Useiden muuttujien skalaarifunktion suuntaderivaata. Suuntajohdannainen

1) Kahden muuttujan funktion tapaus. Suunta on annettu vektorilla. Valitaan yksikkövektori, joka määrittää suunnan tasossa: . Tämä vektori muodostaa kulman OX-akselin positiivisen suunnan kanssa. Kahden muuttujan funktion johdannaista suunnan suhteen kutsutaan yleensä lausekkeeksi .

2) Kolmen muuttujan funktion tapaus. Olkoon annettu yksikkövektori, joka muodostaa kulmat OX-, OY- ja OZ-akseleiden kanssa, vastaavasti. Jos merkitsemme vektorin koordinaatit , niin kahden vektorin välisen kulman kosinin kaavalla saadaan . Samoin,. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, yksikkövektori, joka muodostaa kulmia OX-, OY- ja OZ-akseleiden kanssa, on koordinaatit . Kolmen muuttujan funktion johdannaista suunnan suhteen kutsutaan yleensä lausekkeeksi

.

Määritelmä.Kaltevuus funktioita kutsutaan yleensä vektoreiksi . Tästä syystä funktion derivaatta yksikkövektorin määräämään suuntaan voidaan laskea kaavalla , missä kaavan oikealla puolella on skalaarituote funktion gradientti ja yksikkösuuntavektori.

Gradientin perusominaisuus: kaikista mahdollisista suunnista suuntaderivaatta saa suurimman ja positiivisen arvon gradientin suunnassa. Tämä ominaisuus seuraa skalaaritulon määritelmää. Koska derivaatan positiivisuus tarkoittaa funktion kasvua, gradientin suunta pisteessä - ϶ᴛᴏ funktion suurimman kasvun suunta.

Korkeamman asteen osittaiset johdannaiset.

Mikä tahansa muuttujien funktion osittainen derivaatta itse on myös muuttujien funktio. Useiden muuttujien funktion osittaisen derivaatan osittaisderivaatta kutsutaan yleensä toisen asteen osittainen derivaatta toimintoja Lisäksi, jos muuttujat, joiden suhteen derivaatat otetaan ensin funktiosta ja sitten funktiosta, eivät ole samat, tällaista osittaista derivaatta kutsutaan yleensä sekoitetuksi. Toisen asteen osittaisen derivaatan merkintä: . Siinä tapauksessa, kun - jatkuvat toiminnot tietyn pisteen läheisyydessä, tässä vaiheessa.

Minkä tahansa järjestyksen osittaiset johdannaiset otetaan käyttöön samalla tavalla.

ESIMERKKI
Lähetetty osoitteessa ref.rf
Etsi funktiosta. Meillä on
.

Laskeaksemme saman derivaatan MAXIM-funktiolla käytämme komentoa diff(log(x+3*y),x,2,y,1).

Korkeamman asteen erot.

Analogisesti johdannaisten kanssa otetaan käyttöön korkeamman asteen differentiaalit, toisin sanoen differentiaalit differentiaaleista. Tarkastellaan kolmen muuttujan funktiota. Tämän funktion differentiaali on lauseke . Huomaa, että viimeiseen lausekkeeseen sisältyvät derivaatat ovat funktioita, eivätkä muuttujien differentiaalit riipu arvosta . Tästä syystä sekajohdannaisten jatkuvuuden ehdolla toisen asteen differentiaalilla on muoto

Viimeisessä kaavassa hyödynsimme sekajohdannaisten yhtäläisyyden ominaisuutta. On helppo nähdä, että toisen kertaluvun differentiaalikaava on samanlainen kuin toisen asteen kaava kolmen termin summalle. Kahden muuttujan funktion toisen ja kolmannen asteen differentiaalien laskeminen ei ole vaikeaa: ,

Harjoittele. löytö funktiolle pisteessä (1,1).

Taylorin kaava useiden muuttujien funktiolle.

Kuten yhden muuttujan funktioille, useiden muuttujien funktioille Taylorin kaava antaa yhteyden funktion inkrementin pisteessä ja sen samassa pisteessä olevien differentiaalien välillä:

Missä .

Erityisesti kahden muuttujan funktiolle meillä on:

Tässä .

Suuntajohdannainen. - käsite ja tyypit. Luokan "Suuntajohdannainen" luokitus ja ominaisuudet. 2017, 2018.

Tarkastellaan funktiota u(x, y, z) pisteessä M(x, y, z) ja pisteessä M 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Piirretään 1 vektori pisteiden M ja M kautta. Tämän vektorin kaltevuuskulmat koordinaattiakselien x, y, z suuntaan merkitään a, b, g, vastaavasti. Näiden kulmien kosineja kutsutaan suunnan kosinit vektori

Merkitään vektorin pisteiden M ja M 1 välinen etäisyys DS:ksi.

jossa suuret e 1 , e 2 , e 3 ovat äärettömän pieniä pisteessä .

Geometristen näkökohtien perusteella on selvää:

Siten yllä olevat yhtäläisyydet voidaan esittää seuraavasti:

Huomaa, että suure s on skalaari. Se määrittää vain vektorin suunnan.

Tästä yhtälöstä seuraa seuraava määritelmä:

Rajaa kutsutaan funktion u(x, y, z) derivaatta vektorin suunnassa pisteessä, jossa on koordinaatit (x, y, z).

Selvitetään yllä olevien yhtäläisten merkitys esimerkin avulla.

Esimerkki 9.1. Laske funktion z = x 2 + y 2 x derivaatta pisteessä A(1, 2) vektorin suunnassa. B (3, 0).

Ratkaisu. Ensinnäkin on tarpeen määrittää vektorin koordinaatit.

Löydämme funktion z osittaiset derivaatat in yleisnäkymä:

Näiden suureiden arvot pisteessä A:

Vektorin suuntakosinien löytämiseksi suoritamme seuraavat muunnokset:

=

Satunnainen vektori suunnattu pitkin annettu vektori, eli erilaistumisen suunnan määrittäminen.

Täältä saamme vektorin suuntakosinien arvot:

cosa = ; cosb = -

Lopulta saamme: - johdannainen arvo annettu toiminto vektorin suuntaan.

Jos jollain alueella D annetaan funktio u = u(x, y, z) ja jokin vektori, jonka projektiot koordinaattiakseleille ovat yhtä suuret kuin funktion u arvot vastaavassa pisteessä

,

sitten tätä vektoria kutsutaan kaltevuus toiminnot u.

Tässä tapauksessa he sanovat, että alueella D on määritetty gradienttikenttä.

Lause: Olkoon funktio u = u(x, y, z) ja gradienttikenttä annettu

.

Tällöin derivaatta jonkin vektorin suunnan suhteen on yhtä suuri kuin vektorin gradu projektio vektoriin.

Todiste: Tarkastellaan yksikkövektoria ja jotakin funktiota u = u(x, y, z) ja lasketaan vektorien ja vektorien skalaaritulo gradu.

Tämän yhtälön oikealla puolella oleva lauseke on funktion u derivaatta s:n suunnassa.

Nuo. . Jos vektorien välinen kulma gradu ja merkitään j:llä, niin skalaaritulo voidaan kirjoittaa näiden vektorien moduulien ja niiden välisen kulman kosinin tuloksi. Ottaen huomioon, että vektori on yksikkö, ts. sen moduuli on yhtä suuri kuin yksi, voimme kirjoittaa:

Tämän yhtälön oikealla puolella oleva lauseke on vektorin projektio grad u vektoriin.

Lause on todistettu.

Havainnollistaa geometrisia ja fyysinen merkitys gradientti, oletetaan, että gradientti on vektori, joka näyttää jonkin skalaarikentän u nopeimman muutoksen suunnan jossain pisteessä. Fysiikassa on sellaisia ​​käsitteitä kuin lämpötilagradientti, painegradientti jne. Nuo. gradientin suunta on funktion nopeimman kasvun suunta.

Geometrisen esityksen kannalta gradientti on kohtisuorassa funktion tason pintaan nähden.

Skalaarikenttä kutsutaan osaa avaruudesta (tai koko avaruudesta), jokaista pistettä, jota jonkin skalaarisuureen numeerinen arvo vastaa.

Esimerkkejä

Kappale, jolla on tietty lämpötila-arvo jokaisessa pisteessä, on skalaarikenttä.

Epähomogeeninen kappale, jonka jokainen piste vastaa tiettyä tiheyttä - skalaaritiheyskenttä.

Kaikissa näissä tapauksissa skalaarisuure U ei riipu ajasta, vaan riippuu pisteen M sijainnista (koordinaateista) avaruudessa, eli se on kolmen muuttujan funktio, ns. kenttätoiminto. Ja päinvastoin, jokainen kolmen muuttujan funktio u=f(x, y, z) määrittää jonkin skalaarikentän.

Tasainen skalaarikenttäfunktio riippuu kahdesta muuttujasta z=f(x, y).

Harkitse skalaarikenttää u = f(x, y, z).

Vektori, jonka koordinaatit ovat lasketun funktion osittaiset derivaatat annettu piste, nimeltään kaltevuus funktio tässä pisteessä tai skalaarikentän gradientti.

Tarkastellaan vektoria ja kahta pistettä siinä M 0 (x 0, y 0, z 0) Ja . Etsitään funktion inkrementti suuntaan:

Suuntajohdannainen seuraavaa rajaa kutsutaan, jos se on olemassa:

missä ovat vektorin suuntakosinit; α, β, γ ovat vektorin muodostamia kulmia koordinaattiakseleiden kanssa, jos .

Kahden muuttujan funktiolle nämä kaavat ovat muotoa:

tai ,

koska .

Gradientin ja suuntaderivaatan välillä on suhde samassa pisteessä.

Lause. Funktion gradientin ja jonkin suunnan vektorin skalaaritulo on yhtä suuri kuin tämän funktion derivaatta tämän vektorin suunnassa:

.

Seuraus. Suuntajohdannaisella on korkein arvo, jos tämä suunta on sama kuin gradientin suunta (perusta se itse käyttämällä skalaaritulon määritelmää ja olettaen, että ).

Johtopäätökset:

1. Gradientti on vektori, joka näyttää funktion suurimman kasvun suunnan tietyssä pisteessä ja jolla on moduuli numeerisesti yhtä suuri kuin nopeus tästä lisäyksestä:

.

2. Suuntaderivaata on funktion muutosnopeus suuntaan: jos , niin funktio tähän suuntaan kasvaa, jos , niin funktio pienenee.

3. Jos vektori osuu yhteen yhden vektorin kanssa, niin tämän vektorin suunnan derivaatta osuu yhteen vastaavan osittaisen derivaatan kanssa.

Esimerkiksi jos , niin .

Esimerkki

Tehtävä annettu , piste A(1, 2) ja vektori.

Etsi: 1) ;

Ratkaisu

1) Etsi funktion osittaisderivaatat ja laske ne pisteessä A.

, .

Sitten .

2) Etsi vektorin suuntakosinit:

Vastaus: ; .

Kirjallisuus [ 1,2]

Itsetestikysymykset:

1. Mitä kutsutaan kahden muuttujan funktioksi, sen määritelmäalue?

2. Miten osittaiset derivaatat määritetään?

3. Mikä se on? geometrinen merkitys osittaisia ​​johdannaisia?

4. Mitä kutsutaan skalaarikentän gradienttiksi tietyssä pisteessä?

5. Mitä kutsutaan suuntaderivaattaksi?

6. Muotoile säännöt kahden muuttujan funktion ääriarvojen löytämiseksi.

Vaihtoehto 1

Tehtävä nro 1

A) ; b) ;

V) ; G) .

Tehtävä nro 2 Tutki funktion jatkuvuutta: etsi funktion epäjatkuvuuspisteet ja määritä niiden tyyppi. Muodosta funktiosta kaavakuva.

Tehtävä nro Annettu kompleksiluku Z. Pakollinen: kirjoita luku Z algebrallisiin ja trigonometrisiin muotoihin. .

Tehtävä nro 4.

1) y = 3x 5 – sinx, 2) y = tgx, 3) y = , 4) .

Tehtävä nro 5. Tutki funktiota differentiaalilaskennan menetelmillä ja rakenna graafia käyttämällä tutkimuksen tuloksia. .

Tehtävä nro 6. Funktio z=f(x,y) on annettu. Tarkista, pitääkö identiteetti F≡0?

Tehtävä nro 7 Annettu funktio Z=x 2 +xy+y 2, piste ja vektori. Löytö:

1) grad z pisteessä A;

2) derivaatta pisteessä A vektorin suuntaan .

Vaihtoehto 2

Tehtävä nro 1 Laske funktioiden rajat ilman L'Hopitalin sääntöä.

A) ; b) ;

V) ; G) .

Tehtävä nro 2 Tutki funktion jatkuvuutta: etsi funktion epäjatkuvuuspisteet ja määritä niiden tyyppi. Muodosta funktiosta kaavakuva.

Tehtävä nro 3 Annettu kompleksiluku Z. Pakollinen: kirjoita luku Z algebrallisiin ja trigonometrisiin muotoihin.

Tehtävä nro 4. Etsi näiden funktioiden ensimmäisen kertaluvun derivaatat.

Suuntajohdannainen.

Päästä koneeseen XOY piste sijaitsee M 0 (x 0 ,y 0 ). Asetetaan mielivaltainen kulma a ja tarkastelemme joukkoa samassa tasossa olevia pisteitä, joiden koordinaatit määritetään kaavoista

x = x 0 + t cos a, y = y 0 + t synti a. (1)

Tässä t- parametri, joka voi olla yhtä suuri kuin mikä tahansa luku. Kaavoista (1) seuraa:

(y - y 0)/(x - x 0) = tg a

Tämä tarkoittaa, että kaikki kohdat M(x,y), jonka koordinaatit täyttävät yhtälöt (1), ovat pisteen läpi kulkevalla suoralla M 0 (x 0 ,y 0) ja kulman komponentti a akselilla HÄRKÄ. Jokainen arvo t vastaa yhtä pistettä M(x,y), makaa tällä viivalla ja kaavan (1) mukaisesti pisteiden välisestä etäisyydestä M 0 (x 0 ,y 0) ja M(x,y) on yhtä suuri t. Voimme pitää tätä suoraa numeroakselina, jonka positiivinen suunta määrittää parametrin kasvun t. Merkitään tämän akselin positiivista suuntaa symbolilla l.

l.Johdannainen funktiosta z = f(x,y) kohdassa M 0 (x 0 ,y 0)kohti l kutsuttu numero

Funktion suuntaderivaatalle voidaan antaa geometrinen tulkinta. Jos suoraan l, määritetään kaavoilla (1), piirrä pystytaso P(itse asiassa kolmiulotteisessa avaruudessa yhtälöt (1) määrittelevät juuri tämän tason), silloin tämä taso leikkaa funktion pintakuvaajan z = f(x,y) pitkin

jokin tilakäyrä L. Vaakatason ja tämän käyrän tangentin välisen kulman tangentti pisteessä M 0 (x 0 ,y 0) on yhtä suuri kuin funktion derivaatta tässä suunnassa l.

Millä tahansa kurssilla matemaattinen analyysi on todistettu, että kaavan (2) mukainen suuntaderivaata voidaan esittää muodossa

Huomaa, että osittainen derivaatta suhteessa x on myös suuntajohdannainen. Tämä suunta määräytyy yhtälöillä: cos a = 1; synti a = 0. Samoin osittaisderivaata suhteessa y on johdannainen suhteessa suuntaan, joka voidaan määrittää ehdoilla cos a = 0; synti a = 1.

Ennen kaavan (3) analysointia esittelemme joitain käsitteitä ja faktoja vektorialgebran kurssista. Päästä sisään taso, jossa on koordinaattijärjestelmä XOY annettu suunnattu segmentti tai (joka on sama asia) vektori ja piste M 0 (x 0 ,y 0) on sen aloituspiste ja M 1 (x 1 ,y 1) - päätepiste. Määritetään vektorin koordinaatti akselilla HÄRKÄ lukuna, joka on yhtä suuri kuin x 1 ‑ x 0 ja akselin suuntainen koordinaatti numerona, joka on yhtä suuri kuin y 1 ‑ y 0 . Jos määrität tilatun parin mitä tahansa numeroita a Ja b, niin näitä lukuja voidaan pitää jonkin tason vektorin koordinaatteina XOY, ja tämän vektorin pituus määritetään kaavalla

,

ja kaltevuuskulman tangentti g vektorista akseliin HÄRKÄ määritetty kaavasta tg g = b/a(huomaa, että kun tiedät tg:n arvon g, sekä minkä tahansa numeron etumerkki a Ja b, voimme määrittää kulman g tarkkuudella 2 s).

Kirjoitamme vektorin esityksen sen koordinaattien parin muodossa muodossa . Tällä esityksellä on yksi ominaispiirre: se ei määritä vektorin sijaintia tasossa XOY. Sen määrittämiseksi sinun on määritettävä vektorin koordinaattien lisäksi esimerkiksi sen aloituspisteen koordinaatit tai, kuten sitä voidaan kutsua, vektorin käyttöpiste.

Jos annetaan kaksi vektoria: ja , niin skalaarituote näistä vektoreista kutsutaan numeroksi ( j- vektorien välinen kulma).

Missä tahansa vektorialgebran kurssissa todistetaan, että vektorien skalaaritulo on yhtä suuri kuin näiden vektorien samojen koordinaattien tulojen summa:

= a 1 b 1 + a 2 b 2 . (4)

Anna jollekin alueelle G kone XOY määritetty toiminto z = f(x,y) , jolla on jatkuvat osittaiset derivaatat molempien argumenttien suhteen.

Kaltevuus tai gradienttivektori toimintoja f(x,y) pisteessä (x,y) О G on kaavan antama vektori

.

Toiminto f määrittää kullekin alueen pisteelle G tästä pisteestä lähtevä gradienttivektori.

Palataan nyt kaavaan (3). Voimme pitää sen oikeaa puolta vektorien skalaaritulona. Ensimmäinen niistä on funktion gradienttivektori z = f(x,y) pisteessä M 0 (x 0 ,y 0):

.

Toinen on vektori . Tämä on vektori, jonka pituus on 1 ja jonka kaltevuuskulma Ox-akseliin nähden on yhtä suuri a.

Nyt voimme päätellä, että funktion derivaatta z = f(x,y) kulman määräämään suuntaan a kallistaa akseliin HÄRKÄ, kohta M 0 (x 0 ,y 0) voidaan laskea kaavalla

. (5)

Tässä b- vektorin ja vektorin välinen kulma, joka määrittää suunnan, jota pitkin derivaatta otetaan. Tässä otetaan huomioon myös se