Oppitunti ”Erilaisten menetelmien käyttö polynomin laskentaan. Erilaisten polynomin tekijöiden laskentamenetelmien soveltaminen Erilaisten tekijöiden laskentamenetelmien soveltaminen

TUNTISUUNNITELMA algebratunti 7. luokalla

Opettaja Prilepova O.A.

Oppitunnin tavoitteet:

Näytä sovellus eri tavoin kertoa polynomi

Toista faktorointimenetelmät ja lujita osaamistaan ​​harjoitusten aikana

Kehittää opiskelijoiden taitoja ja kykyjä käyttää lyhennettyjä kertolaskuja.

Kehittää looginen ajattelu opiskelijat ja kiinnostus aiheeseen.

Tehtävät:

suunnassa henkilökohtaista kehitystä:

Kiinnostuksen kehittäminen matemaattista luovuutta ja matemaattisia kykyjä kohtaan;

Aloitteen ja aktiivisuuden kehittäminen matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa;

Kehittää kykyä tehdä itsenäisiä päätöksiä.

meta-aiheen suuntaan :

Muodostus yleisiä menetelmiä matematiikalle ominaista älyllistä toimintaa, joka on kognitiivisen kulttuurin perusta;

ICT-teknologian käyttö;

aihealueella:

Mestaruus matemaattista tietoa ja koulutuksen jatkamiseen tarvittavat taidot;

Kehitetään opiskelijoiden kykyä etsiä tapoja kertoa polynomi ja löytää ne polynomille, joka voidaan kertoa.

Laitteet:monisteet, reittilomakkeet arviointikriteereillä,multimediaprojektori, esitys.

Oppitunnin tyyppi:käsitellyn materiaalin toisto, yleistäminen ja systematisointi

Työmuodot:työskennellä pareittain ja ryhmissä, yksilöllisesti, kollektiivisesti,itsenäistä, eturivin työtä.

Tuntien aikana:

Olemassa useita eri tapoja polynomin tekijä. Useimmiten käytännössä ei käytetä yhtä, vaan useita menetelmiä kerralla. Tässä ei voi olla mitään erityistä toimintojen järjestystä, jokaisessa esimerkissä kaikki on yksilöllistä. Mutta voit yrittää noudattaa seuraavaa järjestystä:

1. Jos on yhteinen tekijä, ota se pois kiinnikkeestä;

2. Yritä tämän jälkeen kertoa polynomi lyhennettyjen kertolaskujen avulla;

3. Jos tämän jälkeen emme ole vielä saaneet vaadittua tulosta, kannattaa yrittää käyttää ryhmittelymenetelmää.

Lyhennetyt kertolaskukaavat

1. a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b);

2. (a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2;

3. (a-b)^2 = a^2-2*a*b+b^2;

4. a^3+b^3 = (a+b)*(a^2 - a*b+b^2);

5. a^3 - b^3 = (a-b)*(a^2 + a*b+b^2);

Tarkastellaanpa nyt muutamia esimerkkejä tämän vahvistamiseksi:

Esimerkki 1.

Kerroin polynomin: (a^2+1)^2 - 4*a^2

Ensin käytämme lyhennettyä kertolaskukaavaa “neliöiden ero” ja avaa sisäsulut.

(a^2+1)^2 - 4*a^2 = ((a^2+1)-2*a)*((a^2+1)+2*a) = (a^2+1 -2*a)*(a^2+1+2*a);

Huomaa, että suluissa olemme saaneet lausekkeet kahden lausekkeen summan neliölle ja erotuksen neliölle. Otetaan niitä käyttöön ja saadaan vastaus.

a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a) = (a-1)^2*(a+1)^2;

Vastaus:(a-1)^2*(a+1)^2;

Esimerkki 2.

Kerroin polynomin 4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y.

Kuten näemme suoraan, mikään menetelmistä ei sovellu tähän. Mutta on kaksi ruutua, ne voidaan ryhmitellä. Kokeillaan.

4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y = (4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y);

Saimme kaavan neliöiden erolle ensimmäisessä sulussa, ja toisessa sulussa on yhteinen kerroin kaksi. Sovelletaan kaavaa ja poistetaan yhteinen tekijä.

(4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y)= (2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y);

Voidaan nähdä, että on kaksi identtistä sulkua. Otetaan ne pois yhteisenä tekijänä.

(2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y) = (2*x+y)*(2*x - y)+2)= (2*x+ y) )*(2*x-y+2);

Vastaus:(2*x+y)*(2*x-y+2);

Kuten näet, universaali menetelmä Ei. Kokemuksen myötä taito tulee ja polynomien laskenta on erittäin helppoa.

Edellisellä oppitunnilla opimme kertomaan polynomin monomilla. Esimerkiksi monomin a ja polynomin b + c tulo löytyy seuraavasti:

a(b + c) = ab + bc

Joissakin tapauksissa on kuitenkin kätevämpää suorittaa käänteinen operaatio, jota voidaan kutsua yhteisen tekijän poistamiseksi suluista:

ab + bc = a(b + c)

Lasketaan esimerkiksi polynomin ab + bc arvo muuttujien a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8 arvoille. Jos korvaamme ne suoraan lausekkeeseen, saamme

ab + bc = 15,6 * 7,2 + 15,6 * 2,8

ab + bc = a(b + c) = 15,6 * (7,2 + 2,8) = 15,6 * 10 = 156

Tässä tapauksessa esitimme polynomin ab + bc kahden tekijän tulona: a ja b + c. Tätä toimintoa kutsutaan polynomin tekijäksi.

Lisäksi jokainen tekijä, johon polynomi laajennetaan, voi vuorostaan ​​olla polynomi tai monomi.

Tarkastellaan polynomia 14ab - 63b 2. Jokainen sen osamonomiaali voidaan esittää tuotteena:

Voidaan nähdä, että molemmilla polynomeilla on yhteinen tekijä 7b. Tämä tarkoittaa, että se voidaan ottaa pois suluista:

14ab - 63b 2 = 7b*2a - 7b*9b = 7b(2a-9b)

Voit tarkistaa, onko kerroin asetettu oikein sulujen ulkopuolelle käänteisellä toiminnolla - avaamalla sulut:

7b(2a - 9b) = 7b*2a - 7b*9b = 14ab - 63b 2

On tärkeää ymmärtää, että usein polynomia voidaan laajentaa useilla tavoilla, esimerkiksi:

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

Yleensä he yrittävät poimia karkeasti sanottuna "suurin" monomi. Toisin sanoen ne laajentavat polynomia niin, että jäljellä olevasta polynomista ei voida ottaa enempää irti. Siis hajoamisen aikana

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

monomioiden summa, joilla on yhteinen tekijä c, jää sulkeisiin. Jos otamme sen myös pois, suluissa ei jää yhteisiä tekijöitä:

b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

Katsotaanpa yksityiskohtaisemmin, kuinka löytää monomiaalien yhteiset tekijät. Jaetaan summa

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10

Se koostuu kolmesta termistä. Katsotaanpa ensin niiden edessä olevia numeerisia kertoimia. Nämä ovat 8, 12 ja 16. 6. luokan oppitunnilla 3 keskusteltiin GCD-aiheesta ja sen löytämisalgoritmista.Tämä on suurin yhteinen jakaja.Löytyy melkein aina suullisesti. Yhteisen kertoimen numeerinen kerroin on täsmälleen polynomin termien numeeristen kertoimien GCD. Tässä tapauksessa luku on 4.

Seuraavaksi tarkastellaan näiden muuttujien asteita. Yleisessä tekijässä kirjaimilla on oltava termissä esiintyvät vähimmäisvoimat. Joten polynomin muuttujalla a on asteet 3, 2 ja 4 (vähintään 2), joten yhteinen tekijä on 2. Muuttujan b vähimmäisaste on 3, joten yhteinen tekijä on b 3:

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)

Tämän seurauksena jäljellä olevilla termeillä 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 ei ole yhtä yhteistä kirjainmuuttujaa, eikä niiden kertoimilla 2, 3 ja 4 ole yhteisiä jakajia.

Monomien lisäksi myös polynomit voidaan ottaa pois suluista. Esimerkiksi:

x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)

Vielä yksi esimerkki. Ilmaisua on tarpeen laajentaa

5t (8v - 3x) + 2s (3x - 8v)

Ratkaisu. Muista, että miinusmerkki kääntää suluissa olevat merkit, joten

-(8v - 3x) = -8v + 3x = 3x - 8v

Tämä tarkoittaa, että voimme korvata (3x - 8v) - (8v - 3x):

5t(8v - 3x) + 2s(3x - 8v) = 5t(8v - 3x) + 2*(-1)s(8v - 3x) = (8v - 3x)(5t - 2s)

Vastaus: (8v - 3x)(5t - 2s).

Muista, että aliosa ja minuendi voidaan vaihtaa vaihtamalla merkkiä hakasulkeiden edessä:

(a - b) = - (b - a)

Päinvastoin on myös totta: sulkujen edessä oleva miinusmerkki voidaan poistaa vaihtamalla samaan aikaan alimerkki ja minuendi:

Tätä tekniikkaa käytetään usein ongelmien ratkaisemisessa.

Ryhmittelymenetelmä

Tarkastellaan toista tapaa ottaa polynomi huomioon, mikä auttaa laajentamaan polynomia. Olkoon ilmaisu

ab - 5a + bc - 5c

On mahdotonta johtaa kaikille neljälle monomille yhteistä tekijää. Voit kuitenkin kuvitella tämän polynomin kahden polynomin summana ja ottaa kussakin muuttujan pois suluista:

ab - 5a + bc - 5c = (ab - 5a) + (bc - 5c) = a (b - 5) + c (b - 5)

Nyt voimme johtaa lausekkeen b - 5:

a(b - 5) + c(b - 5) = (b - 5) (a + c)

"Ryhmittimme" ensimmäisen termin toiseen ja kolmannen neljännen kanssa. Siksi kuvattua menetelmää kutsutaan ryhmittelymenetelmäksi.

Esimerkki. Laajennamme polynomia 6xy + ab- 2bx- 3ay.

Ratkaisu. Ensimmäisen ja toisen termin ryhmittely on mahdotonta, koska niillä ei ole yhteistä tekijää. Vaihdetaan siis monomiaalit:

6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x(3y - b) + a(b - 3y)

Erot 3y - b ja b - 3y eroavat vain muuttujien järjestyksessä. Yhdessä suluissa sitä voidaan muuttaa siirtämällä miinusmerkki pois suluista:

(b - 3v) = - (3v - b)

Käytetään tätä korvaavaa:

2x(3y - b) + a(b - 3y) = 2x(3y - b) - a(3y - b) = (3y - b)(2x - a)

Tuloksena saimme identiteetin:

6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b)(2x - a)

Vastaus: (3v - b)(2x - a)

Voit ryhmitellä kahden, vaan yleensä minkä tahansa määrän termejä. Esimerkiksi polynomissa

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z

voimme ryhmitellä kolme ensimmäistä ja kolme viimeistä monomia:

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x (x - 3y + z) + 2 (x - 3y + z) = (x + 2) (x - 3v + z)

Katsotaanpa nyt entistä monimutkaisempaa tehtävää

Esimerkki. Laajenna neliöllinen trinomi x 2 - 8x +15.

Ratkaisu. Tämä polynomi koostuu vain kolmesta monomista, ja siksi, kuten näyttää, ryhmittely ei ole mahdollista. Voit kuitenkin tehdä seuraavan korvaavan:

Sitten alkuperäinen trinomi voidaan esittää seuraavasti:

x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15

Ryhmittele termit:

x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x (x - 3) - 5 (x - 3) = (x - 5) (x - 3)

Vastaus: (x-5)(x-3).

Tietenkään ei ole helppoa arvata korvaavaa - 8x = - 3x - 5x yllä olevassa esimerkissä. Osoittakaamme erilainen ajattelutapa. Meidän on laajennettava toisen asteen polynomia. Kuten muistamme, polynomeja kerrottaessa niiden potenssit summautuvat. Tämä tarkoittaa, että vaikka voisimme laskea neliöllisen trinomin kahdeksi tekijäksi, ne osoittautuvat kahdeksi 1. asteen polynomiksi. Kirjoitetaan kahden ensimmäisen asteen polynomin tulo, joiden johtavat kertoimet ovat yhtä kuin 1:

(x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab

Tässä merkitään a ja b mielivaltaisina lukuina. Jotta tämä tulo olisi yhtä suuri kuin alkuperäinen trinomi x 2 - 8x +15, on tarpeen valita sopivat kertoimet muuttujille:

Valinnan avulla voimme määrittää, että luvut a = - 3 ja b = - 5 täyttävät tämän ehdon.

(x - 3) (x - 5) = x 2 * 8x + 15

joka näkyy avaamalla kiinnikkeet.

Yksinkertaisuuden vuoksi tarkasteltiin vain tapausta, jossa 1. asteen kerrottujen polynomien alkukertoimet ovat yhtä suuria kuin 1. Ne voivat kuitenkin olla yhtä suuria kuin esimerkiksi 0,5 ja 2. Tässä tapauksessa laajennus näyttäisi hieman erilaiselta:

x 2 * 8x + 15 = (2x - 6) (0,5x - 2,5)

Kuitenkin, kun kerroin 2 otetaan pois ensimmäisestä hakasulkeesta ja kerrotaan se toisella, saamme alkuperäisen laajennuksen:

(2x - 6)(0,5x - 2,5) = (x - 3) * 2 * (0,5x - 2,5) = (x - 3) (x - 5)

Tarkastetussa esimerkissä laajensimme neliöllisen trinomin kahdeksi ensimmäisen asteen polynomiksi. Meidän on tehtävä tämä usein tulevaisuudessa. On kuitenkin syytä huomata, että jotkin toisen asteen trinomit, esim.

on mahdotonta hajottaa tällä tavalla polynomien tuloksi. Tämä todistetaan myöhemmin.

Factoring-polynomien soveltaminen

Polynomin kertolasku voi helpottaa joitain toimintoja. Olkoon tarpeen laskea lausekkeen arvo

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

Otetaan pois numero 2, ja kunkin termin aste pienenee yhdellä:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)

Merkitään summa

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

x:lle. Sitten yllä kirjoitettu tasa-arvo voidaan kirjoittaa uudelleen:

x + 2 9 = 2(1 + x)

Saimme yhtälön, ratkaistaan ​​se (katso yhtälön oppitunti):

x + 2 9 = 2(1 + x)

x + 2 9 = 2 + 2x

2x - x = 2 9 - 2

x = 512 - 2 = 510

Ilmaistaan ​​nyt etsimämme summa x:llä:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

Tätä ongelmaa ratkottaessa nostimme luvun 2 vain yhdeksänteen potenssiin ja kaikki muut eksponentiooperaatiot poistettiin laskelmista ottamalla huomioon polynomi. Vastaavasti voit luoda laskentakaavan muille vastaaville summille.

Lasketaan nyt lausekkeen arvo

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890

81 4 - 9 7 + 3 12

on jaollinen luvulla 73. Huomaa, että luvut 9 ja 81 ovat kolmen potenssit:

81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4

Kun tiedät tämän, korvataan alkuperäisellä lausekkeella:

81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12

Otetaan 3 12:

3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73

Tulo 3 12 .73 on jaollinen luvulla 73 (koska yksi tekijöistä on jaollinen sillä), joten lauseke 81 4 - 9 7 + 3 12 jaetaan tällä luvulla.

Faktorointia voidaan käyttää henkilöllisyyden todistamiseen. Todistakaamme esimerkiksi tasa-arvo

(a 2 + 3a) 2 + 2 (a 2 + 3a) = a(a + 1) (a + 2) (a + 3)

Identiteetin ratkaisemiseksi muunnamme tasa-arvon vasenta puolta poistamalla yhteinen tekijä:

(a 2 + 3a) 2 + 2 (a 2 + 3a) = (a 2 + 3a) (a 2 + 3a) + 2 (a 2 + 3a) = (a 2 + 3a) (a 2 + 3a + 2 )

(a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a) (a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a) ((a 2 + 2a) + (a + 2) ) = (a 2 + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a) (a + 1) (a + 2) = a(a + 3) (a + z) )(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Vielä yksi esimerkki. Osoitetaan, että millä tahansa muuttujien x ja y arvolla lauseke

(x - y)(x + y) - 2x(x - y)

ei ole positiivinen luku.

Ratkaisu. Otetaan yhteinen tekijä x - y:

(x - y)(x + y) - 2x(x - y) = (x - y)(x + y - 2x) = (x - y)(y - x)

Huomaa, että olemme saaneet kahden samanlaisen binomin tulon, jotka eroavat vain kirjainten x ja y järjestyksessä. Jos vaihtaisimme muuttujat jossakin suluissa, saisimme kahden identtisen lausekkeen tulon, eli neliön. Mutta jotta voit vaihtaa x:n ja y:n, sinun on laitettava miinusmerkki hakasulkeen eteen:

(x - y) = -(y - x)

Sitten voimme kirjoittaa:

(x - y)(y - x) = -(y - x) (y - x) = -(y - x) 2

Kuten tiedät, minkä tahansa luvun neliö on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Tämä koskee myös lauseketta (y - x) 2. Jos lausekkeen edessä on miinus, sen on oltava pienempi tai yhtä suuri kuin nolla, eli se ei ole positiivinen luku.

Polynomilaajennus auttaa ratkaisemaan joitain yhtälöitä. Käytetään seuraavaa lausetta:

Jos yhtälön yksi osa sisältää nollan ja toinen on tekijöiden tulo, jokaisen tulee olla nolla.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö (s - 1)(s + 1) = 0.

Ratkaisu. Monomien s - 1 ja s + 1 tulo kirjoitetaan vasemmalle puolelle ja nolla oikealle puolelle. Siksi nollan on oltava joko s - 1 tai s + 1:

(s - 1) (s + 1) = 0

s - 1 = 0 tai s + 1 = 0

s = 1 tai s = -1

Kumpikin muuttujan s kahdesta saadusta arvosta on yhtälön juuri, eli sillä on kaksi juuria.

Vastaus: -1; 1.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö 5w 2 - 15w = 0.

Ratkaisu. Otetaan 5w pois:

Jälleen teos on kirjoitettu vasemmalle puolelle ja nolla oikealle. Jatketaan ratkaisulla:

5w = 0 tai (w - 3) = 0

w = 0 tai w = 3

Vastaus: 0; 3.

Esimerkki. Etsi yhtälön k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0 juuret.

Ratkaisu. Ryhmittele termit:

k 3 - 8 k 2 + 3 k - 24 = 0

(k 3 - 8 k 2) + (3 k - 24) = 0

k 2 (k - 8) + 3 (k - 8) = 0

(k 3 + 3) (k - 8) = 0

k 2 + 3 = 0 tai k - 8 = 0

k 2 = -3 tai k = 8

Huomaa, että yhtälöllä k 2 = - 3 ei ole ratkaisua, koska millään neliöluvulla ei ole ratkaisua alle nolla. Siksi alkuperäisen yhtälön ainoa juuri on k = 8.

Esimerkki. Etsi yhtälön juuret

(2u - 5) (u + 3) = 7u + 21

Ratkaisu: Siirrä kaikki termit vasemmalle puolelle ja ryhmittele termit:

(2u - 5) (u + 3) = 7u + 21

(2u - 5) (u + 3) - 7u - 21 = 0

(2u - 5) (u + 3) - 7 (u + 3) = 0

(2u - 5 - 7) (u + 3) = 0

(2u - 12) (u + 3) = 0

2u - 12 = 0 tai u + 3 = 0

u = 6 tai u = -3

Vastaus: - 3; 6.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö

(t 2 - 5 t) 2 = 30 t - 6 t 2

(t 2 - 5 t) 2 = 30 t - 6 t 2

(t 2 - 5 t) 2 - (30 t - 6 t 2) = 0

(t 2 - 5 t) (t 2 - 5 t) + 6 (t 2 - 5 t) = 0

(t 2 - 5 t) (t 2 - 5 t + 6) = 0

t 2 - 5t = 0 tai t 2 - 5t + 6 = 0

t = 0 tai t - 5 = 0

t = 0 tai t = 5

Siirrytään nyt toiseen yhtälöön. Jälleen meillä on neliöllinen trinomi. Jos haluat laskea sen tekijöiksi ryhmittelymenetelmällä, sinun on esitettävä se 4 termin summana. Jos teet korvaavan - 5t = - 2t - 3t, voit ryhmitellä termejä edelleen:

t 2 - 5t + 6 = 0

t 2 - 2t - 3t + 6 = 0

t(t - 2) - 3 (t - 2) = 0

(t - 3) (t - 2) = 0

T - 3 = 0 tai t - 2 = 0

t = 3 tai t = 2

Tuloksena havaitsimme, että alkuperäisellä yhtälöllä on 4 juuria.

Tämä on yksi yksinkertaisimmista tavoista yksinkertaistaa lauseketta. Tämän menetelmän soveltamiseksi muistetaan kertolaskulaki suhteessa yhteenlaskuun (älä pelkää näitä sanoja, tiedät varmasti tämän lain, olet ehkä vain unohtanut sen nimen).

Laki sanoo: jotta voit kertoa kahden luvun summan kolmannella luvulla, sinun on kerrottava jokainen termi tällä luvulla ja laskettava tuloksena saadut tulokset, toisin sanoen .

Voit myös tehdä käänteisen toiminnan, ja juuri tämä käänteinen operaatio kiinnostaa meitä. Kuten näytteestä voidaan nähdä, yhteinen tekijä a voidaan ottaa pois suluista.

Samanlainen toimenpide voidaan tehdä sekä muuttujilla, kuten ja esimerkiksi, että numeroilla: .

Kyllä, tämä on hyvin alkeellinen esimerkki, aivan kuten aiemmin annettu esimerkki, jossa luku hajotetaan, koska kaikki tietävät, että luvut ovat jaollisia, mutta entä jos saat monimutkaisemman lausekkeen:

Miten saat selville, millä esim. luku on jaollinen? Ei, kuka tahansa voi tehdä sen laskimella, mutta ilman sitä se on vaikeaa? Ja tätä varten on merkkejä jaettavuudesta, nämä merkit ovat todella tuntemisen arvoisia, ne auttavat sinua nopeasti ymmärtämään, voidaanko yhteinen tekijä ottaa pois suluista.

Jakautuvuuden merkkejä

Niiden muistaminen ei ole niin vaikeaa; luultavasti useimmat niistä olivat sinulle jo tuttuja, ja osa niistä on uusi hyödyllinen löytö, lisätietoja taulukossa:

Huomautus: Taulukosta puuttuu 4:llä jaettavissa oleva testi. Jos kaksi viimeistä numeroa ovat jaollisia 4:llä, niin koko luku on jaollinen 4:llä.

No, mitä pidät kyltistä? Suosittelen muistamaan!

No, palataanpa ilmaisuun, ehkä hän voi ottaa sen pois suluista ja se riittää? Ei, matemaatikoilla on tapana yksinkertaistaa, joten täysin kestä KAIKKI mitä on kestetty!

Ja niin, pelin kanssa kaikki on selvää, mutta entä lausekkeen numeerinen osa? Molemmat luvut ovat parittomia, joten niitä ei voi jakaa

Voit käyttää jakotestiä: luvun muodostavien numeroiden ja summa on yhtä suuri ja jaollinen, tarkoittaa jaollista.

Tämän tietäen voit turvallisesti jakaa sarakkeeseen, ja jakamisen tuloksena saamme (jakomerkit ovat hyödyllisiä!). Näin ollen voimme ottaa luvun pois suluista, kuten y, ja tuloksena meillä on:

Varmistaaksesi, että kaikki on laajennettu oikein, voit tarkistaa laajennuksen kertomalla!

Yhteinen tekijä voidaan ilmaista myös teholla. Näetkö tässä esimerkiksi yhteisen kertoimen?

Kaikilla tämän lausekkeen jäsenillä on x:t - otamme ne pois, ne kaikki jaetaan - poistamme ne uudelleen, katsotaan mitä tapahtui: .

2. Lyhennetyt kertolaskukaavat

Lyhennetyt kertolaskut on jo mainittu teoriassa; jos sinulla on vaikeuksia muistaa, mitä ne ovat, sinun tulee virkistää muistisi.

No, jos pidät itseäsi erittäin älykkäänä ja olet liian laiska lukemaan tällaista tietopilviä, lue vain, katso kaavoja ja ota heti esimerkkejä.

Tämän hajoamisen ydin on havaita tietty kaava edessäsi olevassa ilmaisussa, soveltaa sitä ja siten saada jonkin ja jonkin tulo, siinä kaikki hajoaminen. Seuraavat ovat kaavat:

Yritä nyt laskea seuraavat lausekkeet käyttämällä yllä olevia kaavoja:

Tässä mitä olisi pitänyt tapahtua:

Kuten olet ehkä huomannut, nämä kaavat ovat erittäin tehokas tapa factorization, se ei ole aina sopiva, mutta se voi olla erittäin hyödyllinen!

3. Ryhmittely tai ryhmittelytapa

Tässä toinen esimerkki sinulle:

Joten mitä aiot tehdä sillä? Näyttää siltä, ​​​​että jotain on jaettu osaksi ja osaksi ja jotain osaksi ja osaksi

Mutta kaikkea ei voi jakaa yhdeksi asiaksi tässä ei ole mitään yhteistä tekijää, riippumatta siitä, miltä näytät, mitä sinun pitäisi jättää sellaiseksi ottamatta huomioon sitä?

Täällä sinun on osoitettava kekseliäisyyttä, ja tämän kekseliäisyyden nimi on ryhmittely!

Sitä käytetään juuri silloin, kun yhteisiä jakajia Kaikilla jäsenillä ei ole sitä. Ryhmittelyyn tarvitset löytää termiryhmiä, joilla on yhteisiä tekijöitä ja järjestä ne uudelleen siten, että jokaisesta ryhmästä voidaan saada sama tekijä.

Tietenkään niitä ei tarvitse järjestää uudelleen, mutta tämä antaa selkeyttä; selkeyden vuoksi voit laittaa yksittäiset lausekkeen osat suluissa; ei ole kiellettyä laittaa niitä niin paljon kuin haluat, tärkeintä ei ole sekoittaa merkit.

Eikö tämä kaikki ole kovin selvää? Selitänpä esimerkillä:

Polynomissa - laitamme termin - termin jälkeen - saamme

ryhmittelemme kaksi ensimmäistä termiä yhteen erilliseen hakasulkeeseen ja ryhmittelemme myös kolmannen ja neljännen termin ottamalla miinusmerkin pois suluista, saamme:

Nyt tarkastelemme erikseen kumpaakin kahta "paalua", joihin jaoimme lausekkeen suluilla.

Temppu on jakaa se pinoiksi, joista suurin tekijä voidaan ottaa pois, tai, kuten tässä esimerkissä, yrittää ryhmitellä termit siten, että kun tekijät on poistettu pinoista suluista, meillä on edelleen samat lausekkeet kiinnikkeiden sisällä.

Molemmista suluista otamme pois termien yhteiset tekijät, ensimmäisestä hakasulkeesta ja toisesta saamme:

Mutta tämä ei ole hajoamista!

Paasi hajoamisen pitäisi jäädä vain kertolaskuksi, mutta toistaiseksi polynomimme on yksinkertaisesti jaettu kahteen osaan...

MUTTA! Tällä polynomilla on yhteinen tekijä. Tämä

suluissa ja saamme lopputuotteen

Bingo! Kuten näette, tässä on jo tulo ja sulujen ulkopuolella ei ole yhteen- tai vähennyslaskua, hajottaminen on valmis, koska Meillä ei ole enää mitään poistettavaa suluista.

Saattaa tuntua ihmeeltä, että tekijöiden poiston jälkeen hakasulkeisiin jäivät identtiset lausekkeet, jotka laitoimme jälleen hakasulkeista.

Ja tämä ei ole mikään ihme, tosiasia on, että oppikirjojen ja yhtenäisen valtiontutkinnon esimerkit on tehty erityisesti siten, että useimmat ilmaukset tehtävissä yksinkertaistamiseksi tai faktorointi Oikealla lähestymistavalla ne yksinkertaistuvat helposti ja romahtavat jyrkästi kuin sateenvarjo, kun painat painiketta, joten etsi juuri sitä painiketta jokaisessa ilmeessä.

Hämmennyin, mitä teemme yksinkertaistamisella? Monimutkainen polynomi sai yksinkertaisemman muodon: .

Samaa mieltä, se ei ole niin iso kuin se oli?

4. Koko neliön valitseminen.

Joskus lyhennettyjen kertolaskujen soveltamiseksi (toista aihe) on muutettava olemassa oleva polynomi esittämällä yksi sen termeistä kahden termin summana tai erotuksena.

Missä tapauksessa sinun on tehtävä tämä, opit esimerkistä:

Tässä muodossa olevaa polynomia ei voi laajentaa lyhennetyillä kertolaskukaavoilla, joten se on muunnettava. Ehkä aluksi sinulle ei ole selvää, mikä termi pitäisi jakaa mihinkin, mutta ajan myötä opit heti näkemään lyhennetyn kertolaskukaavat, vaikka ne eivät olisi täysin läsnä, ja selvität nopeasti, mitä täältä puuttuu ennen täysi kaava, sillä välin opiskele, opiskelija tai pikemminkin koulupoika.

Tarvitset sen sijaan täydellisen kaavan neliöidylle erolle. Kuvittelemme kolmatta termiä erotuksena, saamme: Suluissa olevaan lausekkeeseen voit soveltaa eron neliön kaavaa (ei pidä sekoittaa neliöiden eroihin!!!), meillä on: , tähän lausekkeeseen voidaan soveltaa neliöiden erotuskaavaa (ei pidä sekoittaa neliöityyn eroon!!!), kuvitellen kuinka saamme: .

Tekijäistetty lauseke ei aina näytä yksinkertaisemmalta ja pienemmältä kuin se oli ennen laajennusta, mutta tässä muodossa siitä tulee joustavampi siinä mielessä, että sinun ei tarvitse huolehtia merkkien muuttamisesta ja muusta matemaattisesta hölynpölystä. No, tässä sinulle itsenäinen päätös, seuraavat lausekkeet on faktoroitava.

Esimerkkejä:

Vastaukset:

5. Neliöllisen trinomin kerroin

Kvadraattisen trinomin hajottamiseksi tekijöiksi katso lisää esimerkkejä hajottelusta.

Esimerkkejä 5 menetelmästä polynomin laskentaan

1. Yhteisen tekijän poistaminen suluista. Esimerkkejä.

Muistatko mikä on jakelulaki? Tämä on sääntö:

Esimerkki:

Kerro polynomi.

Ratkaisu:

Toinen esimerkki:

Ota se huomioon.

Ratkaisu:

Jos koko termi poistetaan suluista, sen sijaan jää yksikkö sulkuihin!

2. Lyhennetyt kertolaskukaavat. Esimerkkejä.

Useimmiten käyttämämme kaavat ovat neliöiden erotus, kuutioiden erotus ja kuutioiden summa. Muistatko nämä kaavat? Jos ei, toista aihe pikaisesti!

Esimerkki:

Ota ilmaisu huomioon.

Ratkaisu:

Tässä lausekkeessa on helppo selvittää kuutioiden ero:

Esimerkki:

Ratkaisu:

3. Ryhmittelymenetelmä. Esimerkkejä

Joskus voit vaihtaa termejä niin, että sama tekijä voidaan erottaa jokaisesta vierekkäisestä termistä. Tämä yhteinen tekijä voidaan ottaa pois suluista ja alkuperäinen polynomi muuttuu tuloksi.

Esimerkki:

Kerro polynomi.

Ratkaisu:

Ryhmittele termit seuraavasti:
.

Ensimmäisessä ryhmässä otamme yhteisen tekijän pois suluista ja toisesta - :
.

Nyt yhteinen tekijä voidaan myös ottaa pois suluista:
.

4. Menetelmä täydellisen neliön valitsemiseksi. Esimerkkejä.

Jos polynomi voidaan esittää kahden lausekkeen neliöiden erotuksena, ei jää muuta kuin soveltaa lyhennettyä kertolaskukaavaa (neliöiden erotus).

Esimerkki:

Kerro polynomi.

Ratkaisu:Esimerkki:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\alasiviiva(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(neliö\summa\ ((\vasen) (x+3 \oikea))^(2)))-9-7=((\vasen(x+3 \oikea))^(2))-16= \\
=\vasen(x+3+4 \oikea)\vasen(x+3-4 \oikea)=\vasen(x+7 \oikea)\vasen(x-1 \oikea) \\
\end(taulukko)

Kerro polynomi.

Ratkaisu:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\alasiviiva(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(neliö\ erot((\vasen(((x)^(2))-2 \oikea))^(2)))-4-1=((\vasen(((x)^) (2))-2 \oikea))^(2))-5= \\
=\vasen(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \oikea)\vasen(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \oikea) \\
\end(taulukko)

5. Neliöllisen trinomin kerroin. Esimerkki.

Neliötrinomi on muotoa oleva polynomi, jossa - tuntematon, - joitain lukuja ja.

Muuttujan arvoja, jotka tekevät neliöllisen trinomin katoamisen, kutsutaan trinomin juuriksi. Siksi trinomin juuret ovat toisen asteen yhtälön juuret.

Lause.

Esimerkki:

Kerrotaan neliöllinen trinomi: .

Ensin ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö: Nyt voimme kirjoittaa tämän toisen asteen trinomin kertoimen:

Nyt sinun mielipiteesi...

Olemme kuvanneet yksityiskohtaisesti, kuinka ja miksi polynomi otetaan huomioon.

Annoimme paljon esimerkkejä kuinka tämä tehdään käytännössä, osoitimme sudenkuoppia, annoimme ratkaisuja...

Mitä sanot?

Mitä mieltä olet tästä artikkelista? Käytätkö näitä tekniikoita? Ymmärrätkö niiden olemuksen?

Kirjoita kommentteihin ja... valmistaudu tenttiin!

Toistaiseksi hän on elämäsi tärkein.

Polynomien laskemiseen käytimme hakasulku-, ryhmittely- ja lyhennettyjen kertolaskujen kaavoja. Joskus on mahdollista kertoa polynomi käyttämällä useita menetelmiä peräkkäin. Tässä tapauksessa muunnos tulee aloittaa, mikäli mahdollista, ottamalla yhteinen tekijä pois suluista.

Esimerkki 1. Kerrotaan polynomi 10a 3 - 40a.

Ratkaisu: Tämän polynomin termeillä on yhteinen kerroin 10a. Otetaan tämä tekijä pois suluista:

10a 3 - 40a = 10a (a 2 - 4).

Faktorisointia voidaan jatkaa soveltamalla neliöiden erotuskaavaa lausekkeeseen a 2 - 4. Tuloksena saamme tekijöiksi alemman asteen polynomeja.

10a(a 2 - 4) = 10a(a + 2) (a - 2).

10a 3 - 40a = 10a(a + 2) (a - 2).

Esimerkki 2. Otetaan huomioon polynomi

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - 3b 2 v.

Ratkaisu: Otetaan ensin yhteinen tekijä b2 suluista:

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - 3b 2 y = b 2 (ab - 3b + ay - 3y).

Yritetään nyt ottaa huomioon polynomi

ab - 3b + ау - 3у.

Ryhmittelemme ensimmäisen termin toiseen ja kolmannen neljännen kanssa

ab - 3b + ay - 3 = b (a - 3) + y (a - 3) = (a - 3) (b + y).

Lopulta saamme

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - 3b 2 y = b 2 (a - 3) (b + y).

Esimerkki 3. Kerrotaan polynomi a 2 - 4ax - 9 + 4x 2.

Ratkaisu: Ryhmitetään polynomin ensimmäinen, toinen ja neljäs termi. Saadaan trinomi a 2 - 4ax + 4x 2, joka voidaan esittää erotuksen neliönä. Siksi

a 2 - 4ax - 9 + 4x 2 = (a 2 - 4ax + 4x 2) - 9 = (a - 2x) 2 - 9.

Tuloksena oleva lauseke voidaan kertoa käyttämällä neliöiden erotuskaavaa:

(a - 2x) 2 - 9 = (a - 2x) 2 - 3 2 = (a - 2x - 3) (a - 2x + 3).

Siten,

a 2 - 4ax - 9 + 4x 2 = (a - 2x - 3) (a - 2x + 3).

Huomaa, että polynomin tekijöihin laskettaessa tarkoitamme sen esittämistä useiden polynomien tulona, ​​joissa vähintään kaksi tekijää on nollasta poikkeavia polynomeja (eli ne eivät ole lukuja).

Jokaista polynomia ei voi kertoilla. Esimerkiksi polynomien x 2 + 1, 4x 2 - 2x + 1 jne. kertominen on mahdotonta.

Katsotaanpa esimerkkiä tekijöiden jakamisen käyttämisestä laskutoimitusten yksinkertaistamiseksi laskimen avulla.

Esimerkki 4. Laskimen avulla löydämme polynomin arvon bx 3 + 2x 2 - 7x + 4, kun x = 1,2.

Ratkaisu: Jos teet toiminnot hyväksytyssä järjestyksessä, sinun on ensin löydettävä lausekkeiden x 3 5, x 2 2 ja 7x arvot, kirjoitettava tulokset paperille tai tallennettava ne laskimen muistiin ja siirryttävä sitten yhteen-ja vähennyslasku. Haluttu tulos voidaan kuitenkin saada paljon helpommin, jos muunnamme tämän polynomin seuraavasti:

bx 3 + 2x 2 - 7x + 4 = (5x 2 + 2x - 7) x + 4 = ((5x + 2) x - 7) x + 4.

Suoritettuamme laskelmat x = 1,2, huomaamme, että polynomin arvo on 7,12.

Harjoitukset

Testikysymykset ja -tehtävät

1. Anna esimerkki kokonaislukulausekkeesta ja ei-kokonaislukulausekkeesta.
2. Mitä toimia tulee tehdä ja missä järjestyksessä kokonaislukulausekkeen 4x (3 - x) 2 + (x 2 - 4)(x + 4) esittämiseksi polynomina?
3. Mitä menetelmiä polynomien faktorointiin tiedät?