Imaginez un degré avec un exposant entier négatif. Pouvoir numérique : définitions, notations, exemples

Premier niveau

Degré et ses propriétés. Guide complet (2019)

Pourquoi faut-il des diplômes ? Où en aurez-vous besoin ? Pourquoi prendre le temps de les étudier ?

Pour tout savoir sur les diplômes, à quoi ils servent, comment utiliser vos connaissances Vie courante lisez cet article.

Et bien sûr, la connaissance des diplômes vous rapprochera de réussite OGE ou Examen d'État Unifié et admission à l'université de vos rêves.

Allons-y allons-y!)

Note importante! Si vous voyez du charabia au lieu de formules, videz votre cache. Pour ce faire, appuyez sur CTRL+F5 (sous Windows) ou Cmd+R (sous Mac).

PREMIER NIVEAU

Élever à une puissance, c'est pareil opération mathématique comme l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division.

Maintenant je vais tout expliquer langage humain très exemples simples. Sois prudent. Les exemples sont élémentaires, mais expliquent des choses importantes.

Commençons par l'addition.

Il n'y a rien à expliquer ici. Vous savez déjà tout : nous sommes huit. Tout le monde a deux bouteilles de cola. Combien y a-t-il de cola ? C'est vrai - 16 bouteilles.

Maintenant la multiplication.

Le même exemple avec le cola peut s'écrire différemment : . Les mathématiciens sont des gens rusés et paresseux. Ils remarquent d’abord certaines régularités, puis trouvent un moyen de les « compter » plus rapidement. Dans notre cas, ils ont remarqué que chacune des huit personnes possédait le même nombre de bouteilles de cola et ont mis au point une technique appelée multiplication. D'accord, c'est considéré comme plus facile et plus rapide que.

Ainsi, pour compter plus vite, plus facilement et sans erreurs, il suffit de se rappeler table de multiplication. Bien sûr, vous pouvez tout faire plus lentement, plus difficilement et avec des erreurs ! Mais…

Voici la table de multiplication. Répéter.

Et un autre, plus beau :

Quels autres ? astuces astucieuses les comptes ont-ils été inventés par des mathématiciens paresseux ? Droite - élever un nombre à une puissance.

Élever un nombre à une puissance

Si vous devez multiplier un nombre par lui-même cinq fois, les mathématiciens disent que vous devez augmenter ce nombre à la puissance cinq. Par exemple, . Les mathématiciens se souviennent que deux à la puissance cinq valent... Et ils résolvent ces problèmes dans leur tête - plus rapidement, plus facilement et sans erreurs.

Tout ce que vous avez à faire est rappelez-vous ce qui est surligné en couleur dans le tableau des puissances des nombres. Croyez-moi, cela vous facilitera grandement la vie.

Au fait, pourquoi s’appelle-t-on le deuxième degré ? carré nombres, et le troisième - cube? Qu'est-ce que ça veut dire? Très bonne question. Vous aurez maintenant à la fois des carrés et des cubes.

Exemple réel n°1

Commençons par le carré ou la puissance deux du nombre.

Imaginez une piscine carrée mesurant un mètre sur un mètre. La piscine est à votre datcha. Il fait chaud et j'ai vraiment envie de nager. Mais... la piscine n'a pas de fond ! Vous devez recouvrir le fond de la piscine de carrelage. De combien de tuiles avez-vous besoin ? Afin de le déterminer, vous devez connaître la surface inférieure de la piscine.

Vous pouvez simplement calculer en pointant votre doigt que le fond de la piscine est constitué de cubes mètre par mètre. Si vous avez des carreaux d'un mètre sur un mètre, vous aurez besoin de pièces. C'est facile... Mais où avez-vous vu de tels carreaux ? Le carreau sera très probablement cm par cm, puis vous serez torturé en « comptant avec votre doigt ». Ensuite il faut multiplier. Ainsi, d'un côté du fond de la piscine nous placerons des tuiles (morceaux) et de l'autre aussi des tuiles. Multipliez par et vous obtenez des tuiles ().

Avez-vous remarqué que pour déterminer la surface du fond de la piscine, nous multiplions le même nombre par lui-même ? Qu'est-ce que ça veut dire? Puisque nous multiplions le même nombre, nous pouvons utiliser la technique de « l’exponentiation ». (Bien sûr, lorsque vous n'avez que deux nombres, vous devez toujours les multiplier ou les élever à une puissance. Mais si vous en avez beaucoup, alors les élever à une puissance est beaucoup plus facile et il y a aussi moins d'erreurs de calcul. (Pour l'examen d'État unifié, c'est très important).
Ainsi, trente à la puissance deux seront (). Ou nous pouvons dire que trente carrés le seront. En d’autres termes, la puissance seconde d’un nombre peut toujours être représentée par un carré. Et vice versa, si vous voyez un carré, c’est TOUJOURS la deuxième puissance d’un nombre. Un carré est l’image de la puissance deux d’un nombre.

Exemple réel n°2

Voici une tâche pour vous : comptez combien de cases il y a sur l'échiquier en utilisant la case du nombre... D'un côté des cellules et de l'autre aussi. Pour calculer leur nombre, vous devez multiplier huit par huit ou... si vous remarquez qu'un échiquier est un carré avec un côté, alors vous pouvez en former un carré de huit. Vous obtiendrez des cellules. () Donc?

Exemple concret n°3

Maintenant le cube ou la troisième puissance d'un nombre. La même piscine. Mais maintenant, vous devez savoir quelle quantité d’eau devra être versée dans cette piscine. Vous devez calculer le volume. (Au fait, les volumes et les liquides sont mesurés en mètres cubes. Inattendu, n'est-ce pas ?) Dessinez une piscine : le fond mesure un mètre de taille et un mètre de profondeur, et essayez de compter combien de cubes mesurant un mètre par un mètre le feront. s'intègre dans votre piscine.

Pointez simplement votre doigt et comptez ! Un, deux, trois, quatre... vingt-deux, vingt-trois... Combien en avez-vous eu ? Pas perdu? Est-ce difficile de compter avec son doigt ? De sorte que! Prenons l'exemple des mathématiciens. Ils sont paresseux, alors ils ont remarqué que pour calculer le volume de la piscine, il faut multiplier sa longueur, sa largeur et sa hauteur entre elles. Dans notre cas, le volume de la piscine sera égal à des cubes... Plus simple, non ?

Imaginez maintenant à quel point les mathématiciens seraient paresseux et rusés s’ils simplifiaient également cela. Nous avons tout réduit à une seule action. Ils ont remarqué que la longueur, la largeur et la hauteur sont égales et que le même nombre est multiplié par lui-même... Qu'est-ce que cela signifie ? Cela signifie que vous pouvez profiter du diplôme. Ainsi, ce que vous avez compté une fois avec votre doigt, ils le font en une seule action : trois au cube sont égaux. C'est écrit ainsi : .

Il ne reste plus que souviens-toi du tableau des degrés. À moins, bien sûr, que vous soyez aussi paresseux et rusé que des mathématiciens. Si vous aimez travailler dur et faire des erreurs, vous pouvez continuer à compter avec votre doigt.

Eh bien, pour enfin vous convaincre que les diplômes ont été inventés par des lâcheurs et des gens rusés pour résoudre leurs propres problèmes. problèmes de vie, et pour ne pas vous créer de problèmes, voici quelques autres exemples tirés de la vie.

Exemple réel n°4

Vous avez un million de roubles. Au début de chaque année, pour chaque million que vous gagnez, vous gagnez un autre million. Autrement dit, chaque million dont vous disposez double au début de chaque année. De combien d’argent aurez-vous dans quelques années ? Si vous êtes assis maintenant et que vous « comptez avec votre doigt », alors vous êtes une personne très travailleuse et... stupide. Mais très probablement, vous donnerez une réponse en quelques secondes, car vous êtes intelligent ! Donc, la première année - deux multiplié par deux... la deuxième année - que s'est-il passé, par deux de plus, la troisième année... Stop ! Vous avez remarqué que le nombre est multiplié par lui-même. Donc deux puissance cinq font un million ! Imaginez maintenant que vous ayez un concours et que celui qui sait compter le plus rapidement obtiendra ces millions... Cela vaut la peine de se rappeler le pouvoir des nombres, n'est-ce pas ?

Exemple concret n°5

Vous en avez un million. Au début de chaque année, vous gagnez deux de plus pour chaque million. Génial, n'est-ce pas ? Chaque million est triplé. De combien d’argent aurez-vous dans un an ? Comptons. La première année - multiplier par, puis le résultat par un autre... C'est déjà ennuyeux, car vous avez déjà tout compris : trois est multiplié par lui-même. Donc à la puissance quatre, cela est égal à un million. Vous devez juste vous rappeler que trois puissance quatre vaut ou.

Vous savez maintenant qu’en élevant un nombre à une puissance, vous vous faciliterez grandement la vie. Examinons plus en détail ce que vous pouvez faire avec les diplômes et ce que vous devez savoir à leur sujet.

Termes et concepts... pour ne pas se tromper

Alors, commençons par définir les concepts. Qu'en penses-tu, qu'est-ce qu'un exposant? C'est très simple : c'est le nombre qui est « au sommet » de la puissance du nombre. Pas scientifique, mais clair et facile à retenir...

Eh bien, en même temps, quoi une telle base de diplôme? Encore plus simple, c'est le numéro qui se trouve en bas, à la base.

Voici un dessin pour faire bonne mesure.

Eh bien, de manière générale, afin de généraliser et de mieux mémoriser... Un degré avec une base « » et un exposant « » se lit comme « au degré » et s'écrit comme suit :

Puissance d'un nombre à exposant naturel

Vous l'avez probablement déjà deviné : parce que l'exposant est entier naturel. Oui, mais qu'est-ce que c'est entier naturel? Élémentaire! Les nombres naturels sont les nombres qui sont utilisés pour compter lors de la liste d'objets : un, deux, trois... Lorsque nous comptons des objets, nous ne disons pas : « moins cinq », « moins six », « moins sept ». Nous ne disons pas non plus : « un tiers », ou « zéro virgule cinq ». Ce ne sont pas des nombres naturels. À votre avis, de quels chiffres s'agit-il ?

Les nombres comme « moins cinq », « moins six », « moins sept » font référence à nombres entiers. En général, les nombres entiers incluent tous les nombres naturels, les nombres opposés aux nombres naturels (c'est-à-dire pris avec un signe moins) et les nombres. Zéro est facile à comprendre : c'est quand il n'y a rien. Que signifient les nombres négatifs (« moins ») ? Mais ils ont été inventés avant tout pour indiquer les dettes : si vous avez un solde sur votre téléphone en roubles, cela signifie que vous devez des roubles à l'opérateur.

Toutes les fractions sont des nombres rationnels. Comment sont-ils apparus, à votre avis ? Très simple. Il y a plusieurs milliers d’années, nos ancêtres ont découvert qu’il leur manquait des nombres naturels pour mesurer la longueur, le poids, la superficie, etc. Et ils ont inventé nombres rationnels... Intéressant, n'est-ce pas ?

Il existe aussi des nombres irrationnels. Quels sont ces chiffres ? En bref, c'est une fraction décimale infinie. Par exemple, si vous divisez la circonférence d’un cercle par son diamètre, vous obtenez un nombre irrationnel.

Résumé:

Définissons la notion de degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

Tout nombre à la puissance premier est égal à lui-même :
Mettre un nombre au carré signifie le multiplier par lui-même :
Cuber un nombre signifie le multiplier par lui-même trois fois :

Définition.Élever un nombre à une puissance naturelle signifie multiplier le nombre par lui-même par :
.

Propriétés des diplômes

D’où viennent ces propriétés ? Je vais vous montrer maintenant.

Voyons : qu'est-ce que c'est Et ?

Prieuré A :

Combien y a-t-il de multiplicateurs au total ?

C’est très simple : nous avons ajouté des multiplicateurs aux facteurs, et le résultat est des multiplicateurs.

Mais par définition, il s'agit d'une puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire : , ce qu'il fallait prouver.

Exemple: Simplifiez l'expression.

Solution:

Exemple: Simplifiez l'expression.

Solution: Il est important de noter que dans notre règle Nécessairement il doit y avoir les mêmes raisons !
On combine donc les puissances avec la base, mais cela reste un facteur à part :

seulement pour le produit des puissances !

En aucun cas vous ne pouvez écrire cela.

2. c'est tout la puissance d'un nombre

Tout comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même, c'est-à-dire que, selon la définition, il s'agit de la puissance ème du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « retirer l’indicateur des parenthèses ». Mais vous ne pouvez jamais faire cela au total :

Rappelons les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ?

Mais ce n’est pas vrai, après tout.

Puissance à base négative

Jusqu’à présent, nous avons seulement discuté de ce que devrait être l’exposant.

Mais quelle devrait être la base ?

Dans les pouvoirs de indicateur naturel la base peut être n'importe quel chiffre. En effet, on peut multiplier n’importe quel nombre entre eux, qu’il soit positif, négatif ou même.

Réfléchissons aux signes ("" ou "") qui auront des degrés de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre est-il positif ou négatif ? UN? ? Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que l’on multiplie les uns par les autres, le résultat sera positif.

Mais les aspects négatifs sont un peu plus intéressants. On se souvient de la règle simple de la 6e année : « moins pour moins donne un plus ». C'est-à-dire, ou. Mais si on multiplie par, ça marche.

Déterminez vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Avez-vous réussi ?

Voici les réponses : Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l’exposant et appliquons la règle appropriée.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Enfin, sauf lorsque la base est nulle. La base n’est pas égale, n’est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).

L'exemple 6) n'est plus si simple !

6 exemples à pratiquer

Analyse de la solution 6 exemples

Si nous ignorons la huitième puissance, que voyons-nous ici ? Souvenons-nous du programme de 7e année. Alors, tu te souviens ? C’est la formule de la multiplication abrégée, à savoir la différence des carrés ! On a:

Regardons attentivement le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des facteurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? L'ordre des termes est erroné. S'ils étaient inversés, la règle pourrait s'appliquer.

Mais comment faire ça ? Il s’avère que c’est très simple : le degré pair du dénominateur nous aide ici.

Comme par magie, les termes ont changé de place. Ce « phénomène » s’applique à toute expression à un degré pair : on peut facilement changer les signes entre parenthèses.

Mais il est important de se rappeler : tous les signes changent en même temps!

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Entier on appelle les nombres naturels, leurs opposés (c'est-à-dire pris avec le signe " ") et le nombre.

entier positif, et ce n'est pas différent du naturel, alors tout ressemble exactement à la section précédente.

Examinons maintenant de nouveaux cas. Commençons par un indicateur égal à.

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un:

Comme toujours, demandons-nous : pourquoi en est-il ainsi ?

Considérons un certain degré avec une base. Prenons par exemple et multipliez par :

Nous avons donc multiplié le nombre par et nous avons obtenu la même chose - . Par quel nombre faut-il multiplier pour que rien ne change ? C'est vrai, continuez. Moyens.

On peut faire la même chose avec un nombre arbitraire :

Répétons la règle :

Tout nombre à la puissance zéro est égal à un.

Mais il existe des exceptions à de nombreuses règles. Et ici, c'est aussi là - c'est un nombre (comme base).

D'une part, il doit être égal à n'importe quel degré - peu importe combien vous multipliez zéro par lui-même, vous obtiendrez toujours zéro, c'est clair. Mais d’un autre côté, comme tout nombre à la puissance zéro, il doit être égal. Alors, dans quelle mesure cela est-il vrai ? Les mathématiciens ont décidé de ne pas s’impliquer et ont refusé d’élever zéro à la puissance zéro. Autrement dit, nous ne pouvons plus seulement diviser par zéro, mais également l'élever à la puissance zéro.

Allons-nous en. En plus des nombres naturels et des nombres, les nombres entiers incluent également les nombres négatifs. Pour comprendre ce qu’est une puissance négative, faisons comme la dernière fois : multipliez un nombre normal par le même nombre pour obtenir une puissance négative :

À partir de là, il est facile d’exprimer ce que vous recherchez :

Étendons maintenant la règle résultante à un degré arbitraire :

Alors, formulons une règle :

Un nombre de puissance négative est l’inverse du même nombre de puissance positive. Mais en même temps La base ne peut pas être nulle :(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Résumons :

I. L'expression n'est pas définie dans le cas. Si donc.

II. Tout nombre à la puissance zéro est égal à un : .

III. Un nombre non égal à zéro à une puissance négative est l'inverse du même nombre à une puissance positive : .

Tâches pour une solution indépendante :

Eh bien, comme d'habitude, des exemples de solutions indépendantes :

Analyse des problèmes pour une solution indépendante :

Je sais, je sais, les chiffres font peur, mais à l'examen d'État unifié, il faut se préparer à tout ! Résolvez ces exemples ou analysez leurs solutions si vous ne parvenez pas à les résoudre et vous apprendrez à les gérer facilement lors de l'examen !

Continuons à élargir la gamme de nombres « appropriés » comme exposant.

Considérons maintenant nombres rationnels. Quels nombres sont appelés rationnels ?

Réponse : tout ce qui peut être représenté comme une fraction, où et sont des nombres entiers, et.

Pour comprendre ce que c'est "degré fractionnaire", considérons la fraction :

Élevons les deux côtés de l'équation à une puissance :

Rappelons maintenant la règle concernant "degré à diplôme":

Quel nombre faut-il élever à une puissance pour obtenir ?

Cette formulation est la définition de la racine du ième degré.

Je vous le rappelle : la racine de la puissance ième d'un nombre () est un nombre qui, lorsqu'il est élevé à une puissance, est égal à.

C'est-à-dire que la racine de la puissance ième est l'opération inverse d'élévation à une puissance : .

Il se trouve que. Évidemment ceci cas particulier peut être étendu : .

Ajoutons maintenant le numérateur : qu'est-ce que c'est ? La réponse est facile à obtenir en utilisant la règle puissance-puissance :

Mais la base peut-elle être n’importe quel nombre ? Après tout, la racine de tous les nombres ne peut pas être extraite.

Aucun!

Rappelons la règle : tout nombre élevé à une puissance paire est un nombre positif. Autrement dit, il est impossible d’extraire ne serait-ce que les racines de nombres négatifs !

Cela signifie que de tels nombres ne peuvent pas être élevés à une puissance fractionnaire avec un dénominateur pair, c'est-à-dire que l'expression n'a pas de sens.

Et l'expression ?

Mais ici un problème se pose.

Le nombre peut être représenté sous la forme d'autres fractions réductibles, par exemple, ou.

Et il s'avère que cela existe, mais n'existe pas, mais ce ne sont que deux enregistrements différents du même numéro.

Ou un autre exemple : une fois, vous pouvez alors l'écrire. Mais si nous écrivons l'indicateur différemment, nous aurons à nouveau des ennuis : (c'est-à-dire que nous avons obtenu un résultat complètement différent !).

Pour éviter de tels paradoxes, nous considérons uniquement un exposant de base positif avec un exposant fractionnaire.

Donc si:

- entier naturel;
- entier ;

Exemples:

Les exposants rationnels sont très utiles pour transformer des expressions avec des racines, par exemple :

5 exemples à mettre en pratique

Analyse de 5 exemples pour la formation

Eh bien, vient maintenant la partie la plus difficile. Maintenant, nous allons le découvrir degré avec exposant irrationnel.

Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception

Après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés par une fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire que les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les nombres rationnels).

Lorsque nous étudions des diplômes à exposants naturels, entiers et rationnels, nous créons à chaque fois une certaine « image », « analogie » ou description en termes plus familiers.

Par exemple, un degré avec un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ;

...nombre à la puissance zéro- c'est pour ainsi dire un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas encore commencé à le multiplier, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - le résultat n'est donc qu'un certain "nombre vierge" , à savoir un nombre ;

...degré entier négatif- c'est comme si un « processus inverse » s'était produit, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

À propos, en sciences, un degré avec un exposant complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'exposant n'est même pas un nombre réel.

Mais à l’école on ne pense pas à de telles difficultés, vous aurez l’occasion d’appréhender ces nouveaux concepts à l’institut.

OÙ NOUS SOMMES SÛRS QUE VOUS ALLEZ ! (si vous apprenez à résoudre de tels exemples :))

Par exemple:

Décider vous-même:

Analyse des solutions :

1. Commençons par la règle habituelle pour élever une puissance à une puissance :

Regardez maintenant l'indicateur. Il ne vous rappelle rien ? Rappelons la formule de multiplication abrégée de la différence des carrés :

Dans ce cas,

Il se trouve que:

Répondre: .

2. Nous réduisons les fractions en exposants à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple :

Réponse : 16

3. Rien de spécial, on utilise les propriétés habituelles des diplômes :

NIVEAU AVANCÉ

Détermination du diplôme

Un diplôme est une expression de la forme : , où :

— base de diplômes;
- exposant.

Diplôme avec indicateur naturel (n = 1, 2, 3,...)

Élever un nombre à la puissance naturelle n signifie multiplier le nombre par lui-même par :

Degré avec un exposant entier (0, ±1, ±2,...)

Si l'exposant est entier positif nombre:

Construction au degré zéro:

L'expression est indéfinie, car, d'une part, à n'importe quel degré est ceci, et d'autre part, n'importe quel nombre au ème degré est ceci.

Si l'exposant est entier négatif nombre:

(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Encore une fois à propos des zéros : l'expression n'est pas définie dans le cas. Si donc.

Exemples:

Puissance avec exposant rationnel

- entier naturel;
- entier ;

Exemples:

Propriétés des diplômes

Pour faciliter la résolution des problèmes, essayons de comprendre : d’où viennent ces propriétés ? Prouvons-les.

Voyons : qu'est-ce que et ?

Prieuré A :

Ainsi, à droite de cette expression, nous obtenons le produit suivant :

Mais par définition c'est une puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire :

Q.E.D.

Exemple : Simplifiez l'expression.

Solution : .

Exemple : Simplifiez l'expression.

Solution : Il est important de noter que dans notre règle Nécessairement il doit y avoir les mêmes raisons. On combine donc les puissances avec la base, mais cela reste un facteur à part :

Autre remarque importante : cette règle - uniquement pour le produit des puissances!

En aucun cas vous ne pouvez écrire cela.

Tout comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Regroupons ce travail comme ceci :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même, c'est-à-dire que, selon la définition, il s'agit de la puissance ème du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « retirer l’indicateur des parenthèses ». Mais vous ne pourrez jamais faire cela au total : !

Rappelons les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ? Mais ce n’est pas vrai, après tout.

Puissance avec une base négative.

Jusqu'à présent, nous avons seulement discuté de ce à quoi cela devrait ressembler indice degrés. Mais quelle devrait être la base ? Dans les pouvoirs de naturel indicateur la base peut être n'importe quel chiffre .

En effet, on peut multiplier n’importe quel nombre entre eux, qu’il soit positif, négatif ou même. Réfléchissons aux signes ("" ou "") qui auront des degrés de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre est-il positif ou négatif ? UN? ?

Avec le premier, tout est clair : peu importe le nombre de nombres positifs que l’on multiplie les uns par les autres, le résultat sera positif.

Et ainsi de suite à l'infini : à chaque multiplication ultérieure, le signe changera. Nous pouvons formuler ce qui suit règles simples:

même diplôme, - nombre positif.
Nombre négatif porté à impair diplôme, - nombre négatif.
Un nombre positif, à quelque degré que ce soit, est un nombre positif.
Zéro à n’importe quelle puissance est égal à zéro.

Déterminez vous-même quel signe auront les expressions suivantes :

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Avez-vous réussi ? Voici les réponses :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l’exposant et appliquons la règle appropriée.

Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il y paraît : après tout, peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif. Enfin, sauf lorsque la base est nulle. La base n’est pas égale, n’est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).

L'exemple 6) n'est plus aussi simple. Ici, vous devez savoir ce qui est le moins : ou ? Si nous nous souvenons de cela, il devient clair que, et donc la base moins que zéro. C'est-à-dire que nous appliquons la règle 2 : le résultat sera négatif.

Et encore une fois, nous utilisons la définition du degré :

Tout est comme d'habitude - nous écrivons la définition des diplômes et les divisons les uns par les autres, les divisons en paires et obtenons :

Avant de le démonter dernière règle, résolvons quelques exemples.

Calculez les expressions :

Solutions :

On a:

Regardons attentivement le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des facteurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? L'ordre des termes est erroné. Si elles étaient inversées, la règle 3 pourrait s’appliquer. Mais comment ? Il s’avère que c’est très simple : le degré pair du dénominateur nous aide ici.

Si vous le multipliez par, rien ne change, n'est-ce pas ? Mais maintenant, cela donne ceci :

Comme par magie, les termes ont changé de place. Ce « phénomène » s’applique à toute expression à un degré pair : on peut facilement changer les signes entre parenthèses. Mais il est important de se rappeler : Tous les signes changent en même temps ! Vous ne pouvez pas le remplacer en modifiant un seul inconvénient que nous n’aimons pas !

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Alors maintenant la dernière règle :

Comment allons-nous le prouver ? Bien sûr, comme d’habitude : développons la notion de diplôme et simplifions-la :

Eh bien, ouvrons maintenant les parenthèses. Combien y a-t-il de lettres au total ? fois par multiplicateurs - qu'est-ce que cela vous rappelle ? Ce n'est rien de plus qu'une définition d'une opération multiplication: Il n'y avait là que des multiplicateurs. Autrement dit, il s'agit, par définition, d'une puissance d'un nombre avec un exposant :

Exemple:

Diplôme avec exposant irrationnel

En plus des informations sur les diplômes pour le niveau moyen, nous analyserons le diplôme avec un exposant irrationnel. Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception - après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés comme une fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire , les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les nombres rationnels).

Lorsque nous étudions des diplômes à exposants naturels, entiers et rationnels, nous créons à chaque fois une certaine « image », « analogie » ou description en termes plus familiers. Par exemple, un degré avec un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ; un nombre à la puissance zéro est pour ainsi dire un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas encore commencé à le multiplier, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - le résultat n'est donc qu'un certain « numéro vierge », à savoir un numéro ; un degré avec un exposant entier négatif - c'est comme si un « processus inverse » s'était produit, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

Il est extrêmement difficile d’imaginer un degré avec un exposant irrationnel (tout comme il est difficile d’imaginer un espace à 4 dimensions). Il s’agit plutôt d’un objet purement mathématique que les mathématiciens ont créé pour étendre la notion de degré à tout l’espace des nombres.

À propos, en sciences, un degré avec un exposant complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'exposant n'est même pas un nombre réel. Mais à l’école on ne pense pas à de telles difficultés, vous aurez l’occasion d’appréhender ces nouveaux concepts à l’institut.

Alors, que faisons-nous si nous voyons un exposant irrationnel ? Nous faisons de notre mieux pour nous en débarrasser ! :)

Par exemple:

Décider vous-même:

Réponses:

Rappelons la formule de différence des carrés. Répondre: .
Nous réduisons les fractions à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple : .
Rien de spécial, on utilise les propriétés habituelles des diplômes :

RÉSUMÉ DE LA SECTION ET FORMULES DE BASE

Degré appelé une expression de la forme : , où :

Diplôme avec un exposant entier

un degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

Puissance avec exposant rationnel

degré dont l'exposant est constitué de nombres négatifs et fractionnaires.

Diplôme avec exposant irrationnel

un degré dont l'exposant est une fraction décimale infinie ou une racine.

Propriétés des diplômes

Caractéristiques des diplômes.

Nombre négatif porté à même diplôme, - nombre positif.
Nombre négatif porté à impair diplôme, - nombre négatif.
Un nombre positif, à quelque degré que ce soit, est un nombre positif.
Zéro est égal à n’importe quelle puissance.
Tout nombre à la puissance zéro est égal.

MAINTENANT VOUS AVEZ LE MOT...

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Et bonne chance pour tes examens !

L'élévation à une puissance négative est l'un des éléments de base des mathématiques, que l'on rencontre souvent lors de la résolution de problèmes. problèmes algébriques. Vous trouverez ci-dessous des instructions détaillées.

Comment élever à une puissance négative - théorie

Lorsqu’on élève un nombre à une puissance ordinaire, on multiplie sa valeur plusieurs fois. Par exemple, 3 3 = 3×3×3 = 27. Avec une fraction négative, l’inverse est vrai. Forme générale selon la formule, cela ressemblera à ceci : a -n = 1/a n. Ainsi, pour élever un nombre à une puissance négative, il faut diviser un par le nombre donné, mais à une puissance positive.

Comment élever à une puissance négative - exemples sur des nombres ordinaires

En gardant à l'esprit la règle ci-dessus, résolvons quelques exemples.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Réponse : 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Réponse -4 -2 = 1/16.

Mais pourquoi les réponses dans le premier et le deuxième exemples sont-elles les mêmes ? Le fait est que lors de la construction nombre négatifà une puissance paire (2, 4, 6, etc.), le signe devient positif. Si le diplôme était pair, alors le moins resterait :

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Comment élever les nombres de 0 à 1 à une puissance négative

Rappelons que lorsqu'un nombre compris entre 0 et 1 est élevé à une puissance positive, la valeur diminue à mesure que la puissance augmente. Ainsi par exemple, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Exemple 3 : Calculer 0,5 -2
Solution : 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Réponse : 0,5 -2 = 4

Analyse (séquence d'actions) :

Nous traduisons décimal 0,5 à fractionnaire 1/2. C'est plus facile ainsi.
Élevez 1/2 à une puissance négative. 1/(2)-2 . Divisez 1 par 1/(2) 2, nous obtenons 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Exemple 4 : Calculer 0,5 -3
Solution : 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Exemple 5 : Calculer -0,5 -3
Solution : -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Réponse : -0,5 -3 = -8

Sur la base des 4ème et 5ème exemples, nous pouvons tirer plusieurs conclusions :

Pour un nombre positif compris entre 0 et 1 (exemple 4), élevé à une puissance négative, que la puissance soit paire ou impaire n'a pas d'importance, la valeur de l'expression sera positive. De plus, plus le degré est élevé, plus la valeur est élevée.
Pour un nombre négatif compris entre 0 et 1 (exemple 5), élevé à une puissance négative, que la puissance soit paire ou impaire n'a pas d'importance, la valeur de l'expression sera négative. Dans ce cas, plus le degré est élevé, plus la valeur est faible.

Comment élever à une puissance négative - une puissance sous la forme d'un nombre fractionnaire

Les expressions de ce type ont la forme suivante : a -m/n , où a – numéro régulier, m est le numérateur du degré, n est le dénominateur du degré.

Regardons un exemple :
Calculer : 8 -1/3

Solution (séquence d'actions) :

Rappelons la règle pour élever un nombre à une puissance négative. On obtient : 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
Notez que le dénominateur a le nombre 8 dans une puissance fractionnaire. La forme générale de calcul d’une puissance fractionnaire est la suivante : a m/n = n √8 m.
Ainsi, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Nous obtenons la racine cubique de huit, qui est égale à 2. D’ici, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
Réponse : 8 -1/3 = 2

Formules de diplômes utilisé dans le processus de réduction et de simplification d'expressions complexes, dans la résolution d'équations et d'inégalités.

Nombre c est n-ième puissance d'un nombre un Quand:

Opérations avec diplômes.

1. En multipliant les degrés avec la même base, leurs indicateurs s'ajoutent :

suis·une n = une m + n .

2. Lors de la division de degrés avec la même base, leurs exposants sont soustraits :

3. Puissance du produit de 2 ou plus facteurs est égal au produit des puissances de ces facteurs :

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Le degré d'une fraction est égal au rapport des degrés du dividende et du diviseur :

(une/b) n = une n /b n .

5. En élevant une puissance à une puissance, les exposants sont multipliés :

(une m) n = une m n .

Chaque formule ci-dessus est vraie dans le sens de gauche à droite et vice versa.

Par exemple. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Opérations avec racines.

1. La racine du produit de plusieurs facteurs est égale au produit des racines de ces facteurs :

2. La racine d'un rapport est égale au rapport du dividende et du diviseur des racines :

3. Lorsqu'on élève une racine à une puissance, il suffit d'élever le nombre radical à cette puissance :

4. Si vous augmentez le degré de racine dans n une fois et en même temps, intégrer n la puissance est un nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

5. Si vous réduisez le degré de racine dans n extraire la racine en même temps n-ème puissance d'un nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

Un degré avec un exposant négatif. La puissance d'un certain nombre avec un exposant non positif (entier) est définie comme un divisé par la puissance du même nombre avec un exposant égal à la valeur absolue de l'exposant non positif :

Formule suis:a n =a m - n peut être utilisé non seulement pour m> n, mais aussi avec m< n.

Par exemple. un4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pour formuler suis:a n =a m - n est devenu juste quand m=n, la présence de zéro degré est requise.

Un diplôme avec un indice nul. La puissance de tout nombre différent de zéro avec un exposant nul est égale à un.

Par exemple. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Degré avec un exposant fractionnaire. Pour augmenter un vrai nombre UN au degré m/n, vous devez extraire la racine n le degré de m-ième puissance de ce nombre UN.

Dans cet article, nous découvrirons ce que c'est diplôme de. Nous donnerons ici des définitions de la puissance d'un nombre, tandis que nous examinerons en détail tous les exposants possibles, en commençant par l'exposant naturel et en terminant par l'exposant irrationnel. Dans le matériel, vous trouverez de nombreux exemples de diplômes, couvrant toutes les subtilités qui se posent.

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Puissance avec exposant naturel, carré d'un nombre, cube d'un nombre

Commençons avec . Pour l’avenir, disons que la définition de la puissance d’un nombre a d’exposant naturel n est donnée pour a, que nous appellerons base de diplôme, et n, que nous appellerons exposant. Nous notons également qu'un degré avec un exposant naturel est déterminé par un produit, donc pour comprendre le matériel ci-dessous, vous devez comprendre la multiplication des nombres.

Définition.

Puissance d'un nombre d'exposant naturel n est une expression de la forme a n, dont la valeur est égale au produit de n facteurs dont chacun est égal à a, c'est-à-dire .
En particulier, la puissance d'un nombre a d'exposant 1 est le nombre a lui-même, c'est-à-dire a 1 = a.

Il convient de mentionner tout de suite les règles de lecture des diplômes. Méthode universelle la lecture de l'entrée a n est : « a à la puissance n ». Dans certains cas, les options suivantes sont également acceptables : « a à la nième puissance » et « nième puissance de a ». Par exemple, prenons la puissance 8 12, c'est « huit puissance douze », ou « huit puissance douzième », ou « douzième puissance huit ».

La deuxième puissance d'un nombre, ainsi que la troisième puissance d'un nombre, ont leurs propres noms. La deuxième puissance d'un nombre s'appelle mettre le nombre au carré, par exemple, 7 2 se lit comme « sept au carré » ou « le carré du nombre sept ». La troisième puissance d'un nombre s'appelle nombres au cube, par exemple, 5 3 peut être lu comme « cinq cubes » ou vous pouvez dire « cube du nombre 5 ».

Il est temps d'apporter exemples de degrés avec des exposants naturels. Commençons par le degré 5 7, ici 5 est la base du degré, et 7 est l'exposant. Donnons un autre exemple : 4,32 est la base, et l'entier naturel 9 est l'exposant (4,32) 9 .

Attention, dans le dernier exemple, la base de la puissance 4,32 est écrite entre parenthèses : pour éviter les divergences, nous mettrons entre parenthèses toutes les bases de la puissance qui sont différentes des nombres naturels. A titre d'exemple, nous donnons les degrés suivants avec des exposants naturels , leurs bases ne sont pas des nombres naturels, elles sont donc écrites entre parenthèses. Eh bien, pour plus de clarté, nous allons montrer à ce stade la différence contenue dans les enregistrements de la forme (−2) 3 et −2 3. L'expression (−2) 3 est une puissance de −2 avec un exposant naturel de 3, et l'expression −2 3 (elle peut s'écrire −(2 3) ) correspond au nombre, la valeur de la puissance 2 3 .

Notez qu'il existe une notation pour la puissance d'un nombre a avec un exposant n de la forme a^n. De plus, si n est un nombre naturel à plusieurs valeurs, alors l'exposant est pris entre parenthèses. Par exemple, 4^9 est une autre notation pour la puissance de 4 9 . Et voici quelques autres exemples d'écriture de diplômes en utilisant le symbole « ^ » : 14^(21) , (−2,1)^(155) . Dans ce qui suit, nous utiliserons principalement la notation en degrés de la forme a n .

L’un des problèmes inverses à l’élévation à une puissance avec un exposant naturel est le problème de trouver la base de la puissance en valeur connue degré et indicateur connu. Cette tâche conduit à .

On sait que beaucoup nombres rationnels se compose de nombres entiers et fractionnaires, chacun un nombre fractionnaire peut être représenté comme positif ou négatif fraction commune. Nous avons défini un degré avec un exposant entier dans le paragraphe précédent, donc, pour compléter la définition d'un degré avec un exposant rationnel, nous devons donner un sens au degré du nombre a avec un exposant fractionnaire m/n, où m est un entier et n est un nombre naturel. Faisons-le.

Considérons un degré avec un exposant fractionnaire de la forme . Pour que la propriété puissance-puissance reste valable, l'égalité doit être vérifiée . Si nous prenons en compte l'égalité résultante et la manière dont nous avons déterminé , alors il est logique de l'accepter à condition que pour m, n et a donnés, l'expression ait un sens.

Il est facile de vérifier que pour toutes les propriétés d'un degré à exposant entier sont valides (cela a été fait dans la section propriétés d'un degré à exposant rationnel).

Le raisonnement ci-dessus nous permet de faire ce qui suit conclusion: si étant donné m, n et a l'expression a un sens, alors la puissance de a avec un exposant fractionnaire m/n est appelée la nième racine de a à la puissance m.

Cette affirmation nous rapproche de la définition d’un degré avec un exposant fractionnaire. Il ne reste plus qu'à décrire à partir de quoi m, n et a l'expression a un sens. Selon les restrictions imposées à m, n et a, il existe deux approches principales.

Le plus simple est d'imposer une contrainte sur a en prenant a≥0 pour m positif et a>0 pour m négatif (puisque pour m≤0 le degré 0 de m n'est pas défini). Nous obtenons alors la définition suivante d’un degré avec un exposant fractionnaire.

Définition.

Puissance d'un nombre positif a avec exposant fractionnaire m/n, où m est un nombre entier et n est un nombre naturel, est appelé la nième racine du nombre a à la puissance m, c'est-à-dire .

La puissance fractionnaire de zéro est également déterminée avec le seul avertissement que l'indicateur doit être positif.

Définition.

Puissance de zéro avec exposant fractionnaire positif m/n, où m est un entier positif et n est un nombre naturel, est défini comme .
Lorsque le degré n'est pas déterminé, c'est-à-dire que le degré du nombre zéro avec un exposant fractionnaire négatif n'a pas de sens.

Il convient de noter qu'avec cette définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, il y a une mise en garde : pour certains a négatifs et certains m et n, l'expression a un sens, et nous avons écarté ces cas en introduisant la condition a≥0. Par exemple, les entrées ont du sens ou , et la définition donnée ci-dessus nous oblige à dire que les puissances à exposant fractionnaire de la forme n’a aucun sens, puisque la base ne doit pas être négative.

Une autre approche pour déterminer un degré avec un exposant fractionnaire m/n consiste à considérer séparément les exposants pairs et impairs de la racine. Cette approche nécessite une condition supplémentaire : la puissance du nombre a dont l'exposant est , est considérée comme la puissance du nombre a dont l'exposant est la fraction irréductible correspondante (nous expliquerons l'importance de cette condition ci-dessous ). Autrement dit, si m/n est une fraction irréductible, alors pour tout nombre naturel k, le degré est d'abord remplacé par .

Pour n pair et m positif, l'expression a du sens pour tout a non négatif (une racine paire d'un nombre négatif n'a pas de sens) ; pour m négatif, le nombre a doit quand même être différent de zéro (sinon il y aura division par zéro). Et pour n impair et m positif, le nombre a peut être quelconque (la racine d'un degré impair est définie pour tout nombre réel), et pour m négatif, le nombre a doit être différent de zéro (pour qu'il n'y ait pas de division par zéro).

Le raisonnement ci-dessus nous amène à cette définition d’un degré à exposant fractionnaire.

Définition.

Soit m/n une fraction irréductible, m un entier et n un nombre naturel. Pour toute fraction réductible, le degré est remplacé par . La puissance d'un nombre avec un exposant fractionnaire irréductible m/n est pour

Expliquons pourquoi un degré à exposant fractionnaire réductible est d'abord remplacé par un degré à exposant irréductible. Si nous définissons simplement le degré comme , et ne faisons pas de réserve sur l'irréductibilité de la fraction m/n, alors nous serions confrontés à des situations similaires à la suivante : puisque 6/10 = 3/5, alors l'égalité doit être vraie , Mais , UN .