Derivaatan määritelmä, sen geometrinen merkitys. Johdannainen funktiosta

Koordinaattitasossa xOy harkitse funktion kuvaajaa y=f(x). Korjataan asia M(x 0 ; f (x 0)). Lisätään abskissa x 0 lisäys Δx. Hankimme uuden abskissan x 0 +Δx. Tämä on pisteen abskissa N, ja ordinaatta on yhtä suuri f (x 0 + Δx). Muutos abskissassa merkitsi muutosta ordinaatassa. Tätä muutosta kutsutaan funktion inkrementiksi ja se merkitään Δy.

Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Pisteiden läpi M Ja N piirretään sekantti MN, joka muodostaa kulman φ positiivisella akselisuunnalla vai niin. Määritetään kulman tangentti φ suorakulmaisesta kolmiosta MPN.

Antaa Δx pyrkii nollaan. Sitten sekantti MN pyrkii ottamaan tangentin aseman MT, ja kulma φ tulee kulma α . Siis kulman tangentti α on kulman tangentin raja-arvo φ :

Funktion inkrementin ja argumentin lisäyksen suhteen rajaa, kun jälkimmäinen pyrkii nollaan, kutsutaan funktion derivaatiksi tietyssä pisteessä:

Johdannan geometrinen merkitys on siinä, että funktion numeerinen derivaatta tietyssä pisteessä on sama kuin kulman tangentti, jonka tämän pisteen kautta vedetty tangentti muodostaa annettuun käyrään ja akselin positiiviseen suuntaan vai niin:

Esimerkkejä.

1. Laske argumentin inkrementti ja funktion y= inkrementti x 2, jos argumentin alkuarvo oli yhtä suuri kuin 4 ja uusi - 4,01 .

Ratkaisu.

Uusi argumentin arvo x=x 0 +Δx. Korvataan data: 4.01=4+Δх, joten argumentin lisäys Δx=4,01-4 = 0,01. Funktion inkrementti on määritelmän mukaan yhtä suuri kuin funktion uusien ja aiempien arvojen erotus, ts. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Koska meillä on toiminto y=x2, Tuo Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Vastaus: argumentin lisäys Δx=0,01; funktion lisäys Δу=0,0801.

Toiminnon lisäys voidaan löytää eri tavalla: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2 - 4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.

2. Etsi funktion kuvaajan tangentin kaltevuuskulma y=f(x) pisteessä x 0, Jos f "(x 0) = 1.

Ratkaisu.

Johdannan arvo tangenttipisteessä x 0 ja on tangentin kulman tangentin arvo ( geometrinen merkitys johdannainen). Meillä on: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, koska tg45° = 1.

Vastaus: tämän funktion kaavion tangentti muodostaa kulman Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa, joka on yhtä suuri kuin 45°.

3. Johda funktion derivaatan kaava y=xn.

Erilaistuminen on funktion derivaatan löytäminen.

Käytä derivaattoja etsiessäsi kaavoja, jotka on johdettu derivaatan määritelmän perusteella, samalla tavalla kuin johdimme derivaatan asteen kaavan: (x n)" = nx n-1.

Nämä ovat kaavat.

Johdannaisten taulukko Se on helpompi muistaa lausumalla sanalliset sanamuodot:

1. Vakiosuureen derivaatta on nolla.

2. X alkuluku on yhtä suuri kuin yksi.

3. Vakiotekijä voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä.

4. Asteen derivaatta on yhtä suuri kuin tämän asteen eksponentin tulo asteella, jolla on sama kanta, mutta eksponentti on yksi vähemmän.

5. Juuren derivaatta on yhtä kuin yksi jaettuna kahdella yhtä suurella juurella.

6. Yhden jaettuna x:llä derivaatta on yhtä kuin miinus yksi jaettuna x:llä neliöitynä.

7. Sinin derivaatta on yhtä suuri kuin kosini.

8. Kosinin derivaatta on yhtä suuri kuin miinussini.

9. Tangentin derivaatta on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kosinin neliöllä.

10. Kotangentin derivaatta on yhtä kuin miinus yksi jaettuna sinin neliöllä.

Me opetamme eriyttämissäännöt.

1. Algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin algebrallinen summa termien johdannaisia.

2. Tuotteen derivaatta on yhtä suuri kuin ensimmäisen ja toisen tekijän derivaatan tulo plus ensimmäisen tekijän ja toisen derivaatan tulo.

3. "Y":n derivaatta jaettuna "ve":llä on yhtä suuri kuin murtoluku, jossa osoittaja on "y alkuluku kerrottuna "ve" miinus "y kerrottuna ve:llä" ja nimittäjä on "ve neliö".

4. Erikoistapaus kaavat 3.

Mikä on johdannainen?
Johdannaisen funktion määritelmä ja merkitys

Monet tulevat yllättymään tämän artikkelin odottamattomasta sijoittamisesta kirjoittajani kurssille yhden muuttujan funktion derivaatta ja sen sovelluksia. Loppujen lopuksi, kuten on ollut koulusta asti: standardioppikirja antaa ennen kaikkea derivaatan määritelmän, sen geometrisen, mekaanisen merkityksen. Seuraavaksi opiskelijat löytävät funktioiden johdannaisia ​​määritelmän mukaan, ja itse asiassa vasta sitten he täydentävät differentiointitekniikkaa käyttämällä johdannaistaulukot.

Mutta minun näkökulmastani seuraava lähestymistapa on pragmaattisempi: ensinnäkin on suositeltavaa YMMÄRTÄ HYVIN funktion raja, ja erityisesti äärettömän pieniä määriä. Tosiasia on, että johdannaisen määritelmä perustuu rajan käsitteeseen, joka on otettu huonosti huomioon koulun kurssi. Siksi merkittävä osa nuorista tiedon graniitin kuluttajista ei ymmärrä johdannaisen ydintä. Näin ollen, jos sinulla on vähän tietoa differentiaalilaskennasta tai viisaita aivoja pitkiä vuosia Pääsit onnistuneesti eroon tästä matkatavarasta, aloita toimintorajoja. Hallitse/muista samalla heidän ratkaisunsa.

Sama käytännön käsitys sanelee, että se on ensin edullinen oppia löytämään johdannaisia, mukaan lukien monimutkaisten funktioiden johdannaisia. Teoria on teoriaa, mutta, kuten sanotaan, haluat aina erottaa. Tältä osin on parempi käydä läpi luetellut perustunnit, ja ehkä erottelun mestari edes ymmärtämättä toimintansa ydintä.

Suosittelen aloittamaan tämän sivun materiaaleista artikkelin lukemisen jälkeen. Yksinkertaisimmat ongelmat johdannaisten kanssa, jossa tarkastellaan erityisesti funktion kaavion tangentin ongelmaa. Mutta voit odottaa. Tosiasia on, että monet derivaatan sovellukset eivät vaadi sen ymmärtämistä, eikä ole yllättävää, että teoreettinen oppitunti ilmestyi melko myöhään - kun minun piti selittää kasvavien/pienenevien välien ja ääripäiden löytäminen toimintoja. Lisäksi hän oli aiheessa melko pitkään. Funktiot ja kaaviot”, kunnes lopulta päätin laittaa sen aikaisemmin.

Siksi, rakkaat teekannut, älä kiirehdi imemään johdannaisen olemusta nälkäisten eläinten tavoin, koska kylläisyys on mauton ja epätäydellinen.

Funktion kasvavan, pienenevän, maksimin, minimin käsite

monet opetusvälineet johtaa johdannaisen käsitteeseen käyttämällä joitain käytännön ongelmia, ja minäkin keksin mielenkiintoinen esimerkki. Kuvittele, että olemme matkalla kaupunkiin, johon pääsee eri tavoin. Hylätään heti kaarevat mutkittelevat polut ja harkitaan vain suoria moottoriteitä. Myös suorat ajo-ohjeet ovat kuitenkin erilaisia: kaupunkiin pääsee tasaista moottoritietä pitkin. Tai mäkistä moottoritietä pitkin - ylös ja alas, ylös ja alas. Toinen tie menee vain ylämäkeen ja toinen alamäkeen koko ajan. Äärimmäiset harrastajat valitsevat reitin läpi rotkon, jossa on jyrkkä kallio ja jyrkkä nousu.

Mutta mitä tahansa haluat, on suositeltavaa tuntea alue tai ainakin paikantaa se topografinen kartta. Entä jos tällainen tieto puuttuu? Loppujen lopuksi voit valita esimerkiksi tasaisen polun, mutta sen seurauksena törmää laskettelurinteeseen iloisten suomalaisten kanssa. Se ei ole tosiasia, että navigaattori ja jopa satelliittikuva tarjoaa luotettavaa tietoa. Siksi olisi mukavaa virallistaa polun kohokuvio matematiikan avulla.

Katsotaanpa jotain tietä (sivukuva):

Varmuuden vuoksi muistutan teitä alkeellisesta tosiasiasta: matkustamista tapahtuu vasemmalta oikealle. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että funktio jatkuva tarkasteltavalla alueella.

Mitkä ovat tämän kaavion ominaisuudet?

Väliajoin toiminto lisääntyy, eli sen jokainen seuraava arvo lisää Edellinen. Karkeasti sanottuna aikataulu on kunnossa alas ylös(kiipeämme mäelle). Ja välissä funktio vähenee– jokainen seuraava arvo Vähemmän edellinen, ja aikataulumme on päällä ylhäältä alas(menemme alas rinnettä).

Kiinnitämme huomiota myös yksittäisiä pisteitä. Kohdassa, jossa saavutamme enimmäismäärä, tuo on olemassa sellainen osa polusta, jossa arvo on suurin (korkein). Samalla se saavutetaan minimi, Ja olemassa sen naapurustossa, jossa arvo on pienin (pienin).

Tarkastellaan tiukempaa terminologiaa ja määritelmiä luokassa. funktion ääripäästä, mutta nyt tutkitaan vielä yhtä tärkeä ominaisuus: väliajoin toiminto kasvaa, mutta se kasvaa Kanssa eri nopeuksilla . Ja ensimmäinen asia, joka pistää silmään, on se, että kaavio kohoaa intervallin aikana paljon siistimpää, kuin välissä . Onko mahdollista mitata tien jyrkkyyttä matemaattisilla työkaluilla?

Toiminnan muutosnopeus

Ajatus on tämä: Otetaan arvoa (lue "delta x"), jota kutsumme argumentin lisäys, ja aloitetaan "kokeilla sitä" polumme eri kohtiin:

1) Katsotaanpa vasemmanpuoleisinta pistettä: etäisyyden ohittaessa kiivetään rinnettä korkeuteen (vihreä viiva). Määrää kutsutaan funktion lisäys, ja tässä tapauksessa tämä lisäys on positiivinen (arvojen ero akselilla on suurempi kuin nolla). Luodaan suhde, joka mittaa tiemme jyrkkyyttä. On selvää, että tämä on melkoista tietty numero, ja koska molemmat lisäykset ovat positiivisia, niin .

Huomio! Nimitykset ovat YKSI symboli, eli et voi "repäistä" "deltaa" "X":stä ja tarkastella näitä kirjaimia erikseen. Tietenkin kommentti koskee myös funktion lisäyssymbolia.

Tutkitaan tuloksena olevan murto-osan luonnetta mielekkäämmin. Olkaamme aluksi 20 metrin korkeudessa (vasemmassa mustassa pisteessä). Metrien etäisyyden (vasen punainen viiva) suoritettuamme löydämme itsemme 60 metrin korkeudesta. Silloin funktion lisäys on metriä (vihreä viiva) ja: . Täten, joka metrillä tällä tieosuudella korkeus kasvaa keskiverto 4 metrillä...unohditko kiipeilyvarusteesi? =) Toisin sanoen konstruoitu suhde kuvaa funktion KESKIMÄÄRÄISTÄ ​​MUUTOSNOPEUTTA (tässä tapauksessa kasvua).

Huomautus : numeerisia arvoja Tarkasteltava esimerkki vastaa piirustuksen mittasuhteita vain suunnilleen.

2) Mennään nyt samalle etäisyydelle oikeanpuoleisesta mustasta pisteestä. Tässä nousu on asteittaista, joten lisäys (crimson line) on suhteellisen pieni ja suhde edelliseen tapaukseen verrattuna on hyvin vaatimaton. Suhteellisesti sanottuna metriä ja toiminnan kasvunopeus On . Eli täällä on jokaista polkumetriä kohden keskiverto puoli metriä nousua.

3) Pieni seikkailu vuorenrinteellä. Katsotaan ylempää mustaa pistettä, joka sijaitsee ordinaatta-akselilla. Oletetaan, että tämä on 50 metrin merkki. Ylitämme etäisyyden uudelleen, minkä seurauksena olemme alempana - 30 metrin tasolla. Koska liike on suoritettu ylhäältä alas(akselin "vastasuuntaan"), sitten lopullinen funktion lisäys (korkeus) on negatiivinen: metriä (ruskea segmentti piirustuksessa). Ja tässä tapauksessa puhumme jo laskun nopeus Ominaisuudet: , eli tämän osan jokaista polkumetriä kohden korkeus pienenee keskiverto 2 metrillä. Huolehdi vaatteistasi viidennessä kohdassa.

Esitetään nyt itseltämme kysymys: mitä "mittausstandardin" arvoa on parasta käyttää? Se on täysin ymmärrettävää, 10 metriä on erittäin karkea. Niihin mahtuu helposti kymmenkunta hummokkia. Kuhuista huolimatta, alla voi olla syvä rotko, ja muutaman metrin kuluttua on sen toinen puoli, jossa on vielä jyrkkä nousu. Näin ollen kymmenen metrin mittarilla emme saa ymmärrettävää kuvausta sellaisista polun osista suhteen .

Yllä olevasta keskustelusta seuraa seuraava johtopäätös: Miten vähemmän arvoa , mitä tarkemmin kuvaamme tien topografiaa. Lisäksi seuraavat tosiasiat pitävät paikkansa:

– Kenelle tahansa nostopisteitä voit valita arvon (vaikka hyvin pieni), joka sopii tietyn nousun rajoihin. Tämä tarkoittaa, että vastaava korkeuslisäys on taatusti positiivinen ja epäyhtälö osoittaa oikein funktion kasvun näiden välien jokaisessa pisteessä.

- Samoin, mille tahansa kaltevuuspisteessä on arvo, joka sopii täysin tälle rinteelle. Näin ollen vastaava korkeuden nousu on selvästi negatiivinen, ja epäyhtälö näyttää oikein funktion pienenemisen tietyn intervallin jokaisessa pisteessä.

– Erityisen mielenkiintoinen tapaus on, kun funktion muutosnopeus on nolla: . Ensinnäkin nollakorkeuslisäys () on merkki tasaisesta polusta. Ja toiseksi, on muita mielenkiintoisia tilanteita, joista näet esimerkkejä kuvasta. Kuvittele, että kohtalo on tuonut meidät aivan kukkulan huipulle, jossa kottelee kohoavia kotkia, tai rotkon pohjalle, jossa on kurivia sammakoita. Jos otat pienen askeleen mihin tahansa suuntaan, korkeuden muutos on mitätön, ja voimme sanoa, että funktion muutosnopeus on itse asiassa nolla. Juuri tämä kuva on nähtävissä pisteissä.

Näin ollen olemme päässeet hämmästyttävään tilaisuuteen karakterisoida täysin tarkasti funktion muutosnopeutta. Kuitenkin matemaattinen analyysi voit ohjata argumentin lisäyksen nollaan: , eli tee se äärettömän pieni.

Seurauksena syntyy toinen looginen kysymys: onko mahdollista löytää tie ja sen aikataulu toinen toiminto, mikä kertoisi meille kaikista tasaisista osista, nousuista, laskuista, huipuista, laaksoista sekä kasvu-/laskunopeudesta kussakin pisteessä matkan varrella?

Mikä on johdannainen? Johdannan määritelmä.
Derivaatan ja differentiaalin geometrinen merkitys

Lue huolellisesti ja älä liian nopeasti - materiaali on yksinkertaista ja kaikkien saatavilla! Ei haittaa, jos joissain paikoissa jokin ei näytä kovin selkeältä, voit aina palata artikkeliin myöhemmin. Sanon lisää, on hyödyllistä opiskella teoriaa useita kertoja, jotta kaikki kohdat ymmärretään perusteellisesti (neuvonta on erityisen tärkeä "teknisille" opiskelijoille, joille korkeammalla matematiikalla on merkittävä rooli koulutusprosessissa).

Luonnollisesti jo derivaatan määritelmässä korvaamme sen jossain kohdassa:

Mihin olemme tulleet? Ja tulimme siihen tulokseen, että lain mukaiseen toimintaan on sovitettu muu toiminto, jota kutsutaan johdannainen funktio(tai yksinkertaisesti johdannainen).

Johdannainen luonnehtii muutoksen tahti toimintoja Miten? Ajatus kulkee kuin punainen lanka artikkelin alusta lähtien. Mietitäänpä jotain kohtaa määritelmän alue toimintoja Olkoon funktio differentioituva tietyssä pisteessä. Sitten:

1) Jos , niin funktio kasvaa kohdassa . Ja ilmeisesti on intervalli(jopa hyvin pieni), joka sisältää pisteen, jossa funktio kasvaa, ja sen kaavio kulkee "alhaalta ylös".

2) Jos , niin funktio pienenee pisteessä . Ja on väli, joka sisältää pisteen, jossa funktio pienenee (kaavio menee "ylhäältä alas").

3) Jos , niin äärettömän lähellä lähellä pistettä funktio säilyttää nopeudensa vakiona. Tämä tapahtuu, kuten todettiin, vakiotoiminnolla ja toiminnon kriittisissä kohdissa, erityisesti minimi- ja maksimipisteissä.

Vähän semantiikkaa. Mitä verbi "erottaa" tarkoittaa laajassa merkityksessä? Erottaminen tarkoittaa ominaisuuden korostamista. Erottamalla funktion "eristämme" sen muutosnopeuden funktion derivaatan muodossa. Mitä muuten tarkoittaa sana "johdannainen"? Toiminto tapahtui toiminnosta.

Termit tulkitaan erittäin onnistuneesti johdannaisen mekaanisella merkityksellä :
Tarkastellaan kappaleen koordinaattien muutoksen lakia ajasta riippuen ja tietyn kappaleen liikenopeuden funktiota. Funktio luonnehtii kehon koordinaattien muutosnopeutta, joten se on funktion ensimmäinen derivaatta ajan suhteen: . Jos käsitettä "kehon liike" ei olisi luonnossa, sitä ei olisi johdannainen käsite "kehon nopeus".

Kehon kiihtyvyys on nopeuden muutosnopeus, joten: . Jos alkuperäisiä käsitteitä "kehon liike" ja "kehon nopeus" ei olisi luonnossa, niin niitä ei olisi olemassa johdannainen käsite "kehon kiihtyvyys".

Abstrakti avoin oppitunti GBPOU:n opettaja Opettajien korkeakoulu nro 4 Pietari"

Martusevitš Tatjana Olegovna

Päivämäärä: 29.12.2014.

Aihe: Johdannaisten geometrinen merkitys.

Oppitunnin tyyppi: uuden materiaalin oppiminen.

Opetusmenetelmät: visuaalinen, osittain haku.

Oppitunnin tarkoitus.

Esittele tangentin käsite funktion kuvaajan pisteessä, selvitä derivaatan geometrinen merkitys, johda tangentin yhtälö ja opeta sen löytäminen.

Koulutustavoitteet:

Ymmärrä derivaatan geometrinen merkitys; tangenttiyhtälön johtaminen; oppia ratkaisemaan perusongelmia;

tarjota toistoa materiaalia aiheesta "Johdannaisen määritelmä";

luoda edellytykset tietojen ja taitojen hallitsemiselle (itsehallinnalle).

Kehittämistehtävät:

edistää taitojen muodostumista soveltaa vertailu-, yleistys- ja pääasiallisen korostamisen tekniikoita;

jatkaa matemaattisen horisontin, ajattelun ja puheen, huomion ja muistin kehittämistä.

Koulutustehtävät:

edistää kiinnostusta matematiikkaa kohtaan;

aktiivisuus, liikkuvuus, viestintätaidot.

Oppitunnin tyyppi – yhdistetty oppitunti käyttäen ICT:tä.

Laitteet – multimedia-asennus, esittelyMicrosoftTehoaKohta.

Oppitunnin vaihe

Aika

Opettajan toimintaa

Opiskelijoiden toimintaa

1. Organisatorinen hetki.

Kerro oppitunnin aihe ja tarkoitus.

Aihe: Johdannaisten geometrinen merkitys.

Oppitunnin tarkoitus.

Esittele tangentin käsite funktion kuvaajan pisteessä, selvitä derivaatan geometrinen merkitys, johda tangentin yhtälö ja opeta sen löytäminen.

Oppilaiden valmistaminen luokkatyöhön.

Valmistautuminen työhön luokassa.

Oppitunnin aiheen ja tarkoituksen ymmärtäminen.

Muistiinpanojen tekemistä.

2. Valmistautuminen uuden materiaalin oppimiseen toiston ja perustietojen päivittämisen kautta.

Perustiedon toiston ja päivittämisen organisointi: johdannaisen määrittely ja fyysisen merkityksen muotoilu.

Johdannan määritelmän muotoilu ja sen fyysisen merkityksen muotoilu. Perustietojen toistaminen, päivittäminen ja lujittaminen.

Toiston organisointi ja johdannaisen löytämisen taidon kehittäminen tehotoiminto ja perustoiminnot.

Näiden funktioiden derivaatan löytäminen kaavojen avulla.

Ominaisuuksien toisto lineaarinen funktio.

Toisto, piirustusten ja opettajan lausuntojen havaitseminen

3. Työskentely uuden materiaalin kanssa: selitys.

Selitys funktion inkrementin ja argumentin inkrementin välisen suhteen merkityksestä

Derivaatan geometrisen merkityksen selitys.

Uuden materiaalin esittely sanallisilla selityksillä kuvien ja visuaalisten apuvälineiden avulla: multimediaesitys animaatiolla.

Selityksen käsitys, ymmärrys, vastaukset opettajan kysymyksiin.

Kysymyksen muotoileminen opettajalle vaikeuksien sattuessa.

Uuden tiedon havaitseminen, sen ensisijainen ymmärtäminen ja ymmärtäminen.

Kysymysten muotoilu opettajalle vaikeuksien sattuessa.

Muistiinpanon luominen.

Derivaatan geometrisen merkityksen muotoilu.

Kolmen tapauksen käsittely.

Muistiinpanojen tekemistä, piirustuksia.

4. Työskentely uuden materiaalin kanssa.

Opiskelun aineiston perusymmärtäminen ja soveltaminen, sen lujittaminen.

Missä kohdissa derivaatta on positiivinen?

Negatiivinen?

Nollaa?

Koulutus algoritmin löytämiseen aikataulun mukaisesti esitettyihin kysymyksiin.

Uuden tiedon ymmärtäminen, ymmärtäminen ja soveltaminen ongelman ratkaisemiseen.

5. Opiskelun aineiston perusymmärtäminen ja soveltaminen, sen konsolidointi.

Viesti tehtävän ehdoista.

Kirjaa tehtävän ehdot.

Kysymyksen muotoileminen opettajalle vaikeuksien sattuessa

6. Tiedon soveltaminen: itsenäinen opetusluonteinen työ.

Ratkaise ongelma itse:

Hankitun tiedon soveltaminen.

Itsenäinen työ ratkaista ongelman derivaatan löytäminen piirroksesta. Keskustelu ja vastausten tarkistaminen pareittain, kysymyksen muotoilu opettajalle vaikeuden sattuessa.

7. Työskentely uuden materiaalin kanssa: selitys.

Toiminnon kuvaajan tangentin yhtälön johtaminen pisteessä.

Yksityiskohtainen selitys funktion kaavion tangentin yhtälön johtaminen pisteessä käyttämällä multimediaesitystä selvyyden vuoksi, vastaamalla opiskelijan kysymyksiin.

Tangenttiyhtälön johtaminen yhdessä opettajan kanssa. Vastaukset opettajan kysymyksiin.

Muistiinpanojen tekeminen, piirustuksen luominen.

8. Työskentely uuden materiaalin kanssa: selitys.

Dialogissa opiskelijoiden kanssa algoritmin johtaminen tietyn funktion kaavion tangentin yhtälön löytämiseksi tietyssä pisteessä.

Johda keskustelussa opettajan kanssa algoritmi tietyn funktion kaavion tangentin yhtälön löytämiseksi tietyssä pisteessä.

Muistiinpanojen tekemistä.

Viesti tehtävän ehdoista.

Koulutus hankitun tiedon soveltamiseen.

Järjestetään ongelmanratkaisutapojen etsiminen ja niiden toteuttaminen. yksityiskohtainen analyysi ratkaisuja selityksellä.

Kirjaa tehtävän ehdot.

Tehdään olettamuksia mahdollisista tavoista ratkaista ongelma toimintasuunnitelman kutakin kohtaa toteutettaessa. Ongelman ratkaiseminen yhdessä opettajan kanssa.

Tallenna ongelman ratkaisu ja vastaus.

9. Tiedon soveltaminen: itsenäinen opetusluonteinen työ.

Yksilöllinen ohjaus. Opiskelijoiden neuvontaa ja apua tarpeen mukaan.

Tarkista ja selitä ratkaisu esityksen avulla.

Hankitun tiedon soveltaminen.

Itsenäinen työ johdannaisen löytämisen ongelman ratkaisemiseksi piirroksesta. Keskustelu ja vastausten tarkistaminen pareittain, kysymyksen muotoilu opettajalle vaikeuden sattuessa

10. Kotitehtävät.

§48, tehtävät 1 ja 3, ymmärrä ratkaisu ja kirjoita se muistivihkoon piirustusten kanssa.

№ 860 (2,4,6,8),

Viesti kotitehtävät kommenteilla.

Kotitehtävien tallentaminen.

11. Yhteenveto.

Toistimme johdannaisen määritelmän; fyysinen merkitys johdannainen; lineaarifunktion ominaisuudet.

Opimme mikä on derivaatan geometrinen merkitys.

Opimme johtamaan tietyn funktion kaavion tangentin yhtälö tietyssä pisteessä.

Oppitunnin tulosten korjaus ja selventäminen.

Luettelo oppitunnin tuloksista.

12. Heijastus.

1. Löysit oppitunnin: a) helpoksi; b) tavallisesti; c) vaikeaa.

a) hallitsen sen kokonaan, osaan soveltaa sitä;

b) olet oppinut sen, mutta heidän on vaikea soveltaa sitä;

c) ei ymmärtänyt.

3. Multimediaesitys luokassa:

a) auttoi hallitsemaan materiaalia; b) ei auttanut hallitsemaan materiaalia;

c) häiritsee materiaalin assimilaatiota.

Heijastuksen johtaminen.

Luento: Funktion derivaatan käsite, derivaatan geometrinen merkitys

Tarkastellaan jotakin funktiota f(x), joka on jatkuva koko tarkasteluvälin ajan. Tarkasteltavalle välille valitaan piste x 0 sekä funktion arvo tässä pisteessä.

Katsotaan siis kuvaajaa, johon merkitsemme pisteemme x 0, sekä pisteen (x 0 + ∆x). Muista, että ∆х on kahden valitun pisteen välinen etäisyys (ero).

On myös syytä ymmärtää, että jokainen x vastaa ominaisarvo toiminnot y.

Eroa funktion arvojen välillä pisteessä x 0 ja (x 0 + ∆x) kutsutaan tämän funktion inkrementiksi: ∆у = f(x 0 + ∆x) - f(x 0).

Kiinnitetään huomiota lisätietoihin, jotka ovat käytettävissä kaaviossa - tämä on sekantti, jota kutsutaan KL:ksi, sekä kolmio, jonka se muodostaa intervalleilla KN ja LN.

Kulmaa, jossa sekantti sijaitsee, kutsutaan sen kaltevuuskulmaksi ja sitä merkitään α. Voidaan helposti määrittää, että kulman LKN astemitta on myös yhtä suuri kuin α.

Muistetaan nyt suhteet suorakulmainen kolmio tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

Toisin sanoen sekanttikulman tangentti on yhtä suuri kuin funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhde.

Kerralla derivaatta on raja funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhteen äärettömällä pienillä aikaväleillä.

Derivaata määrittää nopeuden, jolla funktio muuttuu tietyllä alueella.

Johdannan geometrinen merkitys

Jos löydät jonkin funktion derivaatan tietystä pisteestä, voit määrittää kulman, jossa kaavion tangentti tietyssä virrassa sijaitsee suhteessa OX-akseliin. Kiinnitä huomiota kuvaajaan - tangentiaalinen kaltevuuskulma on merkitty kirjaimella φ ja se määräytyy kertoimella k suoran yhtälössä: y = kx + b.

Toisin sanoen voimme päätellä, että derivaatan geometrinen merkitys on tangenttikulman tangentti jossain funktion kohdassa.

Funktion derivaatta on yksi vaikeita aiheita V koulun opetussuunnitelma. Kaikki valmistuneet eivät vastaa kysymykseen, mikä johdannainen on.

Tämä artikkeli selittää yksinkertaisella ja selkeällä tavalla, mikä johdannainen on ja miksi sitä tarvitaan.. Emme nyt pyri matemaattiseen kurinalaisuuteen esityksessä. Tärkeintä on ymmärtää merkitys.

Muistakaamme määritelmä:

Derivaata on funktion muutosnopeus.

Kuvassa on kaavioita kolmesta funktiosta. Kumpi luulet kasvavan nopeammin?

Vastaus on ilmeinen - kolmas. Sillä on suurin muutosnopeus, eli suurin johdannainen.

Tässä on toinen esimerkki.

Kostya, Grisha ja Matvey saivat työpaikkoja samaan aikaan. Katsotaan kuinka heidän tulonsa muuttuivat vuoden aikana:

Kaavio näyttää kaiken kerralla, eikö niin? Kostjan tulot yli kaksinkertaistuivat kuudessa kuukaudessa. Ja myös Grishan tulot kasvoivat, mutta vain vähän. Ja Matveyn tulot putosivat nollaan. Aloitusehdot ovat samat, mutta funktion muutosnopeus eli johdannainen, - erilainen. Matveyn tulojohdannainen on yleensä negatiivinen.

Intuitiivisesti arvioimme helposti funktion muutosnopeuden. Mutta miten teemme tämän?

Tarkastelemme todella sitä, kuinka jyrkästi funktion kaavio nousee (tai alas). Toisin sanoen kuinka nopeasti y muuttuu x:n muuttuessa? Ilmeisesti sama toiminto eri pisteet voi olla eri merkitys johdannainen - eli se voi muuttua nopeammin tai hitaammin.

Funktion derivaatta on merkitty .

Näytämme sinulle, kuinka se löytyy kaavion avulla.

Jonkin funktion kaavio on piirretty. Otetaan piste, jossa on abskissa. Piirretään tangentti funktion kuvaajalle tässä vaiheessa. Haluamme arvioida, kuinka jyrkästi funktiokaavio nousee. Kätevä arvo tälle on tangentin kulman tangentti.

Funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin tangenttikulman tangentti, joka on piirretty funktion kuvaajaan tässä pisteessä.

Huomaa, että tangentin kaltevuuskulmaksi otamme tangentin ja akselin positiivisen suunnan välisen kulman.

Joskus opiskelijat kysyvät, mikä on funktion kaavion tangentti. Tämä on suora viiva, jolla on yksi yhteinen piste tämän osan kaavion kanssa, kuten kuvassamme näkyy. Se näyttää ympyrän tangentilta.

Etsitään se. Muistamme, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on yhtä suuri kuin vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun. Kolmiosta:

Löysimme derivaatan graafin avulla tietämättä edes funktion kaavaa. Tällaisia ​​ongelmia löytyy usein matematiikan yhtenäisestä valtionkokeesta numeron alla.

On toinen tärkeä suhde. Muista, että yhtälö antaa suoran

Tämän yhtälön määrää kutsutaan suoran viivan kaltevuus. Se on yhtä suuri kuin suoran kaltevuuskulman tangentti akseliin nähden.

.

Me ymmärrämme sen

Muistakaamme tämä kaava. Se ilmaisee derivaatan geometrisen merkityksen.

Funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kulmakerroin kyseisessä pisteessä.

Toisin sanoen derivaatta on yhtä suuri kuin tangenttikulman tangentti.

Olemme jo sanoneet, että samalla funktiolla voi olla eri derivaatat eri kohdissa. Katsotaan kuinka derivaatta liittyy funktion käyttäytymiseen.

Piirretään kaavio jostain funktiosta. Anna tämän toiminnon kasvaa joillakin alueilla ja pienentyä toisilla ja eri nopeuksilla. Ja anna tällä funktiolla olla maksimi- ja minimipisteet.

Jossain vaiheessa toiminto kasvaa. Pisteeseen piirretyn kaavion tangentti muodostaa terävän kulman; positiivisella akselisuunnalla. Tämä tarkoittaa, että pisteen derivaatta on positiivinen.

Siinä vaiheessa toimintamme heikkenee. Tangentti tässä pisteessä muodostaa tylpän kulman; positiivisella akselisuunnalla. Koska tylpän kulman tangentti on negatiivinen, derivaatta pisteessä on negatiivinen.

Tässä on mitä tapahtuu:

Jos funktio on kasvava, sen derivaatta on positiivinen.

Jos se pienenee, sen derivaatta on negatiivinen.

Mitä maksimi- ja minimipisteissä tapahtuu? Näemme, että pisteissä (maksimipiste) ja (minimipiste) tangentti on vaakasuora. Siksi tangentin tangentti näissä pisteissä on nolla, ja derivaatta on myös nolla.

Piste - maksimipiste. Tässä vaiheessa funktion lisäys korvataan laskulla. Näin ollen derivaatan merkki muuttuu kohdassa "plus" "miinus".

Pisteessä - minimipisteessä - derivaatta on myös nolla, mutta sen etumerkki muuttuu “miinus”:sta “plussiksi”.

Johtopäätös: derivaatan avulla voimme saada selville kaiken, mikä meitä kiinnostaa funktion käyttäytymisestä.

Jos derivaatta on positiivinen, funktio kasvaa.

Jos derivaatta on negatiivinen, funktio pienenee.

Maksimipisteessä derivaatta on nolla ja vaihtaa etumerkin "plus":sta "miinus".

Minimipisteessä derivaatta on myös nolla ja muuttaa etumerkin "miinus" -merkistä "plussiksi".

Kirjoita nämä johtopäätökset taulukon muodossa:

Tehdään kaksi pientä selvennystä. Tarvitset yhden niistä, kun ratkaiset ongelman. Toinen - ensimmäisenä vuonna vakavammalla funktioiden ja johdannaisten tutkimuksella.

On mahdollista, että funktion derivaatta jossain pisteessä on nolla, mutta funktiolla ei ole tässä vaiheessa maksimi- eikä minimiarvoa. Tämä on ns :

Pisteessä graafin tangentti on vaakasuora ja derivaatta on nolla. Kuitenkin ennen pistettä funktio kasvoi - ja pisteen jälkeen se jatkaa kasvuaan. Johdannan etumerkki ei muutu - se pysyy positiivisena sellaisena kuin se oli.

Käy myös niin, että maksimi- tai minimipisteessä derivaatta ei ole olemassa. Kaaviossa tämä vastaa jyrkkää katkosta, kun on mahdotonta piirtää tangenttia tiettyyn pisteeseen.

Kuinka löytää derivaatta, jos funktio ei ole annettu graafilla, vaan kaavalla? Tässä tapauksessa se pätee