Lineaariset yhtälöt: kaavat ja esimerkit. Eriarvoisuudet ja niiden ratkaisu

Tässä artikkelissa tarkastelemme periaatetta tällaisten yhtälöiden ratkaisemisesta lineaarisina yhtälöinä. Kirjataan ylös näiden yhtälöiden määritelmät ja asetetaan yleinen muoto. Analysoimme kaikkia ehtoja lineaaristen yhtälöiden ratkaisujen löytämiselle muun muassa käytännön esimerkkien avulla.

Huomaa, että alla oleva materiaali sisältää tietoa yhden muuttujan lineaarisista yhtälöistä. Lineaariset yhtälöt kaksi muuttujaa käsitellään erillisessä artikkelissa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mikä on lineaarinen yhtälö

Lineaarinen yhtälö on yhtälö, joka on kirjoitettu seuraavasti:
a x = b, Missä x-muuttuva, a Ja b- joitain numeroita.

Tätä muotoilua käytti Yu.N. Makarychev algebra-oppikirjassa (7. luokka).

Esimerkki 1

Esimerkkejä lineaarisista yhtälöistä ovat:

3 x = 11(yhtälö yhdellä muuttujalla x klo a = 5 Ja b = 10);

− 3, 1 y = 0 ( lineaarinen yhtälö muuttujalla y, Missä a = -3, 1 Ja b = 0);

x = − 4 Ja − x = 5,37(lineaariset yhtälöt, jossa numero a kirjoitettu eksplisiittisesti ja yhtä suuri kuin 1 ja -1. Ensimmäiselle yhtälölle b = -4; toiselle - b = 5,37) ja niin edelleen.

Erilaisissa koulutusmateriaaleja saattaa tavata erilaisia ​​määritelmiä. Esimerkiksi Vilenkin N.Ya. Lineaariset yhtälöt sisältävät myös ne yhtälöt, jotka voidaan muuntaa muotoon a x = b siirtämällä ehtoja osasta toiseen merkin vaihdolla ja tuomalla samanlaisia ​​ehtoja. Jos noudatamme tätä tulkintaa, yhtälö 5 x = 2 x + 6 – myös lineaarinen.

Mutta algebraoppikirja (7. luokka), jonka on kirjoittanut Mordkovich A.G. antaa seuraavan kuvauksen:

Määritelmä 2

Lineaarinen yhtälö yhdessä muuttujassa x on muodon yhtälö a x + b = 0, Missä a Ja b– joitain lukuja, joita kutsutaan lineaarisen yhtälön kertoimiksi.

Esimerkki 2

Esimerkki tämän tyyppisistä lineaarisista yhtälöistä voisi olla:

3 x − 7 = 0 (a = 3, b = − 7) ;

1, 8 y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Mutta on myös esimerkkejä lineaarisista yhtälöistä, joita olemme jo käyttäneet edellä: muodossa a x = b, Esimerkiksi, 6 x = 35.

Sovimme heti, että tässä artikkelissa yhden muuttujan lineaarisella yhtälöllä ymmärrämme kirjoitetun yhtälön a x + b = 0, Missä x– muuttuva; a, b – kertoimet. Näemme tämän lineaarisen yhtälön muodon oikeutetuimpana, koska lineaariyhtälöt ovat ensimmäisen asteen algebrallisia yhtälöitä. Ja muut yllä mainitut yhtälöt ja yhtälöt, jotka on annettu muodossa vastaavilla muunnoksilla a x + b = 0, määrittelemme yhtälöiksi, jotka pelkistyvät lineaarisiksi yhtälöiksi.

Tällä lähestymistavalla yhtälö 5 x + 8 = 0 on lineaarinen ja 5 x = − 8- yhtälö, joka pelkistyy lineaariseksi.

Lineaaristen yhtälöiden ratkaisuperiaate

Katsotaanpa, kuinka määritetään, onko tietyllä lineaarisella yhtälöllä juuria ja jos on, kuinka monta ja miten ne määritetään.

Määritelmä 3

Lineaarisen yhtälön juurien olemassaolo määräytyy kertoimien arvojen perusteella a Ja b. Kirjataan nämä ehdot ylös:

• klo a ≠ 0 lineaarisella yhtälöllä on yksi juuri x = - b a ;
• klo a = 0 Ja b ≠ 0 lineaarisella yhtälöllä ei ole juuria;
• klo a = 0 Ja b = 0 lineaarisella yhtälöllä on äärettömän monta juuria. Pohjimmiltaan tässä tapauksessa mistä tahansa luvusta voi tulla lineaarisen yhtälön juuri.

Annetaan selitys. Tiedämme, että yhtälön ratkaisuprosessissa on mahdollista muuntaa annettu yhtälö ekvivalentiksi, mikä tarkoittaa, että sillä on samat juuret kuin alkuperäisellä yhtälöllä tai sillä ei myöskään ole juuria. Voimme tehdä seuraavat vastaavat muunnokset:

• siirrä termi osasta toiseen muuttamalla merkki päinvastaiseksi;
• kerro tai jaa yhtälön molemmat puolet samalla luvulla, joka ei ole nolla.

Siten muunnamme lineaarisen yhtälön a x + b = 0, siirtämällä termiä b vasemmalta puolelta oikealle merkin muutoksella. Saamme: a · x = − b .

Joten jaamme yhtälön molemmat puolet nollasta poikkeavalla luvulla A, tuloksena on yhtälö muotoa x = - b a . Eli milloin a ≠ 0, alkuperäinen yhtälö a x + b = 0 on yhtäläinen x = - b a, jossa juuri - b a on ilmeinen.

Ristiriitaisesti voidaan osoittaa, että löydetty juuri on ainoa. Nimetään löydetty juuri - b a as x 1. Oletetaan, että merkinnällä on toinenkin lineaariyhtälön juuri x 2. Ja tietenkin: x 2 ≠ x 1, ja tämä puolestaan ​​perustuu yhtäläisten lukujen määritelmään erotuksen kautta, on ehtoa ekvivalentti x 1 − x 2 ≠ 0 . Yllä oleva huomioon ottaen voimme luoda seuraavat yhtäläisyydet korvaamalla juuret:
a x 1 + b = 0 ja a x 2 + b = 0.
Numeeristen yhtälöiden ominaisuus mahdollistaa yhtälöiden osien termikohtaisen vähennyksen:

a x 1 + b − (a x 2 + b) = 0 − 0, täältä: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0 ja niin edelleen a · (x 1 − x 2) = 0 . Tasa-arvo a · (x 1 − x 2) = 0 on virheellinen, koska se määriteltiin aiemmin a ≠ 0 Ja x 1 − x 2 ≠ 0 . Tuloksena oleva ristiriita toimii todisteena siitä, että milloin a ≠ 0 lineaarinen yhtälö a x + b = 0 on vain yksi juuri.

Perustelkaamme vielä kaksi lauseketta sisältävistä ehdoista a = 0.

Kun a = 0 lineaarinen yhtälö a x + b = 0 kirjoitetaan muodossa 0 x + b = 0. Ominaisuus kertoa luku nollalla antaa meille oikeuden väittää, että mikä tahansa luku otetaan x, korvaamalla sen tasa-arvolla 0 x + b = 0, saamme b = 0 . Yhtälö pätee, kun b = 0; muissa tapauksissa milloin b ≠ 0, tasa-arvo muuttuu vääräksi.

Joten kun a = 0 ja b = 0 , mistä tahansa luvusta voi tulla lineaarisen yhtälön juuri a x + b = 0, koska kun nämä ehdot täyttyvät, korvaa sen sijaan x mikä tahansa luku, saamme oikean numeerisen yhtälön 0 = 0 . Kun a = 0 Ja b ≠ 0 lineaarinen yhtälö a x + b = 0 ei ole juuria ollenkaan, koska kun määritetyt ehdot täyttyvät, korvataan sen sijaan x mikä tahansa luku, saamme väärän numeerisen yhtälön b = 0.

Kaikki edellä mainitut seikat antavat meille mahdollisuuden kirjoittaa muistiin algoritmi, jonka avulla on mahdollista löytää ratkaisu mihin tahansa lineaariseen yhtälöön:

• tietuetyypin mukaan määritämme kertoimien arvot a Ja b ja analysoida niitä;
• klo a = 0 Ja b = 0 yhtälöllä on äärettömän monta juuria, ts. mistä tahansa luvusta tulee annetun yhtälön juuri;
• klo a = 0 Ja b ≠ 0
• klo a, eroaa nollasta, alamme etsiä alkuperäisen lineaarisen yhtälön ainoaa juuria:

1. siirretään kerrointa b oikealle merkin muutoksella päinvastaiseksi, jolloin lineaarinen yhtälö muotoutuu a · x = − b ;
2. jaa tuloksena olevan yhtälön molemmat puolet luvulla a, joka antaa meille halutun yhtälön juuren: x = - b a.

Itse asiassa kuvattu toimintosarja on vastaus kysymykseen, kuinka löytää ratkaisu lineaariseen yhtälöön.

Lopuksi selvennetään muodon yhtälöt a x = b ratkaistaan ​​käyttämällä samanlaista algoritmia, ainoana erona kuin numero b sellaisessa merkinnässä on jo siirretty vaadittuun yhtälön osaan ja kanssa a ≠ 0 voit välittömästi jakaa yhtälön osat luvulla a.

Siten löytää ratkaisu yhtälöön a x = b, käytämme seuraavaa algoritmia:

• klo a = 0 Ja b = 0 yhtälöllä on äärettömän monta juuria, ts. mistä tahansa luvusta voi tulla sen juuri;
• klo a = 0 Ja b ≠ 0 annetulla yhtälöllä ei ole juuria;
• klo a, ei ole nolla, yhtälön molemmat puolet jaetaan numerolla a, jonka avulla on mahdollista löytää ainoa juuri, joka on yhtä suuri kuin b a.

Esimerkkejä lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisesta

Lineaarinen yhtälö on ratkaistava 0 x − 0 = 0.

Ratkaisu

Kirjoittamalla annetun yhtälön näemme sen a = 0 Ja b = − 0(tai b = 0, joka on sama). Siten annetulla yhtälöllä voi olla ääretön määrä juuria tai mikä tahansa luku.

Vastaus: x- mikä tahansa numero.

Esimerkki 4

On tarpeen määrittää, onko yhtälöllä juuret 0 x + 2, 7 = 0.

Ratkaisu

Tietueesta päätämme, että a = 0, b = 2, 7. Siten annetulla yhtälöllä ei ole juuria.

Vastaus: alkuperäisellä lineaarisella yhtälöllä ei ole juuria.

Esimerkki 5

Annettu lineaarinen yhtälö 0,3 x − 0,027 = 0. Se on ratkaistava.

Ratkaisu

Kirjoittamalla yhtälön päätämme, että a = 0, 3; b = - 0,027, jonka avulla voimme väittää, että annetulla yhtälöllä on yksi juuri.

Algoritmia noudattaen siirrämme b yhtälön oikealle puolelle vaihtamalla etumerkkiä, saamme: 0,3 x = 0,027. Seuraavaksi jaamme tuloksena olevan yhtälön molemmat puolet arvolla a = 0, 3, sitten: x = 0, 027 0, 3.

Jaetaan desimaalimurtoluvut:

0,027 0,3 = 27 300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

Saatu tulos on annetun yhtälön juuri.

Kirjoitetaanpa ratkaisu lyhyesti seuraavasti:

0,3 x - 0,027 = 0,0,3 x = 0,027, x = 0,027 0,3, x = 0,09.

Vastaus: x = 0,09.

Selvyyden vuoksi esitämme ratkaisun kirjoitusyhtälöön a x = b.

Esimerkki N

Annetut yhtälöt ovat: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = − 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . Ne on ratkaistava.

Ratkaisu

Kaikki annetut yhtälöt vastaavat merkintää a x = b. Katsotaanpa niitä yksitellen.

Yhtälössä 0 x = 0, a = 0 ja b = 0, mikä tarkoittaa: mikä tahansa luku voi olla tämän yhtälön juuri.

Toisessa yhtälössä 0 x = − 9: a = 0 ja b = − 9, näin ollen tällä yhtälöllä ei ole juuria.

Viimeisen yhtälön - 3 8 · x = - 3 3 4 muodon perusteella kirjoitetaan kertoimet: a = - 3 8, b = - 3 3 4, ts. yhtälöllä on yksi juuri. Etsitään hänet. Jaetaan yhtälön molemmat puolet a:lla, jolloin saadaan x = - 3 3 4 - 3 8. Yksinkertaistetaan murto-osa soveltamalla negatiivisten lukujen jakamisen ja sitten muuntamisen sääntöä sekoitettu numero V murtoluku ja jakamalla tavalliset murtoluvut:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

Kirjoitetaanpa ratkaisu lyhyesti seuraavasti:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

Vastaus: 1) x– mikä tahansa luku, 2) yhtälöllä ei ole juuria, 3) x = 10.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Tärkeät muistiinpanot!
1. Jos näet gobbledygookin kaavojen sijaan, tyhjennä välimuisti. Kuinka tehdä tämä selaimessasi, on kirjoitettu tähän:
2. Ennen kuin aloitat artikkelin lukemisen, kiinnitä huomiota navigaattoriimme hyödyllinen resurssi varten

Mitä ovat "lineaariset yhtälöt"

tai suullisesti - kolmelle ystävälle annettiin kullekin omenaa sillä perusteella, että Vasyalla oli kaikki omenat, jotka hänellä oli.

Ja nyt olet jo päättänyt lineaarinen yhtälö
Annetaan nyt tälle termille matemaattinen määritelmä.

Lineaarinen yhtälö - on algebrallinen yhtälö, jonka täysi tutkinto sen osapolynomeista on yhtä suuri kuin. Se näyttää tältä:

Missä ja ovat numerot ja

Vasyan ja omenoiden tapauksessa kirjoitamme:

- "Jos Vasya antaa saman määrän omenoita kaikille kolmelle ystävälle, hänellä ei ole omenoita jäljellä"

"Piilotetut" lineaariset yhtälöt tai identiteettimuunnosten merkitys

Huolimatta siitä, että ensi silmäyksellä kaikki on erittäin yksinkertaista, yhtälöitä ratkaistaessa on oltava varovainen, koska lineaarisia yhtälöitä ei kutsuta vain tämän tyyppisiksi yhtälöiksi, vaan myös kaikkiin yhtälöihin, jotka voidaan pelkistää tähän tyyppiin muunnoksilla ja yksinkertaistuksilla. Esimerkiksi:

Näemme, mikä on oikealla, mikä teoriassa jo osoittaa, että yhtälö ei ole lineaarinen. Lisäksi, jos avaamme sulut, saamme vielä kaksi termiä, joissa se on, mutta älä kiirehdi tekemään johtopäätöksiä! Ennen kuin arvioidaan, onko yhtälö lineaarinen, on tarpeen tehdä kaikki muunnokset ja siten yksinkertaistaa alkuperäistä esimerkkiä. Tässä tapauksessa muunnokset voivat muuttua ulkomuoto, mutta ei yhtälön ydintä.

Toisin sanoen muunnostietojen on oltava identtinen tai vastaava. Tällaisia ​​muutoksia on vain kaksi, mutta niillä on erittäin, ERITTÄIN tärkeä rooli ongelmien ratkaisemisessa. Tarkastellaan molempia muunnoksia erityisillä esimerkeillä.

Siirto vasemmalle - oikealle.

Oletetaan, että meidän on ratkaistava seuraava yhtälö:

Myös sisällä ala-aste meille kerrottiin: "X:llä - vasemmalla, ilman X:llä - oikealla." Mikä lauseke X:llä on oikealla? Se on oikein, mutta ei miten ei. Ja tämä on tärkeää, koska jos tämä näennäisesti yksinkertainen kysymys ymmärretään väärin, tulee väärä vastaus. Mikä lauseke X:llä on vasemmalla? Oikein,.

Nyt kun olemme selvittäneet tämän, siirrämme kaikki termit tuntemattomilla vasemmalle ja kaikki tiedossa oikealle, muistaen, että jos esimerkiksi numeron edessä ei ole merkkiä, niin luku on positiivinen. , eli sen edessä on kyltti " "

Siirretty? Mitä sinä sait?

Ainoa mitä on tehtävä, on tuoda samanlaiset ehdot. Esitämme:

Joten olemme onnistuneesti analysoineet ensimmäisen identtisen muunnoksen, vaikka olen varma, että tiesit sen ja käytit sitä aktiivisesti ilman minua. Tärkeintä ei ole unohtaa numeroiden merkkejä ja vaihtaa ne vastakkaisiin, kun siirryt yhtäläisyysmerkin kautta!

Kerto-jako.

Aloitetaan heti esimerkillä

Katsotaan ja mietitään: mistä emme pidä tässä esimerkissä? Tuntematon on kaikki yhdessä osassa, tunnettu on toisessa, mutta jokin pysäyttää meidät... Ja tämä jokin on neljä, koska jos sitä ei olisi olemassa, kaikki olisi täydellistä - x on yhtä kuin luku - täsmälleen kuten tarvitsemme!

Miten siitä pääsee eroon? Emme voi siirtää sitä oikealle, koska silloin meidän on siirrettävä koko kerrointa (emme voi ottaa sitä ja repiä sitä pois), eikä myöskään koko kertoimen siirtäminen ole järkevää...

On aika muistaa jako, joten jaetaan kaikki sillä! Kaikki - tämä tarkoittaa sekä vasenta että oikeaa puolta. Näin ja vain näin! Mitä olemme tekemässä?

Tässä on vastaus.

Katsotaanpa nyt toista esimerkkiä:

Osaatko arvata, mitä tässä tapauksessa pitää tehdä? Aivan oikein, kerro vasen ja oikea puoli! Millaisen vastauksen sait? Oikein. .

Varmasti kaikessa on kyse identiteetin muunnoksia tiesit jo. Ajattele, että olemme yksinkertaisesti päivittäneet tämän tiedon muistissasi ja on aika tehdä jotain muuta - Esimerkiksi ratkaista iso esimerkkimme:

Kuten aiemmin sanoimme, sitä tarkasteltuna et voi sanoa, että tämä yhtälö on lineaarinen, mutta meidän on avattava sulut ja suoritettava identtiset muunnokset. Joten aloitetaan!

Aluksi muistamme lyhennetyn kertolaskukaavat, erityisesti summan neliön ja erotuksen neliön. Jos et muista, mikä se on ja miten sulut avataan, suosittelen lämpimästi aiheen lukemista, sillä näistä taidoista on sinulle hyötyä, kun ratkaiset melkein kaikki kokeessa kohtaamat esimerkit.
Paljastettu? Verrataan:

Nyt on aika tuoda samanlaiset termit. Muistatko kuinka olimme samassa tilanteessa ala-aste sanoivatko he "emme laita kärpäsiä kotlettien kanssa"? Tässä muistutan teitä tästä. Lisäämme kaikki erikseen - tekijät, joilla on, tekijät, joilla on, ja muut tekijät, joilla ei ole tuntemattomia. Kun tuot samanlaisia ​​termejä, siirrä kaikki tuntemattomat vasemmalle ja kaikki tunnetut oikealle. Mitä sinä sait?

Kuten näette, X:t ruudusta ovat kadonneet ja näemme jotain täysin normaalia. lineaarinen yhtälö. Jäljelle jää vain löytää se!

Ja lopuksi sanon vielä yhden erittäin tärkeän asian identiteettimuunnoksista - identiteettimuunnoksia voidaan soveltaa lineaaristen yhtälöiden lisäksi myös neliö-, murto-rationaalisille ja muille. Sinun tarvitsee vain muistaa, että kun siirrämme tekijöitä yhtäläisyysmerkin kautta, vaihdamme merkin vastakkaiseksi ja jakamalla tai kertomalla jollakin luvulla, kerromme/jaamme yhtälön molemmat puolet SAMALLA luvulla.

Mitä muuta otit pois tästä esimerkistä? Että yhtälöä katsomalla ei aina voida suoraan ja tarkasti määrittää, onko se lineaarinen vai ei. Ensin on välttämätöntä yksinkertaistaa ilmaus kokonaan ja vasta sitten arvioida, mikä se on.

Lineaariset yhtälöt. Esimerkkejä.

Tässä on vielä pari esimerkkiä, joita voit harjoitella itse – selvitä, onko yhtälö lineaarinen, ja jos on, etsi sen juuret:

Vastaukset:

1. On.

2. Ei ole.

Avataan sulut ja esitellään samanlaiset termit:

Suoritetaan identtinen muunnos - jaa vasen ja oikea puoli:

Näemme, että yhtälö ei ole lineaarinen, joten sen juuria ei tarvitse etsiä.

3. On.

Suoritetaan identtinen muunnos - kerrotaan vasen ja oikea puoli päästäksesi eroon nimittäjästä.

Mieti, miksi se on niin tärkeää? Jos tiedät vastauksen tähän kysymykseen, siirry yhtälön edelleen ratkaisemiseen; jos et, muista tutkia aihetta, jotta et tee virheitä lisää monimutkaisia ​​esimerkkejä. Muuten, kuten näet, tilanne on mahdoton. Miksi?
Joten mennään eteenpäin ja järjestellään yhtälö uudelleen:

Jos onnistuit kaiken ilman vaikeuksia, puhutaanpa lineaarisista yhtälöistä, joissa on kaksi muuttujaa.

Lineaariset yhtälöt kahdessa muuttujassa

Siirrytään nyt hieman monimutkaisempiin - lineaarisiin yhtälöihin, joissa on kaksi muuttujaa.

Lineaariset yhtälöt kahdella muuttujalla on muoto:

Missä ja - mitkä tahansa numerot ja.

Kuten näet, ainoa ero on, että yhtälöön lisätään toinen muuttuja. Ja niin kaikki on sama - ei ole x:n neliötä, ei jakoa muuttujalla jne. ja niin edelleen.

Millaisen elämänesimerkin voin antaa sinulle... Otetaan sama Vasya. Oletetaan, että hän päätti antaa jokaiselle kolmelle ystävälle saman määrän omenoita ja pitää omenat itselleen. Kuinka monta omenaa Vasyan pitää ostaa, jos hän antaa jokaiselle ystävälle omenan? Entä? Mitä jos mennessä?

Riippuvuus omenoiden määrästä, jonka jokainen henkilö saa kokonaismäärä omenat, jotka on ostettava, ilmaistaan ​​yhtälöllä:

• - omenoiden määrä, jonka henkilö saa (, tai, tai);
• - omenoiden määrä, jonka Vasya ottaa itselleen;
• - kuinka monta omenaa Vasyan on ostettava, kun otetaan huomioon omenoiden määrä henkilöä kohti?

Ratkaisemalla tämän ongelman, saamme, että jos Vasya antaa yhdelle ystävälle omenan, hänen on ostettava kappaleita, jos hän antaa omenoita jne.

Ja yleisesti ottaen. Meillä on kaksi muuttujaa. Mikset piirtäisi tätä suhdetta kaavioon? Rakennamme ja merkitsemme omamme arvon eli pisteet koordinaateilla ja!

Kuten näet, ne ovat riippuvaisia ​​toisistaan lineaarinen, tästä syystä yhtälöiden nimi - " lineaarinen».

Otetaan abstrakti omenoista ja tarkastellaan erilaisia ​​yhtälöitä graafisesti. Katso huolellisesti kahta muodostettua kuvaajaa - suoraa ja paraabelia, jotka on määritetty mielivaltaisilla funktioilla:

Etsi ja merkitse molemmista kuvista vastaavat pisteet.
Mitä sinä sait?

Näet sen ensimmäisen funktion kaaviosta yksin vastaa yksi, eli ne ovat myös lineaarisesti riippuvaisia ​​toisistaan, mitä ei voida sanoa toisesta funktiosta. Voit tietysti väittää, että toisessa kaaviossa x - vastaa myös, mutta tämä on vain yksi piste, eli erikoistapaus, koska voit silti löytää sellaisen, joka vastaa useampaa kuin yhtä. Ja rakennettu graafi ei muistuta millään tavalla suoraa, vaan on paraabeli.

Toistan vielä kerran: lineaarisen yhtälön kaavion on oltava SUORA.

Sillä, että yhtälö ei ole lineaarinen, jos mennään mihinkään asteeseen - tämä on selvää paraabelin esimerkillä, vaikka voit rakentaa itsellesi muutaman yksinkertaisen kaavion, esimerkiksi tai. Mutta vakuutan teille - yksikään niistä ei ole SUORA.

Älä usko? Rakenna se ja vertaa sitä siihen mitä sain:

Mitä tapahtuu, jos jaamme jotain esimerkiksi jollain luvulla? Tuleeko lineaarinen suhde ja? Älkäämme riidelkö, vaan rakentakaamme! Rakennetaan esimerkiksi funktion kaavio.

Jotenkin se ei näytä siltä, ​​​​että se olisi rakennettu suoraksi... vastaavasti yhtälö ei ole lineaarinen.
Tehdään yhteenveto:

1. Lineaarinen yhtälö - on algebrallinen yhtälö, jossa sen muodostavien polynomien kokonaisaste on yhtä suuri.
2. Lineaarinen yhtälö yhdellä muuttujalla on muoto:
   , missä ja ovat mitkä tahansa numerot;
   Lineaarinen yhtälö kahdella muuttujalla:
   , missä ja ovat mitkä tahansa numerot.
3. Aina ei ole mahdollista heti määrittää, onko yhtälö lineaarinen vai ei. Joskus tämän ymmärtämiseksi on tarpeen suorittaa identtisiä muunnoksia, siirtää samanlaisia ​​termejä vasemmalle/oikealle unohtamatta muuttaa etumerkkiä tai kertoa/jakaa yhtälön molemmat puolet samalla numerolla.

LINEAARISET YHTÄLÖT. LYHYESTI PÄÄASIJOISTA

1. Lineaarinen yhtälö

Tämä on algebrallinen yhtälö, jossa sen muodostavien polynomien kokonaisaste on yhtä suuri.

2. Lineaarinen yhtälö yhdellä muuttujalla on muotoa:

Missä ja ovat numeroita;

3. Lineaarinen yhtälö kahdella muuttujalla on muotoa:

Missä ja - mitkä tahansa numerot.

4. Identiteettimuunnokset

Sen määrittämiseksi, onko yhtälö lineaarinen vai ei, on suoritettava identtiset muunnokset:

• siirrä samanlaisia ​​termejä vasemmalle/oikealle unohtamatta vaihtaa merkkiä;
• kerro/jaa yhtälön molemmat puolet samalla luvulla.

No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, se tarkoittaa, että olet erittäin siisti.

Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos luet loppuun, olet tässä 5 %:ssa!

Nyt se tärkein asia.

Olet ymmärtänyt tämän aiheen teorian. Ja toistan, tämä... tämä on aivan super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.

Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...

Minkä vuoksi?

varten onnistuneen valmistumisen Unified State Exam, pääsy korkeakouluun budjetilla ja, TÄRKEIMMÄN, elinikäinen.

En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian...

Hyvän koulutuksen saaneet ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Tämä on tilastoa.

Mutta tämä ei ole pääasia.

Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia ​​tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heidän edessään on paljon avoimempaa lisää mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...

Mutta ajattele itse...

Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut Unified State -kokeessa ja lopulta... onnellisempi?

SAADA KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.

Sinulta ei kysytä teoriaa kokeen aikana.

Tarvitset ratkaista ongelmia aikaa vastaan.

Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai sinulla ei yksinkertaisesti ole aikaa.

Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa se monta kertaa voittaaksesi varmasti.

Löydä kokoelma missä haluat, välttämättä ratkaisuilla, yksityiskohtainen analyysi ja päätä, päätä, päätä!

Voit käyttää tehtäviämme (valinnainen) ja me tietysti suosittelemme niitä.

Jotta voisit paremmin käyttää tehtäviämme, sinun on pidennettävä parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.

Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:

1. Avaa kaikki tämän artikkelin piilotetut tehtävät -
2. Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa oppikirjan 99 artikkelissa - Osta oppikirja - 499 RUR

Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassamme ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata välittömästi.

Pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin tarjotaan sivuston KOKO käyttöiän ajan.

Tiivistettynä...

Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain pysähdy teoriaan.

"Ymmärretty" ja "osaan ratkaista" ovat täysin eri taitoja. Tarvitset molemmat.

Etsi ongelmia ja ratkaise ne!

Matematiikan yhtälöt ovat yhtä tärkeitä kuin verbit venäjäksi. Ilman kykyä löytää yhtälön juurta on vaikea sanoa, että opiskelija on hallinnut algebran kurssin. Lisäksi jokaisella tyypillä on omat erikoisratkaisunsa.

Mikä se on?

Yhtälö on kaksi mielivaltaista lauseketta, jotka sisältävät muuttujia, joiden väliin sijoitetaan yhtäläisyysmerkki. Lisäksi tuntemattomien määrien määrä voi olla mielivaltainen. Vähimmäismäärä on yksi.

Sen ratkaiseminen tarkoittaa, että selvitetään, onko yhtälön juuria olemassa. Eli luku, joka muuttaa sen todelliseksi tasa-arvoksi. Jos ei ole, niin vastaus on väite, että "ei ole juuria". Mutta päinvastoin voi myös olla totta, kun vastaus on joukko numeroita.

Minkä tyyppisiä yhtälöitä on olemassa?

Lineaarinen. Se sisältää muuttujan, jonka aste on yhtä suuri kuin yksi.

• Neliö. Muuttujan potenssi on 2, tai muunnokset saavat aikaan sellaisen potenssin.
• Korkeimman asteen yhtälö.
• Murto-rationaalinen. Kun muuttuja esiintyy murtoluvun nimittäjässä.
• Moduulin kanssa.
• Irrationaalinen. Eli sellainen, joka sisältää algebrallisen juuren.

Kuinka ratkaista lineaarinen yhtälö?

Se on perus. Tämä on ilme, jonka kaikki muut pyrkivät saavuttamaan. Koska yhtälön juurien löytäminen on melko helppoa.

• Ensin sinun on suoritettava mahdolliset muunnokset, eli avattava sulut ja tuotava samanlaiset termit.
• Siirrä kaikki monomiaalit kohteesta muuttuja tasa-arvon vasemmalle puolelle jättäen vapaat ehdot oikealle.
• Anna samanlaiset termit jokaisessa ratkaistavan yhtälön osassa.
• Tuloksena olevassa yhtälössä vasen puolisko sisältää kertoimen ja muuttujan tulon ja oikea puolikas luvun.
• On vielä löydettävä yhtälön juuri jakamalla oikealla oleva luku tuntemattoman edessä olevalla kertoimella.

Kuinka löytää toisen asteen yhtälön juuret?

Ensin se on saatettava vakiomuotoon, eli avata kaikki sulut, tuoda samanlaiset termit ja siirrettävä kaikki monomiaalit vasemmalle puolelle. Tasa-arvon oikealla puolella saa olla vain nolla.

• Käytä erottelukaavaa. Tuntemattoman kertoimen neliöinti potenssilla "1". Kerro vapaa monomi ja muuttujan edessä oleva luku neliöitynä luvun 4 kanssa. Vähennä tulo saadusta neliöstä.
• Arvioi erottimen arvo. Se on negatiivinen - ratkaisu on valmis, koska sillä ei ole juuria. Sama kuin nolla - vastaus on yksi numero. Positiivinen - muuttujalla on kaksi arvoa.

Kuinka ratkaista kuutioyhtälö?

Etsi ensin yhtälön x juuri. Se määritetään valitsemalla numerot, jotka ovat vapaan termin jakajia. On kätevää harkita tätä menetelmää osoitteessa konkreettinen esimerkki. Olkoon yhtälö: x 3 - 3x 2 - 4x + 12 = 0.

Sen valetermi on 12. Tällöin tarkastettavat jakajat ovat positiivisia ja negatiivisia lukuja: 1, 2, 3, 4, 6 ja 12. Haku voidaan suorittaa loppuun jo numerolla 2. Se antaa oikean yhtälön yhtälössä. Eli sen vasen puoli osoittautuu nollaksi. Joten luku 2 on kuutioyhtälön ensimmäinen juuri.

Nyt sinun on jaettava alkuperäinen yhtälö muuttujan ja ensimmäisen juuren erolla. Tietyssä esimerkissä se on (x - 2). Yksinkertainen muunnos johtaa osoittajan seuraavaan tekijöihin: (x - 2)(x + 2)(x - 3). Samat osoittajan ja nimittäjän tekijät peruuttavat, ja loput kaksi sulkumerkkiä avattaessa antavat yksinkertaisen toisen asteen yhtälö: x 2 - x - 6 = 0.

Etsi tästä yhtälön kaksi juuria edellisessä osiossa kuvatulla periaatteella. Ne osoittautuvat numeroiksi: 3 ja -2.

Yhteensä tietyllä kuutioyhtälöllä on kolme juuria: 2, -2 ja 3.

Miten lineaariyhtälöjärjestelmät ratkaistaan?

Tässä ehdotetaan menetelmää tuntemattomien poistamiseksi. Se koostuu yhden tuntemattoman ilmaisemisesta toisella yhdessä yhtälössä ja tämän lausekkeen korvaamisesta toisella. Lisäksi ratkaisu kahdesta yhtälöstä, jossa on kaksi tuntematonta, on aina muuttujapari.

Jos muuttujat niissä on merkitty kirjaimilla x 1 ja x 2, niin ensimmäisestä yhtälöstä voidaan johtaa esim. x 2. Sitten se korvataan toisella. Tarvittava muunnos suoritetaan: sulujen avaaminen ja samanlaisten termien tuominen. Tuloksena on yksinkertainen lineaarinen yhtälö, jonka juuri on helppo laskea.

Palaa nyt takaisin ensimmäiseen yhtälöön ja etsi yhtälön x 2 juuri käyttämällä tuloksena olevaa yhtälöä. Nämä kaksi numeroa ovat vastaus.

Varmistaaksesi vastauksen, on suositeltavaa aina tarkistaa. Sitä ei tarvitse kirjoittaa ylös.

Jos yhtä yhtälöä ratkaistaan, niin jokainen sen juuri on korvattava alkuperäisellä yhtälöllä ja saatava samat luvut molemmille puolille. Kaikki meni yhteen - päätös oli oikea.

Kun työskentelet järjestelmän kanssa, juuret on lisättävä jokaiseen liuokseen ja kaikkiin mahdollisia toimia. Onko yhtälö oikea? Päätös on siis oikea.

Lineaarinen yhtälö on algebrallinen yhtälö, jonka polynomien kokonaisaste on yksi. Lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen - osa koulun opetussuunnitelma, eikä se kaikkein vaikein. Joillakin on kuitenkin edelleen vaikeuksia saada tämä aihe loppuun. Toivomme, että tämän materiaalin lukemisen jälkeen kaikki sinulle liittyvät vaikeudet jäävät menneisyyteen. Joten, selvitetään se. kuinka ratkaista lineaariset yhtälöt.

Yleinen muoto

Lineaarinen yhtälö esitetään seuraavasti:

• ax + b = 0, missä a ja b ovat mitä tahansa lukuja.

Vaikka a ja b voivat olla mikä tahansa luku, niiden arvot vaikuttavat yhtälön ratkaisujen määrään. Ratkaisuja on useita erityistapauksia:

• Jos a=b=0, yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja;
• Jos a=0, b≠0, yhtälöllä ei ole ratkaisua;
• Jos a≠0, b=0, yhtälöllä on ratkaisu: x = 0.

Jos molemmilla luvuilla on nollasta poikkeavat arvot, yhtälö on ratkaistava muuttujan lopullisen lausekkeen johtamiseksi.

Miten päättää?

Lineaarisen yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa sitä, että selvitetään, mikä muuttuja on yhtä suuri. Miten tämä tehdään? Kyllä, se on hyvin yksinkertaista - käyttämällä yksinkertaisia ​​algebrallisia operaatioita ja noudattamalla siirtosääntöjä. Jos yhtälö näkyy edessäsi yleisessä muodossa, olet onnekas; sinun tarvitsee vain:

1. Siirrä b yhtälön oikealle puolelle, unohtamatta muuttaa etumerkkiä (siirtosääntö!), joten muotoa ax + b = 0 olevasta lausekkeesta tulisi saada muodon lauseke: ax = -b.
2. Käytä sääntöä: löytääksesi yhden tekijöistä (x - meidän tapauksessamme), sinun on jaettava tuote (-b meidän tapauksessamme) toisella tekijällä (a - meidän tapauksessamme). Siten sinun pitäisi saada lauseke muotoa: x = -b/a.

Siinä se - ratkaisu on löydetty!

Katsotaanpa nyt konkreettista esimerkkiä:

1. 2x + 4 = 0 - siirrä b, joka on tässä tapauksessa yhtä suuri kuin 4, oikealle puolelle
2. 2x = -4 - jaa b a:lla (älä unohda miinusmerkkiä)
3. x = -4/2 = -2

Siinä kaikki! Ratkaisumme: x = -2.

Kuten näet, ratkaisu yhden muuttujan lineaariseen yhtälöön on melko yksinkertainen löytää, mutta kaikki on niin yksinkertaista, jos meillä on onni törmätä yhtälöön sen yleisessä muodossa. Useimmissa tapauksissa, ennen kuin ratkaiset yhtälön kahdessa yllä kuvatussa vaiheessa, sinun on myös vähennettävä olemassa oleva lauseke muotoon yleinen ulkonäkö. Tämä ei kuitenkaan ole äärimmäisen vaikea tehtävä. Katsotaanpa joitain erikoistapauksia esimerkkien avulla.

Erikoistapausten ratkaiseminen

Ensin tarkastellaan tapauksia, joita kuvailimme artikkelin alussa, ja selitetään, mitä tarkoittaa ääretön määrä ratkaisuja ja ei ratkaisua.

• Jos a=b=0, yhtälö näyttää tältä: 0x + 0 = 0. Suorittamalla ensimmäinen vaihe, saamme: 0x = 0. Mitä tämä hölynpöly tarkoittaa, huudat! Loppujen lopuksi, riippumatta siitä, minkä luvun kerrot nollalla, saat aina nollan! Oikein! Siksi he sanovat, että yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja - riippumatta siitä, minkä luvun otat, yhtälö on totta, 0x = 0 tai 0 = 0.
• Jos a=0, b≠0, yhtälö näyttää tältä: 0x + 3 = 0. Suorita ensimmäinen vaihe, saamme 0x = -3. Taas hölynpölyä! On selvää, ettei tämä tasa-arvo koskaan tule olemaan totta! Siksi he sanovat, että yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
• Jos a≠0, b=0, yhtälö näyttää tältä: 3x + 0 = 0. Suorittamalla ensimmäinen vaihe saadaan: 3x = 0. Mikä on ratkaisu? Se on helppoa, x = 0.

Kadonnut käännettäessä

Kuvatut erikoistapaukset eivät ole kaikki, joilla lineaariyhtälöt voivat yllättää meidät. Joskus yhtälöä on vaikea tunnistaa ensi silmäyksellä. Katsotaanpa esimerkkiä:

• 12x - 14 = 2x + 6

Onko tämä lineaarinen yhtälö? Entä oikealla puolella oleva nolla? Emme kiirehdi johtopäätöksiin, vaan toimimme - siirrämme kaikki yhtälömme komponentit vasemmalle puolelle. Saamme:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Nyt kun vähennät samankaltaisesta, saamme:

• 10x - 20 = 0

Oppinut? Lineaarisin yhtälö ikinä! Ratkaisu, johon on: x = 20/10 = 2.

Mitä jos meillä on tämä esimerkki:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Kyllä, tämä on myös lineaarinen yhtälö, vain lisää muunnoksia on suoritettava. Avataan ensin sulut:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - nyt suoritamme siirron:
4. 25x - 4 = 0 - on vielä löydettävä ratkaisu jo tunnetun kaavion avulla:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0,16

Kuten näet, kaikki voidaan ratkaista, tärkeintä ei ole huolehtia, vaan toimia. Muista, että jos yhtälösi sisältää vain ensimmäisen asteen muuttujia ja lukuja, sinulla on lineaarinen yhtälö, joka, riippumatta siitä miltä se alun perin näyttää, voidaan pelkistää yleiseen muotoon ja ratkaista. Toivomme, että kaikki toimii sinulle! Onnea!

Lineaarisia yhtälöitä ratkaistaessa pyrimme löytämään juurin eli arvon muuttujalle, joka muuttaa yhtälön oikeaksi yhtälöksi.

Löytääksesi tarvitsemasi yhtälön juuren vastaavat muunnokset tuovat meille annetun yhtälön muotoon

\(x=[numero]\)

Tästä numerosta tulee juuri.

Toisin sanoen muunnamme yhtälöä yksinkertaistaen sitä jokaisella askeleella, kunnes pelkistämme sen täysin primitiiviseksi yhtälöksi “x = numero”, jossa juuri on ilmeinen. Useimmin käytetyt muunnokset lineaaristen yhtälöiden ratkaisemisessa ovat seuraavat:

Esimerkiksi: lisää \(5\) yhtälön \(6x-5=1\) molemmille puolille

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Huomaa, että voisimme saada saman tuloksen nopeammin kirjoittamalla viisi yhtälön toiselle puolelle ja muuttamalla sen etumerkkiä. Oikeastaan ​​juuri näin tehdään koulun "siirto tasavertaisten kautta merkin muutoksella päinvastaiseksi".

2. Yhtälön molempien puolten kertominen tai jakaminen samalla luvulla tai lausekkeella.

Esimerkiksi: jaa yhtälö \(-2x=8\) miinus kahdella

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Tyypillisesti tämä vaihe suoritetaan aivan lopussa, kun yhtälö on jo pelkistetty muotoon \(ax=b\), ja poistamme sen vasemmalta jakamalla \(a\).

3. Matematiikan ominaisuuksien ja lakien käyttäminen: sulkeiden avaaminen, samankaltaisten termien tuominen, murtolukujen pienentäminen jne.

Lisää \(2x\) vasen ja oikea

Vähennä \(24\) yhtälön molemmilta puolilta

Esittelemme samanlaiset termit uudelleen

Nyt jaamme yhtälön arvolla \(-3\), jolloin poistetaan etu-X vasemmalta puolelta.

Vastaus : \(7\)

Vastaus on löytynyt. Tarkastellaanpa kuitenkin. Jos seitsemän on todella juuri, niin kun se korvataan X:n sijaan alkuperäisessä yhtälössä, pitäisi saada oikea yhtälö - samat numerot vasemmalla ja oikealla. Kokeillaan.

Tutkimus:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Se onnistui. Tämä tarkoittaa, että seitsemän on todellakin alkuperäisen lineaarisen yhtälön juuri.

Älä ole laiska tarkistamaan korvaamalla löytämiäsi vastauksia, varsinkin jos ratkaiset yhtälön kokeessa tai kokeessa.

Kysymys on edelleen - kuinka määrittää, mitä tehdä yhtälön kanssa seuraavassa vaiheessa? Miten se oikein muunnetaan? Jaa jollain? Tai vähennä? Ja mitä minun pitäisi oikein vähentää? Jaa millä?

Vastaus on yksinkertainen:

Tavoitteesi on viedä yhtälö muotoon \(x=[luku]\), eli vasemmalla on x ilman kertoimia ja lukuja ja oikealla vain luku ilman muuttujia. Siksi katso, mikä estää sinua ja tee päinvastoin kuin häiritsevä komponentti.

Tämän ymmärtämiseksi paremmin tarkastellaan lineaarisen yhtälön \(x+3=13-4x\) ratkaisua askel askeleelta.

Ajatellaanpa: miten tämä yhtälö eroaa \(x=[luku]\)? Mikä meitä estää? Mikä hätänä?

No, ensinnäkin, kolme häiritsee, koska vasemmalla pitäisi olla vain yksittäinen X, ilman numeroita. Mitä troikka "tekee"? Lisätty X:lle. Joten sen poistamiseksi - vähentää samat kolme. Mutta jos vähennämme kolme vasemmalta, meidän on vähennettävä se oikealta, jotta tasa-arvoa ei rikota.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Hieno. Mikä sinua nyt estää? \(4x\) oikealla, koska siellä saa olla vain numeroita. \(4x\) vähennetään- poistamme lisäämällä.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Nyt esittelemme samanlaisia ​​termejä vasemmalla ja oikealla.

Se on melkein valmis. Jäljelle jää vain poistaa vasemmalla oleva viisi. Mitä hän tekee"? Kertoo kohdassa x. Joten poistetaan se jako.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Ratkaisu on valmis, yhtälön juuri on kaksi. Voit tarkistaa vaihtamalla.

huomaa, että Useimmiten lineaarisissa yhtälöissä on vain yksi juuri. Kaksi erikoistapausta voi kuitenkin tapahtua.

Erikoistapaus 1 – lineaarisessa yhtälössä ei ole juuria.

Esimerkki . Ratkaise yhtälö \(3x-1=2(x+3)+x\)

Ratkaisu :

Vastaus : ei juuria.

Itse asiassa se tosiasia, että tulemme tällaiseen tulokseen, näkyi aiemmin, vaikka saimme \(3x-1=3x+6\). Ajattele sitä: kuinka \(3x\), josta vähennimme \(1\), ja \(3x\), johon lisäsimme \(6\), voivat olla yhtä suuria? Ilmeisesti ei mitenkään, koska he tekivät eri asioita samalla asialla! On selvää, että tulokset vaihtelevat.

Erikoistapaus 2 – lineaarisella yhtälöllä on ääretön määrä juuria.

Ratkaisu :

Vastaus : mikä tahansa numero.

Tämä oli muuten havaittavissa jo aikaisemmin, vaiheessa: \(8x+12=8x+12\). Oikeastaan ​​vasen ja oikea ovat samoja ilmaisuja. Minkä X:n korvaat, se on sama numero sekä siellä että siellä.

Monimutkaisemmat lineaariyhtälöt.

Alkuperäinen yhtälö ei aina heti näytä lineaariselta, vaan joskus se "naamioituu" muiksi, monimutkaisemmiksi yhtälöiksi. Muutosprosessissa naamio kuitenkin katoaa.

Esimerkki . Etsi yhtälön juuri \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Ratkaisu :

Vastaus : \(x=5\)

Esimerkki . Ratkaise lineaarinen yhtälö \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Ratkaisu :

Vastaus : \(x=-1,25\)