Fraktaalielementit. Fraktaaleja alkulukuina

Fraktaali

Fraktaali (lat. fractus- murskattu, rikki, rikki) on geometrinen kuvio, jolla on samankaltaisuuden ominaisuus, eli se koostuu useista osista, joista jokainen on samanlainen kuin koko kuvio. Matematiikassa fraktaalit ymmärretään euklidisessa pistejoukkoina tila, jolla on murtoluku (Minkowskin tai Hausdorffin merkityksessä) tai topologisesta poikkeava metrimitta. Fraktasmi on itsenäinen tarkka tiede, joka tutkii ja muodostaa fraktaaleja.

Toisin sanoen fraktaalit ovat geometrisia esineitä, joilla on murto-osa. Esimerkiksi viivan ulottuvuus on 1, pinta-ala on 2 ja tilavuus 3. Fraktaalin ulottuvuuden arvo voi olla välillä 1 - 2 tai välillä 2 - 3. Esimerkiksi rypistyneen fraktaalimitta paperipallo on noin 2,5. Matematiikassa on erityinen monimutkainen kaava fraktaalien ulottuvuuden laskemiseksi. Henkitorven putkien oksat, puiden lehdet, käden suonet, joki - nämä ovat fraktaaleja. Yksinkertaisesti sanottuna fraktaali on geometrinen kuvio, jonka tietty osa toistetaan uudestaan ​​​​ja uudestaan, koon muuttuessa - tämä on itsensä samankaltaisuuden periaate. Fraktaalit ovat samankaltaisia ​​itsensä kanssa, ne ovat samankaltaisia ​​itsensä kanssa kaikilla tasoilla (eli missä tahansa mittakaavassa). Fraktaaleja on monia erilaisia. Periaatteessa voidaan väittää, että kaikki todellisessa maailmassa oleva on fraktaalia, oli se sitten pilvi tai happimolekyyli.

Sana "kaaos" saa ihmisen ajattelemaan jotain arvaamatonta, mutta itse asiassa kaaos on varsin säännöllistä ja noudattaa tiettyjä lakeja. Kaaoksen ja fraktaalien tutkimuksen tavoitteena on ennustaa kuvioita, jotka ensi silmäyksellä voivat tuntua arvaamattomilta ja täysin kaoottisilta.

Tämän tiedon alan edelläkävijä oli ranskalais-amerikkalainen matemaatikko, professori Benoit B. Mandelbrot. 1960-luvun puolivälissä hän kehitti fraktaaligeometriaa, jonka tarkoituksena oli analysoida rikkoutuneita, ryppyisiä ja sumeita muotoja. Mandelbrot-joukko (näkyy kuvassa) on ensimmäinen assosiaatio, joka syntyy ihmisessä, kun hän kuulee sanan "fraktaali". Muuten, Mandelbrot määritti, että Englannin rannikon fraktaalimitta on 1,25.

Fraktaaleja käytetään yhä enemmän tieteessä. Ne kuvaavat todellista maailmaa jopa paremmin kuin perinteinen fysiikka tai matematiikka. Brownin liike on esimerkiksi veteen suspendoituneiden pölyhiukkasten satunnaista ja kaoottista liikettä. Tämän tyyppinen liike on ehkä se osa fraktaaligeometriaa, jolla on käytännöllisin käyttötarkoitus. Satunnaisella Brownin liikkeellä on taajuusvaste, jonka avulla voidaan ennustaa suuria tieto- ja tilastomääriä sisältäviä ilmiöitä. Esimerkiksi Mandelbrot ennusti villan hintojen muutoksia Brownin liikkeellä.

Sanaa "fraktaali" voidaan käyttää paitsi matemaattisena terminä. Lehdistössä ja populaaritieteellisessä kirjallisuudessa fraktaalia voidaan kutsua hahmoksi, jolla on jokin seuraavista ominaisuuksista:

Sillä on ei-triviaali rakenne kaikilla mittakaavoilla. Tämä on toisin kuin säännölliset kuviot (kuten ympyrä, ellipsi, sileän funktion kaavio): jos tarkastelemme pientä säännöllisen kuvion fragmenttia erittäin suuressa mittakaavassa, se näyttää suoran viivan fragmentilta. Fraktaalin osalta mittakaavan kasvattaminen ei johda rakenteen yksinkertaistamiseen, vaan kaikilla asteikoilla näemme yhtä monimutkaisen kuvan.

On itsensäkaltainen tai suunnilleen itsensäkaltainen.

Sillä on murtoluku tai topologisen mittasuhteen ylittävä metrimitta.

Fraktaalien hyödyllisin käyttö tietokonetekniikassa on fraktaalitietojen pakkaus. Samalla kuvat pakataan paljon paremmin kuin perinteisillä menetelmillä - jopa 600:1. Toinen fraktaalipakkauksen etu on se, että suurennettaessa ei esiinny pikselöitymisilmiötä, mikä pahentaa kuvaa dramaattisesti. Lisäksi fraktaalisesti pakattu kuva näyttää usein vielä paremmalta suurennuksen jälkeen kuin ennen. Tietojenkäsittelytieteilijät tietävät myös, että äärettömän monimutkaisia ​​ja kauniita fraktaaleja voidaan luoda yksinkertaisilla kaavoilla. Elokuvateollisuus käyttää laajalti fraktaaligrafiikkatekniikkaa realististen maisemaelementtien (pilvet, kivet ja varjot) luomiseen.

Virtojen turbulenssin tutkimus sopeutuu erittäin hyvin fraktaaleihin. Tämä antaa meille mahdollisuuden ymmärtää paremmin monimutkaisten virtausten dynamiikkaa. Fraktaaleja käyttämällä voit myös simuloida liekkejä. Huokoiset materiaalit ovat hyvin edustettuina fraktaalimuodossa, koska niillä on hyvin monimutkainen geometria. Tietojen siirtämiseen etäisyyksillä käytetään fraktaalimuotoisia antenneja, mikä vähentää huomattavasti niiden kokoa ja painoa. Fraktaaleja käytetään kuvaamaan pintojen kaarevuutta. Epätasaiselle pinnalle on ominaista kahden erilaisen fraktaalin yhdistelmä.

Monilla luonnon esineillä on fraktaaliominaisuuksia, esimerkiksi rannikot, pilvet, puiden latvut, lumihiutaleet, verenkiertoelimistö ja ihmisten tai eläinten keuhkorakkulaatio.

Fraktaalit, erityisesti lentokoneessa, ovat suosittuja kauneuden ja tietokoneella rakentamisen helppouden yhdistämisen vuoksi.

Ensimmäiset esimerkit itsestään samankaltaisista sarjoista, joilla on epätavallisia ominaisuuksia, ilmestyivät 1800-luvulla (esimerkiksi Bolzano-funktio, Weierstrass-funktio, Cantor-sarja). Termi "fraktaali" loi Benoit Mandelbrot vuonna 1975, ja se saavutti laajan suosion julkaisemalla kirjansa "Fractal Geometry of Nature" vuonna 1977.

Vasemmalla olevassa kuvassa on yksinkertainen esimerkki Darer Pentagon -fraktaalista, joka näyttää joukolta viisikulmioita, jotka on puristettu yhteen. Se on itse asiassa muodostettu käyttämällä viisikulmiota aloitteentekijänä ja tasakylkiset kolmiot, suuremman sivun suhde pienempään sivuun, jossa on täsmälleen yhtä suuri kuin ns. kultainen suhde (1,618033989 tai 1/(2cos72°)) generaattorina. Nämä kolmiot leikataan jokaisen viisikulmion keskeltä, jolloin tuloksena on muoto, joka näyttää viideltä pieneltä viisikulmiolta, jotka on liimattu yhteen suureen.

Kaaosteoria sanoo, että monimutkaiset epälineaariset järjestelmät ovat perinnöllisesti arvaamattomia, mutta samalla se väittää, että tapa ilmaista tällaisia ​​arvaamattomia järjestelmiä ei osoittautunut oikeaksi täsmällisissä yhtälöissä, vaan esityksissä järjestelmän käyttäytymisestä - outojen kaavioissa. attraktorit, jotka ovat fraktaalien muotoisia. Siten kaaosteoria, jota monet pitävät arvaamattomuudeksi, osoittautuu ennustettavuuden tieteeksi kaikkein epävakaimmissakin järjestelmissä. Dynaamisten järjestelmien tutkimus osoittaa, että yksinkertaiset yhtälöt voivat aiheuttaa kaoottista käyttäytymistä, jossa järjestelmä ei koskaan palaa vakaaseen tilaan eikä kuviota esiinny. Usein tällaiset järjestelmät käyttäytyvät aivan normaalisti tiettyyn avainparametrin arvoon asti, sitten kokevat siirtymän, jossa on kaksi kehitysmahdollisuutta, sitten neljä ja lopuksi kaoottinen joukko mahdollisuuksia.

Teknisissä kohteissa esiintyvien prosessien kaavioilla on selkeästi määritelty fraktaalirakenne. Minimi rakenne tekninen järjestelmä(TS) tarkoittaa kahden tyyppisten prosessien - pääprosessin ja tukiprosessien - esiintymistä TS:ssä, ja tämä jako on ehdollinen ja suhteellinen. Mikä tahansa prosessi voi olla tärkein suhteessa tukiprosesseihin, ja mitä tahansa tukiprosesseja voidaan pitää pääprosesseina "sen" tukiprosesseihinsa nähden. Kaavion ympyrät osoittavat fysikaalisia vaikutuksia, jotka varmistavat niiden prosessien esiintymisen, joita varten ei ole tarpeen luoda "omia" ajoneuvoja. Nämä prosessit ovat seurausta aineiden, kenttien, aineiden ja kenttien välisistä vuorovaikutuksista. Tarkemmin sanottuna fyysinen vaikutus on ajoneuvo, jonka toimintaperiaatteeseen emme voi vaikuttaa, emmekä halua tai meillä ei ole mahdollisuutta puuttua sen suunnitteluun.

Kaaviossa esitetyn pääprosessin sujuvuus varmistetaan kolmen tukiprosessin olemassaololla, jotka ovat tärkeimmät niitä tuottaville TS:lle. Oikeudenmukaisuuden vuoksi todetaan, että edes minimaalisen TS:n toimivuuteen kolme prosessia ei selvästikään riitä, ts. Kaava on erittäin, hyvin liioiteltu.

Kaikki ei ole läheskään niin yksinkertaista kuin kaaviossa näkyy. Hyödyllistä (ihmisen tarvitsemaa) prosessia ei voida suorittaa sataprosenttisesti. Haihtunut energia käytetään haitallisten prosessien luomiseen - lämmitys, tärinä jne. Tämän seurauksena haitallisia syntyy samanaikaisesti hyödyllisen prosessin kanssa. Aina ei ole mahdollista korvata "huonoa" prosessia "hyvällä", joten on tarpeen organisoida uusia prosesseja, joilla pyritään kompensoimaan järjestelmälle haitallisia seurauksia. Tyypillinen esimerkki on tarve torjua kitkaa, joka pakottaa järjestämään nerokkaita voitelusuunnitelmia, käyttämään kalliita kitkanestomateriaaleja tai käyttämään aikaa komponenttien ja osien voiteluun tai niiden säännölliseen vaihtoon.

Muuttuvan ympäristön väistämättömän vaikutuksen vuoksi hyödyllistä prosessia voi olla tarpeen hallita. Ohjaus voidaan suorittaa joko automaattilaitteilla tai suoraan henkilön toimesta. Prosessikaavio on itse asiassa joukko erikoiskomentoja, ts. algoritmi. Jokaisen komennon ydin (kuvaus) on yhden hyödyllisen prosessin, siihen liittyvien haitallisten prosessien ja tarvittavien ohjausprosessien kokonaisuus. Tällaisessa algoritmissa tukiprosessien joukko on säännöllinen aliohjelma - ja tässä löydämme myös fraktaalin. Neljännesvuosisata sitten luotu R. Kollerin menetelmä mahdollistaa järjestelmien luomisen, joissa on melko rajoitettu joukko vain 12 funktioparia (prosessia).

Itsensäkaltaiset joukot, joilla on epätavallisia ominaisuuksia matematiikassa

1800-luvun lopusta lähtien matematiikassa on esiintynyt esimerkkejä itsekaltaisista esineistä, joiden ominaisuudet ovat klassisen analyysin kannalta patologisia. Näitä ovat seuraavat:

Cantor-setti on tiivis ja lukematon täydellinen setti. Proseduuria muuttamalla voidaan saada myös positiivisen pituuden tiheä joukko.

Sierpinskin kolmio ("pöytäliina") ja Sierpinski-matto ovat analogeja koneeseen asetetulle Cantorille.

Mengerin sieni on analogi Cantorista, joka on asetettu kolmiulotteiseen avaruuteen;

esimerkit Weierstrassista ja Van der Waerdenista eivät erotu toisistaan jatkuva toiminto.

Koch-käyrä on ei-itseleikkaava jatkuva käyrä, jonka pituus on ääretön ja jolla ei ole tangenttia missään pisteessä;

Peano-käyrä on jatkuva käyrä, joka kulkee neliön kaikkien pisteiden läpi.

Brownin hiukkasen liikerata ei myöskään ole missään erotettavissa todennäköisyydellä 1. Sen Hausdorff-ulottuvuus on kaksi

Rekursiivinen menetelmä fraktaalikäyrien saamiseksi

Kochin käyrän rakentaminen

Fraktaalikäyrien saamiseksi tasossa on yksinkertainen rekursiivinen menetelmä. Määritellään mielivaltainen katkoviiva, jossa on äärellinen määrä linkkejä ja jota kutsutaan generaattoriksi. Korvataan seuraavaksi jokainen sen segmentti generaattorilla (tarkemmin sanottuna generaattorin kaltaisella katkoviivalla). Tuloksena olevassa katkoviivassa korvaamme jokaisen segmentin jälleen generaattorilla. Jatketaan äärettömään, rajassa saadaan fraktaalikäyrä. Oikealla oleva kuva esittää tämän menettelyn neljä ensimmäistä vaihetta Koch-käyrällä.

Esimerkkejä tällaisista käyristä ovat:

lohikäärmekäyrä,

Kochin käyrä (Kochin lumihiutale),

Lewyn käyrä,

Minkowskin käyrä,

Hilbertin käyrä,

Lohikäärmeen murtunut (käyrä) (Harter-Haithway Fractal),

Peano käyrä.

Käyttämällä samanlaista menettelyä saadaan Pythagoraan puu.

Fraktaalit pakkauskartoitusten kiinteinä pisteinä

Itsesamankaltaisuusominaisuus voidaan ilmaista matemaattisesti tiukasti seuraavasti. Antaa olla tason supistuvia kartoituksia. Harkitse seuraavaa kuvausta tason kaikkien kompaktien (suljettujen ja rajattujen) osajoukkojen joukossa:

Voidaan osoittaa, että kartoitus on supistumiskartoitus kompaktien joukossa Hausdorffin metriikan avulla. Siksi Banachin lauseen mukaan tällä kuvauksella on ainutlaatuinen kiinteä piste. Tämä kiinteä piste on fraktaalimme.

Yllä kuvattu rekursiivinen menetelmä fraktaalikäyrien saamiseksi on tämän konstruktion erikoistapaus. Kaikki siinä olevat kartoitukset ovat samankaltaisuuskartoituksia ja - generaattorilinkkien lukumäärä.

Sillä Sierpinskin kolmio ja kartta , ovat homoteetteja, joiden keskipisteet ovat säännöllisen kolmion kärjessä ja kerroin 1/2. On helppo nähdä, että Sierpinskin kolmio muuttuu itsestään, kun se näytetään.

Siinä tapauksessa, että kuvaukset ovat samankaltaisuusmuunnoksia kertoimilla, fraktaalin dimensio (joissain teknisissä lisäehdoissa) voidaan laskea yhtälön ratkaisuksi. Näin ollen Sierpinskin kolmiolle saamme .

Samalla Banach-lauseella, alkaen mistä tahansa kompaktista joukosta ja soveltamalla siihen kartan iteraatioita, saadaan sarja kompakteja joukkoja, jotka konvergoivat (Hausdorffin metriikan merkityksessä) fraktaalisiimme.

Fraktaaleja monimutkaisessa dynamiikassa

Julia setti

Toinen Julia-setti

Fraktaaleja syntyy luonnollisesti tutkittaessa epälineaarisia dynaamisia järjestelmiä. Tutkituin tapaus on, kun dynaaminen järjestelmä määritellään tasossa olevan kompleksisen muuttujan polynomin tai holomorfisen funktion iteraatioilla. Ensimmäiset tutkimukset tällä alueella ovat peräisin 1900-luvun alusta, ja ne liittyvät Fatoun ja Julian nimiin.

Antaa F(z) - polynomi, z 0 on kompleksiluku. Harkitse seuraavaa järjestystä: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Olemme kiinnostuneita tämän sekvenssin käyttäytymisestä sellaisenaan näärettömään. Tämä sekvenssi voi:

pyrkiä äärettömyyteen,

pyrkiä äärimmäiseen rajaan

osoittavat syklistä käyttäytymistä rajassa, esimerkiksi: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

käyttäytyä kaoottisesti, eli älä osoita mitään mainituista kolmesta käyttäytymistyypistä.

Arvojoukot z 0, jolle sekvenssi osoittaa yhden tietyn tyyppistä käyttäytymistä, sekä useita bifurkaatiopisteitä eri tyyppien välillä, on usein fraktaaliominaisuuksia.

Siten Julia-joukko on polynomin bifurkaatiopisteiden joukko F(z)=z 2 +c(tai muu vastaava funktio), eli nämä arvot z 0 jolle sekvenssin käyttäytyminen ( z n) voi muuttua dramaattisesti mielivaltaisilla pienillä muutoksilla z 0 .

Toinen vaihtoehto fraktaalijoukkojen saamiseksi on lisätä parametri polynomiin F(z) ja niiden parametriarvojen joukon huomioon ottaminen, joille sarja ( z n) käyttäytyy tietyllä tavalla z 0 . Siten Mandelbrot-joukko on joukko kaikista , joille ( z n) varten F(z)=z 2 +c Ja z 0 ei mene äärettömään.

Toinen kuuluisa esimerkki tällaisesta on Newtonin altaat.

On suosittua luoda kauniita, monimutkaiseen dynamiikkaan perustuvia graafisia kuvia värittämällä tasopisteitä vastaavien dynaamisten järjestelmien käyttäytymisestä riippuen. Esimerkiksi täydentääksesi Mandelbrot-sarjan voit värittää pisteet aspiraationopeuden mukaan ( z n) äärettömään (määritelty esimerkiksi pienimmäksi numeroksi n, jossa | z n| ylittää kiinteän suuren arvon A.

Biomorfit ovat fraktaaleja, jotka on rakennettu monimutkaisen dynamiikan pohjalta ja muistuttavat eläviä organismeja.

Stokastiset fraktaalit

Satunnaistettu fraktaali perustuu Julia-sarjaan

Luonnon esineillä on usein fraktaalimuoto. Niiden mallintamiseen voidaan käyttää stokastisia (satunnaisia) fraktaaleja. Esimerkkejä stokastisista fraktaaleista:

Brownin liikkeen lentorata tasossa ja avaruudessa;

Brownin liikkeen lentoradan raja tasossa. Vuonna 2001 Lawler, Schramm ja Werner todistivat Mandelbrotin hypoteesin, että sen ulottuvuus on 4/3.

Schramm-Löwner-evoluutiot ovat konformisesti invariantteja fraktaalikäyriä, jotka syntyvät tilastollisen mekaniikan kriittisissä kaksiulotteisissa malleissa, esimerkiksi Ising-mallissa ja perkolaatiossa.

erilaisia ​​satunnaistettuja fraktaaleja, toisin sanoen fraktaaleja, jotka on saatu käyttämällä rekursiivista menettelyä, johon jokaisessa vaiheessa lisätään satunnaisparametri. Plasma on esimerkki tällaisen fraktaalin käytöstä tietokonegrafiikassa.

Luonnossa

Etunäkymä henkitorvesta ja keuhkoputkista

Bronkiaalinen puu

Verisuonten verkko

Sovellus

Luonnontieteet

Fraktaaleja syntyy luonnostaan ​​fysiikassa mallinnettaessa epälineaarisia prosesseja, kuten turbulenttia nestevirtausta, monimutkaisia ​​diffuusio-adsorptioprosesseja, liekkejä, pilviä jne. Fraktaaleja käytetään mallinnettaessa huokoisia materiaaleja esimerkiksi petrokemiassa. Biologiassa niitä käytetään populaatioiden mallintamiseen ja sisäisten elinjärjestelmien (verisuonijärjestelmän) kuvaamiseen.

Radiotekniikka

Fraktaaliantennit

Fraktaaligeometrian käyttöä antennilaitteiden suunnittelussa käytti ensin amerikkalainen insinööri Nathan Cohen, joka asui tuolloin Bostonin keskustassa, missä ulkoisten antennien asentaminen rakennuksiin oli kielletty. Nathan leikkasi alumiinifoliosta Koch-käyrän muodon ja liimaa sen paperille ja kiinnitti sen sitten vastaanottimeen. Cohen perusti oman yrityksen ja aloitti niiden sarjatuotannon.

Tietokone Tiede

Kuvan pakkaus

Pääartikkeli: Fraktaalipakkausalgoritmi

Fraktaalipuu

Fraktaaleja käyttäviä kuvanpakkausalgoritmeja on olemassa. Ne perustuvat ajatukseen, että itse kuvan sijasta voidaan tallentaa pakkauskartta, jolle tämä kuva (tai jokin läheinen) on kiinteä piste. Yksi tämän algoritmin muunnelmista käytettiin [ lähdettä ei ole määritetty 895 päivää] Microsoft julkaiseessaan tietosanakirjaansa, mutta näitä algoritmeja ei käytetty laajalti.

Tietokonegrafiikka

Toinen fraktaalipuu

Fraktaaleja käytetään laajalti tietokonegrafiikassa luomaan kuvia luonnollisista kohteista, kuten puista, pensaista, vuoristomaisemista, merenpinnoista ja niin edelleen. Fraktaalikuvien luomiseen käytetään monia ohjelmia, katso Fractal Generator (ohjelma).

Hajautetut verkot

Netsukuku-verkon IP-osoitteenantojärjestelmä käyttää fraktaalitiedon pakkaamisen periaatetta tallentaakseen tiiviisti tietoa verkon solmuista. Jokainen Netsukuku-verkon solmu tallentaa vain 4 kilotavua tietoa naapurisolmujen tilasta, kun taas mikä tahansa uusi solmu kytkeytyy yhteiseen verkkoon ilman tarvetta IP-osoitteiden jakelun keskitettyyn säätelyyn, mikä on tyypillistä esim. Internet. Näin ollen fraktaalitiedon pakkaamisen periaate takaa täysin hajautetun ja siten koko verkon vakaimman toiminnan.

Mitä yhteistä on puulla, merenrannalla, pilvellä tai käsissämme olevilla verisuonilla? Ensi silmäyksellä saattaa tuntua, että kaikilla näillä esineillä ei ole mitään yhteistä. Itse asiassa on kuitenkin yksi rakenteen ominaisuus, joka on luontainen kaikille luetelluille objekteille: ne ovat itsensä samankaltaisia. Oksasta, kuten puunrungosta, ulottuu pienempiä versoja, niistä vielä pienempiä jne., eli oksa on samanlainen kuin koko puu. Se on järjestetty samalla tavalla verenkiertoelimistö: valtimot lähtevät valtimoista ja niistä - pienimmät kapillaarit, joiden kautta happi pääsee elimiin ja kudoksiin. Katsotaanpa satelliittikuvia meren rannikolta: näemme lahtia ja niemimaita; Katsotaanpa sitä, mutta lintuperspektiivistä: näemme lahtia ja niemiä; Kuvittele nyt, että seisomme rannalla ja katsomme jalkojamme: aina tulee kiviä, jotka työntyvät kauemmaksi veteen kuin muut. Toisin sanoen rantaviiva pysyy zoomattuina samanlaisena kuin itseään. Amerikkalainen matemaatikko (vaikka hän varttui Ranskassa) Benoit Mandelbrot kutsui tätä esineiden ominaisuutta fraktaaliseksi ja itse tällaisia ​​esineitä - fraktaaleiksi (latinan sanasta fractus - rikki).

Tällä käsitteellä ei ole tiukkaa määritelmää. Siksi sana "fraktaali" ei ole matemaattinen termi. Yleensä kutsutaan fraktaaliksi geometrinen kuvio, joka täyttää yhden tai useamman seuraavista ominaisuuksista: Sillä on monimutkainen rakenne missä tahansa mittakaavassa (toisin kuin esimerkiksi suora, jonka mikä tahansa osa on yksinkertaisin geometrinen kuvio - segmentti). On (suunnilleen) itsensäkaltainen. Sillä on murto-osa Hausdorffin (fraktaali) ulottuvuus, joka on suurempi kuin topologinen. Voidaan rakentaa käyttämällä rekursiivisia menettelyjä.

Geometria ja algebra

Fraktaalien opiskelu 1800-luvun vaihteessa ja XX vuosisata oli enemmän episodinen kuin systemaattinen, koska aiemmin matemaatikot tutkivat pääasiassa "hyviä" esineitä, joita voitiin tutkia yleisillä menetelmillä ja teorioilla. Vuonna 1872 saksalainen matemaatikko Karl Weierstrass rakensi esimerkin jatkuvasta funktiosta, joka ei ole missään erotettavissa. Sen rakenne oli kuitenkin täysin abstrakti ja vaikeasti ymmärrettävä. Siksi ruotsalainen Helge von Koch keksi vuonna 1904 jatkuvan käyrän, jolla ei ole tangenttia missään ja joka on melko helppo piirtää. Kävi ilmi, että sillä on fraktaalin ominaisuuksia. Yksi muunnelma tästä käyrästä on nimeltään "Koch-lumihiutale".

Figuurien samankaltaisuuden ideat poimi ranskalainen Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbrotin tuleva mentori. Vuonna 1938 julkaistiin hänen artikkelinsa "Taso- ja spatiaaliset käyrät ja pinnat, jotka koostuvat kokonaisuuden kaltaisista osista", joka kuvasi toista fraktaalia - Levy C-käyrää. Kaikki nämä edellä luetellut fraktaalit voidaan ehdollisesti luokitella yhdeksi konstruktiivisten (geometristen) fraktaalien luokkaan.

Toinen luokka on dynaamiset (algebralliset) fraktaalit, jotka sisältävät Mandelbrot-joukon. Ensimmäinen tutkimus tähän suuntaan alkoi 1900-luvun alussa ja se liittyy ranskalaisten matemaatikoiden Gaston Julian ja Pierre Fatoun nimiin. Vuonna 1918 Julia julkaisi lähes kaksisadan sivun muistelman monimutkaisten rationaalisten funktioiden iteraatioista, jossa kuvattiin Julia-joukkoja, koko fraktaaleja, jotka liittyvät läheisesti Mandelbrotin joukkoon. Tämä teos sai Ranskan Akatemian palkinnon, mutta se ei sisältänyt yhtään kuvitusta, joten avoimien esineiden kauneutta oli mahdotonta arvostaa. Huolimatta siitä, että tämä teos teki Juliasta kuuluisan tuon ajan matemaatikoiden keskuudessa, se unohdettiin nopeasti. Huomio kääntyi taas siihen vasta puoli vuosisataa myöhemmin tietokoneiden ilmaantumisen myötä: juuri ne tekivät näkyväksi fraktaalimaailman rikkauden ja kauneuden.

Fraktaalimitat

Kuten tiedät, geometrisen kuvion mitta (mittojen lukumäärä) on koordinaattien määrä, joka tarvitaan määrittämään tässä kuviossa olevan pisteen sijainti.
Esimerkiksi pisteen sijainti käyrällä määräytyy yhdellä koordinaatilla, pinnalla (ei välttämättä tasolla) kahdella koordinaatilla ja kolmiulotteisessa avaruudessa kolmella koordinaatilla.
Yleisemmästä matemaattisesta näkökulmasta ulottuvuus voidaan määritellä näin: lineaaristen mittojen kasvu, esimerkiksi kertoimella kaksi, yksiulotteisten (topologisesta näkökulmasta) objektien (segmentin) osalta johtaa koon (pituuden) lisäys kertoimella kaksinkertainen, kaksiulotteisten (neliö ) sama lineaaristen mittojen lisäys johtaa koon (pinta-alan) kasvuun 4-kertaiseksi, kolmiulotteisten (kuutio) - 8 kertaa. Toisin sanoen "todellinen" (ns. Hausdorffin) ulottuvuus voidaan laskea objektin "koon" kasvun logaritmin ja sen lineaarisen koon kasvun logaritmin suhteena. Eli segmentille D=log (2)/log (2)=1, tasolle D=log (4)/log (2)=2, tilavuudelle D=log (8)/log (2) )=3.
Lasketaan nyt Koch-käyrän mitta, jonka muodostamiseksi yksikkösegmentti jaetaan kolmeen yhtä suureen osaan ja keskiväli korvataan tasasivuisella kolmiolla ilman tätä janaa. Kun minimisegmentin lineaariset mitat kasvavat kolme kertaa, Koch-käyrän pituus kasvaa log (4)/log (3) ~ 1,26. Toisin sanoen Koch-käyrän ulottuvuus on murto-osa!

Tiede ja taide

Vuonna 1982 julkaistiin Mandelbrotin kirja "Fractal Geometry of Nature", johon kirjailija keräsi ja systematisoi lähes kaiken tuolloin saatavilla olevan tiedon fraktaaleista ja esitti sen helposti ja helposti saatavilla olevalla tavalla. Mandelbrot ei painottanut esityksessään raskaita kaavoja ja matemaattisia rakenteita, vaan lukijoiden geometrista intuitiota. Tietokoneella saatujen kuvitusten ja historiallisten tarinoiden ansiosta, joilla kirjailija laimensi taitavasti monografian tieteellistä osaa, kirjasta tuli bestseller ja fraktaalit tulivat suuren yleisön tunnetuiksi. Heidän menestys ei-matemaatikoiden keskuudessa johtuu suurelta osin siitä, että hyvin yksinkertaisten rakenteiden ja kaavojen avulla, joita lukiolainenkin ymmärtää, saadaan kuvia hämmästyttävästä monimutkaisuudesta ja kauneudesta. Kun henkilökohtaisista tietokoneista tuli tarpeeksi tehokkaita, taiteeseen ilmestyi jopa kokonainen suunta - fraktaalimaalaus, ja melkein kuka tahansa tietokoneen omistaja pystyi siihen. Nyt Internetistä löydät helposti monia tälle aiheelle omistettuja sivustoja.

Kaavio Koch-käyrän saamiseksi

Sota ja rauha

Kuten edellä todettiin, yksi luonnon esineistä, joilla on fraktaaliominaisuuksia, on rannikko. Yksi asia liittyy siihen, tai tarkemmin sanottuna yritykseen mitata sen pituus. mielenkiintoinen tarina, joka muodosti perustan tieteellinen artikkeli Mandelbrot, ja se kuvataan myös kirjassaan "Fractal Geometry of Nature". Puhumme kokeesta, jonka on suorittanut Lewis Richardson, erittäin lahjakas ja eksentrinen matemaatikko, fyysikko ja meteorologi. Yksi hänen tutkimuksensa suunnasta oli yritys löytää matemaattinen kuvaus kahden maan välisen aseellisen konfliktin syistä ja todennäköisyydestä. Hänen huomioimiensa parametrien joukossa oli kahden taistelevan maan yhteisen rajan pituus. Kun hän keräsi tietoja numeerisia kokeita varten, hän havaitsi, että tiedot Espanjan ja Portugalin yhteisestä rajasta erosivat suuresti eri lähteistä. Tämä johti hänet seuraavaan havaintoon: maan rajojen pituus riippuu viivaimesta, jolla ne mitataan. Mitä pienempi mittakaava, sitä pidempi reunus. Tämä johtuu siitä, että suuremmalla suurennuksella on mahdollista ottaa huomioon yhä enemmän uusia rannikon mutkia, jotka aiemmin jätettiin huomiotta mittausten karkeuden vuoksi. Ja jos jokaisella mittakaavan lisäyksellä paljastetaan aiemmin huomioimattomia viivojen mutkia, niin käy ilmi, että rajojen pituus on ääretön! Totta, näin ei itse asiassa tapahdu - mittaustemme tarkkuudella on rajallinen raja. Tätä paradoksia kutsutaan Richardsonin efektiksi.

Konstruktiiviset (geometriset) fraktaalit

Algoritmi konstruktiivisen fraktaalin muodostamiseksi yleisessä tapauksessa on seuraava. Ensinnäkin tarvitsemme kaksi sopivaa geometrista muotoa, kutsutaan niitä pohjaksi ja fragmentiksi. Ensimmäisessä vaiheessa kuvataan tulevan fraktaalin perusta. Sitten jotkut sen osista korvataan sopivassa mittakaavassa otetulla fragmentilla - tämä on rakenteen ensimmäinen iteraatio. Sitten tuloksena oleva kuvio muuttaa jälleen osan osista fragmentin kaltaisiksi hahmoiksi jne. Jos jatkamme tätä prosessia loputtomiin, niin rajassa saamme fraktaalin.

Tarkastellaan tätä prosessia käyttämällä esimerkkinä Koch-käyrää (katso sivupalkki edellisellä sivulla). Mikä tahansa käyrä voidaan ottaa Kochin käyrän perustaksi ("Kochin lumihiutaleelle" se on kolmio). Mutta rajoitamme itsemme yksinkertaisimpaan tapaukseen - segmenttiin. Fragmentti on katkoviiva, joka näkyy kuvan yläosassa. Algoritmin ensimmäisen iteraation jälkeen, tässä tapauksessa alkuperäinen segmentti osuu yhteen fragmentin kanssa, sitten jokainen sen muodostava segmentti korvataan itse katkeavalla viivalla, joka on samanlainen kuin fragmentti jne. Kuvassa on tämän vaiheen neljä ensimmäistä vaihetta. käsitellä asiaa.

Matematiikan kielellä: dynaamiset (algebralliset) fraktaalit

Tämän tyyppiset fraktaalit syntyvät tutkittaessa epälineaarisia dynaamisia järjestelmiä (tästä nimi). Tällaisen järjestelmän käyttäytymistä voidaan kuvata kompleksisella epälineaarisella funktiolla (polynomilla) f(z). Otetaan jokin alkupiste z0 kompleksitasolla (katso sivupalkki). Tarkastellaan nyt sellaista ääretöntä lukujonoa kompleksitasolla, joista jokainen seuraava saadaan edellisestä: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ). Alkupisteestä z0 riippuen tällainen sekvenssi voi käyttäytyä eri tavalla: taipumus äärettömyyteen muodossa n -> ∞; lähentyä johonkin päätepisteeseen; ottaa syklisesti sarja kiinteitä arvoja; Myös monimutkaisemmat vaihtoehdot ovat mahdollisia.

Monimutkaiset luvut

Kompleksiluku on luku, joka koostuu kahdesta osasta - reaalista ja imaginaarisesta, eli muodollisesta summasta x + iy (x ja y ovat tässä reaalilukuja). minä olen ns imaginaarinen yksikkö, eli luku, joka täyttää yhtälön minä^ 2 = -1. Perusluvut määritellään kompleksiluvuilla. matemaattisia operaatioita— yhteen-, kerto-, jakolasku- ja vähennyslasku (vain vertailutoimintoa ei ole määritelty). Kompleksilukujen näyttämiseen käytetään usein geometristä esitystapaa - tasossa (jota kutsutaan kompleksiksi), reaaliosa piirretään abskissa-akselia pitkin ja imaginaariosa piirretään ordinaatta-akselia pitkin, ja piste, jossa on, vastaa kompleksiluku Suorakulmaiset koordinaatit x ja y.

Siten mikä tahansa kompleksitason piste z käyttäytyy omalla tavallaan funktion f (z) iteraatioiden aikana, ja koko taso on jaettu osiin. Lisäksi näiden osien rajoilla sijaitsevilla pisteillä on seuraava ominaisuus: mielivaltaisen pienellä siirtymällä niiden käyttäytymisen luonne muuttuu jyrkästi (tällaisia ​​pisteitä kutsutaan bifurkaatiopisteiksi). Joten käy ilmi, että pistejoukoilla, joilla on tietyntyyppinen käyttäytyminen, samoin kuin bifurkaatiopisteiden joukot, on usein fraktaaliominaisuuksia. Nämä ovat Julia-joukot funktiolle f (z).

Lohikäärmeen perhe

Vaihtelemalla pohjaa ja fragmenttia saat upean valikoiman rakentavia fraktaaleja.
Lisäksi samanlaisia ​​operaatioita voidaan suorittaa kolmiulotteisessa avaruudessa. Esimerkkejä tilavuusfraktaaleista ovat "Menger-sieni", "Sierpinski-pyramidi" ja muut.
Lohikäärmeperhettä pidetään myös rakentavana fraktaalina. Joskus heitä kutsutaan löytäjiensä nimellä "Heavey-Harter-lohikäärmeiksi" (muodoltaan ne muistuttavat kiinalaisia ​​lohikäärmeitä). On olemassa useita tapoja rakentaa tämä käyrä. Yksinkertaisin ja visuaalisin niistä on tämä: sinun on otettava melko pitkä paperinauha (mitä ohuempi paperi, sitä parempi) ja taivutettava se puoliksi. Taivuta se sitten jälleen kahtia samaan suuntaan kuin ensimmäistä kertaa. Useiden toistojen jälkeen (yleensä viiden tai kuuden taitoksen jälkeen nauhasta tulee liian paksu taivutettavaksi kevyesti edelleen), sinun on taivutettava nauhaa taaksepäin ja yritettävä luoda 90˚ kulmia taitteisiin. Sitten profiilissa saat lohikäärmeen käyrän. Tämä on tietysti vain likimääräinen arvio, kuten kaikki yrityksemme kuvata fraktaaliobjekteja. Tietokone mahdollistaa tämän prosessin useiden vaiheiden kuvaamisen, ja tuloksena on erittäin kaunis hahmo.

Mandelbrot-sarja on rakennettu hieman eri tavalla. Tarkastellaan funktiota fc (z) = z 2 +c, missä c on kompleksiluku. Muodostetaan tämän funktion sekvenssi, jossa z0=0, parametrista c riippuen se voi poiketa äärettömään tai pysyä rajoitettuna. Lisäksi kaikki c:n arvot, joille tämä sekvenssi on rajoitettu, muodostavat Mandelbrot-joukon. Mandelbrot itse ja muut matemaatikot tutkivat sitä yksityiskohtaisesti, jotka löysivät tämän joukon monia mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Voidaan nähdä, että Julia- ja Mandelbrot-joukkojen määritelmät ovat samanlaisia. Itse asiassa nämä kaksi sarjaa liittyvät läheisesti toisiinsa. Nimittäin Mandelbrot-joukko on kaikki kompleksiparametrin c arvot, joille Julia-joukko fc (z) on kytketty (joukkoa kutsutaan yhdistetyksi, jos sitä ei voida jakaa kahteen erilliseen osaan, joissakin lisäehdoissa).

Fraktaalit ja elämä

Nykyään fraktaalien teoria löytää laaja sovellus ihmisen toiminnan eri aloilla. Puhtaasti tieteellisen tutkimuskohteen ja jo mainitun fraktaalimaalauksen lisäksi fraktaaleja käytetään informaatioteoriassa graafisen datan pakkaamiseen (fraktaalien itsesamankaltaisuusominaisuutta käytetään tässä pääosin - loppujen lopuksi muistamaan pieni fragmentti kuvasta ja muunnokset, joilla saat jäljellä olevat osat, tarvitaan paljon vähemmän muistia kuin koko tiedoston tallentamiseen). Lisäämällä fraktaaleja määrittäviin kaavoihin satunnaisia ​​häiriöitä saadaan stokastisia fraktaaleja, jotka välittävät erittäin uskottavalla tavalla joitain todellisia esineitä - kohokuvioelementtejä, altaiden pintaa, joitain kasveja, joita käytetään menestyksekkäästi fysiikassa, maantiedossa ja tietokonegrafiikassa suuremman saavuttamiseksi. simuloitujen objektien samankaltaisuus todellisen kanssa. Radioelektroniikassa viime vuosikymmen alkoi tuottaa fraktaalimuotoisia antenneja. Vievät vähän tilaa ja tarjoavat laadukkaan signaalin vastaanoton. Taloustieteilijät käyttävät fraktaaleja kuvaamaan valuuttakurssien vaihtelukäyriä (Mandelbrot löysi tämän ominaisuuden yli 30 vuotta sitten). Tämä päättää lyhyen retken fraktaalien hämmästyttävän kauniiseen ja monipuoliseen maailmaan.

Fraktaali- ja fraktaaligeometrian käsitteet, jotka ilmestyivät 70-luvun lopulla, ovat vakiintuneet matemaatikoiden ja ohjelmoijien keskuudessa 80-luvun puolivälistä lähtien. Sana fraktaali on johdettu latinan sanasta fractus ja tarkoittaa fragmenteista koostuvaa. Benoit Mandelbrot ehdotti vuonna 1975 viittaamaan epäsäännöllisiin, mutta samankaltaisiin rakenteisiin, joista hän oli huolissaan. Fraktaaligeometrian synty liittyy yleensä Mandelbrotin kirjan ”The Fractal Geometry of Nature” julkaisuun vuonna 1977. Hänen teoksissaan käytettiin muiden samalla alalla vuosina 1875-1925 työskennelleiden tiedemiesten tieteellisiä tuloksia (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Mutta vain meidän aikanamme on ollut mahdollista yhdistää heidän työnsä yhdeksi järjestelmäksi.
Fraktaalien rooli tietokonegrafiikassa on nykyään melko suuri. Ne tulevat apuun esimerkiksi silloin, kun on tarpeen useiden kertoimien avulla määritellä hyvin monimutkaisia ​​muotoja ja pintoja. Tietokonegrafiikan näkökulmasta fraktaaligeometria on välttämätön keinotekoisten pilvien, vuorten ja merenpintojen luomisessa. Itse asiassa on löydetty tapa esittää helposti monimutkaisia ​​ei-euklidisia esineitä, joiden kuvat ovat hyvin samankaltaisia ​​kuin luonnollisia.
Yksi fraktaalien pääominaisuuksista on itsensä samankaltaisuus. Yksinkertaisimmassa tapauksessa pieni osa fraktaalista sisältää tietoa koko fraktaalista. Mandelbrotin määritelmä fraktaalista on: "Fraktaali on rakenne, joka koostuu osista, jotka ovat jossain mielessä samanlaisia ​​kokonaisuuden kanssa."

Fraktaaleiksi kutsuttuja matemaattisia esineitä on suuri määrä (Sierpinskin kolmio, Kochin lumihiutale, Peanon käyrä, Mandelbrotin joukko ja Lorentz-traktorit). Monet kuvaavat fraktaaleja erittäin tarkasti fyysisiä ilmiöitä ja koulutus todellista maailmaa: vuoret, pilvet, myrskyisät (pyörteet) virrat, puiden juuret, oksat ja lehdet, verisuonet, mikä ei suinkaan vastaa yksinkertaisia ​​geometrisia muotoja. Ensimmäistä kertaa Benoit Mandelbrot puhui maailmamme fraktaaliluonteesta tärkeässä työssään "Fractal Geometry of Nature".
Fraktaalitermin esitteli Benoit Mandelbrot vuonna 1977 perusteoksessaan Fractals, Form, Chaos and Dimension. Mandelbrotin mukaan sana fraktaali tulee latinan sanoista fractus - fractional ja frangere - murtaa, mikä heijastaa fraktaalin olemusta "rikkinä", epäsäännöllisenä joukkona.

Fraktaalien luokitus.

Fraktaalien koko valikoiman esittelemiseksi on kätevää turvautua niiden yleisesti hyväksyttyyn luokitukseen. Fraktaaleja on kolme luokkaa.

1. Geometriset fraktaalit.

Tämän luokan fraktaalit ovat visuaalisimpia. Kaksiulotteisessa tapauksessa ne saadaan käyttämällä katkoviivaa (tai pintaa kolmiulotteisessa tapauksessa), jota kutsutaan generaattoriksi. Algoritmin yhdessä vaiheessa jokainen polylinjan muodostava segmentti korvataan generaattoripolylinjalla sopivassa mittakaavassa. Tämän menettelyn loputtoman toistamisen seurauksena saadaan geometrinen fraktaali.

Tarkastellaanpa esimerkkiä yhdestä näistä fraktaaliobjekteista - triadisesta Koch-käyrästä.

Triadisen Koch-käyrän rakentaminen.

Otetaan suora segmentti, jonka pituus on 1. Kutsutaan sitä siemen. Jaetaan siemen kolmeen yhtä suureen 1/3 pituiseen osaan, hylätään keskiosa ja korvataan se katkoviivalla, jossa on kaksi 1/3 pituutta.

Saamme katkoviivan, joka koostuu 4 linkistä, joiden kokonaispituus on 4/3 - ns ensimmäinen sukupolvi.

Jotta voidaan siirtyä Koch-käyrän seuraavaan sukupolveen, jokaisen linkin keskiosa on hylättävä ja vaihdettava. Vastaavasti toisen sukupolven pituus on 16/9, kolmannen - 64/27. jos jatkamme tätä prosessia loputtomiin, tuloksena on triadinen Koch-käyrä.

Tarkastellaan nyt triadisen Koch-käyrän ominaisuuksia ja selvitetään, miksi fraktaaleja kutsuttiin "hirviöiksi".

Ensinnäkin tällä käyrällä ei ole pituutta - kuten olemme nähneet, sukupolvien lukumäärällä sen pituus on äärettömään.

Toiseksi, tälle käyrälle on mahdotonta muodostaa tangenttia - jokainen sen piste on käännepiste, jossa derivaatta ei ole olemassa - tämä käyrä ei ole tasainen.

Pituus ja sileys ovat käyrien perusominaisuuksia, joita tutkitaan sekä euklidisen geometrian että Lobachevskyn ja Riemannin geometrian avulla. Perinteiset geometrisen analyysin menetelmät osoittautuivat soveltumattomiksi triadiseen Koch-käyrään, joten Koch-käyrä osoittautui hirviöksi - "hirviöksi" perinteisten geometrioiden sileiden asukkaiden joukossa.

Harter-Haithawayn "lohikäärmeen" rakentaminen.

Jos haluat saada toisen fraktaaliobjektin, sinun on muutettava rakennussääntöjä. Olkoon muodostuselementti kaksi samansuuruista segmenttiä, jotka on yhdistetty suorassa kulmassa. Nollannessa sukupolvessa korvaamme yksikkösegmentin tällä generoivalla elementillä siten, että kulma on päällä. Voimme sanoa, että tällaisella vaihdolla linkin keskiosa siirtyy. Seuraavia sukupolvia rakennettaessa noudatetaan sääntöä: aivan ensimmäinen vasemmanpuoleinen linkki korvataan muodostuselementillä siten, että linkin keskiosa siirtyy liikesuunnan vasemmalle ja myöhempiä linkkejä vaihdettaessa segmenttien keskikohtien siirtymän on vaihdettava. Kuvassa on kuvattu edellä kuvatun periaatteen mukaisesti rakennetun käyrän muutama ensimmäinen sukupolvi ja 11. sukupolvi. Käyrää, jossa n suuntautuu äärettömyyteen, kutsutaan Harter-Haithaway-lohikäärmeeksi.
Tietokonegrafiikassa geometristen fraktaalien käyttö on välttämätöntä puista ja pensaista otettaessa. Kaksiulotteisia geometrisia fraktaaleja käytetään kolmiulotteisten tekstuurien (esineen pinnalla olevien kuvioiden) luomiseen.

2. Algebralliset fraktaalit

Tämä on suurin fraktaalien ryhmä. Ne saadaan käyttämällä epälineaarisia prosesseja n-ulotteisissa tiloissa. Kaksiulotteiset prosessit ovat eniten tutkittuja. Kun epälineaarista iteratiivista prosessia tulkitaan diskreetiksi dynaamiseksi järjestelmäksi, voidaan käyttää näiden järjestelmien teorian terminologiaa: vaihemuotokuva, vakaan tilan prosessi, attraktori jne.
Tiedetään, että epälineaarisilla dynaamisilla järjestelmillä on useita stabiileja tiloja. Tila, johon dynaaminen järjestelmä on tietyn iteraatiomäärän jälkeen, riippuu sen alkutilasta. Siksi jokaisella vakaalla tilassa (tai, kuten sanotaan, houkuttimella) on tietty alkutilojen alue, josta järjestelmä välttämättä putoaa tarkasteltavina oleviin lopputiloihin. Siten järjestelmän vaiheavaruus on jaettu attraktoreiden vetoalueisiin. Jos vaiheavaruus on kaksiulotteinen avaruus, niin värittämällä vetoalueet eri väreillä saadaan tästä järjestelmästä värillinen vaihekuva (iteratiivinen prosessi). Muuttamalla värinvalintaalgoritmia voit saada monimutkaisia ​​fraktaalikuvioita outoilla monivärisillä kuvioilla. Yllätys matemaatikoille oli kyky luoda erittäin monimutkaisia ​​ei-triviaaleja rakenteita primitiivisten algoritmien avulla.

Mandelbrot setti.

Esimerkkinä voidaan harkita Mandelbrotin joukkoa. Sen rakentamisalgoritmi on melko yksinkertainen ja perustuu yksinkertaiseen iteratiiviseen lausekkeeseen: Z = Z[i] * Z[i] + C, Missä Zi Ja C- monimutkaiset muuttujat. Iteraatiot suoritetaan kullekin aloituspisteelle suorakaiteen tai neliön muotoiselta alueelta - kompleksisen tason osajoukolta. Iteratiivinen prosessi jatkuu asti Z[i] ei ylitä säteen 2 ympyrää, jonka keskipiste on pisteessä (0,0), (tämä tarkoittaa, että dynaamisen järjestelmän attraktori on äärettömässä) tai riittävän suuren iteraatiomäärän jälkeen (esim. , 200-500) Z[i] suppenee johonkin pisteeseen ympyrässä. Riippuen iteraatioiden lukumäärästä, jonka aikana Z[i] pysyy ympyrän sisällä, voit asettaa pisteen värin C(Jos Z[i] pysyy ympyrän sisällä riittävän suuren iteraatiomäärän ajan, iterointi pysähtyy ja tämä rasteripiste maalataan mustaksi).

3. Stokastiset fraktaalit

Toinen hyvin tunnettu fraktaaliluokka ovat stokastiset fraktaalit, joita saadaan, jos joitain sen parametreja muutetaan satunnaisesti iteratiivisessa prosessissa. Tässä tapauksessa tuloksena olevat esineet ovat hyvin samanlaisia ​​​​kuin luonnolliset - epäsymmetriset puut, karut rannikot jne. Kaksiulotteisia stokastisia fraktaaleja käytetään maaston ja merenpintojen mallintamiseen.
Fraktaaleilla on muitakin luokituksia, esimerkiksi fraktaalien jakaminen deterministisiin (algebrallinen ja geometrinen) ja ei-deterministisiin (stokastisiin).

Fraktaalien käytöstä

Ensinnäkin fraktaalit ovat hämmästyttävän matemaattisen taiteen ala, kun yksinkertaisimpien kaavojen ja algoritmien avulla saadaan poikkeuksellisen kauniita ja monimutkaisia ​​kuvia! Lehdet, puut ja kukat näkyvät usein rakennettujen kuvien ääriviivoissa.

Jotkut fraktaalien tehokkaimmista sovelluksista ovat tietokonegrafiikassa. Ensinnäkin tämä on kuvien fraktaalikompressiota ja toiseksi maisemien, puiden, kasvien rakentamista ja fraktaalitekstuurien luomista. Nykyaikainen fysiikka ja mekaniikka ovat vasta alkaneet tutkia fraktaaliobjektien käyttäytymistä. Ja tietysti fraktaaleja käytetään suoraan matematiikassa.
Fraktaalikuvan pakkausalgoritmien etuja ovat pakatun tiedoston erittäin pieni koko ja lyhyt kuvan palautusaika. Fraktaalipakatut kuvat voidaan skaalata ilman pikseloitumista. Mutta pakkausprosessi kestää kauan ja kestää joskus tunteja. Fraktaalihäviöllisen pakkausalgoritmin avulla voit asettaa pakkaustason, joka on samanlainen kuin jpeg-muodossa. Algoritmi perustuu suurten osien etsimiseen kuvasta, jotka ovat samanlaisia ​​kuin joitain pieniä paloja. Ja vain mikä pala on samanlainen kuin mikä kirjoitetaan tulostiedostoon. Pakkauksessa käytetään yleensä neliöruudukkoa (palaset ovat neliöitä), mikä johtaa pieneen kulmaan kuvaa palautettaessa, kuusikulmaisessa ruudukossa tätä haittaa ei ole.
Iterated on kehittänyt uuden kuvamuodon, "Sting", joka yhdistää fraktaali- ja "aalto" (kuten jpeg) häviöttömän pakkauksen. Uuden muodon avulla voit luoda kuvia, joissa on mahdollisuus myöhempään korkealaatuiseen skaalaukseen, ja grafiikkatiedostojen määrä on 15-20% pakkaamattomien kuvien tilavuudesta.
Fraktaalien taipumusta muistuttaa vuoria, kukkia ja puita, hyödyntävät jotkin graafiset editorit, esimerkiksi fraktaalipilvet 3D studiosta MAX, fraktaalivuoret World Builderissa. Fraktaalipuut, vuoret ja kokonaiset maisemat määritellään yksinkertaisilla kaavoilla, ne on helppo ohjelmoida eivätkä hajoa erillisiin kolmioihin ja kuutioihin lähestyttäessä.
Fraktaalien käyttöä itse matematiikassa ei voida sivuuttaa. Joukkoteoriassa Cantor-joukko todistaa täydellisten nowhere-tiheiden joukkojen olemassaolon; mittateoriassa itseaffiininen funktio "Cantorin tikkaat" on hyvä esimerkki singulaarisen suuren jakaumafunktiosta.
Mekaniikassa ja fysiikassa fraktaaleja käytetään johtuen ainutlaatuinen omaisuus toista monien luonnon esineiden ääriviivat. Fraktaalien avulla voit arvioida puita, vuoristopintoja ja halkeamia suuremmalla tarkkuudella kuin likimääräiset segmentit tai polygonit (samalla määrällä tallennettuja tietoja). Fraktaalimalleilla, kuten luonnon esineillä, on "karheutta", ja tämä ominaisuus säilyy kuinka tahansa korkea suurennus mallit. Fraktaalien yhtenäinen mitta mahdollistaa integroinnin, potentiaaliteorian soveltamisen ja niiden käytön standardiobjektien sijasta jo tutkituissa yhtälöissä.
Fraktaalilähestymistapalla kaaos lakkaa olemasta sininen häiriö ja saa hienon rakenteen. Fraktaalitiede on vielä hyvin nuori ja sillä on edessään suuri tulevaisuus. Fraktaalien kauneus ei ole vielä loppunut, ja se antaa meille edelleen monia mestariteoksia - niitä, jotka ilahduttavat silmää, ja niitä, jotka tuovat todellista mielihyvää.

Fraktaalien rakentamisesta

Peräkkäinen approksimaatiomenetelmä

Tätä kuvaa katsoessa ei ole vaikeaa ymmärtää, kuinka voit rakentaa itseäsi vastaavan fraktaalin (tässä tapauksessa Sierpinskin pyramidin). Meidän on otettava tavallinen pyramidi (tetraedri) ja leikattava sitten sen keskiosa (oktaedri), jolloin saadaan neljä pientä pyramidia. Jokaisella niistä teemme saman toimenpiteen jne. Tämä on hieman naiivi mutta selkeä selitys.

Tarkastellaanpa menetelmän olemusta tiukemmin. Olkoon joku IFS-järjestelmä, ts. pakkauskartoitusjärjestelmä S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (esimerkiksi pyramidillemme mappaukset ovat muotoa S i (x)=1/2*x+o i, missä o i ovat tetraedrin kärjet, i=1,...,4). Sitten valitaan jokin kompakti joukko A 1 R n:ssä (tässä tapauksessa valitsemme tetraedrin). Ja määrittelemme induktiolla joukkojen sarjan A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Tiedetään, että joukot A k kasvavalla k:llä approksimoivat järjestelmän haluttua attraktoria yhä paremmin S.

Huomaa, että jokainen näistä iteraatioista on houkutin toistuvien toimintojen järjestelmä(englanninkielinen termi Digrafi IFS, RIFS ja myös Graafiohjattu IFS) ja siksi ne on helppo rakentaa ohjelmamme avulla.

Piste pisteeltä tai todennäköisyysmenetelmä

Tämä on helpoin tapa toteuttaa tietokoneella. Yksinkertaisuuden vuoksi tarkastelemme tasaisen itsekiinnittyvän joukon tapausta. Olkoon siis (S

) - jokin affiinisten supistojen järjestelmä. Näyttö S

edustaa nimellä: S

Kiinteä matriisikoko 2x2 ja o

Kaksiulotteinen vektorisarake.

• Otetaan alkupisteeksi ensimmäisen kuvauksen S 1 kiinteä piste:
  x:= o1;
  Tässä hyödynnetään sitä tosiasiaa, että kaikki kiinteät puristuspisteet S 1 ,..,S m kuuluvat fraktaaliin. Voit valita aloituspisteeksi mielivaltaisen pisteen ja sen tuottama pistesarja piirretään fraktaaliin, mutta tällöin näytölle tulee useita lisäpisteitä.
• Merkitään nykyinen piste x=(x 1 ,x 2) näytölle:
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Valitaan satunnaisesti luku j väliltä 1-m ja lasketaan uudelleen pisteen x koordinaatit:
  j: = Satunnainen(m)+1;
  x:=Sj(x);
• Siirrytään vaiheeseen 2, tai jos olemme tehneet riittävän paljon iteraatioita, lopetamme.

Huomautus. Jos kuvausten S i puristussuhteet ovat erilaiset, fraktaali täyttyy pisteillä epätasaisesti. Jos kuvaukset S i ovat samanlaisia, tämä voidaan välttää hieman monimutkaisemalla algoritmia. Tätä varten algoritmin 3. vaiheessa on valittava luku j välillä 1 - m todennäköisyyksillä p 1 =r 1 s,...,p m =r m s, missä r i kuvaa kuvausten Si pakkauskertoimia ja luku s (kutsutaan samankaltaisuusulottuvuudeksi) saadaan yhtälöstä r 1 s +...+r m s =1. Ratkaisu tähän yhtälöön voidaan löytää esimerkiksi Newtonin menetelmällä.

Tietoja fraktaaleista ja niiden algoritmeista

Fractal tulee latinalaisesta adjektiivista "fractus", ja käännöksessä tarkoittaa fragmenteista koostuvaa, ja vastaava latinalainen verbi "frangere" tarkoittaa rikkoa, eli luoda epäsäännöllisiä fragmentteja. Fraktaali- ja fraktaaligeometrian käsitteet, jotka ilmestyivät 70-luvun lopulla, ovat vakiintuneet matemaatikoiden ja ohjelmoijien keskuudessa 80-luvun puolivälistä lähtien. Benoit Mandelbrot loi termin vuonna 1975 viittaamaan epäsäännöllisiin, mutta samankaltaisiin rakenteisiin, joista hän oli huolissaan. Fraktaaligeometrian synty liittyy yleensä Mandelbrotin kirjan "The Fractal Geometry of Nature" julkaisuun vuonna 1977. Hänen töissään käytettiin muiden samalla alalla vuosina 1875-1925 työskennelleiden tiedemiesten (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) tieteellisiä tuloksia.

Säädöt

Saanen tehdä joitain muutoksia H.-O.:n kirjassa ehdottamiin algoritmeihin. Peitgen ja P.H. Richter "Fraktaalien kauneus" M. 1993 puhtaasti kirjoitusvirheiden poistamiseksi ja prosessien ymmärtämisen helpottamiseksi, sillä niiden tutkimisen jälkeen monet jäivät minulle mysteeriksi. Valitettavasti nämä "ymmärrettävät" ja "yksinkertaiset" algoritmit johtavat rokkaavaan elämäntyyliin.

Fraktaalien rakentaminen perustuu tiettyyn epälineaariseen funktioon kompleksisessa prosessissa, jonka takaisinkytkentä on z => z 2 +c, koska z ja c ovat kompleksilukuja, jolloin z = x + iy, c = p + iq se on tarpeen hajottaa osaksi x ja y mennä realistisempaan tavallinen ihminen kone:

x(k+1)=x(k)2-y(k)2+p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Tasoa, joka koostuu kaikista pareista (x,y), voidaan pitää ikään kuin kiinteillä arvoilla p ja q, ja dynaamisilla. Ensimmäisessä tapauksessa käymällä läpi kaikki tason pisteet (x, y) lain mukaan ja värittämällä ne riippuen iteratiivisesta prosessista poistumiseen tarvittavan funktion toistojen lukumäärästä tai värittämättä niitä (musta väri), kun Toistojen sallittu enimmäismäärä ylittyy, saamme Julia-sarjan näytön. Jos päinvastoin määritämme alkuperäisen arvoparin (x,y) ja jäljitämme sen koloristisen kohtalon parametrien p ja q dynaamisesti muuttuvilla arvoilla, niin saadaan kuvia, joita kutsutaan Mandelbrot-joukkoiksi.

Kysymykseen fraktaalien värjäysalgoritmeista.

Yleensä joukon runko esitetään mustana kenttänä, vaikka on selvää, että musta väri voidaan korvata millä tahansa muulla, mutta tämä on myös hieman mielenkiintoinen tulos. Kaikilla väreillä väritetyn joukon kuvan saaminen on tehtävä, jota ei voida ratkaista syklisillä operaatioilla, koska rungon muodostavien joukkojen iteraatioiden määrä on yhtä suuri kuin mahdollista ja on aina sama. Joukko on mahdollista värittää eri väreillä käyttämällä värinumerona silmukan poistumisehdon (z_magnitude) tai jotain vastaavaa tarkistustulosta, mutta muilla matemaattisilla operaatioilla.

"Fraktaalimikroskoopin" käyttö

osoittamaan rajailmiöitä.

Houkuttajat ovat keskuksia, jotka johtavat taistelua hallitsevasta asemasta lentokoneessa. Attraktoreiden väliin ilmestyy raja, joka edustaa kirkasta kuviota. Kasvattamalla harkinnan skaalaa joukon rajojen sisällä, voidaan saada ei-triviaaleja kuvioita, jotka heijastavat deterministisen kaaoksen tilaa - joka on yleinen ilmiö luonnossa.

Maantieteilijöiden tutkimat kohteet muodostavat järjestelmän, jolla on hyvin monimutkaiset rajat, joten niiden tunnistamisesta ei tule yksinkertaista käytännön työtä. Luonnolliset kompleksit niillä on tyypillisiä ytimiä, jotka toimivat houkuttelijoina, jotka menettävät vaikutuksensa alueelle sen siirtyessä pois.

Mandelbrotin ja Julian sarjojen fraktaalimikroskoopilla voidaan muodostaa käsitys rajaprosesseista ja -ilmiöistä, jotka ovat yhtä monimutkaisia ​​pohdinnan laajuudesta riippumatta ja näin valmistaa asiantuntijan havaintoa kohtaamiseen dynaamisen ja näennäisen kaoottisen luonnonkohteen kanssa. tilassa ja ajassa fraktaaligeometrian luonteen ymmärtämiseksi. Moniväriset värit ja fraktaalimusiikki jättävät varmasti syvän jäljen opiskelijoiden mieliin.

Fraktaaleille on omistettu tuhansia julkaisuja ja valtavat Internet-resurssit, mutta monille tietojenkäsittelytieteestä kaukana oleville asiantuntijoille tämä termi näyttää täysin uudelta. Fraktaalien, eri tietoalojen asiantuntijoiden kiinnostuksen kohteina, tulisi saada oikea paikka tietojenkäsittelytieteen kursseilla.

Esimerkkejä

SIEPINSKI VERKKO

Tämä on yksi niistä fraktaaleista, joita Mandelbrot kokeili kehittäessään fraktaalimittojen ja iteraatioiden käsitteitä. Kolmiot, jotka on muodostettu yhdistämällä suuremman kolmion keskipisteet, leikataan pääkolmiosta, jolloin muodostuu kolmio, jossa on enemmän reikiä. Tässä tapauksessa aloitteentekijä on iso kolmio ja malli on operaatio, jossa leikataan pois samanlaisia ​​kolmioita kuin suurempi. Voit myös saada kolmiulotteisen version käyttämällä tavallista tetraedria ja leikkaamalla pois pieniä tetraedrejä. Tällaisen fraktaalin koko on ln3/ln2 = 1,584962501. Saada haltuunsa Sierpinski matto, ota neliö, jaa se yhdeksään ruutuun ja leikkaa keskimmäinen. Teemme samoin muiden, pienempien neliöiden kanssa. Lopulta muodostuu litteä fraktaaliverkko, jolla ei ole aluetta, mutta jolla on äärettömät yhteydet. Tilallisessa muodossaan Sierpinski-sieni muuttuu päästä päähän -muotojen järjestelmäksi, jossa jokainen päästä päähän -elementti korvataan jatkuvasti omalla tavallaan. Tämä rakenne on hyvin samanlainen kuin leikkaus luukudosta. Jonakin päivänä sellaisista toistuvista rakenteista tulee osa rakennusrakenteita. Mandelbrot uskoo, että niiden statiikka ja dynamiikka ansaitsevat läheisen tutkimuksen.

KOCH KÄYRÄ

Kochin käyrä on yksi tyypillisimpiä deterministisiä fraktaaleja. Sen keksi 1800-luvulla saksalainen matemaatikko Helge von Koch, joka tutkiessaan Georg Kontorin ja Karl Weierstrassen töitä löysi kuvauksia omituisista käyristä, joilla oli epätavallinen käyttäytyminen. Aloittaja on suora viiva. Generaattori on tasasivuinen kolmio, jonka sivut ovat yhtä kuin kolmasosa suuremman segmentin pituudesta. Nämä kolmiot lisätään jokaisen segmentin keskelle yhä uudelleen ja uudelleen. Tutkimuksessaan Mandelbrot kokeili laajasti Kochin käyriä ja tuotti hahmoja, kuten Koch-saaria, Koch-ristejä, Kochin lumihiutaleita ja jopa kolmiulotteisia esityksiä Kochin käyrästä käyttämällä tetraedria ja lisäämällä pienempiä tetraedrejä jokaiseen sen pintaan. Koch-käyrän mitat ln4/ln3 = 1,261859507.

MANDELBROT FRACTAL

Tämä EI ole Mandelbrot-sarja, jota näet melko usein. Mandelbrotin joukko perustuu epälineaarisiin yhtälöihin ja on monimutkainen fraktaali. Tämä on myös muunnos Kochin käyrästä, vaikka tämä kohde ei ole samanlainen kuin se. Aloittaja ja generaattori eroavat myös niistä, joita käytetään fraktaalien luomiseen Koch-käyräperiaatteella, mutta idea pysyy samana. Sen sijaan, että tasasivuiset kolmiot yhdistettäisiin käyrän segmenttiin, neliöt liitetään neliöön. Johtuen siitä tosiasiasta, että tämä fraktaali vie tarkalleen puolet varatusta tilasta kussakin iteraatiossa, sen yksinkertainen fraktaalimitta on 3/2 = 1,5.

Monimutkaiset fraktaalit

Itse asiassa, jos suurennat minkä tahansa monimutkaisen fraktaalin pienen alueen ja teet sitten saman alueen pienellä alueella, nämä kaksi suurennusta eroavat merkittävästi toisistaan. Nämä kaksi kuvaa ovat yksityiskohdiltaan hyvin samankaltaisia, mutta ne eivät ole täysin identtisiä.

Kuva 1. Mandelbrot-joukon approksimaatio

Vertaa esimerkiksi tässä esitettyjä kuvia Mandelbrot-sarjasta, joista toinen on saatu suurentamalla toisesta tiettyä aluetta. Kuten näette, ne eivät todellakaan ole identtisiä, vaikka molemmissa näemme mustan ympyrän, josta liekittävät lonkerot ulottuvat eri suuntiin. Nämä elementit toistuvat loputtomasti Mandelbrotin joukossa laskevissa suhteissa.

Deterministiset fraktaalit ovat lineaarisia, kun taas kompleksiset fraktaalit eivät ole. Koska nämä fraktaalit ovat epälineaarisia, ne syntyy Mandelbrotin epälineaariseksi kutsumalla algebralliset yhtälöt. Hyvä esimerkki on prosessi Zn+1=ZnІ + C, joka on yhtälö, jolla muodostetaan toisen asteen Mandelbrotin ja Julian joukko. Näiden matemaattisten yhtälöiden ratkaisemiseen liittyy kompleksi- ja imaginaarilukuja. Kun yhtälö tulkitaan graafisesti kompleksitasossa, tuloksena on outo kuvio, jossa suorista viivoista tulee käyriä ja itsesamankaltaisuusefektejä ilmenee, joskaan ei ilman muodonmuutoksia, eri mittakaavatasoilla. Samalla koko kuva kokonaisuutena on arvaamaton ja hyvin kaoottinen.

Kuten kuvista voi nähdä, monimutkaiset fraktaalit ovat todellakin hyvin monimutkaisia, eikä niitä voida luoda ilman tietokoneen apua. Värikkäiden tulosten saamiseksi tässä tietokoneessa on oltava tehokas matemaattinen apuprosessori ja näyttö korkea resoluutio. Toisin kuin deterministiset fraktaalit, kompleksisia fraktaaleja ei lasketa 5-10 iteraatiossa. Lähes jokainen piste tietokoneen näytöllä on kuin erillinen fraktaali. Matemaattisen käsittelyn aikana jokaista pistettä käsitellään erillisenä piirustuksena. Jokainen piste vastaa tiettyä arvoa. Yhtälö on sisäänrakennettu jokaiselle pisteelle ja suoritetaan esimerkiksi 1000 iteraatiota. Suhteellisen vääristymättömän kuvan saamiseksi kotitietokoneille hyväksyttävässä ajassa on mahdollista suorittaa 250 iteraatiota yhdelle pisteelle.

Suurin osa tänään näkemistämme fraktaaleista on kauniin värisiä. Ehkä fraktaalikuvat saavat niin suuren esteettisen merkityksen juuri niiden värimaailman vuoksi. Kun yhtälö on laskettu, tietokone analysoi tulokset. Jos tulokset pysyvät vakaina tai vaihtelevat tietyn arvon ympärillä, piste muuttuu yleensä mustaksi. Jos arvo jossakin vaiheessa pyrkii äärettömään, piste maalataan eri värillä, ehkä sinisellä tai punaisella. Tämän prosessin aikana tietokone määrittää värit kaikille liikenopeuksille.

Tyypillisesti nopeasti liikkuvat pisteet värjätään punaisiksi, kun taas hitaammat pisteet ovat keltaisia ​​ja niin edelleen. Tummat täplät ovat luultavasti vakaimpia.

Monimutkaiset fraktaalit eroavat deterministisista fraktaaleista siinä mielessä, että ne ovat äärettömän monimutkaisia, mutta ne voidaan silti tuottaa hyvin yksinkertaisella kaavalla. Deterministiset fraktaalit eivät vaadi kaavoja tai yhtälöitä. Ota vain piirustuspaperia ja voit rakentaa Sierpinski-seulan jopa 3 tai 4 iteraatioon ilman vaikeuksia. Kokeile tätä monien Julian kanssa! On helpompi mennä mittaamaan Englannin rannikon pituutta!

MANDELBROT SETTI

Kuva 2. Mandelbrot-sarja

Mandelbrot- ja Julia-joukot ovat luultavasti kaksi yleisintä monimutkaisten fraktaalien joukossa. Niitä löytyy monista tieteellisistä aikakauslehdistä, kirjojen kansista, postikorteista ja tietokoneen näytönsäästäjistä. Benoit Mandelbrotin rakentama Mandelbrot-sarja on luultavasti ensimmäinen assosiaatio, joka ihmisillä on, kun he kuulevat sanan fraktaali. Tämä karstauskonetta muistuttava fraktaali, johon on kiinnitetty palavia puumaisia ​​ja pyöreitä alueita, on muodostettu yksinkertaisella kaavalla Zn+1=Zna+C, jossa Z ja C ovat kompleksilukuja ja a on positiivinen luku.

Useimmiten nähtävissä oleva Mandelbrotin joukko on 2. asteen Mandelbrotin joukko, eli a = 2. Se, että Mandelbrot-joukko ei ole vain Zn+1=ZnІ+C, vaan fraktaali, jonka kaavan indikaattori voi olla mikä tahansa positiivinen luku, on johtanut monia harhaan. Tällä sivulla näet esimerkin Mandelbrot-sarjasta erilaisia ​​merkityksiä indikaattori a.
Kuva 3. Kuplien esiintyminen kohdassa a = 3,5

Prosessi Z=Z*tg(Z+C) on myös suosittu. Kun mukana tulee tangenttifunktio, tuloksena on Mandelbrot-sarja, jota ympäröi omenaa muistuttava alue. Käytettäessä kosinifunktiota saadaan ilmakuplaefektejä. Lyhyesti sanottuna Mandelbrot-sarja voidaan määrittää tuottamaan erilaisia ​​kauniita kuvia lukemattomilla tavoilla.

PALJON JULIAA

Yllättäen Julia-joukot muodostetaan saman kaavan mukaan kuin Mandelbrot-joukko. Julia-sarjan keksi ranskalainen matemaatikko Gaston Julia, jonka mukaan sarja on nimetty. Ensimmäinen kysymys, joka herää visuaalisen tutustumisen jälkeen Mandelbrotin ja Julian joukkoihin, on "jos molemmat fraktaalit generoidaan saman kaavan mukaan, miksi ne ovat niin erilaisia?" Katso ensin kuvat Julia-setistä. Kummallista kyllä, Julia-sarjoja on erilaisia. Kun piirretään fraktaalia käyttämällä erilaisia ​​lähtökohtia (itterointiprosessin aloittamiseksi), syntyy erilaisia ​​kuvia. Tämä koskee vain Julia-sarjaa.

Kuva 4. Julia-sarja

Vaikka sitä ei näy kuvassa, Mandelbrot-fraktaali on itse asiassa monia Julia-fraktaaleja, jotka on yhdistetty toisiinsa. Jokainen Mandelbrot-joukon piste (tai koordinaatti) vastaa Julia-fraktaaleja. Julia-joukot voidaan muodostaa käyttämällä näitä pisteitä alkuarvoina yhtälössä Z=ZI+C. Mutta tämä ei tarkoita, että jos valitset pisteen Mandelbrot-fraktaalista ja suurennat sitä, voit saada Julia-fraktaalin. Nämä kaksi pistettä ovat identtisiä, mutta vain matemaattisessa mielessä. Jos otat tämän pisteen ja lasket sen tällä kaavalla, voit saada Julia-fraktaalin, joka vastaa tiettyä Mandelbrot-fraktaalin pistettä.

Tieteen nerokkaimmat löydöt voivat muuttaa ihmisen elämän radikaalisti. Keksitty rokote voi pelastaa miljoonia ihmisiä, aseiden luominen päinvastoin vie nämä ihmishenget. Viime aikoina (ihmisen evoluution mittakaavassa) olemme oppineet "kesyttämään" sähköä - ja nyt emme voi kuvitella elämää ilman kaikkia näitä käteviä sähköä käyttäviä laitteita. Mutta on myös löytöjä, joita harva pitää tärkeänä, vaikka ne vaikuttavat myös suuresti elämäämme.

Yksi näistä "huomaamattomista" löydöistä on fraktaalit. Olet luultavasti kuullut tämän tarttuvan sanan ennenkin, mutta tiedätkö mitä se tarkoittaa ja kuinka paljon mielenkiintoista tietoa tähän termiin kätkeytyy?

Jokaisella ihmisellä on luontainen uteliaisuus, halu ymmärtää ympäröivää maailmaa. Ja tässä pyrkimyksessä henkilö yrittää noudattaa logiikkaa tuomioissa. Analysoidessaan ympärillään tapahtuvia prosesseja hän yrittää löytää tapahtumien logiikan ja johtaa jonkinlaisen kaavan. Planeetan suurimmat mielet ovat kiireisiä tämän tehtävän parissa. Karkeasti sanottuna tiedemiehet etsivät mallia, jossa sellaista ei pitäisi olla. Siitä huolimatta, kaaoksessakin on mahdollista löytää yhteyksiä tapahtumien välillä. Ja tämä yhteys on fraktaali.

Pikkutyttäremme, neljä ja puoli vuotta vanha, on nyt siinä ihanassa iässä, kun kysymysten määrä "Miksi?" moninkertaisesti enemmän kuin aikuisten vastausten määrä. Ei kauan sitten, kun tyttäreni tutki maasta nostettua oksaa, hän yhtäkkiä huomasi, että tämä oksa oksineen ja oksineen näytti itse puulta. Ja tietysti seurasi tavallinen kysymys ”Miksi?”, johon vanhempien piti etsiä yksinkertainen, lapsen ymmärtämä selitys.

Yhden oksan samankaltaisuus lapsen löytämän koko puun kanssa on erittäin tarkka havainto, joka jälleen kerran todistaa rekursiivisen itsesamankaltaisuuden periaatteesta luonnossa. Monet orgaaniset ja epäorgaaniset muodot luonnossa muodostuvat samalla tavalla. Pilvet, simpukankuoret, etanan "talo", puiden kuori ja latvu, verenkiertojärjestelmä ja niin edelleen – kaikkien näiden esineiden satunnaiset muodot voidaan kuvata fraktaalialgoritmilla.

⇡ Benoit Mandelbrot: fraktaaligeometrian isä

Itse sana "fraktaali" ilmestyi loistavan tiedemiehen Benoit B. Mandelbrotin ansiosta.

Hän itse loi termin 1970-luvulla lainaten sanan fractus latinasta, jossa se tarkoittaa kirjaimellisesti "rikki" tai "murskattu". Mikä se on? Nykyään sana "fraktaali" tarkoittaa useimmiten graafinen kuva rakenteita, jotka ovat samanlaisia ​​suuremmassa mittakaavassa.

Matemaattinen perusta fraktaaliteorian syntymiselle luotiin monta vuotta ennen Benoit Mandelbrotin syntymää, mutta se saattoi kehittyä vasta laskentalaitteiden myötä. Sen alussa tieteellistä toimintaa Benoit työskenteli tutkimuskeskus IBM yritys. Tuolloin keskuksen työntekijät työskentelivät tiedonsiirron parissa. Tutkimuksen aikana tutkijat kohtasivat meluhäiriöiden aiheuttamien suurten häviöiden ongelman. Benoit kohtasi vaikean ja erittäin tärkeä tehtävä— ymmärtää, kuinka ennustaa kohinahäiriöiden esiintyminen elektroniikkapiireissä, kun tilastollinen menetelmä osoittautuu tehottomaksi.

Melumittausten tuloksia tarkastellessaan Mandelbrot huomasi yhden oudon kuvion - eri mittakaavan kohinakaaviot näyttivät samalta. Havaittiin identtinen kuvio riippumatta siitä, oliko se yhden päivän, viikon vai tunnin kohinakaavio. Piti muuttaa kaavion mittakaavaa, ja kuva toistettiin joka kerta.

Benoit Mandelbrot sanoi elämänsä aikana toistuvasti, ettei hän opiskellut kaavoja, vaan leikki vain kuvilla. Tämä mies ajatteli hyvin kuvaannollisesti ja käänsi minkä tahansa algebrallisen ongelman geometrian alalle, jossa hänen mukaansa oikea vastaus on aina ilmeinen.

Ei ole yllättävää, että fraktaaligeometrian isä tuli miehestä, jolla oli niin rikas avaruudellinen mielikuvitus. Loppujen lopuksi tietoisuus fraktaalien olemuksesta tulee juuri silloin, kun alat tutkia piirustuksia ja miettiä outojen pyörrekuvioiden merkitystä.

Fraktaalikuviossa ei ole identtisiä elementtejä, mutta se on samanlainen missä tahansa mittakaavassa. Rakenna tällainen kuva korkea aste manuaalinen yksityiskohta oli aiemmin yksinkertaisesti mahdotonta, se vaati valtavan määrän laskelmia. Esimerkiksi ranskalainen matemaatikko Pierre Joseph Louis Fatou kuvaili tätä sarjaa yli seitsemänkymmentä vuotta ennen Benoit Mandelbrotin löytöä. Jos puhumme itsensä samankaltaisuuden periaatteista, ne mainittiin Leibnizin ja Georg Cantorin teoksissa.

Yksi ensimmäisistä fraktaalipiirustuksista oli graafinen tulkinta Mandelbrotin sarjasta, joka syntyi Gaston Maurice Julian tutkimuksen ansiosta.

Gaston Julia (aina naamiossa - loukkaantuminen I maailmansodasta)

Tämä ranskalainen matemaatikko pohti, miltä joukko näyttäisi, jos se rakennettaisiin yksinkertaisesta kaavasta, joka iteroidaan silmukan läpi palautetta. Jos selität sen "sormillasi", tämä tarkoittaa sitä tietty numero Löydämme uuden arvon kaavalla, minkä jälkeen korvaamme sen uudelleen kaavaan ja saamme toisen arvon. Tuloksena on suuri numerosarja.

Saadaksesi täydellisen kuvan tällaisesta sarjasta, sinun on tehtävä valtava määrä laskelmia - satoja, tuhansia, miljoonia. Tämä oli yksinkertaisesti mahdotonta tehdä manuaalisesti. Mutta kun tehokkaat laskentalaitteet tulivat matemaatikoiden saataville, he pystyivät katsomaan uudella tavalla kaavoja ja lausekkeita, jotka olivat kiinnostaneet pitkään. Mandelbrot oli ensimmäinen, joka käytti tietokonetta klassisen fraktaalin laskemiseen. Käsiteltyään suuresta määrästä arvoja koostuvan sekvenssin Benoit piirsi tulokset kaavioon. Sen hän sai.

Myöhemmin tämä kuva väritettiin (esimerkiksi yksi väritysmenetelmistä on iteraatioiden lukumäärä) ja siitä tuli yksi suosituimmista ihmisen koskaan luomista kuvista.

Kuten Efesoksen Herakleitoksen muinainen sanonta sanoo: "Et voi astua samaan jokeen kahdesti." Se soveltuu erinomaisesti fraktaalien geometrian tulkintaan. Huolimatta siitä, kuinka yksityiskohtaisesti katsomme fraktaalikuvaa, näemme aina samanlaisen kuvion.

Ne, jotka haluavat nähdä, miltä Mandelbrot-avaruuden kuva näyttäisi moninkertaisesti lähennettynä, voivat tehdä sen lataamalla animoidun GIF-tiedoston.

⇡ Lauren Carpenter: luonnon luomaa taidetta

Fraktaalien teoria löysi pian käytännön sovelluksen. Koska se liittyy läheisesti itse samankaltaisten kuvien visualisointiin, ei ole yllättävää, että ensimmäinen, joka omaksui algoritmit ja rakennusperiaatteet epätavallisia muotoja, siellä oli taiteilijoita.

Legendaarisen Pixar-studion tuleva perustaja Loren C. Carpenter aloitti työskentelyn vuonna 1967 Boeing Computer Servicesissä, joka oli yksi kuuluisan uusia lentokoneita kehittävän yrityksen osastoista.

Vuonna 1977 hän loi esityksiä lentävien mallien prototyypeistä. Lorenin tehtäviin kuului kuvien kehittäminen suunniteltavasta lentokoneesta. Hänen täytyi luoda kuvia uusista malleista, jotka esittivät tulevaisuuden lentokoneita eri näkökulmista. Jossain vaiheessa Pixar Animation Studiosin tuleva perustaja sai luovan idean käyttää vuoristokuvaa taustana. Nykyään jokainen koululainen voi ratkaista tällaisen ongelman, mutta viime vuosisadan 70-luvun lopulla tietokoneet eivät pystyneet selviytymään niin monimutkaisista laskelmista - ei ollut graafisia editoijia, puhumattakaan 3D-grafiikkasovelluksista. Vuonna 1978 Lauren näki vahingossa Benoit Mandelbrotin kirjan Fractals: Form, Chance and Dimension kaupassa. Tässä kirjassa hänen huomionsa kiinnitti se, että Benoit antoi paljon esimerkkejä fraktaalimuodoista oikea elämä ja väitti, että ne voidaan kuvata matemaattisella lausekkeella.

Matemaatikko ei valinnut tätä analogiaa sattumalta. Tosiasia on, että heti kun hän julkaisi tutkimuksensa, hän joutui kohtaamaan koko kritiikin. Pääasia, mistä hänen kollegansa moittivat häntä, oli kehitettävän teorian hyödyttömyys. "Kyllä", he sanoivat, "tämä on kauniita kuvia, mutta ei enempää. Fraktaalien teorialla ei ole käytännön arvoa." Oli myös niitä, jotka yleisesti uskoivat, että fraktaalikuviot olivat yksinkertaisesti "paholaiskoneiden" työn sivutuote, joka 1970-luvun lopulla näytti monien mielestä liian monimutkaiselta ja tutkimattomalta, jotta siihen voitaisiin täysin luottaa. Mandelbrot yritti löytää ilmeisiä sovelluksia fraktaaliteorialle, mutta suuressa suunnitelmassa hänen ei tarvinnut. Seuraavien 25 vuoden aikana Benoit Mandelbrotin seuraajat osoittivat tällaisen "matemaattisen uteliaisuuden" valtavat edut, ja Lauren Carpenter oli yksi ensimmäisistä, jotka kokeilivat fraktaalimenetelmää käytännössä.

Kirjan opiskelun jälkeen tuleva animaattori tutki vakavasti fraktaaligeometrian periaatteita ja alkoi etsiä tapaa toteuttaa se tietokonegrafiikassa. Vain kolmessa työpäivässä Lauren pystyi luomaan realistisen kuvan vuoristojärjestelmästä tietokoneellaan. Toisin sanoen hän maalasi kaavoilla täysin tunnistettavan vuoristomaiseman.

Periaate, jota Lauren käytti saavuttaakseen tavoitteensa, oli hyvin yksinkertainen. Se koostui suuremman geometrisen hahmon jakamisesta pieniin elementteihin, jotka puolestaan ​​jaettiin vastaaviksi, pienempikokoisiksi hahmoiksi.

Käyttämällä suurempia kolmioita, Carpenter jakoi ne neljään pienempään ja toisti tämän prosessin uudestaan ​​​​ja uudestaan, kunnes hän sai realistisen vuoristomaiseman. Näin hän onnistui olemaan ensimmäinen taiteilija, joka käytti fraktaalialgoritmia kuvien rakentamiseen tietokonegrafiikassa. Heti kun sana teoksesta tuli tunnetuksi, harrastajat ympäri maailmaa tarttuivat ideaan ja alkoivat käyttää fraktaalialgoritmia realististen luonnonmuotojen jäljittelemiseen.

Yksi ensimmäisistä fraktaalialgoritmia käyttävistä 3D-visualisoinneista

Vain muutamaa vuotta myöhemmin Lauren Carpenter pystyi soveltamaan kehitystään paljon laajempaan projektiin. Animaattori loi heistä kahden minuutin demon Vol Librestä, joka esitettiin Siggraphissa vuonna 1980. Tämä video järkytti kaikkia sen nähneitä, ja Lauren sai kutsun Lucasfilmiltä.

Animaatio renderöitiin Digital Equipment Corporationin VAX-11/780-tietokoneella viiden megahertsin kellotaajuudella ja kunkin ruudun renderöimiseen kului noin puoli tuntia.

Lucasfilm Limitedille työskennellyt animaattori loi 3D-maisemia käyttäen samaa kaavaa Star Trek -sagan toiselle täyspitkälle elokuvalle. The Wrath of Khanissa Carpenter pystyi luomaan kokonaisen planeetan käyttämällä samaa fraktaalipintamallinnuksen periaatetta.

Tällä hetkellä kaikki suositut 3D-maisemien luomissovellukset käyttävät samanlaista periaatetta luonnonobjektien luomiseen. Terragen, Bryce, Vue ja muut 3D-editorit luottavat fraktaalialgoritmiin pintojen ja tekstuurien mallintamiseen.

⇡ Fraktaaliantennit: vähemmän on enemmän

Viimeisen puolen vuosisadan aikana elämä on alkanut muuttua nopeasti. Useimmat meistä hyväksyvät saavutukset nykyaikaiset tekniikat itsestäänselvyytenä. Kaikkeen, mikä tekee elämästä mukavampaa, tottuu hyvin nopeasti. Harvoin kukaan kysyy "Mistä tämä tuli?" ja "Kuinka se toimii?" Mikroaaltouuni lämmittää aamiaisen - hienoa, älypuhelin antaa sinulle mahdollisuuden puhua toisen henkilön kanssa - hienoa. Tämä näyttää meille ilmeiseltä mahdollisuudelta.

Mutta elämä olisi voinut olla täysin erilaista, jos ihminen ei olisi etsinyt selitystä tapahtumille. Otetaan esimerkiksi matkapuhelimet. Muistatko sisäänvedettävät antennit ensimmäisissä malleissa? Ne häiritsivät, lisäsivät laitteen kokoa ja lopulta menivät usein rikki. Uskomme, että ne ovat vaipuneet unohduksiin ikuisiksi ajoiksi, ja osa syy tähän on... fraktaalit.

Fraktaalikuviot kiehtovat kuvioillaan. Ne muistuttavat ehdottomasti kuvia kosmisista kohteista - sumuista, galaksiklustereista ja niin edelleen. Siksi on aivan luonnollista, että kun Mandelbrot esitti fraktaalien teoriansa, hänen tutkimuksensa herätti lisääntynyttä kiinnostusta tähtitiedettä opiskelevien keskuudessa. Yksi näistä amatööreistä nimeltä Nathan Cohen, käytyään Benoit Mandelbrotin luennossa Budapestissa, sai idean. käytännön sovellus hankittua tietoa. Totta, hän teki tämän intuitiivisesti, ja sattumalla oli tärkeä rooli hänen löydöessään. Radioamatöörina Nathan pyrki luomaan antennin, jolla on mahdollisimman herkkä.

Ainoa tapa parantaa antennin parametreja, joka oli tuolloin tunnettu, oli kasvattaa sen geometrisia mittoja. Nathanin vuokraaman Bostonin keskustassa sijaitsevan kiinteistön omistaja vastusti kuitenkin jyrkästi suurten laitteiden asentamista katolle. Sitten Nathan alkoi kokeilla useita muotoja antenneja, yrittäen saada maksimaalisen tuloksen pienimmällä koolla. Fraktaalimuotojen idean innoittamana Cohen, kuten he sanovat, teki sattumanvaraisesti lankasta yhden kuuluisimmista fraktaaleista - "Koch-lumihiutaleen". Ruotsalainen matemaatikko Helge von Koch keksi tämän käyrän vuonna 1904. Se saadaan jakamalla segmentti kolmeen osaan ja korvaamalla keskisegmentti tasasivuisella kolmiolla ilman, että sivu osuu yhteen tämän segmentin kanssa. Määritelmä on hieman vaikea ymmärtää, mutta kuvassa kaikki on selkeää ja yksinkertaista.

Koch-käyrästä on myös muita muunnelmia, mutta käyrän likimääräinen muoto pysyy samana

Kun Nathan liitti antennin radiovastaanottimeen, hän oli hyvin yllättynyt - herkkyys kasvoi dramaattisesti. Kokeilusarjan jälkeen tuleva professori Bostonin yliopisto ymmärsi, että fraktaalikuviolla valmistetulla antennilla on korkea hyötysuhde ja se kattaa paljon laajemman taajuusalueen verrattuna klassisiin ratkaisuihin. Lisäksi antennin muoto fraktaalikäyrän muodossa mahdollistaa geometristen mittojen merkittävän pienentämisen. Nathan Cohen jopa keksi lauseen, joka todistaa, että laajakaista-antennin luomiseen riittää, että sille annetaan itsekaltaisen fraktaalikäyrän muoto.

Kirjoittaja patentoi löytönsä ja perusti yrityksen fraktaaliantennien kehittämiseen ja suunnitteluun Fractal Antenna Systems, uskoen oikeutetusti, että tulevaisuudessa hänen löytönsä ansiosta matkapuhelimet voivat päästä eroon isoista antenneista ja niistä tulee kompakteja.

Periaatteessa näin on käynyt. Totta, tähän päivään asti Nathan käy laillista taistelua suurten yritysten kanssa, jotka käyttävät laittomasti hänen löytöään kompaktien viestintälaitteiden tuottamiseen. Jotkut tunnetut mobiililaitteiden valmistajat, kuten Motorola, ovat jo päässeet sopimukseen fraktaaliantennin keksijän kanssa.

⇡ Fraktaalimitat: et voi ymmärtää sitä mielelläsi

Benoit lainasi tämän kysymyksen kuuluisalta amerikkalaiselta tiedemieheltä Edward Kasnerilta.

Jälkimmäinen, kuten monet muut kuuluisat matemaatikot, rakasti kommunikoida lasten kanssa, kysyä heiltä kysymyksiä ja saada odottamattomia vastauksia. Joskus tämä johti yllättäviin seurauksiin. Esimerkiksi Edward Kasnerin yhdeksänvuotias veljenpoika keksi nyt tunnetun sanan "googol", joka tarkoittaa yhtä, jota seuraa sata nollaa. Mutta palataan fraktaaleihin. Amerikkalainen matemaatikko halusi kysyä, kuinka pitkä on Yhdysvaltain rannikko. Kuultuaan keskustelukumppaninsa mielipidettä, Edward itse puhui oikean vastauksen. Jos mittaat kartan pituuden katkenneista osista, tulos on epätarkka, koska rantaviivassa on paljon epäsäännöllisyyksiä. Mitä tapahtuu, jos mittaamme mahdollisimman tarkasti? Sinun on otettava huomioon jokaisen epätasaisuuden pituus - sinun on mitattava jokainen nieme, jokainen lahti, kivi, kallioreunuksen pituus, kivi sen päällä, hiekkajyvä, atomi ja niin edelleen. Koska epäsäännöllisyyksien määrä pyrkii äärettömään, rantaviivan mitattu pituus kasvaa äärettömään jokaista uutta epäsäännöllisyyttä mitatessa.

Mitä pienempi mitta mitatessa, sitä pidempi on mitattu pituus

Mielenkiintoista on, että Edwardin kehotuksia seuraten lapset sanoivat oikean ratkaisun paljon nopeammin kuin aikuiset, kun taas jälkimmäisten oli vaikea hyväksyä niin uskomatonta vastausta.

Käyttämällä tätä ongelmaa esimerkkinä Mandelbrot ehdotti käyttämistä uusi lähestymistapa mittoihin. Koska rantaviiva on lähellä fraktaalikäyrää, se tarkoittaa, että siihen voidaan soveltaa karakterisoivaa parametria - ns. fraktaaliulottuvuutta.

Mikä säännöllinen ulottuvuus on, on selvää kenelle tahansa. Jos mitta on yhtä suuri kuin yksi, saamme suoran, jos kaksi - litteä figuuri, kolme - tilavuus. Tämä matematiikan ulottuvuuden ymmärtäminen ei kuitenkaan toimi fraktaalikäyrien kanssa, joissa tällä parametrilla on murto-arvo. Fraktaaliulottuvuutta matematiikassa voidaan perinteisesti pitää "karkeutena". Mitä suurempi käyrän karheus on, sitä suurempi on sen fraktaalimitta. Käyrällä, jonka Mandelbrotin mukaan fraktaalimitta on suurempi kuin sen topologinen ulottuvuus, on likimääräinen pituus, joka ei riipu dimensioiden lukumäärästä.

Tällä hetkellä tutkijat löytävät yhä enemmän alueita fraktaaliteorian soveltamiseen. Fraktaalien avulla voit analysoida pörssikurssien vaihteluita, tutkia kaikenlaisia ​​luonnollisia prosesseja, kuten lajien lukumäärän vaihteluja, tai simuloida virtojen dynamiikkaa. Fraktaalialgoritmeja voidaan käyttää tietojen pakkaamiseen, kuten kuvan pakkaamiseen. Ja muuten, saadaksesi kauniin fraktaalin tietokoneen näytölle, sinulla ei tarvitse olla tohtorin tutkintoa.

⇡ Fractal selaimessa

Ehkä yksi eniten yksinkertaisia ​​tapoja hanki fraktaalikuvio - käytä nuoren lahjakkaan ohjelmoijan Toby Schachmanin online-vektorieditoria. Tämän yksinkertaisen graafisen editorin työkalut perustuvat samaan samankaltaisuuden periaatteeseen.

Käytössäsi on vain kaksi yksinkertaisinta muotoa - nelikulmio ja ympyrä. Voit lisätä ne kankaalle, skaalata niitä (skaalaaksesi jotakin akselia pitkin pitämällä Shift-näppäintä painettuna) ja kiertää niitä. Nämä yksinkertaisimmat elementit muodostavat päällekkäin Boolen summausoperaatioiden periaatteen mukaisesti uusia, vähemmän triviaaleja muotoja. Nämä uudet muodot voidaan sitten lisätä projektiin, ja ohjelma toistaa näiden kuvien luomisen loputtomiin. Fraktaalin käsittelyn missä tahansa vaiheessa voit palata mihin tahansa monimutkaisen muodon komponenttiin ja muokata sen sijaintia ja geometriaa. Hauska aktiviteetti, varsinkin kun ajattelee, että ainoa luomiseen tarvittava työkalu on selain. Jos et ymmärrä tämän rekursiivisen vektorieditorin kanssa työskentelyn periaatetta, suosittelemme katsomaan videon projektin viralliselta verkkosivustolta, joka näyttää yksityiskohtaisesti koko fraktaalin luomisprosessin.

⇡ XaoS: fraktaaleja jokaiseen makuun

Monissa graafisissa muokkausohjelmissa on sisäänrakennetut työkalut fraktaalikuvioiden luomiseen. Nämä työkalut ovat kuitenkin yleensä toissijaisia ​​eivätkä salli generoidun fraktaalikuvion hienosäätöä. Tapauksissa, joissa on tarpeen rakentaa matemaattisesti tarkka fraktaali, cross-platform-editori XaoS tulee apuun. Tämän ohjelman avulla on mahdollista paitsi rakentaa itsenäinen kuva, myös suorittaa erilaisia ​​​​käsittelyjä sen kanssa. Voit esimerkiksi "kävellä" reaaliajassa fraktaaleja pitkin muuttamalla sen mittakaavaa. Animoitu liike fraktaaleja pitkin voidaan tallentaa XAF-tiedostoksi ja toistaa sitten itse ohjelmassa.

XaoS voi ladata satunnaisen joukon parametreja ja käyttää myös erilaisia ​​kuvan jälkikäsittelysuodattimia - lisätä sumeaa liiketehostetta, tasoittaa teräviä siirtymiä fraktaalipisteiden välillä, simuloida 3D-kuvaa ja niin edelleen.

⇡ Fractal Zoomer: kompakti fraktaaligeneraattori

Muihin fraktaalikuvageneraattoreihin verrattuna sillä on useita etuja. Ensinnäkin se on kooltaan hyvin pieni eikä vaadi asennusta. Toiseksi se toteuttaa kyvyn määrittää kuvan väripaletti. Voit valita sävyjä sisään värilliset mallit RGB, CMYK, HVS ja HSL.

On myös erittäin kätevää käyttää satunnaisvalintavaihtoehtoa värisävyjä ja toiminto kääntää kaikki kuvan värit. Värin säätämiseksi on olemassa syklinen sävyjen valinta - kun kytket vastaavan tilan päälle, ohjelma animoi kuvan ja muuttaa sen värejä syklisesti.

Fractal Zoomer pystyy visualisoimaan 85 erilaista fraktaalifunktiota, ja kaavat näkyvät selkeästi ohjelmavalikossa. Ohjelmassa on suodattimia kuvien jälkikäsittelyyn, vaikkakin pieniä määriä. Jokainen määritetty suodatin voidaan peruuttaa milloin tahansa.

⇡ Mandelbulb3D: 3D-fraktaalieditori

Kun termiä "fraktaali" käytetään, se viittaa useimmiten litteään, kaksiulotteiseen kuvaan. Fraktaaligeometria kuitenkin ylittää 2D-ulottuvuuden. Luonnosta löytyy sekä esimerkkejä litteistä fraktaalimuodoista, esimerkiksi salaman geometriasta, että kolmiulotteisista tilavuuskuvioista. Fraktaalipinnat voivat olla kolmiulotteisia, ja yksi erittäin selkeä esimerkki 3D-fraktaaleista jokapäiväisessä elämässä on kaalin pää. Ehkä paras tapa nähdä fraktaaleja on Romanesco-lajike, kukkakaalin ja parsakaalin hybridi.

Voit myös syödä tämän fraktaalin

Luo 3D-objekteja samanlainen muoto Mandelbulb3D-ohjelma voi tehdä tämän. Saadakseen 3D-pinnan käyttämällä fraktaalialgoritmia tämän sovelluksen kirjoittajat Daniel White ja Paul Nylander muunsivat Mandelbrotin joukon pallokoordinaateiksi. Heidän luomansa Mandelbulb3D-ohjelma on todellinen kolmiulotteinen editori, joka mallintaa fraktaalipintoja erilaisia ​​muotoja. Koska havaitsemme usein fraktaalikuvioita luonnossa, keinotekoisesti luotu kolmiulotteinen fraktaaliobjekti näyttää uskomattoman realistiselta ja jopa "elävältä".

Se voi muistuttaa kasvia, se voi muistuttaa outoa eläintä, planeettaa tai jotain muuta. Tätä tehostetta parantaa kehittynyt renderöintialgoritmi, jonka avulla voidaan saada realistisia heijastuksia, laskea läpinäkyvyyttä ja varjoja, simuloida syväterävyyden vaikutusta ja niin edelleen. Mandelbulb3D:ssä on valtava määrä asetuksia ja renderöintivaihtoehtoja. Voit hallita valonlähteiden sävyjä, valita simuloidun kohteen taustan ja yksityiskohdat.

Incendia fraktaalieditori tukee kaksoiskuvan tasoitusta, sisältää viidenkymmenen eri kolmiulotteisen fraktaalin kirjaston ja siinä on erillinen moduuli perusmuotojen muokkaamiseen.

Sovellus käyttää fraktaalikomentosarjaa, jolla voit itsenäisesti kuvata uudentyyppisiä fraktaalimalleja. Incendiassa on tekstuuri- ja materiaalieditorit, ja renderöintimoottorin avulla voit käyttää volyymitehosteita ja erilaisia ​​varjostimia. Ohjelma ottaa käyttöön puskurin tallennuksen pitkäaikaisen renderöinnin aikana ja tukee animaation luomista.

Incendia antaa sinun viedä fraktaalimallin suosittuihin 3D-grafiikkamuotoihin - OBJ ja STL. Incendia sisältää pienen apuohjelman nimeltä Geometrica, erikoistyökalu, jolla määritetään fraktaalipinnan vienti 3D-malliin. Tämän apuohjelman avulla voit määrittää 3D-pinnan resoluution ja fraktaaliiteraatioiden määrän. Vietyjä malleja voidaan käyttää 3D-projekteissa työskennellessäsi 3D-editorien, kuten Blender, 3ds max ja muiden kanssa.

Viime aikoina työ Incendia-projektin parissa on hidastunut jonkin verran. Päällä Tämä hetki kirjoittaja etsii sponsoreita auttamaan häntä kehittämään ohjelmaa.

Jos sinulla ei ole tarpeeksi mielikuvitusta piirtääksesi kauniin kolmiulotteisen fraktaalin tässä ohjelmassa, sillä ei ole väliä. Käytä parametrikirjastoa, joka sijaitsee kansiossa INCENDIA_EX\parameters. PAR-tiedostojen avulla löydät nopeasti epätavallisimmat fraktaalimuodot, mukaan lukien animoidut.

⇡ Äänentoisto: kuinka fraktaalit laulavat

Emme yleensä puhu projekteista, joita vasta työstetään, mutta tässä tapauksessa meidän on tehtävä poikkeus, koska tämä on hyvin epätavallinen sovellus. Aural-nimisen projektin keksi sama henkilö, joka loi Incendia. Tällä kertaa ohjelma ei kuitenkaan visualisoi fraktaalisarjaa, vaan soittaa sen ja muuttaa sen elektroniseksi musiikiksi. Ajatus on erittäin mielenkiintoinen, varsinkin kun ottaa huomioon epätavallisia ominaisuuksia fraktaaleja. Aural on äänieditori, joka tuottaa melodioita fraktaalialgoritmeilla, eli pohjimmiltaan se on äänisyntetisaattori-sekvenssori.

Tämän ohjelman tuottama äänisarja on epätavallinen ja... kaunis. Se voi hyvinkin olla hyödyllinen nykyaikaisten rytmien kirjoittamiseen ja meidän mielestämme se sopii erityisen hyvin luomiseen ääniraitoja televisio- ja radio-ohjelmien näytönsäästäjiin sekä taustamusiikin "silmukoille". tietokonepelit. Ramiro ei ole vielä toimittanut demoa ohjelmastaan, mutta lupaa, että kun hän tekee, sinun ei tarvitse opiskella fraktaaliteoriaa työskennelläksesi Auralin kanssa - sinun on vain leikittävä sekvenssin generointialgoritmin parametreilla. muistiinpanoista. Kuuntele kuinka fraktaalit kuulostavat ja.

Fractals: musiikillinen tauko

Itse asiassa fraktaalit voivat auttaa sinua kirjoittamaan musiikkia myös ilman ohjelmisto. Mutta tämän voi tehdä vain joku, joka on todella täynnä ajatusta luonnollisesta harmoniasta ja joka ei ole muuttunut onnettomaksi "nörttiksi". On järkevää ottaa esimerkkiä Jonathan Coulton-niminen muusikko, joka muun muassa kirjoittaa sävellyksiä Popular Science -lehteen. Ja toisin kuin muut esiintyjät, Colton julkaisee kaikki teoksensa Creative Commons Attribution-Noncommercial -lisenssillä, joka (jos sitä käytetään ei-kaupallisiin tarkoituksiin) mahdollistaa teoksen ilmaisen kopioinnin, jakelun, siirtämisen muille sekä sen muokkaamisen ( johdannaisteosten luominen), jotta voit mukauttaa sen tehtäviisi.

Jonathan Coltonilla on tietysti kappale fraktaaleista.

⇡ Johtopäätös

Kaikessa meitä ympäröivässä näemme usein kaaosta, mutta itse asiassa tämä ei ole sattumaa, vaan ihannemuoto, jonka fraktaalit auttavat meitä havaitsemaan. Luonto on paras arkkitehti, ihanteellinen rakentaja ja insinööri. Se on rakennettu hyvin loogisesti, ja jos emme näe kuviota jossain, se tarkoittaa, että meidän on etsittävä sitä eri mittakaavassa. Ihmiset ymmärtävät tämän yhä paremmin ja yrittävät jäljitellä luonnollisia muotoja monin tavoin. Insinöörien suunnittelu Akustiset järjestelmät kuoren muodossa ne luovat antenneja, joilla on lumihiutaleiden geometria ja niin edelleen. Olemme varmoja, että fraktaalit sisältävät edelleen monia salaisuuksia, ja monet niistä eivät ole vielä ihmisten löytämiä.

Fraktaalit ovat olleet tunnettuja lähes vuosisadan ajan, niitä on tutkittu hyvin ja niillä on lukuisia sovelluksia elämässä. Tämä ilmiö perustuu hyvin yksinkertaiseen ajatukseen: suhteellisen yksinkertaisista malleista voidaan saada ääretön määrä kauniita ja vaihtelevia muotoja käyttämällä vain kahta toimintoa - kopiointia ja skaalausta.

Tällä käsitteellä ei ole tiukkaa määritelmää. Siksi sana "fraktaali" ei ole matemaattinen termi. Tämä on yleensä nimi, joka annetaan geometriselle kuviolle, joka täyttää yhden tai useamman seuraavista ominaisuuksista:

• sillä on monimutkainen rakenne millä tahansa suurennuksella;
• on (likimäärin) itsensäkaltainen;
• sillä on murto-osa Hausdorffin (fraktaali) ulottuvuus, joka on suurempi kuin topologinen;
• voidaan rakentaa rekursiivisilla menetelmillä.

1800- ja 1900-luvun vaihteessa fraktaalien tutkimus oli enemmän episodista kuin systemaattista, koska aiemmin matemaatikot tutkivat pääasiassa "hyviä" esineitä, joita voitiin tutkia yleisillä menetelmillä ja teorioilla. Vuonna 1872 saksalainen matemaatikko Karl Weierstrass rakensi esimerkin jatkuvasta funktiosta, joka ei ole missään erotettavissa. Sen rakenne oli kuitenkin täysin abstrakti ja vaikeasti ymmärrettävä. Siksi ruotsalainen Helge von Koch keksi vuonna 1904 jatkuvan käyrän, jolla ei ole tangenttia missään ja joka on melko helppo piirtää. Kävi ilmi, että sillä on fraktaalin ominaisuuksia. Yksi muunnelma tästä käyrästä on nimeltään "Koch-lumihiutale".

Figuurien samankaltaisuuden ideat poimi ranskalainen Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbrotin tuleva mentori. Vuonna 1938 julkaistiin hänen artikkelinsa "Taso- ja spatiaaliset käyrät ja pinnat, jotka koostuvat kokonaisuuden kaltaisista osista", joka kuvasi toista fraktaalia - Lévyn C-käyrää. Kaikki nämä edellä luetellut fraktaalit voidaan ehdollisesti luokitella yhdeksi konstruktiivisten (geometristen) fraktaalien luokkaan.

Toinen luokka on dynaamiset (algebralliset) fraktaalit, jotka sisältävät Mandelbrot-joukon. Ensimmäinen tutkimus tähän suuntaan juontaa juurensa 1900-luvun alusta, ja se liittyy ranskalaisten matemaatikoiden Gaston Julian ja Pierre Fatoun nimiin. Vuonna 1918 Julia julkaisi lähes kaksisataasivuisen työn monimutkaisten rationaalisten funktioiden iteraatioista, jossa kuvattiin Julia-joukkoja – Mandelbrotin joukkoon läheisesti liittyviä fraktaaleja. Tämä teos sai Ranskan Akatemian palkinnon, mutta se ei sisältänyt yhtään kuvitusta, joten avoimien esineiden kauneutta oli mahdotonta arvostaa. Huolimatta siitä, että tämä teos teki Juliasta kuuluisan tuon ajan matemaatikoiden keskuudessa, se unohdettiin nopeasti.

Huomio Julian ja Fatoun työhön kääntyi uudelleen vasta puoli vuosisataa myöhemmin, tietokoneiden ilmaantumisen myötä: juuri ne tekivät näkyväksi fraktaalien maailman rikkauden ja kauneuden. Loppujen lopuksi Fatou ei koskaan voinut katsoa kuvia, jotka tunnemme nyt Mandelbrot-joukon kuvina, koska tarvittavaa määrää laskelmia ei voida tehdä käsin. Ensimmäinen henkilö, joka käytti tietokonetta tähän, oli Benoit Mandelbrot.

Vuonna 1982 julkaistiin Mandelbrotin kirja "Fractal Geometry of Nature", johon kirjailija keräsi ja systematisoi lähes kaiken tuolloin saatavilla olevan tiedon fraktaaleista ja esitti sen helposti ja helposti saatavilla olevalla tavalla. Mandelbrot ei painottanut esityksessään raskaita kaavoja ja matemaattisia rakenteita, vaan lukijoiden geometrista intuitiota. Tietokoneella saatujen kuvitusten ja historiallisten tarinoiden ansiosta, joilla kirjailija laimensi taitavasti monografian tieteellistä osaa, kirjasta tuli bestseller ja fraktaalit tulivat suuren yleisön tunnetuiksi. Heidän menestys ei-matemaatikoiden keskuudessa johtuu suurelta osin siitä, että hyvin yksinkertaisten rakenteiden ja kaavojen avulla, joita lukiolainenkin ymmärtää, saadaan kuvia hämmästyttävästä monimutkaisuudesta ja kauneudesta. Kun henkilökohtaisista tietokoneista tuli tarpeeksi tehokkaita, taiteeseen ilmestyi jopa kokonainen suunta - fraktaalimaalaus, ja melkein kuka tahansa tietokoneen omistaja pystyi siihen. Nyt Internetistä löydät helposti monia tälle aiheelle omistettuja sivustoja.