Eri nimittäjien sekamurtolukujen lisääminen. Kuinka vähentää murtolukuja eri nimittäjillä

Murtolausekkeita on lapsen vaikea ymmärtää. Useimmilla ihmisillä on vaikeuksia. Kun tutkitaan aihetta "murtolukujen lisääminen kokonaislukuihin", lapsi joutuu umpikujaan, ja hänen on vaikea ratkaista tehtävää. Monissa esimerkeissä on suoritettava sarja laskelmia ennen kuin toiminto voidaan suorittaa. Esimerkiksi muunna murtolukuja tai käännä väärä murtoluku oikeaan.

Selitä lapselle selkeästi. Ota kolme omenaa, joista kaksi on kokonaisia ja kolmas leikataan 4 osaan. Erottele yksi siivu leikatusta omenasta ja laita loput kolme kahden kokonaisen hedelmän viereen. Saamme ¼ omenaa toiselle puolelle ja 2 ¾ toiselle puolelle. Jos yhdistämme ne, saadaan kolme kokonaista omenaa. Yritetään vähentää 2 ¾ omenaa ¼:llä, eli poistamalla vielä yksi siivu, saadaan 2 2/4 omenaa.

Tarkastellaan lähemmin toimintoja murtoluvuilla, jotka sisältävät kokonaislukuja:

Muistetaan ensin laskentasääntö murto-osalausekkeille, joilla on yhteinen nimittäjä:

Ensi silmäyksellä kaikki on helppoa ja yksinkertaista. Mutta tämä koskee vain lausekkeita, jotka eivät vaadi muuntamista.

Kuinka löytää arvo lausekkeelle, jonka nimittäjät ovat erilaiset

Joissakin tehtävissä on tarpeen löytää arvo lausekkeelle, jossa nimittäjät ovat erilaiset. Harkitse tiettyä tapausta:
3 2/7+6 1/3

Etsi tämän lausekkeen arvo, tälle löydämme yhteisen nimittäjän kahdelle murtoluvulle.

Numeroille 7 ja 3 tämä on 21. Jätetään kokonaislukuosat ennalleen ja vähennämme murto-osat 21:een, tätä varten kerromme ensimmäisen murto-osan 3:lla, toisen 7:llä, saamme:
21.6.+7.21., älä unohda, että kokonaisia osia ei muunneta. Tuloksena saadaan kaksi murto-osaa yhdellä nimittäjällä ja lasketaan niiden summa:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Entä jos summauksen tulos on väärä murtoluku, jolla on jo kokonaislukuosa:
2 1/3+3 2/3
Tässä tapauksessa lisäämme kokonaislukuosat ja murto-osat, saamme:
5 3/3, kuten tiedät, 3/3 on yksi, joten 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Summan löytämisessä kaikki on selvää, analysoidaan vähennys:

Kaikesta sanotusta seuraa sekalukujen operaatiosääntö, joka kuulostaa tältä:

Jos murtolausekkeesta on vähennettävä kokonaisluku, ei toista lukua tarvitse esittää murtolukuna, riittää, että toimitaan vain kokonaislukuosilla.

Yritetään laskea lausekkeiden arvo itse:

Katsotaanpa lisää esimerkkiä kirjaimen "m" alla:

4 5/11-2 8/11, ensimmäisen murtoluvun osoittaja on pienempi kuin toisen. Tätä varten otamme yhden kokonaisluvun ensimmäisestä murtoluvusta, saamme
3 5/11+11/11=3 kokonainen 16/11, vähennä toinen ensimmäisestä murtoluvusta:
3 16/11-2 8/11 = 1 koko 8/11

Ole varovainen suorittaessasi tehtävää, älä unohda muuntaa väärät murtoluvut sekamurtoiksi korostamalla koko osaa. Tätä varten on tarpeen jakaa osoittajan arvo nimittäjän arvolla, jolloin tapahtui kokonaislukuosan tilalle, loppuosa on osoittaja, esimerkiksi:

19/4=4 ¾, tarkistus: 4*4+3=19, nimittäjässä 4 pysyy ennallaan.

Yhteenveto:

Ennen kuin ryhdytään murtolukuihin liittyvään tehtävään, on analysoitava, millainen lauseke se on, mitä muunnoksia murtoluvulle pitää tehdä, jotta ratkaisu olisi oikea. Etsi järkevämpiä ratkaisuja. Älä mene vaikeampaa tietä. Suunnittele kaikki toimet, päätä ensin luonnosversiossa ja siirrä sitten kouluvihkoon.

Sekaannusten välttämiseksi murtolausekkeita ratkaistaessa on tarpeen noudattaa sekvenssisääntöä. Päätä kaikki huolellisesti, kiirehtimättä.

Murtolukujen lisääminen ja vähentäminen samoilla nimittäjillä
Murtolukujen lisääminen ja vähentäminen kanssa eri nimittäjiä
NOC:n käsite
Murtolukujen tuominen samaan nimittäjään
Kuinka lisätä kokonaisluku ja murtoluku

1 Murtolukujen yhteenlasku ja vähentäminen samoilla nimittäjillä

Jos haluat lisätä murtolukuja samoilla nimittäjillä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen, esimerkiksi:

Jos haluat vähentää murto-osia, joilla on sama nimittäjä, vähennä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätä nimittäjä ennalleen, esimerkiksi:

Jos haluat lisätä sekamurtolukuja, sinun on lisättävä erikseen niiden kokonaiset osat ja sitten niiden murto-osat ja kirjoitettava tulos sekoitettuna murto-osana,

Jos murto-osia lisättäessä saadaan väärä murtoluku, valitsemme siitä kokonaislukuosan ja lisäämme sen kokonaislukuosaan, esimerkiksi:

2 Eri nimittäjien murtolukujen yhteen- ja vähennys

Jos haluat lisätä tai vähentää murtolukuja, joilla on eri nimittäjä, sinun on ensin saatava ne samaan nimittäjään ja toimittava tämän artikkelin alussa osoitetulla tavalla. Useiden murtolukujen yhteinen nimittäjä on LCM (pienin yhteinen monikerta). Kunkin murtoluvun osoittajalle löydetään lisätekijät jakamalla LCM tämän murtoluvun nimittäjällä. Katsomme esimerkkiä myöhemmin, kun olemme selvittäneet, mikä LCM on.

3 Vähiten yhteinen kerrannainen (LCM)

Kahden luvun pienin yhteinen kerrannainen (LCM) on pienin luonnollinen luku, joka on jaollinen molemmilla näillä luvuilla ilman jäännöstä. Joskus NOC:t voidaan poimia suullisesti, mutta useammin, varsinkin kun työskentelet niiden kanssa suuria lukuja, sinun on löydettävä LCM kirjallisesti seuraavan algoritmin avulla:

Jotta voit löytää useiden numeroiden LCM:n, tarvitset:

Jaa nämä luvut alkutekijöiksi
Ota suurin laajennus ja kirjoita nämä luvut tuotteeksi
Valitse muissa laajennuksissa luvut, jotka eivät esiinny suurimmassa laajennuksessa (tai esiintyvät siinä pienempiä kertoja) ja lisää ne tuotteeseen.
Kerro kaikki tuotteessa olevat luvut, tämä on LCM.

Etsitään esimerkiksi numeroiden 28 ja 21 LCM:

4 Murtolukujen pelkistäminen samaan nimittäjään

Palataan eri nimittäjien murtolukujen lisäämiseen.

Kun vähennämme murtoluvut samaan nimittäjään, joka on yhtä suuri kuin molempien nimittäjien LCM, meidän on kerrottava näiden murtolukujen osoittajat lisäkertoimia. Löydät ne jakamalla LCM:n vastaavan murtoluvun nimittäjällä, esimerkiksi:

Jotta murtoluvut saadaan yhdeksi indikaattoriksi, sinun on ensin löydettävä näiden murtolukujen nimittäjien LCM (eli pienin luku, joka on jaollinen molemmilla nimittäjillä) ja asetettava sitten lisäkertoimet murtolukujen osoittajiin. Löydät ne jakamalla yhteisen nimittäjän (LCD) vastaavan murtoluvun nimittäjällä. Sitten sinun on kerrottava kunkin murto-osan osoittaja lisäkertoimella ja asetettava LCM nimittäjäksi.

5 Kuinka lisätä kokonaisluku ja murtoluku

Jos haluat lisätä kokonaisluvun ja murtoluvun, sinun tarvitsee vain lisätä tämä luku murtoluvun eteen, ja saat esimerkiksi sekamurtoluvun.

§ 87. Murtolukujen lisääminen.

Murtolukujen lisäämisessä on monia yhtäläisyyksiä kokonaislukujen lisäämiseen. Murtolukujen yhteenlasku on toimenpide, joka koostuu siitä, että useita annettuja lukuja (termejä) yhdistetään yhdeksi luvuksi (summaksi), joka sisältää kaikki termien yksiköiden yksiköt ja murto-osat.

Käsittelemme kolmea tapausta peräkkäin:

1. Murtolukujen yhteenlasku, joilla on sama nimittäjä.
2. Eri nimittäjien murtolukujen yhteenlasku.
3. Sekalukujen lisääminen.

1. Murtolukujen yhteenlasku, joilla on sama nimittäjä.

Harkitse esimerkkiä: 1/5 + 2/5 .

Ota segmentti AB (kuva 17), ota se yksikkönä ja jaa 5:llä yhtä suuret osat, silloin tämän segmentin osa AC on yhtä suuri kuin 1/5 segmentistä AB ja saman segmentin CD osa on 2/5 AB.

Piirustuksesta voidaan nähdä, että jos otamme segmentin AD, niin se on yhtä suuri kuin 3/5 AB; mutta segmentti AD on juuri segmenttien AC ja CD summa. Joten voimme kirjoittaa:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Nämä termit ja tuloksena oleva summa huomioon ottaen näemme, että summan osoittaja saatiin lisäämällä termien osoittajat ja nimittäjä pysyi ennallaan.

Tästä saamme seuraavan säännön: Jos haluat lisätä murtolukuja, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä sama nimittäjä.

Harkitse esimerkkiä:

2. Eri nimittäjien murtolukujen yhteenlasku.

Lisätään murtoluvut: 3/4 + 3/8 Ensin ne on vähennettävä pienimpään yhteiseen nimittäjään:

Välilinkkiä 6/8 + 3/8 ei voitu kirjoittaa; olemme kirjoittaneet sen tänne selvyyden vuoksi.

Jos haluat lisätä murto-osia, joilla on eri nimittäjä, sinun on ensin saatava ne pienimpään yhteiseen nimittäjään, lisättävä niiden osoittajat ja allekirjoitettava yhteinen nimittäjä.

Harkitse esimerkkiä (kirjoitamme lisätekijöitä vastaavien murtolukujen päälle):

3. Sekalukujen lisääminen.

Lasketaan luvut yhteen: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Tuodaan ensin lukujemme murto-osat yhteiseen nimittäjään ja kirjoitetaan ne uudelleen:

Lisää nyt kokonaisluku- ja murto-osat järjestyksessä:

§ 88. Murtolukujen vähentäminen.

Murtolukujen vähentäminen määritellään samalla tavalla kuin kokonaislukujen vähentäminen. Tämä on toiminto, jolla löydetään toinen termi, kun otetaan huomioon kahden ja yhden termin summa. Tarkastellaan kolmea tapausta peräkkäin:

1. Samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen.
2. Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen.
3. Sekalukujen vähentäminen.

1. Samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen.

Harkitse esimerkkiä:

13 / 15 - 4 / 15

Otetaan segmentti AB (kuva 18), otetaan se yksikkönä ja jaetaan 15 yhtä suureen osaan; silloin tämän segmentin AC-osa on 1/15 AB:sta ja saman segmentin AD-osa vastaa 13/15 AB:tä. Laitetaan sivuun toinen segmentti ED, joka on yhtä suuri kuin 4/15 AB.

Meidän on vähennettävä 4/15 luvusta 13/15. Piirustuksessa tämä tarkoittaa, että segmentti ED on vähennettävä segmentistä AD. Tämän seurauksena segmentti AE säilyy, mikä on 9/15 segmentistä AB. Joten voimme kirjoittaa:

Tekemässämme esimerkissä näkyy, että eron osoittaja saatiin vähentämällä osoittajat ja nimittäjä pysyi samana.

Siksi, jotta voit vähentää murto-osia, joilla on sama nimittäjä, sinun on vähennettävä alaosan osoittaja minuutin osoittajasta ja jätettävä sama nimittäjä.

2. Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen.

Esimerkki. 3/4 - 5/8

Aluksi vähennetään nämä murtoluvut pienimpään yhteiseen nimittäjään:

Välilinkki 6 / 8 - 5 / 8 on kirjoitettu tähän selvyyden vuoksi, mutta se voidaan ohittaa jatkossa.

Näin ollen murto-osan vähentämiseksi murtoluvusta sinun on ensin saatava ne pienimpään yhteiseen nimittäjään, sitten vähennettävä alaosan osoittaja minuutin osoittajasta ja allekirjoitettava yhteinen nimittäjä niiden eron alle.

Harkitse esimerkkiä:

3. Sekalukujen vähentäminen.

Esimerkki. 10 3/4 - 7 2/3 .

Tuodaan minuendin ja alaosan murto-osat alimpaan yhteiseen nimittäjään:

Vähensimme kokonaisuuden kokonaisuudesta ja murto-osan murto-osasta. Mutta on tapauksia, joissa aliosan murto-osa on suurempi kuin minuutin murto-osa. Tällaisissa tapauksissa sinun on otettava yksi yksikkö pelkistetyn kokonaisluvun osasta, jaettava se niihin osiin, joissa murto-osa ilmaistaan, ja lisätään vähennetyn murto-osaan. Ja sitten vähennys suoritetaan samalla tavalla kuin edellisessä esimerkissä:

§ 89. Murtolukujen kertolasku.

Kun tutkitaan murtolukujen kertolaskua, harkitsemme seuraavia kysymyksiä:

1. Murtoluvun kertominen kokonaisluvulla.
2. Tietyn luvun murto-osan löytäminen.
3. Kokonaisluvun kertominen murtoluvulla.
4. Murtoluvun kertominen murtoluvulla.
5. Sekalukujen kertolasku.
6. Kiinnostuksen käsite.
7. Tietyn luvun prosenttiosuuksien löytäminen. Tarkastellaan niitä peräkkäin.

1. Murtoluvun kertominen kokonaisluvulla.

Murtoluvun kertomisella kokonaisluvulla on sama merkitys kuin kokonaisluvun kertomisella kokonaisluvulla. Murtoluvun (kerroin) kertominen kokonaisluvulla (kertoimella) tarkoittaa identtisten termien summan muodostamista, jossa jokainen termi on yhtä suuri kuin kertoja ja termien määrä on yhtä suuri kuin kertoja.

Joten, jos sinun on kerrottava 1/9 luvulla 7, tämä voidaan tehdä seuraavasti:

Tuloksen saimme helposti, koska toiminta rajoittui samojen nimittäjien murtolukujen lisäämiseen. Näin ollen

Tämän toiminnon tarkastelu osoittaa, että murtoluvun kertominen kokonaisluvulla vastaa tämän murtoluvun kasvattamista niin monta kertaa kuin kokonaisluvussa on yksiköitä. Ja koska murto-osan kasvu saavutetaan joko lisäämällä sen osoittajaa

tai pienentämällä sen nimittäjää , niin voimme joko kertoa osoittajan kokonaisluvulla tai jakaa nimittäjän sillä, jos tällainen jako on mahdollista.

Täältä saamme säännön:

Jos haluat kertoa murto-osan kokonaisluvulla, sinun on kerrottava osoittaja tällä kokonaisluvulla ja jätettävä nimittäjä ennalleen tai, jos mahdollista, jaettava nimittäjä tällä luvulla, jolloin osoittaja ei muutu.

Kerrottaessa lyhenteet ovat mahdollisia, esimerkiksi:

2. Tietyn luvun murto-osan löytäminen. On monia ongelmia, joissa sinun on löydettävä tai laskettava osa tietystä luvusta. Näiden tehtävien ja muiden tehtävien ero on se, että ne antavat joidenkin esineiden tai mittayksiköiden lukumäärän ja sinun on löydettävä osa tästä numerosta, joka myös osoitetaan tässä tietyllä murtoluvulla. Ymmärtämisen helpottamiseksi annamme ensin esimerkkejä tällaisista ongelmista ja esittelemme sitten menetelmän niiden ratkaisemiseksi.

Tehtävä 1. Minulla oli 60 ruplaa; 1/3 näistä rahoista käytin kirjojen ostoon. Paljonko kirjat maksoivat?

Tehtävä 2. Junan on katettava kaupunkien A ja B välinen etäisyys, joka on 300 km. Hän on jo ajanut 2/3 matkasta. Kuinka monta kilometriä tämä on?

Tehtävä 3. Kylässä on 400 taloa, joista 3/4 on tiilitaloa, loput puuta. Kuinka monta tiilitaloa siellä on?

Tässä on joitain monista ongelmista, joita meidän on käsiteltävä löytääksemme osan annetusta luvusta. Niitä kutsutaan yleensä ongelmiksi tietyn luvun murto-osan löytämiseksi.

Ongelman 1 ratkaisu. Alkaen 60 ruplaa. Vietin 1/3 kirjoihin; Joten saadaksesi selville kirjojen hinnan, sinun on jaettava luku 60 kolmella:

Ongelman 2 ratkaisu. Ongelman tarkoitus on, että sinun on löydettävä 2/3 300 km: stä. Laske ensimmäinen 1/3 300:sta; tämä saavutetaan jakamalla 300 km kolmella:

300: 3 = 100 (se on 1/3 300:sta).

Löytääksesi kaksi kolmasosaa luvusta 300, sinun on kaksinkertaistettava saatu osamäärä eli kerrottava kahdella:

100 x 2 = 200 (se on 2/3 300:sta).

Ongelman ratkaisu 3. Tässä sinun on määritettävä tiilitalojen lukumäärä, jotka ovat 3/4 400:sta. Etsitään ensin 1/4 400:sta,

400: 4 = 100 (se on 1/4 400:sta).

Laskea kolme neljäsosaa 400:sta saatu osamäärä on kolminkertaistettava, eli kerrottava 3:lla:

100 x 3 = 300 (se on 3/4 400:sta).

Näiden ongelmien ratkaisun perusteella voimme johtaa seuraavan säännön:

Tietyn luvun murto-osan arvon löytämiseksi sinun on jaettava tämä luku murto-osan nimittäjällä ja kerrottava tuloksena oleva osamäärä sen osoittajalla.

3. Kokonaisluvun kertominen murtoluvulla.

Aiemmin (§ 26) todettiin, että kokonaislukujen kertominen on ymmärrettävä identtisten termien (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20) yhteenlaskuksi. Tässä kappaleessa (kohta 1) todettiin, että murtoluvun kertominen kokonaisluvulla tarkoittaa identtisten termien summan löytämistä, joka on yhtä suuri kuin tämä murtoluku.

Molemmissa tapauksissa kertolasku koostui identtisten termien summan löytämisestä.

Nyt siirrymme kertomaan kokonaisluku murtoluvulla. Täällä tapaamme esimerkiksi kertolaskun: 9 2/3. On aivan selvää, että edellinen kertolasku määritelmä ei päde tässä tapauksessa. Tämä käy ilmi siitä, että emme voi korvata tällaista kertolaskua lisäämällä yhtä suuria lukuja.

Tästä johtuen joudumme antamaan kertomiselle uuden määritelmän, toisin sanoen vastaamaan kysymykseen, mitä murtoluvulla kertomisella pitäisi ymmärtää, miten tämä toiminta pitäisi ymmärtää.

Kokonaisluvun kertomisen merkitys murtoluvulla käy selväksi seuraavasta määritelmästä: kokonaisluvun (kertoimen) kertominen murto-osalla (kertoimella) tarkoittaa kertojan tämän murto-osan löytämistä.

Nimittäin 9:n kertominen 2/3:lla tarkoittaa 2/3:n löytämistä yhdeksästä yksiköstä. Edellisessä kappaleessa tällaiset ongelmat ratkaistiin; joten on helppo päätellä, että päädymme 6:een.

Mutta nyt herää mielenkiintoinen ja tärkeä kysymys: miksi sellaisia näennäisesti erilaisia toimia, kuten yhtäläisten lukujen summan löytäminen ja luvun murto-osan löytäminen, kutsutaan aritmetiikassa samaksi sanaksi kertolasku?

Tämä tapahtuu, koska edellinen toiminto (luvun toistaminen termeillä useita kertoja) ja uusi toiminta (luvun murto-osan löytäminen) antavat vastauksen homogeenisiin kysymyksiin. Tämä tarkoittaa, että tässä lähdetään siitä ajatuksesta, että homogeeniset kysymykset tai tehtävät ratkaistaan yhdellä ja samalla toiminnalla.

Tämän ymmärtämiseksi harkitse seuraavaa ongelmaa: "1 m kangasta maksaa 50 ruplaa. Kuinka paljon 4 metriä tällaista kangasta maksaa?

Tämä ongelma ratkaistaan kertomalla ruplamäärä (50) metrien määrällä (4), eli 50 x 4 = 200 (ruplaa).

Otetaan sama ongelma, mutta siinä kankaan määrä ilmaistaan murtolukuna: "1 m kangasta maksaa 50 ruplaa. Kuinka paljon 3/4 m tällaista kangasta maksaa?

Tämä ongelma on myös ratkaistava kertomalla ruplamäärä (50) metrien määrällä (3/4).

Voit myös muuttaa siinä olevia numeroita useita kertoja muuttamatta ongelman merkitystä, esimerkiksi ota 9/10 m tai 2 3/10 m jne.

Koska nämä ongelmat ovat sisällöltään samanlaisia ja eroavat toisistaan vain numeroiden suhteen, kutsumme niiden ratkaisemiseen käytettyjä toimia samalla sanalla - kertolasku.

Miten kokonaisluku kerrotaan murtoluvulla?

Otetaan viimeisessä tehtävässä havaitut numerot:

Määritelmän mukaan meidän on löydettävä 3/4 50:stä. Ensin löydetään 1/4 50:stä ja sitten 3/4.

1/4 50:stä on 50/4;

3/4 50:stä on.

Näin ollen.

Harkitse toista esimerkkiä: 12 5 / 8 = ?

1/8/12 on 12/8,

5/8 luvusta 12 on .

Näin ollen

Täältä saamme säännön:

Jos haluat kertoa kokonaisluvun murtoluvulla, sinun on kerrottava kokonaisluku murtoluvun osoittajalla ja tehtävä tämä tulo osoittajaksi ja allekirjoitettava annetun murtoluvun nimittäjä nimittäjäksi.

Kirjoitamme tämän säännön kirjaimilla:

Jotta tämä sääntö olisi täysin selvä, on muistettava, että murtolukua voidaan pitää osamääränä. Tästä syystä löydettyä sääntöä on hyödyllistä verrata luvun 38 §:ssä esitettyyn luvun kertolasku sääntöön.

On muistettava, että ennen kertolaskua sinun tulee tehdä (jos mahdollista) leikkauksia, esimerkiksi:

4. Murtoluvun kertominen murtoluvulla. Murtoluvun kertominen murtoluvulla on sama merkitys kuin kokonaisluvun kertominen murtoluvulla, eli kun murto-osa kerrotaan murtoluvulla, sinun on löydettävä kertoimesta murto-osa ensimmäisestä murtoluvusta (kerroin).

Nimittäin 3/4:n kertominen 1/2:lla (puoli) tarkoittaa puolet 3/4:stä.

Kuinka kerrot murto-osan murtoluvulla?

Otetaan esimerkki: 3/4 kertaa 5/7. Tämä tarkoittaa, että sinun on löydettävä 5/7 arvosta 3/4. Etsi ensin 1/7 3/4:stä ja sitten 5/7

1/7/3/4 ilmaistaisiin näin:

5/7 numerot 3/4 ilmaistaan seuraavasti:

Tällä tavalla,

Toinen esimerkki: 5/8 kertaa 4/9.

1/9/5/8 on ,

4/9 numerot 5/8 ovat.

Tällä tavalla,

Näistä esimerkeistä voidaan päätellä seuraava sääntö:

Jos haluat kertoa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava osoittaja osoittajalla ja nimittäjä nimittäjällä ja tehtävä ensimmäisestä tulosta tuotteen osoittaja ja toisesta tulosta tuotteen nimittäjä.

Tämä on sääntö sisällä yleisnäkymä voidaan kirjoittaa näin:

Kerrottaessa on tarpeen tehdä (jos mahdollista) vähennyksiä. Harkitse esimerkkejä:

5. Sekalukujen kertolasku. Koska sekaluvut voidaan helposti korvata väärillä murtoluvuilla, tätä seikkaa käytetään yleensä sekalukujen kertomisessa. Tämä tarkoittaa, että niissä tapauksissa, joissa kertoja tai kertoja tai molemmat tekijät ilmaistaan sekalukuina, ne korvataan väärillä murtoluvuilla. Kerro esimerkiksi sekaluvut: 2 1/2 ja 3 1/5. Muutamme niistä jokaisen vääräksi murtoluvuksi ja kerromme sitten saadut murtoluvut säännön mukaisesti, jossa murto-osa kerrotaan murtoluvulla:

Sääntö. Jos haluat kertoa sekaluvut, sinun on ensin muutettava ne vääriksi murtoluvuiksi ja kerrottava sitten säännön mukaisesti, jossa murtoluku kerrotaan murtoluvulla.

Merkintä. Jos yksi tekijöistä on kokonaisluku, kertolasku voidaan suorittaa jakautumislain perusteella seuraavasti:

6. Kiinnostuksen käsite. Tehtäviä ratkaistaessa ja erilaisia käytännön laskutoimituksia tehdessämme käytämme kaikenlaisia murtolukuja. Mutta on pidettävä mielessä, että monet suureet eivät salli niille mitään, vaan luonnollisia alajakoja. Voit esimerkiksi ottaa yhden sadasosan (1/100) ruplasta, se on penni, kaksi sadasosaa on 2 kopekkaa, kolme sadasosaa on 3 kopekkaa. Voit ottaa 1/10 ruplasta, se on "10 kopekkaa tai penniä. Voit ottaa neljäsosan ruplasta, eli 25 kopekkaa, puoli ruplaa eli 50 kopekkaa (viisikymmentä kopekkaa). Mutta käytännössä eivät Älä ota esimerkiksi 2/7 ruplaa, koska ruplaa ei jaeta seitsemäsosaan.

Painon mittayksikkö eli kilogramma sallii ensinnäkin desimaalilukujaot, esimerkiksi 1/10 kg tai 100 g. Ja kilon murto-osat kuten 1/6, 1/11, 1/ 13 ovat harvinaisia.

Yleensä (metriset) mittamme ovat desimaalilukuja ja sallivat desimaalilukujaot.

On kuitenkin huomattava, että on erittäin hyödyllistä ja kätevää useissa tapauksissa käyttää samaa (yhtenäistä) menetelmää määrien jakamiseen. Monen vuoden kokemus on osoittanut, että tällainen hyvin perusteltu jako on "sadasosien" jako. Tarkastellaanpa muutamia esimerkkejä, jotka liittyvät ihmisten harjoittamisen monimuotoisimpiin alueisiin.

1. Kirjojen hinta on laskenut 12/100 edellisestä hinnasta.

Esimerkki. Kirjan edellinen hinta on 10 ruplaa. Hän laski 1 ruplalla. 20 kop.

2. Säästöpankit maksavat tallettajille vuoden aikana 2/100 säästöihin sijoitetusta summasta.

Esimerkki. 500 ruplaa laitetaan kassalle, tulot tästä summasta vuodelle ovat 10 ruplaa.

3. Yhden koulun valmistuneiden määrä oli 5/100 opiskelijoiden kokonaismäärästä.

ESIMERKKI Koulussa opiskeli vain 1 200 opiskelijaa, joista 60 valmistui koulusta.

Luvun sadasosaa kutsutaan prosentiksi..

Sana "prosentti" on lainattu sanasta latinan kieli ja sen juuri "sentti" tarkoittaa sataa. Yhdessä prepositiolla (pro centum) tämä sana tarkoittaa "sadalle". Tämän ilmaisun merkitys johtuu siitä, että alun perin antiikin Rooma korko oli rahaa, jonka velallinen maksoi lainanantajalle "jokaista sataa kohden". Sana "sentti" kuullaan niin tutuilla sanoilla: centner (sata kiloa), senttimetri (he sanovat senttimetriä).

Esimerkiksi sen sijaan, että väittäisimme, että tehdas tuotti 1/100 kaikista sen valmistamista tuotteista viimeisen kuukauden aikana, sanomme näin: tehdas tuotti yhden prosentin hylkyistä viimeisen kuukauden aikana. Sen sijaan, että sanoisi: tehdas tuotti 4/100 tuotetta enemmän kuin suunniteltu suunnitelma, sanomme: tehdas ylitti suunnitelman 4 prosentilla.

Yllä olevat esimerkit voidaan ilmaista eri tavalla:

1. Kirjojen hinta on laskenut 12 prosenttia edellisestä hinnasta.

2. Säästöpankit maksavat tallettajille 2 prosenttia vuodessa säästöjen määrästä.

3. Yhden koulun valmistuneiden määrä oli 5 prosenttia koulun kaikista opiskelijoista.

Kirjaimen lyhentämiseksi on tapana kirjoittaa %-merkki sanan "prosentti" sijaan.

On kuitenkin muistettava, että %-merkkiä ei yleensä kirjoiteta laskelmissa, se voidaan kirjoittaa tehtävänkuvaukseen ja lopputulokseen. Kun suoritat laskelmia, sinun on kirjoitettava tällä kuvakkeella murto-osa, jonka nimittäjä on 100 kokonaisluvun sijaan.

Sinun on voitava korvata kokonaisluku määritetyllä kuvakkeella murtoluvulla, jonka nimittäjä on 100:

Päinvastoin, sinun on totuttava kirjoittamaan kokonaisluku ilmoitetulla kuvakkeella sen sijaan, että murto-osa, jonka nimittäjä on 100:

7. Tietyn luvun prosenttiosuuksien löytäminen.

Tehtävä 1. Koulu sai 200 kuutiota. m polttopuuta, josta koivupolttopuun osuus 30 %. Kuinka paljon koivua siellä oli?

Tämän ongelman tarkoitus on, että koivupolttopuuta oli vain osa koululle toimitetusta polttopuusta ja tämä osa ilmaistaan murto-osana 30/100. Joten meidän edessämme on löytää luvun murto-osa. Sen ratkaisemiseksi meidän on kerrottava 200 luvulla 30 / 100 (luvun murto-osan löytämiseen liittyvät tehtävät ratkaistaan kertomalla luku murtoluvulla.).

Joten 30 % 200:sta on 60.

Tässä ongelmassa havaittu murto-osa 30/100 voidaan pienentää 10:llä. Tämä vähennys olisi mahdollista suorittaa alusta alkaen; ongelman ratkaisu ei muutu.

Tehtävä 2. Leirillä oli 300 eri-ikäistä lasta. 11-vuotiaita lapsia oli 21 %, 12-vuotiaita 61 % ja lopuksi 13-vuotiaita 18 %. Kuinka monta lasta kustakin iästä oli leirillä?

Tässä tehtävässä sinun on suoritettava kolme laskutoimitusta, eli etsittävä peräkkäin 11-vuotiaiden, sitten 12-vuotiaiden ja lopuksi 13-vuotiaiden lasten lukumäärä.

Joten tässä on tarpeen löytää luvun murto-osa kolme kertaa. Tehdään se:

1) Kuinka monta lasta oli 11-vuotias?

2) Kuinka monta lasta oli 12-vuotias?

3) Kuinka monta lasta oli 13-vuotiaita?

Kun ongelma on ratkaistu, on hyödyllistä lisätä löydetyt numerot; niiden summan pitäisi olla 300:

63 + 183 + 54 = 300

Kannattaa myös kiinnittää huomiota siihen, että ongelman ehdossa annettujen prosenttiosuuksien summa on 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Tämä viittaa siihen kokonaismäärä leirillä olleet lapset otettiin 100 %:ksi.

3 ja päivä 3. Työntekijä sai 1200 ruplaa kuukaudessa. Näistä hän käytti 65 % ruokaan, 6 % asuntoon ja lämmitykseen, 4 % kaasuun, sähköön ja radioon, 10 % kulttuuritarpeisiin ja 15 % säästämiseen. Kuinka paljon rahaa käytettiin tehtävässä ilmoitettuihin tarpeisiin?

Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on löydettävä murto-osa luvusta 1 200 5 kertaa. Tehdään se.

1) Kuinka paljon rahaa käytetään ruokaan? Tehtävä sanoo, että tämä kulu on 65 % kaikista tuloista eli 65/100 luvusta 1200. Tehdään laskelma:

2) Paljonko lämmitetystä asunnosta maksettiin? Väittelemällä kuten edellinen, saamme seuraavan laskelman:

3) Kuinka paljon maksoit kaasusta, sähköstä ja radiosta?

4) Kuinka paljon rahaa käytetään kulttuuritarpeisiin?

5) Kuinka paljon työntekijä säästi?

Vahvistamista varten on hyödyllistä lisätä numerot, jotka löytyvät näistä viidestä kysymyksestä. Summan tulee olla 1 200 ruplaa. Kaikki tulot lasketaan 100 %:ksi, mikä on helppo tarkistaa laskemalla yhteen ongelmalausekkeessa annetut prosenttiosuudet.

Olemme ratkaisseet kolme ongelmaa. Huolimatta siitä, että nämä tehtävät koskivat eri asioita (polttopuiden toimittaminen koululle, eri-ikäisten lasten määrä, työntekijän kulut), ne ratkaistiin samalla tavalla. Tämä tapahtui, koska kaikissa tehtävissä piti löytää muutama prosentti annetuista luvuista.

§ 90. Murtolukujako.

Kun tutkimme murtolukujakoa, pohdimme seuraavia kysymyksiä:

1. Jaa kokonaisluku kokonaisluvulla.
2. Murtoluvun jako kokonaisluvulla
3. Kokonaisluvun jako murtoluvulla.
4. Murtoluvun jako murtoluvulla.
5. Sekalukujen jako.
6. Luvun löytäminen sen murto-osalla.
7. Luvun löytäminen sen prosentteina.

Tarkastellaan niitä peräkkäin.

1. Jaa kokonaisluku kokonaisluvulla.

Kuten kokonaislukujen osiossa todettiin, jako on toimenpide, joka koostuu siitä, että kahden tekijän (osinko) ja yhden näistä tekijöistä (jakajan) tulosta löytyy toinen tekijä.

Kokonaisluvun jako kokonaisluvulla, jota tarkastelimme kokonaislukujen osastossa. Tapasimme siellä kaksi jakotapausta: jako ilman jäännöstä tai "kokonaan" (150: 10 = 15) ja jako jäännösosalla (100: 9 = 11 ja 1 jäljellä). Voidaan siis sanoa, että kokonaislukujen alueella tarkka jako ei ole aina mahdollista, koska osinko ei aina ole jakajan ja kokonaisluvun tulo. Murtoluvulla kertomisen käyttöönoton jälkeen voimme pitää mitä tahansa kokonaislukujen jakotapausta mahdollisena (ainoastaan nollalla jako on poissuljettu).

Esimerkiksi luvun 7 jakaminen 12:lla tarkoittaa sellaisen luvun löytämistä, jonka tulokerrat 12 olisivat 7. Tämä luku on murto-osa 7/12, koska 7/12 12 = 7. Toinen esimerkki: 14: 25 = 14/25, koska 14/25 25 = 14.

Siten, jotta voit jakaa kokonaisluvun kokonaisluvulla, sinun on tehtävä murtoluku, jonka osoittaja on yhtä suuri kuin osinko ja nimittäjä on jakaja.

2. Murtoluvun jako kokonaisluvulla.

Jaa murto-osa 6/7 3:lla. Yllä annetun jakomääritelmän mukaan tässä on tulo (6/7) ja yksi tekijöistä (3); on löydettävä sellainen toinen tekijä, joka kertomalla 3:lla antaisi Tämä työ 6/7. Ilmeisesti sen pitäisi olla kolme kertaa pienempi kuin tämä tuote. Tämä tarkoittaa, että meille asetettu tehtävä oli pienentää murto-osaa 6/7 3 kertaa.

Tiedämme jo, että murto-osan pienentäminen voidaan tehdä joko pienentämällä sen osoittajaa tai suurentamalla sen nimittäjää. Siksi voit kirjoittaa:

Tässä tapauksessa osoittaja 6 on jaollinen kolmella, joten osoittajaa tulisi pienentää 3 kertaa.

Otetaan toinen esimerkki: 5 / 8 jaettuna 2:lla. Tässä osoittaja 5 ei ole jaollinen kahdella, mikä tarkoittaa, että nimittäjä on kerrottava tällä numerolla:

Tämän perusteella voimme esittää säännön: Jos haluat jakaa murtoluvun kokonaisluvulla, sinun on jaettava murtoluvun osoittaja tällä kokonaisluvulla(jos mahdollista), jättämällä sama nimittäjä tai kertomalla murtoluvun nimittäjä tällä luvulla, jättäen saman osoittajan.

3. Kokonaisluvun jako murtoluvulla.

Olkoon vaadittava, että 5 jaetaan 1/2:lla, eli löydetään luku, joka kertomalla 1/2:lla saa tulon 5. On selvää, että tämän luvun on oltava suurempi kuin 5, koska 1/2 on oikea murtoluku, ja kun luku kerrotaan oikealla murtoluvulla, tulon on oltava pienempi kuin kertolasku. Selvyyden vuoksi kirjoitetaan toimintamme seuraavasti: 5: 1 / 2 = X , joten x 1/2 \u003d 5.

Meidän on löydettävä tällainen luku X , joka kerrottuna 1/2:lla antaisi 5. Koska tietyn luvun kertominen 1/2:lla tarkoittaa 1/2:n löytämistä tästä luvusta, niin siis 1/2 tuntemattomasta luvusta X on 5 ja kokonaisluku X kaksi kertaa niin paljon, eli 5 2 \u003d 10.

Joten 5: 1/2 = 5 2 = 10

Tarkistetaan:

Tarkastellaanpa vielä yhtä esimerkkiä. Vaaditaan 6 jakamista 2/3:lla. Yritetään ensin löytää haluttu tulos piirustuksen avulla (kuva 19).

Kuva 19

Piirrä jana AB, joka on yhtä suuri kuin 6 joistakin yksiköistä, ja jaa jokainen yksikkö 3 yhtä suureen osaan. Jokaisessa yksikössä kolme kolmasosaa (3/3) koko segmentissä AB on 6 kertaa suurempi, ts. e. 18/3. Yhdistämme pienten sulujen avulla 18 saatua segmenttiä 2; Segmenttejä tulee olemaan vain 9. Tämä tarkoittaa, että murto-osa 2/3 sisältyy b-yksikköön 9 kertaa, eli toisin sanoen murto-osa 2/3 on 9 kertaa pienempi kuin 6 kokonaislukuyksikköä. Näin ollen

Kuinka saada tämä tulos ilman piirustusta käyttämällä vain laskelmia? Väittelemme seuraavasti: 6 on jaettava 2/3:lla, eli on vastattava kysymykseen, kuinka monta kertaa 2/3 sisältyy 6:een. Selvitetään ensin: kuinka monta kertaa on 1/3 sisältyy 6? Kokonaisessa yksikössä - 3 kolmasosaa ja 6 yksikössä - 6 kertaa enemmän, eli 18 kolmasosaa; Tämän luvun löytämiseksi meidän on kerrottava 6 kolmella. Näin ollen 1/3 sisältyy b-yksikköön 18 kertaa ja 2/3 sisältyy b-yksikköön ei 18 kertaa, vaan puolet niin monta kertaa, eli 18: 2 = 9 Siksi, kun jaamme 6:lla 2/3, olemme tehneet seuraavat toimet:

Tästä saamme säännön kokonaisluvun jakamisesta murtoluvulla. Jos haluat jakaa kokonaisluvun murtoluvulla, sinun on kerrottava tämä kokonaisluku annetun murto-osan nimittäjällä ja jakamalla se tietyn murtoluvun osoittajalla, jolloin tämä tulo tulee osoittajaksi.

Kirjoitamme säännön kirjaimilla:

Jotta tämä sääntö olisi täysin selvä, on muistettava, että murtolukua voidaan pitää osamääränä. Siksi löydettyä sääntöä on hyödyllistä verrata luvun 38 §:ssä esitettyyn luvun osamäärällä jakamiseen. Huomaa, että siellä saatiin sama kaava.

Jaettaessa lyhenteet ovat mahdollisia, esimerkiksi:

4. Murtoluvun jako murtoluvulla.

Vaaditaan jakaa 3/4 luvulla 3/8. Mikä tarkoittaa lukua, joka saadaan jakamisen tuloksena? Se vastaa kysymykseen, kuinka monta kertaa murto-osa 3/8 sisältyy murto-osaan 3/4. Ymmärtääksesi tämän ongelman, tehdään piirustus (kuva 20).

Ota segmentti AB, ota se yksikkönä, jaa se 4 yhtä suureen osaan ja merkitse 3 tällaista osaa. Segmentti AC on yhtä suuri kuin 3/4 segmentistä AB. Jaetaan nyt kukin neljästä alkusegmentistä puoliksi, sitten jana AB jaetaan 8 yhtä suureen osaan ja jokainen tällainen osa on yhtä suuri kuin 1/8 jaosta AB. Yhdistämme 3 tällaista segmenttiä kaarilla, sitten kukin segmenteistä AD ja DC on yhtä suuri kuin 3/8 segmentistä AB. Piirustus osoittaa, että segmentti, joka on 3/8, sisältyy segmenttiin, joka on yhtä suuri kuin 3/4, täsmälleen 2 kertaa; Joten jaon tulos voidaan kirjoittaa näin:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Tarkastellaanpa vielä yhtä esimerkkiä. Vaaditaan jakaa 15/16 luvulla 3/32:

Voimme ajatella näin: meidän on löydettävä luku, joka kerrottuna 3/32:lla antaa tulon, joka on yhtä suuri kuin 15/16. Kirjoitetaan laskelmat näin:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 tuntematon numero X meikki 15/16

1/32 tuntematon numero X On ,

32/32 numerot X meikki .

Näin ollen

Näin ollen, jotta voit jakaa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen nimittäjällä ja kerrottava ensimmäisen murtoluvun nimittäjä toisen osoittajalla ja tehtävä ensimmäinen tulo osoittajaksi ja toiseksi nimittäjä.

Kirjoitetaan sääntö kirjaimilla:

Jaettaessa lyhenteet ovat mahdollisia, esimerkiksi:

5. Sekalukujen jako.

Sekalukuja jaettaessa ne on ensin muutettava virheellisiksi murtoluvuiksi ja sitten tuloksena saadut murtoluvut jaettava murtolukujen jakamissääntöjen mukaisesti. Harkitse esimerkkiä:

Muunna sekaluvut vääriksi murtoluvuiksi:

Jaetaan nyt:

Siksi sekalukujen jakamiseksi sinun on muunnettava ne vääriksi murtoluvuiksi ja jaettava sitten murtolukujakosäännön mukaan.

6. Luvun löytäminen sen murto-osalla.

Joukossa erilaisia tehtäviä murtoluvuilla joskus on sellaisia, joissa on annettu tuntemattoman luvun jonkin murto-osan arvo ja tämä luku on löydettävä. Tämän tyyppinen ongelma on käänteinen ongelmalle, joka koskee tietyn luvun murto-osan löytämistä; siellä annettiin luku ja sen piti löytää jokin murto-osa tästä luvusta, tässä luvun murto-osa on annettu ja se on löydettävä itse. Tämä ajatus tulee entistä selvemmäksi, jos käännymme tämäntyyppisten ongelmien ratkaisuun.

Tehtävä 1. Ensimmäisenä päivänä lasittajat lasittivat 50 ikkunaa, mikä on 1/3 rakennetun talon ikkunoista. Kuinka monta ikkunaa tässä talossa on?

Ratkaisu. Ongelma kertoo, että 50 lasitettua ikkunaa on 1/3 talon kaikista ikkunoista, mikä tarkoittaa, että ikkunoita on yhteensä 3 kertaa enemmän, ts.

Talossa oli 150 ikkunaa.

Tehtävä 2. Jauhoja myytiin 1500 kg, mikä on 3/8 liikkeen kokonaisjauhovarastosta. Mikä oli kaupan ensimmäinen jauhotarjonta?

Ratkaisu. Ongelman tilasta näkyy, että myyty 1500 kg jauhoja muodostaa 3/8 kokonaisvarastosta; tämä tarkoittaa, että 1/8 tästä varastosta on 3 kertaa pienempi, eli sen laskemiseksi sinun on vähennettävä 1500 3 kertaa:

1 500: 3 = 500 (se on 1/8 osakkeesta).

On selvää, että koko varasto on 8 kertaa suurempi. Näin ollen

500 8 \u003d 4 000 (kg).

Alkuperäinen jauhomäärä myymälässä oli 4000 kg.

Tämän ongelman tarkastelun perusteella voidaan päätellä seuraava sääntö.

Luvun löytämiseksi murto-osan annetulla arvolla riittää, että jakaa tämä arvo murtoluvun osoittajalla ja kerrotaan tulos murtoluvun nimittäjällä.

Ratkaisimme kaksi tehtävää löytääksemme luvun sen murto-osan perusteella. Tällaiset ongelmat, kuten viimeisestä erityisen hyvin näkyy, ratkaistaan kahdella toimenpiteellä: jako (kun löytyy yksi osa) ja kertolasku (kun kokonaisluku löytyy).

Kuitenkin, kun olemme tutkineet murto-osien jakoa, yllä olevat ongelmat voidaan ratkaista yhdellä toimella, nimittäin: jakamalla murtoluvulla.

Esimerkiksi viimeinen tehtävä voidaan ratkaista yhdellä toiminnolla seuraavasti:

Tulevaisuudessa ratkaisemme ongelman löytää luku sen murto-osalla yhdessä toiminnossa - jaossa.

7. Luvun löytäminen sen prosentteina.

Näissä tehtävissä sinun on löydettävä luku, joka tunnetaan muutaman prosentin tästä numerosta.

Tehtävä 1. Alussa Tämä vuosi Sain säästöpankista 60 ruplaa. tuloa summasta, jonka laitoin säästöihin vuosi sitten. Kuinka paljon rahaa laitoin säästöpankkiin? (Kassat antavat tallettajille 2% tuloista vuodessa.)

Ongelman tarkoitus on, että laitoin tietyn summan rahaa säästöpankkiin ja makasi siellä vuoden. Vuoden kuluttua sain häneltä 60 ruplaa. tulot, jotka ovat 2/100 sijoittamistani rahoista. Kuinka paljon rahaa talletin?

Siksi, kun tiedämme tämän rahan osan kahdella tavalla ilmaistuna (ruplina ja murto-osina), meidän on löydettävä koko, vielä tuntematon määrä. Tämä on tavallinen ongelma luvun löytämisessä sen murto-osan perusteella. Seuraavat tehtävät ratkaistaan jakamalla:

Joten 3000 ruplaa laitettiin säästöpankkiin.

Tehtävä 2. Kahdessa viikossa kalastajat täyttivät kuukausisuunnitelman 64 %:lla valmistaen 512 tonnia kalaa. Mikä heidän suunnitelmansa oli?

Ongelman tilasta tiedetään, että kalastajat saivat osan suunnitelmasta valmiiksi. Tämä osa on 512 tonnia, mikä on 64% suunnitelmasta. Kuinka monta tonnia kalaa pitää saada suunnitelman mukaan, emme tiedä. Ongelman ratkaisu koostuu tämän luvun löytämisestä.

Tällaiset tehtävät ratkaistaan jakamalla:

Joten suunnitelman mukaan sinun on valmistettava 800 tonnia kalaa.

Tehtävä 3. Juna meni Riiasta Moskovaan. Kun hän ohitti 276. kilometrin, yksi matkustajista kysyi ohikulkijalta, kuinka suuren osan matkasta he olivat jo matkustaneet. Tähän konduktööri vastasi: "Olemme jo kulkeneet 30% koko matkasta." Mikä on etäisyys Riika ja Moskova välillä?

Ongelman tilasta voidaan nähdä, että 30 % matkasta Riiasta Moskovaan on 276 km. Meidän on löydettävä koko etäisyys näiden kaupunkien välillä, eli tälle osalle on löydettävä kokonaisuus:

§ 91. Vastavuoroiset numerot. Jakolaskun korvaaminen kertolaskulla.

Ota murto-osa 2/3 ja järjestä osoittaja uudelleen nimittäjän paikalle, saamme 3/2. Meillä on murto-osa, tämän käänteisluku.

Saadaksesi murto-osuuden käänteisluvun, sinun on asetettava sen osoittaja nimittäjän tilalle ja nimittäjä osoittajan tilalle. Tällä tavalla voimme saada murtoluvun, joka on minkä tahansa murtoluvun käänteisluku. Esimerkiksi:

3/4, käänteinen 4/3; 5/6, käänteinen 6/5

Kaksi murtolukua, joilla on ominaisuus, että ensimmäisen osoittaja on toisen ja ensimmäisen osoittaja on toisen osoittaja, kutsutaan keskenään käänteisesti.

Mietitään nyt mikä murtoluku on 1/2 käänteisluku. Ilmeisesti se on 2/1 tai vain 2. Kun etsimme tämän käänteislukua, saimme kokonaisluvun. Ja tämä tapaus ei ole yksittäinen; päinvastoin, kaikkien murtolukujen, joiden osoittaja on 1 (yksi), käänteisluvut ovat kokonaislukuja, esimerkiksi:

1/3, käänteinen 3; 1/5, käänteinen 5

Koska käänteislukuja etsittäessä tapasimme myös kokonaislukuja, emme jatkossa puhu käänteisluvuista, vaan käänteisluvuista.

Selvitetään, kuinka kirjoitetaan kokonaisluvun käänteisluku. Murtoluvuille tämä ratkaistaan yksinkertaisesti: sinun on asetettava nimittäjä osoittajan tilalle. Samalla tavalla voit saada kokonaisluvun käänteisluvun, koska minkä tahansa kokonaisluvun nimittäjä voi olla 1. Siksi luvun 7 käänteisluku on 1/7, koska 7 \u003d 7 / 1; numerolle 10 käänteinen on 1/10, koska 10 = 10/1

Tämä ajatus voidaan ilmaista toisella tavalla: tietyn luvun käänteisluku saadaan jakamalla yksi annetulla luvulla. Tämä väite pätee ei vain kokonaislukujen, vaan myös murtolukujen osalta. Todellakin, jos haluat kirjoittaa luvun, joka on murtoluvun 5/9 käänteisluku, voimme ottaa luvun 1 ja jakaa sen luvulla 5/9, ts.

Nostetaan nyt esiin yksi omaisuutta keskinäiset vastavuoroiset numerot, joista on meille hyötyä: keskenään käänteislukujen tulo on yhtä suuri kuin yksi. Todellakin:

Käyttämällä tätä ominaisuutta voimme löytää käänteisluvut seuraavalla tavalla. Etsitään 8:n käänteisluku.

Merkitään se kirjaimella X , sitten 8 X = 1, siis X = 1/8. Etsitään toinen luku, 7/12:n käänteisluku, joka merkitään kirjaimella X , sitten 7/12 X = 1, siis X = 1:7 / 12 tai X = 12 / 7 .

Esittelimme tässä käänteislukujen käsitteen täydentääksemme hieman murtolukujakoa koskevia tietoja.

Kun jaamme luvun 6 luvulla 3/5, teemme seuraavaa:

Kiinnitä erityistä huomiota lausekkeeseen ja vertaa sitä annettuun lauseeseen: .

Jos otamme lausekkeen erikseen, ilman yhteyttä edelliseen, on mahdotonta ratkaista kysymystä, mistä se tuli: jakamalla 6 luvulla 3/5 tai kertomalla 6 5/3:lla. Molemmissa tapauksissa tulos on sama. Joten voimme sanoa että yhden luvun jakaminen toisella voidaan korvata kertomalla osinko jakajan käänteisluvulla.

Alla antamamme esimerkit vahvistavat täysin tämän päätelmän.

Kuten matematiikasta tiedät, murtoluku koostuu osoittajasta ja nimittäjästä. Osoittaja on ylhäällä ja nimittäjä alhaalla.

On melko yksinkertaista suorittaa matemaattisia operaatioita samalla nimittäjällä olevien murtolukumäärien yhteen- tai vähennyslaskulla. Sinun on vain voitava lisätä tai vähentää numerot osoittajassa (ylhäällä), ja sama alaluku pysyy muuttumattomana.

Otetaan esimerkiksi murtoluku 7/9, tässä:

yläpuolella oleva numero "seitsemän" on osoittaja;
alla oleva numero "yhdeksän" on nimittäjä.

Esimerkki 1. Lisäys:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Esimerkki 2. Vähennyslasku:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Yksinkertaisten murtolukuarvojen vähentäminen, joilla on eri nimittäjä

Suorittaaksesi matemaattisen toiminnon arvojen, joilla on eri nimittäjä, vähentämiseksi sinun on ensin saatava ne yhteiseen nimittäjään. Tätä tehtävää suoritettaessa on noudatettava sääntöä, että tämän yhteisen nimittäjän on oltava pienin kaikista vaihtoehtoja.

Esimerkki 3

Annettu kaksi yksinkertaista määrää eri nimittäjillä (pienemmät numerot): 7/8 ja 2/9.

Vähennä toinen ensimmäisestä arvosta.

Ratkaisu koostuu useista vaiheista:

1. Etsi yhteinen pienempi luku, ts. se, joka on jaollinen sekä ensimmäisen että toisen murtoluvun alemmalla arvolla. Tämä on numero 72, koska se on lukujen "kahdeksan" ja "yhdeksän" kerrannainen.

2. Kunkin murtoluvun alin numero on kasvanut:

luku "kahdeksan" murto-osassa 7/8 kasvoi yhdeksän kertaa - 8*9=72;
luku "yhdeksän" murto-osassa 2/9 on kasvanut kahdeksan kertaa - 9*8=72.

3. Jos nimittäjä (alempi luku) on muuttunut, myös osoittajan (ylempi luku) on vaihdettava. Nykyisen matemaattisen säännön mukaan ylempää lukua on korotettava täsmälleen samalla määrällä kuin alempaa. Tuo on:

ensimmäisen murtoluvun (7/8) osoittaja "seitsemän" kerrotaan luvulla "yhdeksän" - 7*9=63;
toisen murtoluvun (2/9) osoittaja "kaksi" kerrotaan luvulla "kahdeksan" - 2*8=16.

4. Toimien tuloksena saimme kaksi uutta arvoa, jotka kuitenkin ovat identtisiä alkuperäisten kanssa.

ensimmäinen: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
toinen: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.

5. Nyt on sallittua vähentää yksi murtoluku toisesta:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Suorittamalla tämän toiminnon palaamme aiheeseen, jossa vähennetään murtoluvut, joilla on samat pienemmät numerot (nimittäjät). Ja tämä tarkoittaa, että vähennystoiminto suoritetaan ylhäältä, osoittajassa, ja alempi luku siirretään ilman muutoksia.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Esimerkki 4

Monimutkaistaan ongelmaa ottamalla useita murtolukuja ratkaistaviksi eri, mutta useiden numeroiden alareunassa.

Annetut arvot: 5/6; 1/3; 1/12; 24.7.

Ne on otettava pois toisistaan tässä järjestyksessä.

1. Tuomme murtoluvut yllä olevalla tavalla yhteiseen nimittäjään, joka on luku "24":

5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - jätämme tämän viimeisen arvon ennalleen, koska nimittäjä on kokonaisluku "24".

2. Vähennä kaikki arvot:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Koska tuloksena olevan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ovat jaollisia yhdellä luvulla, niitä voidaan vähentää jakamalla luvulla "kolme":

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Kirjoitamme vastauksen näin:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Esimerkki 5

Annettu kolme murtolukua, joilla on ei-moninkertainen nimittäjä: 3/4; 2/7; 1/13.

Sinun täytyy löytää ero.

1. Tuomme kaksi ensimmäistä numeroa yhteiseen nimittäjään, se on numero "28":

¾ \u003d 3 * 7 / 4 * 7 \u003d 21/28;
2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Vähennä kaksi ensimmäistä murtolukua keskenään:

¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.

3. Vähennä kolmas annettu murto-osa saadusta arvosta:

4. Tuomme luvut yhteiseen nimittäjään. Jos ei ole mahdollista valita samaa nimittäjää helpommin, sinun on vain suoritettava vaiheet kertomalla kaikki nimittäjät sarjassa keskenään, unohtamatta kasvattaa osoittajan arvoa samalla luvulla. Tässä esimerkissä teemme näin:

13/28 \u003d 13 * 13 / 28 * 13 \u003d 169/364, jossa 13 on alempi numero 5/13:sta;
5/13 \u003d 5 * 28 / 13 * 28 \u003d 140/364, jossa 28 on alempi numero luvusta 13/28.

5. Vähennä saadut murtoluvut:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Vastaus: ¾-2/7-5/13 = 29/364.

Sekalukuja murtolukuja

Edellä käsitellyissä esimerkeissä käytettiin vain asianmukaisia fraktioita.

Esimerkiksi:

8/9 on oikea murto-osa;
9/8 on väärin.

On mahdotonta muuttaa väärää murtolukua oikeaksi, mutta se on mahdollista muuttaa sekoitettu. Miksi ylin luku (osoittaja) jaetaan alimmalla numerolla (nimittäjä), jotta saadaan luku, jossa on jäännös. Jakamisesta saatu kokonaisluku kirjoitetaan tällä tavalla, jakoosa kirjoitetaan yläreunassa olevaan osoittajaan ja nimittäjä, joka on alhaalla, pysyy samana. Jotta se olisi selkeämpi, harkitse konkreettinen esimerkki:

Esimerkki 6

Muunnamme väärän murto-osan 9/8 oikeaksi.

Tätä varten jaamme luvun "yhdeksän" "kahdeksalla", minkä seurauksena saamme sekamurtoluvun, jossa on kokonaisluku ja jäännös:

9: 8 = 1 ja 1/8 (toisella tavalla se voidaan kirjoittaa muodossa 1 + 1/8), missä:

luku 1 on jaosta saatu kokonaisluku;
toinen numero 1 - loppuosa;
numero 8 on nimittäjä, joka on pysynyt ennallaan.

Kokonaislukua kutsutaan myös luonnolliseksi luvuksi.

Jäännös ja nimittäjä ovat uusi, mutta jo oikea murto-osa.

Kun kirjoitetaan numero 1, se kirjoitetaan ennen oikeaa murtolukua 1/8.

Eri nimittäjillä olevien sekalukujen vähentäminen

Yllä olevasta annamme sekamurtoluvun määritelmän: "Sekanumero - tämä on arvo, joka on yhtä suuri kuin kokonaisluvun ja oikean tavanomaisen murtoluvun summa. Tässä tapauksessa koko osa kutsutaan luonnollinen luku , ja loppuosassa oleva luku on sen murto-osa».

Esimerkki 7

Annettu: kaksi sekoitettua murtolukumäärää, jotka koostuvat kokonaisluvusta ja oikea murto-osa:

ensimmäinen arvo on 9 ja 4/7, eli (9 + 4/7);
toinen arvo on 3 ja 5/21, eli (3+5/21).

Näiden arvojen välinen ero on löydettävä.

1. Jos haluat vähentää 3+5/21 arvosta 9+4/7, sinun on ensin vähennettävä kokonaislukuarvot toisistaan:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Kahden sekaluvun erotuksen tulos koostuu luonnollisesta (kokonaisluvusta) 6 ja oikeasta murtoluvusta 7/21 = 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Kaikkien maiden matemaatikot ovat sopineet, että "+"-merkki kirjoitettaessa sekasuureita voidaan jättää pois ja vain murtoluvun edessä oleva kokonaisluku ilman merkkiä voidaan jättää.

lapsesi toi kotitehtävät koulusta etkä tiedä kuinka ratkaista se? Sitten tämä mini-opetusohjelma on sinua varten!

Kuinka lisätä desimaalit

On kätevämpää lisätä desimaalilukuja sarakkeeseen. Suorittaaksesi lisäyksen desimaalilukuja sinun on noudatettava yhtä yksinkertaista sääntöä:

Numeron on oltava numeron alla, pilkku pilkun alla.

Kuten esimerkistä näet, kokonaiset yksiköt ovat toistensa alla, kymmenesosat ja sadasosat ovat alla. Nyt lisäämme numerot pilkkua huomioimatta. Mitä tehdä pilulla? Pilkku siirretään paikkaan, jossa se oli kokonaislukujen purkauksessa.

Lasketaan yhteen samat nimittäjillä olevat murtoluvut

Suorittaaksesi yhteenlasku yhteisellä nimittäjällä, sinun on pidettävä nimittäjä muuttumattomana, löydettävä osoittajien summa ja saatava murto-osa, joka on kokonaissumma.

Eri nimittäjillä olevien murtolukujen lisääminen etsimällä yhteinen kerrannainen

Ensimmäinen asia, johon on kiinnitettävä huomiota, ovat nimittäjät. Nimittäjät ovat erilaisia, eivätkö ne ole jaettavissa keskenään alkuluvut. Ensin sinun on löydettävä yksi yhteinen nimittäjä, on useita tapoja tehdä tämä:

1/3 + 3/4 = 13/12, tämän esimerkin ratkaisemiseksi meidän on löydettävä pienin yhteinen kerrannainen (LCM), joka on jaollinen kahdella nimittäjällä. Merkitään a:n ja b:n pienintä kerrannaista - LCM (a; b). Tässä esimerkissä LCM (3;4) = 12. Tarkista: 12:3=4; 12:4=3.
Kerromme tekijät ja lisäämme tuloksena olevat numerot, saamme 13/12 - väärän murtoluvun.

Muuntaaksemme väärän murtoluvun oikeaksi, jaamme osoittajan nimittäjällä, saamme kokonaisluvun 1, loppuosa 1 on osoittaja ja 12 on nimittäjä.

Murtolukujen lisääminen ristiin kertolaskulla

Eri nimittäjillä olevien murtolukujen lisäämiseen on toinen tapa "ristikohtaisesti" -kaavan mukaan. Tämä on taattu tapa tasoittaa nimittäjät, tätä varten sinun on kerrottava osoittajat yhden murto-osan nimittäjällä ja päinvastoin. Jos olet vain päällä alkuvaiheessa murtolukujen oppiminen, niin tämä menetelmä on helpoin ja tarkin, kuinka saada oikea tulos kun lisäät murtolukuja eri nimittäjillä.