Faits intéressants sur les fractions. Histoire des fractions

Les fractions sont toujours considérées comme l’un des domaines les plus difficiles des mathématiques. L'histoire des fractions remonte à plus de mille ans. La capacité de diviser un tout en parties est née sur le territoire l'Egypte ancienne et Babylone. Au fil des années, les opérations effectuées avec des fractions sont devenues plus complexes et la forme de leur enregistrement a changé. Chacun avait ses propres caractéristiques dans sa « relation » avec cette branche des mathématiques.

Qu'est-ce qu'une fraction ?

Lorsque le besoin s'est fait sentir de diviser un tout en parties sans effort supplémentaire, des fractions sont apparues. L'histoire des fractions est inextricablement liée à la solution des problèmes utilitaires. Le terme « fraction » lui-même a des racines arabes et vient d’un mot signifiant « briser, diviser ». Dans ce sens, peu de choses ont changé depuis l’Antiquité. Définition moderne ressemble à ceci : une fraction est une partie ou la somme des parties d’une unité. En conséquence, les exemples avec des fractions représentent une exécution séquentielle opérations mathématiques avec des fractions de nombres.

Aujourd'hui, il existe deux manières de les enregistrer. sont apparus à des époques différentes : les premiers sont plus anciens.

Venu depuis des temps immémoriaux

Pour la première fois, ils commencèrent à opérer avec des fractions en Egypte et à Babylone. L'approche des mathématiciens des deux pays présentait des différences significatives. Cependant, le début s’est fait de la même manière dans les deux cas. La première fraction était la moitié ou 1/2. Puis un quart surgit, un troisième, et ainsi de suite. Selon les fouilles archéologiques, l'histoire de l'origine des fractions remonte à environ 5 000 ans. Pour la première fois, des fractions d'un nombre sont trouvées dans des papyrus égyptiens et sur des tablettes d'argile babyloniennes.

L'Egypte ancienne

Types fractions ordinaires aujourd'hui, ils comprennent également les soi-disant égyptiens. Ils représentent la somme de plusieurs termes de la forme 1/n. Le numérateur est toujours un et le dénominateur est un nombre naturel. Il est difficile de deviner que de telles fractions sont apparues dans l’Egypte ancienne. Lors du calcul, nous avons essayé d'écrire toutes les actions sous la forme de tels montants (par exemple, 1/2 + 1/4 + 1/8). Seules les fractions 2/3 et 3/4 avaient des désignations distinctes ; le reste était divisé en termes. Il existait des tableaux spéciaux dans lesquels les fractions d'un nombre étaient présentées comme une somme.

La plus ancienne référence connue à un tel système se trouve dans le papyrus mathématique Rhind, datant du début du deuxième millénaire avant JC. Il comprend un tableau des fractions et Problèmes mathématiques avec des solutions et des réponses présentées sous forme de sommes de fractions. Les Égyptiens savaient additionner, diviser et multiplier des fractions d’un nombre. Les fractions de la vallée du Nil étaient écrites à l’aide de hiéroglyphes.

La représentation d'une fraction d'un nombre comme une somme de termes de la forme 1/n, caractéristique de l'Egypte ancienne, n'était pas utilisée uniquement par les mathématiciens de ce pays. Jusqu'au Moyen Âge, les fractions égyptiennes étaient utilisées en Grèce et dans d'autres pays.

Développement des mathématiques à Babylone

Les mathématiques étaient différentes dans le royaume babylonien. L'histoire de l'émergence des fractions ici est directement liée aux particularités du système numérique hérité par l'État ancien de son prédécesseur, la civilisation sumérienne-akkadienne. La technologie de calcul à Babylone était plus pratique et plus avancée qu’en Égypte. Les mathématiques dans ce pays ont résolu un éventail de problèmes beaucoup plus large.

Les réalisations des Babyloniens d'aujourd'hui peuvent être jugées par les tablettes d'argile survivantes remplies de caractères cunéiformes. Grâce aux caractéristiques du matériau, ils nous sont parvenus en grandes quantités. Selon certains, un théorème bien connu aurait été découvert à Babylone avant Pythagore, ce qui témoignerait sans aucun doute du développement de la science dans cet état antique.

Fractions : l'histoire des fractions à Babylone

Le système numérique à Babylone était sexagésimal. Chaque nouveau chiffre différait du précédent de 60. Ce système a été conservé dans monde moderne pour indiquer l'heure et les angles. Les fractions étaient également sexagésimales. Des icônes spéciales ont été utilisées pour l'enregistrement. Comme en Égypte, les exemples de fractions contenaient des symboles distincts pour 1/2, 1/3 et 2/3.

Le système babylonien n’a pas disparu avec l’État. Les fractions écrites dans le système à 60 chiffres étaient utilisées par les astronomes et mathématiciens anciens et arabes.

La Grèce ancienne

L’histoire des fractions ordinaires était peu enrichie dans la Grèce antique. Les habitants de la Grèce croyaient que les mathématiques ne devaient fonctionner qu’avec des nombres entiers. Par conséquent, les expressions avec des fractions n'ont pratiquement jamais été trouvées sur les pages des traités grecs anciens. Cependant, les Pythagoriciens ont apporté une certaine contribution à cette branche des mathématiques. Ils considéraient les fractions comme des rapports ou des proportions, et l'unité était également considérée comme indivisible. Pythagore et ses disciples construisirent théorie générale fractions, a appris à effectuer les quatre opérations arithmétiques, ainsi qu'à comparer des fractions en les réduisant à un dénominateur commun.

Saint Empire romain

Le système romain de fractions était associé à une mesure de poids appelée « cul ». Il était divisé en 12 actions. 1/12 d’as s’appelait une once. Il y avait 18 noms pour les fractions. En voici quelques uns:

demi-finale - un demi-assa ;

sextante - la sixième partie du cul ;

sept onces - une demi-once ou 1/24 cul.

L’inconvénient d’un tel système était l’impossibilité de représenter un nombre sous forme de fraction avec un dénominateur de 10 ou 100. Les mathématiciens romains ont surmonté la difficulté en utilisant des pourcentages.

Écrire des fractions communes

Dans l’Antiquité, les fractions s’écrivaient déjà de manière familière : un nombre sur un autre. Il y avait cependant une différence significative. Le numérateur était situé en dessous du dénominateur. Ils ont commencé à écrire les fractions de cette façon dans l’Inde ancienne. La méthode moderne était utilisée par les Arabes. Mais aucun des peuples nommés n’a utilisé de ligne horizontale pour séparer le numérateur et le dénominateur. Il apparaît pour la première fois dans les écrits de Léonard de Pise, mieux connu sous le nom de Fibonacci, en 1202.

Chine

Si l'histoire de l'émergence des fractions ordinaires a commencé en Égypte, les décimales sont apparues pour la première fois en Chine. Dans le Céleste Empire, leur utilisation a commencé vers le IIIe siècle avant JC. Histoire décimales a commencé avec le mathématicien chinois Liu Hui, qui a proposé de les utiliser pour extraire des racines carrées.

Au IIIe siècle après JC, les fractions décimales ont commencé à être utilisées en Chine pour calculer le poids et le volume. Peu à peu, ils ont commencé à pénétrer de plus en plus profondément dans les mathématiques. En Europe, cependant, les décimales ont été utilisées bien plus tard.

Al-Kashi de Samarcande

Indépendamment des prédécesseurs chinois, les fractions décimales ont été découvertes par l'astronome al-Kashi de ville antique Samarcande. Il a vécu et travaillé au XVe siècle. Le scientifique a exposé sa théorie dans le traité « La clé de l’arithmétique », publié en 1427. Al-Kashi a suggéré d'utiliser nouvel uniformeécrire des fractions. Les parties entières et fractionnaires étaient désormais écrites sur la même ligne. L'astronome de Samarkand n'a pas utilisé de virgule pour les séparer. Il a écrit le nombre entier et la partie fractionnaire dans différentes couleurs en utilisant de l'encre noire et rouge. Parfois, al-Kashi utilisait également une ligne verticale pour se séparer.

Décimales en Europe

Un nouveau type de fractions a commencé à apparaître dans les travaux des mathématiciens européens au XIIIe siècle. Il convient de noter qu'ils ne connaissaient pas les œuvres d'Al-Kashi, ni l'invention des Chinois. Les fractions décimales sont apparues dans les écrits de Jordan Nemorarius. Ensuite, ils ont été utilisés dès le XVIe siècle par un scientifique français qui a écrit le « Canon mathématique », qui contenait des tables trigonométriques. Le Viet y utilisait des fractions décimales. Pour séparer les parties entières et fractionnaires, le scientifique a utilisé une barre verticale, ainsi que différentes tailles de police.

Il ne s’agissait cependant que de cas particuliers d’utilisation scientifique. Les fractions décimales ont commencé à être utilisées un peu plus tard en Europe pour résoudre des problèmes quotidiens. Cela s'est produit grâce au scientifique néerlandais Simon Stevin à la fin du XVIe siècle. Il publia l'ouvrage mathématique « Dixième » en 1585. Le scientifique y expose la théorie de l'utilisation des fractions décimales en arithmétique, dans le système monétaire et pour déterminer les poids et mesures.

Point, point, virgule

Stevin n’a pas non plus utilisé de virgule. Il sépare les deux parties de la fraction à l’aide d’un zéro entouré d’un cercle.

La première fois qu’une virgule séparait deux parties d’une fraction décimale, c’était en 1592. En Angleterre, cependant, on a commencé à utiliser un point à la place. Aux États-Unis, les décimales s’écrivent encore de cette façon.

L'un des initiateurs de l'utilisation des deux signes de ponctuation pour séparer les parties entières et fractionnaires fut le mathématicien écossais John Napier. Il exprima sa proposition en 1616-1617. Le scientifique allemand a également utilisé la virgule

Fractions en Russie

Sur le sol russe, le premier mathématicien à expliquer la division du tout en parties fut le moine de Novgorod Kirik. En 1136, il écrivit un ouvrage dans lequel il expose la méthode de « compter les années ». Kirik a traité des questions de chronologie et de calendrier. Dans son ouvrage, il cite également la division de l'heure en parties : quintes, vingt-cinquièmes, etc.

La division du tout en parties était utilisée pour calculer le montant de l'impôt aux XVe-XVIIe siècles. Les opérations d'addition, de soustraction, de division et de multiplication avec parties fractionnaires ont été utilisées.

Le mot « fraction » lui-même est apparu en Russie au 8ème siècle. Il vient du verbe « diviser, diviser en parties ». Nos ancêtres utilisaient des mots spéciaux pour nommer les fractions. Par exemple, 1/2 était désigné comme moitié ou moitié, 1/4 comme quart, 1/8 comme moitié, 1/16 comme moitié et ainsi de suite.

La théorie complète des fractions, pas très différente de la théorie moderne, a été présentée dans le premier manuel d'arithmétique, écrit en 1701 par Léonty Filippovich Magnitsky. « L'arithmétique » se composait de plusieurs parties. L'auteur parle en détail des fractions dans la section « Sur les nombres brisés ou avec fractions ». Magnitski donne des opérations avec des numéros « cassés » et leurs différentes désignations.

Aujourd’hui, les fractions comptent toujours parmi les branches mathématiques les plus difficiles. L’histoire des fractions n’a pas non plus été simple. Différents peuples, parfois indépendamment les uns des autres, et parfois empruntant l'expérience de leurs prédécesseurs, en sont venus à la nécessité d'introduire, de maîtriser et d'utiliser des fractions de nombres. L'étude des fractions s'est toujours développée à partir d'observations pratiques et grâce à des problèmes urgents. Il fallait partager le pain, délimiter des parcelles égales, calculer les impôts, mesurer le temps, etc. Les caractéristiques de l'utilisation des fractions et des opérations mathématiques avec celles-ci dépendaient du système numérique de l'État et de niveau général développement des mathématiques. D'une manière ou d'une autre, après plus de mille ans, la section d'algèbre consacrée aux fractions de nombres a été formée, développée et est utilisée aujourd'hui avec succès pour une variété de besoins, à la fois pratiques et théoriques.

Établissement d'enseignement budgétaire municipal

école secondaire n°2

ABSTRAIT

discipline : "Mathématiques"

sur ce sujet: "Fractions inhabituelles"

Effectué :

élève de 5ème année

Frolova Natalia

Superviseur:

Drouchtchenko E.A.

professeur de mathématiques

Strejevoy, région de Tomsk

Introduction

Cette année, nous avons commencé à apprendre les fractions. Des nombres très inhabituels, commençant par leur notation inhabituelle et se terminant par des règles complexes pour les gérer. Même si dès la première connaissance avec eux, il était clair qu'on ne pouvait pas s'en passer, même dans vie ordinaire, puisque chaque jour nous sommes confrontés au problème de la division d'un tout en parties, et même à un certain moment il m'a semblé que nous n'étions plus entourés de nombres entiers, mais de nombres fractionnaires. Avec eux, le monde s'est avéré plus complexe, mais en même temps plus intéressant. J'ai quelques questions. Les fractions sont-elles nécessaires ? Sont-ils importants ? Je voulais savoir d'où nous venaient les fractions, qui avait proposé les règles pour travailler avec elles. Bien que le mot inventé ne soit probablement pas très approprié, car en mathématiques, tout doit être vérifié, puisque toutes les sciences et industries de nos vies sont basées sur des lois mathématiques claires qui s'appliquent dans le monde entier. Il ne se peut pas que dans notre pays, l'addition de fractions soit effectuée selon une règle, mais quelque part en Angleterre, c'est différent.

En travaillant sur l'essai, j'ai dû faire face à quelques difficultés : avec de nouveaux termes et concepts, j'ai dû me creuser la tête, résoudre des problèmes et analyser les solutions proposées par les anciens scientifiques. De plus, lors de la saisie, j'ai été confronté pour la première fois à la nécessité de saisir des fractions et des expressions fractionnaires.

Le but de mon essai : retracer l'histoire du développement du concept de fraction ordinaire, montrer la nécessité et l'importance d'utiliser des fractions ordinaires dans la résolution de problèmes pratiques. Les tâches que je me suis fixées : collecter du matériel sur le sujet de l'essai et sa systématisation, étudier des problèmes anciens, résumer le matériel traité, préparer le matériel généralisé, préparer une présentation, présenter le résumé.

Mon travail se compose de trois chapitres. J'ai étudié et traité des documents provenant de 7 sources, y compris de la littérature pédagogique, scientifique et encyclopédique, ainsi qu'un site Web. J'ai conçu une application qui contient une sélection de problèmes provenant de sources anciennes, des problèmes intéressants avec des fractions ordinaires, et j'ai également préparé une présentation réalisée dans l'éditeur Power Point.

je. De l'histoire des fractions ordinaires

1.1 L'émergence des fractions

De nombreuses études historiques et mathématiques montrent que les nombres fractionnaires sont apparus chez différents peuples dans l’Antiquité, peu après les nombres naturels. L'apparition des fractions est associée à des besoins pratiques : les tâches où il fallait diviser en parties étaient très courantes. De plus, dans la vie, une personne devait non seulement compter les objets, mais aussi mesurer les quantités. Personnes rencontrées avec des mesures de longueurs, de surfaces terrains, volumes, masse des corps. Dans ce cas, il arrivait que l'unité de mesure ne corresponde pas un nombre entier de fois à la valeur mesurée. Par exemple, en mesurant la longueur d'une section en pas, une personne a rencontré le phénomène suivant : dix pas rentrent dans la longueur et le reste est inférieur à un pas. Par conséquent, la deuxième raison importante de l'apparition de nombres fractionnaires doit être considérée comme la mesure de quantités à l'aide de l'unité de mesure sélectionnée.

Ainsi, dans toutes les civilisations, le concept de fraction est né du processus de division d’un tout en parties égales. Le terme russe « fraction », comme ses analogues dans d'autres langues, vient du lat. fractura, qui est à son tour une traduction d'un terme arabe ayant le même sens : briser, fragmenter. Par conséquent, les premières fractions étaient probablement partout des fractions de la forme 1/n. La poursuite du développement va naturellement dans le sens de considérer ces fractions comme des unités à partir desquelles des fractions m/n peuvent être composées - nombres rationnels. Cependant, cette voie n’a pas été suivie par toutes les civilisations : par exemple, elle n’a jamais été réalisée dans les mathématiques égyptiennes anciennes.

La première fraction à laquelle les gens ont été présentés était la moitié. Bien que les noms de toutes les fractions suivantes soient liés aux noms de leurs dénominateurs (trois est « tiers », quatre est « quart », etc.), ce n'est pas vrai pour la moitié : son nom dans toutes les langues n'a rien à voir. faire avec le mot «deux».

Le système d'enregistrement des fractions et les règles pour les traiter différaient sensiblement selon les différentes nations et à différentes époques parmi les mêmes peuples. De nombreux emprunts d’idées ont également joué un rôle important lors des contacts culturels entre différentes civilisations.

1.2 Fractions dans l'Egypte ancienne

Dans l’Egypte ancienne, on utilisait uniquement les fractions les plus simples, dans lesquelles le numérateur est égal à un (celles que l’on appelle « fractions »). Les mathématiciens appellent ces fractions aliquote (du latin aliquote - plusieurs). Le nom fractions de base ou fractions unitaires est également utilisé.

(euh, "[un] de" ou concernant, bouche) au-dessus du nombre pour indiquer une fraction unitaire en notation ordinaire, mais dans les textes sacrés, une ligne était utilisée. Par exemple:

la majeure partie de l'œil

1/2 (ou 32/64)

1/8 (ou 8/64)

larme (?)

1/32 (ou ²/64)

La somme des six caractères inclus dans le Wadget et réduite à un dénominateur commun : 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

De telles fractions étaient utilisées avec d'autres formes de fractions égyptiennes pour diviser hékat, la principale mesure de volume dans l'Égypte ancienne. Cet enregistrement combiné était également utilisé pour mesurer le volume de céréales, de pain et de bière. Si, après avoir enregistré la quantité en fraction de l'Œil d'Horus, il restait un reste, il était écrit sous la forme habituelle comme un multiple du rho, unité de mesure égale à 1/320 de l'hékat.

Dans ce cas, la « bouche » était placée devant tous les hiéroglyphes.

Hékat orge : 1/2 + 1/4 + 1/32 (soit 25/32 récipients d'orge).

Hékatétait d'environ 4,785 litres.

Les Égyptiens représentaient toute autre fraction comme une somme de fractions aliquotes, par exemple 9/16 = 1/2+1/16 ; 7/8=1/2+1/4+1/8 et ainsi de suite.

C'était écrit ainsi : /2 /16 ; /2 /4 /8.

Dans certains cas, cela semble assez simple. Par exemple, 2/7 = 1/7 + 1/7. Mais une autre règle des Égyptiens était l’absence de nombres répétitifs dans une série de fractions. Autrement dit, 2/7, à leur avis, était 1/4 + 1/28.

Or la somme de plusieurs fractions aliquotes est appelée fraction égyptienne. Autrement dit, chaque fraction d’une somme a un numérateur égal à un et un dénominateur égal à un nombre naturel.

Bien entendu, effectuer divers calculs, exprimant toutes les fractions en unités, était très difficile et prenait beaucoup de temps. Les scientifiques égyptiens ont donc pris soin de faciliter le travail du scribe. Ils ont compilé des tableaux spéciaux de décompositions de fractions en fractions simples. Les documents mathématiques de l’Égypte ancienne ne sont pas des traités scientifiques de mathématiques, mais des manuels pratiques avec des exemples tirés de la vie. Parmi les tâches qu'un étudiant de l'école de scribe devait résoudre figuraient les calculs de la capacité des granges, du volume d'un panier, de la superficie d'un champ, du partage des biens entre les héritiers, etc. Le scribe devait mémoriser ces échantillons et pouvoir les utiliser rapidement pour des calculs.

L'une des premières références connues aux fractions égyptiennes est le papyrus mathématique Rhind. Trois textes plus anciens qui mentionnent des fractions égyptiennes sont le rouleau mathématique égyptien en cuir, le papyrus mathématique de Moscou et la tablette en bois d'Akhmim.

La plupart Monument ancien Les mathématiques égyptiennes, appelées « Papyrus de Moscou », sont un document du XIXe siècle avant JC. Il fut acquis en 1893 par le collectionneur de trésors anciens Golenishchev et devint en 1912 la propriété du Musée des Beaux-Arts de Moscou. Il contenait 25 problèmes différents.

Par exemple, il considère le problème de diviser 37 par un nombre donné comme (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). En doublant successivement cette fraction et en exprimant la différence entre 37 et le résultat, et en utilisant une procédure essentiellement similaire à la recherche du dénominateur commun, on obtient la réponse : le quotient est 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

Le plus grand document mathématique - un papyrus sur le manuel de calcul du scribe Ahmes - a été découvert en 1858 par le collectionneur anglais Rhind. Le papyrus a été compilé au 17ème siècle avant JC. Sa longueur est de 20 mètres et sa largeur de 30 centimètres. Il contient 84 problèmes mathématiques, leurs solutions et réponses, écrits sous forme de fractions égyptiennes.

Le papyrus Ahmes commence par un tableau dans lequel toutes les fractions de la forme 2\n de 2/5 à 2/99 sont écrites sous forme de sommes de fractions aliquotes. Les Égyptiens savaient aussi multiplier et diviser des fractions. Mais pour multiplier, il fallait multiplier fractions par fractions, puis, peut-être, réutiliser le tableau. La situation avec la division était encore plus compliquée. Voici par exemple comment 5 a été divisé par 21 :

Un problème fréquemment rencontré dans le papyrus Ahmes : « Qu'on vous le dise : répartissez 10 mesures d'orge entre 10 personnes ; la différence entre chaque personne et son voisin est de - 1/8 de la mesure. La part moyenne est une mesure. Soustrayez un de 10 ; reste 9. Compensez la moitié de la différence ; c'est 1/16. Prenez-le 9 fois. Appliquez-le au temps médian ; soustrayez 1/8 de la mesure pour chaque visage jusqu'à ce que vous atteigniez la fin.

Un autre problème du papyrus Ahmes démontrant l'utilisation de fractions aliquotes : « Partagez 7 pains entre 8 personnes. »
Si vous coupez chaque pain en 8 morceaux, vous devrez faire 49 coupes.
Et en égyptien, ce problème a été résolu comme ceci. La fraction 7/8 s'écrivait sous forme de fractions : 1/2 + 1/4 + 1/8. Cela signifie que chaque personne doit recevoir un demi-pain, un quart de pain et un huitième de pain ; Nous coupons donc quatre pains en deux, deux pains en 4 parts et un pain en 8 parts, après quoi nous donnons à chacun une part.

Les tables de fractions égyptiennes et diverses tables babyloniennes sont les plus anciens moyens connus pour faciliter les calculs.

Les fractions égyptiennes ont continué à être utilisées dans la Grèce antique, puis par les mathématiciens du monde entier jusqu'au Moyen Âge, malgré les commentaires des mathématiciens anciens à leur sujet. Par exemple, Claudius Ptolémée a parlé de l'inconvénient d'utiliser des fractions égyptiennes par rapport au système babylonien (système de numérotation positionnelle). Un travail important sur l'étude des fractions égyptiennes a été réalisé par le mathématicien Fibonacci du XIIIe siècle dans son ouvrage "Liber Abaci" - il s'agit de calculs utilisant des fractions décimales et ordinaires, qui ont finalement remplacé les fractions égyptiennes. Fibonacci utilisait une notation complexe de fractions, notamment la notation à base mixte et la notation somme de fractions, et les fractions égyptiennes étaient souvent utilisées. Le livre fournissait également des algorithmes pour convertir des fractions ordinaires en fractions égyptiennes.

1.3 Fractions dans l'ancienne Babylone.

On sait que dans l’ancienne Babylone, ils utilisaient le système numérique sexagésimal. Les scientifiques attribuent ce fait au fait que les unités de mesure monétaires et de poids babyloniennes étaient divisées, en raison des conditions historiques, en 60 parties égales : 1 talent = 60 min ; 1 mine = 60 shekels. Les soixantièmes étaient courants dans la vie des Babyloniens. C'est pourquoi ils ont utilisé des fractions sexagésimales, qui ont toujours le dénominateur 60 ou ses puissances : 60 2 = 3600, 60 3 = 216000, etc. Ce sont les premières fractions systématiques au monde, c'est-à-dire fractions dont le dénominateur est des puissances du même nombre. En utilisant de telles fractions, les Babyloniens devaient représenter approximativement plusieurs fractions. C'est l'inconvénient et en même temps l'avantage de ces fractions. Ces fractions sont devenues un outil constant de calculs scientifiques pour les scientifiques grecs puis arabophones et européens médiévaux jusqu'au XVe siècle, lorsqu'elles ont cédé la place aux fractions décimales. Mais les scientifiques de toutes les nations ont utilisé des fractions sexagésimales en astronomie jusqu'au XVIIe siècle, les appelant fractions astronomiques.

Le système numérique sexagésimal a prédéterminé un rôle important dans les mathématiques de Babylone pour diverses tables. Une table de multiplication babylonienne complète aurait contenu des produits de 1x1 à 59x59, soit 1770 nombres, et non 45 comme notre table de multiplication. Il est quasiment impossible de mémoriser un tel tableau. Même sous forme écrite, cela serait très fastidieux. Par conséquent, pour la multiplication, comme pour la division, il existait un vaste ensemble de tables différentes. L’opération de division dans les mathématiques babyloniennes peut être qualifiée de « problème numéro un ». Les Babyloniens réduisaient la division du nombre m par le nombre n à multiplier le nombre m par la fraction 1\n, et ils n'avaient même pas le terme « diviser ». Par exemple, lors du calcul de ce que nous écrivions comme x = m : n, ils raisonnaient toujours comme ceci : prenez l'inverse de n, vous verrez 1\ n, multipliez m par 1\ n, et vous verrez x. Bien entendu, au lieu de nos lettres, les habitants de Babylone appelaient des numéros spécifiques. Ainsi, le rôle le plus important dans les mathématiques babyloniennes a été joué par de nombreuses tables de réciproques.

De plus, pour les calculs avec des fractions, les Babyloniens compilaient des tableaux détaillés qui exprimaient les fractions principales en fractions sexagésimales. Par exemple:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

L'addition et la soustraction de fractions par les Babyloniens étaient effectuées de la même manière que les opérations correspondantes avec des nombres entiers et des fractions décimales dans notre système de numérotation positionnelle. Mais comment une fraction était-elle multipliée par une fraction ? Le développement assez élevé de la géométrie de mesure (arpentage, mesure de superficie) suggère que les Babyloniens ont surmonté ces difficultés à l'aide de la géométrie : un changement de l'échelle linéaire de 60 fois donne un changement de l'échelle de la superficie de 60 à 60 fois. Il convient de noter qu'à Babylone, l'expansion du champ des nombres naturels vers la région des nombres rationnels positifs n'a finalement pas eu lieu, puisque les Babyloniens ne considéraient que des fractions sexagésimales finies, dans la région desquelles la division n'est pas toujours réalisable. De plus, les Babyloniens utilisaient des fractions 1\2,1\3,2\3,1\4,1\5,1\6,5\6, pour lesquelles il y avait des signes individuels.

Des traces du système numérique sexagésimal babylonien subsistent dans la science moderne dans la mesure du temps et des angles. La division d'une heure en 60 minutes, d'une minute en 60 secondes, d'un cercle en 360 degrés, d'un degré en 60 minutes, d'une minute en 60 secondes a été conservée jusqu'à ce jour. Minute signifie « petite partie » en latin, seconde signifie "deuxième"

(petite partie).

1.4. Fractions dans la Rome antique.

Les Romains utilisaient principalement uniquement des fractions concrètes, qui remplaçaient les parties abstraites par des subdivisions des mesures utilisées. Ce système de fractions était basé sur la division d'une unité de poids en 12 parties, appelées cul. C'est ainsi que sont nées les fractions duodécimales romaines, c'est-à-dire fractions dont le dénominateur était toujours douze. La douzième partie d'un as s'appelait une once. Au lieu de 1/12, les Romains disaient « une once », 5/12 – « cinq onces », etc. Trois onces s'appelaient un quart, quatre onces un tiers, six onces une demie.

Et le chemin, le temps et d'autres quantités ont été comparés à une chose visuelle : le poids. Par exemple, un Romain pourrait dire qu’il a parcouru sept onces d’un chemin ou lu cinq onces d’un livre. Dans ce cas, bien sûr, il ne s’agissait pas de peser le chemin ou le livre. Cela signifiait que 7/12 du voyage avaient été effectués ou que 5/12 du livre avaient été lus. Et pour les fractions obtenues en réduisant des fractions avec un dénominateur de 12 ou en divisant les douzièmes en plus petits, il y avait des noms spéciaux. Au total, 18 noms différents pour les fractions ont été utilisés. Par exemple, les noms suivants étaient utilisés :

"scrupulus" - 1/288 assa,

"demi-semi" - demi-assa,

« sextance » en est la sixième partie,

"demi-once" - une demi-once, c'est-à-dire 1/24 culs, etc.

Pour travailler avec de telles fractions, il fallait se souvenir de la table d'addition et de la table de multiplication de ces fractions. Par conséquent, les marchands romains savaient fermement qu'en ajoutant des triens (1/3 assa) et des sextans, le résultat était des semis, et en multipliant imp (2/3 assa) par sescunce (2/3 once, soit 1/8 assa), le résultat est une once. Pour faciliter le travail, des tableaux spéciaux ont été établis, dont certains nous sont parvenus.

Une once était désignée par une ligne - un demi-assa (6 onces) - par la lettre S (la première du mot latin Semis - la moitié). Ces deux signes servaient à enregistrer toute fraction duodécimale, chacune ayant son propre nom. Par exemple, 7\12 s’écrivait ainsi : S-.

Au premier siècle avant JC, l'éminent orateur et écrivain romain Cicéron disait : « Sans connaissance des fractions, personne ne peut être reconnu comme connaissant l'arithmétique ! »

L'extrait suivant de l'œuvre du célèbre poète romain du Ier siècle avant JC Horace, à propos d'une conversation entre un enseignant et un élève dans l'une des écoles romaines de cette époque, est typique :

Enseignant : Que le Fils d'Albin me dise combien il en restera si une once est soustraite à cinq onces !

Étudiant : Un tiers.

Enseignant : C'est vrai, vous connaissez bien les fractions et saurez sauver votre propriété.

1.5. Fractions dans la Grèce antique.

Dans la Grèce antique, l'arithmétique est l'étude de les propriétés générales les chiffres - séparés de la logistique - l'art du calcul. Les Grecs croyaient que les fractions ne pouvaient être utilisées qu’en logistique. Les Grecs effectuaient librement toutes les opérations arithmétiques avec des fractions, mais ne les reconnaissaient pas comme des nombres. Les fractions n'ont pas été trouvées dans les ouvrages grecs sur les mathématiques. Les scientifiques grecs pensaient que les mathématiques ne devaient traiter que des nombres entiers. Ils ont laissé le bricolage des fractions aux marchands, artisans, mais aussi aux astronomes, géomètres, mécaniciens et autres « noirs ». "Si vous voulez diviser une unité, les mathématiciens vous ridiculiseront et ne vous permettront pas de le faire", a écrit Platon, fondateur de l'Académie d'Athènes.

Mais tous les mathématiciens de la Grèce antique n’étaient pas d’accord avec Platon. Ainsi, dans son traité « Sur la mesure d'un cercle », Archimède utilise des fractions. Le Héron d'Alexandrie manipulait également librement les fractions. Comme les Égyptiens, il décompose une fraction en la somme des fractions de base. Au lieu de 12\13 il écrit 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, au lieu de 5\12 il écrit 1\3 + 1\12, etc. Même Pythagore, qui traitait les nombres naturels avec une inquiétude sacrée, lors de la création de la théorie de la gamme musicale, reliait les principaux intervalles musicaux à des fractions. Certes, Pythagore et ses étudiants n'ont pas utilisé le concept même de fraction. Ils se sont permis de parler uniquement des rapports des nombres entiers.

Comme les Grecs ne travaillaient avec les fractions que sporadiquement, ils utilisaient des notations différentes. Héron et Diophante écrivaient les fractions sous forme alphabétique, le numérateur étant placé sous le dénominateur. Des désignations distinctes ont été utilisées pour certaines fractions, par exemple pour 1\2 - L′′, mais en général, leur numérotation alphabétique rendait difficile la désignation des fractions.

Pour les fractions unitaires, une notation particulière était utilisée : le dénominateur de la fraction était accompagné d'un trait vers la droite, le numérateur n'était pas écrit. Par exemple,
dans le système alphabétique signifiait 32, et " - la fraction 1\32. Il existe de tels enregistrements de fractions ordinaires dans lesquelles le numérateur avec un nombre premier et le dénominateur pris deux fois avec deux nombres premiers sont écrits côte à côte sur une seule ligne. C'est ainsi que , par exemple, Héron d'Alexandrie a écrit la fraction 3\4 :
.

L'inconvénient de la notation grecque pour les nombres fractionnaires est dû au fait que les Grecs comprenaient le mot « nombre » comme un ensemble d'unités, donc ce que nous considérons maintenant comme un nombre rationnel unique - une fraction - les Grecs l'ont compris comme le rapport de deux entiers. Cela explique pourquoi les fractions étaient rarement trouvées dans l’arithmétique grecque. La préférence a été donnée soit aux fractions avec un numérateur unitaire, soit aux fractions sexagésimales. Le domaine dans lequel les calculs pratiques avaient le plus besoin de fractions exactes était l’astronomie, et ici la tradition babylonienne était si forte qu’elle était utilisée par toutes les nations, y compris la Grèce.

1.6. Fractions en Russie

Le premier mathématicien russe, connu sous son nom, le moine du monastère de Novgorod Kirik, s'est occupé des questions de chronologie et de calendrier. Dans son livre manuscrit « Lui apprendre à dire à une personne les nombres de toutes les années » (1136), c'est-à-dire « Instruction sur la façon dont une personne peut connaître le décompte des années » applique la division de l'heure en cinquièmes, vingt-cinquièmes, etc. fractions, qu’il appelait « heures fractionnées » ou « chasts ». Il atteint la septième fraction d'heure, dont il y a 937 500 dans un jour ou une nuit, et dit que rien ne vient de la septième fraction d'heure.

Dans les premiers manuels de mathématiques (VIIe siècle), les fractions étaient appelées fractions, plus tard « nombres brisés ». Dans la langue russe, le mot fraction est apparu au VIIIe siècle ; il vient du verbe « droblit » - casser, briser en morceaux. Lors de l'écriture d'un nombre, une ligne horizontale était utilisée.

Dans les anciens manuels, il y a les noms de fractions suivants en Rus' :

1/2 - moitié, moitié

1/3 – tiers

1/4 – même

1/6 – un demi-tiers

1/8 - moitié

1/12 – un demi-tiers

1/16 - la moitié de la moitié

1/24 – moitié et demi tiers (petit tiers)

1/32 – moitié moitié moitié (petite moitié)

1/5 – pyatine

1/7 - semaine

1/10 est une dîme.

La mesure du terrain d'un quart ou moins était utilisée en Russie -

un demi-quart, appelé octina. Il s'agissait de fractions concrètes, d'unités de mesure de la surface de la terre, mais l'octina ne pouvait mesurer ni le temps ni la vitesse, etc. Beaucoup plus tard, l'octina a commencé à désigner la fraction abstraite 1/8, qui peut exprimer n'importe quelle valeur.

À propos de l'utilisation des fractions en Russie au XVIIe siècle, vous pouvez lire ce qui suit dans le livre de V. Bellustin « Comment les gens ont progressivement atteint la vraie arithmétique » : « Dans un manuscrit du XVIIe siècle. « L'article numérique sur le décret sur toutes les fractions » commence directement par la désignation écrite des fractions et par l'indication du numérateur et du dénominateur. Lors de la prononciation des fractions, les caractéristiques suivantes sont intéressantes : la quatrième partie s'appelait un quart, tandis que les fractions avec un dénominateur de 5 à 11 étaient exprimées avec des mots se terminant par « ina », de sorte que 1/7 est une semaine, 1/5 est un cinq, 1/10 est une dîme ; les actions avec des dénominateurs supérieurs à 10 étaient prononcées en utilisant les mots « lots », par exemple 5/13 - cinq treizièmes de lots. La numérotation des fractions a été directement empruntée à des sources occidentales... Le numérateur s'appelait le nombre du haut, le dénominateur s'appelait le nombre du bas.

Depuis le XVIe siècle, le boulier en planches était très populaire en Russie - des calculs utilisant un appareil qui était le prototype du boulier russe. Il permettait d'effectuer rapidement et facilement des opérations arithmétiques complexes. Le compte de planches était très répandu parmi les commerçants, les employés des ordres de Moscou, les « mesureurs » - géomètres, économistes monastiques, etc.

Dans sa forme originale, le tableau d'arithmétique a été spécialement adapté aux besoins de l'arithmétique avancée. Il s'agit d'un système de taxation en Russie des XVe-XVIIe siècles, dans lequel, outre l'addition, la soustraction, la multiplication et la division d'entiers, il était nécessaire d'effectuer les mêmes opérations avec des fractions, puisque l'unité de taxation conventionnelle - la charrue - a été divisé en parties.

Le compte en planches était composé de deux boîtes pliantes. Chaque boîte a été divisée en deux (plus tard seulement en bas) ; la deuxième case était nécessaire en raison de la nature du compte de trésorerie. À l’intérieur de la boîte, les os étaient enfilés sur des cordes ou des fils tendus. Conformément au système de nombres décimaux, les rangées de nombres entiers comportaient 9 ou 10 dés ; les opérations avec des fractions étaient effectuées sur des rangées incomplètes : une rangée de trois dés valait les trois tiers, une rangée de quatre dés valait quatre quarts (quatre). En dessous se trouvaient des rangées dans lesquelles il y avait un dé : chaque dé représentait la moitié de la fraction sous laquelle il se trouvait (par exemple, le dé situé sous une rangée de trois dés était la moitié d'un tiers, le dé en dessous était la moitié de la moitié de un tiers, etc.). L’addition de deux fractions « cohésives » identiques donne la fraction du rang supérieur le plus proche, par exemple 1/12+1/12=1/6, etc. En boulier, ajouter deux de ces fractions correspond au déplacement vers le domino supérieur le plus proche.

Les fractions étaient résumées sans réduction à un dénominateur commun, par exemple « un quart et demi tiers et demi » (1/4 + 1/6 + 1/16). Parfois, les opérations avec des fractions étaient effectuées comme avec des touts en assimilant le tout (la charrue) à une certaine somme d'argent. Par exemple, si sokha = 48 unités monétaires, la fraction ci-dessus sera 12 + 8 + 3 = 23 unités monétaires.

En arithmétique avancée, il fallait traiter des fractions plus petites. Certains manuscrits fournissent des dessins et des descriptions de « planches de comptage » similaires à celles qui viennent d'être évoquées, mais avec un grand nombre de rangées avec un seul os, de sorte que des fractions allant jusqu'à 1/128 et 1/96 peuvent y être posées. Il ne fait aucun doute que des instruments correspondants ont également été fabriqués. Pour la commodité des calculatrices, de nombreuses règles du « Code des petits os » ont été données, c'est-à-dire addition de fractions couramment utilisées dans les calculs courants, telles que : trois quatre charrues et une demi-charrue et une demi-charrue, etc. jusqu'à moitié-moitié-moitié-moitié-moitié une charrue est une charrue sans moitié-moitié-moitié-moitié, c'est-à-dire 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128, etc.

Mais parmi les fractions, seuls 1/2 et 1/3 ont été pris en compte, ainsi que celles obtenues par division séquentielle par 2. Le « comptage de planches » n'était pas adapté aux opérations avec des fractions d'autres séries. Lorsqu'on travaillait avec eux, il était nécessaire de se référer à des tableaux spéciaux dans lesquels étaient donnés les résultats de différentes combinaisons de fractions.

DANS 1703 Le premier manuel imprimé russe de mathématiques « Arithmétique » est publié. Auteur Magnitski Léonty Fillipovitch. Dans la 2ème partie de cet ouvrage, « Sur les nombres brisés ou avec fractions », l'étude des fractions est présentée en détail.

Magnitski a un caractère presque moderne. Magnitski s'attarde plus en détail sur le calcul des actions que les manuels modernes. Magnitsky considère les fractions comme des nombres nommés (pas seulement 1/2, mais 1/2 de rouble, poud, etc.) et étudie les opérations avec des fractions dans le processus de résolution de problèmes. Qu'il y ait un nombre cassé, Magnitsky répond : « Un nombre cassé n'est rien d'autre, seulement une partie d'une chose déclarée comme un nombre, c'est-à-dire qu'un demi-rouble est un demi-rouble, et il est écrit comme un rouble, ou un rouble, ou un rouble, ou deux cinquièmes, et toutes sortes de choses dont l'une ou l'autre partie est déclarée comme un nombre, c'est-à-dire un nombre brisé. Magnitsky donne les noms de toutes les fractions propres avec des dénominateurs de 2 à 10. Par exemple, les fractions avec un dénominateur 6 : un seize, deux seize, trois seize, quatre seize, cinq seize.

Magnitsky utilise le nom numérateur, dénominateur, considère les fractions impropres, les nombres fractionnaires, en plus de toutes les actions, isole toute la partie d'une fraction impropre.

L'étude des fractions est toujours restée la section la plus difficile de l'arithmétique, mais en même temps, à toutes les époques précédentes, les gens ont réalisé l'importance de l'étude des fractions et les enseignants ont essayé d'encourager leurs élèves à apprendre la poésie et la prose. L. Magnitski a écrit :

Mais il n'y a pas d'arithmétique

Izho est tout l'accusé,

Et dans ces actions il n'y a rien,

Il est possible de répondre.

Oh, s'il te plaît, s'il te plaît,

Pouvoir être en partie.

1.7. Fractions dans la Chine ancienne

En Chine, presque toutes les opérations arithmétiques avec des fractions ordinaires ont été établies au IIe siècle. avant JC e.; ils sont décrits dans le code fondamental connaissances mathématiques Chine ancienne - « Les mathématiques en neuf livres », dont l'édition finale appartient à Zhang Cang. Calcul basé sur une règle similaire à l'algorithme euclidien (le plus grand diviseur commun numérateur et dénominateur), les mathématiciens chinois ont réduit les fractions. Multiplier des fractions était représenté comme trouver l'aire d'une parcelle de terrain rectangulaire dont la longueur et la largeur sont exprimées nombres fractionnaires. La division était envisagée en utilisant l'idée de partage, alors que les mathématiciens chinois n'étaient pas gênés par le fait que le nombre de participants à la division pouvait être fractionnaire, par exemple 3⅓ personnes.

Initialement, les Chinois utilisaient des fractions simples, nommées à l'aide du hiéroglyphe du bain :

interdiction (« la moitié ») –1\2 ;

shao ban (« petite moitié ») –1\3 ;

tai banh (« grande moitié ») –2\3.

L'étape suivante a été le développement d'une compréhension générale des fractions et la formation de règles pour fonctionner avec elles. Si dans l'Égypte ancienne, seules des fractions aliquotes étaient utilisées, alors en Chine, elles, considérées comme des fractions-fen, étaient considérées comme l'une des variétés de fractions, et non la seule possible. Les mathématiques chinoises ont traité nombres mixtes. Le premier des textes mathématiques, Zhou Bi Xuan Jing (Canon de calcul du Zhou Gnomon/Traité mathématique du Gnomon), contient des calculs qui élèvent des nombres tels que 247 933/1460 à des puissances.

Dans « Jiu Zhang Xuan Shu » (« Règles de comptage en neuf sections »), une fraction est considérée comme une partie d'un tout, qui est exprimé par le nombre n de ses fractions-fen – m (n

Dans la première section de « Jiu Zhang Xuan Shu », généralement consacrée à la mesure des champs, les règles de réduction, d'addition, de soustraction, de division et de multiplication des fractions, ainsi que leur comparaison et « égalisation », sont données séparément. une telle comparaison de trois fractions dans laquelle il est nécessaire de trouver leur moyenne arithmétique (une règle plus simple pour calculer la moyenne arithmétique de deux nombres n'est pas donnée dans le livre).

Par exemple, pour obtenir la somme des fractions dans l'essai indiqué, les instructions suivantes sont proposées : « Multipliez alternativement (hu cheng) les numérateurs par les dénominateurs. Ajouter - c'est le dividende (shi). Multipliez les dénominateurs - c'est le diviseur (fa). Combinez le dividende et le diviseur en un(s) un(s). S'il y a un reste, connectez-le au diviseur. Cette instruction signifie que si plusieurs fractions sont additionnées, alors le numérateur de chaque fraction doit être multiplié par les dénominateurs de toutes les autres fractions. En "combinant" le dividende (comme la somme des résultats d'une telle multiplication) avec un diviseur (le produit de tous les dénominateurs), on obtient une fraction qui doit être réduite si nécessaire et dont la partie entière doit être séparée par division , alors le « reste » est le numérateur et le diviseur réduit est le dénominateur. La somme d'un ensemble de fractions est le résultat d'une telle division, composée d'un nombre entier plus une fraction. L’expression « multiplier les dénominateurs » signifie essentiellement réduire les fractions à leur plus grand dénominateur commun.

La règle de réduction des fractions dans Jiu Zhang Xuan Shu contient un algorithme pour trouver le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur, qui coïncide avec l'algorithme dit euclidien, conçu pour déterminer le plus grand diviseur commun de deux nombres. Mais si ce dernier, comme on le sait, est donné dans les Principia sous une formulation géométrique, alors l'algorithme chinois est présenté de manière purement arithmétique. L’algorithme chinois permettant de trouver le plus grand diviseur commun, appelé deng shu (« même nombre »), est construit comme la soustraction séquentielle d’un plus petit nombre à un plus grand. La fraction doit être réduite de ce nombre de den shu. Par exemple, il est proposé de réduire la fraction 49\91. On effectue une soustraction séquentielle : 91 – 49 = 42 ; 49 – 42 = 7 ; 42 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 0. Dan shu = 7. Réduisez la fraction de ce nombre. On obtient : 7\13.

La division des fractions dans le Jiu Zhang Xuan Shu est différente de celle acceptée aujourd'hui. La règle « jing fen » (« ordre de division ») stipule qu'avant de diviser des fractions, il faut les réduire à un dénominateur commun. Ainsi, la procédure de division des fractions comporte une étape inutile : a/b : c/d = ad/bd : cb/bd = ad/cb. Seulement au 5ème siècle. Zhang Qiu-jian dans son ouvrage « Zhang Qiu-jian suan jing » (« Le Canon de comptage de Zhang Qiu-jian ») s'en est débarrassé en divisant les fractions selon la règle habituelle : a/b : c/d = ad/ CB.

Peut-être que le long engagement des mathématiciens chinois envers un algorithme sophistiqué de division des fractions était dû au désir de maintenir son universalité et à l'utilisation d'un tableau de comptage. Elle consiste essentiellement à réduire la division des fractions à la division des nombres entiers. Cet algorithme est valable si un entier est divisible par un nombre fractionnaire. En divisant, par exemple, 2922 par 182 5 / 8, les deux nombres étaient d'abord multipliés par 8, ce qui permettait de diviser davantage les entiers : 23376:1461= 16

1.8. Fractions dans d'autres états de l'Antiquité et du Moyen Âge.

Le développement du concept de fraction commune a été réalisé en Inde. Les mathématiciens de ce pays ont pu passer rapidement des fractions unitaires aux fractions générales. Pour la première fois, de telles fractions se trouvent dans les « Règles de la corde » d'Apastamba (VII-V siècles avant JC), qui contiennent des constructions géométriques et les résultats de certains calculs. En Inde, on utilisait un système de notation - peut-être d'origine chinoise et peut-être d'origine grecque tardive - dans lequel le numérateur de la fraction était écrit au-dessus du dénominateur - comme le nôtre, mais sans ligne de fraction, mais la fraction entière était placée dans un cadre rectangulaire. Parfois, une expression « à trois étages » avec trois nombres dans un cadre était également utilisée ; selon le contexte, cela peut signifier une fraction impropre (a + b/c) ou la division du nombre entier a par la fraction b/c.

Par exemple, fraction enregistré comme

Les règles pour travailler avec des fractions, établies par le scientifique indien Bramagupta (VIIIe siècle), n'étaient presque pas différentes des règles modernes. Comme en Chine, en Inde, pour ramener à un dénominateur commun, les dénominateurs de tous les termes ont longtemps été multipliés, mais à partir du IXe siècle. déjà utilisé le plus petit commun multiple.

Les Arabes médiévaux utilisaient trois systèmes pour écrire les fractions. D'abord, à la manière indienne, en écrivant le dénominateur sous le numérateur ; La ligne fractionnaire est apparue à la fin du XIIe - début du XIIIe siècle. Deuxièmement, les fonctionnaires, les géomètres et les commerçants utilisaient le calcul des fractions aliquotes, similaire à celui égyptien, en utilisant des fractions dont les dénominateurs ne dépassent pas 10 (c'est seulement pour ces fractions que la langue arabe a des termes spéciaux) ; des valeurs approximatives étaient souvent utilisées ; Les scientifiques arabes ont travaillé pour améliorer ce calcul. Troisièmement, les scientifiques arabes ont hérité du système sexagésimal babylonien-grec, dans lequel, comme les Grecs, ils utilisaient la notation alphabétique, l'étendant à des parties entières.

La notation indienne des fractions et les règles pour les utiliser ont été adoptées au IXe siècle. dans les pays musulmans grâce à Muhammad de Khorezm (al-Khorezmi). Dans la pratique commerciale des pays islamiques, les fractions unitaires étaient largement utilisées ; dans la science, les fractions sexagésimales et, dans une bien moindre mesure, les fractions ordinaires étaient utilisées. Al-Karaji (X-XI siècles), al-Khassar (XIIe siècle), al-Kalasadi (XVe siècle) et d'autres scientifiques ont présenté dans leurs ouvrages les règles de représentation des fractions ordinaires sous forme de sommes et de produits de fractions unitaires. Les informations sur les fractions ont été déplacées vers Europe de l'Ouest Marchand et scientifique italien Leonardo Fibonacci de Pise (XIIIe siècle). Il a introduit le mot fraction, a commencé à utiliser la ligne de fraction (1202) et a donné des formules pour la division systématique des fractions en fractions de base. Les noms numérateur et dénominateur ont été introduits au XIIIe siècle par Maximus Planud, moine grec, scientifique et mathématicien. Une méthode pour réduire les fractions à un dénominateur commun a été proposée en 1556 par N. Tartaglia. Le schéma moderne d'addition de fractions ordinaires remonte à 1629. chez A. Girard.

II. Application des fractions ordinaires

2.1 Fractions aliquotes

Les problèmes utilisant des fractions aliquotes constituent une large classe de problèmes non standard, y compris ceux issus des temps anciens. Les fractions aliquotes sont utilisées lorsque vous devez diviser quelque chose en plusieurs parties en le moins d'étapes possible. La décomposition des fractions de forme 2/n et 2/(2n +1) en deux fractions aliquotes est systématisée sous forme de formules

Décomposition en trois, quatre, cinq, etc. des fractions aliquotes peuvent être produites en décomposant l'un des termes en deux fractions, le terme suivant en deux fractions aliquotes supplémentaires, etc.

Pour représenter un nombre comme une somme de fractions aliquotes, il faut parfois faire preuve d’une ingéniosité extraordinaire. Disons que le nombre 2/43 s'exprime ainsi : 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Il est très gênant d'effectuer des opérations arithmétiques sur des nombres, en les décomposant en somme de fractions de un. Par conséquent, dans le processus de résolution de problèmes de décomposition de fractions aliquotes sous la forme d'une somme de fractions aliquotes plus petites, l'idée est née de systématiser la décomposition des fractions sous la forme d'une formule. Cette formule est valable si vous devez décomposer une fraction aliquote en deux fractions aliquotes.

La formule ressemble à ceci :

1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)

Exemples de développement de fractions :

1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.

Cette formule peut être transformée pour obtenir l'égalité utile suivante : 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)

Par exemple, 1/6=1/(2 3)=1/2 -1/3

Autrement dit, une fraction aliquote peut être représentée par la différence de deux fractions aliquotes, ou par la différence de deux fractions aliquotes dont les dénominateurs sont des nombres consécutifs égaux à leur produit.

Exemple. Représenter le nombre 1 sous la forme de sommes de diverses fractions aliquotes

a) trois termes 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

b) quatre termes

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

c) cinq termes

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2.2 Au lieu de petites fractions, de grandes

Dans les usines de construction de machines, il existe un métier très passionnant, on l'appelle marqueur. Le marqueur marque les lignes sur la pièce le long desquelles cette pièce doit être traitée afin de lui donner la forme souhaitée.

Le correcteur doit résoudre des problèmes géométriques intéressants et parfois difficiles, effectuer des calculs arithmétiques, etc.
"Il fallait en quelque sorte répartir 7 assiettes rectangulaires identiques en parts égales entre 12 parties. Ils ont amené ces 7 assiettes au marqueur et lui ont demandé, si possible, de marquer les assiettes pour qu'aucune d'entre elles ne soit écrasée en très petites parties. Donc, la solution la plus simple est de couper chaque assiette en 12 parts égales- ne convenait pas, car cela aboutissait à de nombreuses petites actions. Comment être?
Est-il possible de diviser ces plaques en parties plus grandes ? Le marqueur réfléchit, fit quelques calculs arithmétiques avec des fractions et trouva finalement le moyen le plus économique de diviser ces plaques.
Par la suite, il écrasa facilement 5 assiettes pour les répartir à parts égales entre six parts, 13 assiettes pour 12 parts, 13 assiettes pour 36 parts, 26 pour 21, etc.

Il s'avère que le marqueur présentait la fraction 7\12 comme une somme de fractions unitaires 1\3 + 1\4. Cela signifie que si sur 7 assiettes données, 4 sont découpées en trois parties égales chacune, alors nous obtenons 12 tiers, soit un tiers pour chaque partie. On coupe les 3 assiettes restantes en 4 parties égales chacune, on obtient 12 quartiers, soit un quart pour chaque partie. De même, en utilisant des représentations de fractions sous la forme d'une somme de fractions unitaires 5\6=1\2+1\3 ; 13\121\3+3\4 ; 13\36=1\4+1\9.

2.3 Divisions en situation difficile

Il existe une parabole orientale bien connue selon laquelle un père a laissé 17 chameaux à ses fils et leur a ordonné de se partager : la moitié la plus âgée, celle du milieu un tiers, le plus jeune un neuvième. Mais 17 n’est pas divisible par 2, 3 ou 9. Les fils se tournèrent vers le sage. Le sage connaissait les fractions et était capable d'aider dans cette situation difficile.

Il a eu recours à une ruse. Le sage ajouta temporairement son chameau au troupeau, ils étaient alors 18. Après avoir divisé ce nombre, comme indiqué dans le testament, le sage reprit son chameau. Le secret est que les parts dans lesquelles les fils devaient diviser le troupeau selon la volonté ne totalisent pas 1. En effet, 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.

Il existe de nombreuses tâches de ce type. Par exemple, un problème tiré d'un manuel russe concernant 4 amis qui ont trouvé un portefeuille avec 8 notes de crédit : une pour un, trois, cinq roubles et le reste pour dix roubles. D'un commun accord, on voulait une troisième partie, la deuxième un quart, la troisième un cinquième, la quatrième un sixième. Cependant, ils ne pouvaient pas le faire seuls : un passant les a aidés, après avoir ajouté son rouble. Pour résoudre cette difficulté, un passant a ajouté les fractions unitaires 1\3 + 1\4 + 1\5 + 1\6 = 57\60, satisfaisant ainsi les demandes de ses amis et gagnant 2 roubles pour lui-même.

III.Fractions intéressantes

3.1 Fractions dominos

Les dominos sont un jeu de société populaire dans le monde entier. Un jeu de dominos se compose le plus souvent de 28 tuiles rectangulaires. Un domino est une tuile rectangulaire, face avant qui est divisé par une ligne en deux parties carrées. Chaque partie contient de zéro à six points. Si vous supprimez des dés qui ne contiennent pas de points sur au moins une moitié (blancs), alors les dés restants peuvent être considérés comme des fractions. Les dés dont les deux moitiés contiennent le même nombre de points (doubles) sont des fractions impropres égales à un. Si vous supprimez ces os supplémentaires, il vous restera 15 os. Ils peuvent être disposés de différentes manières et obtenir des résultats intéressants.

1. Disposition en 3 rangées dont la somme des fractions dans chacune est 2.

;
;

2. Disposez les 15 tuiles en trois rangées de 5 tuiles chacune, en utilisant certains dominos comme fractions impropres, telles que 4/3, 6/1, 3/2, etc., de sorte que la somme des fractions de chaque rangée égal au nombre 10.

1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10

2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10

4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10

3. Disposition des fractions en rangées, dont la somme sera un nombre entier (mais différent selon les rangées).

3.2 Depuis des temps immémoriaux.

"Il a étudié cette question méticuleusement." Cela signifie que la question a été étudiée jusqu’au bout, qu’il ne reste plus la moindre ambiguïté. Et le mot étrange « scrupuleusement » vient du nom romain de 1/288 assa – « scrupulus ».

"Entrer dans les fractions." Cette expression signifie se retrouver dans une situation difficile.

« Cul » est une unité de mesure de masse en pharmacologie (livre du pharmacien).

« Once » est une unité de masse dans le système de mesures anglais, une unité de mesure de masse en pharmacologie et en chimie.

IV. Conclusion.

L'étude des fractions a toujours été considérée comme la section la plus difficile des mathématiques et parmi tous les peuples. Ceux qui connaissaient les fractions étaient tenus en haute estime. Auteur d'un ancien manuscrit slave du XVe siècle. écrit : « Ce n'est pas merveilleux que... en totalité, mais il est louable que par parties... ».

J’en ai conclu que l’histoire des fractions est un chemin sinueux comportant de nombreux obstacles et difficultés. En travaillant sur mon essai, j'ai appris beaucoup de choses nouvelles et intéressantes. J'ai lu de nombreux livres et sections d'encyclopédies. J'ai fait connaissance avec les premières fractions avec lesquelles les gens opéraient, avec le concept de fraction aliquote, et j'ai appris de nouveaux noms de scientifiques qui ont contribué au développement de la doctrine des fractions. J'ai moi-même essayé de résoudre des problèmes olympiques et divertissants, sélectionné indépendamment des exemples de décomposition de fractions ordinaires en fractions aliquotes et analysé la solution des exemples et des problèmes donnés dans les textes. La réponse à la question que je me suis posée avant de commencer à travailler sur l'essai : les fractions ordinaires sont nécessaires, elles sont importantes. C'était intéressant de préparer la présentation, j'ai dû me tourner vers le professeur et les camarades de classe pour obtenir de l'aide. De plus, lors de la saisie, j'ai rencontré pour la première fois le besoin de saisir des fractions et des expressions fractionnaires. J'ai présenté mon résumé lors d'une conférence scolaire. Elle s'est également produite devant ses camarades de classe. Ils ont écouté très attentivement et, à mon avis, ils étaient intéressés.

Je crois avoir accompli les tâches que je m'étais fixées avant de commencer à travailler sur le résumé.

Littérature.

1. Borodine A.I. De l'histoire de l'arithmétique. Maison d'édition principale « Vishcha School »-K., 1986

2. Glazer G.I. Histoire des mathématiques à l'école : classes IV-VI. Manuel pour les enseignants. – M. : Éducation, 1981.

3. Ignatiev E.I. Au royaume de l'ingéniosité. Rédaction principale de littérature physique et mathématique de la maison d'édition "Nauka", M., 1978.

4. Kordemskoy G.A. Ingéniosité mathématique - 10e éd., révisée. Et complémentaire - M. : Unisam, MDS, 1994.

5. Stroik D.Ya. Bref essai histoire des mathématiques. M. : Nauka, 1990.

6.Encyclopédie pour enfants. Tome 11. Mathématiques. Moscou, Avanta+, 1998.

7. /wiki.Matériel de Wikipédia - l'encyclopédie gratuite.

Annexe 1.

Échelle naturelle

Tout le monde sait que Pythagore était un scientifique et notamment l’auteur du célèbre théorème. Mais le fait qu’il était aussi un brillant musicien n’est pas très connu. La combinaison de ces talents lui a permis d'être le premier à deviner l'existence d'une échelle naturelle. Il me fallait encore le prouver. Pythagore a construit pour ses expériences un mi-instrument et mi-appareil : un « monocorde ». C'était une boîte oblongue sur laquelle était tendue une ficelle. Sous la ficelle, sur le couvercle supérieur de la boîte, Pythagore a dessiné une échelle pour faciliter la division visuelle de la ficelle en plusieurs parties. Pythagore a réalisé de nombreuses expériences avec un monocorde et a finalement décrit mathématiquement le comportement d'une corde qui sonne. Les travaux de Pythagore constituent la base de la science que nous appelons aujourd’hui l’acoustique musicale. Il s’avère qu’en musique, sept sons dans une octave sont une chose aussi naturelle que dix doigts sur les mains en arithmétique. Déjà la corde du tout premier archet, oscillant après le coup, donnait cet ensemble de sons musicaux que nous utilisons encore presque inchangés.

Du point de vue de la physique, une corde d’arc et une corde ne font qu’un. Et l'homme a fabriqué la corde, en faisant attention aux propriétés de la corde de l'arc. La corde sonore vibre non seulement dans son ensemble, mais aussi par moitiés, tiers, quarts, etc. Abordons maintenant ce phénomène du point de vue arithmétique. Les moitiés vibrent deux fois plus souvent qu'une corde entière, les tiers - trois fois, les quarts - quatre fois. En un mot, combien de fois la partie vibrante de la corde est plus petite, la fréquence de ses oscillations est d'autant plus grande. Disons que la corde entière vibre à une fréquence de 24 hertz. En comptant les fluctuations des fractions jusqu'au seizième, on obtient la série de nombres indiquée dans le tableau. Cette séquence de fréquences est dite naturelle, c'est-à-dire naturel, échelle.

Annexe 2.

Problèmes anciens utilisant des fractions communes.

Dans les manuscrits anciens et les manuels d’arithmétique anciens de différents pays, il existe de nombreux problèmes intéressants impliquant les fractions. Résoudre chacun de ces problèmes nécessite une ingéniosité, une ingéniosité et une capacité de raisonnement considérables.

1. Un berger vient avec 70 taureaux. On lui demande :

Combien en amènez-vous de votre nombreux troupeau ?

Le berger répond :

J'amène les deux tiers d'un tiers du bétail. Comptez combien de taureaux y a-t-il dans le troupeau ?

Papyrus d'Ahmes (Egypte, environ 2000 avant JC).

2. Quelqu'un a pris 1/13 du trésor. De ce qui restait, un autre en a pris 1/17. Il en a laissé 192 dans le trésor. Nous voulons savoir combien il y avait initialement dans le trésor.

Papyrus Akmim (VIe siècle)

3. Voyageur ! Les cendres de Diophanthe sont enterrées ici. Et les chiffres peuvent dire, et voilà, combien de temps a duré sa vie.

La sixième partie de lui a été une enfance merveilleuse.

La douzième partie de sa vie s'est écoulée - alors son menton était couvert de peluches.
Diophante a passé la septième fois dans un mariage sans enfant.

Cinq ans se sont écoulés ; il a eu la chance de donner naissance à son magnifique fils aîné.
À qui le destin n'a donné que la moitié d'une vie belle et lumineuse sur terre par rapport à son père.

Et dans une profonde tristesse, le vieil homme a accepté la fin de son sort terrestre, après avoir survécu quatre ans depuis la perte de son fils.

Dites-moi, combien d'années de vie Diophante a-t-il enduré la mort ?

4. Quelqu'un, mourant, a légué : « Si ma femme donne naissance à un fils, laissez-lui les 2/3 de la succession et laissez le reste à sa femme. Si une fille naît, 1/3 lui sera donné et 2/3 à la femme. Des jumeaux sont nés : un fils et une fille. Comment diviser la succession ?

Problème romain antique (IIe siècle)

Trouver trois nombres tels que le plus grand dépasse la moyenne d'une partie donnée du plus petit, de sorte que la moyenne dépasse le plus petit d'une partie donnée du plus grand, et que le plus petit dépasse le nombre 10 d'une partie donnée de la moyenne.

Traité d'Alexandrie de Diophante « Arithmétique » (IIe-IIIe siècles après J.-C.)

5. Un canard sauvage vole de la mer du Sud à la mer du Nord pendant 7 jours. Une oie sauvage vole de la mer du nord à la mer du sud pendant 9 jours. Maintenant, le canard et l'oie s'envolent en même temps. Dans combien de jours se retrouveront-ils ?

Chine (IIe siècle après JC)

6. « Un marchand traversait 3 villes, et dans la première ville ils percevaient auprès de lui des droits pour la moitié et un tiers de ses biens, et dans la deuxième ville pour la moitié et un tiers de ses biens restants, et dans la troisième ville pour la moitié et le tiers de ses biens restants. Et quand il est arrivé chez lui, il lui restait 11 dollars. Découvrez combien d’argent le commerçant possédait au début.

Anani Shirakatsi. Collection « Questions et réponses » (VIIsiècle après JC).

Il y a une fleur de Kadamba,

Pour un pétale

Un cinquième des abeilles sont tombées.

J'ai grandi à proximité

Simengda tout en fleurs,

Et la troisième partie s'y adaptait.

Trouvez leur différence

Pliez-le trois fois

Et plantez ces abeilles sur le kutai.

Seulement deux n'ont pas été trouvés

Il n'y a de place pour toi nulle part

Tout le monde volait d'avant en arrière et partout

J'ai apprécié le parfum des fleurs.

Maintenant dis-moi

Calculant dans mon esprit,

Combien y a-t-il d’abeilles au total ?

Ancien problème indien (XIe siècle).

8. "Trouvez un nombre, sachant que si vous en soustrayez un tiers et un quart, vous obtenez 10."

Muhammad ibn Musa al Khwarizmi « Arithmétique » (9e siècle)

9. Une femme est allée au jardin pour cueillir des pommes. Pour sortir du jardin, elle devait franchir quatre portes, chacune étant surveillée. La femme a donné la moitié des pommes qu'elle avait cueillies au gardien de la première porte. Ayant atteint le deuxième garde, la femme lui donna la moitié des autres. Elle a fait la même chose avec le troisième garde, et lorsqu'elle a partagé les pommes avec le quatrième garde, il lui restait 10 pommes. Combien de pommes a-t-elle cueillies dans le jardin ?

"1001 nuits"

10. Seulement « cela » et « ceci », et la moitié de « cela » et « ceci » - quel pourcentage des trois quarts de « cela » et « ceci » ce sera.

Manuscrit Rus antique(X-XI siècles)

11. Trois Cosaques sont venus chez le berger pour acheter des chevaux.

"D'accord, je vais vous vendre des chevaux", dit le berger, "je vendrai un demi-troupeau et un autre demi-cheval au premier, la moitié des chevaux restants et un autre demi-cheval au deuxième, le troisième recevra également la moitié des chevaux restants avec un demi-cheval.

Je ne me laisserai que 5 chevaux.

Les Cosaques étaient surpris de la façon dont le berger divisait les chevaux en plusieurs parties. Mais après réflexion, ils se sont calmés et l’accord a eu lieu.

Combien de chevaux le berger a-t-il vendu à chacun des Cosaques ?

12. Quelqu'un a demandé au professeur : « Dites-moi combien d'élèves vous avez dans votre classe, car je veux inscrire mon fils avec vous. » Le professeur a répondu : « Si autant d’élèves viennent que moi, et deux fois moins, et un quart, et votre fils, alors j’aurai 100 élèves. » La question est : combien d’élèves le professeur avait-il ?

L. F. Magnitski « Arithmétique » (1703)

13. Le voyageur, après avoir rattrapé l'autre, lui demanda : « Jusqu'où est-il jusqu'au village devant ? » Un autre voyageur répondit : « La distance du village d'où vous venez est égale au tiers de la distance totale entre les villages. Et si vous marchez encore trois kilomètres, vous serez exactement au milieu entre les villages. Combien de kilomètres reste-t-il au premier voyageur à parcourir ?

L. F. Magnitski « Arithmétique » (1703)

14.Une paysanne vendait des œufs au marché. La première cliente a acheté la moitié de ses œufs et une autre moitié d'un œuf, la seconde moitié du reste et une autre moitié d'un œuf, et la troisième les 10 derniers œufs.

Combien d’œufs la paysanne a-t-elle apporté au marché ?

L. F. Magnitski « Arithmétique » (1703)

15. Le mari et la femme ont pris de l'argent dans le même coffre et il ne restait plus rien. Le mari a pris 7/10 de tout l'argent et la femme a pris 690 roubles. Combien coûtait tout cet argent ?

L. N. Tolstoï « Arithmétique »

16. Un huitième du nombre

Prenez-le et ajoutez-en

La moitié de trois cents

Et les huit surpasseront

Pas un peu - cinquante

Trois quarts. Je serai heureux,

Si celui qui connaît le score

Il me dira le numéro.

Johann Hemeling, professeur de mathématiques (1800)

17. Trois personnes ont gagné une certaine somme d’argent. Le premier représentait 1/4 de ce montant, le second -1/7 et le troisième - 17 florins. Quel est le montant total des gains ?

Adam Riese (Allemagne, XVIe siècle) 18. Ayant décidé de partager toutes ses économies à parts égales entre tous ses fils, quelqu'un a fait un testament. « L'aîné de mes fils recevra 1 000 roubles et un huitième du reste ; le suivant - 2 000 roubles et un huitième du nouveau solde ; troisième fils - 3 000 roubles et un huitième du solde suivant, etc. Déterminez le nombre de fils et le montant de l'épargne léguée.

Léonhard Euler (1780)

19. Trois personnes veulent acheter une maison pour 24 000 livres. Ils convinrent que le premier donnerait la moitié, le deuxième le tiers et le troisième le reste. Combien d’argent le troisième donnera-t-il ?

Fractions", " Ordinaire fractions" Jeu "De quoi peuvent-ils parler... pour le calcul mental." Tâches pour le sujet " Ordinaire fractions et actions sur eux" 1. U... philosophe, écrivain. B. Pascal était exceptionnellement talentueux et polyvalent, sa vie a été...

Pavlikova E.V. (, Lycée MAOU Dyatkovskaya n°5)

1. Anishchenko E. A. Le nombre comme concept de base des mathématiques. Marioupol, 2002.

2. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathématiques. 5e année : pédagogique pour les établissements d'enseignement général. – 26e éd., effacé. – M. : Mnémosyne, 2009. – 280 p.

3. Geyser GI Histoire des mathématiques à l'école. Manuel pour les enseignants. – M. : Éducation, 1981. – 239 p.

4. Mathématiques. 5e année : pédagogique pour l'enseignement général. institutions / S.M. Nikolski, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Chevkine. 11e éd., révisée. – M. : Éducation, 2016. – 272 p. – (MSU – école).

5. Mathématique Dictionnaire encyclopédique. – M., 1988.

6. Dragunsky V. Vous devez avoir le sens de l'humour. – Mode d'accès : http://peskarlib.ru/lib.phpid_sst=248.

7. De l'histoire des fractions. Mode d'accès : http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm.

8. Matériel de Wikipédia - l'encyclopédie gratuite. Mode d'accès : http://ru.wikipedia.org/wiki.

9. Citations. Mode d'accès : http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

L'étude des fractions est dictée par la vie elle-même. La capacité d'effectuer divers calculs et calculs est nécessaire pour chaque personne, car nous rencontrons des fractions dans Vie courante. Je voulais savoir d'où venait le nom de ces numéros ; qui a trouvé ces chiffres, c'est le sujet « Fractions », que nous étudions à l'école, qui est nécessaire dans ma vie.

Objet d'étude : histoire de l'origine des fractions ordinaires.

Sujet d'étude: fractions ordinaires.

Hypothèse: S'il n'y avait pas de fractions, les mathématiques pourraient-elles se développer ?

But du travail: conception d'un stand « Les mathématiques autour de nous » dans la classe de mathématiques faits intéressants sur les fractions.

Tâches:

1. Étudier l'histoire de l'émergence des fractions en mathématiques ;

2. Sélectionnez les faits les plus intéressants sur les fractions qui peuvent être utilisés pour compiler des sections du stand.

3. Installez un stand dans la classe de mathématiques.

Vivant entourés de fractions, nous ne les remarquons pas toujours clairement. Pourtant, on le rencontre très souvent : à la maison, dans la rue, en magasin. Au réveil le matin, nous regardons le réveil et rencontrons des fractions. Nous utilisons des fractions lors de la pesée des articles dans les magasins. Dans les mesures, lors de la détermination du volume de la cargaison. Des fractions nous entourent partout. À l’aide de fractions, nous pouvons mesurer des longueurs et diviser un tout en parties. Comment mesurer la taille d’une personne ou la distance entre des objets sans connaître les fractions ? Tout autour n'est que fractions !

Pertinence: Vie moderne rend les problèmes de fractions pertinents, à mesure que la portée des applications pratiques des fractions s'élargit.

Méthodes de recherche:

1. Rechercher des informations sur les fractions dans diverses sources : Internet, fiction, manuels scolaires.

2. Analyse, comparaison, synthèse et systématisation de l'information.

De l'histoire des fractions ordinaires

L'émergence des fractions

Depuis l'Antiquité, pour résoudre des problèmes pratiques vitaux, les gens devaient compter des objets et mesurer des quantités, c'est-à-dire répondre aux questions « Combien ? » : combien de moutons y a-t-il dans le troupeau, combien de mesures de céréales collectées dans les champs , à combien de kilomètres du centre du district, etc. Ainsi, des chiffres sont apparus. Il n'était pas toujours possible d'exprimer le résultat de la mesure ou le coût de la marchandise entier naturel. Lorsqu'une personne avait besoin de proposer de nouveaux nombres - fractionnaires -, des fractions apparaissaient. Dans les temps anciens, les nombres entiers et fractionnaires étaient traités différemment : les préférences étaient du côté des nombres entiers. "Si vous voulez diviser une unité, les mathématiciens vous ridiculiseront et ne vous permettront pas de le faire", a écrit Platon, fondateur de l'Académie d'Athènes.

Dans toutes les civilisations, le concept de fraction est né du processus de division d’un tout en parties égales. Le terme russe « fraction », comme ses analogues dans d'autres langues, vient du lat. « fractura », qui est à son tour une traduction d'un terme arabe ayant le même sens : briser, fragmenter. Par conséquent, les premières fractions étaient probablement partout des fractions de la forme 1/n. Le développement ultérieur s'oriente naturellement vers la considération de ces fractions comme des unités à partir desquelles des fractions m/n - nombres rationnels - peuvent être composées. Cependant, cette voie n’a pas été suivie par toutes les civilisations : par exemple, elle n’a jamais été réalisée dans les mathématiques égyptiennes anciennes.

La première fraction à laquelle les gens ont été présentés était la moitié. Bien que les noms de toutes les fractions suivantes soient liés aux noms de leurs dénominateurs (trois est "troisième", quatre est "quart", etc.), il n'en est pas de même pour la moitié - son nom dans toutes les langues n'a rien à voir. faire avec le mot "deux".

Le système d'enregistrement des fractions et les règles pour les traiter différaient sensiblement selon les peuples et selon les pays. des moments différents des mêmes personnes. De nombreux emprunts d’idées ont également joué un rôle important lors des contacts culturels entre différentes civilisations.

Fractions en Russie

Dans la langue russe, le mot « fraction » est apparu au VIIIe siècle ; il vient du verbe « droblit » - briser, briser en morceaux. Désignation moderne les fractions proviennent de Inde ancienne: Les Arabes ont également commencé à l'utiliser.

Dans les anciens manuels, nous trouvons les noms de fractions suivants en Rus' :

La numérotation slave a été utilisée en Russie jusqu'au XVIe siècle, puis le système de numérotation positionnelle décimale a progressivement commencé à pénétrer dans le pays. Elle a finalement supplanté la numérotation slave sous Pierre Ier.

La mesure foncière utilisée en Russie était un quart et une plus petite - un demi-quart, appelée ocmina. Il s'agissait de fractions concrètes, d'unités de mesure de la surface de la terre, mais l'octina ne pouvait mesurer ni le temps ni la vitesse, etc. Beaucoup plus tard, l'octina a commencé à désigner la fraction abstraite 1/8, qui peut exprimer n'importe quelle valeur. À propos de l'utilisation des fractions dans Russie XVII siècle, on peut lire dans le livre de V. Bellustin « Comment les gens sont progressivement parvenus à la vraie arithmétique » ce qui suit : « Dans un manuscrit du XVIIe siècle. « L'article sur toutes les fractions du décret « commence directement par la désignation écrite des fractions et par l'indication du numérateur et du dénominateur. Lors de la prononciation des fractions, les caractéristiques suivantes sont intéressantes : la quatrième partie s'appelait un quart, tandis que les fractions avec un dénominateur de 5 à 11 étaient exprimées avec des mots se terminant par « ina », de sorte que 1/7 est une semaine, 1/5 est un cinq points, 1/10 est une dîme ; les actions avec des dénominateurs supérieurs à 10 étaient prononcées en utilisant les mots « lots », par exemple 5/13 - cinq treizièmes de lots. La numérotation des fractions a été directement empruntée à des sources occidentales. Le numérateur s’appelait le nombre du haut, le dénominateur s’appelait le nombre du bas.

Fractions dans d'autres états de l'Antiquité

Toutes les règles de comptage des anciens Égyptiens étaient basées sur la capacité d'additionner et de soustraire, de doubler des nombres et de compléter des fractions jusqu'à un. Il y avait des notations spéciales pour les fractions. Les Égyptiens utilisaient des fractions de la forme 1/n, où n est un nombre naturel. Ces fractions sont appelées aliquotes. Parfois, au lieu de diviser m:n, ils multipliaient m. n.

A cet effet, des tables spéciales ont été utilisées. Il faut dire que les opérations avec les fractions étaient une caractéristique de l'arithmétique égyptienne, dans laquelle les calculs les plus simples se transformaient parfois en problèmes complexes. (Application).

Application

Stand « Les mathématiques autour de nous »

Tableau « Écriture des fractions en Egypte »

Ce tableau a permis d'effectuer des calculs arithmétiques complexes conformément aux canons acceptés. Apparemment, les scribes l'ont mémorisé, tout comme les écoliers mémorisent maintenant la table de multiplication. Ce tableau était également utilisé pour diviser les nombres. Les Égyptiens savaient aussi multiplier et diviser des fractions. Mais pour multiplier, il fallait multiplier fractions par fractions, puis, peut-être, réutiliser le tableau. La situation avec la division était encore plus compliquée.

Déjà dans l'Antiquité, les Égyptiens savaient diviser 2 pommes en trois : ils avaient même une icône spéciale pour ce nombre. À propos, c'était la seule fraction utilisée par les scribes égyptiens qui n'avait pas d'unité au numérateur - toutes les autres fractions avaient certainement 1 au numérateur (les fractions dites de base) : 1/2, 1/3 , 1/17, ... et etc. Cette attitude envers les fractions est présente depuis très longtemps. La civilisation de l’Egypte ancienne a déjà péri, autrefois bord vert ont été engloutis par les sables du Sahara, et les fractions ont toutes été triées dans la somme des fractions de base - jusqu'à la Renaissance !

En Chine, presque toutes les opérations arithmétiques avec des fractions ordinaires ont été établies au IIe siècle. avant JC e.; ils sont décrits dans le corps fondamental des connaissances mathématiques de la Chine ancienne - « Les mathématiques en neuf livres », dont l'édition finale appartient à Zhang Tsang. En calculant sur la base d'une règle similaire à l'algorithme d'Euclide (le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur), les mathématiciens chinois ont réduit les fractions. Multiplier des fractions était représenté comme trouver l'aire d'un rectangle terrain, dont la longueur et la largeur sont exprimées en nombres fractionnaires. La division était envisagée en utilisant l'idée de partage, tandis que les mathématiciens chinois n'étaient pas déroutés par le fait que le nombre de participants à la division pouvait être fractionnaire, par exemple 3 1/2 personnes.

Initialement, les Chinois utilisaient des fractions simples, nommées à l'aide du hiéroglyphe du bain :

Interdiction (« la moitié ») -1\2 ;

Shao ban (« petite moitié ») -1\3 ;

Tai banh (« grande moitié ») -2\3.

Il est intéressant de noter que les Babyloniens préféraient un dénominateur constant (égal à 60, apparemment parce que leur système numérique était sexagésimal).

Les Romains utilisaient également un seul dénominateur, égal à 12.

Le développement du concept de fraction commune a été réalisé en Inde. Les mathématiciens de ce pays ont pu passer rapidement des fractions unitaires aux fractions générales. Pour la première fois, de telles fractions se trouvent dans les « Règles de la corde » d'Apastamba (VII-V siècles avant JC), qui contiennent des constructions géométriques et les résultats de certains calculs. En Inde, on utilisait un système de notation - peut-être d'origine chinoise et peut-être d'origine grecque tardive - dans lequel le numérateur de la fraction était écrit au-dessus du dénominateur - comme le nôtre, mais sans ligne de fraction, mais la fraction entière était placée dans un cadre rectangulaire.

La notation indienne des fractions et les règles pour les utiliser ont été adoptées au IXe siècle. dans les pays musulmans grâce à Muhammad de Khorezm (al-Khorezmi). Dans la pratique commerciale des pays islamiques, les fractions unitaires étaient largement utilisées ; dans la science, les fractions sexagésimales et, dans une bien moindre mesure, les fractions ordinaires étaient utilisées.

Fractions intéressantes

« Sans connaissance des fractions, personne ne peut être reconnu comme connaissant l’arithmétique ! »

Chaque fois que les gens utilisent de l'argent, ils rencontrent toujours des fractions : au Moyen Âge, 1 pence anglais = 1/12 shilling ; Actuellement, un kopeck russe = 1/100 de rouble.

Les systèmes de mesure portent des fractions : 1 centimètre = 1/10 décimètre = 1/100 mètre.

Les fractions ont toujours été à la mode. Le style à manches trois-quarts est toujours d’actualité. Et le pantalon court 7/8 est un merveilleux détail de garde-robe.

Vous pouvez rencontrer des fractions dans différentes leçons. Par exemple, en géographie : « Durant l’existence de l’URSS, la Russie occupait un sixième du territoire. Aujourd’hui, la Russie occupe un neuvième du territoire.» DANS beaux-Arts- lorsqu'il représente une figure humaine. En musique, le rythme, la métrique d'un morceau de musique.

Une personne rencontre le mot « fraction » dans la vie :

Petites boules de plomb pour tirer avec un fusil de chasse - tir.

Sons fréquents et intermittents - tambours.

Dans la marine, le commandement « tir ! » - cessez-le-feu.

Numérotation des maisons. Un numéro séparé par une fraction est placé sur les maisons numérotées le long de deux rues qui se croisent.

Fraction en danse. Il est impossible d'imaginer la danse folklorique russe sans fractions et sans course.

Frappez une fraction avec vos dents - claquez des dents (tremblement de froid, peur).

Dans la fiction. Deniska, le héros de l'histoire de Viktor Dragunsky « Il faut avoir le sens de l'humour », a un jour posé un problème à son ami Mishka : comment diviser deux pommes à parts égales entre trois ? Et quand Mishka a finalement cédé, il a annoncé triomphalement la réponse : « Faites de la compote ! Mishka et Denis n'avaient pas encore appris les fractions et savaient avec certitude que 2 n'est pas divisible par 3 ?

À proprement parler, « cuisiner la compote » est une opération avec des fractions. Coupeons les pommes en morceaux et nous ajouterons et soustrairons les quantités de ces morceaux, multiplierons et diviserons - qui nous arrêtera ?.. Il est seulement important pour nous de nous rappeler combien de petits morceaux composent une pomme entière...

Mais ce n’est pas la seule solution à ce problème ! Vous devez diviser chaque pomme en trois parties et répartir deux de ces parties sur les trois.

Pendant de nombreux siècles, dans les langues des peuples, un nombre brisé était appelé fraction. Par exemple, vous devez diviser quelque chose de manière égale, par exemple un bonbon, une pomme, un morceau de sucre, etc. Pour ce faire, un morceau de sucre doit être divisé ou divisé en deux moitiés égales. De même avec les nombres, pour obtenir la moitié, vous devez diviser ou « casser » une unité en deux parties. C’est de là que vient le nom de numéros « cassés ».

Il existe trois types de fractions :

1. Unités (aliquotes) ou fractions (par exemple, 1/2, 1/3, 1/4, etc.).

2. Systématique, c'est-à-dire fractions dans lesquelles le dénominateur est exprimé par une puissance d'un nombre (par exemple, une puissance de 10 ou 60, etc.).

3. Vue générale, dans lequel le numérateur et le dénominateur peuvent être n'importe quel nombre.

Il existe des fractions « fausses » - irrégulières et « réelles » - correctes.

Une fraction en mathématiques est une forme de représentation de quantités mathématiques utilisant l'opération de division, reflétant à l'origine le concept de nombres non entiers, ou fractions. Dans le cas le plus simple, une fraction numérique est un rapport de deux nombres

Dans la fraction m/n (lire : « em nièmes »), le nombre m situé au-dessus de la ligne est appelé numérateur, et le nombre n situé en dessous de la ligne est appelé dénominateur. Le dénominateur indique en combien de parties égales le tout a été divisé, et le numérateur indique combien de ces parties ont été prises. La ligne de fraction peut être comprise comme un signe de division.

Le premier scientifique européen qui a commencé à utiliser et à diffuser la notation moderne des fractions était un marchand et voyageur italien, fils du greffier municipal Fibbonacci (Léonard de Pise).

En 1202, il introduisit le mot « fraction ».

Les noms numérateur et dénominateur ont été introduits au XIIIe siècle par Maximus Planud, moine grec, scientifique et mathématicien.

Le système moderne d’écriture des fractions a été créé en Inde. Seulement là, ils ont écrit le dénominateur en haut et le numérateur en bas, et n'ont pas écrit de ligne fractionnaire. Et les Arabes ont commencé à écrire des fractions comme ils le font maintenant. Les opérations avec des fractions au Moyen Âge étaient considérées comme le domaine des mathématiques le plus difficile. Aujourd’hui encore, les Allemands disent d’une personne qui se trouve dans une situation difficile qu’elle « est tombée en fractions ».

Les fractions jouaient également un rôle dans la musique. Et maintenant, dans une certaine notation musicale, une note longue - un tout - est divisée en moitiés (moitié moins longues), quartes, doubles croches et trente secondes. Ainsi, le schéma rythmique de toute œuvre musicale, aussi complexe soit-elle, est déterminé par des fractions ordinaires. L'harmonie s'est avérée étroitement liée aux fractions, ce qui a confirmé l'idée principale des Européens : « Le nombre gouverne le monde ».

« Une personne est comme une fraction : le numérateur est elle-même, et le dénominateur est ce qu'elle pense de elle-même. Plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite" (L.N. Tolstoï).

Principaux résultats de l'étude

L'étude des fractions a toujours été considérée comme la section la plus difficile des mathématiques et parmi tous les peuples. Ceux qui connaissaient les fractions étaient tenus en haute estime. Auteur d'un ancien manuscrit slave du XVe siècle. écrit : « Ce n'est pas merveilleux que... en totalité, mais il est louable que par parties... ».

En travaillant, j'ai appris beaucoup de choses nouvelles et intéressantes. J'ai lu de nombreux livres et sections d'encyclopédies. J'ai fait connaissance avec les premières fractions avec lesquelles les gens opéraient, avec le concept de fraction aliquote, et j'ai appris de nouveaux noms de scientifiques qui ont contribué au développement de la doctrine des fractions. Au cours du travail, j'ai appris beaucoup de nouvelles choses, je pense que ces connaissances seront utiles dans mes études.

Conclusion : Le besoin de fractions est apparu très tôt dans le développement humain. Dans la vie, une personne devait non seulement compter des objets, mais aussi mesurer des quantités. Les gens mesuraient les longueurs, les superficies, les volumes, les masses corporelles, le temps et effectuaient des paiements pour les biens achetés ou vendus. Il n'était pas toujours possible d'exprimer le résultat d'une mesure ou le coût d'un produit en nombre naturel. C'est ainsi qu'apparaissent les fractions et les règles pour les manipuler.

Importance pratique du travail

J'ai maîtrisé les compétences nécessaires pour travailler dans un éditeur de texte et travaillé avec des ressources Internet. J'ai sélectionné du matériel pour décorer le stand « Les mathématiques autour de nous » dans la classe de mathématiques avec des faits intéressants sur les fractions (Annexe). Et conçu un stand (Annexe).

À la suite de mes recherches, j'ai confirmé l'hypothèse : les gens ne pourraient pas se passer de fractions ; sans fractions, les mathématiques ne pourraient pas se développer.

Lien bibliographique

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Introduction

L'étude des fractions est dictée par la vie elle-même. La capacité d'effectuer divers calculs et calculs est nécessaire pour chaque personne, car nous rencontrons des fractions dans la vie de tous les jours. Je voulais savoir d'où venait le nom de ces numéros ; qui a trouvé ces chiffres, c'est le sujet « Fractions », que nous étudions à l'école, qui est nécessaire dans ma vie.

Objet d'étude : histoire de l'origine des fractions ordinaires.

Sujet d'étude: fractions ordinaires.

Hypothèse: S’il n’y avait pas de fractions, les mathématiques pourraient-elles se développer ?

Objectif du travail : décorer le stand « Les mathématiques autour de nous » dans la classe de mathématiques avec des faits intéressants sur les fractions.

Tâches:

Étudier l’histoire des fractions en mathématiques ;

Sélectionnez les faits les plus intéressants sur les fractions qui peuvent être utilisés pour compiler des sections du stand.

Installez un stand dans la classe de mathématiques.

Vivant entourés de fractions, nous ne les remarquons pas toujours clairement. Pourtant, on le rencontre très souvent : à la maison, dans la rue, en magasin. Au réveil le matin, nous regardons le réveil et rencontrons des fractions. Nous utilisons des fractions lors de la pesée des articles dans les magasins. Dans les mesures, lors de la détermination du volume de la cargaison. Des fractions nous entourent partout. À l’aide de fractions, nous pouvons mesurer des longueurs et diviser un tout en parties. Comment mesurer la taille d’une personne ou la distance entre des objets sans connaître les fractions ? Tout autour n'est que fractions !

Pertinence: La vie moderne rend les problèmes de fractions pertinents, à mesure que la portée des applications pratiques des fractions s’élargit.

Méthodes de recherche:

1. Recherchez des informations sur les fractions dans diverses sources : Internet, fiction, manuels.

2. Analyse, comparaison, synthèse et systématisation de l'information.

1. De l'histoire des fractions ordinaires

1.1. L'émergence des fractions

Depuis l'Antiquité, pour résoudre des problèmes pratiques vitaux, les gens devaient compter des objets et mesurer des quantités, c'est-à-dire répondre aux questions « Combien ? » : combien de moutons y a-t-il dans le troupeau, combien de mesures de céréales collectées dans les champs , à combien de kilomètres du centre du district, etc. Ainsi, des chiffres sont apparus. Il n'était pas toujours possible d'exprimer le résultat d'une mesure ou le coût d'un produit en nombre naturel. Lorsqu'une personne avait besoin de proposer de nouveaux nombres - fractionnaires -, des fractions apparaissaient. Dans les temps anciens, les nombres entiers et fractionnaires étaient traités différemment : les préférences étaient du côté des nombres entiers. "Si vous voulez diviser une unité, les mathématiciens vous ridiculiseront et ne vous permettront pas de le faire", a écrit Platon, fondateur de l'Académie d'Athènes.

Dans toutes les civilisations, le concept de fraction est né du processus de division d’un tout en parties égales. Le terme russe « fraction », comme ses analogues dans d'autres langues, vient du lat. « fractura », qui est à son tour une traduction d'un terme arabe ayant le même sens : briser, fragmenter. Par conséquent, les premières fractions étaient probablement partout des fractions de la forme 1/n. Le développement ultérieur s'oriente naturellement vers la considération de ces fractions comme des unités à partir desquelles des fractions m/n - nombres rationnels - peuvent être composées. Cependant, cette voie n’a pas été suivie par toutes les civilisations : par exemple, elle n’a jamais été réalisée dans les mathématiques égyptiennes anciennes.

La première fraction à laquelle les gens ont été présentés était la moitié. Bien que les noms de toutes les fractions suivantes soient liés aux noms de leurs dénominateurs (trois est "troisième", quatre est "quart", etc.), il n'en est pas de même pour la moitié - son nom dans toutes les langues n'a rien à voir. faire avec le mot "deux".

Le système d'enregistrement des fractions et les règles pour les traiter différaient sensiblement selon les différentes nations et à différentes époques parmi les mêmes peuples. De nombreux emprunts d’idées ont également joué un rôle important lors des contacts culturels entre différentes civilisations.

1.2. Fractions en Russie

Dans la langue russe, le mot « fraction » est apparu au VIIIe siècle ; il vient du verbe « droblit » - briser, briser en morceaux. La notation moderne des fractions trouve son origine dans l'Inde ancienne : les Arabes ont également commencé à l'utiliser.

Dans les anciens manuels, nous trouvons les noms de fractions suivants en Rus' :

La numérotation slave a été utilisée en Russie jusqu'au XVIe siècle, puis le système de numérotation positionnelle décimale a progressivement commencé à pénétrer dans le pays. Elle a finalement supplanté la numérotation slave sous Pierre Ier.

La mesure foncière utilisée en Russie était un quart et une plus petite - un demi-quart, appelée ocmina. Il s'agissait de fractions concrètes, d'unités de mesure de la surface de la terre, mais l'octina ne pouvait mesurer ni le temps ni la vitesse, etc. Beaucoup plus tard, l'octina a commencé à désigner la fraction abstraite 1/8, qui peut exprimer n'importe quelle valeur. À propos de l'utilisation des fractions en Russie au XVIIe siècle, vous pouvez lire ce qui suit dans le livre de V. Bellustin « Comment les gens ont progressivement atteint la vraie arithmétique » : « Dans un manuscrit du XVIIe siècle. « L'article sur toutes les fractions du décret « commence directement par la désignation écrite des fractions et par l'indication du numérateur et du dénominateur. Lors de la prononciation des fractions, les caractéristiques suivantes sont intéressantes : la quatrième partie s'appelait un quart, tandis que les fractions avec un dénominateur de 5 à 11 étaient exprimées avec des mots se terminant par « ina », de sorte que 1/7 est une semaine, 1/5 est un cinq points, 1/10 est une dîme ; les actions avec des dénominateurs supérieurs à 10 étaient prononcées en utilisant les mots « lots », par exemple 5/13 - cinq treizièmes de lots. La numérotation des fractions a été directement empruntée à des sources occidentales. Le numérateur s’appelait le nombre du haut, le dénominateur s’appelait le nombre du bas.

1.3. Fractions dans d'autres états de l'Antiquité

Toutes les règles du compte Les anciens Egyptiensétaient basés sur la capacité d’additionner et de soustraire, de doubler des nombres et de compléter des fractions jusqu’à un. Il y avait des notations spéciales pour les fractions. Les Égyptiens utilisaient des fractions de la forme 1/n, où n est un nombre naturel. De telles fractions sont appelées aliquote. Parfois, au lieu de diviser m:n, ils multipliaient m∙n.

A cet effet, des tables spéciales ont été utilisées. Il faut dire que les opérations avec les fractions étaient une caractéristique de l'arithmétique égyptienne, dans laquelle les calculs les plus simples se transformaient parfois en problèmes complexes. (Annexe 3)

Ce tableau a permis d'effectuer des calculs arithmétiques complexes conformément aux canons acceptés. Apparemment, les scribes l'ont mémorisé, tout comme les écoliers mémorisent maintenant la table de multiplication. Ce tableau était également utilisé pour diviser les nombres. Les Égyptiens savaient aussi multiplier et diviser des fractions. Mais pour multiplier, il fallait multiplier fractions par fractions, puis, peut-être, réutiliser le tableau. La situation avec la division était encore plus compliquée.

Déjà dans l'Antiquité, les Égyptiens savaient diviser 2 pommes en trois : ils avaient même une icône spéciale pour ce nombre. À propos, c'était la seule fraction utilisée par les scribes égyptiens qui n'avait pas d'unité au numérateur - toutes les autres fractions avaient certainement 1 au numérateur (les fractions dites de base) : 1/2, 1/3 , 1/17, ... et etc. Cette attitude envers les fractions est présente depuis très longtemps. La civilisation de l'Egypte ancienne avait déjà péri, la terre autrefois verte a été engloutie par les sables du Sahara, et les fractions ont toutes été triées dans la somme des fractions de base - jusqu'à la Renaissance !

En Chine Presque toutes les opérations arithmétiques avec des fractions ordinaires ont été établies au IIe siècle. avant JC e.; ils sont décrits dans le corps fondamental des connaissances mathématiques de la Chine ancienne - « Les mathématiques en neuf livres », dont l'édition finale appartient à Zhang Tsang. En calculant sur la base d'une règle similaire à l'algorithme d'Euclide (le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur), les mathématiciens chinois ont réduit les fractions. On pensait que multiplier des fractions revenait à trouver l'aire d'un terrain rectangulaire dont la longueur et la largeur sont exprimées en fractions. La division était envisagée en utilisant l'idée de partage, alors que les mathématiciens chinois n'étaient pas gênés par le fait que le nombre de participants à la division pouvait être fractionnaire, par exemple 3⅓ personnes.

Initialement, les Chinois utilisaient des fractions simples, nommées à l'aide du hiéroglyphe du bain :

banh (« la moitié ») -12 ;

shao ban (« petite moitié ») -13 ;

tai banh (« grande moitié ») -23. je me demande quoi Babyloniens ils préféraient un dénominateur constant (égal à 60, apparemment parce que leur système numérique était sexagésimal).

Romains Ils n’ont également utilisé qu’un seul dénominateur, égal à 12.

Le développement du concept de fraction commune a été réalisé en Inde. Les mathématiciens de ce pays ont pu passer rapidement des fractions unitaires aux fractions générales. Pour la première fois, de telles fractions se trouvent dans les « Règles de la corde » d'Apastamba (VII-V siècles avant JC), qui contiennent des constructions géométriques et les résultats de certains calculs. En Inde, on utilisait un système de notation - peut-être d'origine chinoise et peut-être d'origine grecque tardive - dans lequel le numérateur de la fraction était écrit au-dessus du dénominateur - comme le nôtre, mais sans ligne de fraction, mais la fraction entière était placée dans un cadre rectangulaire.

La notation indienne des fractions et les règles pour les utiliser ont été adoptées au IXe siècle. dans les pays musulmans grâce à Muhammad de Khorezm (al-Khorezmi). Dans la pratique commerciale des pays islamiques, les fractions unitaires étaient largement utilisées ; dans la science, les fractions sexagésimales et, dans une bien moindre mesure, les fractions ordinaires étaient utilisées.

Fractions intéressantes

« Sans connaissance des fractions, personne ne peut être reconnu comme connaissant l’arithmétique ! » (Cicéron)

Chaque fois que les gens utilisent de l'argent, ils rencontrent toujours des fractions : au Moyen Âge, 1 pence anglais = 1/12 shilling ; Actuellement, un kopeck russe = 1/100 de rouble.

Les systèmes de mesure portent des fractions : 1 centimètre = 1/10 décimètre = 1/100 mètre.

Les fractions ont toujours été à la mode. Le style à manches trois-quarts est toujours d’actualité. Et le pantalon court 7/8 est un merveilleux détail de garde-robe.

Vous pouvez rencontrer des fractions dans différentes leçons. Par exemple, en géographie : « Durant l’existence de l’URSS, la Russie occupait un sixième du territoire. Aujourd’hui, la Russie occupe un neuvième du territoire.» Dans les beaux-arts - lors de la représentation d'une figure humaine. En musique, le rythme, la métrique d'un morceau de musique.

Une personne tombe sur le mot « fraction » dans la vie:

Petites boules de plomb pour tirer avec un fusil de chasse - tir.

Sons fréquents et intermittents - tambours.

Dans la marine, le commandement « tir ! » - cessez-le-feu.

Numérotation des maisons. Un numéro séparé par une fraction est placé sur les maisons numérotées le long de deux rues qui se croisent.

Fraction en danse. Il est impossible d'imaginer la danse folklorique russe sans fractions et sans course.

Frappez une fraction avec vos dents - claquez des dents (tremblement de froid, peur).

Dans la fiction. Deniska, le héros de l'histoire de Viktor Dragunsky « Il faut avoir le sens de l'humour », a un jour posé un problème à son ami Mishka : comment diviser deux pommes à parts égales entre trois ? Et quand Mishka a finalement cédé, il a annoncé triomphalement la réponse : « Faites de la compote ! Mishka et Denis n'avaient pas encore appris les fractions et savaient avec certitude que 2 n'est pas divisible par 3 ?

À proprement parler, « cuisiner la compote » est une opération avec des fractions. Coupeons les pommes en morceaux et nous ajouterons et soustrairons les quantités de ces morceaux, multiplierons et diviserons - qui nous arrêtera ?.. Il est seulement important pour nous de nous rappeler combien de petits morceaux composent une pomme entière...

Mais ce n’est pas la seule solution à ce problème ! Il est nécessaire de diviser chaque pomme en trois parties et de répartir deux de ces parties sur les trois.

Pendant de nombreux siècles, dans les langues des peuples, un nombre brisé était appelé fraction. Par exemple, vous devez diviser quelque chose de manière égale, par exemple un bonbon, une pomme, un morceau de sucre, etc. Pour ce faire, un morceau de sucre doit être divisé ou divisé en deux moitiés égales. De même avec les nombres, pour obtenir la moitié, vous devez diviser ou « casser » une unité en deux parties. C’est de là que vient le nom de numéros « cassés ».

Il existe trois types de fractions :

Unités (aliquotes) ou fractions (par exemple 1/2, 1/3, 1/4, etc.).

Systématique, c'est-à-dire fractions dans lesquelles le dénominateur est exprimé par une puissance d'un nombre (par exemple, une puissance de 10 ou 60, etc.).

Forme générale, dans laquelle le numérateur et le dénominateur peuvent être n'importe quel nombre.

Il existe des fractions « fausses » - irrégulières et « réelles » - correctes.

Fraction en mathématiques- une forme de représentation de quantités mathématiques utilisant l'opération de division, reflétant à l'origine le concept de nombres non entiers, ou fractions. Dans le cas le plus simple, une fraction numérique est un rapport de deux nombres.

m:n =m/n

En une fraction m/n(lire : « euh nième ») nombre m, situé au-dessus de la ligne, est appelé numérateur, et le nombre n, situé en dessous de la ligne, est appelé dénominateur. Le dénominateur indique en combien de parties égales le tout a été divisé, et le numérateur indique combien de ces parties ont été prises. La ligne de fraction peut être comprise comme un signe de division.

Le premier scientifique européen qui a commencé à utiliser et à diffuser la notation moderne des fractions était un marchand et voyageur italien, fils du greffier municipal Fibbonacci (Léonard de Pise).

En 1202, il introduisit le mot « fraction ».

Les noms numérateur et dénominateur ont été introduits au XIIIe siècle par Maximus Planud, moine grec, scientifique et mathématicien.

Le système moderne d’écriture des fractions a été créé en Inde. Seulement là, ils ont écrit le dénominateur en haut et le numérateur en bas, et n'ont pas écrit de ligne fractionnaire. Et les Arabes ont commencé à écrire des fractions comme ils le font maintenant. Les opérations avec des fractions au Moyen Âge étaient considérées comme le domaine des mathématiques le plus difficile. Aujourd’hui encore, les Allemands disent d’une personne qui se trouve dans une situation difficile qu’elle « est tombée en fractions ».

Les fractions jouaient également un rôle dans la musique. Et maintenant, dans une certaine notation musicale, une note longue - un tout - est divisée en moitiés (moitié moins longues), quartes, doubles croches et trente secondes. Ainsi, le schéma rythmique de toute œuvre musicale, aussi complexe soit-elle, est déterminé par des fractions ordinaires. L'harmonie s'est avérée étroitement liée aux fractions, ce qui a confirmé l'idée principale des Européens : « Le nombre gouverne le monde ».

« Une personne est comme une fraction : le numérateur est elle-même, et le dénominateur est ce qu'elle pense de elle-même. Plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite" (L.N. Tolstoï).

Principaux résultats de l'étude

L'étude des fractions a toujours été considérée comme la section la plus difficile des mathématiques et parmi tous les peuples. Ceux qui connaissaient les fractions étaient tenus en haute estime. Auteur d'un ancien manuscrit slave du XVe siècle. écrit : « Ce n'est pas merveilleux que... en totalité, mais il est louable que par parties... ».

En travaillant, j'ai appris beaucoup de choses nouvelles et intéressantes. J'ai lu de nombreux livres et sections d'encyclopédies. J'ai fait connaissance avec les premières fractions avec lesquelles les gens opéraient, avec le concept de fraction aliquote, et j'ai appris de nouveaux noms de scientifiques qui ont contribué au développement de la doctrine des fractions. Au cours du travail, j'ai appris beaucoup de nouvelles choses, je pense que ces connaissances seront utiles dans mes études.

Conclusion: Le besoin de fractions est apparu très tôt dans le développement humain. Dans la vie, une personne devait non seulement compter des objets, mais aussi mesurer des quantités. Les gens mesuraient les longueurs, les superficies, les volumes, les masses corporelles, le temps et effectuaient des paiements pour les biens achetés ou vendus. Il n'était pas toujours possible d'exprimer le résultat d'une mesure ou le coût d'un produit en nombre naturel. C'est ainsi qu'apparaissent les fractions et les règles pour les manipuler.

Importance pratique du travail :

J'ai maîtrisé les compétences nécessaires pour travailler dans un éditeur de texte et travaillé avec des ressources Internet. J'ai sélectionné du matériel pour décorer le stand « Les mathématiques autour de nous » dans la classe de mathématiques avec des faits intéressants sur les fractions (Annexe 1). Et conçu un stand (Annexe).

À la suite de l'étude J'ai confirmé l'hypothèse : les gens ne pourraient pas se passer de fractions ; sans fractions, les mathématiques ne pourraient pas se développer.

Bibliographie

Anishchenko E. A. Le nombre comme concept de base des mathématiques. Marioupol, 2002.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathématiques. 5e année : manuel pour les établissements d'enseignement général/- 26e éd., ster. - M. : Mnémosyne, 2009. - 280 p.

Geyser G.I. Histoire des mathématiques à l'école. Manuel pour les enseignants. - M. : Éducation, 1981. - 239 p.

Mathématiques. 5e année : pédagogique pour l'enseignement général. établissements. [CM. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkine]. — 11e éd., révisée. - M. : Éducation, 2016. - 272 p. - (MSU - école).

Dictionnaire encyclopédique mathématique. - M., 1988.

Ressources électroniques d'accès à distance (Internet)

1. Dragunsky V. "Vous devez avoir le sens de l'humour." Mode d'accès : http://peskarlib.ru/lib.php?id_sst=248

   De l'histoire des fractions. Mode d'accès : http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm -

3. Matériel de Wikipédia - l'encyclopédie gratuite. Mode d'accès : http://ru.wikipedia.org/wiki

Citations. Mode d'accès : http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

Applications

Stand « Les mathématiques autour de nous »

Tableau « Écriture des fractions en Egypte »

" article "". L’article est une réponse à la question de nos lecteurs : « Notre enfant s’intéresse aux mathématiques. Que pouvez-vous proposer sur le thème des « fractions » d’intéressant, utile, insolite et pédagogique ? Nous n’aimons pas les gâteaux coupés en morceaux.

La symétrie visuelle des fractions est notre réponse. En général, les mathématiques sont une science. Elle a été initialement développée comme une science plus haut degré concret, réel. Ses sujets étaient des objets réels, des objets, des choses. Mais ensuite, à partir de Pythagore et de son célèbre carré, les mathématiques ont commencé à entrer dans le domaine abstrait. Autrement dit, sans rapport avec la réalité réellement existante.

Bien sûr, cela peut être utile lors du calcul de diverses choses supérieures. Mais tout en apprenant les bases il est préférable de recourir aux mathématiques autant que possible matériel exemples.

C’est-à-dire un minimum d’actions dans l’esprit, un maximum d’actions auprès des masses.

Cela fonctionne même si l'élève a 18 ans et a un besoin urgent d'améliorer ses mathématiques. Passez un peu de temps à donner la masse et la matérialité d'un objet - et l'apprentissage ira beaucoup plus vite.

De ce point de vue, les gâteaux sont tout à fait adaptés (sauf qu'ils ne sont peut-être pas si bons pour les dents :) Mais il est beaucoup plus simple et bien moins coûteux d’utiliser des branches et des bâtons. Quels enfants peuvent diviser INDÉPENDAMMENT en parties nécessaires.

Bien sûr, au début, ce ne seront que des broussailles. Mais petit à petit, petit à petit, on arrive à l’essentiel. Par exemple, à la symétrie des fractions.

Ainsi, en fonction de la matérialité, et en tenant compte de la question, nous décrivons des matières qui ne sont généralement pas prises en compte à l'école.

La symétrie visuelle des fractions est une science, une esthétique et un développement.

Problèmes méthodologiques

Les photos suivent. Sans la moindre question, montrer des images aux enfants est quasiment INUTILE. Au mieux, ils diront poliment « wow… » et iront jouer sur l'ordinateur.

Au lieu de photos, il devrait y en avoir de vraies, objets durs . Par exemple, il a cassé les branches en parties requises. Attention : puisque cela fractions(du mot "écraser"), alors vous ne devriez pas donner d'allumettes, etc. et demandez à en disposer. Il doit s’agir d’un tout divisé en parties nécessaires.

Si vous asseyez votre enfant et disposez les brindilles devant lui selon la forme proposée ci-dessous, il pourrait même s'y intéresser. Mais rien de plus. Et si vous lui demandez de répéter ce qu’il a vu dans cinq jours, il ne pourra pas le faire. Autrement dit, il a été simplement surpris, comme les gens sont surpris par des faits inutiles mais intéressants (comme « si vous mettez tous les vaisseaux sanguins sur une seule ligne, vous pouvez envelopper tout un troupeau d'éléphants dans un cocon épais »).

Si vous voulez des prestations pour l'enfant, alors il Vous devez le sortir et le publier vous-même les modèles proposés ci-dessous. Bien entendu, vous n’êtes pas obligé de tout faire en même temps.

1. Petit à petit, bâton par bâton, le dessin terminé.
2. Veuillez rechercher des modèles.
3. Le temps pour « penser » est peut-être d’une journée, ou peut-être d’une semaine.
4. Veuillez noter le modèle que vous trouvez.
5. Veuillez vérifier le modèle dans la pratique.

Après cela, vous pouvez passer au groupe de modèles suivant.

En fait, la symétrie des fractions.

Faites attention à l'image.

Il existe une symétrie formée par des parties fractionnaires du tout. La symétrie se présente sous deux formes :

• visuel, figuratif
• visuel, numérique.

Le résultat n’était donc pas seulement une belle courbe douce. Modèle numérique : d'abord en haut de la fraction il y en a un, et en bas le nombre diminue de un. Et après 1/2, il y a un autre modèle - les nombres supérieur et inférieur augmentent de un.

En fait, une question philosophique : pourquoi augmenter le dénominateur (ou le numérateur et le dénominateur) de un donne-t-il une belle courbe lisse ?

Peut-être que les enfants pourront trouver la réponse à la question :)

Surtout s'ils suivent les étapes 1 à 5 des directives.

Passons maintenant à un autre point de symétrie des fractions. Le même dessin, mais avec un petit ajout :

Comme vous pouvez le voir, le modèle trouvé concernant le changement du numérateur et du dénominateur de un est symétrique en miroir.

Passons maintenant au prochain moment de symétrie. Découpons le diagramme en 4 parties et reflétons le coin supérieur gauche. Vous obtiendrez cette image :

D'accord, il y a plus de symétrie. Mais nous nous retrouvons avec un milieu blanc et vide. Il est symétrique... Peut-être qu'il y a une sorte de motif dedans ? Allons vérifier:

Oui oui! Le numérateur et le dénominateur sont diminués de un. Mais la différence entre le numérateur et le dénominateur est différente - 2 unités.

Il est maintenant temps de rappeler que les fractions peuvent être réduites :

Fait intéressant, il y a aussi une symétrie ici : le numérateur et le dénominateur sont réduits de un. Et il y a aussi une différence entre eux.

Mais nous avons encore des cellules vides... Qui sont probablement aussi naturelles :

Et encore une fois au point ! Le même schéma - une diminution de un et une différence de un.

Voici quelques choses intéressantes sur la symétrie des fractions. Une fois que vous connaîtrez le modèle, vous serez en mesure de trouver la symétrie de n’importe quelle fraction par n’importe quel moyen.

Un conseil pour les parents (ou quelque chose qu'il serait bien qu'un enfant comprenne) :

Un changement naturel donne un motif symétrique.

Dans notre cas, les fractions changent naturellement. Mais cela s'applique également à tout autre phénomène du monde environnant.

Vous ne me croyez pas ? Vérifiez-le! 🙂

Écrivez vos avis et conseils dans les commentaires !