Système fondamental de solutions à un système d'équations linéaires. Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires, méthodes de résolution, exemples

Système m équations linéaires c n appelés inconnus système de linéaire homogèneéquations si tous les termes libres sont égaux à zéro. Un tel système ressemble à :

Où et je (je = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - des numéros donnés ; x je- inconnu.

Système linéaire équations homogènes toujours ensemble, parce que r(UNE) = r(). Il a toujours au moins zéro ( banal) solution (0; 0; …; 0).

Considérons dans quelles conditions les systèmes homogènes ont des solutions non nulles.

Théorème 1. Un système d’équations linéaires homogènes a des solutions non nulles si et seulement si le rang de sa matrice principale est r moins de nombre inconnu n, c'est à dire. r < n.

□ 1). Supposons qu'un système d'équations linéaires homogènes ait une solution non nulle. Puisque le rang ne peut pas dépasser la taille de la matrice, alors, évidemment, r ≤ n. Laisser r = n. Puis une des tailles mineures nn différent de zéro. Par conséquent, le système d’équations linéaires correspondant a une solution unique : . . . Cela signifie qu’il n’y a pas d’autres solutions que les solutions triviales. Donc s'il y a solution non triviale, Que r < n.

2). Laisser r < n. Alors le système homogène, étant cohérent, est incertain. Cela signifie qu'il a un nombre infini de solutions, c'est-à-dire a des solutions non nulles. ■

Considérons un système homogène néquations linéaires c n inconnu:

(2)

Théorème 2. Système homogène néquations linéaires c n les inconnues (2) ont des solutions non nulles si et seulement si son déterminant est égal à zéro : = 0.

□ Si le système (2) a une solution non nulle, alors = 0. Parce que lorsque le système n'a qu'une seule solution nulle. Si = 0, alors le rang r la matrice principale du système est inférieure au nombre d'inconnues, c'est-à-dire r < n. Et donc le système a un nombre infini de solutions, c'est-à-dire a des solutions non nulles. ■

Notons la solution du système (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, xn = k n comme une chaîne .

Les solutions d'un système d'équations linéaires homogènes ont les propriétés suivantes :

1. Si la ligne est une solution du système (1), alors la ligne est une solution du système (1).

2. Si les lignes Et - solutions du système (1), puis pour toutes valeurs Avec 1 et Avec 2, leur combinaison linéaire est également une solution au système (1).

La validité de ces propriétés peut être vérifiée en les substituant directement dans les équations du système.

Des propriétés formulées, il s'ensuit que toute combinaison linéaire de solutions à un système d'équations linéaires homogènes est également une solution de ce système.

Système de solutions linéairement indépendantes e 1 , e 2 , …, euh appelé fondamental, si chaque solution du système (1) est une combinaison linéaire de ces solutions e 1 , e 2 , …, euh.

Théorème 3. Si rang r les matrices de coefficients pour les variables du système d'équations linéaires homogènes (1) sont inférieures au nombre de variables n, alors n'importe quel système fondamental Les solutions du système (1) consistent en n–r les décisions.

C'est pourquoi décision commune le système d'équations linéaires homogènes (1) a la forme :

Où e 1 , e 2 , …, euh– tout système fondamental de solutions au système (9), Avec 1 , Avec 2 , …, avec p– des nombres arbitraires, R. = n–r.

Théorème 4. Solution générale du système méquations linéaires c n inconnues est égale à la somme de la solution générale du système correspondant d'équations linéaires homogènes (1) et d'une solution particulière arbitraire de ce système (1).

Exemple. Résoudre le système

Solution. Pour ce système m = n= 3. Déterminant

d'après le théorème 2, le système n'a qu'une solution triviale : X = oui = z = 0.

Exemple. 1) Trouver les solutions générales et particulières du système

2) Trouver le système fondamental de solutions.

Solution. 1) Pour ce système m = n= 3. Déterminant

d'après le théorème 2, le système a des solutions non nulles.

Puisqu'il n'y a qu'une seule équation indépendante dans le système

X + oui – 4z = 0,

alors à partir de là nous exprimerons X =4z- oui. Où obtient-on un nombre infini de solutions : (4 z- oui, oui, z) – c’est la solution générale du système.

À z= 1, oui= -1, on obtient une solution particulière : (5, -1, 1). En mettant z= 3, oui= 2, on obtient la deuxième solution particulière : (10, 2, 3), etc.

2) Dans la solution générale (4 z- oui, oui, z) variables oui Et z sont libres, et la variable X- dépendant d'eux. Afin de trouver le système fondamental de solutions, attribuons des valeurs aux variables libres : d'abord oui = 1, z= 0, alors oui = 0, z= 1. On obtient des solutions partielles (-1, 1, 0), (4, 0, 1), qui forment le système fondamental de solutions.

Illustrations:

Riz. 1 Classification des systèmes d'équations linéaires

Riz. 2 Etude des systèmes d'équations linéaires

Présentations :

· Solution méthode SLAE_matrix

· Solution de la méthode SLAE_Cramer

· Solution méthode SLAE_Gauss

· Paquets de solutions problèmes mathématiques Mathematica, MathCad: recherche de solutions analytiques et numériques à des systèmes d'équations linéaires

Questions de contrôle:

1. Définir une équation linéaire

2. À quel type de système ressemble-t-il ? méquations linéaires avec n inconnu?

3. Qu'appelle-t-on résoudre des systèmes d'équations linéaires ?

4. Quels systèmes sont dits équivalents ?

5. Quel système est dit incompatible ?

6. Quel système est appelé commun ?

7. Quel système est dit défini ?

8. Quel système est appelé indéfini

9. Énumérer les transformations élémentaires des systèmes d'équations linéaires

10. Lister les transformations élémentaires des matrices

11. Formuler un théorème sur l'application de transformations élémentaires à un système d'équations linéaires

12. Quels systèmes peuvent être résolus à l'aide de la méthode matricielle ?

13. Quels systèmes peuvent être résolus par la méthode de Cramer ?

14. Quels systèmes peuvent être résolus par la méthode de Gauss ?

15. Énumérez 3 cas possibles qui se présentent lors de la résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss

16. Décrire la méthode matricielle pour résoudre des systèmes d'équations linéaires

17. Décrire la méthode de Cramer pour résoudre des systèmes d'équations linéaires

18. Décrire la méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations linéaires

19. Quels systèmes peuvent être résolus en utilisant matrice inverse?

20. Énumérez 3 cas possibles qui se présentent lors de la résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode Cramer

Littérature:

1. Mathématiques supérieures pour les économistes : Manuel pour les universités / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Éd. N.Sh. Krémer. – M. : UNITÉ, 2005. – 471 p.

2. Cours général de mathématiques supérieures pour économistes : Manuel. / Éd. DANS ET. Ermakova. –M. : INFRA-M, 2006. – 655 p.

3. Recueil de problèmes en mathématiques supérieures pour les économistes : Didacticiel/ Edité par V.I. Ermakova. M. : INFRA-M, 2006. – 574 p.

4. Gmurman V. E. Guide pour résoudre des problèmes de théorie des probabilités et de statistiques magmatiques. - M. : lycée, 2005. – 400 p.

5. Gmurman. V.E Théorie des probabilités et statistiques mathématiques. - M. : Ecole Supérieure, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Mathématiques supérieures en exercices et problèmes. Partie 1, 2. – M. : Onyx 21e siècle : Paix et Education, 2005. – 304 p. Partie 1; – 416p. Partie 2.

7. Mathématiques en économie : Manuel : En 2 parties / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaïtsev, A.V. Braïlov, I.G. Shandara. – M. : Finances et Statistiques, 2006.

8. Shipachev contre. Mathématiques supérieures : Manuel pour les étudiants. universités - M. : Ecole Supérieure, 2007. - 479 p.

Informations connexes.

Solution de systèmes linéaires équations algébriques(SLAE) est sans aucun doute le sujet le plus important du cours d’algèbre linéaire. Grande quantité les problèmes de toutes les branches des mathématiques sont réduits à la résolution de systèmes d’équations linéaires. Ces facteurs expliquent la raison de cet article. Le matériel de l'article est sélectionné et structuré de manière à ce qu'avec son aide vous puissiez

• choisissez la méthode optimale pour résoudre votre système d'équations algébriques linéaires,
• étudier la théorie de la méthode choisie,
• résolvez votre système d'équations linéaires en considérant des solutions détaillées à des exemples et des problèmes typiques.

Brève description du matériel de l'article.

Tout d’abord, nous donnons toutes les définitions et concepts nécessaires et introduisons les notations.

Ensuite, nous considérerons des méthodes de résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires dans lesquelles le nombre d'équations est égal au nombre de variables inconnues et qui ont une solution unique. Premièrement, nous nous concentrerons sur la méthode de Cramer, deuxièmement, nous montrerons la méthode matricielle pour résoudre de tels systèmes d'équations, troisièmement, nous analyserons la méthode de Gauss (méthode élimination séquentielle variables inconnues). Pour consolider la théorie, nous allons certainement résoudre plusieurs SLAE de différentes manières.

Après cela, nous passerons à la résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale, dans lesquels le nombre d'équations ne coïncide pas avec le nombre de variables inconnues ou la matrice principale du système est singulière. Formulons le théorème de Kronecker-Capelli, qui permet d'établir la compatibilité des SLAE. Analysons la solution des systèmes (s'ils sont compatibles) en utilisant la notion de base mineure d'une matrice. Nous considérerons également la méthode de Gauss et décrirons en détail les solutions aux exemples.

Nous nous attarderons certainement sur la structure de la solution générale des systèmes homogènes et inhomogènes d'équations algébriques linéaires. Donnons le concept de système fondamental de solutions et montrons comment la solution générale d'un SLAE s'écrit en utilisant les vecteurs du système fondamental de solutions. Pour une meilleure compréhension, regardons quelques exemples.

En conclusion, nous considérerons des systèmes d'équations pouvant être réduits à des systèmes linéaires, ainsi que diverses tâches, dans la solution duquel surviennent les SLAE.

Navigation dans les pages.

Définitions, concepts, désignations.

Nous considérerons des systèmes de p équations algébriques linéaires à n variables inconnues (p peut être égal à n) de la forme

Variables inconnues, - coefficients (certains nombres réels ou complexes), - termes libres (également nombres réels ou complexes).

Cette forme d'enregistrement SLAE est appelée coordonner.

DANS forme matricielle l'écriture de ce système d'équations a la forme,
Où - la matrice principale du système, - une matrice colonnes de variables inconnues, - une matrice colonnes de termes libres.

Si nous ajoutons une colonne-matrice de termes libres à la matrice A comme (n+1)ième colonne, nous obtenons ce qu'on appelle matrice étendue systèmes d'équations linéaires. Généralement, une matrice étendue est désignée par la lettre T et la colonne de termes libres est séparée par une ligne verticale des colonnes restantes, c'est-à-dire

Résolution d'un système d'équations algébriques linéaires appelé un ensemble de valeurs de variables inconnues qui transforme toutes les équations du système en identités. L'équation matricielle pour des valeurs données de variables inconnues devient également une identité.

Si un système d’équations a au moins une solution, alors on l’appelle articulation.

Si un système d’équations n’a pas de solutions, alors on l’appelle non conjoint.

Si un SLAE a une solution unique, alors on l'appelle certain; s'il y a plus d'une solution, alors – incertain.

Si les termes libres de toutes les équations du système sont égaux à zéro , alors le système s'appelle homogène, sinon - hétérogène.

Résolution de systèmes élémentaires d'équations algébriques linéaires.

Si le nombre d'équations d'un système est égal au nombre de variables inconnues et que le déterminant de sa matrice principale n'est pas égal à zéro, alors ces SLAE seront appelés élémentaire. De tels systèmes d'équations ont une solution unique et dans le cas d'un système homogène, toutes les variables inconnues sont égales à zéro.

Nous avons commencé à étudier de tels SLAE lycée. Lors de leur résolution, nous avons pris une équation, exprimé une variable inconnue en termes d'autres et l'avons substituée dans les équations restantes, puis pris l'équation suivante, exprimé la variable inconnue suivante et l'avons substituée dans d'autres équations, et ainsi de suite. Ou bien ils ont utilisé la méthode d’addition, c’est-à-dire qu’ils ont ajouté deux ou plusieurs équations pour éliminer certaines variables inconnues. Nous ne nous attarderons pas sur ces méthodes en détail, puisqu'il s'agit essentiellement de modifications de la méthode de Gauss.

Les principales méthodes de résolution de systèmes élémentaires d'équations linéaires sont la méthode de Cramer, la méthode matricielle et la méthode de Gauss. Trions-les.

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Cramer.

Supposons que nous devions résoudre un système d'équations algébriques linéaires

dans laquelle le nombre d'équations est égal au nombre de variables inconnues et le déterminant de la matrice principale du système est différent de zéro, c'est-à-dire .

Soit le déterminant de la matrice principale du système, et - les déterminants des matrices obtenues à partir de A par remplacement 1er, 2e, …, nième colonne respectivement à la colonne des membres libres :

Avec cette notation, les variables inconnues sont calculées en utilisant les formules de la méthode de Cramer comme . C'est ainsi que l'on trouve la solution d'un système d'équations algébriques linéaires à l'aide de la méthode de Cramer.

Exemple.

La méthode de Cramer .

Solution.

La matrice principale du système a la forme . Calculons son déterminant (si nécessaire, voir l'article) :

Puisque le déterminant de la matrice principale du système est non nul, le système possède une solution unique qui peut être trouvée par la méthode de Cramer.

Composons et calculons les déterminants nécessaires (on obtient le déterminant en remplaçant la première colonne de la matrice A par une colonne de termes libres, le déterminant en remplaçant la deuxième colonne par une colonne de termes libres, et en remplaçant la troisième colonne de la matrice A par une colonne de termes libres) :

Trouver des variables inconnues à l'aide de formules :

Répondre:

Le principal inconvénient de la méthode de Cramer (si on peut la qualifier d'inconvénient) est la complexité du calcul des déterminants lorsque le nombre d'équations dans le système est supérieur à trois.

Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires à l'aide de la méthode matricielle (en utilisant une matrice inverse).

Soit un système d'équations algébriques linéaires sous forme matricielle, où la matrice A a une dimension n par n et son déterminant est non nul.

Puisque , la matrice A est inversible, c’est-à-dire qu’il existe une matrice inverse. Si nous multiplions les deux côtés de l'égalité par la gauche, nous obtenons une formule pour trouver une matrice-colonne de variables inconnues. C'est ainsi que nous avons obtenu une solution d'un système d'équations algébriques linéaires en utilisant la méthode matricielle.

Exemple.

Résoudre un système d'équations linéaires méthode matricielle.

Solution.

Réécrivons le système d'équations sous forme matricielle :

Parce que

alors le SLAE peut être résolu en utilisant la méthode matricielle. En utilisant la matrice inverse, la solution de ce système peut être trouvée comme .

Construisons une matrice inverse à partir d'une matrice à partir d'additions algébriques d'éléments de la matrice A (si nécessaire, voir l'article) :

Il reste à calculer la matrice des variables inconnues en multipliant la matrice inverse à une matrice-colonne de membres libres (si nécessaire, voir l'article) :

Répondre:

ou dans une autre notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Le principal problème lors de la recherche de solutions à des systèmes d'équations algébriques linéaires à l'aide de la méthode matricielle est la complexité de trouver la matrice inverse, en particulier pour matrices carrées ordre supérieur au tiers.

Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss.

Supposons que nous devions trouver une solution à un système de n équations linéaires avec n variables inconnues
dont le déterminant de la matrice principale est différent de zéro.

L'essence de la méthode Gauss consiste à éliminer séquentiellement les variables inconnues : d'abord, x 1 est exclu de toutes les équations du système, à partir de la seconde, puis x 2 est exclu de toutes les équations, à partir de la troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'il ne reste que la variable inconnue x n dans la dernière équation. Ce processus de transformation des équations du système pour éliminer séquentiellement les variables inconnues est appelé méthode gaussienne directe. Après avoir terminé le mouvement vers l'avant de la méthode gaussienne, x n est trouvé à partir de la dernière équation, en utilisant cette valeur de l'avant-dernière équation, x n-1 est calculé, et ainsi de suite, x 1 est trouvé à partir de la première équation. Le processus de calcul des variables inconnues lors du passage de la dernière équation du système à la première est appelé inverse de la méthode gaussienne.

Décrivons brièvement l'algorithme d'élimination des variables inconnues.

Nous supposerons cela, puisque nous pouvons toujours y parvenir en réorganisant les équations du système. Éliminons la variable inconnue x 1 de toutes les équations du système, en commençant par la seconde. Pour ce faire, à la deuxième équation du système on ajoute la première, multipliée par , à la troisième équation on ajoute la première, multipliée par , et ainsi de suite, à la nième équation on ajoute la première, multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où et .

Nous serions arrivés au même résultat si nous avions exprimé x 1 en termes d'autres variables inconnues dans la première équation du système et substitué l'expression résultante dans toutes les autres équations. Ainsi, la variable x 1 est exclue de toutes les équations, à partir de la seconde.

Ensuite, nous procédons de la même manière, mais seulement avec une partie du système résultant, qui est marquée sur la figure

Pour ce faire, à la troisième équation du système on ajoute la seconde, multipliée par , à la quatrième équation on ajoute la seconde, multipliée par , et ainsi de suite, à la nième équation on ajoute la seconde, multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme

où et . Ainsi, la variable x 2 est exclue de toutes les équations, à partir de la troisième.

Ensuite, nous procédons à l'élimination de l'inconnu x 3, tandis que nous agissons de la même manière avec la partie du système marquée sur la figure

On continue donc la progression directe de la méthode gaussienne jusqu'à ce que le système prenne la forme

A partir de ce moment on commence l'inverse de la méthode gaussienne : on calcule x n à partir de la dernière équation comme , en utilisant la valeur obtenue de x n on trouve x n-1 à partir de l'avant-dernière équation, et ainsi de suite, on trouve x 1 à partir de la première équation .

Exemple.

Résoudre un système d'équations linéaires Méthode Gauss.

Solution.

Excluons la variable inconnue x 1 des deuxième et troisième équations du système. Pour ce faire, aux deux côtés des deuxième et troisième équations, nous ajoutons les parties correspondantes de la première équation, multipliées respectivement par et par :

Maintenant, nous éliminons x 2 de la troisième équation en ajoutant à ses côtés gauche et droit les côtés gauche et droit de la deuxième équation, multipliés par :

Ceci termine le mouvement vers l'avant de la méthode de Gauss ; nous commençons le mouvement vers l'arrière.

A partir de la dernière équation du système d'équations résultant, nous trouvons x 3 :

De la deuxième équation, nous obtenons .

À partir de la première équation, nous trouvons la variable inconnue restante et complétons ainsi l'inverse de la méthode de Gauss.

Répondre:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

En général, le nombre d'équations du système p ne coïncide pas avec le nombre de variables inconnues n :

De tels SLAE peuvent n’avoir aucune solution, avoir une seule solution ou avoir une infinité de solutions. Cette affirmation s'applique également aux systèmes d'équations dont la matrice principale est carrée et singulière.

Théorème de Kronecker-Capelli.

Avant de trouver une solution à un système d’équations linéaires, il est nécessaire d’établir sa compatibilité. La réponse à la question de savoir quand SLAE est compatible et quand elle est incohérente est donnée par Théorème de Kronecker-Capelli:
Pour qu'un système de p équations à n inconnues (p peut être égal à n) soit cohérent, il faut et suffisant que le rang de la matrice principale du système soit égal au rang de la matrice étendue, c'est-à-dire , Rang(A)=Rang(T).

Considérons, à titre d'exemple, l'application du théorème de Kronecker-Capelli pour déterminer la compatibilité d'un système d'équations linéaires.

Exemple.

Découvrez si le système d'équations linéaires a solutions.

Solution.

. Utilisons la méthode des mineurs limitrophes. Mineur du second ordre différent de zéro. Regardons les mineurs de troisième ordre qui le bordent :

Puisque tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, le rang de la matrice principale est égal à deux.

À son tour, le rang de la matrice étendue est égal à trois, puisque le mineur est du troisième ordre

différent de zéro.

Ainsi, Rang(A), donc, en utilisant le théorème de Kronecker-Capelli, nous pouvons conclure que le système original d'équations linéaires est incohérent.

Répondre:

Le système n'a pas de solutions.

Nous avons donc appris à établir l'incohérence d'un système en utilisant le théorème de Kronecker-Capelli.

Mais comment trouver une solution à un SLAE si sa compatibilité est établie ?

Pour ce faire, nous avons besoin du concept de base mineure d’une matrice et d’un théorème sur le rang d’une matrice.

Le mineur d’ordre le plus élevé de la matrice A, différent de zéro, est appelé basique.

De la définition d'une base mineure il résulte que son ordre est égal au rang de la matrice. Pour une matrice A non nulle il peut y avoir plusieurs bases mineures, une mineur de base Il y a toujours.

Par exemple, considérons la matrice .

Tous les mineurs du troisième ordre de cette matrice sont égaux à zéro, puisque les éléments de la troisième ligne de cette matrice sont la somme des éléments correspondants des première et deuxième lignes.

Les mineurs de second ordre suivants sont basiques, car non nuls

Mineurs ne sont pas basiques, puisqu’ils sont égaux à zéro.

Théorème du rang matriciel.

Si le rang d'une matrice d'ordre p par n est égal à r, alors tous les éléments de ligne (et de colonne) de la matrice qui ne forment pas la base mineure choisie sont exprimés linéairement en termes d'éléments de ligne (et de colonne) correspondants formant la base mineure.

Que nous dit le théorème du rang matriciel ?

Si, selon le théorème de Kronecker-Capelli, nous avons établi la compatibilité du système, alors nous choisissons n'importe quelle base mineure de la matrice principale du système (son ordre est égal à r), et excluons du système toutes les équations qui font ne constitue pas la base mineure sélectionnée. Le SLAE ainsi obtenu sera équivalent à l'original, puisque les équations rejetées sont toujours redondantes (selon le théorème du rang matriciel, elles sont une combinaison linéaire des équations restantes).

En conséquence, après avoir écarté les équations inutiles du système, deux cas sont possibles.

Si le nombre d'équations r dans le système résultant est égal au nombre de variables inconnues, alors il sera définitif et la seule solution pourra être trouvée par la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Exemple.

.

Solution.

Rang de la matrice principale du système est égal à deux, puisque le mineur est du second ordre différent de zéro. Rang matriciel étendu est également égal à deux, puisque le seul mineur du troisième ordre est zéro

et le mineur du second ordre considéré ci-dessus est différent de zéro. Sur la base du théorème de Kronecker-Capelli, nous pouvons affirmer la compatibilité du système original d'équations linéaires, puisque Rang(A)=Rang(T)=2.

Comme base mineure nous prenons . Il est formé des coefficients des première et deuxième équations :


La troisième équation du système ne participe pas à la formation de la base mineure, on l'exclut donc du système basé sur le théorème sur le rang de la matrice :


C'est ainsi que nous avons obtenu un système élémentaire d'équations algébriques linéaires. Résolvons-le en utilisant la méthode de Cramer :


Répondre:

x1 = 1, x2 = 2.

Si le nombre d'équations r dans le SLAE résultant est inférieur au nombre de variables inconnues n, alors sur les côtés gauches des équations, nous laissons les termes qui forment la base mineure et nous transférons les termes restants vers les côtés droits du équations du système de signe opposé.

Les variables inconnues (r d'entre elles) restant sur les côtés gauches des équations sont appelées principal.

Les variables inconnues (il y a n - r pièces) qui se trouvent sur les côtés droits sont appelées gratuit.

Nous pensons maintenant que les variables inconnues libres peuvent prendre des valeurs arbitraires, tandis que les r variables inconnues principales seront exprimées à travers des variables inconnues libres d'une manière unique. Leur expression peut être trouvée en résolvant le SLAE résultant en utilisant la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Regardons cela avec un exemple.

Exemple.

Résoudre un système d'équations algébriques linéaires .

Solution.

Trouvons le rang de la matrice principale du système par la méthode des mineurs limitrophes. Prenons un 1 1 = 1 comme mineur non nul du premier ordre. Commençons par rechercher un mineur non nul du second ordre limitrophe de ce mineur :


C’est ainsi que nous avons trouvé un mineur non nul du second ordre. Commençons par rechercher un mineur non nul du troisième ordre :


Ainsi, le rang de la matrice principale est de trois. Le rang de la matrice étendue est également égal à trois, c'est-à-dire que le système est cohérent.

Nous prenons comme base le mineur non nul trouvé du troisième ordre.

Pour plus de clarté, nous montrons les éléments qui constituent la base mineure :


Nous laissons les termes impliqués dans la base mineure du côté gauche des équations du système, et transférons le reste avec des signes opposés vers les côtés droits :


Donnons aux variables inconnues libres x 2 et x 5 des valeurs arbitraires, c'est-à-dire que nous acceptons , où sont des nombres arbitraires. Dans ce cas, le SLAE prendra la forme


Résolvons le système élémentaire d’équations algébriques linéaires résultant en utilisant la méthode de Cramer :


Ainsi, .

Dans votre réponse, n'oubliez pas d'indiquer les variables inconnues libres.

Répondre:

Où sont les nombres arbitraires.

Résumer.

Pour résoudre un système d’équations algébriques linéaires générales, nous déterminons d’abord sa compatibilité à l’aide du théorème de Kronecker – Capelli. Si le rang de la matrice principale n'est pas égal au rang de la matrice étendue, alors on conclut que le système est incompatible.

Si le rang de la matrice principale est égal au rang de la matrice étendue, alors on sélectionne une base mineure et écarte les équations du système qui ne participent pas à la formation de la base mineure sélectionnée.

Si l'ordre de la base mineure est égal au nombre de variables inconnues, alors le SLAE a une solution unique, qui peut être trouvée par n'importe quelle méthode que nous connaissons.

Si l'ordre de la base mineure est inférieur au nombre de variables inconnues, alors sur le côté gauche des équations du système, nous laissons les termes avec les principales variables inconnues, transférons les termes restants vers la droite et donnons des valeurs arbitraires à les variables inconnues libres. A partir du système d'équations linéaires résultant, nous trouvons les principales inconnues en utilisant la méthode de Cramer, la méthode matricielle ou la méthode de Gauss.

Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

La méthode de Gauss peut être utilisée pour résoudre des systèmes d’équations algébriques linéaires de toute nature sans tester au préalable leur cohérence. Le processus d'élimination séquentielle des variables inconnues permet de conclure à la fois sur la compatibilité et l'incompatibilité du SLAE, et si une solution existe, il permet de la trouver.

D'un point de vue informatique, la méthode gaussienne est préférable.

Regarde ça Description détaillée et analysé des exemples dans l'article la méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires de forme générale.

Écrire une solution générale à des systèmes algébriques linéaires homogènes et inhomogènes en utilisant les vecteurs du système fondamental de solutions.

Dans cette section, nous parlerons de systèmes simultanés homogènes et inhomogènes d'équations algébriques linéaires qui ont un nombre infini de solutions.

Traitons d'abord des systèmes homogènes.

Système fondamental de solutions un système homogène de p équations algébriques linéaires avec n variables inconnues est un ensemble de (n – r) solutions linéairement indépendantes de ce système, où r est l'ordre de la base mineure de la matrice principale du système.

Si nous désignons les solutions linéairement indépendantes d'un SLAE homogène comme X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sont des matrices en colonnes de dimension n par 1) , alors la solution générale de ce système homogène est représentée comme une combinaison linéaire de vecteurs du système fondamental de solutions avec arbitraire coefficients constants C 1, C 2, ..., C (n-r), c'est-à-dire .

Que signifie le terme solution générale d'un système homogène d'équations algébriques linéaires (oroslau) ?

Le sens est simple : la formule définit tout solutions possibles le SLAE d'origine, en d'autres termes, en prenant n'importe quel ensemble de valeurs de constantes arbitraires C 1, C 2, ..., C (n-r), selon la formule nous obtiendrons l'une des solutions du SLAE homogène d'origine.

Ainsi, si nous trouvons un système fondamental de solutions, alors nous pouvons définir toutes les solutions de ce SLAE homogène comme .

Montrons le processus de construction d'un système fondamental de solutions à un SLAE homogène.

Nous sélectionnons la base mineure du système original d'équations linéaires, excluons toutes les autres équations du système et transférons tous les termes contenant des variables inconnues libres vers les membres droits des équations du système de signes opposés. Donnons aux variables inconnues libres les valeurs 1,0,0,...,0 et calculons les principales inconnues en résolvant le système élémentaire d'équations linéaires résultant de n'importe quelle manière, par exemple en utilisant la méthode Cramer. Cela donnera X (1) - la première solution du système fondamental. Si nous donnons aux inconnues libres les valeurs 0,1,0,0,…,0 et calculons les principales inconnues, nous obtenons X (2) . Et ainsi de suite. Si nous attribuons les valeurs 0,0,…,0,1 aux variables inconnues libres et calculons les principales inconnues, nous obtenons X (n-r) . De cette manière, un système fondamental de solutions à un SLAE homogène sera construit et sa solution générale pourra s'écrire sous la forme .

Pour les systèmes inhomogènes d'équations algébriques linéaires, la solution générale est représentée sous la forme , où est la solution générale du système homogène correspondant, et est la solution particulière du SLAE inhomogène original, que nous obtenons en donnant aux inconnues libres les valeurs ​​0,0,...,0 et calcul des valeurs des principales inconnues.

Regardons des exemples.

Exemple.

Trouver le système fondamental de solutions et la solution générale d'un système homogène d'équations algébriques linéaires .

Solution.

Le rang de la matrice principale des systèmes homogènes d'équations linéaires est toujours égal au rang de la matrice étendue. Trouvons le rang de la matrice principale en utilisant la méthode des mineurs limitrophes. Comme mineur non nul du premier ordre, on prend l'élément a 1 1 = 9 de la matrice principale du système. Trouvons le mineur limite non nul du deuxième ordre :

Un mineur du second ordre, différent de zéro, a été retrouvé. Parcourons les mineurs du troisième ordre qui le bordent à la recherche d'un non nul :

Tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, donc le rang de la matrice principale et étendue est égal à deux. Prenons . Pour plus de clarté, notons les éléments du système qui le composent :

La troisième équation du SLAE original ne participe pas à la formation de la base mineure, elle peut donc être exclue :

On laisse les termes contenant les principales inconnues du côté droit des équations, et on transfère les termes à inconnues libres du côté droit :

Construisons un système fondamental de solutions au système homogène original d'équations linéaires. Le système fondamental de solutions de ce SLAE consiste en deux solutions, puisque le SLAE original contient quatre variables inconnues, et l'ordre de sa base mineure est égal à deux. Pour trouver X (1), on donne aux inconnues libres les valeurs x 2 = 1, x 4 = 0, puis on trouve les principales inconnues du système d'équations
.

Solution trouver à l’aide d’une calculatrice. L'algorithme de solution est le même que pour les systèmes d'équations linéaires inhomogènes.
En opérant uniquement avec des lignes, on retrouve le rang de la matrice, la base mineure ; Nous déclarons les inconnues dépendantes et libres et trouvons une solution générale.

Exemple 2. Trouver la solution générale et le système fondamental de solutions du système
Solution.



,
il s'ensuit que le rang de la matrice est 3 et égal au nombre d'inconnues. Cela signifie que le système n’a pas d’inconnues libres et a donc une solution unique – triviale.

Exercice . Explorez et résolvez un système d'équations linéaires.
Exemple 4

Exercice . Trouver les solutions générales et particulières de chaque système.
Solution.Écrivons la matrice principale du système :

Tâche . Trouver un ensemble fondamental de solutions à un système homogène d'équations linéaires.

Nous continuerons à perfectionner notre technologie transformations élémentaires sur système homogène d'équations linéaires.
Sur la base des premiers paragraphes, le matériel peut sembler ennuyeux et médiocre, mais cette impression est trompeuse. En plus du développement ultérieur des techniques, il y aura beaucoup de nouvelles informations, alors essayez de ne pas négliger les exemples de cet article.

Qu'est-ce qu'un système homogène d'équations linéaires ?

La réponse se suggère. Un système d'équations linéaires est homogène si le terme libre tout le monde l'équation du système est nulle. Par exemple:

Il est absolument clair que un système homogène est toujours cohérent, c'est-à-dire qu'il a toujours une solution. Et tout d’abord, ce qui attire l’attention, c’est ce qu’on appelle banal solution . Trivial, pour ceux qui ne comprennent pas du tout le sens de l'adjectif, signifie sans frimeur. Pas académiquement, bien sûr, mais intelligible =) ...Pourquoi tourner autour du pot, voyons si ce système a d'autres solutions :

Exemple 1

Solution: pour résoudre un système homogène il faut écrire matrice du système et avec l'aide de transformations élémentaires, amenez-le à une forme par étapes. Veuillez noter qu'ici, il n'est pas nécessaire d'écrire la barre verticale et la colonne zéro des termes libres - après tout, peu importe ce que vous faites avec les zéros, ils resteront des zéros :

(1) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –2. La première ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –3.

(2) La deuxième ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –1.

Diviser la troisième ligne par 3 n'a pas beaucoup de sens.

Grâce à des transformations élémentaires, un système homogène équivalent est obtenu , et, en utilisant l'inverse de la méthode gaussienne, il est facile de vérifier que la solution est unique.

Répondre:

Formulons un critère évident: un système homogène d'équations linéaires a juste une solution triviale, Si rang de la matrice du système(dans ce cas 3) est égal au nombre de variables (dans ce cas – 3 pièces).

Réchauffons-nous et accordons notre radio à la vague des transformations élémentaires :

Exemple 2

Résoudre un système homogène d'équations linéaires

Pour enfin consolider l’algorithme, analysons la tâche finale :

Exemple 7

Résolvez un système homogène, écrivez la réponse sous forme vectorielle.

Solution: écrivons la matrice du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

(1) Le signe de la première ligne a été modifié. J'attire encore une fois l'attention sur une technique rencontrée à plusieurs reprises, qui permet de simplifier considérablement l'action suivante.

(1) La première ligne a été ajoutée aux 2ème et 3ème lignes. La première ligne, multipliée par 2, a été ajoutée à la 4ème ligne.

(3) Les trois dernières lignes sont proportionnelles, deux d'entre elles ont été supprimées.

En conséquence, une matrice d'étapes standard est obtenue et la solution continue le long de la piste moletée :

– variables de base ;
– variables libres.

Exprimons les variables de base en termes de variables libres. De la 2ème équation :

– remplacer dans la 1ère équation :

La solution générale est donc :

Puisque dans l'exemple considéré il y a trois variables libres, le système fondamental contient trois vecteurs.

Remplaçons un triple de valeurs dans la solution générale et obtenir un vecteur dont les coordonnées satisfont chaque équation du système homogène. Et encore une fois, je répète qu'il est fortement conseillé de vérifier chaque vecteur reçu - cela ne prendra pas beaucoup de temps, mais cela vous protégera complètement des erreurs.

Pour un triple de valeurs trouver le vecteur

Et enfin pour les trois on obtient le troisième vecteur :

Répondre: , Où

Ceux qui souhaitent éviter les valeurs fractionnaires peuvent envisager des triplets et obtenez une réponse sous une forme équivalente :

En parlant de fractions. Regardons la matrice obtenue dans le problème et demandons-nous : est-il possible de simplifier la solution ultérieure ? Après tout, ici nous avons d'abord exprimé la variable de base par des fractions, puis par des fractions la variable de base, et, je dois dire, ce processus n'était ni le plus simple ni le plus agréable.

Deuxième solution:

L'idée est d'essayer choisir d'autres variables de base. Regardons la matrice et remarquons-en deux dans la troisième colonne. Alors pourquoi ne pas mettre un zéro en haut ? Effectuons encore une transformation élémentaire :

Laisser M 0 – ensemble de solutions à un système homogène (4) d’équations linéaires.

Définition 6.12. Vecteurs Avec 1 ,Avec 2 , …, avec p, qui sont des solutions d'un système homogène d'équations linéaires, sont appelées ensemble fondamental de solutions(en abrégé FNR), si

1) vecteurs Avec 1 ,Avec 2 , …, avec p linéairement indépendant (c'est-à-dire qu'aucun d'entre eux ne peut être exprimé par rapport aux autres) ;

2) toute autre solution d'un système homogène d'équations linéaires peut être exprimée en termes de solutions Avec 1 ,Avec 2 , …, avec p.

Notez que si Avec 1 ,Avec 2 , …, avec p– n'importe quel f.n.r., alors l'expression k 1× Avec 1 + k 2× Avec 2 + … + kp× avec p vous pouvez décrire l'ensemble M 0 solutions au système (4), c'est pourquoi on l'appelle vue générale de la solution système (4).

Théorème 6.6. Tout système homogène indéterminé d’équations linéaires possède un ensemble fondamental de solutions.

La manière de trouver l’ensemble fondamental de solutions est la suivante :

Trouver une solution générale à un système homogène d'équations linéaires ;

Construire ( n – r) solutions partielles de ce système, tandis que les valeurs des inconnues libres doivent former une matrice identité ;

Rédiger Forme générale solutions incluses dans M 0 .

Exemple 6.5. Trouvez un ensemble fondamental de solutions au système suivant :

Solution. Trouvons une solution générale à ce système.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Il y a cinq inconnues dans ce système ( n= 5), parmi lesquels il existe deux inconnues principales ( r= 2), il y a trois inconnues libres ( n – r), c'est-à-dire que l'ensemble de solutions fondamentales contient trois vecteurs de solution. Construisons-les. Nous avons X 1 et X 3 – principales inconnues, X 2 , X 4 , X 5 – inconnues gratuites

Valeurs des inconnues libres X 2 , X 4 , X 5 forment la matrice d’identité E troisième ordre. J'ai ces vecteurs Avec 1 ,Avec 2 , Avec 3 formulaire f.n.r. de ce système. Alors l’ensemble des solutions de ce système homogène sera M 0 = {k 1× Avec 1 + k 2× Avec 2 + k 3× Avec 3 , k 1 , k 2 , k 3О R).

Voyons maintenant les conditions d'existence de solutions non nulles d'un système homogène d'équations linéaires, c'est-à-dire les conditions d'existence d'un ensemble fondamental de solutions.

Un système homogène d'équations linéaires a des solutions non nulles, c'est-à-dire qu'il est incertain si

1) le rang de la matrice principale du système est inférieur au nombre d'inconnues ;

2) dans un système homogène d'équations linéaires, le nombre d'équations est inférieur au nombre d'inconnues ;

3) si dans un système homogène d'équations linéaires le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues et que le déterminant de la matrice principale est égal à zéro (c'est-à-dire | UN| = 0).

Exemple 6.6. A quelle valeur de paramètre un système homogène d'équations linéaires a des solutions non nulles ?

Solution. Composons la matrice principale de ce système et trouvons son déterminant : = = 1×(–1) 1+1 × = – UN– 4. Le déterminant de cette matrice est égal à zéro à un = –4.

Répondre: –4.

7. Arithmétique n espace vectoriel dimensionnel

Concepts de base

Dans les sections précédentes, nous avons déjà rencontré le concept d'un ensemble de nombres réels disposés dans un certain ordre. Il s'agit d'une matrice de lignes (ou matrice de colonnes) et d'une solution d'un système d'équations linéaires avec n inconnu. Ces informations peuvent être résumées.

Définition 7.1. n-vecteur arithmétique dimensionnel appelé un ensemble ordonné de n nombres réels.

Moyens UN= (une 1 , une 2 , …, une n), où un jeО R, je = 1, 2, …, n– vue générale du vecteur. Nombre n appelé dimension vecteurs et nombres a je sont appelés les siens coordonnées.

Par exemple: UN= (1, –8, 7, 4, ) – vecteur à cinq dimensions.

Tout est prêt n-les vecteurs dimensionnels sont généralement désignés par Rn.

Définition 7.2. Deux vecteurs UN= (une 1 , une 2 , …, une n) Et b= (b 1 , b 2 , …, b n) de même dimension égal si et seulement si leurs coordonnées correspondantes sont égales, c'est-à-dire a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n=b n.

Définition 7.3.Montant deux n vecteurs dimensionnels UN= (une 1 , une 2 , …, une n) Et b= (b 1 , b 2 , …, b n) est appelé vecteur un + b= (une 1 + b 1, une 2 + b 2, …, une n+b n).

Définition 7.4. Le travail nombre réel k vecteur UN= (une 1 , une 2 , …, une n) est appelé vecteur k× UN = (k×a 1, k×a 2 , …, k×une n)

Définition 7.5. Vecteur Ô= (0, 0, …, 0) est appelé zéro(ou vecteur nul).

Il est facile de vérifier que les actions (opérations) consistant à additionner des vecteurs et à les multiplier par un nombre réel ont les propriétés suivantes : " un, b, c Î Rn, " k, jeО R :

1) un + b = b + un;

2) un + (b+ c) = (un + b) + c;

3) un + Ô = un;

4) un+ (–un) = Ô;

5) 1× un = un, 1 О R;

6) k×( je× un) = je×( k× un) = (je× k)× un;

7) (k + je)× un = k× un + je× un;

8) k×( un + b) = k× un + k× b.

Définition 7.6. Un tas de Rn avec les opérations d'addition de vecteurs et de multiplication par un nombre réel qui y est donné s'appelle espace vectoriel arithmétique à n dimensions.