Nombres rationnels négatifs. Définition et exemples de nombres rationnels

Quartiers

Ordre. un Et b il existe une règle qui permet d’identifier de manière unique une et une seule des trois relations entre elles : «< », « >" ou " = ". Cette règle s'appelle règle de commande et est formulé comme suit : deux nombres non négatifs et sont liés par la même relation que deux nombres entiers et ; deux nombres non positifs un Et b sont liés par la même relation que deux nombres non négatifs et ; si tout d'un coup un non négatif, mais b- négatif, alors un > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Ajouter des fractions
Opération d’addition. Pour tout nombre rationnel un Et b il y a un soi-disant règle de sommation c. De plus, le numéro lui-même c appelé montant Nombres un Et b et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est appelé addition. La règle de sommation a la forme suivante : .
Opération de multiplication. Pour tout nombre rationnel un Et b il y a un soi-disant règle de multiplication, ce qui leur attribue un nombre rationnel c. De plus, le numéro lui-même c appelé travail Nombres un Et b et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est également appelé multiplication. La règle de multiplication ressemble à ceci : .
Transitivité de la relation d'ordre. Pour tout triplet de nombres rationnels un , b Et c Si un moins b Et b moins c, Que un moins c, et si unéquivaut à b Et béquivaut à c, Que unéquivaut à c. 6435">Commutativité de l'addition. Changer la place des termes rationnels ne change pas la somme.
Associativité de l'addition. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont ajoutés n’affecte pas le résultat.
Présence de zéro. Il existe un nombre rationnel 0 qui préserve tous les autres nombres rationnels une fois ajoutés.
La présence de nombres opposés. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel opposé qui, une fois ajouté, donne 0.
Commutativité de la multiplication. Changer la place des facteurs rationnels ne change pas le produit.
Associativité de la multiplication. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont multipliés n’affecte pas le résultat.
Disponibilité de l'unité. Il existe un nombre rationnel 1 qui préserve tous les autres nombres rationnels lorsqu'il est multiplié.
Présence de nombres réciproques. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel inverse qui, multiplié par, donne 1.
Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. L'opération de multiplication est coordonnée avec l'opération d'addition par la loi de distribution :
Liaison de la relation d'ordre avec l'opération d'addition. Le même nombre rationnel peut être ajouté aux côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axiome d'Archimède. Quel que soit le nombre rationnel un, vous pouvez prendre tellement d'unités que leur somme dépasse un. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propriétés supplémentaires

Toutes les autres propriétés inhérentes aux nombres rationnels ne sont pas considérées comme fondamentales, car, d'une manière générale, elles ne sont plus basées directement sur les propriétés des nombres entiers, mais peuvent être prouvées sur la base des propriétés de base données ou directement par la définition d'un objet mathématique. . Tel propriétés supplémentaires tant. Il est logique d’en énumérer seulement quelques-uns ici.

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Comptabilité d'un ensemble

Numérotation des nombres rationnels

Le plus simple de ces algorithmes ressemble à ceci. Un tableau sans fin de fractions ordinaires est compilé, sur chaque je-ième ligne dans chacun j la ème colonne dans laquelle se trouve la fraction. Par souci de précision, on suppose que les lignes et les colonnes de ce tableau sont numérotées à partir de un. Les cellules du tableau sont désignées par , où je- le numéro de la ligne du tableau dans laquelle se trouve la cellule, et j- numéro de colonne.

Le tableau résultant est parcouru à l’aide d’un « serpent » selon l’algorithme formel suivant.

Ces règles sont recherchées de haut en bas et la position suivante est sélectionnée en fonction de la première correspondance.

Au cours d'un tel parcours, chaque nouveau nombre rationnel est associé à un autre entier naturel. C'est-à-dire que la fraction 1/1 est attribuée au nombre 1, la fraction 2/1 au nombre 2, etc. Il est à noter que seules les fractions irréductibles sont numérotées. Un signe formel d'irréductibilité est que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur de la fraction est égal à un.

En suivant cet algorithme, nous pouvons énumérer tous les nombres rationnels positifs. Cela signifie que l’ensemble des nombres rationnels positifs est dénombrable. Il est facile d’établir une bijection entre les ensembles de nombres rationnels positifs et négatifs en attribuant simplement à chaque nombre rationnel son opposé. Que. l'ensemble des nombres rationnels négatifs est également dénombrable. Leur union est aussi dénombrable par la propriété des ensembles dénombrables. L’ensemble des nombres rationnels est également dénombrable comme l’union d’un ensemble dénombrable avec un ensemble fini.

L'affirmation sur la dénombrabilité de l'ensemble des nombres rationnels peut prêter à confusion, car à première vue, il semble qu'elle soit beaucoup plus étendue que l'ensemble des nombres naturels. En fait, ce n’est pas le cas et il existe suffisamment de nombres naturels pour énumérer tous les nombres rationnels.

Manque de nombres rationnels

L'hypoténuse d'un tel triangle ne peut être exprimée par aucun nombre rationnel

Nombres rationnels de la forme 1 / n en général n des quantités arbitrairement petites peuvent être mesurées. Ce fait crée l’impression trompeuse que les nombres rationnels peuvent être utilisés pour mesurer n’importe quelle distance géométrique. Il est facile de montrer que ce n’est pas vrai.

Remarques

Littérature

I. Kushnir. Manuel de mathématiques pour les écoliers. - Kiev : ASTARTA, 1998. - 520 p.
P.S. Alexandrov. Introduction à la théorie des ensembles et à la topologie générale. - M. : chapitre. éd. physique et mathématiques allumé. éd. "Sciences", 1977
I. L. Khmelnitski. Introduction à la théorie des systèmes algébriques

Liens

Fondation Wikimédia. 2010.

Ensemble de nombres rationnels

L’ensemble des nombres rationnels est noté et peut s’écrire comme suit :

Il s'avère que différentes notations peuvent représenter la même fraction, par exemple et , (toutes les fractions qui peuvent être obtenues les unes des autres en multipliant ou en divisant par le même nombre naturel représentent le même nombre rationnel). Puisqu'en divisant le numérateur et le dénominateur d'une fraction par leur plus grand diviseur commun, nous pouvons obtenir une seule représentation irréductible d'un nombre rationnel, nous pouvons parler de leur ensemble comme l'ensemble irréductible fractions avec un numérateur entier et un dénominateur naturel premiers entre eux :

Voici le plus grand diviseur commun des nombres et .

L’ensemble des nombres rationnels est une généralisation naturelle de l’ensemble des nombres entiers. Il est facile de voir que si un nombre rationnel a un dénominateur, alors c’est un entier. L'ensemble des nombres rationnels est situé partout de manière dense sur l'axe des nombres : entre deux nombres rationnels différents, il y a au moins un nombre rationnel (et donc un ensemble infini de nombres rationnels). Cependant, il s’avère que l’ensemble des nombres rationnels a une cardinalité dénombrable (c’est-à-dire que tous ses éléments peuvent être renumérotés). Notons au passage que les anciens Grecs étaient convaincus de l'existence de nombres qui ne peuvent être représentés comme une fraction (par exemple, ils ont prouvé qu'il n'existe pas de nombre rationnel dont le carré est 2).

Terminologie

Définition formelle

Formellement, les nombres rationnels sont définis comme l'ensemble des classes d'équivalence de paires par rapport à la relation d'équivalence if. Dans ce cas, les opérations d'addition et de multiplication sont définies comme suit :

Définitions associées

Fractions propres, impropres et mixtes

Correct Une fraction dont le numérateur est inférieur à son dénominateur est appelée une fraction. Les fractions propres représentent des nombres rationnels modulo inférieur à un. Une fraction qui n'est pas propre s'appelle faux et représente un nombre rationnel supérieur ou égal à un en module.

Une fraction impropre peut être représentée comme la somme d'un nombre entier et fraction propre, appelé fraction mixte . Par exemple, . Une notation similaire (avec le signe d'addition manquant), bien qu'utilisée en arithmétique élémentaire, est évitée dans la littérature mathématique stricte en raison de la similitude de la notation d'une fraction mixte avec la notation du produit d'un nombre entier et d'une fraction.

Hauteur de tir

Hauteur fraction commune est la somme du module du numérateur et du dénominateur de cette fraction. Hauteur d'un nombre rationnel est la somme du module du numérateur et du dénominateur de la fraction ordinaire irréductible correspondant à ce nombre.

Par exemple, la hauteur d'une fraction est . La hauteur du nombre rationnel correspondant est égale à , puisque la fraction peut être réduite de .

Un commentaire

Terme fraction (fraction) Parfois [ spécifier] est utilisé comme synonyme du terme nombre rationnel, et parfois synonyme de tout nombre non entier. Dans ce dernier cas, les nombres fractionnaires et rationnels sont des choses différentes, car alors les nombres rationnels non entiers sont simplement cas particulier fractionnaire.

Propriétés

Propriétés de base

L’ensemble des nombres rationnels satisfait seize propriétés de base, qui peuvent facilement être dérivées des propriétés des nombres entiers.

Ordre. Pour tout nombre rationnel, il existe une règle qui permet d'identifier de manière unique une et une seule des trois relations entre eux : "", " " ou " ". Cette règle s'appelle règle de commande et se formule ainsi : deux nombres positifs et sont liés par la même relation que deux entiers et ; deux nombres non positifs et sont liés par la même relation que deux nombres non négatifs et ; si tout à coup ce n'est pas négatif, mais - négatif, alors .
Ajouter des fractions
Opération d’addition. règle de sommation montant nombres et et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est appelé addition. La règle de sommation a la forme suivante : .
Opération de multiplication. Pour tout nombre rationnel, il existe ce qu'on appelle règle de multiplication, ce qui les met en correspondance avec un nombre rationnel. Dans ce cas, le numéro lui-même est appelé travail nombres et et est désigné par , et le processus de recherche d'un tel nombre est également appelé multiplication. La règle de multiplication a la forme suivante : .
Transitivité de la relation d'ordre. Pour tout triple de nombres rationnels, et si de moins en moins, alors moins, et si égal et égal, alors égal.
Commutativité de l'addition. Changer la place des termes rationnels ne change pas la somme.
Associativité de l'addition. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont ajoutés n’affecte pas le résultat.
Présence de zéro. Il existe un nombre rationnel 0 qui préserve tous les autres nombres rationnels une fois ajoutés.
La présence de nombres opposés. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel opposé qui, une fois ajouté, donne 0.
Commutativité de la multiplication. Changer la place des facteurs rationnels ne change pas le produit.
Associativité de la multiplication. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont multipliés n’affecte pas le résultat.
Disponibilité de l'unité. Il existe un nombre rationnel 1 qui préserve tous les autres nombres rationnels lorsqu'il est multiplié.
Présence de nombres réciproques. Tout nombre rationnel non nul a un nombre rationnel inverse qui, multiplié par, donne 1.
Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. L'opération de multiplication est coordonnée avec l'opération d'addition par la loi de distribution :
Liaison de la relation d'ordre avec l'opération d'addition. Le même nombre rationnel peut être ajouté aux côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle.
Le lien entre la relation d'ordre et l'opération de multiplication. Les côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle peuvent être multipliés par le même nombre rationnel positif.
Axiome d'Archimède. Quel que soit le nombre rationnel, vous pouvez prendre autant d'unités que leur somme dépasse .

Propriétés supplémentaires

Toutes les autres propriétés inhérentes aux nombres rationnels ne sont pas considérées comme fondamentales, car, d'une manière générale, elles ne sont plus basées directement sur les propriétés des nombres entiers, mais peuvent être prouvées sur la base des propriétés de base données ou directement par la définition d'un objet mathématique. . Il existe de nombreuses propriétés supplémentaires de ce type. Il est logique d’en énumérer seulement quelques-uns ici.

Comptabilité d'un ensemble

Pour estimer le nombre de nombres rationnels, vous devez trouver la cardinalité de leur ensemble. Il est facile de prouver que l’ensemble des nombres rationnels est dénombrable. Pour ce faire, il suffit de donner un algorithme qui énumère les nombres rationnels, c'est-à-dire établit une bijection entre les ensembles de nombres rationnels et naturels. Un exemple d’une telle construction est l’algorithme simple suivant. Un tableau sans fin de fractions ordinaires est compilé, sur chaque ligne de chaque colonne dont se trouve une fraction. Par souci de précision, on suppose que les lignes et les colonnes de ce tableau sont numérotées à partir de un. Les cellules du tableau sont désignées par , où est le numéro de la ligne du tableau dans laquelle se trouve la cellule et est le numéro de la colonne.

Le tableau résultant est parcouru à l’aide d’un « serpent » selon l’algorithme formel suivant.

Ces règles sont recherchées de haut en bas et la position suivante est sélectionnée en fonction de la première correspondance.

Au cours d'un tel parcours, chaque nouveau nombre rationnel est associé à un autre nombre naturel. C'est-à-dire que les fractions reçoivent le numéro 1, les fractions reçoivent le numéro 2, etc. Il convient de noter que seules les fractions irréductibles sont numérotées. Un signe formel d'irréductibilité est que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur de la fraction est égal à un.

Bien entendu, il existe d’autres façons d’énumérer des nombres rationnels. Par exemple, pour cela, vous pouvez utiliser des structures telles que l'arbre de Kalkin-Wilf, l'arbre de Stern-Broko ou la série Farey.

Manque de nombres rationnels

voir également


	Nombres entiers

Nombres rationnels

Nombres réels Nombres complexes Quaternions

Remarques

Littérature

I. Kushnir. Manuel de mathématiques pour les écoliers. - Kiev : ASTARTA, 1998. - 520 p.
P.S. Alexandrov. Introduction à la théorie des ensembles et à la topologie générale. - M. : chapitre. éd. physique et mathématiques allumé. éd. "Sciences", 1977
I. L. Khmelnitski. Introduction à la théorie des systèmes algébriques

Définition des nombres rationnels :

Un nombre rationnel est un nombre qui peut être représenté sous forme de fraction. Le numérateur d'une telle fraction appartient à l'ensemble des nombres entiers et le dénominateur appartient à l'ensemble des nombres naturels.

Pourquoi les nombres sont-ils appelés rationnels ?

En latin, ratio signifie ratio. Les nombres rationnels peuvent être représentés sous forme de rapport, c'est-à-dire en d'autres termes, sous forme de fraction.

Exemple de nombre rationnel

Le nombre 2/3 est un nombre rationnel. Pourquoi? Ce nombre est représenté comme une fraction dont le numérateur appartient à l'ensemble des nombres entiers et le dénominateur à l'ensemble des nombres naturels.

Pour plus d'exemples de nombres rationnels, consultez l'article.

Nombres rationnels égaux

Fractions diverses peut représenter un nombre rationnel.

Considérons le nombre rationnel 3/5. Ce nombre rationnel est égal à

Réduisons le numérateur et le dénominateur d'un facteur commun de 2 :

6	=	2 * 3	=	3
10	=	2 * 5	=	5

Nous avons la fraction 3/5, ce qui signifie que

Comme nous l'avons déjà vu, l'ensemble des nombres naturels

est fermé par addition et multiplication, et l'ensemble des entiers

fermé sous addition, multiplication et soustraction. Cependant, aucun de ces ensembles n'est fermé par division, puisque la division d'entiers peut donner lieu à des fractions, comme dans les cas de 4/3, 7/6, -2/5, etc. L’ensemble de toutes ces fractions forme l’ensemble des nombres rationnels. Ainsi, le nombre rationnel ( fraction rationnelle) est un nombre qui peut être représenté sous la forme , où a et d sont des nombres entiers et d n'est pas égal à zéro. Faisons quelques commentaires sur cette définition.

1) Nous avons exigé que d soit non nul. Cette exigence (écrite mathématiquement sous forme d'inégalité) est nécessaire car ici d est un diviseur. Considérez les exemples suivants :

Cas 1. .

Cas 2...

Dans le cas 1, d est un diviseur au sens du chapitre précédent, c'est-à-dire que 7 est un diviseur exact de 21. Dans le cas 2, d est toujours un diviseur, mais dans un sens différent, puisque 7 n'est pas un diviseur exact de 25. .

Si 25 est appelé dividende et 7 diviseur, on obtient le quotient de 3 et le reste de 4. Le mot diviseur est donc utilisé ici dans un sens plus général et s'applique à un plus grand nombre de cas qu'au Chap. I. Cependant, dans des cas comme le cas 1, la notion de diviseur introduite au Chap. JE; il faut donc, comme au Chap. J'exclus la possibilité de d = 0.

2) Notez que même si les expressions nombre rationnel et fraction rationnelle sont synonymes, le mot fraction lui-même est utilisé pour désigner toute expression algébrique constituée d'un numérateur et d'un dénominateur, telle que

3) La définition d'un nombre rationnel inclut l'expression « un nombre qui peut être représenté sous la forme , où a et d sont des nombres entiers et . Pourquoi ne peut-il pas être remplacé par l'expression « un nombre de la forme , où a et d sont des nombres entiers et La raison en est qu'il existe une infinité de façons d'exprimer la même fraction (par exemple, 2/3 peut s'écrit également 4/6, 6 /9, ou ou 213/33, ou, etc.), et il est souhaitable pour nous que notre définition d'un nombre rationnel ne dépende pas de la manière particulière de l'exprimer.

Une fraction est définie de telle manière que sa valeur ne change pas lorsque le numérateur et le dénominateur sont multipliés par le même nombre. Cependant, il n’est pas toujours possible de dire simplement en regardant une fraction donnée si elle est rationnelle ou non. Prenons par exemple les chiffres

Aucun d’entre eux dans l’entrée que nous avons choisie n’est de la forme , où a et d sont des nombres entiers.

On peut cependant effectuer une série de transformations arithmétiques sur la première fraction et obtenir

Ainsi, on arrive à une fraction égale à la fraction originale, pour laquelle . Le nombre est donc rationnel, mais il ne le serait pas si la définition d'un nombre rationnel exigeait que le nombre soit de la forme a/b, où a et b sont des nombres entiers. En cas de conversion de fraction

conduire à un numéro. Dans les chapitres suivants, nous apprendrons qu’un nombre ne peut pas être représenté comme un rapport de deux nombres entiers et qu’il n’est donc pas rationnel ou est considéré comme irrationnel.

4) Notez que tout entier est rationnel. Comme nous venons de le voir, cela est vrai dans le cas du nombre 2. Dans le cas général d’entiers arbitraires, on peut de même attribuer un dénominateur de 1 à chacun d’eux et obtenir leur représentation sous forme de fractions rationnelles.

Dans cette section, nous donnerons plusieurs définitions des nombres rationnels. Malgré les différences de formulation, toutes ces définitions ont le même sens : les nombres rationnels combinent des nombres entiers et nombres fractionnaires, tout comme les nombres entiers combinent les nombres naturels, leurs opposés et le nombre zéro. En d’autres termes, les nombres rationnels généralisent les nombres entiers et fractionnaires.

Commençons avec définitions des nombres rationnels, ce qui est perçu le plus naturellement.

Définition.

Nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction positive, de fraction négative ou de nombre zéro.

De la définition énoncée, il s'ensuit qu'un nombre rationnel est :

N'importe quel nombre naturel n. En effet, vous pouvez représenter n’importe quel nombre naturel sous la forme d’une fraction ordinaire, par exemple : 3=3/1 .

· Tout entier, en particulier le nombre zéro. En fait, tout nombre entier peut être écrit sous la forme d’une fraction positive, d’une fraction négative ou de zéro. Par exemple, 26=26/1 , .

· Toute fraction commune (positive ou négative). Ceci est directement confirmé par la définition donnée des nombres rationnels.

· Tout numéro mixte. En effet, on peut toujours représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre. Par exemple, et.

· Toute fraction décimale finie ou fraction périodique infinie. Cela est dû au fait que les fractions décimales indiquées sont converties en fractions ordinaires. Par exemple, un 0,(3)=1/3 .

Il est également clair que toute fraction décimale non périodique infinie n’est PAS un nombre rationnel, puisqu’elle ne peut pas être représentée comme une fraction commune.

Maintenant, nous pouvons facilement donner exemples de nombres rationnels. Nombres 4 ,903 , 100 321 Ce sont des nombres rationnels car ce sont des nombres naturels. Nombres entiers 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 sont aussi des exemples de nombres rationnels. Fractions communes 4/9 , 99/3 , sont également des exemples de nombres rationnels. Les nombres rationnels sont aussi des nombres.

D’après les exemples ci-dessus, il est clair qu’il existe des nombres rationnels positifs et négatifs, et que le nombre rationnel zéro n’est ni positif ni négatif.

La définition ci-dessus des nombres rationnels peut être formulée sous une forme plus concise.

Définition.

Nombres rationnels nommer des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fractions z/n, Où z est un entier, et n- entier naturel.

Montrons que cette définition des nombres rationnels est équivalente à la définition précédente. Nous savons que nous pouvons considérer la ligne d'une fraction comme un signe de division, puis des propriétés de division des entiers et des règles de division des entiers, découle la validité des égalités suivantes. Voilà donc la preuve.

Donnons des exemples de nombres rationnels basés sur cette définition. Nombres −5 , 0 , 3 , et sont des nombres rationnels, car ils peuvent être écrits sous forme de fractions avec un numérateur entier et un dénominateur naturel de la forme et, respectivement.

La définition des nombres rationnels peut être donnée dans la formulation suivante.

Définition.

Nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être écrits sous forme périodique finie ou infinie décimal.

Cette définition est également équivalente à la première définition, puisque toute fraction ordinaire correspond à une fraction décimale finie ou périodique et vice versa, et tout nombre entier peut être associé à une fraction décimale avec des zéros après la virgule.

Par exemple, les chiffres 5 , 0 , −13 , sont des exemples de nombres rationnels, car ils peuvent être écrits sous la forme des fractions décimales suivantes 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 Et −7,(18) .

Terminons la théorie de ce point par les affirmations suivantes :

· les entiers et les fractions (positifs et négatifs) constituent l'ensemble des nombres rationnels ;

· chaque nombre rationnel peut être représenté comme une fraction avec un numérateur entier et un dénominateur naturel, et chacune de ces fractions représente un certain nombre rationnel ;

· chaque nombre rationnel peut être représenté comme une fraction décimale périodique finie ou infinie, et chacune de ces fractions représente un certain nombre rationnel.

Haut de page

L'addition de nombres rationnels positifs est commutative et associative,

("une, b О Q +) une + b= b + une;

("une, b, c О Q +) (une + b)+ c = une + (b+ c)

Avant de formuler la définition de la multiplication des nombres rationnels positifs, considérons le problème suivant : on sait que la longueur d'un segment X est exprimée comme une fraction avec une unité de longueur E, et la longueur d'un segment unitaire est mesurée avec une unité E 1 et est exprimé sous forme de fraction. Comment trouver le nombre qui représentera la longueur du segment X s'il est mesuré en utilisant l'unité de longueur E 1 ?

Puisque X = E, alors nX = mE, et du fait que E = E 1 il s'ensuit que qE = pE 1. Multiplions la première égalité obtenue par q, et la seconde par m. Alors (nq)X = (mq)E et (mq)E= (mp)E 1, d'où (nq)X= (mp)E 1. Cette égalité montre que la longueur du segment x de longueur unitaire s'exprime sous forme de fraction, ce qui signifie , =, c'est-à-dire multiplier des fractions consiste à passer d'une unité de longueur à une autre lors de la mesure de la longueur d'un même segment.

Définition : Si un nombre positif a est représenté par une fraction et qu'un nombre rationnel positif b est une fraction, alors leur produit est le nombre a b, qui est représenté par une fraction.

Multiplier des nombres rationnels positifs commutatif, associatif et distributif en ce qui concerne l'addition et la soustraction. La preuve de ces propriétés repose sur la définition de la multiplication et de l'addition des nombres rationnels positifs, ainsi que sur les propriétés correspondantes d'addition et de multiplication des nombres naturels.

46. Comme on le sait soustraction- C'est l'action inverse de l'addition.

Si un Et b - nombres positifs, puis soustraire le nombre b du nombre a signifie trouver un nombre c qui, ajouté au nombre b, donne le nombre a.
a - b = c ou c + b = a
La définition de la soustraction est vraie pour tous les nombres rationnels. Autrement dit, la soustraction de nombres positifs et négatifs peut être remplacée par une addition.
Pour en soustraire un autre à un nombre, vous devez ajouter le nombre opposé à celui à soustraire.
Ou, d'une autre manière, nous pouvons dire que soustraire le nombre b est la même chose que l'addition, mais avec le nombre opposé à b.
une - b = une + (- b)
Exemple.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Exemple.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Il convient de rappeler les expressions ci-dessous.
0 - une = - une
une - 0 = une
une - une = 0

Règles pour soustraire des nombres négatifs
Soustraire un nombre b, c'est l'ajouter au nombre opposé de b.
Cette règle s'applique non seulement lors de la soustraction d'un nombre plus petit à un nombre plus grand, mais vous permet également de soustraire d'un nombre plus petit. plus grand nombre, c'est-à-dire que vous pouvez toujours trouver la différence entre deux nombres.
La différence peut être un nombre positif, nombre négatif ou le chiffre zéro.
Exemples de soustraction de nombres négatifs et positifs.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Il est pratique de rappeler la règle des signes, qui permet de réduire le nombre de parenthèses.
Le signe plus ne change pas le signe du nombre, donc s'il y a un plus devant la parenthèse, le signe entre parenthèses ne change pas.
+ (+ une) = + une
+ (- une) = - une
Le signe moins devant les parenthèses inverse le signe du nombre entre parenthèses.
- (+ une) = - une
- (- une) = + une
D'après les égalités, il est clair que s'il y a des signes identiques avant et à l'intérieur des parenthèses, alors nous obtenons « + », et si les signes sont différents, alors nous obtenons « - ».
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
La règle des signes est préservée même s'il n'y a pas un chiffre entre parenthèses, mais somme algébrique Nombres.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Veuillez noter que s'il y a plusieurs chiffres entre parenthèses et qu'il y a un signe moins devant les parenthèses, alors les signes devant tous les chiffres entre ces parenthèses doivent changer.
Pour mémoriser la règle des signes, vous pouvez créer un tableau permettant de déterminer les signes d'un nombre.
Règle de signe pour les nombres+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Ou apprenez une règle simple.
Deux négatifs font un affirmatif,
Plus fois moins égale moins.

Règles pour diviser les nombres négatifs.
Pour trouver le module d’un quotient, il faut diviser le module du dividende par le module du diviseur.
Ainsi, pour diviser deux nombres de mêmes signes, il faut :

· le module du dividende est divisé par le module du diviseur ;

· mettre un signe « + » devant le résultat.

Exemples de division de nombres avec différents signes:

Vous pouvez également utiliser le tableau suivant pour déterminer le signe du quotient.
Règle des signes pour la division
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Lors du calcul d'expressions « longues » dans lesquelles apparaissent uniquement la multiplication et la division, il est très pratique d'utiliser la règle des signes. Par exemple, pour calculer une fraction
Veuillez noter que le numérateur comporte 2 signes moins qui, une fois multipliés, donneront un plus. Il y a également trois signes moins dans le dénominateur qui, une fois multipliés, donneront un signe moins. Par conséquent, le résultat final sera avec un signe moins.
La réduction d'une fraction (autres actions avec les modules de nombres) s'effectue de la même manière que précédemment :
Le quotient de zéro divisé par un nombre autre que zéro est zéro.
0 : une = 0, une ≠ 0
Vous NE POUVEZ PAS diviser par zéro !
Toutes les règles de division par un connues précédemment s'appliquent également à l'ensemble des nombres rationnels.
une : 1 = une
une : (- 1) = - une
a : a = 1, où a est n'importe quel nombre rationnel.
Les relations entre les résultats de multiplication et de division, connues pour les nombres positifs, restent les mêmes pour tous les nombres rationnels (sauf zéro) :
si une × b = c ; une = c : b ; b = c : une ;
si une : b = c ; une = c × b ; b = une : c
Ces dépendances sont utilisées pour trouver l'inconnue, le dividende et le diviseur (lors de la résolution d'équations), ainsi que pour vérifier les résultats de la multiplication et de la division.
Un exemple de recherche de l'inconnu.
x × (- 5) = 10
x = 10 : (- 5)
x = - 2

Informations connexes.