Säännöllinen monikulmio. Säännöllisen monikulmion sivujen lukumäärä

Rikki

Määritelmä

rikkinäinen linja tai lyhyesti sanottuna rikkinäinen linja, on rajallinen segmenttien sarja siten, että ensimmäisen segmentin yksi päistä toimii toisen ja toisen segmentin toinen pää kolmannen päätepisteenä jne. Tässä tapauksessa vierekkäiset segmentit eivät ole samalla suoralla linjalla. Näitä segmenttejä kutsutaan katkoviivan linkeiksi.

Polylin tyypit

Katkoviivaa kutsutaan suljettu, jos ensimmäisen jakson alku on sama kuin viimeisen jakson loppu.

Katkoviiva voi ylittää itsensä, koskettaa itseään tai mennä päällekkäin. Jos tällaisia ​​singulariteetteja ei ole, niin tällaista katkoviivaa kutsutaan yksinkertainen.

Monikulmiot

Määritelmä

Yksinkertaista suljettua katkoviivaa yhdessä sen rajoittaman tason osan kanssa kutsutaan monikulmio.

Kommentti

Monikulmion jokaisessa kärjessä sen sivut määrittävät monikulmion tietyn kulman. Se voi olla joko vähemmän laajennettu tai laajennettu.

Omaisuus

Jokaisen polygonin kulma on pienempi kuin $180^\circ$.

Todiste

Olkoon monikulmio $P$.

Piirretään suora viiva, joka ei leikkaa sitä. Siirrämme sen samansuuntaisesti polygonin kanssa. Jossain vaiheessa saamme ensimmäistä kertaa suoran $a$, jolla on vähintään yksi yhteinen piste polygonin $P$ kanssa. Monikulmio on tämän viivan toisella puolella (jotkut sen pisteistä ovat viivalla $a$).

Rivi $a$ sisältää vähintään yhden polygonin kärjen. Sen kaksi sivua, jotka sijaitsevat rivin $a$ toisella puolella, yhtyvät siihen (mukaan lukien tapaus, jossa yksi niistä on tällä viivalla). Tämä tarkoittaa, että tässä kärjessä kulma on pienempi kuin taittamaton.

Määritelmä

Monikulmiota kutsutaan kupera, jos se on jokaisen sen sivun sisältävän rivin toisella puolella. Jos monikulmio ei ole kupera, sitä kutsutaan ei-kupera.

Kommentti

Kupera monikulmio on monikulmion sivut sisältävien viivojen rajaamien puolitasojen leikkauspiste.

Kuperan monikulmion ominaisuudet

Kuperan monikulmion kaikki kulmat ovat alle $180^\circ$.

Jana, joka yhdistää kuperan monikulmion mitkä tahansa kaksi pistettä (erityisesti minkä tahansa sen diagonaalista), sisältyy tähän monikulmioon.

Todiste

Todistetaan ensimmäinen ominaisuus

Otetaan mikä tahansa kulma $A$ kuperasta polygonista $P$ ja sen sivusta $a$, joka tulee kärjestä $A$. Olkoon $l$ rivi, joka sisältää sivun $a$. Koska monikulmio $P$ on kupera, se on suoran $l$ toisella puolella. Tämän seurauksena sen kulma $A$ on myös tämän viivan toisella puolella. Tämä tarkoittaa, että kulma $A$ on pienempi kuin kehitetty kulma, eli pienempi kuin $180^\circ$.

Todistetaan toinen ominaisuus

Ota mitkä tahansa kaksi kuperan monikulmion $P$ pistettä $A$ ja $B$. Monikulmio $P$ on useiden puolitasojen leikkauspiste. Segmentti $AB$ sisältyy jokaiseen näistä puolitasoista. Siksi se sisältyy myös polygoniin $P$.

Määritelmä

Monikulmion diagonaali kutsutaan segmentiksi, joka yhdistää sen ei-viereiset kärjet.

Lause (n-kulman diagonaalien lukumäärästä)

Kuperan $n$-gonin diagonaalien lukumäärä lasketaan kaavalla $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Todiste

Jokaisesta n-kulmion kärjestä on mahdollista piirtää $n-3$ diagonaalia (et voi piirtää diagonaalia naapuripisteisiin tai itse tähän kärkeen). Jos laskemme kaikki tällaiset mahdolliset segmentit, niin niitä tulee olemaan $n\cdot(n-3)$, koska niissä on $n$ kärkeä. Mutta jokainen diagonaali lasketaan kahdesti. Siten n-kulmion diagonaalien lukumäärä on yhtä suuri kuin $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Lause (n-kulman kulmien summasta)

Kuperan $n$-gonin kulmien summa on $180^\circ(n-2)$.

Todiste

Harkitse $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Otetaan mielivaltainen piste $O$ tämän polygonin sisällä.

Kaikkien kolmioiden $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ kulmien summa on yhtä suuri kuin $180^\circ\cdot n$.

Toisaalta tämä summa on monikulmion kaikkien sisäisten kulmien ja kokonaiskulman $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$ summa.

Tällöin tarkasteltavan $n$-gonin kulmien summa on $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Seuraus

Ei-kuperan $n$-gonin kulmien summa on $180^\circ(n-2)$.

Todiste

Tarkastellaan monikulmiota $A_1A_2\ldots A_n$, jonka ainoa kulma $\angle A_2$ on ei-kupera, eli $\angle A_2>180^\circ$.

Merkitään hänen saaliinsa summa $S$:na.

Yhdistetään pisteet $A_1A_3$ ja tarkastellaan polygonia $A_1A_3\ldots A_n$.

Tämän monikulmion kulmien summa on:

180 $^\circ\cdot(n-1-2)=S-\kulma A_2+\kulma 1+\kulma 2=S-\kulma A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Siksi $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Jos alkuperäisellä monikulmiolla on useampi kuin yksi ei-kupera kulma, niin yllä kuvattu operaatio voidaan suorittaa jokaisella tällaisella kulmalla, mikä johtaa väitteen todistamiseen.

Lause (kuperan n-kulman ulkokulmien summasta)

Kuperan $n$-gonin ulkokulmien summa on $360^\circ$.

Todiste

Ulkoinen kulma kärjessä $A_1$ on yhtä suuri kuin $180^\circ-\angle A_1$.

Kaikkien ulkoisten kulmien summa on yhtä suuri:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n) -2)=360^\circ$.

Geometrian peruskurssilla todistetaan, että kuperan n-gonin kulmien summa on 180° (n-2). Osoittautuu, että tämä väite pätee myös ei-kuperille polygoneille.

Lause 3. Satunnaisen n-kulman kulmien summa on 180° (n - 2).

Todiste. Jaetaan monikulmio kolmioiksi piirtämällä diagonaalit (kuva 11). Tällaisten kolmioiden lukumäärä on n-2, ja kussakin kolmiossa kulmien summa on 180°. Koska kolmioiden kulmat muodostavat monikulmion kulmat, monikulmion kulmien summa on 180° (n - 2).

Tarkastellaan nyt mielivaltaisia ​​suljettuja katkoviivoja, joissa on mahdollisesti itseleikkaukset A1A2…AnA1 (kuva 12, a). Kutsumme tällaisia ​​itsensä leikkaavia katkoviivoja tähtipolygoneiksi (kuva 12, b-d).

Kiinnitetään kulmien laskentasuunta vastapäivään. Huomaa, että suljetun polylinen muodostamat kulmat riippuvat suunnasta, jossa se kulkee. Jos monikulmion poikkisuunta on päinvastainen, monikulmion kulmat ovat kulmia, jotka täydentävät alkuperäisen monikulmion kulmia 360° asti.

Jos M on yksinkertaisen suljetun katkoviivan muodostama monikulmio, joka kulkee myötäpäivään (kuva 13, a), niin tämän monikulmion kulmien summa on 180° (n - 2). Jos katkoviiva kulkee vastapäivään (kuva 13, b), kulmien summa on 180° (n + 2).

Täten, yleinen kaava yksinkertaisen suljetun katkoviivan muodostaman monikulmion kulmien summa on muotoa = 180° (n 2), missä on kulmien summa, n on monikulmion kulmien lukumäärä, "+" tai "-" ” otetaan riippuen katkoviivan kulkusuunnasta.

Tehtävämme on johtaa kaava suljetun (mahdollisesti itsensä leikkaavan) katkoviivan muodostaman mielivaltaisen monikulmion kulmien summalle. Tätä varten otamme käyttöön monikulmion asteen käsitteen.

Monikulmion aste on kierrosten lukumäärä, jonka piste tekee kulkiessaan täysin peräkkäin sen sivuja. Lisäksi vastapäivään tehdyt kierrokset lasketaan “+”-merkillä ja myötäpäivään tehdyt kierrokset “-”-merkillä.

On selvää, että yksinkertaisen suljetun monikulmion muodostaman monikulmion aste on +1 tai -1 kulkijan suunnasta riippuen. Kuvan 12a katkoviivan aste on kaksi. Tähtimäisten seitsemänkulmioiden aste (kuva 12, c, d) on kaksi ja kolme.

Asteen käsite määritellään samalla tavalla tason suljetuille käyrälle. Esimerkiksi kuvassa 14 esitetyn käyrän aste on kaksi.

Voit selvittää monikulmion tai käyrän asteen seuraavasti. Oletetaan, että liikkuessamme käyrää pitkin (kuva 15, a) jostain paikasta A1 alkaen teimme täyden kierroksen ja päädyimme samaan pisteeseen A1. Poistetaan vastaava osio käyrästä ja jatketaan liikkumista jäljellä olevaa käyrää pitkin (kuva 15,b). Jos jostain paikasta A2 alkaen teimme jälleen täyden kierroksen ja osumme samaan pisteeseen, poistamme käyrän vastaavan osan ja jatkamme liikkumista (kuva 15, c). Laskemalla "+"- tai "-"-merkeillä varustettujen etäosien lukumäärä niiden kulkusuunnasta riippuen saadaan tarvittava käyrän aste.

Lause 4. Mielivaltaiselle monikulmiolle kaava pätee

180° (n +2m),

missä on kulmien summa, n on kulmien lukumäärä, m on monikulmion aste.

Todiste. Olkoon monikulmion M aste m ja se esitetään tavanomaisesti kuvassa 16. M1, ..., Mk ovat yksinkertaisia ​​suljettuja katkoviivoja, joita pitkin piste tekee täyden kierroksen. A1, …, Ak ovat katkoviivan vastaavat itseleikkauspisteet, jotka eivät ole sen huippuja. Merkitään polygoneihin M1, …, Mk sisältyvien monikulmion M kärkien lukumäärä n1, …, nk, vastaavasti. Koska monikulmion M kärkien lisäksi näihin monikulmioihin lisätään kärjet A1, ..., Ak, niin monikulmioiden M1, ..., Mk kärkien lukumäärä on yhtä suuri kuin n1+1, . .., nk+1, vastaavasti. Silloin niiden kulmien summat ovat 180° (n1+12), ..., 180° (nk+12). Plus tai miinus otetaan katkoviivojen kulkemissuunnasta riippuen. Monikulmion M0 kulmien summa, joka jää monikulmiosta M monikulmioiden M1, ..., Mk poistamisen jälkeen, on 180° (n-n1- ...-nk+k2). Monikulmion M0, M1, ..., Mk kulmien summat antavat monikulmion M kulmien summan ja kussakin kärjessä A1, ..., Ak saadaan lisäksi 360°. Meillä on siis tasa-arvo

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1- …-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

missä m on monikulmion M aste.

Harkitse esimerkiksi viisisakaraisen tähden kulmien summan laskemista (kuva 17, a). Vastaavan suljetun katkoviivan aste on -2. Siksi vaadittu kulmien summa on 180.

Kolmio, neliö, kuusikulmio - nämä hahmot ovat lähes kaikkien tiedossa. Mutta kaikki eivät tiedä, mitä säännöllinen monikulmio on. Mutta nämä ovat kaikki samoja. Säännöllinen monikulmio on sellainen, jolla on samat kulmat ja sivut. Tällaisia ​​lukuja on paljon, mutta niillä kaikilla on samat ominaisuudet ja samat kaavat koskevat niitä.

Säännöllisten polygonien ominaisuudet

Mikä tahansa säännöllinen monikulmio, oli se sitten neliö tai kahdeksankulmio, voidaan piirtää ympyrään. Tätä perusominaisuutta käytetään usein hahmon rakentamisessa. Lisäksi monikulmioon voidaan kirjoittaa ympyrä. Tässä tapauksessa kosketuspisteiden lukumäärä on yhtä suuri kuin sen sivujen lukumäärä. On tärkeää, että säännölliseen monikulmioon piirretyllä ympyrällä on yhteinen keskus sen kanssa. Nämä geometrisia kuvioita ovat samojen teoreemojen alaisia. Mikä tahansa säännöllisen n-kulman sivu liittyy sitä ympäröivän ympyrän R säteeseen, joten se voidaan laskea seuraavalla kaavalla: a = 2R ∙ sin180°. Sen kautta löydät paitsi monikulmion sivut myös kehän.

Kuinka löytää säännöllisen monikulmion sivujen lukumäärä

Mikä tahansa koostuu tietystä määrästä toisiaan vastaavia segmenttejä, jotka yhdistettyinä muodostavat suljetun viivan. Tässä tapauksessa tuloksena olevan kuvan kaikilla kulmilla on sama arvo. Monikulmiot jaetaan yksinkertaisiin ja monimutkaisiin. Ensimmäinen ryhmä sisältää kolmion ja neliön. Monimutkaisilla polygoneilla on suurempi määrä sivut Näihin kuuluu myös tähden muotoisia hahmoja. Monimutkaisten säännöllisten monikulmioiden sivut löydetään piirtämällä ne ympyrän muotoon. Annetaan todiste. Piirrä säännöllinen monikulmio, jolla on mielivaltainen määrä sivuja n. Piirrä ympyrä sen ympärille. Aseta säde R. Kuvittele nyt, että sinulle annetaan n-kulmio. Jos sen kulmien pisteet ovat ympyrässä ja ovat yhtä suuria keskenään, niin sivut voidaan löytää kaavalla: a = 2R ∙ sinα: 2.

Piirretyn säännöllisen kolmion sivujen lukumäärän selvittäminen

Tasasivuinen kolmio on säännöllinen monikulmio. Siihen pätevät samat kaavat kuin neliöön ja n-kulmioon. Kolmiota pidetään säännöllisenä, jos sen sivut ovat yhtä pitkiä. Tässä tapauksessa kulmat ovat 60⁰. Muodostetaan kolmio, jonka sivun pituus on a. Kun tiedät sen mediaanin ja korkeuden, voit löytää sen sivujen arvon. Tätä varten käytämme menetelmää löytää kaavan a = x kautta: cosα, jossa x on mediaani tai korkeus. Koska kolmion kaikki sivut ovat yhtä suuret, saadaan a = b = c. Tällöin seuraava väite on tosi: a = b = c = x: cosα. Vastaavasti voit löytää tasakylkisen kolmion sivujen arvon, mutta x on annettu korkeus. Tässä tapauksessa se tulee projisoida tiukasti kuvan pohjaan. Joten, kun tiedämme korkeuden x, löydämme sivun a tasakylkinen kolmio kaavan a = b = x mukaan: cosα. Kun olet löytänyt a:n arvon, voit laskea kannan c pituuden. Sovelletaan Pythagoraan lausetta. Etsimme puolen c:n arvoa: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Silloin c = 2xtanα. Tällä yksinkertaisella tavalla voit selvittää minkä tahansa piirretyn monikulmion sivujen lukumäärän.

Ympyrään piirretyn neliön sivujen laskeminen

Kuten kaikilla muillakin säännöllisillä monikulmioilla, neliöllä on yhtäläiset sivut ja kulmat. Siihen pätevät samat kaavat kuin kolmioon. Voit laskea neliön sivut käyttämällä diagonaaliarvoa. Tarkastellaan tätä menetelmää yksityiskohtaisemmin. Tiedetään, että diagonaali jakaa kulman puoliksi. Aluksi sen arvo oli 90 astetta. Näin ollen jaon jälkeen muodostuu kaksi, joiden kulmat pohjassa ovat 45 astetta. Vastaavasti neliön jokainen sivu on yhtä suuri, eli: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, missä e on neliön lävistäjä tai sen jälkeen muodostetun suorakulmaisen kolmion kanta. jako. Ei ole ainoa tapa neliön sivujen etsiminen. Piirretään tämä kuvio ympyrään. Kun tiedämme tämän ympyrän R säteen, löydämme neliön sivun. Laskemme sen seuraavasti: a4 = R√2. Säännöllisten monikulmioiden säteet lasketaan kaavalla R = a: 2tg (360 o: 2n), jossa a on sivun pituus.

Kuinka laskea n-kulman ympärysmitta

N-kulman ympärysmitta on sen kaikkien sivujen summa. Se on helppo laskea. Tätä varten sinun on tiedettävä kaikkien osapuolten merkitykset. Joillekin monikulmiotyypeille on olemassa erityisiä kaavoja. Niiden avulla voit löytää kehän paljon nopeammin. Tiedetään, että kaikilla säännöllisillä monikulmioilla on yhtäläiset sivut. Siksi sen kehän laskemiseksi riittää, että tiedät ainakin yhden niistä. Kaava riippuu kuvion sivujen lukumäärästä. Yleisesti ottaen se näyttää tältä: P = an, missä a on sivuarvo ja n on kulmien lukumäärä. Jos haluat esimerkiksi löytää säännöllisen kahdeksankulmion, jonka sivu on 3 cm, ympärysmitta, sinun on kerrottava se 8:lla, eli P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Laskemme kuusikulmiolle, jonka sivu on 5 cm seuraavasti: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Ja niin jokaiselle polygonille.

Suunnikkaan, neliön ja rombin kehän löytäminen

Sen ympärysmitta lasketaan sen mukaan, kuinka monta sivua tavallisella monikulmiolla on. Tämä tekee tehtävästä paljon helpompaa. Itse asiassa, toisin kuin muut hahmot, tässä tapauksessa sinun ei tarvitse etsiä sen kaikkia puolia, yksi riittää. Samalla periaatteella löydämme nelikulmion ympärysmitan eli neliön ja rombin. Huolimatta siitä, että nämä ovat erilaisia ​​​​lukuja, kaava niille on sama: P = 4a, jossa a on sivu. Otetaan esimerkki. Jos rombin tai neliön sivu on 6 cm, niin saamme ympärysmitan seuraavasti: P = 4 ∙ 6 = 24 cm Suunnikkaalle vain vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret. Siksi sen ympärysmitta löydetään eri menetelmällä. Joten meidän on tiedettävä kuvion pituus a ja leveys b. Sitten sovelletaan kaavaa P = (a + b) ∙ 2. Suunnikkaasta, jonka kaikki sivut ja niiden väliset kulmat ovat yhtä suuret, kutsutaan rombiksi.

Tasasivuisen ja suorakulmaisen kolmion kehän löytäminen

Oikean ympärysmitta löytyy kaavalla P = 3a, jossa a on sivun pituus. Jos se on tuntematon, se löytyy mediaanin kautta. SISÄÄN suorakulmainen kolmio vain kaksi puolta ovat yhtä tärkeitä. Perusta löytyy Pythagoraan lauseesta. Kun kaikkien kolmen sivun arvot tunnetaan, laskemme kehä. Se voidaan löytää käyttämällä kaavaa P = a + b + c, jossa a ja b ovat yhtä suuret sivut ja c kanta. Muista, että tasakylkisessä kolmiossa a = b = a, mikä tarkoittaa a + b = 2a, jolloin P = 2a + c. Esimerkiksi tasakylkisen kolmion sivu on 4 cm, etsitään sen kanta ja ympärysmitta. Laskemme hypotenuusan arvon Pythagoraan lauseella = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm. Laske nyt ympärysmitta P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Kuinka löytää säännöllisen monikulmion kulmat

Säännöllinen monikulmio esiintyy elämässämme joka päivä, esimerkiksi säännöllinen neliö, kolmio, kahdeksankulmio. Vaikuttaa siltä, ​​​​että mikään ei ole helpompaa kuin rakentaa tämä hahmo itse. Mutta tämä on yksinkertaista vain ensi silmäyksellä. Minkä tahansa n-kulman rakentamiseksi sinun on tiedettävä sen kulmien arvo. Mutta miten ne löytää? Jopa muinaiset tiedemiehet yrittivät rakentaa säännöllisiä polygoneja. He keksivät, kuinka sovittaa ne ympyröihin. Ja sitten siihen merkittiin tarvittavat pisteet ja yhdistettiin suorilla viivoilla. Yksinkertaisten kuvioiden rakennusongelma ratkesi. Saatiin kaavat ja lauseet. Esimerkiksi Euclid käsitteli kuuluisassa teoksessaan "Inception" 3-, 4-, 5-, 6- ja 15-gonin ongelmien ratkaisemista. Hän löysi tapoja rakentaa niitä ja löytää kulmia. Katsotaanpa, miten tämä tehdään 15-gonille. Ensin sinun on laskettava sen sisäkulmien summa. On tarpeen käyttää kaavaa S = 180⁰(n-2). Joten meille annetaan 15-kulmainen, mikä tarkoittaa, että luku n on 15. Korvaamme tuntemamme tiedot kaavaan ja saamme S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Löysimme 15-gonin kaikkien sisäkulmien summan. Nyt sinun on saatava jokaisen niistä arvo. Kulmia on yhteensä 15. Laskemme 2340⁰: 15 = 156⁰. Tämä tarkoittaa, että jokainen sisäkulma on yhtä suuri kuin 156⁰, nyt viivaimen ja kompassin avulla voit rakentaa tavallisen 15 kulman. Mutta entä monimutkaisemmat n-gonit? Monien vuosisatojen ajan tiedemiehet ovat kamppailleet tämän ongelman ratkaisemiseksi. Carl Friedrich Gauss löysi sen vasta 1700-luvulla. Hän pystyi rakentamaan 65537-gonin. Siitä lähtien ongelma on virallisesti katsottu täysin ratkaistuksi.

N-kulmien laskenta radiaaneina

Tietenkin on olemassa useita tapoja löytää monikulmion kulmat. Useimmiten ne lasketaan asteina. Mutta ne voidaan ilmaista myös radiaaneina. Kuinka tehdä se? Sinun on toimittava seuraavasti. Ensin selvitetään säännöllisen monikulmion sivujen lukumäärä, sitten vähennetään siitä 2. Tämä tarkoittaa, että saamme arvon: n - 2. Kerro löydetty ero luvulla n ("pi" = 3,14). Nyt jäljellä on vain jakaa tuloksena saatu tulo n-kulman kulmien lukumäärällä. Tarkastellaan näitä laskelmia käyttämällä esimerkkinä samaa kymmenkulmiota. Luku n on siis 15. Sovelletaan kaavaa S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Tämä ei tietenkään ole ainoa tapa laskea kulma radiaaneina. Voit yksinkertaisesti jakaa kulman asteina luvulla 57,3. Loppujen lopuksi tämä on kuinka monta astetta vastaa yhtä radiaania.

Kulmien laskeminen asteina

Asteiden ja radiaanien lisäksi voit yrittää löytää säännöllisen monikulmion kulmat asteina. Tämä tehdään seuraavasti. From kokonaismäärä kulmat, vähennä 2, jaa saatu erotus säännöllisen monikulmion sivujen lukumäärällä. Kerromme löydetyn tuloksen 200:lla. Sellaista kulmien mittayksikköä asteina ei muuten käytännössä käytetä.

N-kulmien ulkokulmien laskenta

Jokaiselle tavalliselle monikulmiolle voit laskea sisäisen lisäksi myös ulkoisen kulman. Sen arvo löytyy samalla tavalla kuin muidenkin lukujen. Joten löytääksesi säännöllisen monikulmion ulkoisen kulman, sinun on tiedettävä sisäisen kulman arvo. Lisäksi tiedämme, että näiden kahden kulman summa on aina 180 astetta. Siksi teemme laskelmat seuraavasti: 180⁰ miinus sisäkulman arvo. Löydämme eron. Se on yhtä suuri kuin sen vieressä olevan kulman arvo. Esimerkiksi neliön sisäkulma on 90 astetta, mikä tarkoittaa, että ulkoinen kulma on 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Kuten näemme, sen löytäminen ei ole vaikeaa. Ulkoinen kulma voi saada arvon +180⁰ - -180⁰, vastaavasti.

8. luokalla koulun geometrian tunneilla oppilaat tutustuvat ensin kuperan monikulmion käsitteeseen. Hyvin pian he oppivat, että tällä luvulla on hyvin mielenkiintoinen omaisuus. Olipa se kuinka monimutkainen tahansa, kuperan monikulmion kaikkien sisä- ja ulkokulmien summa saa tiukasti määritellyn arvon. Tässä artikkelissa matematiikan ja fysiikan opettaja puhuu siitä, mikä on kuperan monikulmion kulmien summa.

Kuperan monikulmion sisäkulmien summa

Kuinka todistaa tämä kaava?

Ennen kuin siirrymme tämän väitteen todistamiseen, muistetaan, mitä monikulmiota kutsutaan kuperaksi. Kupera monikulmio on monikulmio, joka sijaitsee kokonaan sen linjan toisella puolella, joka sisältää minkä tahansa sen sivuista. Esimerkiksi tässä kuvassa näkyvä:

Jos monikulmio ei täytä määritettyä ehtoa, sitä kutsutaan ei-kuperaksi. Esimerkiksi näin:

Kuperan monikulmion sisäkulmien summa on yhtä suuri kuin , Jossa on monikulmion sivujen lukumäärä.

Tämän tosiasian todiste perustuu lauseeseen kolmion kulmien summasta, joka on kaikkien koululaisten hyvin tiedossa. Olen varma, että tämä lause on sinullekin tuttu. Kolmion sisäkulmien summa on .

Ideana on jakaa kupera monikulmio useiksi kolmioksi. Tämä voidaan tehdä eri tavoilla. Riippuen siitä, minkä menetelmän valitsemme, todisteet ovat hieman erilaisia.

1. Jaa kupera monikulmio kolmioksi käyttämällä kaikkia mahdollisia jostain kärjestä vedettyjä lävistäjät. On helppo ymmärtää, että silloin n-kulmiomme jaetaan kolmioihin:

Lisäksi kaikkien tuloksena olevien kolmioiden kaikkien kulmien summa on yhtä suuri kuin n-kulmiemme kulmien summa. Loppujen lopuksi jokainen tuloksena olevien kolmioiden kulma on osakulma kuperassa monikulmiossamme. Eli vaadittu määrä on yhtä suuri kuin .

2. Voit myös valita pisteen kuperan monikulmion sisältä ja liittää sen kaikkiin pisteisiin. Sitten n-kulmiomme jaetaan kolmioihin:

Lisäksi monikulmiomme kulmien summa on tässä tapauksessa yhtä suuri kuin kaikkien näiden kolmioiden kaikkien kulmien summa miinus keskikulma, joka on yhtä suuri kuin . Eli vaadittu määrä on jälleen yhtä suuri kuin .

Kuperan monikulmion ulkokulmien summa

Esitetään nyt kysymys: "Mikä on kuperan monikulmion ulkokulmien summa?" Tähän kysymykseen voidaan vastata seuraavasti. Jokainen ulkokulma on vastaavan sisäisen kulman vieressä. Siksi se on yhtä suuri kuin:

Silloin kaikkien ulkoisten kulmien summa on yhtä suuri kuin . Eli se on tasa-arvoinen.

Eli saadaan erittäin hauska tulos. Jos piirretään minkä tahansa kuperan n-gonin kaikki ulkokulmat peräkkäin peräkkäin, niin tuloksena on täsmälleen koko taso.

Tämä mielenkiintoinen fakta voidaan havainnollistaa seuraavasti. Pienennetään suhteellisesti jonkin kuperan monikulmion kaikkia sivuja, kunnes se sulautuu pisteeksi. Tämän jälkeen kaikki ulkoiset kulmat asetetaan erilleen toisistaan ​​ja täyttävät siten koko tason.

Mielenkiintoinen fakta, eikö? Ja geometriassa on paljon tällaisia ​​tosiasioita. Joten oppikaa geometriaa, rakkaat koululaiset!

Materiaalin siitä, mikä on kuperan monikulmion kulmien summa, valmisti Sergei Valerievich