Qu'est-ce qu'un nombre rationnel. Nombres

Lycéens et étudiants spécialités mathématiques, répondra probablement facilement à cette question. Mais pour ceux qui en sont loin par profession, ce sera plus difficile. Qu'est-ce que c'est vraiment ?

Essence et désignation

Les nombres rationnels sont ceux qui peuvent être représentés comme une fraction ordinaire. Le positif, le négatif et le zéro sont également inclus dans cet ensemble. Le numérateur de la fraction doit être un entier et le dénominateur doit être

Cet ensemble en mathématiques est noté Q et est appelé « champ des nombres rationnels ». Il comprend tous les nombres entiers et naturels, notés respectivement Z et N. L'ensemble Q lui-même est inclus dans l'ensemble R. C'est cette lettre qui désigne ce qu'on appelle le réel ou

Performance

Comme déjà mentionné, les nombres rationnels sont un ensemble qui comprend toutes les valeurs entières et fractionnaires. Ils peuvent être présentés dans différentes formes. Tout d'abord, sous la forme d'une fraction ordinaire : 5/7, 1/5, 11/15, etc. Bien entendu, les entiers peuvent aussi s'écrire sous une forme similaire : 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, etc. Deuxièmement, un autre type de représentation est une fraction décimale avec une partie fractionnaire finale : 0,01, -15,001006, etc. C'est peut-être l'une des formes les plus courantes.

Mais il y en a aussi une troisième : une fraction périodique. Ce type n'est pas très courant, mais est toujours utilisé. Par exemple, la fraction 10/3 peut s'écrire 3,33333... ou 3,(3). Dans ce cas, différentes représentations seront considérées comme des nombres similaires. Les fractions égales entre elles seront également appelées de la même manière, par exemple 3/5 et 6/10. Il semble que ce que sont les nombres rationnels soit devenu clair. Mais pourquoi ce terme est-il utilisé pour les désigner ?

origine du nom

Le mot « rationnel » en russe moderne a généralement un sens légèrement différent. C'est plutôt « raisonnable », « réfléchi ». Mais les termes mathématiques sont proches de littéralement En latin, « rapport » est un « rapport », une « fraction » ou une « division ». Ainsi, le nom capture l’essence de ce que sont les nombres rationnels. Cependant, le deuxième sens

pas loin de la vérité.

Actions avec eux

Au moment de décider problèmes mathématiques Nous rencontrons constamment des nombres rationnels sans le savoir nous-mêmes. Et ils sont proches propriétés intéressantes. Tous découlent soit de la définition d’un ensemble, soit d’actions.

Premièrement, les nombres rationnels ont la propriété de relation d’ordre. Cela signifie qu'il ne peut y avoir qu'une seule relation entre deux nombres : soit ils sont égaux l'un à l'autre, soit l'un est supérieur ou inférieur à l'autre. C'est-à-dire:

ou une = b ; ou une > b, ou un< b.

De plus, la transitivité de la relation découle également de cette propriété. Autrement dit, si un plus b, b plus c, Que un plus c. En langage mathématique, cela ressemble à ceci :

(une > b) ^ (b > c) => (une > c).

Deuxièmement, il existe des opérations arithmétiques avec des nombres rationnels, c'est-à-dire l'addition, la soustraction, la division et, bien sûr, la multiplication. Parallèlement, au cours des transformations, un certain nombre de propriétés peuvent également être identifiées.

a + b = b + a (changement de place des termes, commutativité) ;
0 + une = une + 0 ;
(a + b) + c = a + (b + c) (associativité) ;
une + (-une) = 0 ;
ab = ba;
(ab)c = a(bc) (distributivité) ;
une x 1 = 1 x une = une ;
a x (1 / a) = 1 (dans ce cas a n'est pas égal à 0) ;
(a + b)c = ac + ab;
(une > b) ^ (c > 0) => (ac > avant JC).

Lorsqu’il s’agit de nombres ordinaires et non d’entiers, travailler avec eux peut poser certaines difficultés. Ainsi, l’addition et la soustraction ne sont possibles que si les dénominateurs sont égaux. S'ils sont initialement différents, vous devriez trouver le commun en multipliant la fraction entière par certains nombres. La comparaison n’est d’ailleurs le plus souvent possible que si cette condition est remplie.

Division et multiplication fractions ordinaires sont produits conformément à des normes suffisantes règles simples. La réduction à un dénominateur commun n’est pas nécessaire. Les numérateurs et les dénominateurs sont multipliés séparément et, lors de l'exécution de l'action, si possible, la fraction doit être réduite et simplifiée autant que possible.

Quant à la division, cette action est similaire à la première avec une légère différence. Pour la deuxième fraction, vous devriez trouver l'inverse, c'est-à-dire

"retournez. Ainsi, le numérateur de la première fraction devra être multiplié par le dénominateur de la seconde et vice versa.

Enfin, une autre propriété inhérente aux nombres rationnels est appelée l’axiome d’Archimède. On retrouve souvent dans la littérature le nom de « principe ». Elle est valable pour l’ensemble des nombres réels, mais pas partout. Ainsi, ce principe ne s’applique pas à certaines populations. fonctions rationnelles. Essentiellement, cet axiome signifie que étant donné l’existence de deux quantités a et b, vous pouvez toujours prendre suffisamment de a pour dépasser b.

Champ d'application

Ainsi, pour ceux qui ont appris ou se sont souvenus de ce que sont les nombres rationnels, il devient clair qu'ils sont utilisés partout : en comptabilité, en économie, en statistiques, en physique, en chimie et dans d'autres sciences. Naturellement, ils ont aussi leur place en mathématiques. Ne sachant pas toujours qu’il s’agit d’eux, nous utilisons constamment des nombres rationnels. Même les petits enfants, apprenant à compter des objets, coupant une pomme en morceaux ou effectuant d'autres actions simples, les rencontrent. Ils nous entourent littéralement. Et pourtant, ils ne suffisent pas à résoudre certains problèmes ; notamment, en prenant comme exemple le théorème de Pythagore, on peut comprendre la nécessité d'introduire le concept

Dans cet article, nous commencerons à explorer nombres rationnels. Nous donnerons ici des définitions des nombres rationnels, donnerons les explications nécessaires et donnerons des exemples de nombres rationnels. Après cela, nous nous concentrerons sur la façon de déterminer si un nombre donné est rationnel ou non.

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Définition et exemples de nombres rationnels

Dans cette section, nous donnerons plusieurs définitions des nombres rationnels. Malgré les différences de formulation, toutes ces définitions ont la même signification : les nombres rationnels unissent les entiers et les fractions, tout comme les nombres entiers unissent les nombres naturels, leurs opposés et le nombre zéro. En d’autres termes, les nombres rationnels généralisent les entiers et nombres fractionnaires.

Commençons avec définitions des nombres rationnels, ce qui est perçu le plus naturellement.

De la définition énoncée, il s'ensuit qu'un nombre rationnel est :

Tout nombre naturel n. En effet, vous pouvez représenter n’importe quel nombre naturel sous la forme d’une fraction ordinaire, par exemple 3=3/1.
Tout entier, en particulier le nombre zéro. En fait, tout nombre entier peut être écrit sous la forme d’une fraction positive, d’une fraction négative ou de zéro. Par exemple, 26=26/1, .
Toute fraction commune (positive ou négative). Ceci est directement confirmé par la définition donnée des nombres rationnels.
N’importe quel nombre mixte. En effet, on peut toujours imaginer nombre mixte comme une fraction impropre. Par exemple, et.
Toute fraction décimale finie ou fraction périodique infinie. Cela est dû au fait que les fractions décimales indiquées sont converties en fractions ordinaires. Par exemple, , et 0,(3)=1/3.

Il est également clair que toute fraction décimale non périodique infinie n’est PAS un nombre rationnel, puisqu’elle ne peut pas être représentée comme une fraction commune.

Maintenant, nous pouvons facilement donner exemples de nombres rationnels. Les nombres 4, 903, 100,321 sont des nombres rationnels car ce sont des nombres naturels. Les entiers 58, −72, 0, −833 333 333 sont également des exemples de nombres rationnels. Les fractions communes 4/9, 99/3 sont également des exemples de nombres rationnels. Les nombres rationnels sont aussi des nombres.

D’après les exemples ci-dessus, il est clair qu’il existe des nombres rationnels positifs et négatifs, et que le nombre rationnel zéro n’est ni positif ni négatif.

La définition ci-dessus des nombres rationnels peut être formulée sous une forme plus concise.

Définition.

Nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction z/n, où z est un nombre entier et n est un nombre naturel.

Montrons que cette définition des nombres rationnels est équivalente à la définition précédente. Nous savons que nous pouvons considérer la ligne d'une fraction comme un signe de division, puis des propriétés de division des nombres entiers et des règles de division des nombres entiers, la validité des égalités suivantes découle et. Voilà donc la preuve.

Donnons des exemples de nombres rationnels basés sur cette définition. Les nombres −5, 0, 3 et sont des nombres rationnels, puisqu'ils peuvent être écrits sous forme de fractions avec un numérateur entier et un dénominateur naturel de la forme et, respectivement.

La définition des nombres rationnels peut être donnée dans la formulation suivante.

Définition.

Nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être écrits sous forme périodique finie ou infinie décimal.

Cette définition est également équivalente à la première définition, puisque toute fraction ordinaire correspond à une fraction décimale finie ou périodique et vice versa, et tout nombre entier peut être associé à une fraction décimale avec des zéros après la virgule.

Par exemple, les nombres 5, 0, −13 sont des exemples de nombres rationnels car ils peuvent être écrits sous la forme des fractions décimales suivantes 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 et −7, (18).

Terminons la théorie de ce point par les affirmations suivantes :

les nombres entiers et les fractions (positives et négatives) constituent l'ensemble des nombres rationnels ;
chaque nombre rationnel peut être représenté comme une fraction avec un numérateur entier et un dénominateur naturel, et chacune de ces fractions représente un certain nombre rationnel ;
chaque nombre rationnel peut être représenté comme une fraction décimale périodique finie ou infinie, et chacune de ces fractions représente un nombre rationnel.

Ce chiffre est-il rationnel ?

Dans le paragraphe précédent, nous avons découvert que tout nombre naturel, tout entier, toute fraction ordinaire, tout nombre fractionnaire, toute fraction décimale finie, ainsi que toute fraction décimale périodique est un nombre rationnel. Cette connaissance nous permet de « reconnaître » des nombres rationnels à partir d’un ensemble de nombres écrits.

Mais que se passe-t-il si le nombre est donné sous la forme de certains , ou comme , etc., comment répondre à la question de savoir si ce nombre est rationnel ? Dans de nombreux cas, il est très difficile de répondre. Indiquons quelques pistes de réflexion.

Si un nombre est donné sous la forme d'une expression numérique qui contient uniquement des nombres rationnels et des signes arithmétiques (+, −, · et :), alors la valeur de cette expression est un nombre rationnel. Cela découle de la façon dont les opérations avec des nombres rationnels sont définies. Par exemple, après avoir effectué toutes les opérations dans l’expression, nous obtenons le nombre rationnel 18.

Parfois, après avoir simplifié les expressions et plus encore type complexe, il devient possible de déterminer si un nombre donné est rationnel.

Allons plus loin. Le nombre 2 est un nombre rationnel, puisque tout nombre naturel est rationnel. Et le numéro ? Est-ce rationnel ? Il s'avère que non, ce n'est pas un nombre rationnel, c'est un nombre irrationnel (la preuve de ce fait par contradiction est donnée dans le manuel d'algèbre de 8e année, listé ci-dessous dans la liste des références). Il a également été prouvé que Racine carrée d'un nombre naturel n'est un nombre rationnel que dans les cas où la racine contient un nombre qui est le carré parfait d'un nombre naturel. Par exemple, et sont des nombres rationnels, puisque 81 = 9 2 et 1 024 = 32 2, et les nombres et ne sont pas rationnels, puisque les nombres 7 et 199 ne sont pas des carrés parfaits. nombres naturels.

Le nombre est-il rationnel ou non ? Dans ce cas, il est facile de remarquer que ce nombre est donc rationnel. Le nombre est-il rationnel ? Il a été prouvé que la kième racine d'un entier est un nombre rationnel seulement si le nombre sous le signe racine est la kième puissance d'un entier. Ce n’est donc pas un nombre rationnel, puisqu’il n’existe pas d’entier dont la puissance cinquième est 121.

La méthode par contradiction permet de prouver que les logarithmes de certains nombres ne sont pas des nombres rationnels pour une raison quelconque. Par exemple, prouvons que - n'est pas un nombre rationnel.

Supposons le contraire, c'est-à-dire disons qu'il s'agit d'un nombre rationnel et qu'il peut s'écrire sous la forme d'une fraction ordinaire m/n. On donne alors les égalités suivantes : . La dernière égalité est impossible, puisque du côté gauche il y a nombre impair 5 n, et sur le côté droit se trouve le nombre pair 2 m. Par conséquent, notre hypothèse est incorrecte et ne constitue donc pas un nombre rationnel.

En conclusion, il convient particulièrement de noter que lors de la détermination de la rationalité ou de l'irrationalité des nombres, il convient de s'abstenir de tirer des conclusions soudaines.

Par exemple, il ne faut pas affirmer immédiatement que le produit des nombres irrationnels π et e est un nombre irrationnel ; cela est « apparemment évident », mais non prouvé. Cela soulève la question : « Pourquoi un produit serait-il un nombre rationnel ? » Et pourquoi pas, car vous pouvez donner un exemple de nombres irrationnels dont le produit donne un nombre rationnel : .

On ne sait pas non plus si les nombres et bien d’autres nombres sont rationnels ou non. Par exemple, il existe des nombres irrationnels dont le pouvoir irrationnel est un nombre rationnel. A titre d'illustration, nous présentons un degré de la forme , la base de ce degré et l'exposant ne sont pas des nombres rationnels, mais , et 3 est un nombre rationnel.

Bibliographie.

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Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.

Définition des nombres rationnels

Les nombres rationnels comprennent :

Nombres naturels pouvant être représentés sous forme de fraction. Par exemple, $7=\frac(7)(1)$.
Nombres entiers, y compris zéro, qui peuvent être représentés par une fraction positive ou négative, ou par zéro. Par exemple, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
Fractions communes (positives ou négatives).
Nombres mixtes qui peuvent être représentés comme une fraction impropre. Par exemple, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ et $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
Une fraction décimale finie et une fraction périodique infinie qui peut être représentée sous forme de fraction. Par exemple, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Note 1

Notez qu'une fraction décimale non périodique infinie n'appartient pas aux nombres rationnels, car elle ne peut pas être représentée comme une fraction ordinaire.

Exemple 1

Les nombres naturels $7, 670, 21\456$ sont rationnels.

Les entiers $76, –76, 0, –555\666$ sont rationnels.

Fractions communes $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ – nombres rationnels .

Ainsi, les nombres rationnels sont divisés en positifs et négatifs. Le nombre zéro est rationnel, mais n’est ni un nombre rationnel positif ni négatif.

Formulons davantage courte définition nombres rationnels.

Définition 3

Rationnel sont des nombres qui peuvent être représentés comme une fraction décimale périodique finie ou infinie.

Les conclusions suivantes peuvent être tirées :

les entiers et fractions positifs et négatifs appartiennent à l’ensemble des nombres rationnels ;
les nombres rationnels peuvent être représentés comme une fraction ayant un numérateur entier et un dénominateur naturel et qui est un nombre rationnel ;
les nombres rationnels peuvent être représentés comme n’importe quelle fraction décimale périodique qui est un nombre rationnel.

Comment déterminer si un nombre est rationnel

Le nombre est spécifié comme une expression numérique composée uniquement de nombres rationnels et de signes d'opérations arithmétiques. Dans ce cas, la valeur de l’expression sera un nombre rationnel.
La racine carrée d’un nombre naturel n’est un nombre rationnel que si la racine contient un nombre qui est le carré parfait d’un nombre naturel. Par exemple, $\sqrt(9)$ et $\sqrt(121)$ sont des nombres rationnels, puisque $9=3^2$ et $121=11^2$.
La $n$ième racine d'un entier est un nombre rationnel uniquement si le nombre sous le signe racine est la $n$ième puissance d'un entier. Par exemple, $\sqrt(8)$ est un nombre rationnel, car 8$=2^3$.

Sur l'axe des nombres, les nombres rationnels sont densément répartis : entre deux nombres rationnels qui ne sont pas égaux, au moins un nombre rationnel peut être localisé (d'où un ensemble infini de nombres rationnels). Dans le même temps, l'ensemble des nombres rationnels est caractérisé par une cardinalité dénombrable (c'est-à-dire que tous les éléments de l'ensemble peuvent être numérotés). Les Grecs de l’Antiquité ont prouvé qu’il existe des nombres qui ne peuvent pas être écrits sous forme de fractions. Ils ont montré qu’il n’existe pas de nombre rationnel dont le carré est égal à 2$. Ensuite, les nombres rationnels se sont révélés insuffisants pour exprimer toutes les quantités, ce qui a ensuite conduit à l'apparition de nombres réels. L’ensemble des nombres rationnels, contrairement aux nombres réels, est de dimension zéro.

Nombres rationnels

Quartiers

Ordre. un Et b il existe une règle qui permet d’identifier de manière unique une et une seule des trois relations entre elles : «< », « >" ou " = ". Cette règle s'appelle règle de commande et est formulé comme suit : deux nombres non négatifs et sont liés par la même relation que deux nombres entiers et ; deux nombres non positifs un Et b sont liés par la même relation que deux nombres non négatifs et ; si tout d'un coup un non négatif, mais b- négatif, alors un > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Ajouter des fractions
Opération d’addition. Pour tout nombre rationnel un Et b il y a un soi-disant règle de sommation c. De plus, le numéro lui-même c appelé montant Nombres un Et b et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est appelé addition. La règle de sommation a la forme suivante : .
Opération de multiplication. Pour tout nombre rationnel un Et b il y a un soi-disant règle de multiplication, ce qui leur attribue un nombre rationnel c. De plus, le numéro lui-même c appelé travail Nombres un Et b et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est également appelé multiplication. La règle de multiplication ressemble à ceci : .
Transitivité de la relation d'ordre. Pour tout triplet de nombres rationnels un , b Et c Si un moins b Et b moins c, Que un moins c, et si unéquivaut à b Et béquivaut à c, Que unéquivaut à c. 6435">Commutativité de l'addition. Changer la place des termes rationnels ne change pas la somme.
Associativité de l'addition. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont ajoutés n’affecte pas le résultat.
Présence de zéro. Il existe un nombre rationnel 0 qui préserve tous les autres nombres rationnels une fois ajoutés.
La présence de nombres opposés. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel opposé qui, une fois ajouté, donne 0.
Commutativité de la multiplication. Changer la place des facteurs rationnels ne change pas le produit.
Associativité de la multiplication. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont multipliés n’affecte pas le résultat.
Disponibilité de l'unité. Il existe un nombre rationnel 1 qui préserve tous les autres nombres rationnels lorsqu'il est multiplié.
Présence de nombres réciproques. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel inverse qui, multiplié par, donne 1.
Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. L'opération de multiplication est coordonnée avec l'opération d'addition par la loi de distribution :
Liaison de la relation d'ordre avec l'opération d'addition. Le même nombre rationnel peut être ajouté aux côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axiome d'Archimède. Quel que soit le nombre rationnel un, vous pouvez prendre tellement d'unités que leur somme dépasse un. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propriétés supplémentaires

Toutes les autres propriétés inhérentes aux nombres rationnels ne sont pas considérées comme fondamentales, car, d'une manière générale, elles ne sont plus basées directement sur les propriétés des nombres entiers, mais peuvent être prouvées sur la base des propriétés de base données ou directement par la définition d'un objet mathématique. . Tel propriétés supplémentaires tant. Il est logique d’en énumérer seulement quelques-uns ici.

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Comptabilité d'un ensemble

Numérotation des nombres rationnels

Pour estimer le nombre de nombres rationnels, vous devez trouver la cardinalité de leur ensemble. Il est facile de prouver que l’ensemble des nombres rationnels est dénombrable. Pour ce faire, il suffit de donner un algorithme qui énumère les nombres rationnels, c'est-à-dire établit une bijection entre les ensembles de nombres rationnels et naturels.

Le plus simple de ces algorithmes ressemble à ceci. Un tableau sans fin de fractions ordinaires est compilé, sur chaque je-ième ligne dans chacun j la ème colonne dans laquelle se trouve la fraction. Par souci de précision, on suppose que les lignes et les colonnes de ce tableau sont numérotées à partir de un. Les cellules du tableau sont désignées par , où je- le numéro de la ligne du tableau dans laquelle se trouve la cellule, et j- numéro de colonne.

Le tableau résultant est parcouru à l’aide d’un « serpent » selon l’algorithme formel suivant.

Ces règles sont recherchées de haut en bas et la position suivante est sélectionnée en fonction de la première correspondance.

Au cours d'un tel parcours, chaque nouveau nombre rationnel est associé à un autre nombre naturel. C'est-à-dire que la fraction 1/1 est attribuée au nombre 1, la fraction 2/1 au nombre 2, etc. Il est à noter que seules les fractions irréductibles sont numérotées. Un signe formel d'irréductibilité est que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur de la fraction est égal à un.

En suivant cet algorithme, nous pouvons énumérer tous les nombres rationnels positifs. Cela signifie que l’ensemble des nombres rationnels positifs est dénombrable. Il est facile d’établir une bijection entre les ensembles de nombres rationnels positifs et négatifs en attribuant simplement à chaque nombre rationnel son opposé. Que. l'ensemble des nombres rationnels négatifs est également dénombrable. Leur union est aussi dénombrable par la propriété des ensembles dénombrables. L’ensemble des nombres rationnels est également dénombrable comme l’union d’un ensemble dénombrable avec un ensemble fini.

L'affirmation sur la dénombrabilité de l'ensemble des nombres rationnels peut prêter à confusion, car à première vue, il semble qu'elle soit beaucoup plus étendue que l'ensemble des nombres naturels. En fait, ce n’est pas le cas et il existe suffisamment de nombres naturels pour énumérer tous les nombres rationnels.

Manque de nombres rationnels

L'hypoténuse d'un tel triangle ne peut être exprimée par aucun nombre rationnel

Nombres rationnels de la forme 1 / n en général n des quantités arbitrairement petites peuvent être mesurées. Ce fait crée l’impression trompeuse que les nombres rationnels peuvent être utilisés pour mesurer n’importe quelle distance géométrique. Il est facile de montrer que ce n’est pas vrai.

Remarques

Littérature

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P.S. Alexandrov. Introduction à la théorie des ensembles et à la topologie générale. - M. : chapitre. éd. physique et mathématiques allumé. éd. "Sciences", 1977
I. L. Khmelnitski. Introduction à la théorie des systèmes algébriques

Liens

Fondation Wikimédia. 2010.

Comme nous l'avons déjà vu, l'ensemble des nombres naturels

est fermé par addition et multiplication, et l'ensemble des entiers

fermé sous addition, multiplication et soustraction. Cependant, aucun de ces ensembles n'est fermé par division, puisque la division d'entiers peut donner lieu à des fractions, comme dans les cas de 4/3, 7/6, -2/5, etc. L’ensemble de toutes ces fractions forme l’ensemble des nombres rationnels. Ainsi, le nombre rationnel ( fraction rationnelle) est un nombre qui peut être représenté sous la forme , où a et d sont des nombres entiers et d n'est pas égal à zéro. Faisons quelques commentaires sur cette définition.

1) Nous avons exigé que d soit non nul. Cette exigence (écrite mathématiquement sous forme d'inégalité) est nécessaire car ici d est un diviseur. Considérez les exemples suivants :

Cas 1. .

Cas 2...

Dans le cas 1, d est un diviseur au sens du chapitre précédent, c'est-à-dire que 7 est un diviseur exact de 21. Dans le cas 2, d est toujours un diviseur, mais dans un sens différent, puisque 7 n'est pas un diviseur exact de 25. .

Si on appelle 25 le dividende et 7 le diviseur, on obtient le quotient de 3 et le reste de 4. Ainsi, le mot diviseur est utilisé ici dans un sens plus général et s'applique à plus cas qu'au Chap. I. Cependant, dans des cas comme le cas 1, la notion de diviseur introduite au Chap. JE; il faut donc, comme au Chap. J'exclus la possibilité de d = 0.

2) Notez que même si les expressions nombre rationnel et fraction rationnelle sont synonymes, le mot fraction lui-même est utilisé pour désigner toute expression algébrique constituée d'un numérateur et d'un dénominateur, telle que

3) La définition d'un nombre rationnel inclut l'expression « un nombre qui peut être représenté sous la forme , où a et d sont des nombres entiers et . Pourquoi ne peut-il pas être remplacé par l'expression « un nombre de la forme , où a et d sont des nombres entiers et La raison en est qu'il existe une infinité de façons d'exprimer la même fraction (par exemple, 2/3 peut s'écrit également 4/6, 6 /9, ou ou 213/33, ou, etc.), et il est souhaitable pour nous que notre définition d'un nombre rationnel ne dépende pas de la manière particulière de l'exprimer.

Une fraction est définie de telle manière que sa valeur ne change pas lorsque le numérateur et le dénominateur sont multipliés par le même nombre. Cependant, il n’est pas toujours possible de dire simplement en regardant une fraction donnée si elle est rationnelle ou non. Prenons par exemple les chiffres

Aucun d’entre eux dans l’entrée que nous avons choisie n’est de la forme , où a et d sont des nombres entiers.

On peut cependant effectuer une série de transformations arithmétiques sur la première fraction et obtenir

Ainsi, on arrive à une fraction égale à la fraction originale, pour laquelle . Le nombre est donc rationnel, mais il ne le serait pas si la définition d'un nombre rationnel exigeait que le nombre soit de la forme a/b, où a et b sont des nombres entiers. En cas de conversion de fraction

conduire à un numéro. Dans les chapitres suivants, nous apprendrons qu’un nombre ne peut pas être représenté comme un rapport de deux nombres entiers et qu’il n’est donc pas rationnel ou est considéré comme irrationnel.

4) Notez que tout entier est rationnel. Comme nous venons de le voir, cela est vrai dans le cas du nombre 2. Dans le cas général d’entiers arbitraires, on peut de même attribuer un dénominateur de 1 à chacun d’eux et obtenir leur représentation sous forme de fractions rationnelles.