Yleinen Schrödingerin yhtälö. Schrödingerin yhtälö stationäärisille tiloille

1. Esittely

Kvanttiteoria syntyi vuonna 1900, kun Max Planck ehdotti teoreettinen johtopäätös kehon lämpötilan ja kehon lähettämän säteilyn välisestä suhteesta - johtopäätös siitä pitkään aikaan Kuten edeltäjänsä, Planck ehdotti, että atomioskillaattorit lähettäisivät säteilyä, mutta hän uskoi, että oskillaattorien energia (ja siten niiden lähettämä säteily) oli olemassa pienten erillisten osien muodossa, joita Einstein kutsui kvanteiksi. Kunkin kvantin energia on verrannollinen säteilyn taajuuteen. Vaikka Planckin johdettu kaava aiheutti yleismaailmallista ihailua, hänen hyväksymät oletukset jäivät käsittämättömiksi, koska ne olivat ristiriidassa klassisen fysiikan kanssa.

Vuonna 1905 Einstein käytti kvanttiteoriaa selittääkseen joitain valosähköisen vaikutuksen puolia - elektronien emission metallin pinnalla, johon valo putoaa. UV-säteily. Matkan varrella Einstein havaitsi näennäisen paradoksin: valo, jonka tiedettiin kulkevan kahden vuosisadan ajan jatkuvina aaltoina, saattoi tietyissä olosuhteissa käyttäytyä myös hiukkasvirtana.

Noin kahdeksan vuotta myöhemmin Niels Bohr laajensi kvanttiteorian atomiin ja selitti liekissä tai sähkövarauksessa virittyneiden atomien lähettämien aaltojen taajuudet. Ernest Rutherford osoitti, että atomin massa on lähes kokonaan keskittynyt keskusytimeen, joka kantaa positiivista sähkövaraus ja sitä ympäröivät suhteellisen pitkiä etäisyyksiä kuljettavat elektronit negatiivinen varaus, jonka seurauksena atomi kokonaisuudessaan on sähköisesti neutraali. Bohr ehdotti, että elektronit voisivat olla vain tietyillä erillisillä kiertoradoilla, jotka vastaavat eri energiatasoja, ja että elektronin "hyppy" kiertoradalta toiselle, alhaisemmalla energialla, liittyy fotonin emissioon, jonka energia on yhtä suuri kuin kahden kiertoradan energioiden ero. Taajuus on Planckin teorian mukaan verrannollinen fotonin energiaan. Siten Bohrin atomimalli loi yhteyden erilaisia ​​linjoja säteilyä säteilevälle aineelle ominaiset spektrit ja atomirakenne. Alkuperäisestä menestyksestään huolimatta Bohrin atomimalli vaati pian muutoksia ratkaistakseen teorian ja kokeen väliset erot. Lisäksi kvanttiteoria ei tuossa vaiheessa vielä tarjonnut systemaattista menetelmää monien kvanttiongelmien ratkaisemiseksi.

Uusi merkittävä ominaisuus kvanttiteoria ilmestyi vuonna 1924, kun de Broglie esitti radikaalin hypoteesin aineen aaltoluonteesta: jos elektromagneettiset aallot, kuten valo, joskus käyttäytyvät kuin hiukkaset (kuten Einstein osoitti), sitten hiukkaset, kuten elektroni, voivat tietyissä olosuhteissa käyttäytyä aaltoina. De Broglien muotoilussa hiukkasta vastaava taajuus liittyy sen energiaan, kuten fotonin (valohiukkasen) tapauksessa, mutta de Broglien ehdottama matemaattinen lauseke oli ekvivalentti suhde aallonpituuden, hiukkasen massan välillä. , ja sen nopeus (vauhti). Clinton Davisson ja Lester Germer Yhdysvalloissa sekä John Paget Thomson Englannissa osoittivat elektroniaaltojen olemassaolon kokeellisesti vuonna 1927.

Einsteinin kommenteista de Broglien ideoista vaikuttuneena Schrödinger yritti soveltaa elektronien aaltokuvausta koherentin kvanttiteorian rakentamiseen, joka ei liity Bohrin riittämättömään atomimalliin. Tietyssä mielessä hän aikoi tuoda kvanttiteoriaa lähemmäksi klassista fysiikkaa, johon oli kertynyt monia esimerkkejä aaltojen matemaattisista kuvauksista. Ensimmäinen yritys, jonka Schrödinger teki vuonna 1925, päättyi epäonnistumiseen.

Schrödingerin II teorian elektronien nopeudet olivat lähellä valon nopeutta, mikä vaati Einsteinin erityisen suhteellisuusteorian sisällyttämistä ja sen ennustamaa merkittävää elektronimassan kasvua erittäin suurilla nopeuksilla.

Yksi Schrödingerin epäonnistumisen syistä oli se, että hän ei ottanut huomioon elektronin tiettyä ominaisuutta, joka tunnetaan nykyään nimellä spin (elektronin pyöriminen oman akselinsa ympäri kuin huipulla), josta tiedettiin vähän Tuolloin.

Schrödinger teki seuraavan yrityksen vuonna 1926. Tällä kertaa elektronien nopeudet valittiin niin pieniksi, että suhteellisuusteoriaan ei tarvinnut vedota.

Toinen yritys johti johtopäätökseen aaltoyhtälö Schrödinger, joka antaa matemaattisen kuvauksen aineesta aaltofunktion perusteella. Schrödinger kutsui teoriaansa aaltomekaniikaksi. Aaltoyhtälön ratkaisut olivat sopusoinnussa kokeellisten havaintojen kanssa ja niillä oli syvällinen vaikutus kvanttiteorian myöhempään kehitykseen.

Vähän aikaisemmin Werner Heisenberg, Max Born ja Pascual Jordan julkaisivat toisen version kvanttiteoriasta, nimeltään matriisimekaniikka, joka kuvasi kvanttiilmiöitä käyttämällä havaittavien suureiden taulukoita. Nämä taulukot on järjestetty tietyllä tavalla matemaattiset joukot, joita kutsutaan matriiseiksi, joiden yli tunnetut säännöt voi tuottaa erilaisia matemaattisia operaatioita. Matriisimekaniikka mahdollisti myös yhdenmukaisuuden havaitun kokeellisen tiedon kanssa, mutta toisin kuin aaltomekaniikka, se ei sisältänyt mitään erityistä viittausta tilakoordinaatteihin tai aikaan. Heisenberg vaati erityisesti kaikkien yksinkertaisten visuaalisten esitysten tai mallien hylkäämistä ja suosii vain niitä ominaisuuksia, jotka voidaan määrittää kokeesta.

Schrödinger osoitti, että aaltomekaniikka ja matriisimekaniikka ovat matemaattisesti samanarvoisia. Tunnetaan nyt alla yleinen nimi kvanttimekaniikka, nämä kaksi teoriaa antoivat kauan odotetun yhteinen perusta kvantti-ilmiöiden kuvaukset. Monet fyysikot pitivät parempana aaltomekaniikkaa, koska sen matematiikka oli heille tutumpaa ja sen käsitteet vaikuttivat "fysikaalisemmilta"; operaatiot matriiseilla ovat monimutkaisempia.

Funktio Ψ. Todennäköisyyksien normalisointi.

Mikrohiukkasten aalto-ominaisuuksien löytäminen osoitti, että klassinen mekaniikka ei pysty antamaan oikea kuvaus tällaisten hiukkasten käyttäytyminen. Oli tarpeen luoda mikrohiukkasten mekaniikka, joka ottaisi huomioon myös niiden aalto-ominaisuudet. Schrödingerin, Heisenbergin, Diracin ja muiden luomaa uutta mekaniikkaa kutsuttiin aalto- tai kvanttimekaniikaksi.

Plane de Broglie -aalto

on hyvin erityinen aaltomuodostelma, joka vastaa hiukkasen vapaata tasaista liikettä tietyssä suunnassa ja tietyllä liikemäärällä. Mutta hiukkanen, jopa vapaassa tilassa ja erityisesti sisällä voimakentät, voi suorittaa myös muita monimutkaisemmilla aaltofunktioilla kuvattuja liikkeitä. Näissä tapauksissa Täysi kuvaus hiukkasen tila kvanttimekaniikka ei anna Broglien taso, vaan jokin monimutkaisempi aalto monimutkainen toiminto

Aaltofunktio määrittää hiukkasen havaitsemisen suhteellisen todennäköisyyden eri paikoissa tilaa. Tässä vaiheessa, kun puhutaan vain todennäköisyyssuhteista, aaltofunktio määräytyy pohjimmiltaan mielivaltaiseen vakiotekijään asti. Jos aaltofunktio kerrotaan kaikissa avaruuden pisteissä samalla vakiolla (yleisesti sanottuna kompleksiluvulla), joka on eri kuin nolla, saadaan uusi aaltofunktio, joka kuvaa täsmälleen samaa tilaa. Ei ole mitään järkeä sanoa, että Ψ on nolla kaikissa avaruuden pisteissä, koska tällainen "aaltofunktio" ei koskaan anna meidän tehdä johtopäätöstä suhteellisesta todennäköisyydestä havaita hiukkanen eri paikoissa avaruudessa. Mutta Ψ:n määrittämisen epävarmuutta voidaan merkittävästi kaventaa, jos siirrytään suhteellisesta todennäköisyydestä absoluuttiseen todennäköisyyteen. Järjestetään epämääräinen tekijä funktiossa Ψ siten, että arvo |Ψ|2dV antaa absoluuttisen todennäköisyyden ilmaista hiukkanen tilatilavuuselementissä dV. Silloin |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* on Ψ:n kompleksikonjugaattifunktio) tarkoittaa todennäköisyystiheyttä, joka on odotettavissa yritettäessä havaita hiukkanen avaruudessa. Tässä tapauksessa Ψ määritetään edelleen mielivaltaiseen vakiokompleksitekijään asti, jonka moduuli on kuitenkin yhtä suuri kuin yksikkö. Tällä määritelmällä normalisointiehdon on täytyttävä:

jossa integraali vallitsee koko äärettömän avaruuden. Se tarkoittaa, että hiukkanen havaitaan varmasti koko avaruudessa. Jos |Ψ|2:n integraali otetaan yli tietyn tilavuuden V1, lasketaan todennäköisyys löytää hiukkanen tilavuuden V1 avaruudesta.

Normalisointi (2) voi olla mahdotonta, jos integraali (2) hajoaa. Näin on esimerkiksi tason de Broglie -aallon tapauksessa, kun hiukkasen havaitsemisen todennäköisyys on sama kaikissa avaruuden pisteissä. Mutta tällaisia ​​tapauksia tulisi pitää idealisoinneina todellisesta tilanteesta, jossa hiukkanen ei mene äärettömyyteen, vaan sen on pakko jäädä rajoitetulle alueelle. Silloin normalisointi ei ole vaikeaa.

Suora fyysinen merkitys ei siis liity itse funktioon Ψ, vaan sen moduuliin Ψ*Ψ. Miksi kvanttiteoriassa ne toimivat aaltofunktioilla Ψ eivätkä suoraan kokeellisesti havaittujen suureiden Ψ*Ψ kanssa? Tämä on välttämätöntä aineen aaltoominaisuuksien - interferenssin ja diffraktion - tulkitsemiseksi. Tässä tilanne on täsmälleen sama kuin missä tahansa aaltoteoriassa. Se (ainakin lineaarisessa approksimaatiossa) hyväksyy itse aaltokenttien superpositioperiaatteen, ei niiden intensiteetin, ja saavuttaa siten aaltohäiriöiden ja diffraktioiden ilmiöiden teorian sisällyttämisen. Samoin kvanttimekaniikassa aaltofunktioiden superpositioperiaate hyväksytään yhdeksi pääpostulaateista, joka koostuu seuraavasta.

(De Broglien aaltojen tilastollinen tulkinta (katso § 216) ja Heisenbergin epävarmuussuhde (katso § 215) johtivat siihen johtopäätökseen, että kvanttimekaniikan liikeyhtälön, joka kuvaa mikrohiukkasten liikettä eri voimakentissä, on oltava yhtälö. josta havainnot seuraisivat kokeellisesti hiukkasten aalto-ominaisuuksia Perusyhtälön tulee olla yhtälö suhteessa aaltofunktioon X,y, z, t),|Koska se on hän, tai tarkemmin sanottuna arvo | 2, määrittää todennäköisyyden, että hiukkanen on läsnä ajanhetkellä t volyymissa V, eli alueella, jolla on koordinaatit X Ja x+dx, y Ja y+dy, z Ja z+dz.Koska vaadittavassa yhtälössä on otettava huomioon hiukkasten aalto-ominaisuudet, sen täytyy olla aaltoyhtälö, samanlainen kuin sähkömagneettisia aaltoja kuvaava yhtälö.

Perusyhtälö ei-relativistinen kvanttimekaniikka muotoili vuonna 1926 E. Schrödinger. Schrödingerin yhtälö, kuten kaikki fysiikan perusyhtälöt (esim. Newtonin yhtälöt klassisessa mekaniikassa ja Maxwellin yhtälöt elektromagneettinen kenttä), ei ole johdettu, vaan oletettu. Tämän yhtälön oikeellisuuden vahvistaa sen avulla saatujen tulosten kokemus, mikä puolestaan ​​​​ antaa sille luonnonlain luonteen. Schrödingerin yhtälöllä on muoto

Missä ћ =h),p/(2 T-- Laplace-operaattorin D hiukkasmassa, i- kuvitteellinen yksikkö, U (x, y, z, t) - Hiukkasen potentiaalinen funktio voimakentässä, jossa se liikkuu, (x, y, z, t)- hiukkasen haluttu aaltofunktio.

Yhtälö (217.1) pätee mille tahansa hiukkaselle (jonka spin on 0; katso § 225), joka liikkuu pienellä nopeudella (verrattuna valonnopeuteen), ts. v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные |Yдолжны быть непрерывны; 3) функция | 2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).

Päästäksesi Schrödingerin yhtälöön, harkitse vapaasti liikkuvaa hiukkasta, joka de Broglien idean mukaan liittyy tasoaaltoon. Yksinkertaisuuden vuoksi tarkastelemme yksiulotteista tapausta. Akselia pitkin etenevän tasoaallon yhtälö X, on lomake (katso § 154) , tai monimutkaisessa tietueessa . Siksi taso de Broglie aallolla on muoto

(Se on otettu huomioon w = E/ћ, k = p/ћ|Y). Kvanttimekaniikassa eksponentti otetaan miinusmerkillä, mutta koska sillä on vain fyysinen merkitys | 2 , niin tällä (katso (217.2)) ei ole merkitystä. Sitten

Käyttäen energian suhdetta E ja impulssi p (E=p 2 /( 2m)) ja korvaamalla lausekkeet (217.3), saamme differentiaaliyhtälön

joka osuu yhtälöön (217.1) tapaukselle U= 0 (pidimme vapaata hiukkasta). Jos hiukkanen liikkuu voimakentässä, jolle on ominaista potentiaalienergia U, sitten kokonaisenergia E koostuu kineettisistä ja potentiaalisista energioista. Käyttämällä samanlaista päättelyä ja käyttämällä välistä suhdetta E Ja R(tässä tapauksessa s 2 /(2m)=E–U), siirrymme differentiaaliyhtälöön, joka on sama kuin (217.1).

Yllä olevaa päättelyä ei pidä pitää Schrödingerin yhtälön johdannaisena. He vain selittävät, kuinka tähän yhtälöön voidaan päästä. Todiste Schrödingerin yhtälön oikeellisuudesta on yhtäpitävyys kokemuksen kanssa niistä päätelmistä, joihin se johtaa.

Yhtälö (217.1) on yleinen Schrödingerin yhtälö. Sitä kutsutaan myös ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö ajasta, toisin sanoen, etsi Schrödingerin yhtälö Y:lle. Monille mikromaailmassa esiintyville fysikaalisille ilmiöille yhtälöä (217.1) voidaan yksinkertaistaa poistamalla riippuvuus stationääritilat - tilat, joilla on kiinteät energia-arvot. Tämä on mahdollista, jos voimakenttä, jossa hiukkanen liikkuu, on stationäärinen eli funktio U=U(x, y, z) ei ole nimenomaisesti riippuvainen ajasta ja sillä on potentiaalienergian merkitys. Tässä tapauksessa Schrödingerin yhtälön ratkaisu voidaan esittää kahden funktion tulona, ​​joista toinen on vain koordinaattien funktio, toinen vain ajan funktio, ja riippuvuus ajasta ilmaistaan ​​tekijällä , joten

Missä E - hiukkasen kokonaisenergia, vakio kiinteän kentän tapauksessa. Korvaamalla (217.4) arvolla (217.1), saamme

josta yhteisellä kertoimella jakamisen ja vastaavien muunnosten jälkeen päästään funktion määrittelevään yhtälöön v:

Yhtälöä (217.5) kutsutaan Schrödingerin yhtälö stationäärisille tiloille. Tämä yhtälö sisältää kokonaisenergian parametrina E hiukkasia. Differentiaaliyhtälöiden teoriassa on todistettu, että sellaisilla yhtälöillä on ääretön määrä ratkaisuja, joista valitaan rajaehtoja asettamalla ratkaisut, joilla on fyysinen merkitys. Schrödingerin yhtälölle tällaiset ehdot ovat aaltofunktioiden säännöllisyyden ehtoja: aaltofunktioiden tulee olla äärellisiä, yksiarvoisia ja jatkuvia ensimmäisten derivaattojensa kanssa. Siten vain niillä ratkaisuilla, jotka ilmaistaan ​​säännöllisillä funktioilla, on todellinen fyysinen merkitys y. Mutta säännöllisiä ratkaisuja ei tapahdu millekään parametriarvolle E, mutta vain tietylle joukolle niitä, jotka ovat ominaisia ​​tietylle tehtävälle. Näitä energia-arvoja kutsutaan oma. Vastaavia ratkaisuja oma energia-arvoja kutsutaan omia toimintoja. Ominaisarvot E voivat muodostaa joko jatkuvan tai erillisen sarjan. Ensimmäisessä tapauksessa puhumme jatkuva, tai täysin,spektri, toisessa - diskreetistä spektristä.

Thomson ja Rutherford malli atomista.

Ajatus atomeista jakamattomina pienimpinä aineen hiukkasina syntyi muinaisina aikoina (Demokritos, Epikuros, Lucretius). 1700-luvun alkuun mennessä atomiteoria oli tulossa yhä suositummaksi, koska siihen mennessä A. Lavoisierin teokset , M. V. Lomonosovin ja D. Daltonin atomien olemassaolon todellisuus on todistettu. Kysymystä atomien sisäisestä rakenteesta ei kuitenkaan edes noussut esiin, koska atomeja pidettiin jakamattomina. Tärkeä rooli atomimallin kehittämisessä oli Mendelejevillä, joka kehitti elementtien jaksollisen järjestelmän vuonna 1869, jossa kysymys atomien yhtenäisyydestä otettiin ensimmäisen kerran esille tieteellisesti. 1800-luvun jälkipuoliskolla todistettiin kokeellisesti, että edektoroni on yksi minkä tahansa aineen pääkomponenteista. Nämä johtopäätökset sekä kokeelliset tiedot johtivat siihen, että 1900-luvun alussa kysymys atomin rakenteesta otettiin vakavasti esille. Ensimmäinen yritys luoda atomimalli kertyneiden kokeellisten tietojen perusteella kuuluu Thomsanille. Tämän mallin mukaan atomi on jatkuvasti positiivisesti varautunut pallo, jonka säde on luokkaa m, jonka sisällä elektronit värähtelevät tasapainoasemiensa ympärillä; elektronien kokonaisvaraus on yhtä suuri kuin pallon positiivinen varaus, joten atomi on neutraali. Muutama vuosi myöhemmin todistettiin, että ajatus jatkuvasti jakautuneesta positiivisesta varauksesta atomin sisällä oli virheellinen.

Atomin rakennetta koskevien ideoiden kehittämisessä englantilaisen fyysikon Rutherfordin kokeet alfahiukkasten siroamisesta aineessa ovat erittäin tärkeitä. Alfahiukkaset syntyvät radioaktiivisten muunnosten aikana; ne ovat positiivisesti varautuneita hiukkasia, joiden varaus on 2e ja massa noin 7300 kertaa elektronin massa. Alfahiukkasten säteet ovat erittäin yksivärisiä. Tutkimuksensa perusteella Rutherford ehdotti atomin ydinmallia (planetaarista) vuonna 1911. Tämän mallin mukaan positiivisen varauksen ympärillä olemassa oleva varaus Ze (Z on jaksollisen järjestelmän alkuaineen atominumero e - alkuainevarauksen koko - ja massa, joka on lähes yhtä suuri kuin atomin massa, alueella, jossa m elektronin luokkaa olevat lineaariset mitat liikkuvat suljetuilla kiertoradoilla muodostaen atomin elektronikuoren Koska atomit ovat neutraaleja, varaus on yhtä suuri kuin elektronien kokonaisvaraus, eli Z elektronia on muutettava ytimen ympärillä. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että elektroni liikkuu ytimen ympäri pyöreällä kiertoradalla, jonka säde on r. Tässä tapauksessa ytimen ja elektronin välisen vuorovaikutuksen Coulombin voima saa aikaan normaalin kiihtyvyyden. Yhtälö, joka kuvaa elektronin ympyräliikettä Coulombin voiman vaikutuksen alainen atomi = missä ε0 on sähkövakio me ja v on elektronin massa ja nopeus kiertoradalla, jonka säde on r. Yhtälö sisältää kaksi tuntematonta r ​​ja v. Näin ollen arvoja on lukemattomia ​säteen ja vastaavien nopeusarvojen, jotka täyttävät tämän yhtälön. Siksi r:n ja v:n arvot voivat muuttua jatkuvasti, eli mikä tahansa, ei täysin spesifinen osa energiasta voi vapautua. Silloin atomien spektrien tulee olla jatkuvia. Todellisuudessa kokemus osoittaa, että atomeilla on viivaspektri. Klassisen sähködynamiikan mukaan kiihdytettyjen elektronien tulisi lähettää sähkömagneettisia aaltoja ja sen seurauksena menettää jatkuvasti energiaa. Tämän seurauksena elektronit siirtyvät lähemmäs ydintä ja putoavat lopulta sen päälle. Siten Rutherfordin atomi osoittautuu epävakaaksi järjestelmäksi, joka taas on ristiriidassa todellisuuden kanssa. Yritykset rakentaa atomin malli klassisen fysiikan puitteissa eivät johtaneet menestykseen, Thomsonin malli kumottiin Rutherfordin kokeilla, kun taas ydinmalli osoittautui epävakaaksi ja sähködynaamisesti ristiriitaiseksi koetietojen kanssa. Syntyneiden vaikeuksien voittaminen edellytti laadullisesti uuden atomiteorian luomista.

Vedyn viivaspektri

Varautuneiden kaasujen emissiospektrien tutkimus osoitti, että jokaisella kaasulla on erityinen viivaspektri, joka koostuu yksittäisistä spiraaliviivoista. Yksinkertaisimman atomin, vetyatomin, spektri on tutkituin. Sveitsiläinen tiedemies Balmer valitsi empiirisen kaavan, joka kuvaa kaikki tuolloin tunnetut vetyatomin spektriviivat spektrin näkyvällä alueella, jossa R alkuluku = on Rydbergin vakio. Myöhemmin vetyatomin spektristä löydettiin useita muita sarjoja. Spektrin ultraviolettialueella on Lyman-sarja

Myös spektrin infrapuna-alueella löydettiin

Paschen-sarja

Kiinnityssarja

v = R(1/4^2 -1/n^2) (n = 5, 6, 7…...)

Pfund-sarja

v = R(1/5^2 -1/n^2) (n = 6,7,8...)

Humphrey-sarja

v = R(1/6^2 -1/n^2) (n = 7, 8, 9…...)

Kaikki yllä olevat sarjat vetyatomin spektrissä voidaan kuvata yhdellä kaavalla, jota kutsutaan yleistetyksi Balmer-kaavaksi, jossa m:llä on vakioarvo jokaisessa sarjassa m = 1,2,3,4,5,6 (määrittää sarjan) n, ottaa kokonaislukuarvot alkaen m +1 (tunnistaa yksittäiset rivit tässä sarjassa)

Bohrin postulaatit

Tanskalainen fyysikko Niels Bohr yritti ensimmäisen kerran rakentaa laadullisesti uuden atomin teorian vuonna 1913. Hän asetti tavoitteekseen yhdistää yhdeksi kokonaisuudeksi viivaspektrien empiiriset lait, atomin Rutherfordin ydinmalli ja valon emission ja absorption kvanttiluonne. Bohr perusti teoriansa kahteen postulaattiin.

1 postulaatti (stationaaristen tilojen postulaatti) atomissa on stationäärisiä tiloja, joissa se ei emittoi energiaa, näille tiloille on ominaista tietyt diskreetit energiaarvot. Atomin kiinteät tilat vastaavat paikallaan olevia kiertoradoja, joita pitkin elektronit liikkuvat. Elektronien liikkumiseen kiinteillä kiertoradoilla ei liity sähkömagneettisten aaltojen säteilyä. Atomin paikallaan olevassa tilassa ympyräradalla liikkuvalla elektronilla on oltava diskreetit liikemäärän kvanttiarvot, jotka täyttävät ehdon

Missä me on elektronin massa v on nopeus

Postulaatti 2 (taajuussääntö): kun elektroni siirtyy kiinteältä kiertoradalta toiselle, yksi fotoni, jolla on energiaa, emittoituu

Vastaavien stationaaristen tilojen energiaero E_m on vastaavasti atomin stationaaristen tilojen energia ennen säteilyä ja sen jälkeen. Kun - säteilyä tapahtuu, kun - se absorboituu Kvanttisiirtymien mahdollisten diskreettien taajuuksien joukko määrää atomin viivaspektrin.

O. Stern ja V Gerlach suorittivat magneettisten momenttien mittauksia ja havaitsivat vuonna 1922, että kapea vetyatomisäde, ilmeisesti s-tilassa, epähomogeenisessa magneettikentässä jakautuu kahdeksi säteeksi. Tässä tilassa elektronin kulmamomentti on nolla. Elektronin kiertoradan liikkeeseen liittyvä atomin magneettinen momentti on verrannollinen mekaaniseen momenttiin, joten se on yhtä suuri kuin nolla ja magneettikentän ei pitäisi vaikuttaa vetyatomien liikkeisiin perustilassa, eli siinä ei pitäisi olla halkeilua . kuitenkin myöhemmin korkearesoluutioisilla spektriinstrumenteilla todistettiin, että vetyatomin spektriviivat osoittavat hienon rakenteen myös ilman magneettikenttää. Useiden muiden atomifysiikan vaikeuksien tavoin Uhlenbeck ja Goudsmit ehdottivat, että elektronilla on oma tuhoutumaton mekaaninen kulmamomenttinsa, joka ei liity elektronin liikkeeseen avaruudessa spinin mukaan. Elektronin spin on kvanttisuure; sillä ei ole klassista analogia; se on elektronin sisäinen, luontainen ominaisuus, joka on samanlainen kuin sen massa ja varaus. Jos elektronille määrätään oma mekaaninen kulmamomenttinsa, niin se vastaa sen omaa magneettista momenttiaan Kvanttimekaniikan yleisten johtopäätösten mukaan spin kvantisoidaan lain mukaan, jossa s on spinin kvanttiluku.

Mikrohiukkasen liikeyhtälö eri voimakentissä on Schrödingerin aaltoyhtälö.

Kiinteissä tiloissa Schrödingerin yhtälö on:

M – hiukkasmassa, h – Planckin vakio, E – kokonaisenergia, U – potentiaalienergia.

Schrödingerin yhtälö on toisen asteen differentiaaliyhtälö, ja sillä on ratkaisu, joka osoittaa, että vetyatomissa kokonaisenergian on oltava diskreetti:

Tämä energia on vastaavilla tasoilla n =1,2,3,...kaavan mukaan:

Alin taso E vastaa pienintä mahdollista energiaa. Tätä tasoa kutsutaan perustasoksi, kaikkia muita kutsutaan jännittyneiksi.

Pääkvanttiluvun n kasvaessa energiatasot sijoittuvat lähemmäksi toisiaan, kokonaisenergia pienenee ja kun n =E>0 elektronista tulee vapaa, sitoutumaton tiettyyn ytimeen ja atomi ionisoituu.

Täydellinen kuvaus elektronin tilasta atomissa energian lisäksi liittyy neljään ominaisuuteen, joita kutsutaan kvanttiluvuiksi. Näitä ovat: pääkvanttiluku n, kiertoradan kvanttiluku l, magneettinen kvanttiluku m1, magneettinen spinkvanttiluku ms.

valtaistuin avaruudessa, eli aaltofunktio avaruudessa on ominaista kolmella järjestelmällä. Jokaisella niistä on omat kvanttinumeronsa: n, l, ml.

Jokaisella mikrohiukkasella, mukaan lukien elektroni, on myös oma sisäinen kompleksiliike. Tätä liikettä voidaan luonnehtia neljännellä kvanttiluvulla ms. Puhutaanpa tästä tarkemmin.

A. Pääkvanttiluku n määrittää kaavan mukaan elektronin energiatasot atomissa ja voi saada arvot n = 1, 2, 3...

B. Ratakvanttiluku /. Schrödingerin yhtälön ratkaisusta seuraa, että elektronin kulmamomentti (sen mekaaninen kiertomomentti) kvantisoidaan, eli se saa diskreetit arvot, jotka määrätään kaavalla

missä Ll on kiertoradalla olevan elektronin kulmaliikemäärä, l on kiertoradan kvanttiluku, joka tietylle n:lle saa arvon i = 0, 1, 2... (n – 1) ja määrittää elektronin kulmamomentin elektroni atomissa.B. Magneettinen kvanttiluku ml.

Schrödingerin yhtälön ratkaisusta seuraa myös, että vektori Ll (elektronin kulmamomentti) orientoituu avaruudessa ulkoisen magneettikentän vaikutuksesta. Tässä tapauksessa vektori avautuu niin, että sen projektio ulkoisen magneettikentän suuntaan on

missä ml kutsutaan magneettiseksi kvanttiluvuksi, joka voi saada arvot ml = 0, ±1, ±2, ±1, eli yhteensä (2l + 1) arvoja.

Edellä esitetyn perusteella voidaan päätellä, että vetyatomilla voi olla sama energia-arvo, kun se on useassa eri tilassa (n on sama, mutta l ja ml ovat erilaisia).

Kun elektroni liikkuu atomissa, elektronilla on havaittavasti aalto-ominaisuuksia. Siksi kvanttielektroniikka yleensä hylkää klassiset käsitykset elektronien kiertoradoista. Puhumme elektronin todennäköisen sijainnin määrittämisestä kiertoradalla, eli elektronin sijainti voidaan esittää tavanomaisella "pilvellä". Liikkeensä aikana elektroni on ikään kuin "tahroitu" koko tämän "pilven" tilavuuden läpi. Kvanttiluvut n ja l kuvaavat elektroni "pilven" kokoa ja muotoa, ja kvanttiluku ml kuvaa tämän "pilven" suuntausta avaruudessa.

Vuonna 1925 amerikkalaiset fyysikot Uhlenbeck ja Goudsmit osoittivat, että elektronilla on myös oma kulmamomenttinsa (spin), vaikka emme pidä elektronia monimutkaisena mikrohiukkasena. Myöhemmin kävi ilmi, että protoneilla, neutroneilla, fotoneilla ja muilla alkuainehiukkasilla on spin

Sternin, Gerlachin ja muiden fyysikkojen kokeet johtivat tarpeeseen karakterisoida elektroni (ja mikrohiukkaset yleensä) sisäisellä lisävapausasteella. Siksi elektronin tilan täydelliseksi kuvaamiseksi atomissa on tarpeen määrittää neljä kvanttilukua: pääluku - n, rataluku - l, magneettiluku - ml, magneettinen spin-luku - ms.

Kvanttifysiikassa on todettu, että aaltofunktioiden ns. symmetria tai epäsymmetria määräytyy hiukkasen spinin perusteella. Hiukkasten symmetrian luonteesta riippuen kaikki alkuainehiukkaset ja niistä rakennetut atomit ja molekyylit jaetaan kahteen luokkaan. Hiukkaset, joilla on puolikokonaisluvun spin (esim. elektronit, protonit, neutronit) kuvataan epäsymmetrisillä aaltofunktioilla, ja ne noudattavat Fermi-Diracin tilastoja. Näitä hiukkasia kutsutaan fermioneiksi. Hiukkaset, joilla on kokonaislukuspin, mukaan lukien nollaspin, kuten fotoni (Ls = 1) tai n-mesoni (Ls = 0), kuvataan symmetrisillä aaltofunktioilla ja noudattavat Bosen–Einsteinin tilastoja. Näitä hiukkasia kutsutaan bosoneiksi. Monimutkaiset hiukkaset (esimerkiksi atomiytimet), jotka koostuvat parittomasta määrästä fermioneja, ovat myös fermioneja (kokonaisspin on puolikokonaisluku), ja parillisesta luvusta koostuvat bosonit (kokonaisspin on kokonaisluku).

Jos siirrytään yhden mikrohiukkasen (yhden elektronin) liikkeen tarkastelusta monielektronisysteemeihin, ilmenee erityisiä ominaisuuksia, joilla ei ole analogeja klassisessa fysiikassa. Olkoon kvanttimekaaninen järjestelmä identtisiä hiukkasia, esimerkiksi elektroneja. Kaikilla elektroneilla on samat fysikaaliset ominaisuudet - massa, sähkövaraus, spin ja muut sisäiset ominaisuudet (esimerkiksi kvanttiluvut). Tällaisia ​​hiukkasia kutsutaan identtisiksi.

Identtisten identtisten hiukkasten järjestelmän välttämättömät ominaisuudet ilmenevät kvanttimekaniikan perusperiaatteessa - identtisten hiukkasten erottamattomuuden periaatteessa, jonka mukaan on mahdotonta erottaa identtisiä hiukkasia kokeellisesti.

Klassisessa mekaniikassa identtisetkin hiukkaset voidaan erottaa niiden sijainnista avaruudessa ja liikemäärästä. Jos hiukkaset on numeroitu jossain vaiheessa, niin seuraavina aikoina minkä tahansa hiukkasten liikerata voidaan jäljittää. Klassisilla hiukkasilla on siis yksilöllisyyttä, joten identtisten hiukkasten järjestelmien klassinen mekaniikka ei pohjimmiltaan eroa eri hiukkasten järjestelmien klassisesta mekaniikasta.

Kvanttimekaniikassa tilanne on toinen. Epävarmuussuhteesta seuraa, että liikeradan käsitettä ei yleensä voida soveltaa mikropartikkeleille; mikropartikkelin tilaa kuvaa aaltofunktio, jonka avulla voidaan vain laskea todennäköisyys löytää mikropartikkeli tietyn avaruuden pisteen läheisyydestä. Jos kahden identtisen hiukkasen aaltofunktiot avaruudessa menevät päällekkäin, ei ole mitään järkeä puhua siitä, mikä hiukkanen on tietyllä alueella: voimme puhua vain todennäköisyydestä, että yksi identtisista hiukkasista on tietyllä alueella. Siten kvanttimekaniikassa identtiset hiukkaset menettävät täysin yksilöllisyytensä ja muuttuvat erottamattomiksi. On korostettava, että identtisten hiukkasten erottamattomuuden periaate ei ole vain seuraus aaltofunktion todennäköisestä tulkinnasta, vaan se on tuotu kvanttimekaniikkaan uutena periaatteena; kuten edellä todettiin, se on perustavanlaatuinen.

Kun otetaan huomioon suuren fyysinen merkitys, identtisten hiukkasten erottamattomuuden periaate voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa: , (8.1.1)

missä ja ovat vastaavasti ensimmäisen ja toisen hiukkasen tila- ja voimakoordinaattien joukko. Lausekkeesta (8.1.1) seuraa, että kaksi tapausta on mahdollista:

nuo. identtisten hiukkasten erottamattomuuden periaate johtaa tiettyyn aaltofunktion symmetriaominaisuuteen. Jos hiukkasten vaihtaessa paikkaa, aaltofunktio ei vaihda etumerkkiä, sitä kutsutaan symmetriseksi; jos muuttuu, sitä kutsutaan antisymmetriseksi. Aaltofunktion etumerkin muutos ei tarkoita tilan muutosta, koska Vain aaltofunktion neliömoduulilla on fyysinen merkitys.

Kvanttimekaniikassa on todistettu, että aaltofunktion symmetria ei muutu ajan myötä. Tämä ei ole todiste siitä, että symmetrian tai antisymmetrian ominaisuudet ovat tämän tyyppisten mikrohiukkasten ominaisuus.

On todettu, että aaltofunktioiden symmetria tai antisymmetria määräytyy hiukkasten spinin perusteella. Symmetrian luonteesta riippuen kaikki alkuainehiukkaset ja niistä rakennetut järjestelmät (atomit, molekyylit) jaetaan kahteen luokkaan: hiukkaset, joilla on puolikokonaisluku spin (esim. elektronit, neutronit ja protonit) kuvataan antisymmetrisillä aaltofunktioilla ja noudattaa Fermi–Diracin tilastoja; näitä hiukkasia kutsutaan fermioneiksi. Hiukkasia, joiden spin on nolla tai kokonaisluku (esimerkiksi fotonit, mesonit), kuvataan symmetrisillä funktioilla (aalto) ja ne noudattavat Bosen–Einsteinin tilastoja; näitä hiukkasia kutsutaan bosoneiksi.

Monimutkaiset hiukkaset (esimerkiksi atomiytimet), jotka koostuvat parittomasta määrästä fermioneja, ovat fermioneja (kokonaisspin on puolikokonaisluku), ja parillisesta luvusta koostuvat ovat bosoneja (kokospin on kokonaisluku).

Sveitsiläinen fyysikko W. Pauli totesi teoreettisesti identtisten hiukkasten järjestelmän aaltofunktioiden symmetrian luonteen riippuvuuden hiukkasten spinistä, mikä oli toinen todiste siitä, että spinit ovat mikrohiukkasten perusominaisuus.

Tutkittuaan elementtien ominaisuuksia, jotka on järjestetty sarjaan niiden atomimassan kasvavia arvoja, suuri venäläinen tiedemies D.I. Mendelejev johti vuonna 1869 jaksollisuuden lain:

alkuaineiden ominaisuudet ja siten niiden muodostamien yksinkertaisten ja monimutkaisten kappaleiden ominaisuudet ovat ajoittain riippuvaisia ​​alkuaineiden atomipainojen suuruudesta.

Tämän lain mukaan kemiallisten alkuaineiden ominaisuuksien muutoksella niiden atomimassan kasvaessa on jaksollinen luonne, ts. tietyn määrän elementtejä (eri jaksoilla eri) jälkeen elementtien ominaisuudet toistuvat samassa järjestyksessä, vaikkakin joillakin laadullisilla ja määrällisillä eroilla. Vain kolmessa tapauksessa Mendelejev rikkoi alkuaineiden järjestystä - hän asetti argonin kaliumin edelle, koboltin nikkelin edelle ja telluurin jodin edelle. Tätä edellytti kemiallisten alkuaineiden ominaisuuksien samankaltaisuus.

Graafinen esitys jaksollisesta laista on D.I.:n elementtitaulukko. Mendelejev. Jokaisella sen elementillä on sarjanumero. Taulukossa koko elementtisarja on jaettu erillisiin segmentteihin, joissa ominaisuuksien jaksoittaisten muutosten syklit alkavat ja päättyvät. Pystysegmenttejä kutsutaan ryhmiksi ja vaakasuuntaisia ​​jaksoja.

Kolmea ensimmäistä jaksoa, jotka sisältävät 2, 8 ja 8 elementtiä, kutsutaan pieniksi, loput, jotka sisältävät 18, 18 ja 32 elementtiä, kutsutaan suuriksi. Suuret jaksot jaetaan sarjoihin, kun taas pienet jaksot osuvat vastaaviin sarjoihin.

Jokaisessa ryhmässä suurten ajanjaksojen elementit on jaettu kahteen alaryhmään - pää- ja toissijaisiin. Pääalaryhmä sisältää samanlaisia ​​elementtejä, mukaan lukien pienten ja suurten ajanjaksojen elementit. Toissijainen alaryhmä sisältää samanlaisia ​​elementtejä, mukaan lukien vain suurten ajanjaksojen elementit. Ryhmän elementtien suurin mahdollinen valenssi on yhtä suuri kuin ryhmän numero. Vaikka joillakin elementeillä ei ole maksimivalenssia, esimerkiksi happi, fluori, neon, toisaalta kullan, ryhmän I toissijaisen alaryhmän elementin, valenssi voi ylittää yhden, se saavuttaa kolme.

Jaksottaisen lain löytäminen sai fyysikot etsimään selitystä sille atomin rakenneteorian näkökulmasta ja päinvastoin.Periodisesta laista tuli keino testata ehdotettujen atomirakennemallien totuutta.

Englantilainen fyysikko E. Rutherford vuonna 1911 ehdotti J. Thomsonin vuonna 1897 löytämän elektronin perusteella, että atomi koostuu positiivisesti varautuneesta ytimestä ja sen ympärillä pyörivistä elektroneista ympyräradoilla. Tässä tapauksessa ytimen positiivinen varaus neutraloituu elektronien negatiivisella kokonaisvarauksella, mikä tekee atomista kokonaisuudessaan sähköisesti neutraalin. Rutherford osoitti kokeellisesti, että ytimen varaus on numeerisesti yhtä suuri kuin alkuaineen atomiluku jaksollisessa taulukossa.

Vasta sitten oli mahdollista selittää syy jaksollisen taulukon alkuaineiden järjestyksen rikkomiseen (argon ennen kaliumia, koboltti ennen nikkeliä ja telluuri ennen jodia). Listatut alkuaineet järjestettiin niiden ytimien varausten muutoksen mukaisesti. Siten kävi ilmi, että pääsuure, josta alkuaineen ominaisuudet riippuvat, on ytimen varaus. Tämä johtaa Mendelejevin jaksollisen lain nykyaikaiseen muotoiluun:

Kemiallisten alkuaineiden ominaisuudet sekä alkuaineyhdisteiden muodot ja ominaisuudet riippuvat ajoittain niiden ytimien varauksesta.

Kehittäessään de Broglien ajatusta aineen aaltoominaisuuksista E. Schrödinger sai kuuluisan yhtälön vuonna 1926. Schrödinger liitti mikrohiukkasen liikkeen monimutkaiseen koordinaattien ja ajan funktioon, jota hän kutsui aaltofunktioksi ja merkitsi kreikkalaisella kirjaimella "psi" (). Kutsumme sitä psi-funktioksi.

Psi-funktio kuvaa mikropartikkelin tilaa. Funktion muoto saadaan Schrödingerin yhtälön ratkaisusta, joka näyttää tältä:

Tässä on hiukkasen massa, i on imaginaariyksikkö, on Laplace-operaattori, jonka toiminnan tulos tietylle funktiolle on toisten osittaisten derivaattojen summa koordinaattien suhteen:

Yhtälön (21.1) kirjain U tarkoittaa koordinaattien ja ajan funktiota, jonka gradientti päinvastaisella etumerkillä otettuna määrää hiukkaseen vaikuttavan voiman. Siinä tapauksessa, että funktio U ei ole eksplisiittisesti riippuvainen ajasta, sillä on hiukkasen potentiaalienergian merkitys.

Yhtälöstä (21.1) seuraa, että psi-funktion muodon määrää funktio U, eli viime kädessä hiukkaseen vaikuttavien voimien luonne.

Schrödingerin yhtälö on ei-relativistisen kvanttimekaniikan perusyhtälö. Sitä ei voi johtaa muista suhteista. Sitä tulee pitää alustavana perusoletuksena, jonka pätevyyden todistaa se, että kaikki siitä johtuvat seuraukset ovat mitä tarkimmin sopusoinnussa kokeellisten tosiasioiden kanssa.

Schrödinger perusti yhtälönsä optis-mekaanisen analogian perusteella. Tämä analogia piilee valonsäteiden reittiä kuvaavien yhtälöiden samankaltaisessa yhtälössä hiukkasten liikeradat määrittävien yhtälöiden kanssa analyyttisessä mekaniikassa. Optiikassa säteiden reitti täyttää Fermatin periaatteen (ks. 2. osan § 115), mekaniikassa liikeradan tyyppi täyttää niin sanotun pienimmän toiminnan periaatteen.

Jos voimakenttä, jossa hiukkanen liikkuu, on paikallaan, niin funktio V ei ole eksplisiittisesti riippuvainen ajasta ja, kuten jo todettiin, sillä on potentiaalienergian merkitys. Tässä tapauksessa Schrödinger-yhtälön ratkaisu jakautuu kahteen tekijään, joista toinen riippuu vain koordinaateista, toinen - vain ajasta:

Tässä E on hiukkasen kokonaisenergia, joka kiinteän kentän tapauksessa pysyy vakiona. Varmistaaksemme lausekkeen (21.3) oikeellisuuden korvataan se yhtälöllä (21.1). Tuloksena saamme suhteen

Yhteisellä kertoimella pelkistämällä saadaan funktion määrittelevä differentiaaliyhtälö

Yhtälöä (21.4) kutsutaan stationaaristen tilojen Schrödingerin yhtälöksi. Seuraavassa käsittelemme vain tätä yhtälöä ja lyhyyden vuoksi kutsumme sitä yksinkertaisesti Schrödingerin yhtälöksi. Yhtälö (21.4) kirjoitetaan usein muodossa

Selitetään, kuinka Schrödingerin yhtälöön voidaan päästä. Yksinkertaisuuden vuoksi rajoitamme itsemme yksiulotteiseen tapaukseen. Tarkastellaanpa vapaasti liikkuvaa hiukkasta.

De Broglien idean mukaan se on yhdistettävä tasoaaltoon

(kvanttimekaniikassa on tapana ottaa eksponentti miinusmerkillä). Korvaamalla kohtien (18.1) ja (18.2) mukaisesti E ja saamme lausekkeen

Erottamalla tämä lauseke kerran t:n suhteen ja toisen kerran kahdesti x:n suhteen saadaan

Ei-relativistisessa klassisessa mekaniikassa vapaan hiukkasen energia E ja liikemäärä liittyvät toisiinsa suhteella

Korvaamalla E:n lausekkeet (21.7) tähän suhteeseen ja vähentämällä sitten arvolla , saadaan yhtälö

joka osuu yhtälöön (21.1), jos laitamme jälkimmäiseen

Jos hiukkanen liikkuu voimakentässä, jolle on ominaista potentiaalienergia U, energia E ja liikemäärä liittyvät toisiinsa

Laajentamalla E:n lausekkeet (21.7) tähän tapaukseen saadaan

Kerrotaan tämä suhde ja siirretään termiä vasemmalle, saadaan yhtälö

samaan aikaan yhtälön (21.1) kanssa.

Esitetyllä päättelyllä ei ole todistusvoimaa, eikä sitä voida pitää Schrödingerin yhtälön johdannaisena. Niiden tarkoituksena on selittää, kuinka tämä yhtälö voidaan päätyä.

Kvanttimekaniikassa käsitteellä on tärkeä rooli, operaattori on sääntö, jolla yksi funktio (merkittään se) liitetään toiseen funktioon (merkittään se). Symbolisesti tämä on kirjoitettu seuraavasti:

Tässä on operaattorin symbolinen nimitys (samalla menestyksellä voisi ottaa minkä tahansa muun kirjaimen, jonka yläpuolella on "cap" jne.). Kaavassa (21.2) Q:n rooli on funktiolla F, ja f:n rooli on kaavan oikea puoli.

Tehtävässämme funktiolla U(x) on erityinen, epäjatkuva muoto: se on seinien välissä nolla, ja kaivon reunoilla (seinillä) se kääntyy äärettömään:

Kirjoitetaan Schrödingerin yhtälö hiukkasten liikkumattomille tiloille seinien välissä sijaitseviin pisteisiin:

tai jos otamme huomioon kaavan (1.1)

Yhtälöön (1.3) on tarpeen lisätä reunaehdot kaivon seinillä. Otetaan huomioon, että aaltofunktio liittyy hiukkasten löytämisen todennäköisyyteen. Lisäksi ongelman olosuhteiden mukaan hiukkasta ei voida havaita seinien ulkopuolelta. Silloin aaltofunktion seinillä ja niiden takana täytyy kadota, ja ongelman reunaehdot ovat yksinkertaisessa muodossa:

Aloitetaan nyt yhtälön (1.3) ratkaiseminen. Erityisesti voidaan ottaa huomioon, että sen ratkaisu on de Broglie-aallot. Mutta yksi de Broglie-aalto ratkaisuna ei selvästikään sovellu ongelmaamme, koska se ilmeisesti kuvaa vapaata hiukkasta, joka "juoksee" yhteen suuntaan. Meidän tapauksessamme hiukkanen kulkee "edestakaisin" seinien välillä. Tässä tapauksessa voidaan superpositioperiaatteen perusteella yrittää esittää haluttua ratkaisua kahden de Broglie-aallon muodossa, jotka kulkevat toisiaan kohti impulsseilla p ja -p, eli muodossa:

Vakiot ja löytyvät yhdestä reunaehdoista ja normalisointiehdoista. Jälkimmäinen sanoo, että jos lasket yhteen kaikki todennäköisyydet, eli etsit todennäköisyyden löytää elektroni seinien välistä yleensä (mikä tahansa paikasta), saat yhden (luotettavan tapahtuman todennäköisyys on 1), eli:

Ensimmäisen rajaehdon mukaan meillä on:

Siten saamme ratkaisun ongelmaamme:

Kuten tiedetään,. Siksi löydetty ratkaisu voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Vakio A määritetään normalisointiehdosta. Mutta hän ei ole erityisen kiinnostunut täällä. Toinen rajaehto jäi käyttämättä. Millaisen tuloksen sen avulla voit saada? Käytettynä löydettyyn ratkaisuun (1.5) se johtaa yhtälöön:

Siitä näemme, että ongelmassamme impulssi p voi ottaa mitä tahansa arvoa, vaan vain arvot

Muuten, n ei voi olla nolla, koska aaltofunktio olisi silloin yhtä suuri kuin nolla kaikkialla alueella (0...l)! Tämä tarkoittaa, että seinien välinen hiukkanen ei voi olla levossa! Hänen täytyy ehdottomasti liikkua. Johtoelektronit metallissa ovat samanlaisissa olosuhteissa. Saatu johtopäätös pätee myös niihin: metallissa olevat elektronit eivät voi olla paikallaan.

Liikkuvan elektronin pienin mahdollinen liikemäärä on

Osoitimme, että elektronin liikemäärä muuttaa merkkiä, kun se heijastuu seinistä. Siksi kysymykseen, mikä on elektronin liikemäärä sen ollessa lukittuna seinien väliin, ei voida vastata yksiselitteisesti: joko +p tai -p. Impulssi on epävarma. Sen epävarmuusaste määräytyy ilmeisesti seuraavasti: =p-(-p)=2p. Koordinaatin epävarmuus on yhtä suuri kuin l; jos yrität "saapua" elektronin, se löytyy seinien välistä, mutta missä tarkalleen ei tiedetä. Koska p:n pienin arvo on , saamme:

Olemme vahvistaneet Heisenberg-relaation ongelmamme ehdoilla, eli sillä ehdolla, että p:n pienin arvo on olemassa. Jos pidetään mielessä mielivaltainen mahdollinen liikemäärän arvo, niin epävarmuussuhde saa seuraavan muodon:

Tämä tarkoittaa, että alkuperäinen Heisenberg-Bohrin epävarmuuden postulaatti asettaa vain mittausten aikana mahdollisten epävarmuustekijöiden alarajan. Jos liikkeen alussa järjestelmä oli varustettu minimaalisella epävarmuudella, niin ajan myötä ne voivat kasvaa.

Kaava (1.6) viittaa kuitenkin myös toiseen erittäin mielenkiintoiseen päätelmään: käy ilmi, että kvanttimekaniikassa järjestelmän liikemäärä ei aina pysty muuttumaan jatkuvasti (kuten klassisessa mekaniikassa aina). Esimerkissämme hiukkasten liikemäärä on diskreetti, seinien välinen liikemäärä voi muuttua vain hyppyissä (kvanteissa). Tarkasteltavan ongelman hypyn suuruus on vakio ja yhtä suuri kuin .

Kuvassa 2. Hiukkasen liikemäärän mahdollisten arvojen spektri on kuvattu selkeästi. Siten klassiselle mekaniikalle täysin vieras mekaanisten suureiden muutosten diskreetti kvanttimekaniikassa seuraa sen matemaattisesta laitteesta. Kysymykseen, miksi impulssi muuttuu hyppyissä, on mahdotonta löytää selkeää vastausta. Nämä ovat kvanttimekaniikan lakeja; johtopäätöksemme seuraa niistä loogisesti - se on koko selitys.

Käännytään nyt hiukkasen energiaan. Energia on suhteessa liikemäärään kaavan (1) mukaan. Jos pulssispektri on diskreetti, käy automaattisesti ilmi, että seinien välinen hiukkasenergia-arvojen spektri on diskreetti. Ja se löytyy alkeellisella tavalla. Jos kaavan (1.6) mukaiset mahdolliset arvot korvataan kaavalla (1.1), saadaan:

jossa n = 1, 2,…, ja sitä kutsutaan kvanttiluvuksi.

Joten saimme energiatasot.

Riisi. Kuva 3 kuvaa energiatasojen järjestelyä, joka vastaa ongelmamme ehtoja. On selvää, että toiselle ongelmalle energiatasojen järjestely on erilainen. Jos hiukkanen on varautunut (esimerkiksi se on elektroni), se pystyy säteilemään spontaanisti valoa (fotonin muodossa), vaikka se ei ole alhaisimmalla energiatasolla. Samalla se siirtyy alemmalle energiatasolle ehtojen mukaisesti:

Ongelmamme jokaisen stationaaritilan aaltofunktiot ovat sinimuotoja, joiden nolla-arvot putoavat välttämättä seinille. Kaksi tällaista aaltofunktiota arvolle n = 1,2 on esitetty kuvassa. 1.