Développement méthodologique sur le thème : recherche mathématique dans les cours de mathématiques.

En 1774 L. Euler montra que si la fonction y(x) fournit un minimum à l'intégrale linéaire J = J[y(x), alors il doit satisfaire certaines équations différentielles, appelées par la suite Les équations d'Euler. La découverte de ce fait a été une réalisation importante dans le domaine de la modélisation mathématique (construction de modèles mathématiques). Il est devenu clair qu'un même modèle mathématique peut se présenter sous deux formes équivalentes : sous forme de fonctionnelle ou sous forme d'équation différentielle d'Euler (un système d'équations différentielles). À cet égard, le remplacement d'une équation différentielle par une fonctionnelle est appelé problème inverse du calcul des variations. Ainsi, la solution du problème d'un extremum d'une fonctionnelle peut être considérée de la même manière que la solution de l'équation différentielle d'Euler correspondant à cette fonctionnelle. Par conséquent, la formulation mathématique d'un même problème physique peut se présenter soit sous la forme d'une fonctionnelle avec les conditions aux limites correspondantes (l'extremum de cette fonctionnelle fournit une solution au problème physique), soit sous la forme de l'équation différentielle d'Euler correspondant à cette fonctionnelle avec les mêmes conditions aux limites (l'intégration de cette équation apporte la solution au problème).

La large diffusion des méthodes variationnelles dans les sciences appliquées a été facilitée par la parution en 1908 d'une publication de W. Ritz, associée à la méthode de minimisation des fonctionnelles, appelée plus tard Méthode Ritz. Cette méthode est considérée comme la méthode variationnelle classique. Son idée principale est que la fonction souhaitée y = y(x) y délivrant le fonctionnel (A ) Avec conditions aux limites y (a) = A, y (b) = DANS valeur minimale, recherchée sous forme de série

Où CJ (je = 0, yy) - coefficients inconnus ; (r/(ré) (r = 0, P) - fonctions de coordonnées (polype algébrique ou trigonométrique).

Les fonctions de coordonnées se trouvent sous une forme telle qu’elles satisfont exactement aux conditions aux limites du problème.

En remplaçant (c) par (A), après avoir déterminé les dérivées de la fonctionnelle J.à partir des inconnues C, (r = 0, r) par rapport à ces dernières, on obtient un système d'équations algébriques linéaires. Après avoir déterminé les coefficients C, la solution du problème sous forme fermée est trouvée à partir de (c).

Lors de l'utilisation d'un grand nombre de termes de série (c) (P.- 5 ? °о) en principe, il est possible d'obtenir une solution ayant la précision requise. Cependant, comment afficher les calculs de problèmes spécifiques, la matrice de coefficients C, (g = 0, P) est une matrice carrée remplie avec un large éventail de coefficients en valeur absolue. De telles matrices sont proches du singulier et, en règle générale, sont mal conditionnées. En effet, ils ne satisfont à aucune des conditions dans lesquelles les matrices peuvent être bien conditionnées. Examinons certaines de ces conditions.

• 1. Définition positive de la matrice (les termes situés sur la diagonale principale doivent être positifs et maximaux).
• 2. Vue ruban de la matrice par rapport à la diagonale principale avec une largeur minimale de bande (les coefficients matriciels situés à l'extérieur de la bande sont égaux à zéro).
• 3. Symétrie de la matrice par rapport à la diagonale principale.

À cet égard, avec des approximations croissantes dans la méthode de Ritz, le numéro de condition d'une matrice, déterminé par le rapport de sa valeur propre maximale à sa valeur propre minimale, tend vers une valeur infiniment grande. Et la précision de la solution résultante, en raison de l'accumulation rapide d'erreurs d'arrondi lors de la résolution de grands systèmes d'équations linéaires algébriques, peut ne pas s'améliorer, mais se détériorer.

Parallèlement à la méthode Ritz, la méthode Galerkin associée s'est développée. En 1913, I. G. Bubnov a établi que les équations algébriques linéaires par rapport aux inconnues C, (/ = 0, P.) à partir de (c) peut être obtenu sans utiliser de fonctionnelle de la forme (A). La formulation mathématique du problème dans ce cas comprend une équation différentielle avec des conditions aux limites appropriées. La solution, comme dans la méthode Ritz, se fait sous la forme (c). Grâce à la conception particulière des fonctions de coordonnées φ,(x), la solution (c) satisfait exactement aux conditions aux limites du problème. Pour déterminer les coefficients inconnus C, (g = 0, P) la divergence de l'équation différentielle est compilée et la divergence doit être orthogonale à toutes les fonctions de coordonnées φ 7 Cr) (/ = je = 0, P). Détermination des destinataires Il existe des intégrales par rapport aux coefficients inconnus C, (G= 0, r) on obtient un système d'équations algébriques linéaires qui coïncide complètement avec le système d'équations similaires de la méthode Ritz. Ainsi, en résolvant les mêmes problèmes en utilisant les mêmes systèmes de fonctions de coordonnées, les méthodes de Ritz et Bubnov-Galerkin conduisent aux mêmes résultats.

Malgré l'identité des résultats obtenus, un avantage important de la méthode Bubnov-Galerkin par rapport à la méthode Ritz est qu'elle ne nécessite pas la construction d'un analogue variationnel (fonctionnel) de l'équation différentielle. Notez qu’un tel analogue ne peut pas toujours être construit. En relation avec cette méthode Bubnov-Galerkin, des problèmes pour lesquels les méthodes variationnelles classiques ne sont pas applicables peuvent être résolus.

Une autre méthode appartenant au groupe variationnel est la méthode Kantorovich. Son poinçonner est que les coefficients inconnus dans les combinaisons linéaires de type (c) ne sont pas des constantes, mais des fonctions qui dépendent de l'une des variables indépendantes du problème (par exemple le temps). Ici, comme dans la méthode Bubnov-Galerkin, la divergence de l'équation différentielle est compilée et la divergence doit être orthogonale à toutes les fonctions de coordonnées (ру(дг) (j = je = 0, P). Après avoir défini les intégrales par rapport aux fonctions inconnues fj(x) nous aurons un système d’équations différentielles ordinaires du premier ordre. Les méthodes permettant de résoudre de tels systèmes sont bien développées (des programmes informatiques standards sont disponibles).

L'une des orientations dans la résolution des problèmes de valeurs limites est l'utilisation conjointe de méthodes analytiques exactes (Fourier, transformations intégrales, etc.) et approximatives (variationnelles, résidus pondérés, collocations, etc.). Cette approche globale permet la meilleure façon utiliser les aspects positifs de ces deux dispositifs les plus importants des mathématiques appliquées, puisqu'il devient possible, sans effectuer de calculs mathématiques subtils et fastidieux, d'obtenir des expressions sous une forme simple équivalentes à l'essentiel de la solution exacte constituée d'un infini série fonctionnelle. Pour les calculs pratiques, on utilise généralement cette somme partielle de plusieurs termes. Lors de l'utilisation de telles méthodes, pour obtenir des résultats plus précis dans la section initiale de la coordonnée parabolique, il est nécessaire d'effectuer un grand nombre d'approximations. Cependant, avec de grandes P. les fonctions de coordonnées avec des indices adjacents conduisent à équations algébriques, liés par une dépendance presque linéaire. La matrice des coefficients dans ce cas, étant une matrice carrée remplie, est proche du singulier et s'avère, en règle générale, mal conditionnée. Et quand P.- 3 ? °° la solution approchée peut ne pas converger même vers une solution faiblement précise. La résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires avec des matrices mal conditionnées présente des difficultés techniques importantes en raison de l'accumulation rapide d'erreurs d'arrondi. Par conséquent, de tels systèmes d’équations doivent être résolus avec une grande précision des calculs intermédiaires.

Endroit spécial parmi les méthodes analytiques approchées qui permettent d'obtenir des solutions analytiques dans la section initiale de la coordonnée temporelle (parabolique) se trouvent les méthodes qui utilisent le concept face aux perturbations de température. Selon ces méthodes, l'ensemble du processus de chauffage ou de refroidissement des corps est formellement divisé en deux étapes. Le premier d'entre eux se caractérise par la propagation progressive du front de perturbation de la température de la surface du corps vers son centre, et le second par une variation de température dans tout le volume du corps jusqu'à l'apparition de état stable. Cette division du processus thermique en deux étapes dans le temps permet de résoudre étape par étape les problèmes de conductivité thermique non stationnaire et pour chaque étape séparément, en règle générale, dès la première approximation, de trouver des formules de calcul satisfaisantes en précision, assez simple et pratique dans les applications d'ingénierie. Ces méthodes présentent également un inconvénient important, à savoir la nécessité d'un choix a priori de la dépendance coordonnée de la fonction de température souhaitée. Les paraboles quadratiques ou cubiques sont généralement acceptées. Cette ambiguïté de la solution pose le problème de la précision, car, en supposant à l'avance tel ou tel profil du champ de température, nous obtiendrons à chaque fois des résultats finaux différents.

Parmi les méthodes qui utilisent l'idée d'une vitesse finie de déplacement du front d'une perturbation de température, la plus utilisée est la méthode intégrale bilan thermique. Avec son aide, l'équation aux dérivées partielles peut être réduite à une équation ordinaire équation différentielle avec des conditions initiales données, dont la solution peut assez souvent être obtenue sous une forme analytique fermée. La méthode intégrale, par exemple, peut être utilisée pour résoudre approximativement des problèmes lorsque les propriétés thermophysiques ne sont pas constantes, mais sont déterminées par une dépendance fonctionnelle complexe, et des problèmes dans lesquels, outre la conductivité thermique, la convection doit également être prise en compte. La méthode intégrale présente également l'inconvénient mentionné ci-dessus : un choix a priori du profil de température, ce qui pose le problème de l'unicité de la solution et conduit à sa faible précision.

De nombreux exemples d'application de la méthode intégrale pour résoudre des problèmes de conduction thermique sont donnés dans les travaux de T. Goodman. Dans cet ouvrage, avec l'illustration de belles opportunités ses limites sont également montrées. Ainsi, malgré le fait que de nombreux problèmes peuvent être résolus avec succès par la méthode intégrale, il existe toute une classe de problèmes pour lesquels cette méthode n'est pratiquement pas applicable. Il s'agit par exemple de problèmes liés aux changements d'impulsion dans les fonctions d'entrée. La raison en est que le profil de température sous la forme d’une parabole quadratique ou cubique ne correspond pas au véritable profil de température pour de tels problèmes. Par conséquent, si la véritable distribution de température dans le corps étudié prend la forme d'une fonction non monotone, il est alors impossible d'obtenir une solution satisfaisante cohérente avec la signification physique du problème, quelles que soient les circonstances.

Un moyen évident d’améliorer la précision de la méthode intégrale consiste à utiliser davantage les fonctions polynomiales de température. ordre élevé. Dans ce cas, les principales conditions aux limites et conditions de régularité au front de la perturbation de température ne sont pas suffisantes pour déterminer les coefficients de tels polynômes. À cet égard, il est nécessaire de rechercher les conditions aux limites manquantes qui, avec celles données, permettraient de déterminer les coefficients du profil de température optimal d'un ordre supérieur, en tenant compte de toutes les caractéristiques physiques du problème à l’étude. De telles conditions aux limites supplémentaires peuvent être obtenues à partir des conditions aux limites principales et de l'équation différentielle originale en les différenciant aux points limites en coordonnées spatiales et dans le temps.

Lors de recherches diverses tâches transfert de chaleur, on suppose que les propriétés thermophysiques ne dépendent pas de la température et les conditions linéaires sont prises comme conditions aux limites. Cependant, si la température corporelle varie dans une large plage, alors, en raison de la dépendance des propriétés thermophysiques à la température, l'équation de conduction thermique devient non linéaire. Sa solution devient beaucoup plus compliquée et les méthodes analytiques précises connues s'avèrent inefficaces. La méthode du bilan thermique intégral permet de surmonter certaines difficultés liées à la non-linéarité du problème. Par exemple, il réduit une équation aux dérivées partielles avec des conditions aux limites non linéaires à une équation différentielle ordinaire avec des conditions initiales données, dont la solution peut souvent être obtenue sous forme analytique fermée.

On sait que des solutions analytiques exactes n'ont actuellement été obtenues que pour des problèmes dans une formulation mathématique simplifiée, alors que de nombreux caractéristiques importantes processus (non-linéarité, variabilité des propriétés et conditions aux limites, etc.). Tout cela conduit à un écart significatif entre les modèles mathématiques et les modèles réels. processus physiques, se produisant dans des centrales électriques spécifiques. De plus, les solutions exactes sont exprimées par des séries fonctionnelles infinies complexes qui, à proximité des points limites et pour de petites valeurs de la coordonnée temporelle, convergent lentement. De telles solutions sont peu utiles pour les applications d'ingénierie, et notamment dans les cas où la résolution d'un problème de température est une étape intermédiaire dans la résolution d'autres problèmes (problèmes de flexibilité thermique, problèmes inverses, problèmes de contrôle, etc.). À cet égard, les méthodes de mathématiques appliquées énumérées ci-dessus sont d'un grand intérêt, permettant d'obtenir des solutions, bien qu'approximatives, sous forme analytique, avec une précision dans de nombreux cas suffisante pour les applications d'ingénierie. Ces méthodes permettent d'élargir considérablement la gamme de problèmes pour lesquels des solutions analytiques peuvent être obtenues par rapport aux méthodes classiques.

INTRODUCTION LA RECHERCHE SUR LES OPÉRATIONS DISCIPLINAIRES ET CE QU'ELLE FAIT

La formation de la recherche opérationnelle en tant que branche indépendante des mathématiques appliquées remonte aux années 40 et 50. La décennie et demie suivante a été marquée par l'application généralisée des résultats théoriques fondamentaux obtenus à divers problèmes pratiques et par la refonte associée des capacités potentielles de la théorie. En conséquence, la recherche opérationnelle a acquis les caractéristiques d’une discipline scientifique classique, sans laquelle l’enseignement économique de base est impensable.

En ce qui concerne les tâches et les problèmes qui font l'objet de la recherche opérationnelle, on ne peut s'empêcher de rappeler la contribution apportée à leur solution par les représentants de la politique nationale. école scientifique, parmi lesquels il faut tout d'abord citer L. V. Kantorovich, devenu lauréat en 1975 prix Nobel pour ses travaux sur l'utilisation optimale des ressources dans l'économie.

Le début du développement de la recherche opérationnelle en tant que science est traditionnellement associé aux années quarante du XXe siècle. Parmi les premières études dans ce sens, on peut citer les travaux de L. V. Kantorovich « Méthodes mathématiques d'organisation et de planification de la production », publiés en 1939. Dans la littérature étrangère, le point de départ est généralement considéré comme le travail de J. Dantzig, publié dans 1947, consacré à la solution de problèmes extrémaux linéaires.

Il convient de noter qu'il n'existe pas de définition rigide, établie et généralement acceptée du sujet de la recherche opérationnelle. Souvent en répondant cette question il dit que " recherche opérationnelle est un ensemble de méthodes scientifiques pour résoudre les problèmes de gestion efficace des systèmes organisationnels.

Deuxième définition : Recherche opérationnelle - c'est la préparation scientifique de la décision en cours - c'est un ensemble de méthodes proposées pour préparer et trouver les solutions les plus efficaces ou les plus économiques.

La nature des systèmes qui apparaissent dans la définition ci-dessus sous le nom « organisationnel » peut être très différente, et leurs modèles mathématiques généraux sont utilisés non seulement pour résoudre des problèmes de production et économiques, mais également en biologie, en recherche sociologique et dans d'autres domaines pratiques. À propos, le nom même de la discipline est associé à l'utilisation de méthodes mathématiques pour contrôler les opérations militaires.

Malgré la variété des problèmes de gestion organisationnelle, lors de leur résolution, il est possible d'identifier une certaine séquence générale d'étapes par lesquelles passe toute recherche opérationnelle. Il s'agit généralement de :

1. Énoncé du problème.

2. Construction d'un modèle (verbal) significatif de l'objet (processus) considéré. À ce stade, l'objectif de gestion de l'objet est formalisé, des actions de contrôle possibles sont identifiées qui affectent la réalisation de l'objectif formulé, ainsi qu'un système de restrictions sur les actions de contrôle est décrit.

3. Construction d'un modèle mathématique, c'est-à-dire traduction du modèle verbal construit sous une forme dans laquelle un appareil mathématique peut être utilisé pour l'étudier.

4. Résoudre des problèmes formulés sur la base du modèle mathématique construit.

5. Vérification des résultats obtenus pour leur adéquation à la nature du système étudié, y compris l'étude de l'influence des facteurs dits extra-modèles, et ajustement éventuel du modèle d'origine.

6. Mise en pratique de la solution obtenue.

La place centrale dans ce cours est donnée aux problématiques liées au quatrième point du schéma ci-dessus. Ceci n'est pas fait parce qu'il s'agit du plus important, du plus complexe ou du plus intéressant, mais parce que les points restants dépendent de manière significative de la nature spécifique du système étudié, de sorte que des recommandations universelles et significatives ne peuvent être formulées pour les actions à mener. dans leur cadre.

Dans les domaines les plus divers de l'activité humaine, des tâches similaires se produisent : organiser la production, gérer les transports, les opérations de combat, le placement du personnel, les communications téléphoniques, etc. Les problèmes qui se posent dans ces domaines sont formulés de manière similaire, présentent un certain nombre de caractéristiques communes et sont résolus par des méthodes similaires.

Exemple :

Une sorte d'événement ciblé (système d'actions) est organisé, qui peut être organisé d'une manière ou d'une autre. Il est nécessaire de sélectionner une solution spécifique parmi un certain nombre d'options possibles. Chaque option présente des avantages et des inconvénients ; il n’est pas immédiatement clair laquelle est préférable. Afin de clarifier la situation et de comparer les différentes options entre elles en fonction d'un certain nombre de caractéristiques, une série de calculs mathématiques est organisée. Les résultats du calcul indiquent quelle option choisir.

Modélisation mathématique en recherche opérationnelle est, d'une part, un processus très important et complexe, et d'autre part, un processus qui ne se prête pratiquement pas à une formalisation scientifique. Notons que les tentatives répétées d'identifier des principes généraux de création de modèles mathématiques ont conduit soit à l'énoncé de recommandations de nature très générale, difficiles à appliquer pour résoudre des problèmes spécifiques, soit, à l'inverse, à l'émergence de recettes qui ne sont en réalité applicables qu'à un gamme étroite de problèmes. Il semble donc plus utile de se familiariser avec la technique de modélisation mathématique à l’aide d’exemples précis.

1) Plan d'approvisionnement d'entreprise.

Il existe un certain nombre d'entreprises utilisant différents types de matières premières ; il y a un certain nombre bases de matières premières. Les bases sont reliées aux entreprises via différentes voies de communication ( les chemins de fer, transports routiers, transports fluviaux, transports aériens). Chaque transport a ses propres tarifs. Il est nécessaire d'élaborer un tel plan d'approvisionnement des entreprises en matières premières afin que les besoins en matières premières soient satisfaits avec des coûts de transport minimes.

2) Construction d'un tronçon d'autoroute.

Un tronçon de la ligne ferroviaire est en cours de construction. Nous disposons d’un certain nombre de ressources : personnes, équipements, etc. Il est nécessaire d'attribuer une séquence de travaux, de répartir les personnes et les équipements le long des sections de la voie de manière à terminer la construction dans les plus brefs délais.

Un certain type de produit est fabriqué. Pour garantir des produits de haute qualité, il est nécessaire d'organiser un système de contrôle des échantillonnages : déterminer la taille du lot de contrôle, un ensemble de tests, des règles de rejet, etc. Il est nécessaire de garantir un niveau donné de qualité du produit avec des coûts de contrôle minimes.

4) Actions militaires.

Le but dans ce cas est de détruire l’objet ennemi.

Des problèmes similaires surviennent fréquemment dans la pratique. Ils ont des caractéristiques communes. Chaque tâche a un objectif défini – ces objectifs sont similaires ; certaines conditions sont précisées - dans ces conditions, une décision doit être prise pour que cet événement soit le plus rentable. Conformément à ces caractéristiques générales Des méthodes générales sont également utilisées.

1. CONCEPTS GÉNÉRAUX

1.1. Objectif et concepts de base en recherche opérationnelle

Opération - Il s'agit de tout système d'actions (événements) unies par un plan unique et visant à atteindre un objectif. Il s'agit d'un événement contrôlé, c'est-à-dire que cela dépend de nous de la manière de choisir certains paramètres qui caractérisent son organisation.

Chaque choix spécifique de paramètres qui dépendent de nous est appelé décision.

Le but de la recherche opérationnelle est une justification quantitative préliminaire des solutions optimales.

Ces paramètres dont la combinaison forme une solution sont appelés éléments de la solution. Les éléments de la solution peuvent être divers nombres, vecteurs, fonctions, caractéristiques physiques, etc.

Exemple : transport de marchandises homogènes.

Il y a des points de départ : UN 1 , UN 2 , UN 3 ,…, UN m .

Destinations disponibles : DANS 1 , DANS 2 , DANS 3 ,…, DANS n .

Les éléments de la solution ici seront des nombres X je , montrant combien de marchandises seront envoyées du i-ème point de départ à j la destination.

La combinaison de ces nombres : X 11 , X 12 , X 13 ,…, X 1 m ,…, X n 1 , X n 2 ,…, X nm forme une solution.

Pour comparer différentes options, vous devez disposer d'une sorte de critère quantitatif - un indicateur d'efficacité ( W). Cet indicateur est appelé fonction cible.

Cet indicateur est choisi de manière à refléter l'orientation cible de l'opération. Lors du choix d'une solution, nous nous efforçons de faire en sorte que cet indicateur tende vers le maximum ou le minimum. Si W est le revenu, alors W max ; et si W est le débit, alors W min.

Si le choix dépend de facteurs aléatoires (météo, panne d'équipement, fluctuations de l'offre et de la demande), alors la valeur moyenne - espérance mathématique - est choisie comme indicateur d'efficacité.

La probabilité d'atteindre un objectif est parfois choisie comme indicateur d'efficacité. Ici, le but de l'opération est accompagné de facteurs aléatoires et fonctionne selon le schéma OUI-NON.

Pour illustrer les principes de choix d’un indicateur de performance, revenons aux exemples évoqués précédemment :

1) Plan d'approvisionnement d'entreprise.

L'indicateur de performance est visible dans l'objectif. R.– nombre – coût du transport, . Dans ce cas, toutes les restrictions doivent être respectées.

2) Construction d'un tronçon d'autoroute.

Dans le problème grand rôle des facteurs aléatoires jouent un rôle. Le délai moyen prévu pour l'achèvement de la construction est choisi comme indicateur d'efficacité.

3) Contrôle d'échantillons de produits.

Un indicateur naturel d'efficacité, suggéré par la formulation du problème, est le coût moyen attendu du contrôle par unité de temps, à condition que le système contrôle la fourniture d'un niveau de qualité donné.

Accompagné d'un médecin physique ou mathématique la modélisation. Modélisation physique... des aménagements et de leurs travaux fastidieux étude. Mathématique la modélisation est réalisée à l'aide de... pour la modélisation il faut procéder comme suit opérations: 1. entrez dans le menu...

Comparons les méthodes d'application des mathématiques dans recherche pratique avec les méthodes des autres sciences naturelles. Des sciences telles que la physique, la chimie et la biologie étudient directement l'objet réel lui-même (éventuellement à une échelle réduite et dans des conditions de laboratoire). Les résultats scientifiques, après les vérifications nécessaires, peuvent également être directement appliqués dans la pratique. Les mathématiques n'étudient pas les objets eux-mêmes, mais leurs modèles. La description de l'objet et la formulation du problème sont traduites du langage ordinaire vers le « langage des mathématiques » (formalisé), aboutissant à un modèle mathématique. Ce modèle est étudié plus en détail sous forme de problème mathématique. Les résultats scientifiques obtenus ne sont pas immédiatement appliqués dans la pratique, puisqu'ils sont formulés en langage mathématique. Par conséquent, le processus inverse est effectué - une interprétation significative (dans le langage du problème d'origine) des résultats mathématiques obtenus. Ce n'est qu'après cela que la question de leur application pratique est tranchée.

Une partie intégrante de la méthodologie des mathématiques appliquées est une analyse complète d'un problème réel qui le précède. modélisation mathématique. En général, une analyse systémique du problème implique de suivre les étapes suivantes :

· analyse humanitaire (pré-mathématique) du problème ;

· étude mathématique du problème ;

· application des résultats obtenus dans la pratique.

Une telle analyse systématique de chaque problème spécifique devrait être effectuée groupe de recherche, y compris des économistes (en tant que créateurs de problèmes ou clients), mathématiciens, juristes, sociologues, psychologues, écologistes, etc. De plus, les mathématiciens, en tant que chercheurs principaux, devraient participer non seulement à la « solution » du problème, mais aussi à sa formulation. , ainsi que dans la mise en œuvre des résultats dans la pratique.

Pour effectuer une recherche mathématique sur un problème économique, les principales étapes suivantes sont nécessaires :

1. étude du domaine et détermination du but de l'étude ;

2. formulation du problème ;

3. collecte de données (statistiques, expertes et autres) ;

4. construction d'un modèle mathématique ;

5. sélection (ou développement) d'une méthode de calcul et construction d'un algorithme pour résoudre le problème ;

6. programmer l'algorithme et déboguer le programme ;

7. vérifier la qualité du modèle à l'aide d'un exemple de test ;

8. mise en œuvre des résultats dans la pratique.

Étapes 1 -3 se rapportent à la partie pré-mathématique de l’étude. Domaine devraient être étudiés en profondeur par les économistes eux-mêmes afin qu'ils puissent, en tant que clients, formuler clairement le problème et définir les objectifs des chercheurs. Les chercheurs doivent disposer de toutes les données documentaires et statistiques nécessaires de manière exhaustive. Les mathématiciens organisent, stockent, analysent et traitent les données qui leur sont fournies sous une forme (électronique) pratique par les clients.

Étapes 4 -7 concerne la partie mathématique de la recherche. Le résultat de cette étape est la formulation du problème initial sous la forme d'un modèle strict. problème mathématique. Un modèle mathématique peut rarement être « sélectionné » parmi les modèles disponibles et connus (Fig. 1.1). Le processus de sélection des paramètres du modèle afin qu'ils correspondent à l'objet étudié est appelé identification du modèle. En fonction de la nature du modèle résultant (tâche) et du but de l'étude, soit une méthode connue est choisie, soit une méthode connue est adaptée (modifiée), soit une nouvelle est développée. Après cela, un algorithme (la procédure pour résoudre le problème) et un programme informatique sont compilés. Les résultats obtenus à l'aide de ce programme sont analysés : les problèmes de test sont résolus, les changements et corrections nécessaires sont introduits dans l'algorithme et le programme.

Si pour les mathématiques « pures », il est traditionnel de sélectionner un modèle mathématique une fois et de formuler des hypothèses une fois au tout début de l'étude, alors dans les travaux appliqués, il est souvent utile de revenir au modèle et d'y apporter des corrections après le premier cycle d'études. des calculs d'essai ont déjà été effectués. De plus, la comparaison des modèles s'avère souvent fructueuse lorsqu'un même phénomène est décrit non pas par un, mais par plusieurs modèles. Si les conclusions s’avèrent (à peu près) les mêmes lorsque différents modèles, différentes méthodes de recherche - c'est la preuve de l'exactitude des calculs, de l'adéquation du modèle à l'objet lui-même et de l'objectivité des recommandations données.

La dernière étape 8 réalisé conjointement par les clients et les développeurs de modèles.

Les résultats des recherches mathématiques (ainsi que scientifiques) ne sont que des recommandations à utiliser dans la pratique. La décision finale sur cette question - d'appliquer ou non le modèle - dépend du client, c'est-à-dire de la personne responsable du résultat et des conséquences auxquelles entraînera l'application des résultats recommandés.

Pour construire un modèle mathématique d'une tâche économique (problème) spécifique, il est recommandé d'effectuer la séquence de travail suivante :

1. détermination des quantités connues et inconnues, ainsi que des conditions et prérequis existants (qu'est-ce qui est donné et que faut-il trouver ?) ;

2.identification les facteurs les plus importants Problèmes;

3. identification des paramètres contrôlables et incontrôlables ;

4. description mathématique à travers des équations, des inégalités, des fonctions et d'autres relations entre les éléments du modèle (paramètres, variables), basée sur le contenu du problème considéré.

Les paramètres connus du problème par rapport à son modèle mathématique sont considérés externe(donné a priori, c'est à dire avant de construire le modèle). Dans la littérature économique, on les appelle variables exogènes. Les valeurs des variables initialement inconnues sont calculées à la suite de l'étude du modèle, donc par rapport au modèle elles sont considérées interne. Dans la littérature économique, on les appelle variables endogènes.

DANS § 2 les plus importants sont compris comme des facteurs qui jouent un rôle important dans la tâche elle-même et qui, d'une manière ou d'une autre, influencent le résultat final. DANS § 3 contrôlables sont les paramètres d'un problème qui peuvent être donnés arbitrairement valeurs numériques en fonction des conditions du problème ; incontrôlables sont les paramètres dont la valeur est fixe et ne peut pas être modifiée.

Du point de vue de la finalité, on peut distinguer modèles descriptifs Et modèles de prise de décision. Modèles descriptifs refléter le contenu et les principales propriétés objets économiques en tant que tel. Avec leur aide, les valeurs numériques des facteurs et indicateurs économiques sont calculées.

Les modèles de décision aident à trouver meilleures options indicateurs prévus ou décisions de gestion. Parmi eux, les moins complexes sont les modèles d'optimisation, à travers lesquels des tâches telles que la planification sont décrites (modélisées), et les plus complexes sont les modèles de jeu qui décrivent des problèmes de nature conflictuelle, en tenant compte de l'intersection de divers intérêts. Ces modèles diffèrent des modèles descriptifs en ce sens qu'ils ont la possibilité de sélectionner les valeurs des paramètres de contrôle (ce qui est absent dans les modèles descriptifs).

Exemples d'élaboration de modèles mathématiques

Exemple 1.1. Laissez une certaine région économique produire plusieurs types de produits exclusivement pour elle-même et uniquement pour la population de cette région. On suppose que le processus technologique a été élaboré et que la demande de la population pour ces biens a été étudiée. Il est nécessaire de déterminer le volume annuel de production de produits, en tenant compte du fait que ce volume doit assurer à la fois la consommation finale et industrielle.

Créons un modèle mathématique de ce problème. Selon la condition, les éléments suivants sont indiqués : les types de produits, leur demande et le processus technologique ; il faut trouver le volume de production de chaque type de produit. Notons les quantités connues : - la demande de la population pour le ème produit ; - la quantité du ième produit nécessaire pour fabriquer une unité du ième produit en utilisant cette technologie . Notons les quantités inconnues : - volume de production du ème produit . Totalité est appelé vecteur de demande, les nombres sont appelés coefficients technologiques et la totalité - vecteur de libération. Selon les conditions du problème, le vecteur se répartit en deux parties : pour la consommation finale (vecteur) et pour la reproduction (vecteur). Calculons la partie du vecteur qui va à la reproduction. En vertu de la notation, pour la production de la quantité du -ème produit, la quantité du -ème produit est utilisée. Ensuite le montant indique la quantité de bien nécessaire pour l'ensemble de la production . L’égalité doit donc être satisfaite :

En généralisant ce raisonnement à tous types de produits, on arrive au modèle recherché :

En résolvant le système d'équations linéaires résultant, nous trouvons le vecteur de libération requis.

Afin d'écrire ce modèle sous une forme plus compacte (vecteur), nous introduisons la notation suivante :

Matrice Carrée A (taille) est appelée matrice technologique. Évidemment, le modèle peut s’écrire sous la forme : ou

Nous avons reçu le modèle classique « Entrées-Sorties », rédigé par le célèbre économiste américain V. Leontiev.

Exemple 1.2. La raffinerie de pétrole propose deux qualités de pétrole : qualité - 10 unités, qualité - 15 unités. Lors du raffinage du pétrole, deux matières sont obtenues : l'essence () et le fioul (). Il existe trois options pour le processus de technologie de traitement :

je: 1 unité UN+ 2 unités DANS donne 3 unités. B+ 2 unités M;

II:2 unités UN+ 1 unité DANS donne 1 unité. B+ 5 unités M;

III:2 unités UN+ 2 unités DANS donne 1 unité. B+ 2 unités M.

Le prix de l’essence est de 10 $ par unité, celui du mazout est de 1 $ par unité. Il faut déterminer la combinaison la plus avantageuse processus technologiques traiter la quantité d’huile disponible.

Avant de modéliser, clarifions les points suivants. Des conditions du problème, il résulte que la « rentabilité » du processus technologique de l'usine doit être comprise dans le sens d'obtenir un revenu maximum de la vente de ses produits finis (essence et fioul). À cet égard, il est clair que la « décision de choix » de l’usine consiste à déterminer quelle technologie appliquer et combien de fois. Il est évident qu'un tel options possibles assez.

Notons les inconnues : - le degré d'utilisation du ème procédé technologique. Autres paramètres du modèle (réserves de pétrole, prix de l'essence et du fioul) connu.

Ensuite, une décision spécifique de l’usine revient à choisir un vecteur pour lequel le revenu de l’usine est égal à dollars. Ici, 32 dollars est le revenu reçu d'une application du premier procédé technologique (10 $ 3 unités. B+ 1 dollar 2 unités M= 32$). Les coefficients 15 et 12 pour les deuxième et troisième processus technologiques ont respectivement une signification similaire. La comptabilisation des réserves pétrolières conduit aux conditions suivantes :

pour la variété UN: ,

pour la variété DANS: ,

où dans le premier coefficient d'inégalité 1, 2, 2 sont les taux de consommation d'huile UN pour une utilisation unique de processus technologiques je, II, III respectivement. Les coefficients de la deuxième inégalité ont une signification similaire pour la qualité du pétrole DANS.

Modèle mathématique en général cela ressemble à :

Trouver un vecteur tel que

maximiser

sous réserve des conditions suivantes :

,

,

.

La forme abrégée de cette entrée est :

sous restrictions

, (1.4.2)

,

Nous avons ce qu'on appelle le problème de programmation linéaire. Le modèle (1.4.2.) est un exemple de modèle d'optimisation de type déterministe (avec des éléments bien définis).

Exemple 1.3. L'investisseur doit déterminer la meilleure combinaison d'actions, d'obligations et d'autres papiers précieux les acheter pour un certain montant afin d'obtenir un certain profit avec un risque minimal pour soi. Le profit pour chaque dollar investi dans un titre de ce type est caractérisé par deux indicateurs : le profit attendu et le profit réel. Pour un investisseur, il est souhaitable que le bénéfice attendu par dollar d'investissement ne soit pas inférieur à une valeur donnée pour l'ensemble des titres. A noter que pour modéliser correctement ce problème, un mathématicien doit avoir certaines connaissances de base dans le domaine de la théorie du portefeuille de valeurs mobilières. Notons les paramètres connus du problème : - le nombre de types de titres ; - le bénéfice réel (nombre aléatoire) du -ème type de titre - le bénéfice attendu du -ème type de titre. Notons les inconnues : - les fonds alloués à l'acquisition de titres du type . En raison de la notation, le montant total investi est défini comme . Pour simplifier le modèle, nous introduisons de nouvelles quantités

Il s'agit donc de la part de tous les fonds alloués à l'acquisition de titres de ce type. Il est évident que . Il ressort clairement des conditions du problème que l’objectif de l’investisseur est d’atteindre un certain niveau de profit avec un risque minimal. Essentiellement, le risque est une mesure de l’écart entre le profit réel et le profit attendu. On peut donc l'identifier à la covariance

bénéfices pour les titres de type et de type. Ici M- désignation espérance mathématique. Le modèle mathématique du problème initial a la forme :

(1.4.3)

A obtenu modèle célèbre Markowitz pour l'optimisation de la structure d'un portefeuille de titres. Le modèle (1.4.3.) est un exemple de modèle d'optimisation de type stochastique (avec des éléments d'aléatoire).

Exemple 1.4. Sur le socle organisation commerciale Il existe des types de l'un des produits de l'assortiment minimum. Un seul type d’un produit donné doit être apporté en magasin. Vous devez choisir le type de produit qu’il convient d’apporter en magasin. Si un produit de ce type est demandé, le magasin réalisera un bénéfice sur sa vente, mais s'il n'est pas demandé, il réalisera une perte.