Proin johdannainen. Monimutkaisen funktion johdannainen

Johdannainen monimutkainen toiminto. Esimerkkejä ratkaisuista

Päällä tämä oppitunti opimme löytämään kompleksisen funktion derivaatta. Oppitunti on looginen jatko oppitunnille Kuinka löytää johdannainen?, jossa tarkastelimme yksinkertaisimpia derivaattoja ja tutustuimme myös differentiaatiosääntöihin ja joihinkin teknisiin tekniikoihin derivaattojen löytämiseksi. Joten jos et ole kovin hyvä funktioiden johdannaisten kanssa tai jotkin tämän artikkelin kohdat eivät ole täysin selviä, lue ensin yllä oleva oppitunti. Ole hyvä ja ota vakava mieli - materiaali ei ole yksinkertaista, mutta yritän silti esittää sen yksinkertaisesti ja selkeästi.

Käytännössä monimutkaisen funktion derivaatan kanssa joutuu käsittelemään hyvin usein, sanoisin jopa lähes aina, kun annetaan tehtäviä derivaattojen etsimiseen.

Katsomme taulukkoa säännöstä (nro 5) monimutkaisen funktion erottamiseksi:

Selvitetään se. Ensinnäkin kiinnitetään huomiota sisääntuloon. Tässä on kaksi funktiota - ja, ja funktio kuvaannollisesti sanottuna on sisäkkäinen funktion sisällä. Tämän tyyppistä funktiota (kun yksi funktio on sisäkkäinen toisen sisällä) kutsutaan kompleksifunktioksi.

Kutsun toiminnon ulkoinen toiminto , ja toiminto – sisäinen (tai sisäkkäinen) toiminto.

! Nämä määritelmät eivät ole teoreettisia, eivätkä ne saa esiintyä tehtävien lopullisessa suunnittelussa. Käytän epävirallisia ilmaisuja "ulkoinen toiminto", "sisäinen" toiminto vain helpottaakseni materiaalin ymmärtämistä.

Selvittääksesi tilannetta, harkitse:

Esimerkki 1

Etsi funktion derivaatta

Sinin alla ei ole vain kirjain “X”, vaan koko lauseke, joten derivaatan löytäminen heti taulukosta ei onnistu. Huomaamme myös, että tässä on mahdotonta soveltaa neljää ensimmäistä sääntöä, ero näyttää olevan, mutta tosiasia on, että siniä ei voi "revitä palasiksi":

Tässä esimerkissä on jo intuitiivisesti selvää selityksistäni, että funktio on monimutkainen funktio ja polynomi on sisäinen funktio (upotus) ja ulkoinen funktio.

Ensimmäinen askel mitä sinun tulee tehdä, kun etsit monimutkaisen funktion derivaatta, on ymmärtää, mikä toiminto on sisäinen ja mikä ulkoinen.

Yksinkertaisten esimerkkien tapauksessa näyttää selvältä, että polynomi on upotettu sinin alle. Mutta entä jos kaikki ei ole itsestään selvää? Kuinka määrittää tarkasti, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen? Tätä varten ehdotan seuraavan tekniikan käyttöä, joka voidaan tehdä henkisesti tai luonnoksessa.

Kuvitellaan, että meidän on laskettava lausekkeen arvo laskimella (yksien sijasta voi olla mikä tahansa luku).

Mitä laskemme ensin? Ensinnäkin tulee tehdä seuraava toimenpide: , siksi polynomi on sisäinen funktio:

toiseksi täytyy löytää, joten sini – on ulkoinen funktio:

Meidän jälkeen LOPPUUNMYYTY Sisäisten ja ulkoisten funktioiden kanssa on aika soveltaa monimutkaisten funktioiden eriyttämissääntöä.

Aloitetaan päättäminen. Luokasta Kuinka löytää johdannainen? muistamme, että minkä tahansa johdannaisen ratkaisun suunnittelu alkaa aina näin - kirjoitamme lausekkeen sulkuihin ja laitamme viivan oikeaan yläkulmaan:

Ensiksi löydämme ulkoisen funktion derivaatan (sini), katsomme alkeisfunktioiden derivaattataulukkoa ja huomaamme, että . Kaikkia taulukkokaavoja voidaan käyttää myös, jos "x" korvataan monimutkaisella lausekkeella, tässä tapauksessa:

ota huomioon, että sisäinen toiminto ei ole muuttunut, emme koske siihen.

No, se on aivan selvää

Kaavan soveltamisen lopputulos näyttää tältä:

Vakiotekijä sijoitetaan yleensä lausekkeen alkuun:

Jos sinulla on väärinkäsityksiä, kirjoita ratkaisu paperille ja lue selitykset uudelleen.

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 3

Etsi funktion derivaatta

Kuten aina, kirjoitamme:

Selvitetään, missä meillä on ulkoinen toiminto ja missä sisäinen. Tätä varten yritämme (mielisesti tai luonnoksessa) laskea lausekkeen arvon . Mitä sinun pitäisi tehdä ensin? Ensinnäkin sinun on laskettava, mikä kanta on yhtä suuri: siksi polynomi on sisäinen funktio:

Ja vasta sitten suoritetaan eksponentio, joten tehofunktio on ulkoinen funktio:

Kaavan mukaan sinun on ensin löydettävä ulkoisen funktion derivaatta, tässä tapauksessa aste. Etsimme tarvittavan kaavan taulukosta: . Toistamme vielä: mikä tahansa taulukkokaava ei kelpaa vain "X:lle", vaan myös monimutkaiselle lausekkeelle. Näin ollen monimutkaisen funktion eriyttämissäännön soveltamisen tulos on seuraava:

Korostan jälleen, että kun otamme ulkoisen funktion derivaatan, sisäinen toimintamme ei muutu:

Nyt ei ole enää jäljellä kuin löytää hyvin yksinkertainen johdannainen sisäisestä funktiosta ja muokata tulosta hieman:

Esimerkki 4

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itsenäinen päätös(vastaus oppitunnin lopussa).

Vahvistaakseni ymmärrystäsi monimutkaisen funktion derivaatta, annan esimerkin ilman kommentteja, yritä selvittää se itse, perustele missä ulkoinen ja missä sisäinen funktio on, miksi tehtävät ratkaistaan ​​tällä tavalla?

Esimerkki 5

a) Etsi funktion derivaatta

b) Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 6

Etsi funktion derivaatta

Tässä meillä on juuri, ja juuren erottamiseksi se on esitettävä voimana. Joten ensin tuomme funktion eriyttämistä varten sopivaan muotoon:

Funktiota analysoimalla tulemme siihen tulokseen, että kolmen termin summa on sisäinen funktio ja potenssiin nostaminen on ulkoinen funktio. Käytämme monimutkaisten funktioiden eriyttämissääntöä:

Esitämme asteen jälleen radikaalina (juurena), ja sisäisen funktion derivaatalle sovelletaan yksinkertaista sääntöä summan erottamiseksi:

Valmis. Voit myös pienentää lausekkeen yhteiseksi nimittäjäksi suluissa ja kirjoittaa kaiken muistiin yhtenä murtolukuna. Se on tietysti kaunista, mutta kun saat hankalia pitkiä johdannaisia, on parempi olla tekemättä tätä (on helppo hämmentyä, tehdä tarpeettomia virheitä, ja opettajan on hankala tarkistaa).

Esimerkki 7

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse (vastaa oppitunnin lopussa).

On mielenkiintoista huomata, että joskus monimutkaisen funktion erottamissäännön sijaan voit käyttää osamäärän erottamissääntöä , mutta tällainen ratkaisu näyttää hauskalta perversiolta. Tässä on tyypillinen esimerkki:

Esimerkki 8

Etsi funktion derivaatta

Tässä voit käyttää osamäärän differentiaatiosääntöä , mutta on paljon kannattavampaa löytää derivaatta monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön avulla:

Valmistelemme funktion differentiaatiota varten - siirrämme miinuksen pois derivaattamerkistä ja nostamme kosinin osoittajaksi:

Kosini on sisäinen funktio, eksponentio on ulkoinen funktio.
Käytetään sääntöämme:

Etsimme sisäisen funktion derivaatan ja nollaamme kosinin takaisin alaspäin:

Valmis. Tarkastetussa esimerkissä on tärkeää, ettei sekaannu merkkeihin. Muuten, yritä ratkaista se säännön avulla , vastausten on oltava samat.

Esimerkki 9

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse (vastaa oppitunnin lopussa).

Tähän mennessä olemme tarkastelleet tapauksia, joissa meillä oli vain yksi sisäkkäinen monimutkainen funktio. Käytännön tehtävissä voi usein löytää johdannaisia, joissa pesivien nukkejen tapaan sisäkkäin 3 tai jopa 4-5 funktiota upotetaan kerralla.

Esimerkki 10

Etsi funktion derivaatta

Ymmärretään tämän funktion liitteet. Yritetään laskea lauseke kokeellisen arvon avulla. Kuinka laskemme laskimeen?

Ensin sinun on löydettävä , mikä tarkoittaa, että arcsini on syvin upotus:

Tämä yhden arksini tulee sitten neliöidä:

Ja lopuksi nostamme seitsemän potenssiin:

Eli tässä esimerkissä meillä on kolme erilaista funktiota ja kaksi upotusta, kun taas sisin funktio on arcsini ja uloin funktio on eksponentiaalinen funktio.

Aloitetaan päättäminen

Säännön mukaan sinun on ensin otettava ulkoisen funktion derivaatta. Katsomme derivaattataulukkoa ja löydämme eksponentiaalisen funktion derivaatan: Ainoa ero on, että "x":n sijaan meillä on kompleksilauseke, joka ei kumoa tämän kaavan pätevyyttä. Joten tulos monimutkaisen funktion erottamista koskevan säännön soveltamisesta on seuraava:

Iskun alla meillä on taas monimutkainen toiminto! Mutta se on jo yksinkertaisempaa. On helppo varmistaa, että sisäfunktio on arsini, ulkofunktio on aste. Monimutkaisen funktion erottamissäännön mukaan sinun on ensin otettava potenssin derivaatta.

Ja lause kompleksisen funktion derivaatta, jonka muotoilu on seuraava:

Olkoon 1) funktiolla $u=\varphi (x)$ jossain vaiheessa $x_0$ derivaatta $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funktiolla $y=f(u)$ on vastaavassa pisteessä $u_0=\varphi (x_0)$ derivaatta $y_(u)"=f"(u)$. Tällöin kompleksifunktiolla $y=f\left(\varphi (x) \right)$ mainitussa pisteessä on myös derivaatta, joka on yhtä suuri kuin funktioiden $f(u)$ ja $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

tai lyhyemmällä merkinnällä: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Tämän osion esimerkeissä kaikilla funktioilla on muoto $y=f(x)$ (eli otamme huomioon vain yhden muuttujan $x$ funktiot). Vastaavasti kaikissa esimerkeissä derivaatta $y"$ otetaan suhteessa muuttujaan $x$. Korostaakseen, että derivaatta otetaan suhteessa muuttujaan $x$, kirjoitetaan usein $y"_x$ $y:n sijaan. "$.

Esimerkit nro 1, nro 2 ja nro 3 hahmottelevat yksityiskohtaisen prosessin kompleksisten funktioiden derivaatan löytämiseksi. Esimerkki nro 4 on tarkoitettu johdannaistaulukon täydellisempään ymmärtämiseen ja siihen on järkevää tutustua.

Esimerkkien 1-3 aineiston tutkimisen jälkeen kannattaa siirtyä esimerkkien 5, 6 ja 7 itsenäiseen ratkaisemiseen. Esimerkit #5, #6 ja #7 sisältävät lyhyen ratkaisun, jotta lukija voi tarkistaa tuloksensa oikeellisuuden.

Esimerkki nro 1

Etsi funktion $y=e^(\cos x)$ derivaatta.

Meidän on löydettävä kompleksisen funktion $y"$ johdannainen. Koska $y=e^(\cos x)$, niin $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. etsi derivaatta $ \left(e^(\cos x)\right)"$ käytämme kaavaa nro 6 derivaattataulukosta. Jotta voisimme käyttää kaavaa nro 6, meidän on otettava huomioon, että meidän tapauksessamme $u=\cos x$. Toinen ratkaisu on yksinkertaisesti korvata lauseke $\cos x$ lausekkeen $u$ sijaan kaavaan nro 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Nyt meidän on löydettävä lausekkeen $(\cos x)"$ arvo. Siirrymme jälleen derivaattataulukkoon ja valitsemme siitä kaavan nro 10. Korvaamalla $u=x$ kaavaan nro 10, saamme : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Jatketaan nyt yhtälöä (1.1) täydentämällä sitä löydetyllä tuloksella:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Koska $x"=1$, jatkamme tasa-arvoa (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Eli yhtälöstä (1.3) saamme: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Selitykset ja väliyhtälöt yleensä ohitetaan, kirjoitetaan derivaatan löytö yhdelle riville, kuten yhtälössä ( 1.3) Eli kompleksisen funktion derivaatta on löydetty, ei tarvitse muuta kuin kirjoittaa vastaus muistiin.

Vastaus: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Esimerkki nro 2

Etsi funktion $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ derivaatta.

Meidän on laskettava derivaatta $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Aluksi huomautamme, että vakio (eli luku 9) voidaan ottaa pois derivaattamerkistä:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Siirrytään nyt lausekkeeseen $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Jotta halutun kaavan valinta olisi helpompaa johdannaistaulukosta, esitän lausekkeen kyseessä tässä muodossa: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Nyt on selvää, että on tarpeen käyttää kaavaa nro 2, ts. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Korvataan $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ ja $\alpha=12$ tähän kaavaan:

Täydentäen yhtälön (2.1) saadulla tuloksella saamme:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Tässä tilanteessa tehdään usein virhe, kun ratkaisija valitsee ensimmäisessä vaiheessa kaavan $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ kaavan sijaan $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Asia on siinä, että ulkoisen funktion derivaatan on oltava ensin. Ymmärtääksesi, mikä funktio on lausekkeen $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ulkopuolella, kuvittele, että olet laskemassa lausekkeen $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ jollain arvolla $x$. Laske ensin arvon $5^x$ ja kerro sitten tulos 4:llä, jolloin saadaan $4\cdot 5^x$. Otetaan nyt tästä tuloksesta arktangentti, jolloin saadaan $\arctg(4\cdot 5^x)$. Sitten nostetaan saatu luku kahdestoista potenssiin, jolloin saadaan $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Viimeinen toimenpide, - eli nostaminen potenssiin 12 on ulkoinen toiminto. Ja juuri tästä meidän on alettava löytää derivaatta, mikä tehtiin yhtälössä (2.2).

Nyt meidän on löydettävä $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Käytämme johdannaistaulukon kaavaa nro 19 ja korvaamme sen $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Yksinkertaistetaan saatua lauseketta hieman ottaen huomioon $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Tasa-arvosta (2.2) tulee nyt:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Vielä on löydettävä $(4\cdot \ln x)"$. Otetaan vakio (eli 4) derivaattamerkistä: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Löytääksemme $(\ln x)"$ käytämme kaavaa nro 8 ja korvaamme sen $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Koska $x"=1$, niin $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Korvaamalla saatu tulos kaavaan (2.3) saadaan:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Muistutan teitä siitä, että kompleksisen funktion derivaatta löytyy useimmiten yhdeltä riviltä, ​​kuten viimeisessä yhtälössä on kirjoitettu. Siksi standardilaskelmia tai ohjaustyötä valmistettaessa ratkaisua ei ole ollenkaan tarpeen kuvata näin yksityiskohtaisesti.

Vastaus: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Esimerkki nro 3

Etsi $y"$ funktiosta $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Aluksi muutetaan hieman funktiota $y$, joka ilmaisee radikaalin (juuren) potenssina: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \oikea)^(\frac(3)(7))$. Aloitetaan nyt johdannaisen etsiminen. Koska $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, niin:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Käytetään kaavaa nro 2 derivaattataulukosta ja korvataan siihen $u=\sin(5\cdot 9^x)$ ja $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Jatketaan yhtälöä (3.1) käyttämällä saatua tulosta:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Nyt meidän on löydettävä $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Tätä varten käytämme johdannaistaulukon kaavaa nro 9 korvaamalla siihen $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Täydennettyään yhtälöä (3.2) saadulla tuloksella, meillä on:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Vielä on löydettävä $(5\cdot 9^x)"$. Otetaan ensin vakio (luku $5$) derivaatan ulkopuolelle, eli $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Löytääksesi derivaatan $(9^x)"$, käytä johdannaistaulukon kaavaa nro 5 korvaamalla siihen $a=9$ ja $u=x$: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Koska $x"=1$, sitten $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Nyt voimme jatkaa yhtäläisyyttä (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Voimme jälleen palata potenssista radikaaleihin (eli juuriin) kirjoittamalla $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ muodossa $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Sitten johdannainen kirjoitetaan tässä muodossa:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Vastaus: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Esimerkki nro 4

Osoita, että johdannaistaulukon kaavat nro 3 ja nro 4 ovat erikoistapaus tämän taulukon kaavat nro 2.

Johdannaisten taulukon kaava nro 2 sisältää funktion $u^\alpha$ derivaatan. Korvaamalla $\alpha=-1$ kaavaan nro 2, saadaan:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Koska $u^(-1)=\frac(1)(u)$ ja $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, yhtälö (4.1) voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Tämä on johdannaistaulukon kaava nro 3.

Käännytään taas johdannaistaulukon kaavaan nro 2. Korvataan $\alpha=\frac(1)(2)$ siihen:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Koska $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ja $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, niin yhtälö (4.2) voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Tuloksena oleva yhtälö $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ on derivaattataulukon kaava nro 4. Kuten näet, johdannaistaulukon kaavat nro 3 ja 4 saadaan kaavasta nro 2 korvaamalla vastaava $\alpha$-arvo.

Kuinka löytää johdannainen, miten ottaa johdannainen? Tällä oppitunnilla opimme löytämään funktioiden johdannaisia. Mutta ennen tämän sivun tutkimista suosittelen, että tutustut metodologiseen materiaaliinKuumat kaavat koulun kurssi matemaatikot. Ohjekirjan voi avata tai ladata sivulta Matemaattiset kaavat ja taulukot . Myös sieltä me tarvitsemmeJohdannaisten taulukko, on parempi tulostaa se; sinun on usein viitattava siihen, ei vain nyt, vaan myös offline-tilassa.

Syödä? Aloitetaan. Minulla on sinulle kaksi uutista: hyvä ja erittäin hyvä. Hyvä uutinen on tämä: oppiaksesi löytämään johdannaisia, sinun ei tarvitse tietää tai ymmärtää, mikä johdannainen on. Lisäksi funktion derivaatan määritelmä, matemaattinen, fyysinen, geometrinen merkitys On tarkoituksenmukaisempaa sulattaa johdannainen myöhemmin, koska teorian laadukas käsittely vaatii mielestäni useiden muiden aiheiden tutkimista sekä käytännön kokemusta.

Ja nyt meidän tehtävämme on hallita nämä samat johdannaiset teknisesti. Erittäin hyviä uutisia on se, että derivaattojen ottaminen ei ole niin vaikeaa, tämän tehtävän ratkaisemiseen (ja selittämiseen) on olemassa melko selkeä algoritmi, esimerkiksi integraalit tai rajat ovat vaikeampia hallita.

Suosittelen sinua tutkimaan aihetta seuraavassa järjestyksessä: ensin, Tämä artikkeli. Sitten sinun on luettava tärkein oppitunti Monimutkaisen funktion johdannainen . Nämä kaksi perusoppituntia parantavat taitojasi täydellinen nolla. Seuraavaksi voit tutustua monimutkaisempiin johdannaisiin artikkelissa Monimutkaiset johdannaiset.

Logaritminen derivaatta. Jos rima on liian korkealla, lue asia ensin Alkueläimet tyypillisiä tehtäviä johdannaisen kanssa. Uuden materiaalin lisäksi oppitunnilla käsitellään muutakin yksinkertaisia ​​tyyppejä johdannaisia, ja sinulla on loistava tilaisuus parantaa erilaistumistekniikkaasi. Sitä paitsi sisään testit Melkein aina on tehtäviä implisiittisesti tai parametrisesti määriteltyjen funktioiden derivaattojen löytämiseksi. Siellä on myös tällainen opetus: Implisiittisten ja parametrisesti määriteltyjen funktioiden johdannaiset.

Yritän helppopääsyisessä muodossa, askel askeleelta, opettaa sinulle kuinka löytää funktioiden johdannaisia. Kaikki tiedot esitetään yksityiskohtaisesti, yksinkertaisin sanoin.

Itse asiassa, katsotaanpa esimerkkiä heti: Esimerkki 1

Etsi funktion derivaatta Ratkaisu:

Tämä yksinkertaisin esimerkki, löydät sen alkeisfunktioiden derivaattataulukosta. Katsotaan nyt ratkaisua ja analysoidaan mitä tapahtui? Ja tapahtui seuraava:

meillä oli funktio, joka ratkaisun seurauksena muuttui funktioksi.

Yksinkertaisesti sanottuna, johdannaisen löytämiseksi

toiminnot, joita tarvitset tietyt säännöt muuttaa sen toiseksi toiminnoksi . Katso uudelleen johdannaisten taulukkoa - siellä funktiot muuttuvat muiksi funktioiksi. Ainoa

poikkeus on eksponentiaalinen funktio, joka

muuttuu itsestään. Operaatiota derivaatan löytämiseksi kutsutaanerilaistuminen.

Merkintä: Johdannainen on merkitty tai.

HUOMIO, TÄRKEÄÄ! Unohdat tehdä vedon (jos se on tarpeen) tai piirtää ylimääräisen vedon (jos se ei ole välttämätöntä) on KAUKAVA VIRHE! Funktio ja sen derivaatta ovat kaksi eri funktiota!

Palataan johdannaistaulukkoomme. Tästä taulukosta se on toivottavaa muistaa: joidenkin perusfunktioiden differentiaatiosäännöt ja derivaatat, erityisesti:

vakion derivaatta:

Missä on vakioluku; johdannainen tehotoiminto:

Erityisesti:,,.

Miksi muistaa? Tämä tieto on perustietoa johdannaisista. Ja jos et pysty vastaamaan opettajan kysymykseen "Mikä on luvun johdannainen?", niin opinnot yliopistossa voivat päättyä sinulle (tunnen henkilökohtaisesti kaksi todellisia tapauksia elämästä). Lisäksi nämä ovat yleisimmät kaavat, joita joudumme käyttämään melkein joka kerta kun törmäämme johdannaisiin.

SISÄÄN Todellisuudessa yksinkertaiset taulukkoesimerkit ovat harvinaisia, yleensä derivaattoja löydettäessä käytetään ensin differentiaatiosääntöjä ja sitten alkeisfunktioiden derivaattataulukkoa.

SISÄÄN jatkamme tämän yhteyden pohtimistaeriyttämissäännöt:

1) Vakioluku voidaan (ja pitäisi) ottaa pois derivaattamerkistä

Missä on vakioluku (vakio) Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

Katsotaanpa johdannaisten taulukkoa. Kosinin johdannainen on olemassa, mutta meillä on .

On aika käyttää sääntöä, otamme vakiotekijän pois derivaatan merkistä:

Nyt muunnamme kosinin taulukon mukaan:

No, on suositeltavaa "kampata" tulosta hieman - laita miinusmerkki ensimmäiselle paikalle, samalla päästä eroon suluista:

2) Summan derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen summa

Etsi funktion derivaatta

Päätetään. Kuten luultavasti jo huomasit, ensimmäinen vaihe, joka suoritetaan aina johdannaista etsittäessä, on se, että suljemme koko lausekkeen ja laitamme alkuluvun oikeaan yläkulmaan:

Sovelletaan toista sääntöä:

Huomaa, että erottamista varten kaikki juuret ja potenssit on esitettävä muodossa , ja jos ne ovat nimittäjässä, niin

siirrä ne ylös. Miten tämä tehdään, kerron opetusmateriaaleistani.

Muistetaan nyt ensimmäinen differentiaatiosääntö - otamme vakiotekijät (luvut) derivaatan ulkopuolelle:

Yleensä ratkaisun aikana näitä kahta sääntöä sovelletaan samanaikaisesti (jotta ei kirjoiteta uudelleen pitkää lauseketta).

Kaikki viivojen alla sijaitsevat funktiot ovat perustaulukkofunktioita; taulukon avulla suoritamme muunnoksen:

Voit jättää kaiken ennalleen, koska vetoja ei ole enää ja johdannainen on löydetty. Tällaiset ilmaisut kuitenkin yleensä yksinkertaistavat:

On suositeltavaa esittää kaikki muodon voimat uudelleen juurien muodossa,

tutkinto c negatiivisia indikaattoreita- nollaa nimittäjä. Vaikka sinun ei tarvitse tehdä tätä, se ei ole virhe.

Etsi funktion derivaatta

Yritä ratkaista tämä esimerkki itse (vastaa oppitunnin lopussa).

3) Johdannainen funktioiden tulosta

Näyttää siltä, ​​​​että analogia ehdottaa kaavaa ...., mutta yllätys on, että:

Tämä on epätavallinen sääntö(kuten itse asiassa muutkin) seuraa siitä johdannaisten määritelmät. Mutta pidätämme teorian toistaiseksi - nyt on tärkeämpää oppia ratkaisemaan:

Etsi funktion derivaatta

Tässä on kahden funktion tulos riippuen . Ensin sovelletaan outoa sääntöämme ja sitten muunnamme funktiot derivaattataulukon avulla:

Vaikea? Ei ollenkaan, hyvin saatavilla jopa teekannulle.

Etsi funktion derivaatta

Tämä funktio sisältää kahden funktion - neliötrinomin ja logaritmin - summan ja tulon. Muistamme koulusta, että kerto- ja jakolasku ovat etusijalla yhteen- ja vähennyslaskuihin nähden.

Se on sama täällä. ENSIN käytämme tuotteiden erottelusääntöä:

Käytämme nyt kahta ensimmäistä sääntöä suluissa:

Differentioimissääntöjen soveltamisen seurauksena vedon alle jää vain alkeisfunktioita, derivaattataulukon avulla muunnamme ne muiksi funktioiksi:

Koska on kokemusta johdannaisten löytämisestä, yksinkertaisia ​​johdannaisia ​​ei näytä tarvitsevan kuvata niin yksityiskohtaisesti. Yleensä niistä päätetään suullisesti, ja se kirjataan heti ylös .

Etsi funktion derivaatta Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse (vastaa oppitunnin lopussa)

4) Osamääräfunktioiden derivaatta

Katossa aukesi luukku, älä huoli, se on häiriö. Mutta tämä on karu todellisuus:

Etsi funktion derivaatta

Mitä tästä puuttuu – summa, erotus, tulo, murto-osa…. Mistä minun pitäisi aloittaa?! On epäilyksiä, ei ole epäilyksiä, mutta JOKAINEN TAPAUKSESSA piirrämme ensin hakasulkeet ja laitamme vedon oikeaan yläkulmaan:

Katsomme nyt suluissa olevaa lauseketta, kuinka voimme yksinkertaistaa sitä? Tässä tapauksessa huomaamme tekijän, josta ensimmäisen säännön mukaan on suositeltavaa poistaa johdannaisen etumerkki:

Samalla pääsemme eroon osoittajassa olevista suluista, joita ei enää tarvita. Yleisesti ottaen vakiotekijät johdannaista löydettäessä

Potenssifunktion derivaatan kaavan derivointi (x potenssiin a). Johdannaiset x:n juurista otetaan huomioon. Kaava potenssifunktion derivaatalle ylempi määräys. Esimerkkejä johdannaisten laskemisesta.

x:n derivaatta a:n potenssiin on yhtä suuri kuin x x a:n potenssilla miinus yksi:
(1) .

x:n n:nnen juuren derivaatta m:nteen potenssiin on:
(2) .

Potenssifunktion derivaatan kaavan derivointi

Tapaus x > 0

Tarkastellaan muuttujan x potenssifunktiota eksponenttia a:lla:
(3) .
Tässä a on mielivaltainen reaaliluku. Pohditaanpa ensin tapausta.

Löytääksemme funktion (3) derivaatan käytämme tehofunktion ominaisuuksia ja muunnamme sen seuraavaan muotoon:
.

Nyt löydämme johdannaisen käyttämällä:
;
.
täällä .

Kaava (1) on todistettu.

Kaavan derivaatta x:n asteen n juuren m-asteeseen

Harkitse nyt funktiota, joka on seuraavan muodon juuri:
(4) .

Derivaatan löytämiseksi muunnamme juurin potenssifunktioksi:
.
Vertaamalla kaavaan (3) näemme sen
.
Sitten
.

Kaavan (1) avulla löydämme derivaatan:
(1) ;
;
(2) .

Käytännössä kaavaa (2) ei tarvitse muistaa. On paljon kätevämpää muuntaa juuret ensin potenssifunktioiksi ja sitten etsiä niiden derivaatat kaavan (1) avulla (katso esimerkkejä sivun lopussa).

Tapaus x = 0

Jos , niin tehofunktio määritellään muuttujan x = arvolle 0 . Etsitään funktion (3) derivaatta kohdassa x = 0 . Tätä varten käytämme johdannaisen määritelmää:
.

Korvataan x = 0 :
.
Tässä tapauksessa derivaatalla tarkoitamme oikeanpuoleista rajaa, jolle .

Joten löysimme:
.
Tästä on selvää, että , .
klo , .
klo , .
Tämä tulos saadaan myös kaavasta (1):
(1) .
Siksi kaava (1) pätee myös x =:lle 0 .

Tapaus x< 0

Harkitse toimintoa (3) uudelleen:
(3) .
Tietyille vakion a arvoille se on myös määritelty negatiiviset arvot muuttuja x. Nimittäin anna olla rationaalinen luku. Sitten se voidaan esittää redusoitumattomana murto-osana:
,
missä m ja n ovat kokonaislukuja ilman yhteinen jakaja.

Jos n on pariton, niin tehofunktio määritellään myös muuttujan x negatiivisille arvoille. Esimerkiksi kun n = 3 ja m = 1 meillä on x:n kuutiojuuri:
.
Se määritellään myös muuttujan x negatiivisille arvoille.

Etsitään tehofunktion (3) derivaatta vakion a rationaalisille arvoille, joille se on määritelty. Tehdään tämä esittämällä x seuraavassa muodossa:
.
Sitten,
.
Löydämme derivaatan asettamalla vakion derivaatan etumerkin ulkopuolelle ja soveltamalla sääntöä kompleksisen funktion erottamiseksi:

.
täällä . Mutta
.
Siitä lähtien
.
Sitten
.
Eli kaava (1) pätee myös:
(1) .

Korkeamman asteen johdannaiset

Etsitään nyt tehofunktion korkeamman asteen derivaatat
(3) .
Olemme jo löytäneet ensimmäisen kertaluvun johdannaisen:
.

Ottamalla vakio a derivaatan etumerkin ulkopuolelle, löydämme toisen kertaluvun derivaatan:
.
Samoin löydämme kolmannen ja neljännen kertaluvun johdannaiset:
;

.

Tästä on selvää, että mielivaltaisen n:nnen kertaluvun johdannainen on seuraavanlainen muoto:
.

huomaa, että jos a on luonnollinen luku , niin n:s derivaatta on vakio:
.
Sitten kaikki seuraavat johdannaiset ovat yhtä suuria kuin nolla:
,
osoitteessa .

Esimerkkejä johdannaisten laskemisesta

Esimerkki

Etsi funktion derivaatta:
.

Ratkaisu

Muunnetaan juuret tehoiksi:
;
.
Sitten alkuperäinen funktio saa muotoa:
.

Tehtyjen johdannaisten löytäminen:
;
.
Vakion derivaatta on nolla:
.

Määritelmä. Olkoon funktio \(y = f(x)\) määritelty tietyllä välillä, joka sisältää pisteen \(x_0\). Annetaan argumentille inkrementti \(\Delta x \), jotta se ei jätä tätä väliä. Etsitään funktion \(\Delta y \) vastaava inkrementti (siirrettäessä pisteestä \(x_0 \) pisteeseen \(x_0 + \Delta x \)) ja muodostetaan relaatio \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Jos tälle suhteelle on raja \(\Delta x \rightarrow 0\), määritetty raja kutsutaan funktion derivaatta\(y=f(x) \) pisteessä \(x_0 \) ja merkitse \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbolia y käytetään usein merkitsemään derivaatta. Huomaa, että y" = f(x) on uusi funktio, mutta liittyy luonnollisesti funktioon y = f(x), joka on määritelty kaikissa pisteissä x, joissa yllä oleva raja on olemassa. Tätä funktiota kutsutaan näin: funktion y = f(x) derivaatta.

Johdannan geometrinen merkitys on seuraava. Jos funktion y = f(x) kuvaajalle on mahdollista piirtää tangentti pisteessä, jossa on abskissa x=a ja joka ei ole yhdensuuntainen y-akselin kanssa, niin f(a) ilmaisee tangentin kulmakertoimen. :
\(k = f"(a)\)

Koska \(k = tg(a) \), yhtälö \(f"(a) = tan(a) \) on tosi.

Nyt tulkitaan derivaatan määritelmää likimääräisten yhtäläisten näkökulmasta. Olkoon funktiolla \(y = f(x)\) derivaatta tietyssä pisteessä \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Tämä tarkoittaa, että pisteen x lähellä likimääräinen yhtälö \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), eli \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Tuloksena olevan likimääräisen yhtälön merkityksellinen merkitys on seuraava: funktion inkrementti on "melkein verrannollinen" argumentin lisäykseen ja suhteellisuuskerroin on derivaatan arvo annettu piste X. Esimerkiksi funktiolle \(y = x^2\) likimääräinen yhtälö \(\Delta y \noin 2x \cdot \Delta x \) on voimassa. Jos analysoimme derivaatan määritelmää huolellisesti, huomaamme, että se sisältää algoritmin sen löytämiseksi.

Muotoillaan se.

Kuinka löytää funktion y = f(x) derivaatta?

1. Korjaa \(x\) arvo, etsi \(f(x)\)
2. Anna argumentille \(x\) lisäys \(\Delta x\), siirry uuteen pisteeseen \(x+ \Delta x \), etsi \(f(x+ \Delta x) \)
3. Etsi funktion lisäys: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Luo relaatio \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Laske $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Tämä raja on funktion derivaatta pisteessä x.

Jos funktiolla y = f(x) on derivaatta pisteessä x, niin sitä kutsutaan differentioituvaksi pisteessä x. Kutsutaan menetelmää funktion y = f(x) derivaatan löytämiseksi erilaistuminen funktiot y = f(x).

Tarkastellaanpa seuraavaa kysymystä: miten funktion jatkuvuus ja erilaistuvuus tietyssä pisteessä liittyvät toisiinsa?

Olkoon funktio y = f(x) differentioituva pisteessä x. Sitten funktion kuvaajalle voidaan piirtää tangentti pisteessä M(x; f(x)), ja muistaakseni tangentin kulmakerroin on yhtä suuri kuin f "(x). Sellainen kuvaaja ei voi "murtua" pisteessä M, eli funktion on oltava jatkuva pisteessä x.

Nämä olivat "käytännöllisiä" argumentteja. Esitetään tiukempi perustelu. Jos funktio y = f(x) on differentioituva pisteessä x, niin likimääräinen yhtälö \(\Delta y \noin f"(x) \cdot \Delta x \) pätee. Jos tässä yhtälössä \(\Delta x \) pyrkii nollaan, sitten \(\Delta y\) pyrkii nollaan, ja tämä on ehto funktion jatkuvuudelle pisteessä.

Niin, jos funktio on differentioituva pisteessä x, niin se on jatkuva siinä pisteessä.

Käänteinen väite ei pidä paikkaansa. Esimerkiksi: funktio y = |x| on jatkuva kaikkialla, erityisesti pisteessä x = 0, mutta funktion kaavion tangenttia "risteyspisteessä" (0; 0) ei ole olemassa. Jos jossain vaiheessa tangenttia ei voida vetää funktion kuvaajaan, niin derivaatta ei ole olemassa siinä pisteessä.

Vielä yksi esimerkki. Funktio \(y=\sqrt(x)\) on jatkuva koko lukuviivalla, mukaan lukien pisteessä x = 0. Ja funktion kaavion tangentti on olemassa missä tahansa pisteessä, myös pisteessä x = 0 Mutta tässä kohdassa tangentti osuu yhteen y-akselin kanssa, eli se on kohtisuorassa abskissa-akselia vastaan, sen yhtälö on muotoa x = 0. Tällaisella suoralla ei ole kulmakerrointa, mikä tarkoittaa, että \(f "(0)\) ei ole olemassa.

Joten tutustuimme funktion uuteen ominaisuuteen - differentiaatioon. Miten funktion kuvaajasta voidaan päätellä, että se on differentioituva?

Vastaus on itse asiassa annettu yllä. Jos jossain vaiheessa on mahdollista piirtää funktion kuvaajalle tangentti, joka ei ole kohtisuorassa abskissa-akselia vastaan, niin tässä vaiheessa funktio on differentioituva. Jos jossain vaiheessa funktion kuvaajan tangenttia ei ole olemassa tai se on kohtisuorassa abskissa-akselia vastaan, niin funktio ei tässä vaiheessa ole differentioituva.

Erottamisen säännöt

Operaatiota derivaatan löytämiseksi kutsutaan erilaistuminen. Kun suoritat tätä toimintoa, joudut usein työskentelemään osamääräjen, summien, funktioiden tulojen sekä "funktioiden funktioiden" eli monimutkaisten funktioiden kanssa. Johdannan määritelmän perusteella voimme johtaa tätä työtä helpottavia differentiointisääntöjä. Jos C on vakioluku ja f=f(x), g=g(x) ovat joitain differentioituvia funktioita, niin seuraavat ovat totta eriyttämissäännöt:

Taulukko joidenkin funktioiden johdannaisista