Aaltofunktio ja sen tilastollinen merkitys. Aaltotoiminnon normalisointitila

Kuten tiedetään, klassisen mekaniikan päätehtävä on määrittää makroobjektin sijainti milloin tahansa. Tätä varten laaditaan yhtälöjärjestelmä, jonka ratkaisun avulla voimme selvittää sädevektorin riippuvuuden ajasta t. Klassisessa mekaniikassa hiukkasen tila sen liikkeen aikana kullakin hetkellä saadaan kahdella suurella: sädevektorilla ja liikemäärällä. Siten klassinen kuvaus hiukkasen liikkeestä pätee, jos se tapahtuu alueella, jonka ominaiskoko on paljon suurempi kuin de Broglien aallonpituus. Muussa tapauksessa (esimerkiksi lähellä atomin ydintä) tulee ottaa huomioon mikrohiukkasten aalto-ominaisuudet. Aaltoominaisuuksien mikroobjektien klassisen kuvauksen rajallinen soveltuvuus näkyy epävarmuussuhteilla.

Ottaen huomioon mikrohiukkasen aaltoominaisuudet, sen tila kvanttimekaniikassa määritetään käyttämällä tiettyä koordinaattien ja ajan funktiota (x, y, z, t) , nimeltään Aalto tai - toiminto . Kvanttifysiikka esitellään monimutkainen toiminto kuvaamalla kohteen puhdasta tilaa, jota kutsutaan aaltofunktioksi. Yleisimmässä tulkinnassa tämä funktio liittyy todennäköisyyteen löytää kohde jossakin puhtaassa tilassa (aaltofunktion moduulin neliö on todennäköisyystiheys).

Kun hiukkasen liikkeen kuvaaminen dynamiikan laeista saatujen lentoratojen avulla on luopunut ja sen sijaan määritetty aaltofunktio, on otettava huomioon yhtälö, joka vastaa Newtonin lakeja ja antaa reseptin löytää ratkaisuja erityisesti fyysisiin ongelmiin. Tällainen yhtälö on Schrödingerin yhtälö.

Teoriaa, joka kuvaa pienten hiukkasten liikettä niiden aalto-ominaisuudet huomioon ottaen, kutsutaan ns kvantti , tai aaltomekaniikka. Monet tämän teorian säännökset vaikuttavat oudolta ja epätavallisilta klassisen fysiikan tutkimuksessa kehittyneiden ideoiden näkökulmasta. On aina muistettava, että teorian oikeellisuuden kriteeri, vaikka se aluksi kuulostaa kuinka oudolta, on sen seurausten yhteensopivuus kokeellisen tiedon kanssa. Kvanttimekaniikka alallaan (atomien, molekyylien ja osittain atomiytimien rakenne ja ominaisuudet) on kokemuksen täysin vahvistama.

Aaltofunktio kuvaa hiukkasen tilaa kaikissa avaruuden pisteissä ja milloin tahansa. Ymmärtääksemme aaltofunktion fysikaalisen merkityksen, siirrytään elektronidiffraktiokokeiluun. (Thomsonin ja Tartakovskin kokeet elektronien siirtämisestä ohuen metallikalvon läpi). Osoittautuu, että selkeitä diffraktiokuvioita havaitaan, vaikka yksittäiset elektronit olisi suunnattu kohteeseen, ts. kun jokainen seuraava elektroni emittoituu sen jälkeen, kun edellinen on saavuttanut näytön. Riittävän pitkän pommituksen jälkeen näytöllä oleva kuva vastaa täsmälleen sitä, joka saadaan, kun suuri määrä elektroneja suunnataan kohteeseen samanaikaisesti.

Tästä voidaan päätellä, että minkä tahansa mikrohiukkasen liike erikseen, mukaan lukien sen havaitsemispaikka, noudattaa tilastollisia (todennäköisyyspohjaisia) kuvioita, ja kun yksi elektroni suunnataan kohteeseen, se piste näytöllä, johon se kiinnittyy, on 100 % etukäteen.On mahdotonta ennustaa varmuudella.

Thomsonin diffraktiokokeissa valokuvalevylle muodostui tummien samankeskisten renkaiden järjestelmä. On turvallista sanoa, että jokaisen emittoidun elektronin havaitsemisen (lyömisen) todennäköisyys erilaisia paikkoja valokuvalevyt eivät ole samoja. Tummien samankeskisten renkaiden alueella tämä todennäköisyys on suurempi kuin näytön muualla. Elektronien jakautuminen koko näytölle osoittautuu samaksi kuin intensiteettijakauma sähkömagneettinen aalto samanlaisessa diffraktiokokeessa: missä röntgenaallon intensiteetti on korkea, Thomson-kokeessa kirjataan monia hiukkasia, ja kun intensiteetti on alhainen, hiukkasia ei juuri esiinny.

Aallon näkökulmasta elektronien maksimimäärän läsnäolo joissakin suunnissa tarkoittaa, että nämä suunnat vastaavat de Broglien aallon suurinta intensiteettiä. Tämä toimi de Broglien aallon tilastollisen (todennäköisyyspohjaisen) tulkinnan perustana. Aaltofunktio on vain matemaattinen lauseke, jonka avulla voit kuvata minkä tahansa aallon etenemistä avaruudessa. Erityisesti todennäköisyys löytää hiukkanen tietyltä avaruuden alueelta on verrannollinen hiukkaseen liittyvän aallon amplitudin neliöön.

Yksiulotteiseen liikkeeseen (esimerkiksi akselin suunnassa Härkä) todennäköisyys dP hiukkasten havaitseminen pisteiden välillä x Ja x + dx tällä hetkellä t on yhtä suuri kuin

dP = , (6.1)

missä | (x,t)| 2 = (x,t) *(x,t) on aaltofunktion moduulin neliö (symboli * tarkoittaa kompleksista konjugaatiota).

Yleisessä tapauksessa, kun hiukkanen liikkuu kolmiulotteisessa avaruudessa, todennäköisyys dP hiukkasen havaitseminen pisteessä, jolla on koordinaatit (x, y, z)äärettömän pienen tilavuuden sisällä dV annetaan samanlaisella yhtälöllä :dp=|(x,y,z,t)|2dV. Ensimmäisen todennäköisyyspohjaisen tulkinnan aaltofunktiosta antoi Born vuonna 1926.

Todennäköisyys löytää hiukkanen koko äärettömästä avaruudesta on yhtä suuri kuin yksi. Tämä tarkoittaa aaltofunktion normalisointiehtoa:

. (6.2)

Arvo on todennäköisyystiheys , tai, joka on sama, hiukkasten koordinaattien tiheysjakauma. Yksinkertaisimmassa tapauksessa hiukkasen yksiulotteinen liike akselia pitkin HÄRKÄ sen koordinaatin keskiarvo lasketaan seuraavalla suhteella:

<x(t)>= . (6.3)

Jotta aaltofunktio olisi mikropartikkelin tilan objektiivinen ominaisuus, sen on täytettävä useita rajoittavia ehtoja. Funktion Ψ, joka kuvaa mikrohiukkasen havaitsemisen todennäköisyyttä tilavuuselementissä, tulee olla äärellinen (todennäköisyys ei voi olla suurempi kuin yksi), yksiselitteinen (todennäköisyys ei voi olla moniselitteinen arvo), jatkuva (todennäköisyys ei voi muuttua äkillisesti) ja sileä (ilman taitoksia) koko tilassa .

Aaltofunktio täyttää superpositioperiaatteen: jos järjestelmä voi olla aaltofunktioiden Ψ1, Ψ2, Ψ kuvaamissa eri tiloissa n, se voi olla tilassa, jota kuvaa näiden funktioiden lineaarinen yhdistelmä:

, (6.4)

Missä Cn(n= 1, 2, 3) ovat mielivaltaisia, yleisesti ottaen kompleksilukuja.

Aaltofunktioiden (aaltofunktioiden moduulien neliöillä määritetyt todennäköisyysamplitudit) summaus erottaa kvanttiteorian pohjimmiltaan klassisesta tilastoteoriasta, jossa todennäköisyyslisäyslause pätee itsenäisille tapahtumille.

Aaltofunktio Ψ on mikroobjektien tilan pääominaisuus.

Esimerkiksi keskimääräinen etäisyys<r> ytimestä tuleva elektroni lasketaan kaavalla:

jossa laskelmat suoritetaan kuten tapauksessa (6.3). Näin ollen diffraktiokokeissa on mahdotonta ennustaa tarkasti, mihin kohtaan näytöllä tämä tai tuo elektroni kiinnittyy, vaikka sen aaltofunktio olisi etukäteen tiedossa. Voidaan vain tietyllä todennäköisyydellä olettaa, että elektroni kiinnittyy tiettyyn paikkaan. Tämä on ero kvanttiobjektien ja klassisten objektien käyttäytymisen välillä. Klassisessa mekaniikassa makroelimien liikettä kuvattaessa tiesimme 100 %:n todennäköisyydellä etukäteen, missä avaruudessa aineellinen kohta(Esimerkiksi, avaruusasema) milloin tahansa.

De Broglie käytti vaiheaaltojen (aineaaltojen tai de Broglie-aaltojen) käsitettä visuaaliseen tulkintaan säännöstä elektronin kiertoradan kvantisoimiseksi atomissa Bohrin mukaan yhden elektronin atomin tapauksessa. Hän piti vaiheaaltoa, joka kulkee ytimen ympäri elektronin ympyräradalla. Jos kokonaislukumäärä näitä aaltoja mahtuu kiertoradan pituuteen, niin aalto kiertäessään ytimen palaa joka kerta alkupisteeseen samalla vaiheella ja amplitudilla. Tässä tapauksessa kiertorata pysähtyy eikä säteilyä tapahdu. De Broglie kirjoitti radan stationaarisuusehdon tai kvantisointisäännön muodossa:

Missä R on ympyrän kiertoradan säde, P- kokonaisluku (pääkvanttiluku). Laitetaan tänne ja sen huomioon ottaen L = RP on elektronin kulmamomentti, saamme:

joka sopii yhteen Bohrin mukaisen vetyatomin elektronien kiertoradan kvantisointisäännön kanssa.

Myöhemmin ehto (6.5) yleistettiin myös elliptisten ratojen tapaukseen, jolloin aallonpituus vaihtelee elektronin liikeradalla. De Broglien päättelyssä oletettiin kuitenkin, että aalto ei etene avaruudessa, vaan linjaa pitkin - elektronin kiinteää kiertorataa pitkin. Tätä approksimaatiota voidaan käyttää rajatapauksessa, kun aallonpituus on mitättömän pieni verrattuna elektronin kiertoradan säteeseen.

Bohrin postulaatit

Atomin planeettamalli mahdollisti aineen alfahiukkasten sironnan kokeiden tulosten selittämisen, mutta atomien stabiiliuden perustelemisessa ilmeni perustavanlaatuisia vaikeuksia.
Ensimmäinen yritys rakentaa kvalitatiivisesti uusi - kvantti -teoria atomista tehtiin vuonna 1913 Niels Bohrin toimesta. Hän asetti tavoitteeksi yhdistää yhdeksi kokonaisuudeksi viivaspektrien empiiriset säännönmukaisuudet, Rutherfordin atomin ydinmalli sekä valon emission ja absorption kvanttiluonne. Bohr perusti teoriansa Rutherfordin ydinmalliin. Hän ehdotti, että elektronit liikkuvat ytimen ympärillä ympyräradalla. Ympyräliikkeellä, jopa vakionopeudella, on kiihtyvyys. Tällainen nopeutettu varausliike vastaa vaihtovirta, joka luo avaruuteen vaihtuvan sähkömagneettisen kentän. Tämän kentän luomiseen kuluu energiaa. Kenttäenergia voidaan luoda elektronin ja ytimen Coulombin vuorovaikutuksen energian ansiosta. Tämän seurauksena elektronin täytyy liikkua spiraalina ja pudota ytimeen. Kokemus kuitenkin osoittaa, että atomit ovat erittäin pysyviä muodostelmia. Tästä voidaan päätellä, että klassisen sähködynamiikan Maxwellin yhtälöiden tulokset eivät sovellu atomin sisäisiin prosesseihin. Uusia malleja pitää löytää. Bohr perusti atomiteoriansa seuraaviin postulaatteihin.
Bohrin ensimmäinen postulaatti (stationaaristen tilojen postulaatti): atomissa on stationäärisiä (ei muutu ajan myötä) tiloja, joissa se ei säteile energiaa. Atomin kiinteät tilat vastaavat paikallaan olevia kiertoradoja, joita pitkin elektronit liikkuvat. Elektronien liikkumiseen paikallaan olevilla kiertoradoilla ei liity sähkömagneettisten aaltojen säteilyä.
Tämä postulaatti on ristiriidassa klassinen teoria. Atomin paikallaan olevassa tilassa pyöreää kiertorataa pitkin liikkuvalla elektronilla täytyy olla kulmamomentin diskreetit kvanttiarvot.
Bohrin toinen postulaatti (taajuussääntö): kun elektroni liikkuu kiinteältä kiertoradalta toiselle, yksi fotoni, jolla on energiaa, emittoituu (absorboituu)

yhtä suuri kuin vastaavien stationääritilojen energiaero (En ja Em ovat vastaavasti atomin stationaaristen tilojen energiat ennen emissiota/absorptiota ja sen jälkeen).
Elektronin siirtyminen kiinteästä rataluvusta m stationaariseen kiertoradan numeroon n vastaa atomin siirtymistä energiatilasta Em tilaan, jossa on energia En (kuva 4.1).

Riisi. 4.1. Bohrin postulaattien selitykseen

Kun En > Em emittoituu fotoni (atomin siirtyminen korkeamman energian tilasta alhaisemman energian tilaan, eli elektronin siirtyminen ytimestä kauempana olevalta kiertoradalta lähempään) , osoitteessa En< Еm – его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т. е, переход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот

kvanttisiirtymiä ja määrittää atomin viivaspektrin.
Bohrin teoria selitti loistavasti kokeellisesti havaitun vedyn viivaspektrin.
Vetyatomin teorian edistyminen saavutettiin klassisen mekaniikan perusperiaatteiden hylkäämisen kustannuksella, joka on pysynyt ehdoitta voimassa yli 200 vuotta. Siksi hyvin tärkeä oli suora kokeellinen todiste Bohrin postulaattien pätevyydestä, varsinkin ensimmäisestä - stationääristen tilojen olemassaolosta. Toista postulaattia voidaan pitää seurauksena energian säilymisen laista ja hypoteesista fotonien olemassaolosta.
Saksalaiset fyysikot D. Frank ja G. Hertz, jotka tutkivat elektronien törmäystä kaasuatomien kanssa hidastuspotentiaalin menetelmällä (1913), vahvistivat kokeellisesti stationääritilojen olemassaolon ja atomien energia-arvojen diskreetin.
Huolimatta Bohrin konseptin kiistattomasta menestyksestä suhteessa vetyatomiin, jolle osoittautui mahdolliseksi rakentaa spektrin kvantitatiivinen teoria, vastaavaa teoriaa vetyä seuraavalle heliumatomille ei voitu luoda pohjalta. Bohrin ideoita. Mitä tulee heliumatomiin ja monimutkaisempiin atomeihin, Bohrin teoria teki mahdolliseksi tehdä vain laadullisia (vaikkakin erittäin tärkeitä) johtopäätöksiä. Ajatus tietyistä kiertoradoista, joita pitkin elektroni liikkuu Bohr-atomissa, osoittautui hyvin mielivaltaiseksi. Itse asiassa elektronien liikkeellä atomissa on vähän yhteistä planeettojen kiertoradalla liikkumisen kanssa.
Tällä hetkellä käytössä kvanttimekaniikka on mahdollista vastata moniin kysymyksiin minkä tahansa alkuaineen atomien rakenteesta ja ominaisuuksista.

5. Kvanttimekaniikan päämääräykset:

Aaltofunktio ja sen fyysinen merkitys.

Kahden edellisen kappaleen sisällöstä seuraa, että aaltoprosessi liittyy mikrohiukkaseen, mikä vastaa sen liikettä, joten kvanttimekaniikassa kuvataan hiukkasen tila. aaltofunktio, joka riippuu koordinaateista ja ajasta y(x,y,z,t). tietty laji y-funktion määrää hiukkasen tila, siihen vaikuttavien voimien luonne. Jos hiukkaseen vaikuttava voimakenttä on stationäärinen, ts. ajasta riippumaton siis y-funktio voidaan esittää kahden tekijän tulona, joista toinen riippuu ajasta ja toinen koordinaateista:

Seuraavassa tarkastelemme vain kiinteät tilat. y-funktio on hiukkasen tilan todennäköisyysominaisuus. Tämän selittämiseksi varataan mielessään riittävän pieni tilavuus, jonka sisällä y-funktion arvoja pidetään samoina. Sitten todennäköisyys löytää dW hiukkasten määrä tietyssä tilavuudessa on verrannollinen siihen ja riippuu y-funktion moduulin neliöstä (de Broglien aaltojen amplitudin moduulin neliö):

Tämä tarkoittaa aaltofunktion fyysistä merkitystä:

Aaltofunktion moduulin neliö merkitsee todennäköisyystiheyttä, ts. määrittää todennäköisyyden löytää hiukkanen tilavuusyksikössä koordinaattipisteen läheisyydestä x, y, z.

Integroimalla lausekkeen (3.2) tilavuuden yli määritämme todennäköisyyden löytää hiukkanen tästä tilavuudesta stationaarisen kentän olosuhteissa:

Jos hiukkasen tiedetään olevan tilavuuden sisällä V, sitten lausekkeen (3.4) integraali, joka ottaa tilavuuden V, pitäisi olla yhtä suuri kuin yksi:

– y-funktion normalisointiehto.

Jotta aaltofunktio olisi mikrohiukkasten tilan objektiivinen ominaisuus, sen täytyy olla lopullinen, yksiselitteinen, jatkuva, koska todennäköisyys ei voi olla suurempi kuin yksi, se ei voi olla epäselvä arvo eikä se voi muuttua hyppyissä. Siten mikrohiukkasen tilan määrää täysin aaltofunktio. Hiukkanen löytyy mistä tahansa avaruuden pisteestä, jossa aaltofunktio on nollasta poikkeava.

Kvanttihavaittavissa aaltofunktio· Kvanttisuperpositio · Kvanttikietoutuminen · Sekatila · Mittaus · Epävarmuus · Paulin periaate · Dualismi · Dekoherenssi · Ehrenfestin lause · Tunneliilmiö

Kokeilut
Davisson-Germer-koe Popperin koe Stern-Gerlachin koe Youngin koe Bellin epätasa-arvojen todentaminen Valosähköinen vaikutus Compton-ilmiö

Sanamuoto
Schrödinger-esitys Heisenberg-esitys Vuorovaikutusesitys Matriisikvanttimekaniikka Polkuintegraalit Feynman-kaaviot

Yhtälöt
Schrödingerin yhtälö Paulin yhtälö Klein-Gordonin yhtälö Diracin yhtälö Schwinger-Tomonaga yhtälö Von Neumannin yhtälö Blochin yhtälö Lindbladin yhtälö Heisenbergin yhtälö

Tulkinnat
Kööpenhaminan piilomuuttujien teoria Monien maailmojen De Broglie-Bohmin teoria

Teorian kehitys
Kvanttikenttäteoria Kvanttielektrodynamiikka Glashow-Weinberg-Salam teoria Kvanttikromodynamiikka Standardimalli Kvanttigravitaatio

Merkittäviä tiedemiehiä
Planck Einstein Schrödinger Heisenberg Jordan Bohr Pauli Dirac Fock Syntynyt Broglie Landau Feynman Bohm Everett

Katso myös: Portaali: Fysiikka

aaltofunktio, tai psi-toiminto $\psi$ on kompleksiarvoinen funktio, jota käytetään kvanttimekaniikassa kuvaamaan järjestelmän puhdasta tilaa. Se on tilavektorin laajennuskerroin kantana (yleensä koordinaattina):

$\left|\psi(t)\right\rangle=\int \Psi(x,t)\left|x\right\rangle dx$

Missä $\left|x\right\rangle = \left|x_1, x_2, \ldots , x_n\right\rangle$ on koordinaattikantavektori, ja $\Psi(x,t)= \langle x\left|\psi(t)\right\rangle$ - aaltofunktio koordinaatistossa.

Aaltofunktion normalisointi

aaltofunktio $\psi$ sen merkityksessä on täytettävä ns. normalisointiehto, esimerkiksi koordinaatistossa, jonka muoto on:

$(\int\limits_(V)(\Psi^\ast\Psi)dV)=1$

Tämä ehto ilmaisee tosiasian, että todennäköisyys löytää hiukkanen, jolla on tietty aaltofunktio missä tahansa avaruudessa, on yksi. Yleisessä tapauksessa integrointi tulisi suorittaa kaikille muuttujille, joista tietyn esityksen aaltofunktio riippuu.

Kvanttitilojen superpositioperiaate

Aaltofunktioille pätee superpositioperiaate, joka koostuu siitä, että jos järjestelmä voi olla aaltofunktioiden kuvaamissa tiloissa $\Psi_1$ Ja $\Psi_2$ , silloin se voi olla myös aaltofunktion kuvaamassa tilassa

$\Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2$ mille tahansa kompleksille $c_1$ Ja $c_2$ .

Ilmeisesti voidaan puhua myös minkä tahansa määrän kvanttitilojen superpositiosta (overlay) eli järjestelmän kvanttitilan olemassaolosta, joka kuvataan aaltofunktiolla. $\Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2 + \ldots + (c)_N(\Psi)_N=\sum_(n=1)^(N) (c)_n(\Psi)_n$ .

Tässä tilassa kertoimen moduulin neliö $(c)_n$ määrittää todennäköisyyden, että järjestelmä löydetään mittauksen aikana aaltofunktion kuvaamassa tilassa $(\Psi)_n$ .

Siksi normalisoiduille aaltofunktioille $\sum_(n=1)^(N)\left|c_(n)\right|^2=1$ .

Aaltofunktion säännöllisyyden ehdot

Aaltofunktion probabilistinen merkitys asettaa tiettyjä rajoituksia tai ehtoja aaltofunktioille kvanttimekaniikan ongelmissa. Nämä vakioolosuhteet usein soittaa aaltofunktion säännöllisyyden ehdot.

Aaltofunktion äärellisyyden ehto. Aaltofunktio ei voi ottaa äärettömiä arvoja niin, että integraali $(1)$ muuttuu erilaiseksi. Siksi tämä ehto edellyttää, että aaltofunktio on neliöintegroitava funktio, eli kuuluu Hilbertin avaruuteen $L^2$ . Erityisesti normalisoidun aaltofunktion ongelmissa aaltofunktion neliömoduulin täytyy pyrkiä nollaan äärettömyyteen.
Edellytys aaltofunktion ainutlaatuisuudelle. Aaltofunktion on oltava yksiselitteinen koordinaattien ja ajan funktio, koska hiukkasten havaitsemisen todennäköisyystiheys on määritettävä yksiselitteisesti jokaisessa tehtävässä. Ongelmissa, joissa käytetään lieriömäistä tai pallomaista koordinaattijärjestelmää, ainutlaatuisuusehto johtaa kulmamuuttujien aaltofunktioiden jaksoittaisuuteen.
Aaltotoiminnon jatkuvuusehto. Kulloinkin aaltofunktion on oltava jatkuva toiminto tilakoordinaatit. Lisäksi aaltofunktion osittaisten derivaattojen tulee olla jatkuvia $\frac(\partial \Psi)(\partial x)$ , $\frac(\partial \Psi)(\partial y)$ , $\frac(\partial \Psi)(\partial z)$ . Nämä funktioiden osittaiset derivaatat ovat vain harvoissa tapauksissa idealisoinnin ongelmia voimakentät voi sietää taukoa niissä tilan kohdissa, joissa Mahdollinen energia, joka kuvaa voimakenttää, jossa hiukkanen liikkuu, kokee toisen tyyppisen epäjatkuvuuden.

Aaltotoiminto erilaisissa esityksissä

Koordinaattijoukko, joka toimii argumentteina funktiolle, on täydellinen työmatkahavainnon järjestelmä. Kvanttimekaniikassa on mahdollista valita useita täydellisiä havaintoja, jolloin saman tilan aaltofunktio voidaan kirjoittaa eri argumenteista. Aaltofunktion tallentamiseen valittujen suureiden täydellinen joukko määrittää aaltofunktion esitys. Siten koordinaattiesitys, liikemäärän esitys ovat mahdollisia, kvanttikenttäteoriassa käytetään toista kvantisointia ja ammattilukujen esitystä tai Fock-esitystä jne.

Jos esimerkiksi atomin elektronin aaltofunktio on annettu koordinaattiesityksessä, niin aaltofunktion moduulin neliö on elektronin löytämisen todennäköisyystiheys tietystä avaruuden pisteestä. Jos sama aaltofunktio annetaan impulssiesityksessä, niin sen moduulin neliö on todennäköisyystiheys havaita yksi tai toinen impulssi.

Matriisi- ja vektoriformulaatiot

Saman tilan aaltofunktio eri esityksissä - vastaa saman vektorin lauseketta sisään erilaisia järjestelmiä koordinaatit. Myös muilla operaatioilla aaltofunktioilla on analogeja vektorien kielellä. Aaltomekaniikassa käytetään esitystä, jossa psi-funktion argumentit ovat täydellinen järjestelmä jatkuva työmatkalla havaittavissa, kun taas matriisi käyttää esitystä, jossa psi-funktion argumentit ovat koko järjestelmä diskreetti työmatkan havaintoja. Siksi funktionaaliset (aalto-) ja matriisiformulaatiot ovat ilmeisesti matemaattisesti ekvivalentteja.

Aaltofunktion filosofinen merkitys

Aaltofunktio on menetelmä kvanttimekaanisen järjestelmän puhtaan tilan kuvaamiseen. Sekakvanttitilat (kvanttitilastoissa) tulisi kuvata tiheysmatriisityyppisellä operaattorilla. Toisin sanoen kahden argumentin tietyn yleisen funktion pitäisi kuvata hiukkasen löytämisen korrelaatiota kahdesta pisteestä.

On ymmärrettävä, että ongelma, jonka kvanttimekaniikka ratkaisee, on maailman tuntemisen tieteellisen menetelmän ydinongelma.

Katso myös

Kirjoita arvostelu artikkelista "Aaltotoiminto"

Kirjallisuus

Fyysinen tietosanakirja/ Ch. toim. A. M. Prokhorov. Ed. Kreivi D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov ja muut - M .: Sov. Encyclopedia, 1984. - 944 s.

Linkit

Kvanttimekaniikka- artikkeli Great Soviet Encyclopediasta.

Tätä kirjettä ei ollut vielä toimitettu hallitsijalle, kun Barclay välitti Bolkonskylle päivällisellä, että suvereeni halusi henkilökohtaisesti tavata prinssi Andrein kysyäkseen häneltä Turkista ja että prinssi Andrein oli ilmestyvä Benigsenin asunnolle kello kuusi. illalla.
Samana päivänä suvereenin asunnossa vastaanotettiin uutisia Napoleonin uudesta liikkeestä, joka voi olla vaarallinen armeijalle - uutinen, joka myöhemmin osoittautui epäreiluksi. Ja samana aamuna eversti Michaud, ajaessaan Drisin linnoituksia hallitsijan kanssa, todisti hallitsijalle, että tämän Pfuelin järjestämän ja tähän asti taktiikan kokkina pidetyn linnoitettu leirin oli tarkoitus tuhota Napoleon - että tämä leiri on hölynpölyä ja kuolema Venäjän armeija.
Prinssi Andrei saapui kenraali Benigsenin asuntoon, joka miehitti pienen maanomistajan talon joen rannalla. Bennigsen tai suvereeni eivät olleet paikalla, mutta Tšernyšev, suvereenin adjutanttisiipi, otti Bolkonskin vastaan ja ilmoitti hänelle, että hallitsija oli mennyt kenraali Benigsenin ja markiisi Pauluchin kanssa toisen kerran sinä päivänä ohittamaan Drissan leirin linnoitukset. jota alettiin voimakkaasti epäillä.
Tšernyšev istui ranskalaisen romaanin kirjan kanssa ensimmäisen huoneen ikkunan vieressä. Tämä huone oli luultavasti aiemmin sali; siinä oli vielä urut, joille oli kasattu jonkinlaisia mattoja, ja yhdessä kulmassa seisoi adjutantti Benigsenin taitettava sänky. Tämä adjutantti oli täällä. Hän, ilmeisesti juhlan tai yrityksen kuluneena, istui taitetussa sängyssä ja nukahti. Kaksi ovea johti käytävästä: toinen suoraan entiseen olohuoneeseen, toinen oikealle toimistoon. Ensimmäisestä ovesta kuului saksaa ja toisinaan ranskaa puhuvia ääniä. Sinne, entiseen olohuoneeseen, hallitsijan pyynnöstä ei koottu sotilasneuvostoa (suvereeni rakasti epävarmuutta), vaan henkilöitä, joiden mielipiteet tulevista vaikeuksista hän halusi tietää. Se ei ollut sotilasneuvosto, vaan ikään kuin valittujen neuvosto, jonka tehtävänä oli selventää tiettyjä asioita suvereenille henkilökohtaisesti. Tähän puolineuvostoon kutsuttiin: ruotsalainen kenraali Armfeld, kenraaliadjutantti Wolzogen, Winzingerode, jota Napoleon kutsui pakenemaan ranskalaiseksi alaiseksi, Michaud, Tol, ei ollenkaan sotilas - kreivi Stein ja lopuksi itse Pfuel, joka , kuten prinssi Andrei kuuli, oli la cheville ouvriere [perusta] koko liiketoiminnalle. Prinssi Andreilla oli tilaisuus tutkia häntä hyvin, koska Pfuel saapui pian hänen jälkeensä ja meni saliin pysähtyen hetkeksi keskustelemaan Tšernyševin kanssa.
Ensi silmäyksellä Pfuel venäläisen kenraalin huonosti räätälöidyssä univormussa, joka istui kömpelösti, ikään kuin pukeutuneena, tuntui prinssi Andreille tutulta, vaikka hän ei ollut koskaan nähnyt häntä. Siihen kuuluivat Weyrother, Mack ja Schmidt sekä monet muut saksalaiset kenraalien teoreetikot, jotka prinssi Andrei onnistui näkemään vuonna 1805; mutta hän oli tyypillisempi kuin he kaikki. Prinssi Andrey ei ollut koskaan nähnyt sellaista saksalaista teoreetikkoa, joka yhdisti itsessään kaiken, mitä noissa saksalaisissa oli.
Pful oli lyhyt, hyvin ohut, mutta leveäluuinen, karkea, terve vartalo, leveä lantio ja luiset lapaluimet. Hänen kasvonsa olivat hyvin ryppyiset, ja hänen silmänsä olivat syvällä. Hänen hiuksensa edessä temppeleissä oli ilmeisesti kiireesti tasoitettu harjalla, takana naiivisti esiin työntyviä tupsuja. Hän katsoi ympärilleen levottomana ja vihaisena ja astui huoneeseen, ikään kuin hän pelkäsi kaikkea siinä suuressa huoneessa, johon hän oli mennyt. Hän piti miekkaa hankalilla liikkeellä ja kääntyi Tšernyševin puoleen ja kysyi saksaksi, missä suvereeni on. Hän ilmeisesti halusi käydä huoneet läpi mahdollisimman pian, suorittaa kumarteet ja tervehdykset ja istua töihin kartan eteen, jossa hän tunsi olevansa oikeassa paikassa. Hän nyökkäsi kiireesti päätään Tšernyševin sanoille ja hymyili ironisesti kuunnellen hänen sanojaan, joiden mukaan hallitsija oli tarkastamassa linnoituksia, jotka hän, Pfuel itse, oli rakentanut teoriansa mukaan. Hän oli basisti ja viileä, kuten itsevarmat saksalaiset sanovat, mutisi itsekseen: Dummkopf ... tai: zu Grunde die ganze Geschichte ... tai: s "wird oli gescheites d" raus werden ... [nonsense ... helvettiin koko juttu... (saksa) ] Prinssi Andrei ei kuullut eikä halunnut ohittaa, mutta Tšernyšev esitteli prinssi Andrein Pfulille huomauttaen, että prinssi Andrei oli tullut Turkista, jossa sota oli päättynyt niin onnellisesti. Pfuel melkein katsoi ei niinkään prinssi Andreihin vaan hänen kauttaan ja sanoi nauraen: "Da muss ein schoner taktischcr Krieg gewesen sein." ["Sen on täytynyt olla oikea taktinen sota." (saksa)] - Ja halveksivasti nauraen hän meni huoneeseen, josta kuului ääniä.
Ilmeisesti Pfuel, joka oli aina valmis ironiseen ärsyyntymiseen, oli tänään erityisen levoton siitä, että he uskalsivat tarkastaa hänen leirinsä ilman häntä ja tuomita hänet. Prinssi Andrei tästä yhdestä lyhyestä tapaamisesta Pfuelin kanssa, kiitos hänen muistonsa Austerlitzistä, teki selvän kuvauksen tästä miehestä. Pfuel oli yksi niistä toivottoman, poikkeuksetta marttyyrikuoleman asti itsevarmista ihmisistä, joita vain saksalaiset ovat, ja juuri siksi, että vain saksalaiset ovat itsevarmoja abstraktin idean - tieteen, eli kuvitteellisen tiedon perusteella. täydellinen totuus. Ranskalainen on itsevarma, koska hän pitää itseään henkilökohtaisesti, niin mielessä kuin kehossakin, vastustamattoman viehättävänä sekä miehille että naisille. Englantilainen on itsevarma sillä perusteella, että hän on maailman mukavimman valtion kansalainen, ja siksi hän englantilaisena tietää aina, mitä hänen tulee tehdä, ja tietää, että kaikki mitä hän tekee englantilaisena, on epäilemättä hyvä. Italialainen on itsevarma, koska hän on kiihtynyt ja unohtaa helposti itsensä ja muut. Venäläinen on itsevarma juuri siksi, että hän ei tiedä mitään eikä halua tietää, koska hän ei usko, että on mahdollista tietää täysin mitään. Saksalainen on itsevarma pahempi kuin kukaan, ja kovempi kuin kaikki, ja vastenmielinen kuin kaikki, koska hän kuvittelee tietävänsä totuuden, tieteen, jonka hän itse keksi, mutta joka on hänelle ehdoton totuus. Sellainen oli ilmeisesti Pfuel. Hänellä oli tiede - viistoliikkeen teoria, jonka hän johti Frederick Suuren sotien historiasta ja kaikesta, mitä hän tapasi lähihistoria Frederick Suuren sodat ja kaikki, mitä hän tapasi viimeisimpänä sotahistoriaa, tuntui hänestä hölynpölyltä, barbaarisuudesta, rumasta yhteenotosta, jossa molemmin puolin tehtiin niin paljon virheitä, että näitä sotia ei voitu kutsua sodiksi: ne eivät sopineet teoriaan eivätkä voineet toimia tieteen kohteena.
Vuonna 1806 Pfuel oli yksi Jenaan ja Auerstetiin päättyneen sodan suunnitelman laatijoista; mutta tämän sodan tuloksessa hän ei nähnyt pienintäkään todistetta teoriansa virheellisyydestä. Päinvastoin, poikkeamat hänen teoriastaan hänen käsitystensä mukaan olivat ainoa syy koko onnettomuuden, ja hänelle ominaisella iloisella ironiallaan hän sanoi: "Ich sagte ja, daji die ganze Geschichte zum Teufel gehen wird." [Loppujen lopuksi sanoin, että koko juttu menee helvettiin (saksaksi)] Pfuel oli yksi niistä teoreetikoista, jotka rakastavat teoriaansa niin paljon, että he unohtavat teorian tarkoituksen - sen soveltamisen käytäntöön; rakastunut teoriaan, hän vihasi kaikkea käytäntöä eikä halunnut tietää sitä. Hän jopa iloitsi epäonnistumisestaan, koska epäonnistuminen, joka johtui käytännössä poikkeamasta teoriasta, todisti hänelle vain hänen teoriansa pätevyyden.
Hän sanoi muutaman sanan prinssi Andrein ja Tšernyševin kanssa todellinen sota sellaisen miehen ilmeellä, joka tietää etukäteen, että kaikki tulee olemaan huonosti ja ettei hän ole siihen edes tyytymätön. Takaosassa esiin työntyvät kampaamattomat hiusten tupsut ja hätäisesti siikatut oimot vahvistivat tämän erityisen kaunopuheisesti.
Hän meni toiseen huoneeseen, ja sieltä kuului heti hänen äänensä basso ja muriseva ääni.

Ennen kuin prinssi Andrei ehti seurata Pfuelia silmillään, kreivi Benigsen astui kiireesti huoneeseen ja nyökkäsi Bolkonskille, pysähtymättä, meni toimistoon ja antoi adjutantille käskyjä. Suvereeni seurasi häntä, ja Bennigsen kiirehti eteenpäin valmistaakseen jotain ja tavatakseen suvereenin ajoissa. Chernyshev ja prinssi Andrei menivät ulos kuistille. Väsyneen näköinen hallitsija nousi hevosensa selästä. Markiisi Pauluchi sanoi jotain suvereenille. Suvereeni kumarsi päänsä vasemmalle ja kuunteli tyytymättömällä katseella Pauluccia, joka puhui erityisen kiihkeästi. Keisari siirtyi eteenpäin, haluten ilmeisesti lopettaa keskustelun, mutta punastunut, kiihtynyt italialainen, unohtaen säädyllisyyden, seurasi häntä ja sanoi edelleen:
- Quant a celui qui a conseille ce camp, le camp de Drissa, [Mitä tulee Drissan leirin neuvonantajaan] - sanoi Pauluchi, kun hallitsija astui portaisiin ja huomasi prinssi Andrein, katsoi tuntemattomiin kasvoihin.

Mikrohiukkasten aalto-ominaisuuksien löytäminen osoitti, että klassinen mekaniikka ei pysty antamaan oikea kuvaus tällaisten hiukkasten käyttäytyminen. Teoria, joka kattaa kaikki ominaisuudet alkuainehiukkasia, täytyy ottaa huomioon paitsi niiden korpuskulaariset ominaisuudet, myös aaltoominaisuudet. Aiemmin käsitellyistä kokeista seuraa, että alkuainehiukkassäteellä on hiukkasen nopeuden suuntaan etenevän tasoaallon ominaisuudet. Kun kyseessä on eteneminen akselia pitkin, tämä aaltoprosessi voidaan kuvata de Broglien aaltoyhtälöllä (7.43.5):

(7.44.1)

missä on hiukkasen energia ja liikemäärä. Kun etenee mielivaltaiseen suuntaan:

(7.44.2)

Kutsutaan funktiota aaltofunktioksi ja selvitetään sen fyysinen merkitys vertaamalla valoaaltojen ja mikrohiukkasten diffraktiota.

Valon luonnetta koskevien aaltoideoiden mukaan diffraktiokuvion intensiteetti on verrannollinen valoaallon amplitudin neliöön. Ideoiden mukaan fotoniteoria, intensiteetti määräytyy diffraktiokuvion tiettyyn pisteeseen putoavien fotonien lukumäärän mukaan. Näin ollen fotonien määrä diffraktiokuvion tietyssä pisteessä saadaan valoaallon amplitudin neliöstä, kun taas yksittäisen fotonin amplitudin neliö määrittää todennäköisyyden, että fotoni osuu tiettyyn pisteeseen.

Mikrohiukkasilla havaitulle diffraktiokuviolle on myös tunnusomaista mikropartikkelivirtausten epätasainen jakautuminen. Maksimien läsnäolo diffraktiokuviossa aaltoteorian näkökulmasta tarkoittaa, että nämä suunnat vastaavat de Broglien aaltojen suurinta intensiteettiä. Intensiteetti on suurempi missä lisää numeroa hiukkasia. Siten mikrohiukkasten diffraktiokuvio on osoitus tilastollisesta säännöllisyydestä, ja voidaan sanoa, että tieto de Broglien aaltomuodosta, ts. Ψ -funktioiden avulla voit arvioida yhden tai toisen mahdollisen prosessin todennäköisyyttä.

Joten kvanttimekaniikassa mikrohiukkasten tilaa kuvataan pohjimmiltaan uudella tavalla - aaltofunktion avulla, joka on tärkein tiedon kantaja niiden korpuskulaarisista ja aaltoominaisuuksista. Todennäköisyys löytää hiukkanen tilavuuselementistä on

(7.44.3)

Arvo

(7.44.4)

on todennäköisyystiheyden merkitys, ts. määrittää todennäköisyyden löytää hiukkanen tilavuuden yksikkömäärästä naapurustossa annettu piste. Fysikaalista merkitystä ei siis ole itse funktiolla, vaan sen moduulin neliöllä, joka määrittää de Broglien aaltojen intensiteetin. Todennäköisyys löytää hiukkanen kerrallaan äärellisessä tilavuudessa todennäköisyyslisäyslauseen mukaan on yhtä kuin

(7.44.5)

Koska hiukkanen on olemassa, se löytyy välttämättä jostain avaruudesta. Tietyn tapahtuman todennäköisyys on siis yhtä suuri kuin yksi

. (7.44.6)

Lauseketta (7.44.6) kutsutaan todennäköisyyden normalisointiehdoksi. Tilavuuselementissä olevan mikropartikkelin toiminnan havaitsemisen todennäköisyyttä kuvaavan aaltofunktion tulee olla äärellinen (todennäköisyys ei voi olla suurempi kuin yksi), yksiselitteinen (todennäköisyys ei voi olla moniselitteinen arvo) ja jatkuva (todennäköisyys ei voi muuttua äkillisesti).

aaltofunktio, tai psi-toiminto ψ (\displaystyle \psi ) on kompleksiarvoinen funktio, jota käytetään kvanttimekaniikassa kuvaamaan järjestelmän puhdasta tilaa. Se on tilavektorin laajennuskerroin kantana (yleensä koordinaattina):

| ψ (t) ⟩ = ∫ Ψ (x, t) | x ⟩ d x (\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx)

Missä | x ⟩ = | x 1 , x 2 , … , x n ⟩ (\displaystyle \left|x\right\rangle =\left|x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)\right\rangle ) on koordinaattikantavektori, ja Ψ(x, t) = ⟨x | ψ (t) ⟩ (\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle )- aaltofunktio koordinaatistossa.

Aaltofunktion normalisointi

aaltofunktio Ψ (\displaystyle \psi ) sen merkityksessä on täytettävä ns. normalisointiehto, esimerkiksi koordinaatistossa, jonka muoto on:

∫ V Ψ ∗ Ψ d V = 1 (\displaystyle (\int \limits _(V)(\Psi ^(\ast )\Psi )dV)=1)

Kvanttitilojen superpositioperiaate

Aaltofunktioille pätee superpositioperiaate, joka koostuu siitä, että jos järjestelmä voi olla aaltofunktioiden kuvaamissa tiloissa Ψ 1 (\displaystyle \Psi _(1)) Ja Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(2)), silloin se voi olla myös aaltofunktion kuvaamassa tilassa

Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+c_(2)\Psi _(2)) mille tahansa kompleksille c 1 (\displaystyle c_(1)) Ja c 2 (\displaystyle c_(2)).

Ilmeisesti voidaan puhua myös minkä tahansa määrän kvanttitilojen superpositiosta (lisäyksestä) eli järjestelmän kvanttitilan olemassaolosta, jota kuvataan aaltofunktiolla. Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + … + c N Ψ N = ∑ n = 1 N c n Ψ n (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+ c_(2)\Psi _(2)+\lpisteet +(c)_(N)(\Psi )_(N)=\summa _(n=1)^(N)(c)_(n)( \Psi )_(n)).

Tässä tilassa kertoimen moduulin neliö c n (\displaystyle (c)_(n)) määrittää todennäköisyyden, että järjestelmä löydetään mittauksen aikana aaltofunktion kuvaamassa tilassa Ψ n (\displaystyle (\Psi )_(n)).

Siksi normalisoiduille aaltofunktioille ∑ n = 1 N | c n | 2 = 1 (\displaystyle \sum _(n=1)^(N)\left|c_(n)\oikea|^(2)=1).

Aaltofunktion säännöllisyyden ehdot

Aaltofunktion probabilistinen merkitys asettaa tiettyjä rajoituksia tai ehtoja aaltofunktioille kvanttimekaniikan ongelmissa. Näitä vakioehtoja kutsutaan usein aaltofunktion säännöllisyyden ehdot.

Aaltotoiminto erilaisissa esityksissä käytetyt tilat eri esityksissä - vastaavat saman vektorin ilmaisua eri koordinaattijärjestelmissä. Myös muilla operaatioilla aaltofunktioilla on analogeja vektorien kielellä. Aaltomekaniikassa käytetään esitystä, jossa psi-funktion argumentit ovat koko järjestelmä jatkuva työmatkalla havaittavissa, kun taas matriisi käyttää esitystä, jossa psi-funktion argumentit ovat koko järjestelmä diskreetti työmatkan havaintoja. Siksi funktionaaliset (aalto-) ja matriisiformulaatiot ovat ilmeisesti matemaattisesti ekvivalentteja.