Parillisen funktion Fourier-sarjan laajennus. Fourier-sarja

Kuinka lisätä matemaattiset kaavat nettisivuille?

Jos sinun on joskus lisättävä yksi tai kaksi matemaattista kaavaa verkkosivulle, helpoin tapa tehdä tämä on artikkelissa kuvattu: matemaattiset kaavat voidaan helposti lisätä sivustolle kuvien muodossa, jotka Wolfram Alpha luo automaattisesti. . Yksinkertaisuuden lisäksi tämä universaali menetelmä auttaa parantamaan verkkosivujen näkyvyyttä hakukoneet. Se on toiminut pitkään (ja mielestäni toimii ikuisesti), mutta on jo moraalisesti vanhentunut.

Jos käytät jatkuvasti matemaattisia kaavoja sivustollasi, suosittelen käyttämään MathJaxia - erityistä JavaScript-kirjastoa, joka näyttää matemaattinen merkintä MathML-, LaTeX- tai ASCIIMathML-merkintöjä käyttävissä verkkoselaimissa.

On kaksi tapaa aloittaa MathJaxin käyttö: (1) käyttämällä yksinkertaista koodia, voit nopeasti yhdistää MathJax-skriptin verkkosivustoosi, joka ladataan automaattisesti etäpalvelimelta oikeaan aikaan (palvelinluettelo); (2) lataa MathJax-skripti etäpalvelimelta palvelimellesi ja yhdistä se sivustosi kaikille sivuille. Toinen tapa - monimutkaisempi ja aikaa vievä - nopeuttaa sivustosi sivujen latautumista, ja jos MathJax-ylennyspalvelin ei jostain syystä ole tilapäisesti käytettävissä, tämä ei vaikuta omaan sivustoosi millään tavalla. Näistä eduista huolimatta valitsin ensimmäisen menetelmän, koska se on yksinkertaisempi, nopeampi eikä vaadi teknisiä taitoja. Seuraa esimerkkiäni, ja vain 5 minuutissa voit käyttää kaikkia MathJaxin ominaisuuksia sivustollasi.

Voit yhdistää MathJax-kirjaston komentosarjan etäpalvelimelta käyttämällä kahta koodivaihtoehtoa, jotka on otettu MathJaxin pääsivustolta tai dokumentaatiosivulta:

Yksi näistä koodivaihtoehdoista on kopioitava ja liitettävä verkkosivusi koodiin, mieluiten tunnisteiden väliin ja tai välittömästi tagin jälkeen. Ensimmäisen vaihtoehdon mukaan MathJax latautuu nopeammin ja hidastaa sivua vähemmän. Mutta toinen vaihtoehto valvoo ja lataa automaattisesti MathJaxin uusimmat versiot. Jos lisäät ensimmäisen koodin, se on päivitettävä säännöllisesti. Jos lisäät toisen koodin, sivut latautuvat hitaammin, mutta sinun ei tarvitse jatkuvasti seurata MathJax-päivityksiä.

Helpoin tapa yhdistää MathJax on Bloggerissa tai WordPressissä: lisää sivuston ohjauspaneeliin widget, joka on suunniteltu lisäämään kolmannen osapuolen JavaScript-koodia, kopioi siihen ensimmäinen tai toinen versio yllä esitetystä latauskoodista ja aseta widget lähemmäs. mallin alkuun (muuten, tämä ei ole ollenkaan välttämätöntä, koska MathJax-skripti ladataan asynkronisesti). Siinä kaikki. Opi nyt MathML:n, LaTeX:n ja ASCIIMathML:n merkintäsyntaksi, ja olet valmis lisäämään matemaattisia kaavoja sivustosi verkkosivuille.

Mikä tahansa fraktaali on rakennettu sen mukaan tietty sääntö, jota käytetään peräkkäin rajoittamattoman määrän kertoja. Jokaista tällaista aikaa kutsutaan iteraatioksi.

Iteratiivinen algoritmi Menger-sienen rakentamiseksi on melko yksinkertainen: alkuperäinen kuutio, jonka sivu on 1, jaetaan sen pintojen suuntaisilla tasoilla 27 yhtä suureen kuutioon. Siitä poistetaan yksi keskuskuutio ja 6 sen vieressä olevaa kuutiota. Tuloksena on sarja, joka koostuu jäljellä olevista 20 pienemmästä kuutiosta. Kun teemme samoin jokaisen näistä kuutioista, saamme sarjan, joka koostuu 400 pienemmästä kuutiosta. Jatkamalla tätä prosessia loputtomasti, saamme Menger-sienen.

Funktionaalisten sarjojen teoriassa keskeinen paikka sisältää osan, joka on omistettu funktion sarjalaajennukselle.

Siten tehtävä on asetettu: tietylle funktiolle pitää löytää sellainen teho sarja

joka konvergoi tietyllä aikavälillä ja sen summa oli yhtä suuri
, nuo.

= ..

Tämä tehtävä on ns ongelma funktion laajentamisesta potenssisarjaksi.

Välttämätön ehto funktion hajotettavuudelle potenssisarjassa onko sen differentioituvuus äärettömän monta kertaa - tämä seuraa konvergenttien potenssisarjojen ominaisuuksista. Tämä ehto täyttyy pääsääntöisesti niiden määritelmäalueen perusfunktioille.

Oletetaan siis, että funktio
on minkä tahansa luokan johdannaisia. Onko mahdollista laajentaa sitä tehosarjaksi?Jos on, kuinka voimme löytää tämän sarjan? Ongelman toinen osa on helpompi ratkaista, joten aloitetaan siitä.

Oletetaan, että funktio
voidaan esittää pisteen sisältävässä välissä suppenevan potenssisarjan summana X 0 :

= .. (*)

Missä A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – tuntemattomat (vielä) kertoimet.

Laitetaan tasa-arvoon (*) arvo x = x 0 , sitten saamme

Erottelemme potenssisarjat (*) termeiltä

= ..

ja uskoa täällä x = x 0 , saamme

Seuraavalla erottelulla saamme sarjan

= ..

uskoen x = x 0 , saamme
, missä
.

Jälkeen P-Saamme useita erilaistumista

Olettaen viimeisessä tasa-arvossa x = x 0 , saamme
, missä

Joten kertoimet löytyvät

,
,
, …,
,….,

korvaamalla mikä sarjaan (*), saamme

Tuloksena oleva sarja on ns Taylorin vieressätoimintoa varten
.

Näin olemme todenneet sen jos funktio voidaan laajentaa potenssisarjaksi potenssien (x - x 0 ), tämä laajennus on ainutlaatuinen ja tuloksena oleva sarja on välttämättä Taylor-sarja.

Huomaa, että Taylor-sarja voidaan saada mille tahansa funktiolle, jolla on missä tahansa järjestyksessä derivaatat pisteessä x = x 0 . Mutta tämä ei tarkoita, että funktion ja tuloksena olevan sarjan väliin voitaisiin asettaa yhtäläisyysmerkki, ts. että sarjan summa on yhtä suuri kuin alkuperäinen funktio. Ensinnäkin tällaisella yhtälöllä voi olla järkeä vain konvergenssin alueella, ja funktiolle saatu Taylor-sarja voi poiketa, ja toiseksi, jos Taylor-sarja konvergoi, niin sen summa ei välttämättä ole sama kuin alkuperäinen funktio.

3.2. Riittävät edellytykset funktion hajotettavuudelle Taylor-sarjassa

Muotoillaan lause, jonka avulla tehtävä ratkaistaan.

Jos toiminto
jossain pisteen x läheisyydessä 0 on johdannaisia aina (n+ 1) järjestyksessä, niin tässä naapurustossa meillä onkaavaTaylor

MissäR n (X)-Taylor-kaavan lopulla termillä - on muoto (Lagrange-muoto)

Missä pisteξ on x:n ja x:n välissä 0 .

Huomaa, että Taylor-sarjan ja Taylor-kaavan välillä on ero: Taylor-kaava on äärellinen summa, ts. P - kiinteä numero.

Muista, että sarjan summa S(x) voidaan määritellä osasummien funktionaalisen sarjan rajaksi S P (x) jossain välissä X:

Tämän mukaan funktion laajentaminen Taylor-sarjaksi tarkoittaa sellaisen sarjan löytämistä, joka sopii mille tahansa XX

Kirjoitetaan Taylorin kaava muodossa missä

huomaa, että
määrittää saamamme virheen, korvaa funktio f(x) polynomi S n (x).

Jos
, Tuo
,nuo. toiminto laajenee Taylor-sarjaksi. Päinvastoin, jos
, Tuo
.

Näin me todistimme Taylor-sarjan funktion hajotettavuuden kriteeri.

Toiminnon vuoksif(x) laajenee Taylor-sarjaksi, on välttämätöntä ja riittävää, että tällä välillä
, MissäR n (x) on Taylor-sarjan loppuosa.

Muotoiltua kriteeriä käyttämällä voidaan saada riittäväehdot funktion hajotettavuudelle Taylor-sarjassa.

Jos sisäänjokin pisteen x lähialue 0 funktion kaikkien derivaattojen absoluuttiset arvot on rajoitettu samaan määrään M≥ 0 eli

, To tällä alueella funktio laajenee Taylor-sarjaksi.

Yllä olevasta se seuraa algoritmitoiminnon laajennusf(x) Taylor-sarjassa pisteen läheisyydessä X 0 :

1. Funktioiden derivaattojen löytäminen f(x):

f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (n) (x),…

2. Laske funktion arvo ja sen johdannaisten arvot pisteessä X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f"(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Kirjoitamme muodollisesti Taylor-sarjan ja löydämme tuloksena olevan potenssisarjan konvergenssialueen.

4. Tarkistamme riittävien ehtojen täyttymisen, ts. määritämme mille X lähentymisalueelta, jäljellä oleva aika R n (x) yleensä nollaan
tai
.

Funktioiden laajentamista Taylor-sarjaksi tällä algoritmilla kutsutaan funktion laajentaminen Taylor-sarjaksi määritelmän mukaan tai suora hajoaminen.

Jotka ovat jo aika tylsiä. Ja minusta tuntuu, että on tullut hetki, jolloin on aika poimia uusia säilykkeitä teorian strategisista varoista. Onko mahdollista laajentaa toimintoa sarjaksi jollain muulla tavalla? Ilmaiseko esimerkiksi suoran janan sinien ja kosinien avulla? Tuntuu uskomattomalta, mutta niin näennäisesti kaukaiset toiminnot voivat olla
"yhdistäminen". Tuttujen teorian ja käytännön tutkintojen lisäksi on olemassa muitakin tapoja laajentaa funktio sarjaksi.

Päällä tämä oppitunti Tutustumme trigonometriseen Fourier-sarjaan, käsittelemme sen lähentymistä ja summaa ja tietysti analysoimme lukuisia esimerkkejä Fourier-sarjan funktioiden laajentamisesta. Halusin vilpittömästi kutsua artikkelia nimellä "Fourier-sarja tuteille", mutta tämä olisi epäreilua, koska ongelmien ratkaiseminen vaatisi matemaattisen analyysin muiden alojen tuntemusta ja käytännön kokemusta. Siksi johdanto muistuttaa astronautin koulutusta =)

Ensinnäkin sinun tulee lähestyä sivumateriaalien tutkimista erinomaisessa muodossa. Uninen, levännyt ja raittiina. Ilman vahvoja tunteita katkenneesta hamsterin tassusta ja pakkomielteisiä ajatuksia elämän vaikeuksista akvaarion kalat. Fourier-sarjaa ei kuitenkaan ole vaikea ymmärtää käytännön tehtäviä ne vaativat vain lisääntynyttä huomion keskittymistä - ihannetapauksessa sinun tulisi irrottaa itsesi kokonaan ulkoisista ärsykkeistä. Tilannetta pahentaa se, että ei ole helppoa tapaa tarkistaa ratkaisua ja vastata. Siksi, jos terveytesi on keskimääräistä huonompi, on parempi tehdä jotain yksinkertaisempaa. Onko se totta.

Toiseksi, ennen kuin lennät avaruuteen, sinun on tutkittava kojetaulu avaruusalus. Aloitetaan niiden toimintojen arvoista, joita tulee napsauttaa koneessa:

Kaikille luonnonarvoille:

1) . Todellakin, sinusoidi "ompelee" x-akselin jokaisen "pi":n läpi:
. Kun negatiiviset arvot argumentti, tulos on tietysti sama: .

2) . Mutta kaikki eivät tienneet tätä. Kosini "pi" vastaa "vilkkua":

Kielteinen argumentti ei muuta asiaa: .

Ehkä se riittää.

Ja kolmanneksi, rakas kosmonauttijoukko, teidän täytyy kyetä... integroitumaan.
Erityisesti sisällytä funktio luotettavasti erotusmerkin alle, integroi osittain ja ole sopusoinnussa Newton-Leibnizin kaavan kanssa. Aloitetaan tärkeät lentoa edeltävät harjoitukset. En kategorisesti suosittele sen väliin jättämistä, jotta en purista painottomuutta myöhemmin:

Esimerkki 1

Laske kiinteät integraalit

missä vie luonnonarvot.

Ratkaisu: integrointi suoritetaan muuttujan “x” yli ja tässä vaiheessa diskreettimuuttuja “en” katsotaan vakioksi. Kaikissa integraaleissa sisällytetään funktio differentiaalimerkin alle:

Lyhyt versio ratkaisusta, johon olisi hyvä kohdistaa, näyttää tältä:

Totutaanpa siihen:

Neljä jäljellä olevaa pistettä ovat omasi. Yritä lähestyä tehtävää tunnollisesti ja suorita integraalit lyhyt tie. Esimerkkejä ratkaisuista oppitunnin lopussa.

Tehtyjen harjoitusten LAATU jälkeen puimme avaruuspuvut päällemme
ja valmistaudutaan aloittamaan!

Funktion laajentaminen välin Fourier-sarjaksi

Tarkastellaan jotakin funktiota, joka on määritelty ainakin tietyllä aikavälillä (ja mahdollisesti suuremmalla aikavälillä). Jos tämä funktio on integroitavissa intervalliin, se voidaan laajentaa trigonometriseksi Fourier-sarjaksi:
, missä ovat ns Fourier-kertoimet.

Tässä tapauksessa lukua kutsutaan hajoamisjaksoksi ja lukua kutsutaan hajoamispuolijaksoksi.

On selvää, että yleisessä tapauksessa Fourier-sarja koostuu sinistä ja kosineista:

Todellakin, kirjoitetaan se yksityiskohtaisesti:

Sarjan nollatermi kirjoitetaan yleensä muodossa .

Fourier-kertoimet lasketaan seuraavilla kaavoilla:

Ymmärrän hyvin, että aihetta aloittaville on vielä epäselvää uusien termien suhteen: hajoamisaika, puolijakso, Fourier-kertoimet jne. Älä panikoi, tämä ei ole verrattavissa jännitykseen ennen ulos menoa avoin tila. Ymmärretään kaikki seuraavassa esimerkissä, jonka suorittamista on loogista kysyä painavia käytännön kysymyksiä:

Mitä sinun tulee tehdä seuraavissa tehtävissä?

Laajenna funktio Fourier-sarjaksi. Lisäksi usein on tarpeen kuvata funktion kuvaaja, sarjan summan kuvaaja, osasumma ja hienostuneiden professorifantasioiden tapauksessa tehdä jotain muuta.

Kuinka laajentaa funktio Fourier-sarjaksi?

Pohjimmiltaan sinun on löydettävä Fourier-kertoimet, eli muodosta ja laske kolme tarkkaa integraalia.

Kopioi Fourier-sarjan yleinen muoto ja kolme työkaavaa muistikirjaasi. Olen erittäin iloinen, että jotkut sivuston kävijät toteuttavat lapsuuden unelmansa astronautiksi ryhtymisestä silmieni edessä =)

Esimerkki 2

Laajenna funktio intervallin Fourier-sarjaksi. Muodosta kuvaaja, kuvaaja sarjan summasta ja osasummasta.

Ratkaisu: Tehtävän ensimmäinen osa on laajentaa funktio Fourier-sarjaksi.

Alku on vakio, muista kirjoittaa ylös, että:

Tässä tehtävässä laajennusjakso on puolijakso.

Laajennetaan funktio Fourier-sarjaksi välissä:

Käyttämällä sopivia kaavoja löydämme Fourier-kertoimet. Nyt sinun on laadittava ja laskettava kolme tarkkaa integraalia. Mukavuuden vuoksi numeroitan kohdat:

1) Ensimmäinen integraali on yksinkertaisin, mutta se vaatii myös silmämunat:

2) Käytä toista kaavaa:

Tämä integraali on hyvin tunnettu ja se on otettu osissa:

Löydyksessä käytettiin menetelmää, jossa funktio sisällytettiin differentiaalimerkin alle.

Tarkasteltavassa tehtävässä on kätevämpää käyttää välittömästi osien integroinnin kaavaa määrättyyn integraaliin :

Pari teknistä huomautusta. Ensinnäkin kaavan soveltamisen jälkeen koko lauseke on suljettava suuriin hakasulkeisiin, koska alkuperäisen integraalin edessä on vakio. Älkäämme menettäkö häntä! Sulkuja voidaan laajentaa missä tahansa seuraavassa vaiheessa; tein tämän viimeisenä keinona. Ensimmäisessä "kappaleessa" Korvaamisessa olemme erittäin varovaisia; kuten näet, vakiota ei käytetä ja integroinnin rajat korvataan tuotteeseen. Tämä toiminto on korostettu hakasulkeissa. No, olet perehtynyt harjoitustehtävän kaavan toisen "palan" integraaliin;-)

Ja mikä tärkeintä - äärimmäinen keskittyminen!

3) Etsimme kolmatta Fourier-kerrointa:

Saadaan edellisen integraalin sukulaisuus, joka voidaan myös integroida osilla:

Tämä tapaus on hieman monimutkaisempi, kommentoin jatkovaiheita askel askeleelta:

(1) Laitamme koko lausekkeen suuriin hakasulkeisiin. En halunnut näyttää tylsältä, he menettävät vakion liian usein.

(2) Tässä tapauksessa avasin välittömästi nämä suuret sulut. Kiinnitämme erityistä huomiota ensimmäiseen "kappaleeseen": jatkuva savu polttaa sivussa eikä osallistu integroinnin rajojen ( ja ) korvaamiseen tuotteeseen. Tietueen sotkuisuuden vuoksi on jälleen suositeltavaa korostaa tätä toimintoa hakasulkeilla. Toisella "palalla" kaikki on yksinkertaisempaa: täällä murtoluku ilmestyi suurten sulkeiden avaamisen jälkeen ja vakio - tutun integraalin integroinnin seurauksena;-)

(3) Suoritamme muunnokset hakasulkeissa, ja oikeassa integraalissa korvaamme integroinnin rajat.

(4) Poistamme "vilkkuvan valon" hakasulkeista: , ja avaa sitten sisäsulut: .

(5) Poistamme suluissa olevat 1 ja –1 ja teemme lopullisia yksinkertaistuksia.

Lopuksi löydetään kaikki kolme Fourier-kerrointa:

Korvataan ne kaavaan :

Samalla älä unohda jakaa puoliksi. Viimeisessä vaiheessa vakio (”miinus kaksi”), joka ei riipu ”en:stä”, otetaan summan ulkopuolelle.

Näin ollen olemme saaneet funktion laajennuksen Fourier-sarjaksi välissä:

Tarkastellaan kysymystä Fourier-sarjan konvergenssista. Selitän erityisesti teorian Dirichlet'n lause, kirjaimellisesti "sormilla", joten jos tarvitset tiukkoja muotoiluja, katso oppikirja aiheesta matemaattinen analyysi (esimerkiksi Bohanin 2. osa; tai Fichtenholtzin 3. osa, mutta se on vaikeampaa).

Tehtävän toinen osa edellyttää graafin, sarjan summan ja osasumman kuvaajan piirtämistä.

Funktion kuvaaja on tavallinen tasossa oleva suora viiva, joka piirretään mustalla katkoviivalla:

Selvitetään sarjan summa. Kuten tiedät, funktiosarjat konvergoivat funktioiksi. Meidän tapauksessamme rakennettu Fourier-sarja mille tahansa "x":n arvolle konvergoi funktioon, joka näkyy punaisella. Tämä toiminto sietää 1. tyyppisiä epäjatkuvuuksia pisteissä, mutta on määritelty myös niissä (punaiset pisteet piirustuksessa)

Täten: . On helppo nähdä, että se eroaa huomattavasti alkuperäisestä toiminnosta, minkä vuoksi merkinnässä Käytetään aaltoviivaa tasa-arvon sijaan.

Tutkitaan algoritmia, jolla voidaan muodostaa sarjan summa.

Keskivälillä Fourier-sarja konvergoi itse funktioon (keskimmäinen punainen segmentti osuu lineaarisen funktion mustan katkoviivan kanssa).

Pohditaan nyt hieman tarkasteltavan asian luonnetta. trigonometrinen laajennus. Fourier-sarja sisältää vain jaksolliset funktiot (vakio, sinit ja kosinit), joten sarjan summa on myös jaksollinen funktio.

Mitä tämä tarkoittaa meidän konkreettinen esimerkki? Ja tämä tarkoittaa sarjan summaa – on varmasti jaksollinen ja intervallin punainen segmentti on toistettava loputtomasti vasemmalla ja oikealla.

Luulen, että ilmaisun "hajoamisaika" merkitys on nyt vihdoin tullut selväksi. Yksinkertaisesti sanottuna tilanne toistuu aina uudelleen ja uudelleen.

Käytännössä yleensä riittää, että kuvataan kolme hajoamisjaksoa, kuten piirustuksessa on tehty. No, ja myös naapurijaksojen "kannot" - jotta on selvää, että kaavio jatkuu.

Erityisen kiinnostavia ovat ensimmäisen tyyppiset epäjatkuvuuskohdat. Tällaisissa kohdissa Fourier-sarja konvergoi eristettyihin arvoihin, jotka sijaitsevat täsmälleen epäjatkuvuuden "hypyn" keskellä (punaiset pisteet piirustuksessa). Kuinka selvittää näiden pisteiden ordinaatit? Etsitään ensin "ylemmän kerroksen" ordinaatta: tätä varten lasketaan funktion arvo laajennuksen keskijakson oikeanpuoleisimpaan pisteeseen: . "Alemman kerroksen" ordinaatin laskemiseksi helpoin tapa on ottaa saman jakson vasemmanpuoleisin arvo: . Keskiarvon ordinaatta on keskiarvo aritmeettinen summa"Ylä-ja alaosa": . Miellyttävä tosiasia on, että piirustusta rakentaessasi näet heti, onko keskikohta laskettu oikein vai väärin.

Muodostetaan sarjan osasumma ja toistetaan samalla termin "konvergenssi" merkitys. Motiivi tunnetaan myös lukusarjan summaa koskevasta oppitunnista. Kuvataanpa rikkautemme yksityiskohtaisesti:

Osasumman muodostamiseksi sinun on kirjoitettava sarjan nolla + kaksi muuta termiä. Tuo on,

Piirustuksessa funktion kaavio näkyy vihreänä, ja kuten näette, se "käärii" koko summan melko tiukasti. Jos tarkastelemme sarjan viiden ehdon osittaista summaa, tämän funktion kaavio lähentää punaisia viivoja vielä tarkemmin; jos termejä on sata, niin "vihreä käärme" sulautuu itse asiassa täysin punaisten segmenttien kanssa, jne. Siten Fourier-sarja konvergoi summaansa.

On mielenkiintoista huomata, että mikä tahansa osasumma on jatkuva funktio, mutta sarjan kokonaissumma on silti epäjatkuva.

Käytännössä osittaissummagraafin rakentaminen ei ole niin harvinaista. Kuinka tehdä se? Meidän tapauksessamme on otettava huomioon segmentin funktio, laskettava sen arvot segmentin päissä ja välipisteissä (mitä enemmän pisteitä harkitset, sitä tarkempi kaavio on). Sitten sinun tulee merkitä nämä kohdat piirustukseen ja piirtää varovasti kaavio jaksolle ja sitten "toistaa" se vierekkäisiksi aikaväleiksi. Kuinka muuten? Loppujen lopuksi approksimaatio on myös jaksollinen funktio... ...jollain tapaa sen kaavio muistuttaa minua tasaisesta sydämen rytmistä lääketieteellisen laitteen näytössä.

Rakentamisen suorittaminen ei tietenkään ole kovin kätevää, koska sinun on oltava erittäin varovainen ja säilyttää vähintään puolen millimetrin tarkkuus. Miellytän kuitenkin lukijoita, jotka eivät pidä piirtämisestä - "oikeassa" ongelmassa ei aina tarvitse tehdä piirtämistä, vaan noin 50% tapauksista on tarpeen laajentaa toiminto Fourier-sarjaksi ja siinä se. .

Piirustuksen valmistumisen jälkeen suoritamme tehtävän:

Vastaus:

Monissa ongelmissa toiminto kärsii ensimmäisen tyyppisestä epäjatkuvuudesta heti laajennusvaiheessa:

Esimerkki 3

Laajenna välissä annettu funktio Fourier-sarjaksi. Piirrä funktio funktiosta ja sarjan kokonaissummasta.

Ehdotettu toiminto määritellään paloittain (ja huomaa, vain segmentissä) ja kärsii 1. tyyppisestä epäjatkuvuudesta kohdassa . Onko mahdollista laskea Fourier-kertoimia? Ei ongelmaa. Sekä funktion vasen että oikea puoli ovat integroitavissa intervalleillaan, joten kunkin kolmen kaavan integraalit tulee esittää kahden integraalin summana. Katsotaanpa esimerkiksi, kuinka tämä tehdään nollakertoimelle:

Toinen integraali osoittautui yhtä suureksi kuin nolla, mikä vähensi työtä, mutta näin ei aina ole.

Kaksi muuta Fourier-kerrointa kuvataan samalla tavalla.

Kuinka näyttää sarjan summa? Vasemmalle välille piirrämme suoran viivasegmentin ja väliin - suoran segmentin (korostamme akselin osan lihavoituna ja lihavoituna). Toisin sanoen laajennusvälillä sarjan summa on sama funktion kanssa kaikkialla paitsi kolmea "huonoa" pistettä. Funktion epäjatkuvuuspisteessä Fourier-sarja konvergoi eristettyyn arvoon, joka sijaitsee täsmälleen epäjatkuvuuden "hypyn" keskellä. Sitä ei ole vaikea nähdä suullisesti: vasemman puolen raja: , oikeanpuoleinen raja: ja ilmeisesti keskipisteen ordinaatta on 0,5.

Summan jaksotuksesta johtuen kuva on ”kerrotettava” vierekkäisiksi jaksoiksi, erityisesti sama asia on kuvattava intervalleilla ja . Samalla pisteissä Fourier-sarja konvergoi mediaaniarvoihin.

Itse asiassa tässä ei ole mitään uutta.

Yritä selviytyä tästä tehtävästä itse. Likimääräinen näyte lopullisesta suunnittelusta ja piirros oppitunnin lopussa.

Funktion laajentaminen Fourier-sarjaksi mielivaltaisen ajanjakson aikana

Satunnaiselle laajennusjaksolle, jossa "el" on mikä tahansa positiivinen luku, Fourier-sarjan ja Fourier-kertoimien kaavat erotetaan hieman monimutkaisemmalla argumentilla sinille ja kosinille:

Jos , niin saamme välikaavat, joilla aloitimme.

Algoritmi ja periaatteet ongelman ratkaisemiseksi säilyvät täysin, mutta laskelmien tekninen monimutkaisuus kasvaa:

Esimerkki 4

Laajenna funktio Fourier-sarjaksi ja piirrä summa.

Ratkaisu: itse asiassa esimerkin 3 analogi, jonka pisteessä on 1. tyyppinen epäjatkuvuus. Tässä tehtävässä laajennusjakso on puolijakso. Funktio määritellään vain puolivälissä, mutta se ei muuta asiaa - on tärkeää, että funktion molemmat osat ovat integroitavissa.

Laajennetaan funktio Fourier-sarjaksi:

Koska funktio on epäjatkuva origossa, jokainen Fourier-kerroin tulee luonnollisesti kirjoittaa kahden integraalin summana:

1) Kirjoitan ensimmäisen integraalin mahdollisimman yksityiskohtaisesti:

2) Katsomme huolellisesti Kuun pintaa:

Otamme toisen integraalin osittain:

Mihin meidän tulisi kiinnittää huomiota, kun avaamme ratkaisun jatkon tähdellä?

Ensinnäkin emme menetä ensimmäistä integraalia , jossa käytämme välittömästi eromerkkiä. Toiseksi, älä unohda epäonnista vakiota ennen suuria sulkuja äläkä hämmenty merkeissä kaavaa käyttäessäsi . Suuret kiinnikkeet on silti helpompi avata heti seuraavassa vaiheessa.

Loppu on tekniikasta, vaikeuksia voi aiheuttaa vain riittämätön kokemus integraalien ratkaisemisesta.

Kyllä, ei turhaan ranskalaisen matemaatikon Fourier'n merkittävät kollegat suuttuneet - kuinka hän uskalsi järjestää funktioita trigonometrisiin sarjoihin?! =) Muuten, kaikki ovat todennäköisesti kiinnostuneita kyseisen tehtävän käytännön merkityksestä. Fourier itse työskenteli matemaattinen malli lämmönjohtavuus, ja myöhemmin hänen mukaansa nimettyä sarjaa alettiin käyttää monien jaksollisten prosessien tutkimiseen, jotka ovat näkyvissä ja näkymättömissä ympäröivässä maailmassa. Nyt muuten huomasin itseni ajattelevan, että ei ollut sattumaa, että vertasin toisen esimerkin kuvaajaa sydämen jaksoittaiseen rytmiin. Kiinnostuneet voivat tutustua käytännön sovellus Fourier-muunnos kolmansien osapuolien lähteistä. ...Vaikka on parempi olla - se muistetaan ensimmäisenä rakkautena =)

3) Ottaen huomioon toistuvasti mainitut heikot lenkit, tarkastellaan kolmatta kerrointa:

Integroidaan osittain:

Korvataan löydetyt Fourier-kertoimet kaavaan , unohtamatta jakaa nollakerroin puoliksi:

Piirretään sarjan summa. Toistakaamme lyhyesti toimenpide: rakennamme väliin suoran ja väliin suoran. Jos "x"-arvo on nolla, laitamme pisteen raon "hypyn" keskelle ja "toistamme" kaavion viereisille jaksoille:

Jaksojen "risteyksissä" summa on myös yhtä suuri kuin eron "hypyn" keskipisteet.

Valmis. Muistutan teitä siitä, että itse funktio on ehdon mukaan määritelty vain puolivälissä ja ilmeisesti sama kuin välien sarjan summa

Vastaus:

Joskus paloittain annettu funktio on jatkuva laajennusjakson ajan. Yksinkertaisin esimerkki: . Ratkaisu (katso Bohan osa 2) sama kuin kahdessa edellisessä esimerkissä: huolimatta funktion jatkuvuudesta pisteessä, jokainen Fourier-kerroin ilmaistaan kahden integraalin summana.

Laajennusvälissä voi olla enemmän 1. tyyppisiä epäjatkuvuuspisteitä ja/tai kaavion "yhteispisteitä" (kaksi, kolme ja yleensä mikä tahansa lopullinen määrä). Jos funktio on integroitavissa jokaiseen osaan, se on myös laajennettavissa Fourier-sarjassa. Mutta käytännön kokemuksesta en muista niin julmaa asiaa. On kuitenkin vaikeampia tehtäviä kuin juuri tarkastelut, ja artikkelin lopussa on linkkejä monimutkaisempiin Fourier-sarjaan kaikille.

Sillä välin rentoudutaan, nojaudutaan tuoleihimme ja mietitään loputonta tähtien avaruutta:

Esimerkki 5

Laajenna funktio välin Fourier-sarjaksi ja piirrä sarjan summa.

Tässä tehtävässä funktio on jatkuva laajennuksen puolivälillä, mikä yksinkertaistaa ratkaisua. Kaikki on hyvin samanlaista kuin esimerkissä 2. Avaruusaluksesta ei pääse pakoon - sinun on päätettävä =) Suunnittelunäyte oppitunnin lopussa, aikataulu on liitteenä.

Parillisten ja parittomien funktioiden Fourier-sarjan laajennus

Parillisten ja parittomien funktioiden avulla ongelman ratkaiseminen yksinkertaistuu huomattavasti. Ja siksi. Palataan funktion laajentamiseen Fourier-sarjassa, jonka jakso on "kaksi pi" ja mielivaltainen aika "kaksi el" .

Oletetaan, että funktiomme on parillinen. Kuten näette, sarjan yleistermi sisältää parilliset kosinit ja parittomat sinit. Ja jos laajennamme parillista funktiota, niin miksi sitten tarvitaan parittomat sinit?! Nollataan tarpeeton kerroin: .

Näin ollen parillinen funktio voidaan laajentaa Fourier-sarjaksi vain kosineissa:

Koska parillisten funktioiden integraalit integrointisegmentissä, joka on symmetrinen nollan suhteen, voidaan kaksinkertaistaa, myös loput Fourier-kertoimet yksinkertaistuvat.

Väliin:

Mielivaltaiselle aikavälille:

Oppikirjaesimerkkejä, joita löytyy melkein mistä tahansa matemaattisen analyysin oppikirjasta, ovat parillisten funktioiden laajennukset . Lisäksi he ovat törmänneet useaan otteeseen henkilökohtaisessa työssäni:

Esimerkki 6

Toiminto on annettu. Edellytetään:

1) Laajenna funktio Fourier-sarjaksi jaksolla , jossa on mielivaltainen positiivinen luku;

2) kirjoita intervallin laajennus, konstruoi funktio ja piirrä sarjan kokonaissumma.

Ratkaisu: ensimmäisessä kappaleessa ehdotetaan ongelman ratkaisemista yleisnäkymä, ja se on erittäin kätevä! Jos tarvetta ilmenee, vaihda arvosi.

1) Tässä tehtävässä laajennusjakso on puolijakso. Jatkotoimenpiteissä, erityisesti integraation aikana, "el" pidetään vakiona

Funktio on tasainen, joten se voidaan laajentaa Fourier-sarjaksi vain kosineissa: .

Etsimme Fourier-kertoimia kaavojen avulla . Kiinnitä huomiota niiden ehdottomiin etuihin. Ensinnäkin integrointi suoritetaan laajennuksen positiivisen segmentin yli, mikä tarkoittaa, että pääsemme turvallisesti eroon moduulista , kun otetaan huomioon vain "X" kahdesta kappaleesta. Ja toiseksi, integrointi yksinkertaistuu huomattavasti.

Kaksi:

Integroidaan osittain:

Täten:
, kun taas vakio , joka ei riipu "en:stä", otetaan summan ulkopuolelle.

Vastaus:

2) kirjoitetaan laajennus väliin tätä tarkoitusta varten sisään yleinen kaava korvaa haluttu puolijakson arvo:

Parillisten ja parittomien funktioiden Fourier-sarjan laajennus välille annetun funktion laajennus sini- tai kosinisarjaksi Fourier-sarja funktiolle, jolla on mielivaltainen jakso Fourier-sarjan Fourier-sarjan monimutkainen esitys yleisissä ortogonaalisissa funktiojärjestelmissä Fourier-sarja ortogonaalinen järjestelmä Fourier-kertoimien minimaalinen ominaisuus Besselin epäyhtälö Tasaisuus Parseval Suljetut järjestelmät Systeemien täydellisyys ja suljetus

Parillisten ja parittomien funktioiden Fourier-sarjan laajennus Intervalle \-1 määritettyä funktiota f(x), jossa I > 0, kutsutaan, vaikka parillisen funktion kuvaaja olisi symmetrinen ordinaatta-akselin suhteen. Janalle J) määriteltyä funktiota f(x), jossa I > 0, kutsutaan parittomaksi, jos parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen. Esimerkki. a) Funktio on parillinen välillä |-jt, jt), koska kaikilla x e b) Funktio on pariton, koska parillisten ja parittomien funktioiden Fourier-sarjan laajennus on intervalleilla annetun funktion laajennus sarjaksi sini- tai kosinit Fourier-sarja mielivaltaisen jakson omaavalle funktiolle Fourier-sarjan monimutkainen esitys Fourier-sarjasta yleisille ortogonaalisille funktiojärjestelmille Fourier-sarja ortogonaaliselle järjestelmälle Fourier-kertoimien minimiominaisuus Besselin epäyhtälö Parsevalin yhtälö Suljetut järjestelmät Järjestelmien täydellisyys ja suljetus c) Funktio f (x)=x2-x, jossa ei kuulu parillisiin eikä parittoihin funktioihin, koska Olkoon Lauseen 1 ehdot täyttävä funktio f(x) parillinen välillä x|. Sitten kaikille ts. /(x) cos nx on parillinen funktio ja f(x) sinnx on pariton. Näin ollen parillisen funktion f(x) Fourier-kertoimet ovat yhtä suuret, joten parillisen funktion Fourier-sarjan muoto on f(x) sin х - parillinen funktio. Siksi meillä on Näin ollen parittoman funktion Fourier-sarja on muotoa Esimerkki 1. Laajenna funktio 4 Fourier-sarjaksi välillä -x ^ x ^ n Koska tämä funktio on parillinen ja täyttää Lauseen 1 ehdot, silloin sen Fourier-sarjan muoto on Etsi Fourier-kertoimet. Meillä on Applying integrointi osittain kahdesti, saamme, että Joten tämän funktion Fourier-sarja näyttää tältä: tai laajennetussa muodossa Tämä yhtälö pätee mille tahansa x €:lle, koska pisteissä x = ±ir on funktion summa. sarja osuu yhteen funktion f(x) = x2 arvojen kanssa, koska funktion f(x) = x kaaviot ja tuloksena olevien sarjojen summa on annettu kuvassa. Kommentti. Tämän Fourier-sarjan avulla voimme löytää yhden suppenevan numeerisen sarjan summan, nimittäin, kun x = 0, saamme esimerkin 2. Laajenna funktio /(x) = x välin Fourier-sarjaksi. Funktio /(x) täyttää Lauseen 1 ehdot, joten se voidaan laajentaa Fourier-sarjaksi, joka tämän funktion outoudesta johtuen tulee olemaan muotoa Integroi osilla, löydämme Fourier-kertoimet. Tämän funktion Fourier-sarjalla on muoto Tämä yhtälö pätee kaikille x B:lle pisteissä x - ±t Fourier-sarjan summa ei ole sama kuin funktion /(x) = x arvojen, koska se on yhtä suuri kuin Välin [-*, i-] ulkopuolella sarjan summa on funktion /(x) = x jaksollinen jatko; sen kaavio on esitetty kuvassa. 6. § 6. Välillä annetun funktion laajentaminen sini- tai kosinisarjaksi Olkoon välille rajattu paloittain monotoninen funktio /. Tämän funktion arvot välillä 0| voidaan määritellä tarkemmin eri tavoilla. Voit esimerkiksi määrittää funktion / segmentille tc] niin, että /. Tässä tapauksessa sanotaan, että) "laajentuu segmenttiin 0] tasaisesti"; sen Fourier-sarja sisältää vain kosineja. Jos funktio /(x) on määritetty välille [-l-, mc] niin, että /(, niin tulos on pariton funktio, ja sitten he sanovat, että / on "laajennettu väliin [-*, 0] oudolla tavalla"; tässä Tässä tapauksessa Fourier-sarja sisältää vain sinejä. Siten jokainen intervallein määritetty rajattu paloittain monotoninen funktio /(x) voidaan laajentaa Fourier-sarjaksi sekä sinissä että kosineissa. Esimerkki 1 Laajenna funktio Fourier-sarjaksi: a) kosineilla; b) sinien mukaan. M Tämä funktio ja sen parilliset ja parittomat jatkot segmenttiin |-x,0) on rajoitettu ja paloittain monotoninen. a) Laajenna /(z) segmenttiin 0) a) Laajenna j\x) segmenttiin (-π,0| tasaisesti (kuva 7), jolloin sen Fourier-sarja i on muotoa Π = 1 jossa Fourier-kertoimet ovat vastaavasti yhtä suuria, b) Jatketaan /(z) segmenttiin [-x,0] parittomalla tavalla (kuva 8). Sitten sen Fourier-sarja §7. Fourier-sarja funktiolle, jolla on mielivaltainen jakso. Olkoon funktio fix) jaksollinen jaksolla 21,1 ^ 0. Laajentaaksemme sen Fourier-sarjaksi välillä, jossa I > 0, teemme muuttujan muutoksen asettamalla x = jt . Tällöin funktio F(t) = / ^tj on jaksollisen argumentin t jaksollinen funktio ja se voidaan laajentaa segmentillä Fourier-sarjaksi Palataksemme muuttujaan x, eli asetukseen, saadaan Kaikki lauseet voimassa Jaksollisten funktioiden Fourier-sarjoille, joiden jakso on 2π, pysyvät voimassa jaksollisille funktioille, joilla on mielivaltainen jakso 21. Etenkin Fourier-sarjan funktion riittävä hajotettavuuskriteeri pysyy voimassa. Esimerkki 1. Laajenna Fourier-sarjaksi jaksollinen funktio, jonka jakso on 21 ja joka on annettu aikavälillä [-/,/] kaavalla (Kuva 9). Koska tämä funktio on parillinen, sen Fourier-sarja on muotoa Korvaamalla Fourier-kertoimien löydetyt arvot Fourier-sarjaan, saadaan Huomioikaa yksi tärkeä jaksollisten funktioiden ominaisuus. Lause 5. Jos funktiolla on jakso T ja se on integroitavissa, niin minkä tahansa luvun a yhtälö m pätee. eli segmentin integraalilla, jonka pituus on yhtä suuri kuin jakso T, on sama arvo riippumatta tämän segmentin sijainnista numeroakselilla. Itse asiassa Teemme muuttujan muutoksen toisessa integraalissa olettaen. Tämä antaa ja siksi geometrisesti tämä ominaisuus tarkoittaa, että kuvassa 1 varjostetun alueen tapauksessa. 10 aluetta ovat keskenään yhtä suuria. Erityisesti funktiolle f(x), jonka jakso on Laajennettaessa parillisten ja parittomien funktioiden Fourier-sarjaksi, saadaan intervalleilla annetun funktion laajennus sini- tai kosinisarjaksi Fourier-sarja funktiolle, jolla on mielivaltainen. jakso Fourier-sarjan monimutkainen merkintä Fourier-sarja yleisissä ortogonaalisissa järjestelmissä funktioissa Fourier-sarja ortogonaalisessa järjestelmässä Fourier-kertoimien minimiominaisuus Besselin epäyhtälö Parsevalin yhtälö Suljetut järjestelmät Systeemien täydellisyys ja suljetus Esimerkki 2. Funktio x on jaksollinen jakson kanssa Johtuen Tämän funktion parittomuus, integraaleja laskematta, voidaan todeta, että mille tahansa Todistetusti ominaisuus osoittaa erityisesti, että jaksollisen funktion f(x) Fourier-kertoimet, jonka jakso on 21, voidaan laskea kaavoilla, joissa a on mielivaltainen reaaliluku (huomaa, että funktioiden cos - ja sin jakso on 2/). Esimerkki 3. Laajenna Fourier-sarjaksi funktio, joka on annettu intervallilla, jonka jakso on 2x (kuva 11). 4 Etsitään tämän funktion Fourier-kertoimet. Laittamalla kaavat, huomaamme, että Fourier-sarja näyttää siis tältä: Pisteessä x = jt (ensimmäisen tyyppinen epäjatkuvuuspiste) meillä on §8. Fourier-sarjan monimutkainen tallennus Tässä osiossa käytetään joitain monimutkaisen analyysin elementtejä (katso luku XXX, jossa kaikki monimutkaisilla lausekkeilla suoritetut toimet ovat tiukasti perusteltuja). Täyttää funktion f(x) riittävät ehdot Fourier-sarjaksi laajentamiselle. Sitten segmentillä x] se voidaan esittää sarjalla, jonka muoto on Eulerin kaavoja käyttämällä Korvaa nämä lausekkeet sarjoiksi (1) cos πx:n ja sin φx:n sijasta Esitämme seuraavan merkinnän. Sitten sarja (2) ottaa muoto Siten Fourier-sarja (1) esitetään kompleksisessa muodossa (3). Etsitään kertoimille lausekkeita integraalien kautta. Meillä on Samoin löydämme Lopulliset kaavat с„, с_п ja с voidaan kirjoittaa seuraavasti: . . Kertoimia с„ kutsutaan funktion kompleksisiksi Fourier-kertoimiksi. Jaksottaiselle funktiolle, jossa on jakso), Fourier-sarjan kompleksimuoto saa muodon, jossa kertoimet Cn lasketaan kaavoilla Sarjojen konvergenssi (3 ) ja (4) ymmärretään seuraavasti: Sarjoja (3) ja (4) kutsutaan konvergensseiksi tietyille arvoille, jos niille on rajat Esimerkki. Laajenna jaksofunktio monimutkaiseksi Fourier-sarjaksi, joka täyttää riittävät ehdot Fourier-sarjaksi laajentamiselle. Etsitään tämän funktion kompleksiset Fourier-kertoimet. Meillä on pariton parillinen n, tai lyhyesti sanottuna. Korvaamalla arvot), saadaan lopuksi Huomaa, että tämä sarja voidaan kirjoittaa myös seuraavasti: Fourier-sarja yleisille ortogonaalisille funktiojärjestelmille 9.1. Ortogonaaliset funktiojärjestelmät Merkitään kaikkien välillä [a, 6] määriteltyjen ja integroitavien (todellisten) funktioiden joukolla neliöllä eli niitä, joille on olemassa integraali Erityisesti kaikki funktiot f(x) jatkuvat välissä [a , 6], kuuluvat 6:een, ja niiden Lebesgue-integraalien arvot ovat yhtäpitäviä Riemannin integraalien arvojen kanssa. Määritelmä. Funktiojärjestelmää, jossa, kutsutaan ortogonaaliksi välillä [a, b\, jos ehto (1) olettaa erityisesti, että mikään funktioista ei ole identtinen nolla. Integraali ymmärretään Lebesguen merkityksessä. ja määrää kutsutaan funktion normiksi. Jos ortogonaalisessa järjestelmässä mille tahansa n:lle meillä on, niin funktiojärjestelmää kutsutaan ortonormaaliksi. Jos järjestelmä (y>„(x)) on ortogonaalinen, niin järjestelmä Esimerkki 1. Trigonometrinen järjestelmä on ortogonaalinen janalla. Funktiojärjestelmä on ortonormaali funktiojärjestelmä esimerkissä 2. Kosinijärjestelmä ja sinijärjestelmä ovat ortonormaalit. Otetaan käyttöön merkintä, että ne ovat ortogonaalisia välillä (0, f|, mutta eivät ortonormaalit (I Ф- 2). Koska niiden normit ovat COS Esimerkki 3. Yhtälön määrittelemiä polynomeja kutsutaan Legendren polynomeiksi (polynomeiksi). n = 0 meillä Voidaan todistaa , että funktiot muodostavat ortonormaalin funktiojärjestelmän välissä. Osoitetaan esimerkiksi Legendren polynomien ortogonaalisuus Olkoon m > n. Tässä tapauksessa integroimalla n kertaa osat, löydämme koska funktiolle t/m = (z2 - I)m kaikki derivaatat luokkaan m - I mukaan lukien häviävät segmentin [-1,1) päissä. Määritelmä. Funktiojärjestelmää (pn(x)) kutsutaan ortogonaaliksi välillä (a, b) ylityksen p(x) avulla, jos: 1) kaikilla n = 1,2,... on integraaleja. oletetaan, että painofunktio p(x) on määritelty ja positiivinen kaikkialla välillä (a, b) lukuun ottamatta mahdollisesti äärellistä määrää pisteitä, joissa p(x) voi kadota. Suoritettuamme differentioinnin kaavassa (3), löydämme. Voidaan osoittaa, että Chebyshev-Hermite-polynomit ovat ortogonaalisia välillä Esimerkki 4. Besselin funktiojärjestelmä (jL(pix)^ on ortogonaalinen Besselin funktion välin nollien kanssa Esimerkki 5. Tarkastellaan Chebyshev-Hermite-polynomeja, jotka Fourier-sarja ortogonaalisessa järjestelmässä Olkoon välissä (a, 6) ortogonaalinen funktiojärjestelmä ja konvergoikoon sarja (cj = const) tällä välillä funktioon f(x): Kertomalla viimeisen yhtälön molemmat puolet luvulla - kiinteä) ja integroimalla x:n yli a:sta 6:een järjestelmän ortogonaalisuudesta johtuen saadaan, että tällä operaatiolla on yleisesti ottaen puhtaasti formaalinen luonne. Kuitenkin joissakin tapauksissa, esimerkiksi kun sarja (4) konvergoi tasaisesti, kaikki funktiot ovat jatkuvia ja väli (a, 6) on äärellinen, tämä operaatio on laillinen. Mutta meille nyt muodollinen tulkinta on tärkeä. Eli annetaan funktio. Muodostetaan luvut c* kaavan (5) mukaan ja kirjoitetaan oikealla puolella olevaa sarjaa kutsutaan funktion f(x) Fourier-sarjaksi järjestelmän (^n(i)) suhteen. kutsutaan funktion f(x) Fourier-kertoimiksi tämän järjestelmän suhteen. Merkki ~ kaavassa (6) tarkoittaa vain sitä, että luvut Cn liittyvät funktioon f(x) kaavalla (5) (ei ole oletettu, että oikealla olevan sarjan konvergoi ollenkaan, saati konvergoi funktioon f (x)). Siksi herää luonnollisesti kysymys: mitkä ovat tämän sarjan ominaisuudet? Missä mielessä se "edustaa" funktiota f(x)? 9.3. Keskimääräinen konvergenssi Määritelmä. Jono konvergoi elementtiin ] keskimäärin, jos normi on avaruudessa Lause 6. Jos jono ) konvergoi tasaisesti, niin se konvergoi keskimäärin. M Konvergoikoon sekvenssi ()) tasaisesti välillä [a, b] funktioon /(x). Tämä tarkoittaa, että kaikille, kaikille riittävän suurille n:ille, meillä on Siksi, josta lauseemme seuraa. Päinvastoin ei pidä paikkaansa: sekvenssi () voi konvergoida keskimäärin arvoon /(x), mutta ei ole tasaisesti konvergentti. Esimerkki. Tarkastellaan sekvenssiä nx. On helppo nähdä, että Mutta tämä konvergenssi ei ole tasainen: on olemassa esimerkiksi e, että vaikka n on kuinka suuri tahansa, välikosineissa Fourier-sarja funktiolle, jolla on mielivaltainen jakso Kompleksinen esitys Fourier-sarjan Fourier-sarja yleisille ortogonaalisille funktiojärjestelmille Fourier-sarja ortogonaalille systeemille Fourier-kertoimien minimiominaisuus Besselin epäyhtälö Parsevalin yhtälö Suljetut järjestelmät Systeemien täydellisyys ja suljettavuus ja merkitään c*:lla funktion /(x) Fourier-kertoimet ) ortonormaalilla järjestelmällä b Tarkastellaan lineaarista yhdistelmää, jossa n ^ 1 on kiinteä kokonaisluku, ja etsi niiden vakioiden arvot, joilla integraali saa minimiarvon. Kirjoitetaanpa se tarkemmin Integroimalla termi kerrallaan järjestelmän ortonormaalisuudesta johtuen saadaan, että kaksi ensimmäistä yhtälön (7) oikealla puolella olevaa termiä ovat riippumattomia ja kolmas termi ei-negatiivinen. Siksi integraali (*) saa minimiarvon kohdassa ak = sk. Integraalia kutsutaan funktion /(x) keskineliöapproksimaatioksi Tn(x) lineaarisella yhdistelmällä. Siten funktion /\ neliöjuurikeskiarvo saa minimiarvon, kun. kun Tn(x) on funktion /(x) Fourier-sarjan 71. osasumma järjestelmän yli (. Asettamalla ak = sk, kohdasta (7) saadaan yhtälöä (9) kutsutaan Besselin identiteetiksi. Koska sen vasemmalla puoli on ei-negatiivinen, niin siitä seuraa Besselin epäyhtälö. Koska olen täällä mielivaltaisesti, Besselin epäyhtälö voidaan esittää vahvistetussa muodossa, eli mille tahansa funktiolle / tämän funktion neliöityjen Fourier-kertoimien sarja ortonormaalissa järjestelmässä ) konvergoi . Koska järjestelmä on ortonormaali välillä [-x, m], niin epäyhtälö (10) käännettynä trigonometrisen Fourier-sarjan tavanomaiseen merkintätapaan antaa suhteen do, joka pätee mille tahansa funktiolle /(x), jossa on integroitava neliö. Jos f2(x) on integroitavissa, niin sen perusteella välttämätön ehto Epäyhtälön (11) vasemman puolen sarjan konvergenssi, saamme sen. Parsevalin yhtälö Joissakin järjestelmissä (^„(x)) kaavan (10) epäyhtälömerkki voidaan korvata (kaikissa funktioissa f(x) 6 ×) yhtäläisyysmerkillä. Tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan Parseval-Steklovin yhtälöksi (täydellisyysehto). Besselin identiteetti (9) mahdollistaa ehdon (12) kirjoittamisen ekvivalentissa muodossa, joten täydellisyysehdon täyttyminen tarkoittaa, että funktion /(x) Fourier-sarjan osasummat Sn(x) konvergoivat funktioon /(x) keskimäärin, ts. avaruusnormin 6 mukaan]. Määritelmä. Ortonormaalia järjestelmää ( kutsutaan täydelliseksi muodossa b2[ау b], jos jokainen funktio voidaan approksimoida keskimäärin millä tahansa tarkkuudella lineaarisella yhdistelmällä muotoa c riittävästi suuri numero termejä, eli jos jokaiselle funktiolle f(x) € b2[a, b\ ja mille tahansa e > 0 luonnollinen luku nq ja luvut a\, a2y... siten, että ei Yllä olevasta päättelystä seuraa Lause 7. Jos ortonormalisoinnilla järjestelmä ) on täydellinen avaruudessa, minkä tahansa funktion / Fourier-sarja tämän järjestelmän yli konvergoi f(x):iin keskiarvo eli normi Voidaan osoittaa, että trigonometrinen järjestelmä on täydellinen avaruudessa.Tämä tarkoittaa väitettä. Lause 8. Jos funktio /o sen trigonometrinen Fourier-sarja konvergoi siihen keskimäärin. 9.5 Suljetut järjestelmät. Järjestelmien täydellisyys ja suljettavuus Määritelmä. Ortonormaalia funktiojärjestelmää \ kutsutaan suljetuksi, jos avaruudessa Li\a, b) ei ole nollasta poikkeavaa funktiota, joka on ortogonaalinen kaikkiin funktioihin Avaruudessa L2\a, b\ ortonormaalien järjestelmän täydellisyyden ja sulkeutumisen käsitteet yhtyvät. Harjoitukset 1. Laajenna funktio 2 Fourier-sarjaksi välissä (-i-, x) 2. Laajenna funktio Fourier-sarjaksi välissä (-tr, tr) 3. Laajenna funktio 4 Fourier-sarjaksi intervalli (-tr, tr) Fourier-sarjaksi intervallifunktiossa (-jt, tr) 5. Laajenna funktio f(x) = x + x välin (-tr, tr) Fourier-sarjaksi. 6. Laajenna funktio n Fourier-sarjaksi välissä (-jt, tr) 7. Laajenna funktio /(x) = sin2 x Fourier-sarjaksi välissä (-tr, x). 8. Laajenna funktio f(x) = y Fourier-sarjaksi välissä (-tr, jt) 9. Laajenna funktio f(x) = | synti x|. 10. Laajenna funktio f(x) = § Fourier-sarjaksi välissä (-π-, π). 11. Laajenna funktio f(x) = sin § Fourier-sarjaksi välissä (-tr, tr). 12. Laajenna välissä (0, x) annettu funktio f(x) = n -2x Fourier-sarjaksi ja laajenna se väliin (-x, 0): a) tasaisesti; b) oudolla tavalla. 13. Laajenna välissä (0, x) annettu funktio /(x) = x2 Fourier-sarjaksi sinien muodossa. 14. Laajenna välissä (-2,2) annettu funktio /(x) = 3 Fourier-sarjaksi. 15. Laajenna välissä (-1,1) annettu funktio f(x) = |x| Fourier-sarjaksi. 16. Laajenna välissä (0,1) määritetty funktio f(x) = 2x Fourier-sarjaksi sinissä.

Kuinka lisätä matemaattisia kaavoja verkkosivustolle?

Jos sinun on joskus lisättävä yksi tai kaksi matemaattista kaavaa verkkosivulle, helpoin tapa tehdä tämä on artikkelissa kuvattu: matemaattiset kaavat voidaan helposti lisätä sivustolle kuvien muodossa, jotka Wolfram Alpha luo automaattisesti. . Yksinkertaisuuden lisäksi tämä universaali menetelmä auttaa parantamaan sivuston näkyvyyttä hakukoneissa. Se on toiminut pitkään (ja mielestäni toimii ikuisesti), mutta on jo moraalisesti vanhentunut.

Jos käytät säännöllisesti matemaattisia kaavoja sivustollasi, suosittelen käyttämään MathJaxia - erityistä JavaScript-kirjastoa, joka näyttää matemaattiset merkinnät verkkoselaimissa käyttämällä MathML-, LaTeX- tai ASCIIMathML-merkintöjä.

Voit yhdistää MathJax-kirjaston komentosarjan etäpalvelimelta käyttämällä kahta koodivaihtoehtoa, jotka on otettu MathJaxin pääsivustolta tai dokumentaatiosivulta:

Mikä tahansa fraktaali rakennetaan tietyn säännön mukaan, jota sovelletaan johdonmukaisesti rajoittamattoman määrän kertoja. Jokaista tällaista aikaa kutsutaan iteraatioksi.