

Kuvan elementeistä, jotka voivat olla välttämättömiä ongelmien ratkaisemisessa, voimme korostaa seuraavia:

• korkeus, eli segmentti, joka on kohtisuorassa kumpaankin kantaan nähden;
• keskiviiva, jonka päissä on sivusivujen keskipisteet.

Millä kaavalla voidaan laskea pinta-ala, jos pohja ja korkeus ovat tiedossa?

Tämä lauseke on annettu peruslausekkeena, koska useimmiten nämä suuret tunnistaa, vaikka niitä ei ole nimenomaisesti annettu. Joten ymmärtääksesi, kuinka löytää puolisuunnikkaan pinta-ala, sinun on lisättävä molemmat emäkset ja jaettava ne kahdella. Kerro sitten saatu arvo korkeusarvolla.

Jos määritämme kannat 1:ksi ja 2:ksi ja korkeudeksi n, alueen kaava näyttää tältä:

S = ((a 1 + a 2)/2)*n.

Kaava, joka laskee alueen, jos sen korkeus ja keskiviiva on annettu

Jos katsot tarkkaan edellistä kaavaa, on helppo huomata, että se sisältää selvästi keskiviivan arvon. Nimittäin kantojen summa jaettuna kahdella. Merkitään keskiviiva kirjaimella l, jolloin alueen kaava tulee:

S = l * n.

Kyky löytää alue diagonaalien avulla

Tämä menetelmä auttaa, jos niiden muodostama kulma tunnetaan. Oletetaan, että diagonaalit on merkitty kirjaimilla d 1 ja d 2 ja niiden väliset kulmat ovat α ja β. Sitten kaava puolisuunnikkaan alueen löytämiseksi kirjoitetaan seuraavasti:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

Voit helposti korvata α:n β:lla tässä lausekkeessa. Tulos ei muutu.

Kuinka selvittää pinta-ala, jos hahmon kaikki puolet tunnetaan?

On myös tilanteita, joissa tämän hahmon sivut tiedetään tarkasti. Tämä kaava on hankala ja vaikea muistaa. Mutta luultavasti. Olkoon sivuilla merkintä: a 1 ja a 2, kanta a 1 on suurempi kuin a 2. Sitten pinta-alakaava on seuraavanlainen:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (in 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + in 1 2 - in 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2).

Tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-alan laskentamenetelmät

Ensimmäinen johtuu siitä, että siihen voidaan kirjoittaa ympyrä. Ja kun tiedät sen säteen (se on merkitty kirjaimella r), sekä kulman pohjassa - γ, voit käyttää seuraavaa kaavaa:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Viimeinen yleinen kaava, joka perustuu kuvan kaikkien puolten tuntemiseen, yksinkertaistuu huomattavasti, koska sivuilla on sama merkitys:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (in 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Menetelmät suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan pinta-alan laskentaan

On selvää, että mikä tahansa yllä olevista sopii mille tahansa hahmolle. Mutta joskus on hyödyllistä tietää yhdestä tällaisen puolisuunnikkaan ominaisuudesta. Se johtuu siitä, että diagonaalien pituuksien neliöiden välinen ero on yhtä suuri kuin kantajen neliöiden välinen ero.

Usein puolisuunnikkaan kaavat unohtuvat, kun taas suorakulmion ja kolmion pinta-alojen lausekkeet muistetaan. Sitten voit käyttää yksinkertaista menetelmää. Jaa puolisuunnikas kahteen muotoon, jos se on suorakaiteen muotoinen, tai kolmeen muotoon. Yksi on ehdottomasti suorakulmio, ja toinen tai loput kaksi ovat kolmioita. Kun näiden lukujen pinta-alat on laskettu, ei tarvitse muuta kuin laskea ne yhteen.

Tämä on melko yksinkertainen tapa löytää suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan pinta-ala.

Entä jos puolisuunnikkaan kärkien koordinaatit ovat tiedossa?

Tässä tapauksessa sinun on käytettävä lauseketta, jonka avulla voit määrittää pisteiden välisen etäisyyden. Sitä voidaan käyttää kolme kertaa: sekä pohjan että yhden korkeuden selvittämiseksi. Käytä sitten vain ensimmäistä kaavaa, joka on kuvattu hieman korkeammalla.

Tämän menetelmän havainnollistamiseksi voidaan antaa seuraava esimerkki. Annetut pisteet koordinaatteilla A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Sinun on selvitettävä kuvion alue.

Ennen kuin löydät puolisuunnikkaan alueen, sinun on laskettava kantakohtien pituudet koordinaateista. Tarvitset seuraavan kaavan:

janan pituus = √((pisteiden ensimmäisten koordinaattien ero) 2 + (pisteiden toisten koordinaattien ero) 2 ).

Ylempi pohja on merkitty AB, mikä tarkoittaa, että sen pituus on √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Alempi on CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Nyt sinun on piirrettävä korkeus ylhäältä pohjaan. Olkoon sen alku pisteessä A. Janan loppu on alemmalla kannalla koordinaattipisteessä (5; 1), olkoon tämä piste H. Janan AN pituus on yhtä suuri kuin √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Jäljelle jää vain korvaamalla saadut arvot puolisuunnikkaan alueen kaavaan:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Ongelma ratkesi ilman mittayksiköitä, koska koordinaattiruudukon mittakaavaa ei ollut määritelty. Se voi olla joko millimetri tai metri.

Esimerkki ongelmia

Nro 1. Kunto. Mielivaltaisen puolisuunnikkaan lävistäjien välinen kulma tunnetaan, se on 30 astetta. Pienemmän diagonaalin arvo on 3 dm ja toisen on 2 kertaa suurempi. On tarpeen laskea puolisuunnikkaan pinta-ala.

Ratkaisu. Ensin sinun on selvitettävä toisen diagonaalin pituus, koska ilman tätä vastausta ei voida laskea. Ei ole vaikea laskea, 3 * 2 = 6 (dm).

Nyt sinun on käytettävä sopivaa kaavaa alueelle:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Ongelma on ratkaistu.

Vastaus: Puolisuunnikkaan pinta-ala on 4,5 dm2.

Nro 2. Kunto. Puolisuunnikkaan ABCD kannat ovat segmentit AD ja BC. Piste E on SD-puolen keskikohta. Siitä vedetään kohtisuora suoraa AB vastaan, tämän janan päätä merkitään kirjaimella H. Tiedetään, että pituudet AB ja EH ovat vastaavasti 5 ja 4 cm. On tarpeen laskea janan pinta-ala. trapetsi.

Ratkaisu. Ensin sinun on tehtävä piirustus. Koska kohtisuoran arvo on pienempi kuin sivu, jolle se on vedetty, puolisuunnikkaan tulee hieman pitkänomainen ylöspäin. Joten EH on hahmon sisällä.

Jotta näet selkeästi ongelman ratkaisemisen edistymisen, sinun on suoritettava lisärakennus. Nimittäin piirrä suora viiva, joka on yhdensuuntainen sivun AB kanssa. Tämän suoran ja AD:n leikkauspisteet ovat P, ja BC:n jatkeella ovat X. Tuloksena oleva kuvio VHRA on suunnikas. Lisäksi sen pinta-ala on yhtä suuri kuin vaadittu. Tämä johtuu siitä, että lisärakentamisen aikana saadut kolmiot ovat yhtä suuret. Tämä seuraa sivun ja kahden viereisen kulman yhtäläisyydestä, joista toinen on pystysuora ja toinen ristikkäin.

Löydät suunnikkaan alueen kaavalla, joka sisältää sivun tulon ja sille lasketun korkeuden.

Näin ollen puolisuunnikkaan pinta-ala on 5 * 4 = 20 cm 2.

Vastaus: S = 20 cm2.

Nro 3. Kunto. Elementit tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen niillä on seuraavat arvot: alapohja - 14 cm, ylempi - 4 cm, terävä kulma - 45º. Sinun on laskettava sen pinta-ala.

Ratkaisu. Merkitään pienempi kanta BC:ksi. Pisteestä B vedettyä korkeutta kutsutaan nimellä VH. Koska kulma on 45º, kolmio ABH on suorakulmainen ja tasakylkinen. Joten AN = VN. Lisäksi AN on erittäin helppo löytää. Se on yhtä suuri kuin puolet emästen erosta. Eli (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Pohjat tiedetään, korkeudet lasketaan. Voit käyttää ensimmäistä kaavaa, josta keskusteltiin tässä mielivaltaiselle puolisuunnikkaan.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Vastaus: Tarvittava pinta-ala on 45 cm 2.

Nro 4. Kunto. On mielivaltainen puolisuunnikkaan ABCD. Pisteet O ja E otetaan sen sivusivuilta siten, että OE on yhdensuuntainen AD:n kannan kanssa. AOED-suunnikkaan pinta-ala on viisi kertaa suurempi kuin OVSE:n. Laske OE-arvo, jos kantaosien pituudet tunnetaan.

Ratkaisu. Sinun on piirrettävä kaksi yhdensuuntaista suoraa AB: ensimmäinen pisteen C kautta, sen leikkauspiste OE:n kanssa - piste T; toinen E:n ja AD:n leikkauspiste on M.

Olkoon tuntematon OE=x. Pienemmän puolisuunnikkaan OVSE:n korkeus on n 1, suuremman AOED:n on n 2.

Koska näiden kahden puolisuunnikkaan pinta-alat ovat suhteessa 1-5, voimme kirjoittaa seuraavan yhtälön:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n1/n2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Kolmioiden korkeudet ja sivut ovat rakenteeltaan verrannollisia. Siksi voimme kirjoittaa vielä yhden yhtälön:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​1 - x).

Kahdessa uusimmat merkinnät vasemmalla puolella ovat samat arvot, mikä tarkoittaa, että voimme kirjoittaa, että (x + a 1) / (5(x + a 2)) on yhtä suuri kuin (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

Tässä tarvitaan useita muunnoksia. Kerro ensin ristiin. Sulkumerkit näkyvät osoittamaan neliöiden eroa, tämän kaavan soveltamisen jälkeen saat lyhyen yhtälön.

Siinä sinun on avattava sulut ja siirrettävä kaikki termit tuntemattomalla "x":llä vasemmalle ja purettava sitten neliöjuuri.

Vastaus: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

On monia tapoja löytää puolisuunnikkaan pinta-ala. Yleensä matematiikan ohjaaja tietää useita laskentamenetelmiä, katsotaanpa niitä tarkemmin:
1) , jossa AD ja BC ovat kantaa ja BH on puolisuunnikkaan korkeus. Todistus: piirrä diagonaali BD ja ilmaise kolmioiden ABD ja CDB pinta-alat niiden kanta- ja korkeustulon kautta:

, jossa DP on ulkokorkeus in

Lisätään nämä yhtäläisyydet termi kerrallaan ja ottaen huomioon, että korkeudet BH ja DP ovat yhtä suuret, saadaan:

Laitetaan se pois suluista

Q.E.D.

Seuraus puolisuunnikkaan pinta-alan kaavasta:
Koska kantajen puolisumma on yhtä suuri kuin MN - puolisuunnikkaan keskiviiva, niin

2) Yleisen kaavan soveltaminen nelikulmion pinta-alalle.
Nelikulman pinta-ala on puolet lävistäjien tulosta kerrottuna niiden välisen kulman sinillä
Sen todistamiseksi riittää jakaa puolisuunnikkaan 4 kolmioon, ilmaista kunkin pinta-ala "puolet lävistäjien tulosta ja niiden välisen kulman sinistä" (ottaa kulmana, lisää tuloksena oleva lausekkeet, ota ne pois suluista ja kerro tämä hakasulke ryhmittelymenetelmällä saadaksesi sen yhtäläisyyden lausekkeen kanssa.

3) Diagonaalinen siirtomenetelmä
Tämä on nimeni. Matematiikan opettaja ei törmää sellaiseen otsikkoon koulun oppikirjoissa. Tekniikan kuvaus löytyy vain lisäosasta oppikirjoja esimerkkinä ongelman ratkaisemisesta. Huomaan, että suurin osa mielenkiintoisista ja hyödyllisiä faktoja planimetry matematiikan tutorit paljastavat opiskelijoille suoritusprosessissa käytännön työ. Tämä on erittäin epäoptimaalista, koska opiskelijan on eristettävä ne erillisiin lauseisiin ja kutsuttava niitä "isoiksi nimiksi". Yksi niistä on "diagonaalinen siirto". Mitä se koskee? Piirretään AC:n suuntainen viiva kärjen B kautta, kunnes se leikkaa alemman kannan pisteessä E. Tässä tapauksessa nelikulmio EBCA on (määritelmän mukaan) suuntaviiva ja siksi BC=EA ja EB=AC. Ensimmäinen tasa-arvo on meille nyt tärkeä. Meillä on:

Huomaa, että kolmiolla BED, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan pinta-ala, on useita merkittäviä ominaisuuksia:
1) Sen pinta-ala on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan pinta-ala
2) Sen tasakylkiset esiintyvät samanaikaisesti itse puolisuunnikkaan tasakylkisten kanssa
3) Sen yläkulma kärjessä B on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan lävistäjien välinen kulma (jota käytetään usein tehtävissä)
4) Sen mediaani BK on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan kannan keskipisteiden välinen etäisyys QS. Törmäsin äskettäin tämän ominaisuuden käyttöön valmistaessani opiskelijaa mekaniikkaan ja matematiikkaan Moskovan valtionyliopistossa käyttäen Tkachukin oppikirjaa, vuoden 1973 versiota (tehtävä on esitetty sivun alaosassa).

Erikoistekniikoita matematiikan opettajalle.

Joskus ehdotan ongelmia käyttämällä hyvin hankalaa tapaa löytää puolisuunnikkaan pinta-ala. Luokittelen sen erikoistekniikaksi, koska käytännössä tutori käyttää niitä erittäin harvoin. Jos tarvitset valmistautumista matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen vain osassa B, sinun ei tarvitse lukea niistä. Muille kerron lisää. Osoittautuu, että puolisuunnikkaan pinta-ala kaksinkertaistuu lisää aluetta kolmio, jonka kärjet ovat toisen sivun päissä ja toisen keskellä, eli kuvan ABS-kolmio:
Todistus: Piirrä korkeudet SM ja SN kolmioihin BCS ja ADS ja ilmaise näiden kolmioiden pinta-alojen summa:

Koska piste S on CD:n keskipiste, niin (todista se itse) Etsi kolmioiden pinta-alojen summa:

Koska tämä summa osoittautui puoleksi puolisuunnikkaan pinta-alasta, sen toinen puolikas. Jne.

Sisällytäisin ohjaajan erikoistekniikoiden kokoelmaan tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-alan laskentamuodon sen sivuilla: missä p on puolisuunnikkaan kehä. En anna todisteita. Muuten matematiikan opettajasi jää ilman työtä :). Tule tunnille!

Ongelmia puolisuunnikkaan alueella:

Matematiikan opettajan huomautus: Alla oleva luettelo ei ole metodologinen tuki Aiheeseen liittyen tämä on vain pieni valikoima mielenkiintoisia ongelmia yllä käsiteltyjen tekniikoiden avulla.

1) Tasakylkisen puolisuunnikkaan alakanta on 13 ja ylempi 5. Selvitä puolisuunnikkaan pinta-ala, jos sen lävistäjä on kohtisuorassa sivuun nähden.
2) Laske puolisuunnikkaan pinta-ala, jos sen kantat ovat 2 cm ja 5 cm ja sivut 2 cm ja 3 cm.
3) Tasakylkisessä puolisuunnikkaan isompi kanta on 11, sivu on 5 ja lävistäjä on Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala.
4) Tasakylkisen puolisuunnikkaan lävistäjä on 5 ja keskiviiva on 4. Etsi alue.
5) Tasakylkisessä puolisuunnikkaan kantat ovat 12 ja 20 ja diagonaalit ovat keskenään kohtisuorassa. Laske puolisuunnikkaan pinta-ala
6) Tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaali muodostaa kulman alemman kantansa kanssa. Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala, jos sen korkeus on 6 cm.
7) Puolisuunnikkaan pinta-ala on 20 ja sen toinen sivu on 4 cm. Etsi etäisyys siihen vastakkaisen sivun keskeltä.
8) Tasakylkisen puolisuunnikkaan lävistäjä jakaa sen kolmioihin, joiden pinta-alat ovat 6 ja 14. Laske korkeus, jos sivusivu on 4.
9) Puolisuunnikkaan lävistäjät ovat 3 ja 5, ja kantajen keskipisteitä yhdistävä jana on yhtä suuri kuin 2. Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala (Mekhmat MSU, 1970).

En valinnut kaikkein vaikeimpia tehtäviä (älä pelkää mekaniikkaa ja matematiikkaa!) sillä odotuksella, että ne olisivat mahdollisia itsenäinen päätös. Päätä terveytesi puolesta! Jos tarvitset valmistautumista matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen, ilman puolisuunnikkaan alueen kaavan osallistumista tähän prosessiin voi syntyä vakavia ongelmia jopa tehtävässä B6 ja vielä enemmän C4: ssä. Älä aloita aihetta ja jos sinulla on ongelmia, pyydä apua. Matematiikan opettaja auttaa sinua aina mielellään.

Kolpakov A.N.
Matematiikan opettaja Moskovassa, valmistautuminen yhtenäiseen valtionkokeeseen Stroginossa.

JA . Nyt voimme alkaa pohtia kysymystä siitä, kuinka löytää puolisuunnikkaan pinta-ala. Tämä tehtävä syntyy hyvin harvoin jokapäiväisessä elämässä, mutta joskus osoittautuu tarpeelliseksi löytää esimerkiksi puolisuunnikkaan muotoinen huoneen pinta-ala, jota käytetään yhä enemmän nykyaikaisten asuntojen rakentamisessa tai suunnittele remonttiprojekteja.

Trapetsoidi on geometrinen kuvio, joka muodostuu neljästä leikkaavasta segmentistä, joista kaksi on yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa ja joita kutsutaan puolisuunnikkaan kantaviksi. Kahta muuta segmenttiä kutsutaan puolisuunnikkaan sivuiksi. Lisäksi tarvitsemme myöhemmin toisen määritelmän. Tämä on puolisuunnikkaan keskiviiva, joka on jana, joka yhdistää sivujen keskipisteet ja puolisuunnikkaan korkeuden, joka on yhtä suuri kuin kantojen välinen etäisyys.
Kolmioiden tavoin myös puolisuunnikkaat ovat erikoistyyppejä tasakylkisen (tasasivuisen) puolisuunnikkaan muodossa, jossa sivujen pituudet ovat samat, ja suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan muodossa, jossa yksi sivuista muodostaa suoran kulman kantojen kanssa.

Trapetsilla on mielenkiintoisia ominaisuuksia:

1. Puolisuunnikkaan keskiviiva on yhtä suuri kuin puolet kantajen summasta ja on yhdensuuntainen niiden kanssa.
   
2. Tasakylkisellä puolisuunnikkaalla on yhtäläiset sivut ja niiden muodostamat kulmat kantojen kanssa.
   
3. Puolisuunnikkaan lävistäjien keskipisteet ja sen lävistäjien leikkauspisteet ovat samalla suoralla.
   
4. Jos puolisuunnikkaan sivujen summa on yhtä suuri kuin kantojen summa, siihen voidaan kirjoittaa ympyrä
   
5. Jos puolisuunnikkaan sivujen muodostamien kulmien summa missä tahansa kannassa on 90, niin kantajen keskipisteitä yhdistävän janan pituus on yhtä suuri kuin niiden puoliero.
   
6. Tasakylkistä puolisuunnikasta voidaan kuvata ympyrällä. Ja päinvastoin. Jos puolisuunnikkaan sopii ympyrään, se on tasakylkinen.
   
7. Jana, joka kulkee tasakylkisen puolisuunnikkaan kantojen keskipisteiden kautta, on kohtisuorassa kantaansa nähden ja edustaa symmetria-akselia.
   

Kuinka löytää puolisuunnikkaan pinta-ala.

Puolisuunnikkaan pinta-ala on puolet sen kantajen summasta kerrottuna sen korkeudella. Kaavamuodossa tämä kirjoitetaan lausekkeena:

missä S on puolisuunnikkaan pinta-ala, a, b on puolisuunnikkaan kunkin kannan pituus, h on puolisuunnikkaan korkeus.

Voit myös jakaa minkä tahansa puolisuunnikkaan yksinkertaisempiin kuvioihin: suorakulmioon ja yhdeksi tai kahdeksi kolmioksi, ja jos se on sinulle helpompaa, niin etsi puolisuunnikkaan pinta-ala sen muodostavien kuvioiden pinta-alojen summana.

Sen pinta-alan laskemiseen on toinen yksinkertainen kaava. Sen mukaan puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen keskiviivan tulo puolisuunnikkaan korkeudella ja kirjoitetaan muodossa: S = m*h, missä S on pinta-ala, m on puolisuunnikkaan pituus. keskiviiva, h on puolisuunnikkaan korkeus. Tämä kaava sopii paremmin matemaattisiin ongelmiin kuin arkitehtäviin, koska todellisissa olosuhteissa et tiedä keskilinjan pituutta ilman alustavia laskelmia. Ja tiedät vain pohjien ja sivujen pituudet.

Tässä tapauksessa puolisuunnikkaan pinta-ala voidaan löytää kaavalla:

S = ((a+b)/2)*√c 2-((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

missä S on pinta-ala, a, b ovat kantat, c, d ovat puolisuunnikkaan sivut.

On olemassa useita muita tapoja löytää puolisuunnikkaan pinta-ala. Mutta ne ovat suunnilleen yhtä hankalia kuin viimeinen kaava, mikä tarkoittaa, että niissä ei ole mitään järkeä. Siksi suosittelemme, että käytät artikkelin ensimmäistä kaavaa ja toivomme, että saat aina tarkkoja tuloksia.

Matematiikassa tunnetaan useita nelikulmiotyyppejä: neliö, suorakulmio, rombi, suuntaviiva. Niiden joukossa on puolisuunnikkaan muotoinen kupera nelikulmio, jossa kaksi sivua ovat yhdensuuntaisia ​​ja kaksi muuta eivät. Yhdensuuntaisia ​​vastakkaisia ​​sivuja kutsutaan kantaviksi ja kahta muuta puolisuunnikkaan sivusivuiksi. Janaa, joka yhdistää sivujen keskipisteet, kutsutaan keskiviivaksi. Puolisuunnikastyyppejä on useita: tasakylkisiä, suorakaiteen muotoisia, kaarevia. Jokaiselle puolisuunnikkaan tyypille on kaavat alueen löytämiseksi.

Puolisuunnikkaan pinta-ala

Löytääksesi puolisuunnikkaan alueen, sinun on tiedettävä sen pohjan pituus ja korkeus. Puolisuunnikkaan korkeus on segmentti kohtisuoraan pohjaan nähden. Olkoon yläpohja a, alapohja b ja korkeus h. Sitten voit laskea alueen S kaavalla:

S = ½ * (a+b) * h

nuo. ota puolet kantajen summasta kerrottuna korkeudella.

On myös mahdollista laskea puolisuunnikkaan pinta-ala, jos korkeus ja keskiviiva ovat tiedossa. Merkitään keskiviivaa - m. Sitten

Ratkaistaan ​​monimutkaisempi ongelma: puolisuunnikkaan neljän sivun pituudet tunnetaan - a, b, c, d. Sitten alue löydetään kaavalla:

Jos diagonaalien pituudet ja niiden välinen kulma tunnetaan, aluetta etsitään seuraavasti:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

missä d indekseillä 1 ja 2 ovat diagonaaleja. Tässä kaavassa kulman sini on annettu laskennassa.

Pinta-ala lasketaan seuraavasti, kun otetaan huomioon kannan a ja b tunnetut pituudet ja kaksi kulmaa alemmassa pohjassa:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala

Tasakylkinen puolisuunnikas on erikoistapaus trapetsoidit. Sen ero on, että tällainen puolisuunnikkaan on kupera nelikulmio, jonka symmetria-akseli kulkee kahden vastakkaisen sivun keskipisteiden läpi. Sen sivut ovat tasaiset.

On olemassa useita tapoja löytää tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala.

• Kolmen sivun pituuden läpi. Tässä tapauksessa sivujen pituudet ovat samat, joten ne on merkitty yhdellä arvolla - c ja a ja b - pohjan pituudella:

• Jos ylemmän pohjan pituus, sivu ja kulma alapohjassa ovat tiedossa, pinta-ala lasketaan seuraavasti:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

missä a on yläkanta, c on sivu.

• Jos ylemmän pohjan sijasta tunnetaan alemman pituus - b, pinta-ala lasketaan kaavalla:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Jos tunnetaan kaksi kantaa ja alemman kannan kulma, pinta-ala lasketaan kulman tangentin kautta:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• Pinta-ala lasketaan myös diagonaalien ja niiden välisen kulman kautta. Tässä tapauksessa diagonaalit ovat yhtä pitkiä, joten merkitsemme kutakin kirjaimella d ilman alaindeksiä:

S = ½ * d2 * sin α

• Lasketaan puolisuunnikkaan pinta-ala, kun tiedetään sivun pituus, keskiviiva ja kulma pohjapohjassa.

Olkoon sivusivu c, keskiviiva m ja kulma a, niin:

S = m * c * sin α

Joskus voit piirtää ympyrän tasasivuiseen puolisuunnikkaan, jonka säde on r.

Tiedetään, että ympyrä voidaan kirjoittaa mihin tahansa puolisuunnikkaan, jos kantajen pituuksien summa on yhtä suuri kuin sen sivujen pituuksien summa. Sitten alue löytyy piirretyn ympyrän säteen ja alapohjan kulman kautta:

S = 4r2 / sin α

Sama laskelma tehdään käyttämällä piirretyn ympyrän halkaisijaa D (se muuten on sama kuin puolisuunnikkaan korkeus):

Kun tunnetaan kanta ja kulma, tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala lasketaan seuraavasti:

S = a * b / sin α

(tämä ja sitä seuraavat kaavat pätevät vain puolisuunnikkaan, joissa on piirretty ympyrä).

Ympyrän kantaa ja sädettä käyttäen alue löytyy seuraavasti:

Jos tunnetaan vain emäkset, pinta-ala lasketaan kaavalla:

Pohjien ja sivuviivan kautta puolisuunnikkaan pinta-ala, jossa on piirretty ympyrä, sekä kantajen ja keskiviivan läpi - m lasketaan seuraavasti:

Suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan pinta-ala

Puolisuunnikkaan kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jos yksi sen sivuista on kohtisuorassa kantaan nähden. Tässä tapauksessa sivun pituus on sama kuin puolisuunnikkaan korkeus.

Suorakaiteen muotoinen puolisuunnikas koostuu neliöstä ja kolmiosta. Kun olet löytänyt kunkin hahmon alueen, laske tulokset yhteen ja hanki kokonaisalue lukuja.

Myös suorakaiteen muotoisen puolisuunnikkaan pinta-alan laskemiseen soveltuvat yleiset kaavat puolisuunnikkaan pinta-alan laskemiseksi.

• Jos pohjan pituudet ja korkeus (tai kohtisuora sivusivu) tunnetaan, lasketaan pinta-ala kaavalla:

S = (a + b) * h / 2

Sivupuoli c voi toimia h:na (korkeus). Sitten kaava näyttää tältä:

S = (a + b) * c / 2

• Toinen tapa laskea pinta-ala on kertoa keskiviivan pituus korkeudella:

tai sivuttaissuoran sivun pituuden mukaan:

• Seuraava tapa laskea on puolet lävistäjien tulosta ja niiden välisen kulman sinistä:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Jos diagonaalit ovat kohtisuorassa, kaava yksinkertaistuu seuraavasti:

S = ½ * d1 * d2

• Toinen tapa laskea on puolikehän (kahden vastakkaisen sivun pituuksien summa) ja piirretyn ympyrän säteen kautta.

Tämä kaava pätee emäksille. Jos otamme sivujen pituudet, yksi niistä on yhtä suuri kuin kaksinkertainen säde. Kaava näyttää tältä:

S = (2r + c) * r

• Jos ympyrä on piirretty puolisuunnikkaan, pinta-ala lasketaan samalla tavalla:

missä m on keskiviivan pituus.

Kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala

Kaareva puolisuunnikkaan muoto on litteä figuuri, jota rajoittaa ei-negatiivisten kaavio jatkuva toiminto y = f(x), määritelty janalle , abskissa-akselille ja suorille x = a, x = b. Pohjimmiltaan sen kaksi sivua ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa (kanta), kolmas sivu on kohtisuorassa kantaan nähden ja neljäs on funktion kuvaajaa vastaava käyrä.

Kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alaa etsitään integraalin kautta käyttämällä Newton-Leibnizin kaavaa:

Näin pinta-alat lasketaan erilaisia ​​tyyppejä puolisuunnikkaan muotoinen. Mutta sivujen ominaisuuksien lisäksi trapetsoilla on samat kulmien ominaisuudet. Kuten kaikki olemassa olevat nelikulmiot, puolisuunnikkaan sisäkulmien summa on 360 astetta. Ja sivun viereisten kulmien summa on 180 astetta.