Jakaumafunktio miinus äärettömässä on yhtä suuri kuin. Satunnaismuuttujan jakautumisfunktiot

Diskreettien jakaumien harkittu ominaisuus aiheuttaa merkittäviä vaikeuksia tällaisten jakaumien taulukoinnissa ja käytössä, koska on mahdotonta ylläpitää tarkasti jakautumisominaisuuksien tyypillisiä numeerisia arvoja. Tämä pätee erityisesti ei-parametristen tilastotestien kriittisiin arvoihin ja merkitsevyystasoihin (katso alla), koska näiden testien tilastojen jakaumat ovat diskreettejä.

Järjestyskvantiililla on suuri merkitys tilastoissa. R= ½. Sitä kutsutaan mediaaniksi (satunnainen muuttuja X tai sen jakelufunktio F(x)) ja merkitty Minä (X). Geometriassa on käsite "mediaani" - suora viiva, joka kulkee kolmion kärjen läpi ja jakaa sen vastakkaisen sivun puoliksi. Matemaattisessa tilastossa mediaani ei puolita kolmion sivua, vaan satunnaismuuttujan jakaumaa: yhtäläisyys F(x0,5)= 0,5 tarkoittaa, että todennäköisyys päästä vasemmalle x0.5 ja todennäköisyys saada oikea x0.5(tai suoraan x0.5) ovat yhtä suuret keskenään ja yhtä suuret kuin ½, ts.

P(X < x 0,5) = P(X > x 0,5) = ½.

Mediaani osoittaa jakauman "keskipisteen". Yhden modernin käsitteen - stabiilien tilastollisten menettelyjen teorian - näkökulmasta mediaani on parempi ominaisuus satunnaismuuttujalle kuin matemaattinen odotus. Käsiteltäessä mittaustuloksia ordinaalisessa asteikossa (katso mittausteorian luku), mediaania voidaan käyttää, mutta matemaattista odotusta ei.

Tällaisella satunnaismuuttujan ominaisuudella moodina on selvä merkitys - satunnaismuuttujan arvo (tai arvot), joka vastaa jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheyden paikallista maksimia tai diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyyden paikallista maksimia. muuttuja.

Jos x0 on tiheyden omaavan satunnaismuuttujan moodi f(x), sitten, kuten differentiaalilaskennasta tiedetään, .

Satunnaismuuttujalla voi olla useita tiloja. Joten tasaisen jakautumisen (1) saamiseksi jokainen piste X sellasta a< x < b , on muotia. Tämä on kuitenkin poikkeus. Suurin osa todennäköisyysstatistisissa päätöksentekomenetelmissä ja muussa soveltavassa tutkimuksessa käytettävistä satunnaismuuttujista on yksimuotoisia. Satunnaismuuttujia, tiheyksiä, jakaumia, joilla on yksi moodi, kutsutaan unimodaaliksi.

Matemaattista odotusta diskreeteille satunnaismuuttujille, joilla on äärellinen määrä arvoja, käsitellään luvussa "Tapahtumat ja todennäköisyydet". Jatkuvalle satunnaismuuttujalle X odotettu arvo M(X) tyydyttää tasa-arvon

joka on kaavan (5) analogi luvun "Tapahtumat ja todennäköisyydet" lauseesta 2.

Esimerkki 5 Matemaattinen odotus tasaisesti jakautuneelle satunnaismuuttujalle X on yhtä suuri

Tässä luvussa käsiteltyjen satunnaismuuttujien osalta kaikki ne matemaattisten odotusten ja varianssien ominaisuudet, joita tarkasteltiin aiemmin diskreeteille satunnaismuuttujille, joilla on äärellinen määrä arvoja, ovat tosia. Emme kuitenkaan tarjoa todisteita näistä ominaisuuksista, koska ne edellyttävät syventämistä matemaattisiin hienouksiin, mikä ei ole välttämätöntä todennäköisyysstatististen päätöksentekomenetelmien ymmärtämiseksi ja päteväksi soveltamiseksi.

Kommentti. Tässä oppikirjassa vältetään tarkoituksella matemaattisia hienouksia, jotka liittyvät erityisesti mitattavien joukkojen ja mitattavien funktioiden käsitteisiin, tapahtumien -algebraan ja niin edelleen. Niiden, jotka haluavat hallita näitä käsitteitä, kannattaa tutustua erikoiskirjallisuuteen, erityisesti tietosanakirjaan.

Kukin kolmesta ominaisuudesta - matemaattinen odotus, mediaani, tila - kuvaa todennäköisyysjakauman "keskipistettä". Käsite "keskus" voidaan määritellä eri tavoin - tästä syystä kolme erilaista ominaisuutta. Kuitenkin tärkeälle jakaumien luokalle - symmetriselle unimodaaliselle - kaikki kolme ominaisuutta ovat samat.

Jakauman tiheys f(x) on symmetrisen jakauman tiheys, jos luku on olemassa x 0 sellasta

. (3)

Yhtälö (3) tarkoittaa, että funktion kuvaaja y = f(x) symmetrinen symmetriakeskuksen läpi kulkevan pystysuoran linjan suhteen X = X 0 . (3):sta seuraa, että symmetrinen jakaumafunktio tyydyttää suhteen

(4)

Symmetrisessä jakaumassa yhdellä moodilla keskiarvo, mediaani ja moodi ovat samat ja yhtä suuret x 0.

Tärkein tapaus on symmetria suhteessa nollaan, ts. x 0= 0. Sitten (3) ja (4) muuttuvat yhtäläisiksi

(6)

vastaavasti. Yllä olevat suhteet osoittavat, että symmetrisiä jakaumia ei tarvitse taulukoida kaikille X, riittää, että sinulla on pöytiä x > x0.

Huomioimme vielä yhden symmetristen jakaumien ominaisuuden, jota käytetään jatkuvasti todennäköisyysstatistisissa päätöksentekomenetelmissä ja muussa soveltavassa tutkimuksessa. Jatkuvaan jakelutoimintoon

P(|X| < a) = P(-a < X < a) = F(a) – F(-a),

missä F on satunnaismuuttujan jakaumafunktio X. Jos jakelufunktio F on symmetrinen 0:n suhteen, ts. kaava (6) pätee silloin

P(|X| < a) = 2F(a) – 1.

Usein käytetään toista käsiteltävän lausunnon muotoilua: jos

.

Jos ja ovat jakaumafunktion kertalukua ja vastaavasti (katso (2)) kvantiilit, jotka ovat symmetrisiä 0:n suhteen, niin kohdasta (6) seuraa, että

Aseman ominaisuuksista - matemaattinen odotus, mediaanit, moodit - siirrytään satunnaismuuttujan leviämisen ominaisuuksiin X: varianssi , keskihajonta ja variaatiokerroin v. Diskreettien satunnaismuuttujien varianssin määritelmää ja ominaisuuksia käsiteltiin edellisessä luvussa. Jatkuville satunnaismuuttujille

Keskihajonta on varianssin neliöjuuren ei-negatiivinen arvo:

Variaatiokerroin on keskihajonnan suhde matemaattiseen odotukseen:

Variaatiokerrointa sovelletaan, kun M(X)> 0. Se mittaa eroa suhteellisissa yksiköissä, kun taas keskihajonta on absoluuttisissa yksiköissä.

Esimerkki 6 Tasaisesti jakautuneelle satunnaismuuttujalle X Etsi varianssi, keskihajonta ja variaatiokerroin. Hajautus on:

Muuttujan korvaaminen mahdollistaa kirjoittamisen:

missä c = (b – a)/ 2. Näin ollen keskihajonna on yhtä suuri kuin ja variaatiokerroin on:

Jokaiselle satunnaismuuttujalle X määritä kolme muuta määrää - keskitetty Y, normalisoitu V ja annettu U. Keskitetty satunnaismuuttuja Y on ero tietyn satunnaismuuttujan välillä X ja sen matemaattinen odotus M(X), nuo. Y = X - M(X). Keskitetyn satunnaismuuttujan matemaattinen odotus Y on yhtä suuri kuin 0 ja varianssi on annetun satunnaismuuttujan varianssi: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). jakelutoiminto F Y(x) keskitetty satunnaismuuttuja Y liittyvät jakelufunktioon F(x) alkuperäinen satunnaismuuttuja X suhde:

F Y(x) = F(x + M(X)).

Näiden satunnaismuuttujien tiheydelle yhtälö

f Y(x) = f(x + M(X)).

Normalisoitu satunnaismuuttuja V on tämän satunnaismuuttujan suhde X keskihajontaan, ts. . Normalisoidun satunnaismuuttujan matemaattinen odotus ja varianssi V ilmaistaan ​​ominaisuuksien kautta X Niin:

,

missä v on alkuperäisen satunnaismuuttujan variaatiokerroin X. Jakelutoimintoa varten F V(x) ja tiheys f V(x) normalisoitu satunnaismuuttuja V meillä on:

missä F(x) on alkuperäisen satunnaismuuttujan jakaumafunktio X, a f(x) on sen todennäköisyystiheys.

Pienempi satunnaismuuttuja U on keskitetty ja normalisoitu satunnaismuuttuja:

.

Pienennetylle satunnaismuuttujalle

Normalisoituja, keskitettyjä ja pelkistettyjä satunnaismuuttujia käytetään jatkuvasti sekä teoreettisessa tutkimuksessa että algoritmeissa, ohjelmistotuotteissa, normatiivis-teknisessä ja opetusmetodisessa dokumentaatiossa. Varsinkin tasa-arvon takia mahdollistavat menetelmien perustelemisen, lauseiden muotoilun ja laskentakaavojen yksinkertaistamisen.

Käytetään satunnaismuuttujien muunnoksia ja yleisempää suunnitelmaa. Niin jos Y = kirves + b, missä a ja b on sitten joitain numeroita

Esimerkki 7 Jos sitten Y on pelkistetty satunnaismuuttuja, ja kaavat (8) muunnetaan kaavoiksi (7).

Jokaisen satunnaismuuttujan kanssa X on mahdollista liittää joukko satunnaismuuttujia Y, annetaan kaavalla Y = kirves + b erilaisissa a> 0 ja b. Tämä sarja on ns asteikkomuutosperhe satunnaismuuttujan luoma X. Jakelutoiminnot F Y(x) muodostavat jakelufunktion generoiman skaalaussiirtymäperheen F(x). Sijasta Y = kirves + b usein käytetty merkintä

Määrä Kanssa kutsutaan siirtoparametriksi ja numeroksi d- mittakaavaparametri. Kaava (9) osoittaa sen X- tietyn määrän mittauksen tulos - menee sisään klo- saman arvon mittauksen tulos, jos mittauksen alkua siirretään pisteeseen Kanssa, ja käytä sitten uutta mittayksikköä in d kertaa suurempi kuin vanha.

Skaalamuutosperheessä (9) jakaumaa X kutsutaan standardiksi. Todennäköisyystilastollisissa päätöksentekomenetelmissä ja muussa soveltavassa tutkimuksessa käytetään standardinormaalijakaumaa, Weibull-Gnedenkon standardijakaumaa, standardi gammajakaumaa jne. (ks. alla).

Myös muita satunnaismuuttujien muunnoksia käytetään. Esimerkiksi positiiviselle satunnaismuuttujalle X harkita Y= loki X, missä lg X on luvun desimaalilogaritmi X. Tasa-arvon ketju

F Y (x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

liittyy jakelutoimintoihin X ja Y.

Tietoa käsiteltäessä käytetään sellaisia ​​satunnaismuuttujan ominaisuuksia X kuin järjestyksen hetkiä q, eli satunnaismuuttujan matemaattiset odotukset Xq, q= 1, 2, … Matemaattinen odotus itsessään on siis järjestysmomentti 1. Diskreetille satunnaismuuttujalle järjestyshetki q voidaan laskea mm

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle

Tilauksen hetkiä q kutsutaan myös tilauksen alkuhetkeksi q, toisin kuin niihin liittyvät ominaisuudet - tilauksen keskeiset hetket q, annetaan kaavalla

Näin ollen dispersio on keskeinen järjestyksen 2 momentti.

Normaalijakauma ja keskirajalause. Todennäköisyysstatistisissa päätöksentekomenetelmissä puhutaan usein normaalijakaumasta. Joskus he yrittävät käyttää sitä mallintamaan lähtötietojen jakautumista (nämä yritykset eivät aina ole perusteltuja - katso alla). Vielä tärkeämpää on, että monet tietojenkäsittelymenetelmät perustuvat siihen, että laskettujen arvojen jakaumat ovat lähellä normaalia.

Päästää X 1 , X 2 ,…, X n M(X i) = m ja dispersioita D(X i) = , i = 1, 2,…, n,… Kuten edellisen luvun tuloksista seuraa,

Harkitse pelkistettyä satunnaismuuttujaa U n summalle , nimittäin,

Kuten kaavoista (7) seuraa, M(U n) = 0, D(U n) = 1.

(samaan jakautuneille termeille). Päästää X 1 , X 2 ,…, X n, … ovat riippumattomia identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on matemaattiset odotukset M(X i) = m ja dispersioita D(X i) = , i = 1, 2,…, n,… Sitten mille tahansa x:lle on raja

missä F(x) on standardi normaalijakaumafunktio.

Lisää toiminnosta F(x) - alla (se lukee "fi x:stä", koska F- kreikkalainen iso kirjain "phi").

Keskirajalause (CLT) on saanut nimensä siitä, että se on todennäköisyys- ja todennäköisyysteorian keskeisin, useimmin käytetty matemaattinen tulos. matemaattiset tilastot. CLT:n historia kestää noin 200 vuotta - vuodesta 1730, jolloin englantilainen matemaatikko A. De Moivre (1667-1754) julkaisi ensimmäisen CLT:hen liittyvän tuloksen (katso alla Moivre-Laplacen lausetta), 20-30-luvulle asti. 1900-luvulla, kun suomalainen J.W. Lindeberg, ranskalainen Paul Levy (1886-1971), Jugoslavian V. Feller (1906-1970), venäläinen A.Ya. Khinchin (1894-1959) ja muut tiedemiehet saivat tarvittavat ja riittävät ehdot klassisen keskusrajalauseen pätevyydelle.

Tarkasteltavan kohteen kehitys ei pysähtynyt siihen ollenkaan - tutkittiin satunnaismuuttujia, joilla ei ole dispersiota, ts. ne kenelle

(akateemikko B.V. Gnedenko ja muut), tilanne, jossa lasketaan yhteen satunnaismuuttujat (tarkemmin sanottuna satunnaiselementit), jotka ovat luonteeltaan monimutkaisempia kuin numerot (akateemikot Yu.V. Prokhorov, A.A. Borovkov ja heidän työtoverinsa) jne. .d.

jakelutoiminto F(x) sen antaa tasa-arvo

,

missä on normaalin normaalijakauman tiheys, jolla on melko monimutkainen lauseke:

.

Tässä \u003d 3,1415925 ... on geometriassa tunnettu luku, joka on yhtä suuri kuin kehän suhde halkaisijaan, e \u003d 2,718281828 ... - luonnollisten logaritmien perusta (muistaaksesi tämän luvun, huomaa, että 1828 on kirjailija Leo Tolstoin syntymävuosi). Kuten tiedetään matemaattinen analyysi,

Havaintotuloksia käsiteltäessä normaalijakaumafunktiota ei lasketa yllä olevien kaavojen mukaan, vaan se löydetään erityisten taulukoiden tai tietokoneohjelmat. Venäjän parhaat matemaattisten tilastojen taulukot ovat koonneet Neuvostoliiton tiedeakatemian kirjeenvaihtajajäsenet L.N. Bolshev ja N. V. Smirnov.

Normaalin normaalijakauman tiheyden muoto seuraa matemaattisesta teoriasta, jota emme voi käsitellä tässä, sekä CLT:n todistuksesta.

Esittelemme havainnollistavana jakaumafunktion pieniä taulukoita F(x)(taulukko 2) ja sen kvantiilit (taulukko 3). Toiminto F(x) on symmetrinen 0:n suhteen, mikä näkyy taulukoissa 2-3.

Taulukko 2.

Normaalin normaalijakauman funktio.

Jos satunnaismuuttuja X on jakelutoiminto F(x), sitten M(X) = 0, D(X) = 1. Tämä väite on todistettu todennäköisyysteoriassa todennäköisyystiheyden muotoon perustuen. Se on samaa mieltä samanlaisen väitteen kanssa pelkistetyn satunnaismuuttujan ominaisuuksista U n, mikä on aivan luonnollista, koska CLT:ssä todetaan, että termien määrän äärettömän kasvaessa jakaumafunktio U n taipumus normaalijakauman funktioon F(x), ja mille tahansa X.

Taulukko 3

Normaalin normaalijakauman kvantiilit.

Otetaan käyttöön normaalijakaumien perheen käsite. Määritelmän mukaan normaalijakauma on satunnaismuuttujan jakauma X, jolle pelkistetyn satunnaismuuttujan jakauma on F(x). Kuten jakaumien skaalaussiirtoperheiden yleisistä ominaisuuksista seuraa (katso edellä), normaalijakauma on satunnaismuuttujan jakauma

missä X on satunnaismuuttuja jakaumalla F(X), ja m = M(Y), = D(Y). Normaalijakauma siirtoparametreilla m ja mittakaava on yleensä merkitty N(m, ) (joskus merkintä N(m, ) ).

Kuten kohdasta (8) seuraa, normaalijakauman todennäköisyystiheys N(m, ) on

Normaalijakaumat muodostavat skaalaussiirtymäperheen. Tässä tapauksessa mittakaavaparametri on d= 1/ , ja siirtoparametri c = - m/ .

Normaalijakauman kolmannen ja neljännen kertaluvun keskeisille momenteille yhtälöt ovat tosia

Nämä yhtäläisyydet ovat perustana klassisille menetelmille, joilla varmistetaan, että havaintojen tulokset noudattavat normaalijakaumaa. Tällä hetkellä normaalisuus yleensä suositellaan tarkistettavaksi kriteerillä W Shapiro - Wilka. Normaalitarkistusongelmaa käsitellään alla.

Jos satunnaismuuttujia X 1 ja X 2 niillä on jakelutoimintoja N(m 1 , 1) ja N(m 2 , 2) vastaavasti siis X 1+ X 2 on jakelu Siksi, jos satunnaismuuttujat X 1 , X 2 ,…, X n N(m, ) , sitten niiden aritmeettinen keskiarvo

on jakelu N(m, ) . Näitä normaalijakauman ominaisuuksia käytetään jatkuvasti erilaisissa todennäköisyystilastollisissa päätöksentekomenetelmissä, erityisesti teknisten prosessien tilastollisessa säätelyssä ja tilastollisessa hyväksynnän ohjauksessa kvantitatiivisella attribuutilla.

Normaalijakauma määrittelee kolme jakaumaa, joita nykyään käytetään yleisesti tilastollisessa tietojenkäsittelyssä.

Jakauma (chi - neliö) - satunnaismuuttujan jakauma

jossa satunnaismuuttujat X 1 , X 2 ,…, X n ovat riippumattomia ja niillä on sama jakautuminen N(0,1). Tässä tapauksessa termien lukumäärä, ts. n, kutsutaan chi-neliöjakauman "vapausasteiden lukumääräksi".

Jakelu t Student on satunnaismuuttujan jakauma

jossa satunnaismuuttujat U ja X riippumaton, U on normaali normaalijakauma N(0,1) ja X– jakelu chi – neliö n vapauden asteet. Jossa n kutsutaan Studentin jakauman "vapausasteiden lukumääräksi". Tämän jakelun esitteli vuonna 1908 englantilainen tilastotieteilijä W. Gosset, joka työskenteli oluttehtaalla. Tällä tehtaalla tehtiin taloudellisia ja teknisiä päätöksiä todennäköisyystilastollisilla menetelmillä, joten sen johto kielsi V. Gossetia julkaisemasta tiedeartikkeleita omalla nimelläsi. Tällä tavalla liikesalaisuus suojattiin, "taitotieto" W. Gossetin kehittämien todennäköisyys-tilastollisten menetelmien muodossa. Hän pystyi kuitenkin julkaisemaan salanimellä "Student". Gosset-Studentin historia osoittaa, että toiset sadan vuoden ajan todennäköisyystilastollisten päätöksentekomenetelmien suuri taloudellinen tehokkuus oli ilmeinen brittiläisille johtajille.

Fisher-jakauma on satunnaismuuttujan jakauma

jossa satunnaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomia ja niillä on chi-jakaumat - neliö vapausasteiden lukumäärällä k 1 ja k 2 vastaavasti. Samaan aikaan pari (k 1 , k 2 ) on Fisher-jakauman "vapausasteiden lukujen" pari, nimittäin k 1 on osoittajan vapausasteiden lukumäärä ja k 2 on nimittäjän vapausasteiden lukumäärä. Satunnaismuuttujan F jakauma on nimetty suuren englantilaisen tilastotieteilijän R. Fisherin (1890-1962) mukaan, joka käytti sitä aktiivisesti työssään.

Khi - neliön, Studentin ja Fisherin jakaumafunktioiden lausekkeet, niiden tiheydet ja ominaisuudet sekä taulukot löytyvät erikoiskirjallisuudesta (ks. esim.).

Kuten jo todettiin, normaalijakaumia käytetään tällä hetkellä usein todennäköisyysmalleissa erilaisilla sovelletuilla aloilla. Miksi tämä kahden parametrin jakaumien perhe on niin laajalle levinnyt? Se selvitetään seuraavalla lauseella.

Keskirajalause(erilaisilla termeillä). Päästää X 1 , X 2 ,…, X n,… ovat itsenäisiä satunnaismuuttujia, joilla on matemaattiset odotukset M(X 1 ), M(X 2 ),…, M(X n), … ja dispersiot D(X 1 ), D(X 2 ),…, D(X n), … vastaavasti. Päästää

Sitten tiettyjen ehtojen voimassaoloaikana, jotka varmistavat minkä tahansa ehdon panoksen pienuuden U n,

kenelle tahansa X.

Kyseisiä ehtoja ei muotoilla tässä. Ne löytyvät erikoiskirjallisuudesta (katso esimerkiksi). "CPT:n toimintaolosuhteiden selventäminen on merkittävien venäläisten tutkijoiden A. A. Markovin (1857-1922) ja erityisesti A. M. Ljapunovin (1857-1918) ansio."

Keskirajalause osoittaa, että siinä tapauksessa, että mittauksen (havainnon) tulos muodostuu useiden syiden vaikutuksesta, joista jokaisella on vain pieni osuus, ja kumulatiivisen tuloksen määrää additiivisesti, eli lisäämällä mittaustuloksen (havainnointi) jakauma on lähellä normaalia.

Joskus uskotaan, että jakauman normaaliksi riittää, että mittauksen tulos (havainto) X muodostuu monien syiden vaikutuksesta, joista jokaisella on pieni vaikutus. Tämä ei ole totta. Tärkeää on se, miten nämä syyt toimivat. Jos lisäaine, niin X on suunnilleen normaalijakauma. Jos moninkertaisesti(eli yksittäisten syiden toimet kerrotaan, ei lasketa yhteen), sitten jakautuminen X ei lähellä normaalia, vaan ns. logaritminen normaali, ts. ei X, ja lg X:llä on suunnilleen normaalijakauma. Jos ei ole syytä uskoa, että jompikumpi näistä kahdesta lopputuloksen muodostusmekanismista (tai muusta hyvin määritellystä mekanismista) toimii, niin jakamisesta X mitään varmaa ei voi sanoa.

Sanomasta seuraa, että tietyssä sovelletussa ongelmassa mittaustulosten (havaintojen) normaalia ei pääsääntöisesti voida pääsääntöisesti todeta yleisistä näkökohdista, se tulee tarkistaa tilastollisin kriteerein. Tai käyttää ei-parametrisia tilastollisia menetelmiä, jotka eivät perustu oletuksiin mittaustulosten (havaintojen) jakautumisfunktioiden kuulumisesta johonkin parametriperheeseen.

Todennäköisyysstatistisissa päätöksentekomenetelmissä käytetyt jatkuvat jakaumat. Normaalijakaumien skaalaussiirtymäperheen lisäksi käytetään laajalti useita muita jakaumia - logaritmisesti normaalijakaumia, eksponentiaalisia, Weibull-Gnedenko-jakaumia, gammajakaumia. Katsotaanpa näitä perheitä.

Satunnainen arvo X on log-normaalijakauma, jos satunnaismuuttuja Y= loki X on normaalijakauma. Sitten Z=ln X = 2,3026…Y on myös normaalijakauma N(a 1 ,σ 1), missä ln X- luonnollinen logaritmi X. Log-normaalijakauman tiheys on:

Keskirajalauseesta seuraa, että tulo X = X 1 X 2 … X n riippumattomia positiivisia satunnaismuuttujia X i, i = 1, 2,…, n, vapaana n voidaan approksimoida log-normaalijakaumalla. Erityisesti muodostelman multiplikatiivinen malli palkat tai tulot johtavat suositukseen lähentää palkkojen ja tulojen jakautumista log-normaalilailla. Venäjälle tämä suositus osoittautui oikeutetuksi - tilastot vahvistavat sen.

On muitakin todennäköisyysmalleja, jotka johtavat log-normaalilakiin. Klassisen esimerkin tällaisesta mallista antaa A.N. kuulamyllyillä on log-normaalijakauma.

Siirrytään toiseen jakaumien perheeseen, jota käytetään laajalti erilaisissa todennäköisyys-tilastollisissa päätöksentekomenetelmissä ja muussa soveltavassa tutkimuksessa, eksponentiaalisten jakaumien perheeseen. Aloitetaan todennäköisyysmallilla, joka johtaa tällaisiin jakaumiin. Tätä varten harkitse "tapahtumien virtaa", ts. tapahtumasarja, joka tapahtuu peräkkäin jossain vaiheessa. Esimerkkejä ovat: puhelunkulku puhelinkeskuksessa; teknologisen ketjun laitevikojen virtaus; tuotevikojen virta tuotetestauksen aikana; asiakaspyyntöjen virtaus pankin konttoriin; tavaroita ja palveluita hakevien ostajien virta jne. Tapahtumavirtojen teoriassa pätee keskusrajalauseen kaltainen lause, mutta se ei käsittele satunnaismuuttujien summaa, vaan tapahtumavirtojen summausta. Tarkastellaan kokonaisvirtausta, joka koostuu suuresta määrästä riippumattomia virtoja, joista millään ei ole hallitsevaa vaikutusta kokonaisvirtaukseen. Esimerkiksi puhelinkeskukseen saapuva puheluvirta muodostuu suuresta määrästä itsenäisiä yksittäisiltä tilaajilta lähteviä puheluvirtoja. On todistettu, että siinä tapauksessa, että virtausten ominaisuudet eivät riipu ajasta, kokonaisvirtaus kuvataan täysin yhdellä numerolla - virtauksen intensiteetillä. Tarkastellaan kokonaisvirtausta satunnaismuuttujaa X- peräkkäisten tapahtumien välisen ajanjakson pituus. Sen jakelufunktiolla on muoto

(10)

Tätä jakaumaa kutsutaan eksponentiaaliseksi jakaumaksi, koska kaava (10) sisältää eksponentiaalisen funktion e -λ x. Arvo 1/λ on asteikkoparametri. Joskus otetaan käyttöön myös siirtoparametri Kanssa, eksponentiaalinen on satunnaismuuttujan jakauma X + c, jossa jakelu X on annettu kaavalla (10).

Eksponentiaaliset jakaumat - erikoistapaus t. Weibull - Gnedenko-jakaumat. Ne on nimetty insinööri W. Weibullin mukaan, joka toi nämä jakaumat väsymistestien tulosten analysointiin, ja matemaatikko B.V. Gnedenkon (1912-1995) mukaan, joka sai tällaiset jakaumat rajoittaviksi tutkiessaan testin maksimiarvoa. tuloksia. Päästää X- satunnaismuuttuja, joka kuvaa tuotteen, monimutkaisen järjestelmän, elementin (eli resurssin, toiminta-ajan rajatilaan jne.) toiminnan kestoa, yrityksen toiminnan kestoa tai elävän olennon elämää, jne. Epäonnistumisella on tärkeä rooli

(11)

missä F(x) ja f(x) - satunnaismuuttujan jakautumisfunktio ja tiheys X.

Kuvataan tyypillistä vikatiheyden käyttäytymistä. Koko aikaväli voidaan jakaa kolmeen jaksoon. Ensimmäisessä niistä toiminto λ(x) on korkeat arvot ja selvä taipumus laskea (useimmiten se vähenee monotonisesti). Tämä voidaan selittää sillä, että tarkasteltavana olevassa erässä on tuoteyksiköitä, joissa on ilmeisiä ja piileviä vikoja, jotka johtavat näiden tuoteyksiköiden suhteellisen nopeaan vikaan. Ensimmäistä jaksoa kutsutaan "saapumisjaksoksi" (tai "murtojaksoksi"). Tämä kuuluu yleensä takuuajan piiriin.

Sitten tulee normaalin toiminnan jakso, jolle on ominaista suunnilleen vakio ja suhteellisen alhainen vika. Vikojen luonne tänä aikana on äkillistä (onnettomuudet, käyttöhenkilöstön virheet jne.) eivätkä riipu tuoteyksikön toiminnan kestosta.

Lopuksi viimeinen käyttöjakso on ikääntymisen ja kulumisen aika. Vikojen luonne tänä aikana on peruuttamaton fyysinen, mekaaninen ja kemiallisia muutoksia materiaalit, mikä johtaa tuotantoyksikön laadun asteittaiseen heikkenemiseen ja sen lopulliseen epäonnistumiseen.

Jokaisella ajanjaksolla on oma funktionsa λ(x). Harkitse tehoriippuvuuksien luokkaa

λ(х) = λ0bxb -1 , (12)

missä λ 0 > 0 ja b> 0 - joitain numeerisia parametreja. Arvot b < 1, b= 0 ja b> 1 vastaa vikatiheyden tyyppiä sisäänajon, normaalin käytön ja vanhenemisen aikana.

Relaatio (11) tietylle epäonnistumissuhteelle λ(x)- differentiaaliyhtälö suhteessa funktioon F(x). Teoriasta differentiaaliyhtälöt seuraa sitä

(13)

Korvaamalla (12) luvulla (13), saamme sen

(14)

Kaavan (14) antamaa jakaumaa kutsutaan Weibull - Gnedenko -jakaumaksi. Koska

niin kaavasta (14) seuraa, että määrä a, annettu kaavalla (15), on skaalausparametri. Joskus otetaan käyttöön myös siirtoparametri, ts. Weibull - Gnedenko-jakaumafunktioita kutsutaan F(x - c), missä F(x) saadaan kaavalla (14) jollekin λ 0 ja b.

Weibull-Gnedenko-jakauman tiheydellä on muoto

(16)

missä a> 0 - skaalausparametri, b> 0 - lomakeparametri, Kanssa- vaihtoparametri. Tässä tapauksessa parametri a kaavasta (16) liittyy parametriin λ 0 kaavasta (14) kaavassa (15) esitetyllä suhteella.

Eksponentiaalinen jakauma on hyvin erikoistapaus Weibull - Gnedenko -jakaumasta, joka vastaa muotoparametrin arvoa b = 1.

Weibull-Gnedenko-jakaumaa käytetään myös todennäköisyysmallien rakentamiseen tilanteista, joissa kohteen käyttäytyminen määräytyy "heikoimman lenkin" avulla. Tämä tarkoittaa analogiaa ketjun kanssa, jonka turvallisuuden määrää se lenkki, jolla on alhaisin lujuus. Toisin sanoen antaa X 1 , X 2 ,…, X n ovat riippumattomia identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia,

X(1)=min( X 1 , X 2 ,…, X n), X(n)=max( X 1 , X 2 ,…, X n).

Useissa sovellettavissa ongelmissa iso rooli pelata X(1) ja X(n) erityisesti tutkittaessa tiettyjen arvojen, esimerkiksi vakuutusmaksujen tai kaupallisista riskeistä johtuvia tappioita, enimmäisarvoja ("tietueita"), tutkittaessa teräksen kimmo- ja kestävyysrajoja, useita luotettavuusominaisuuksia, jne. On osoitettu, että suurelle n:lle jakaumat X(1) ja X(n) Weibull - Gnedenko -jakaumat kuvaavat yleensä hyvin. Peruspanos jakaumien tutkimukseen X(1) ja X(n) sen esitteli Neuvostoliiton matemaatikko B.V. Gnedenko. V. Weibullin, E. Gumbelin, V.B. Nevzorova, E.M. Kudlaev ja monet muut asiantuntijat.

Siirrytään gamma-jakaumien perheeseen. Niitä käytetään laajasti taloustieteessä ja johtamisessa, luotettavuuden ja testauksen teoriassa ja käytännössä, tekniikan eri aloilla, meteorologiassa jne. Erityisesti monissa tilanteissa gamma-jakauman määräävät suuret, kuten tuotteen kokonaiskäyttöikä, johtavien pölyhiukkasten ketjun pituus, aika, jolloin tuote saavuttaa rajatilan korroosion aikana, käyttöaika enintään k kieltäytyminen, k= 1, 2, … jne. Kroonisia sairauksia sairastavien potilaiden elinajanodote, aika tietyn vaikutuksen saavuttamiseen hoidossa joissakin tapauksissa ovat gamma-jakaumia. Tämä jakauma on sopivin kuvaamaan kysyntää varastonhallinnan (logistiikka) taloudellisissa ja matemaattisissa malleissa.

Gamma-jakauman tiheydellä on muoto

(17)

Kaavan (17) todennäköisyystiheys määritetään kolmella parametrilla a, b, c, missä a>0, b>0. Jossa a on lomakeparametri, b- mittakaavaparametri ja Kanssa- vaihtoparametri. Tekijä 1/Γ(а) on normalisointi, se otetaan käyttöön

Tässä Γ(а)- yksi matematiikassa käytetyistä erikoisfunktioista, niin sanottu "gammafunktio", jolla myös kaavan (17) antama jakauma nimetään,

Kiinteässä paikassa a kaava (17) määrittelee tiheysjakauman generoiman jakauman skaalaussiirtymäperheen

(18)

Muodon (18) jakaumaa kutsutaan standardi gammajakaumaksi. Se saadaan kaavasta (17) kanssa b= 1 ja Kanssa= 0.

Gamma-jakaumien erikoistapaus osoitteessa a= 1 ovat eksponentiaalisia jakaumia (ja λ = 1/b). Luonnollisen kanssa a ja Kanssa=0 gammajakaumia kutsutaan Erlang-jakaumille. Kööpenhaminan puhelinyhtiön työntekijän tanskalaisen tiedemiehen K.A. Erlangin (1878-1929) teoksista, joka opiskeli vuosina 1908-1922. toiminta puhelinverkot, aloitti jonoteorian kehittämisen. Tämä teoria harjoittaa todennäköisyys-tilastollista mallintamista järjestelmistä, joissa pyyntöjen virtaa palvellaan optimaalisten päätösten tekemiseksi. Erlang-jakaumia käytetään samoilla sovellusalueilla kuin eksponentiaalijakaumia. Tämä perustuu seuraavaan matemaattiseen tosiasiaan: k itsenäisen satunnaismuuttujan summa, jotka jakautuvat eksponentiaalisesti samoilla parametreilla λ ja Kanssa, on gamma-jakauma muotoparametrin kanssa a =k, mittakaavaparametri b= 1/λ ja siirtoparametri kc. klo Kanssa= 0 saamme Erlang-jakauman.

Jos satunnaismuuttuja X on gamma-jakauma muotoparametrilla a sellasta d = 2 a- kokonaisluku, b= 1 ja Kanssa= 0, sitten 2 X on khin neliön jakauma d vapauden asteet.

Satunnainen arvo X gvmma-jakauman kanssa seuraavat ominaisuudet:

Odotettu arvo M(X) =ab + c,

dispersio D(X) = σ 2 = ab 2 ,

Variaatiokerroin

epäsymmetria

Ylimääräinen

Normaalijakauma on gamma-jakauman ääritapaus. Tarkemmin sanottuna olkoon Z satunnaismuuttuja, jolla on standardi gamma-jakauma kaavan (18) mukaan. Sitten

mille tahansa todelliselle numerolle X, missä F(x)- normaali normaalijakaumafunktio N(0,1).

Soveltavassa tutkimuksessa käytetään myös muita parametrisia jakaumien perheitä, joista tunnetuimmat ovat Pearson-käyräjärjestelmä, Edgeworth- ja Charlier-sarjat. Niitä ei tässä oteta huomioon.

Diskreetti todennäköisyysstatistisissa päätöksentekomenetelmissä käytetyt jakaumat. Useimmiten käytetään kolmea diskreetin jakauman perhettä - binomiaalista, hypergeometristä ja Poisson-jakaumaa, samoin kuin joitain muita perheitä - geometrinen, negatiivinen binomi, multinomi, negatiivinen hypergeometrinen jne.

Kuten jo mainittiin, binomijakauma tapahtuu itsenäisissä kokeissa, joissa jokaisessa on todennäköisyys R tapahtuma tulee näkyviin MUTTA. Jos kokonaismäärä testejä n annettu, sitten kokeiden lukumäärä Y, jossa tapahtuma esiintyi MUTTA, on binomijakauma. Binomijakauman osalta todennäköisyys tulla hyväksytyksi satunnaismuuttujaksi Y arvot y määräytyy kaavan mukaan

Yhdistelmien määrä alkaen n elementtejä y tunnetaan kombinatoriikasta. Kaikille y, paitsi 0, 1, 2, …, n, meillä on P(Y= y)= 0. Binomijakauma kiinteällä otoskoolla n asetetaan parametrilla s, eli binomiaaliset jakaumat muodostavat yhden parametrin perheen. Niitä käytetään näytetutkimustietojen analysointiin, erityisesti kuluttajien mieltymysten tutkimukseen, tuotelaadun valikoivaan valvontaan yksivaiheisten valvontasuunnitelmien mukaisesti, testattaessa yksilöiden populaatioita demografiassa, sosiologiassa, lääketieteessä, biologiassa jne.

Jos Y 1 ja Y 2 - riippumattomat binomiaaliset satunnaismuuttujat, joilla on sama parametri s 0 määritetään näytteillä tilavuuksilla n 1 ja n 2 vastaavasti siis Y 1 + Y 2 - binomiaalinen satunnaismuuttuja jakauman (19) kanssa R = s 0 ja n = n 1 + n 2 . Tämä huomautus laajentaa binomijakauman soveltuvuutta, jolloin voit yhdistää useiden testiryhmien tuloksia, kun on syytä uskoa, että sama parametri vastaa kaikkia näitä ryhmiä.

Binomijakauman ominaisuudet laskettiin aiemmin:

M(Y) = np, D(Y) = np( 1- s).

Kohdassa "Tapahtumat ja todennäköisyydet" binomiiselle satunnaismuuttujalle on todistettu suurten lukujen laki:

kenelle tahansa . Keskirajalauseen avulla suurten lukujen lakia voidaan tarkentaa osoittamalla miten Y/ n eroaa R.

De Moivre-Laplacen lause. Kaikille numeroille a ja b, a< b, meillä on

missä F(X) on standardi normaalijakauman funktio, jonka keskiarvo on 0 ja varianssi 1.

Sen todistamiseksi riittää, että käytät esitystä Y yksittäisten kokeiden tuloksia vastaavien riippumattomien satunnaismuuttujien summana, kaavat M(Y) ja D(Y) ja keskirajalause.

Tämä teoreema on tapausta varten R= ½ todisti englantilainen matemaatikko A. Moivre (1667-1754) vuonna 1730. Yllä olevassa muotoilussa sen todisti vuonna 1810 ranskalainen matemaatikko Pierre Simon Laplace (1749-1827).

Hypergeometrinen jakauma tapahtuu tilavuudeltaan N äärellisen objektijoukon valikoivan ohjauksen aikana vaihtoehtoisen ominaisuuden mukaisesti. Jokainen ohjattu objekti luokitellaan joko määritteeksi MUTTA, tai jolla ei ole tätä ominaisuutta. Hypergeometrisellä jakaumalla on satunnaismuuttuja Y, yhtä suuri kuin niiden objektien lukumäärä, joilla on attribuutti MUTTA satunnaisessa tilavuusnäytteessä n, missä n< N. Esimerkiksi numero Y viallisia tuoteyksiköitä satunnaisessa tilavuusnäytteessä n erän tilavuudesta N on hypergeometrinen jakauma if n< N. Toinen esimerkki on lotto. Anna merkki MUTTA lippu on merkki "voittamisesta". Anna kaikki liput N, ja joku on hankkinut n niistä. Sitten tämän henkilön voittolippujen määrällä on hypergeometrinen jakauma.

Hypergeometrisen jakauman tapauksessa todennäköisyydellä, että satunnaismuuttuja Y saa arvon y, on muoto

(20)

missä D on niiden objektien lukumäärä, joilla on attribuutti MUTTA, valitussa tilavuusjoukossa N. Jossa y ottaa arvot arvosta max(0, n - (N - D)) min( n, D), toisen kanssa y todennäköisyys kaavassa (20) on 0. Näin ollen hypergeometrinen jakauma määräytyy kolmella parametrilla - yleisen populaation tilavuudella N, esineiden määrä D siinä, jolla on tarkasteltu ominaisuus MUTTA, ja näytteen koko n.

Yksinkertainen satunnaisotos n kokonaismäärästä N kutsutaan satunnaisvalinnan tuloksena saatua otosta, jossa mikä tahansa joukoista n kohteilla on sama todennäköisyys tulla valituksi. Vastaajien (haastateltujen) tai kappaletuoteyksiköiden satunnaisvalinnan menetelmiä tarkastellaan ohjeis-metodisissa ja normatiivis-teknisissä asiakirjoissa. Yksi valintamenetelmistä on seuraava: objektit valitaan yksitellen, ja jokaisessa vaiheessa jokaisella joukon jäljellä olevalla objektilla on sama mahdollisuus tulla valituksi. Kirjallisuudessa käytetään tarkasteltavana oleville näytteille myös termejä "satunnaisnäyte", "satunnaisnäyte ilman korvaamista".

Koska yleisen väestön määrät (erät) N ja näytteitä n ovat yleisesti tunnettuja, silloin arvioitava hypergeometrinen jakauman parametri on D. Tuotteiden laadunhallinnan tilastollisissa menetelmissä D- yleensä viallisten yksiköiden lukumäärä erässä. Mielenkiintoinen on myös jakauman ominaisuus D/ N- vikataso.

Hypergeometriseen jakaumaan

Varianssilausekkeen viimeinen tekijä on lähellä 1:tä if N>10 n. Jos samaan aikaan teemme vaihdon s = D/ N, silloin hypergeometrisen jakauman matemaattisen odotuksen ja varianssin lausekkeet muuttuvat binomijakauman matemaattisen odotuksen ja varianssin lausekkeiksi. Tämä ei ole sattumaa. Sen voi osoittaa

klo N>10 n, missä s = D/ N. Rajoitussuhde on voimassa

ja tätä rajoittavaa suhdetta voidaan käyttää N>10 n.

Kolmas laajalti käytetty diskreetti jakauma on Poisson-jakauma. Satunnaismuuttujalla Y on Poisson-jakauma, jos

,

jossa λ on Poisson-jakauman parametri ja P(Y= y)= 0 kaikille muille y(jos y=0, 0!=1 on merkitty). Poisson-jakelulle

M(Y) = λ, D(Y) = λ.

Tämä jakauma on nimetty ranskalaisen matemaatikon C.D. Poissonin (1781-1840) mukaan, joka johti sen ensimmäisen kerran vuonna 1837. Poisson-jakauma on binomijakauman ääritapaus, jossa todennäköisyys R tapahtuman toteutus on pieni, mutta kokeilujen määrä n hienoa ja np= λ. Tarkemmin sanottuna rajasuhde

Siksi Poisson-jakaumaa (vanhassa terminologiassa "jakaumalaki") kutsutaan usein myös "harvinaisten tapahtumien laiksi".

Poisson-jakauma syntyy tapahtumavirtojen teoriassa (katso edellä). On todistettu, että yksinkertaisimmalla virtauksella, jonka intensiteetti on Λ, ajan kuluessa tapahtuneiden tapahtumien (kutsujen) määrä t, on Poisson-jakauma parametrilla λ = Λ t. Siksi todennäköisyys, että ajoissa t tapahtumaa ei tapahdu e - Λ t, eli tapahtumien välisen ajanjakson pituuden jakaumafunktio on eksponentiaalinen.

Poisson-jakaumaa käytetään kuluttajien valikoivien markkinointitutkimusten tulosten analysointiin, tilastollisten hyväksyntävalvontasuunnitelmien toiminnallisten ominaisuuksien laskemiseen, kun hyväksyttävyyden tason arvot ovat pienet, vikojen lukumäärän kuvaamiseen. tilastollisesti kontrolloidusta tekninen prosessi aikayksikköä kohti, jonojärjestelmään saapuvien "palveluvaatimusten" määrä aikayksikköä kohti, onnettomuuksien ja harvinaisten sairauksien tilastolliset mallit jne.

Kirjallisuudessa tarkastellaan muiden diskreettien jakaumien parametristen perheiden kuvausta ja niiden käytännön käyttöä.

Joissakin tapauksissa, esimerkiksi tutkittaessa luotettavuusongelmissa hintoja, tuotantomääriä tai vikojen välistä kokonaisaikaa, jakautumisfunktiot ovat vakioita tietyin aikavälein, jolloin tutkittavien satunnaismuuttujien arvot eivät voi pudota.

Jakelufunktio on eniten yleinen muoto jakelulain asettaminen. Sitä käytetään sekä diskreettien että jatkuvien satunnaismuuttujien määrittämiseen. Sitä kutsutaan yleensä nimellä. jakelutoiminto määrittää todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja saa pienempiä arvoja kuin kiinteä reaaliluku, ts. . Jakaumafunktio luonnehtii täysin satunnaismuuttujaa todennäköisyyden kannalta. Sitä kutsutaan myös integraalijakaumafunktioksi.

Jakaumafunktion geometrinen tulkinta on hyvin yksinkertainen. Jos satunnaismuuttujaa pidetään akselin satunnaisena pisteenä (kuva 6), joka testin tuloksena voi ottaa yhden tai toisen aseman tällä akselilla, niin jakaumafunktio on todennäköisyys, että satunnaispiste, putoaa testin seurauksena pisteen vasemmalle puolelle.

Diskreetille satunnaismuuttujalle , joka voi ottaa arvot,, … ,, jakaumafunktiolla on muoto

,

jossa summamerkin alla oleva epäyhtälö tarkoittaa, että summa ulottuu kaikkiin arvoihin, jotka ovat suuruudeltaan pienempiä. Tästä kaavasta seuraa, että diskreetin satunnaismuuttujan jakaumafunktio on epäjatkuva ja kasvaa hyppyissä kulkiessaan pisteiden,, …, läpi, ja hyppy on yhtä suuri kuin vastaavan arvon todennäköisyys (kuva 7). Jakaumafunktion kaikkien hyppyjen summa on yhtä suuri kuin yksi.

Jatkuvalla satunnaismuuttujalla on jatkuva jakautumisfunktio, tämän funktion kuvaaja on tasaisen käyrän muotoinen (kuva 8).

Riisi. 7. Kuva. kahdeksan.

Harkitse jakaumafunktioiden yleisiä ominaisuuksia.

Kiinteistö 1. Jakaumafunktio on ei-negatiivinen funktio, joka on nollan ja yhden välissä:

Tämän ominaisuuden pätevyys seuraa siitä, että jakaumafunktio määritellään siitä koostuvan satunnaisen tapahtuman todennäköisyydestä.

Kiinteistö 2. Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja putoaa väliin, on yhtä suuri kuin jakaumafunktion arvojen erotus tämän intervallin päissä, ts.

Tästä seuraa, että jatkuvan satunnaismuuttujan minkä tahansa yksittäisen arvon todennäköisyys on nolla.

Kiinteistö 3. Satunnaismuuttujan jakaumafunktio on ei-pienevä funktio, eli for .

Kiinteistö 4. Miinus äärettömässä jakaumafunktio on nolla ja plus äärettömyydessä jakaumafunktio on yhtä suuri kuin yksikkö, ts.

Esimerkki 1 Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio saadaan lausekkeella

Etsi kerroin ja rakenna kaavio. Määritä todennäköisyys, että satunnaismuuttuja saa kokeen tuloksena arvon väliltä.

Ratkaisu. Koska jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio on jatkuva, saamme: . Täältä. Funktion kaavio on esitetty kuvassa. 9.

Jakaumafunktion toisen ominaisuuden perusteella meillä on:

.

4. Todennäköisyysjakauman tiheys ja sen ominaisuudet.

Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio on sen todennäköisyysominaisuus. Mutta sillä on haittapuoli, joka koostuu siitä, että on vaikea arvioida satunnaismuuttujan jakauman luonnetta numeerisen akselin yhden tai toisen pisteen pienessä ympäristössä. Visuaalisemman esityksen jatkuvan satunnaismuuttujan jakauman luonteesta antaa funktio, jota kutsutaan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman tiheydeksi tai differentiaalijakaumafunktioksi.

Jakauman tiheys on yhtä suuri kuin jakaumafunktion derivaatta, ts.

.

Jakaumatiheyden merkitys on, että se ilmaisee, kuinka usein satunnaismuuttuja esiintyy tietyllä pisteen alueella, kun kokeita toistetaan. Satunnaismuuttujan jakautumistiheyttä kuvaavaa käyrää kutsutaan jakautumiskäyrä.

Harkitse jakautumistiheyden ominaisuuksia.

Kiinteistö 1. Jakaumatiheys on ei-negatiivinen, ts.

Kiinteistö 2. Satunnaismuuttujan jakaumafunktio on yhtä suuri kuin tiheyden integraali välissä ts.

Dispersio Jatkuva satunnaismuuttuja X, jonka mahdolliset arvot kuuluvat koko akselille Ox, määräytyy yhtälöllä:

Palvelutehtävä. Online-laskin suunniteltu ratkaisemaan ongelmia, joissa jompikumpi jakautumistiheys f(x) tai jakaumafunktio F(x) (katso esimerkki). Yleensä tällaisissa tehtävissä on löydettävä matemaattinen odotus, keskihajonta, piirrä funktiot f(x) ja F(x).

Ohje. Valitse syötetietojen tyyppi: jakautumistiheys f(x) tai jakautumistiheys F(x) .

Jakaumatiheys f(x) on annettu:

Jakaumafunktio F(x) on annettu:

Jatkuva satunnaismuuttuja määritellään todennäköisyystiheydellä
(Rayleigh'n jakelulaki - käytetään radiotekniikassa). Etsi M(x) , D(x) .

Satunnaismuuttujaa X kutsutaan jatkuva , jos sen jakaumafunktio F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktiolla lasketaan todennäköisyydet, että satunnaismuuttuja putoaa tiettyyn väliin:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Lisäksi jatkuvalle satunnaismuuttujalle ei ole väliä, sisällytetäänkö sen rajat tähän väliin vai eivät:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Jakauman tiheys jatkuvaa satunnaismuuttujaa kutsutaan funktioksi
f(x)=F'(x) , jakaumafunktion derivaatta.

Jakauman tiheyden ominaisuudet