Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Реферат: Статистическое определение вероятности

Для практической деятельности необходимо уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Рассмотрим классический случай. В урне находится 10 шаров, 8 из них белого цвета, 2 черного. Очевидно, что событие «из урны будет извлечен шар белого цвета» и событие «из урны будет извлечен шар черного цвета» обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная количественная мера.

Количественной мерой возможности наступления события является вероятность . Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Остановимся на этом подробнее.

Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называют элементарными исходами , или случаями . При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев или «схеме урн », т.к. любую вероятностную задачу для подобного испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами разных цветов.

Исход называется благоприятствующим событию А , если появление этого случая влечет за собой появление события А .

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов , т.е.

где Р(А) – вероятность события А ; m – число случаев благоприятствующих событию А ; n – общее число случаев.

Пример 1.1. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?

Решение. Все n = 6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Событию А – «появление четного числа очков» – благоприятствуют 3 исхода (случая) – выпадение 2, 4 или 6 очков. По классической формуле вероятности события получаем

Р(А) = = . ◄

Исходя из классического определения вероятности события, отметим ее свойства:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

0 ≤ Р (А ) ≤ 1.

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Как было сказано ранее, классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможных исходов, т.е. сводящихся к схеме случаев. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения.

Например, если допустить, что монета сплющена, то очевидно, что события «появление герба» и «появление решки» нельзя считать равновозможными. Поэтому формула для определения вероятности по классической схеме в данном случае неприменима.

Однако существует другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определениевероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.

,

(1.2)

где Р * (А) – статистическая вероятность события А ; w(A) – относительная частота события А ; m – число испытаний, в которых появилось событие А ; n – общее число испытаний.

В отличие от математической вероятности Р(А) , рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность Р * (А) является характеристикой опытной , экспериментальной . Иначе говоря, статистической вероятностью события А называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота w(А) при неограниченном увеличении числа испытаний, проводимых при одном и том же комплексе условий.

Например, когда про стрелка говорят, что он попадает в цель с вероятностью 0,95, то это означает, что из сотни выстрелов, произведенных им при определенных условиях (одна и та же цель на том же расстоянии, та же винтовка и т.д.), в среднем бывает примерно 95 удачных. Естественно, не в каждой сотне будет 95 удачных выстрелов, иногда их будет меньше, иногда больше, но в среднем при многократном повторении стрельбы в тех же условиях этот процент попаданий будет оставаться неизменным. Цифра 0,95, служащая показателем мастерства стрелка, обычно очень устойчива , т.е. процент попаданий в большинстве стрельб будет для данного стрелка почти один и тот же, лишь в редких случаях отклоняясь сколько-нибудь значительно от своего среднего значения.

Еще одним недостатком классического определения вероятности (1.1 ), ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания. В некоторых случаях этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G (рис. 1.1). На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания на нее брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события А – попадания брошенной точки на фигуру g – пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G , ни от формы g , найдем

Рис. 1.1 Рис 1.2

Пример 1.2. Два студента условились встретиться в определенном месте между 10 и 11 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода между 10 и 11 часами.

Решение. Обозначим моменты прихода в определенное место первого и второго студентов соответственно через x и y . В прямоугольной системе координат Oxy возьмем за начало отсчета 10 часов, а за единицу измерения – 1 час. По условию 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Этим неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату OKLM со стороной, равной 1 (рис. 1.2). Событие А – встреча двух студентов – произойдет, если разность между x и не y превзойдет 1/4 часа (по абсолютной величине), т.е. |y – x | ≤ 0,25.

Решение этого неравенства есть полоса x – 0,25 ≤ y ≤ x + 0,25, которая внутри квадрата G представляет заштрихованную область g . По формуле (1.3)

Классическое определœение вероятности.

Различные определœения вероятности.

Алгебра событий.

Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определённое число, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы назовём вероятностью события. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.

Первым по времени определœением вероятности следует считать классическое, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ возникло из анализа азартных игр и применялось вначале интуитивно.

Классический способ определœения вероятности основан на понятии равновозможных и несовместных событий, которые являются исходами данного опыта и образуют полную группу несовместных событий.

Наиболее простым примером равновозможных и несовместных событий, образующих полную группу, является появление того или иного шара из урны, содержащей несколько одинаковых по размеру, весу и другим осязаемым признакам шаров, отличающихся лишь цветом, тщательно перемешанных перед выниманием.

По этой причине об испытании, исходы которого образуют полную группу несовместных и равновозможных событий, говорят, что оно сводится к схеме урн, или схеме случаев , или укладывается в классическую схему.

Равновозможные и несовместные события, составляющие полную группу, будем называть просто случаями или шансами. При этом в каждом опыте наряду со случаями могут происходить и более сложные события.

Пример : При подбрасывании игральной кости наряду со случаями А i - выпадение i- очков на верхней грани можно рассматривать такие события, как В - выпадение чётного числа очков, С - выпадение числа очков, кратных трём …

По отношению к каждому событию, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ может произойти при осуществлении эксперимента͵ случаи делятся на благоприятствующие , при которых это событие происходит, и неблагоприятствующие, при которых событие не происходит. В предыдущем примере, событию В благоприятствуют случаи А 2 , А 4 , А 6 ; событию С – случаи А 3 , А 6 .

Классической вероятностью появления некоторого события принято называть отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаев равновозможных, несовместных, составляющих полную группу в данном опыте:

где Р(А) – вероятность появления события А; m - число случаев, благоприятствующих событию А; n - общее число случаев.

Примеры:

1) (смотри пример выше) Р(В) =, Р(С)= .

2) В урне находятся 9 красных и 6 синих шаров. Найти вероятность того, что вынутые наугад один, два шара окажутся красными.

А - вынутый наугад шар красный:

m =9, n =9+6=15, P(A) =

B - вынутые наугад два шара красные:

Из классического определœения вероятности вытекают следующие свойства (показать самостоятельно):

1) Вероятность невозможного события равна 0;

2) Вероятность достоверного события равна 1;

3) Вероятность любого события заключена между 0 и 1;

4) Вероятность события, противоположного событию А,

Классическое определœение вероятности предполагает, что число исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных случаев которых бесконечно. Вместе с тем, слабая сторона классического определœения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные исходы испытания равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания заключают из соображений симметрии. При этом такие задачи на практике встречаются весьма редко. По этим причинам наряду с классическим определœением вероятности пользуются и другими определœениями вероятности.

Статистической вероятностью события А принято называть относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:

где – вероятность появления события А;

– относительная частота появления события А;

Число испытаний, в которых появилось событие А;

Общее число испытаний.

В отличие от классической вероятности статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.

Пример: Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными. Определить вероятность брака.

.

Статистический способ определœения вероятности применим лишь к тем событиям, которые обладают следующими свойствами:

· Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые бывают воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

· События должны обладать статистической устойчивостью (или устойчи- востью относительных частот). Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно.

· Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определœения, сохраняются и при статистическом определœении вероятности.

Статистическое определение вероятности. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Статистическое определение вероятности." 2017, 2018.

Рассмотрим случайный эксперимент, заключающийся в том, что подбрасывается игральная кость, сделанная из неоднородного материала. Ее центр тяжести не находится в геометрическом центре. В этом случае мы не можем считать исходы (выпадение единицы, двойки и т.д.) равновероятными. Из физики известно, что кость более часто будет падать на ту грань, которая ближе к центру тяжести. Как определить вероятность выпадения, например, трех очков? Единственное, что можно сделать, это подбросить эту кость n раз (где n-достаточно большое число, скажем n=1000 или n=5000), подсчитать число выпадений трех очков n 3 и считать вероятность исхода, заключающегося в выпадении трех очков, равной n 3 /n – относительной частоте выпадения трех очков. Аналогичным образом можно определить вероятности остальных элементарных исходов – единицы, двойки, четверки и т.д. Теоретически такой образ действий можно оправдать, если ввести статистическое определение вероятности.

Вероятность P(w i) определяется как предел относительной частоты появления исхода w i в процессе неограниченного увеличения числа случайных экспериментов n, то есть

где m n (w i) – число случайных экспериментов (из общего числа n произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного исхода w i .

Так как здесь не приводится никаких доказательств, мы можем только надеяться, что предел в последней формуле существует, обосновывая надежду жизненным опытом и интуицией.

В практике очень часто возникают задачи, в которых какой-либо другой способ определения вероятности события, кроме статистического определения, найти невозможно или крайне трудно.

Непрерывное вероятностное пространство.

Как уже говорилось ранее, множество элементарных исходов может быть более, чем счетным (то есть несчетным). Так несчётное множество исходов имеет эксперимент, состоящий в случайном бросании точки на отрезок . Можно себе представить, что эксперимент, заключающийся в измерении температуры в заданный момент в заданной точке тоже имеет несчётное число исходов (действительно, температура может принять любое значение из некоторого промежутка, хотя в действительности мы можем измерять её лишь с определённой точностью, и практическая реализация такого эксперимента даст конечное число исходов). В случае эксперимента с несч ётным множеством W элементарных исходов нельзя считать любое подмножество множества W событием. Следует заметить, что подмножества W, не являющиеся событиями, являются математическими абстракциями и не встречаются в практических задачах. Поэтому в нашем курсе данный параграф является необязательным.

Чтобы ввести определение случайного события, рассмотрим систему (конечную или счетную) подмножеств пространства элементарных исходов W.

В случае выполнения двух условий:

1) из принадлежности А этой системе следует принадлежность этой системе;

2) из принадлежности и этой системе следует принадлежность A i A j этой системе

такая система подмножеств называется алгеброй.

Пусть W - некоторое пространство элементарных исходов. Убедитесь в том, что две системы подмножеств:

1) W, Æ; 2) W, А, , Æ (здесь А- подмножествоW) являются алгебрами.

Пусть A 1 и A 2 принадлежат некоторой алгебре. Докажите, что A 1 \ A 2 и принадлежат этой алгебре.

Назовём s-алгеброй систему Á подмножеств множества W, удовлетворяющую условию 1) и условию 2)¢:

2)¢ если подмножества А 1 , А 2 ,¼, А n , ¼принадлежат Á, то их счётное объединение (по аналогии с суммированием это счётное объединение кратко записывается формулой ) тоже принадлежит Á.

Подмножество А множества элементарных исходов W является событием, если оно принадлежит некоторой s-алгебре.

Можно доказать, что если выбрать любую счётную систему событий, принадлежащих некоторой s-алгебре и проводить с этими событиями любые принятые в теории множеств операции (объединение, пересечение, взятие разности и дополнения), то результатом будет множество или событие, принадлежащее той же s-алгебре.

Сформулируем аксиому, называемую аксиомой А.Н. Колмогорова.

Каждому событию соответствует неотрицательное и не превосходящее единицы число P(А), называемое вероятностью события А, причем функция P(А) обладает следующими свойствами:

2) если события A 1 , A 2 ,..., A n , ¼ несовместны, то

Если задано пространство элементарных исходов W, алгебра событий и определенная на ней функция Р, удовлетворяющая условиям приведенной аксиомы, то говорят, что задано вероятностное пространство.

Это определение вероятностного пространства можно перенести на случай конечного пространства элементарных исходов W. Тогда в качестве алгебры можно взять систему всех подмножеств множества W.

Геометрическая вероятность

В одном специальном случае дадим правило расчёта вероятности события для случайного эксперимента с несчетным множеством исходов.

Если между множеством W элементарных исходов случайного эксперимента и множеством точек некоторой плоской фигуры S (сигма большая) можно установить взаимно-однозначное соответствие, а также можно установить взаимно-однозначное соответствие между множеством элементарных исходов, благоприятствующих событию А, и множеством точек плоской фигуры s (сигма малая), являющейся частью фигуры S, то

где s – площадь фигуры s, S - площадь фигуры S. Здесь, естественно, подразумевается, что фигуры S и s имеют площади. В частности, например, фигура s может представлять собой отрезок прямой линии, с площадью, равной нулю.

Заметим, что в этом определении вместо плоской фигуры S можно рассматривать промежуток S, а вместо её части s – промежуток s, целиком принадлежащий промежутку s, и вероятность представлять как отношение длин соответствующих промежутков.

Пример. Два человека обедают в столовой, которая открыта с 12 до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10 минут. Какова вероятность их встречи?

Пусть x - время прихода первого в столовую, а y - время прихода второго .

Можно установить взаимно-однозначное соответствие между всеми парами чисел (x;y) (или множеством исходов) и множеством точек квадрата со стороной, равной 1, на координатной плоскости, где начало координат соответствует числу 12 по оси X и по оси Y, как изображено на рисунке 6. Здесь, например, точка А соответствует исходу, заключающемуся в том, что первый пришел в 12.30, а второй - в 13.00. В этом случае, очевидно, встреча не состоялась.

Если первый пришел не позже второго (y ³ x), то встреча произойдет при условии 0 £ y - x £ 1/6 (10 минут– это 1/6 часа).

Если второй пришел не позже первого (x³y), то встреча произойдет при условии 0 £ x – y £ 1/6..

Между множеством исходов, благоприятствующих встрече, и множеством точек области s, изображенной на рисунке7 в заштрихованном виде, можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Искомая вероятность p равна отношению площади области s к площади всего квадрата. Площадь квадрата равна единице, а площадь области s можно определить как разность единицы и суммарной площади двух треугольников, изображенных на рисунке7. Отсюда следует:

Задачи с решениями.

На шахматную доску с шириной клетки 5см брошена монета радиуса 1,5см. Найти вероятность того, что монета не попадёт ни на одну границу клетки.

Задача II.

Через реку шириной 100 м перекинут мост. В некоторый момент, когда на мосту находятся два человека, мост рушится, и оба они падают в реку. Первый умеет плавать и спасётся. Второй плавать не умеет, и спасётся, только если упадёт не далее 10-ти метров от берега или не далее, чем в 10-ти метрах от первого. Какова вероятность, что второй человек спасётся?

Задача III.

Противотанковые мины поставлены на прямой через 15 м. Танк шириной в 2 м. едет перпендикулярно этой прямой. Какова вероятность, что он не подорвется на мине?

Задача VI.

На промежутке (0; 2) случайным образом выбираются два числа. Найти вероятность того, что квадрат большего числа меньше, чем меньшее число

На отрезок бросаются наудачу две точки. Они разбивают отрезок на три части. Какова вероятность того, что из полученных отрезков можно составить треугольник?

Задача VI.

На отрезок бросают наудачу три точки, одну за другой. Какова вероятность того, что третья по счёту точка упадёт между двумя первыми?

Задача I. Положение монеты на шахматной доске полностью определяется положением её геометрического центра. Всё множество исходов можно изобразить в виде квадрата S со стороной 5. Всё множество благоприятных исходов тогда изображается в виде квадрата s, лежащего внутри квадрата S, как это изображено на рисунке 1.

Искомая вероятность тогда равна отношению площади малого квадрата к площади большого квадрата, то есть, 4/25

Задача II. Обозначим через х расстояние от левого берега реки до точки падения первого человека, а через у – расстояние от левого берега до точки падения второго человека. Очевидно, что и х, и у принадлежат промежутку (0;100). Таким образом, можно заключить, что всё множество исходов можно отобразить на квадрат, левый нижний угол которого лежит в начале координат, а правый верхний – в точке с координатами (100;100). Две полосы: 0x, то есть второй упал ближе к правому берегу, чем первый, то для того, чтобы он был спасён, должно выполняться условие у<х+10. Если ух–10. Из сказанного следует, что все благополучные для второго человека исходы отображаются в заштрихованную область на рисунке 2. Площадь этой области легче всего подсчитать, вычитая из площади всего квадрата площади двух незаштрихованных треугольников, что даёт в результате 10000–6400=3600. Искомая вероятность равна 0,36.

Задача III.

По условию задачи положение танка на промежутке между двумя соседними минами полностью определяется положением прямой линии, равноотстоящей от бортов танка. Эта линия перпендикулярна линии, по которой установлены мины, и танк подрывается на мине, если эта линия расположена ближе, чем в 1-м метре от края промежутка. Таким образом, всё множество исходов отображается в промежуток длиной 15, а множество благоприятных исходов отображается в промежуток длиной 13, как показано на рисунке 3, Искомая вероятность равна 13/15.

Задача IV.

Обозначим одно из чисел х, а другое – у. Всё множество возможных исходов отображается в квадрат ОBCD , две стороны которого совпадают с осями координат и имеют длину, равную 2, как показано на рисунке 4. Допустим, что у–меньшее число. Тогда множество исходов отображается в треугольник ОCD с площадью, равной 2. Выбранные числа должны удовлетворять двум неравенствам:

у<х, у>х 2

Множество чисел, удовлетворяющих этим неравенствам отображается в заштрихованную область на рисунке 4. Площадь этой области определяется как разность площади треугольника OEG, равной 1/2, и площади криволинейного треугольника OFEG. Площадь s этого криволинейного треугольника определяется формулой

и равна 1/3. Отсюда получаем, что площадь заштрихованной фигуры OEF равна 1/6. Таким образом, искомая вероятность равна 1/12.

Пусть длина отрезка равна l. Если принять за х и у расстояния от левого конца отрезка до точек, о которых говорится в условии задачи, то множество всех исходов можно отобразить на квадрат со стороной l, одна из сторон которого лежит на координатной оси х, а другая – на координатной оси у. Если принять условие у>х, то множество исходов отобразится на треугольник OВС, изображенный на рисунке 5. Площадь этого треугольника равна l 2 /2. Полученные отрезки будут иметь длины: х, у–х и l-у. Теперь вспомним геометрию. Из трёх отрезков можно составить треугольник тогда и только тогда, когда длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков. Это условие в нашем случае приводит к системе трёх неравенств

Первое неравенство преобразуется к виду хl/2, а третье неравенство – к виду у<х+l/2. Множество пар чисел х, у, являющееся решением системы неравенств отображается в заштрихованный треугольник на рисунке 5. Площадь этого треугольника в 4 раза меньше площади треугольника OВС. Отсюда следует, что ответ задачи составляет 1/4.

Примем длину отрезка за l. Пусть расстояние от левого конца отрезка до первой точки равно х, до второй точки – у, а до третьей точки – z. Тогда всё множество исходов отображается в куб, три ребра которого лежат на осях х, у и z прямоугольной системы координат, и с ребром длиной l. Допустим, что у>х. Тогда множество исходов отобразится в прямую призму АВСА 1 В 1 С 1 , изображенную на рисунке 6. Условие z>x означает, что все исходы будут отображаться в область, лежащую выше плоскости AD 1 C 1 B, показанной на рисунке 7. Эта плоскость Теперь все допустимые исходы будут отображаться в пирамиду с квадратом АА 1 В 1 В в основании и с высотой В 1 С 1 . Все исходы, удовлетворяющие условию z

Задачи для самостоятельного решения.

1. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода – один час, а второго – два часа. Ответ: 139/1152.

2. На перекрестке установлен автоматический светофор, в котором одну минуту горит зеленый свет и полминуты красный, затем снова одну минуту - зеленый и полминуты красный и т.д. В случайный момент времени к перекрестку подъезжает автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет перекресток без остановки? Ответ: 2/3

3. На бесконечную шахматную доску с шириной клетки 5см брошена монета радиуса 1,5см. Найти вероятность того, что монета расположится не более чем в двух клетках шахматной доски. Ответ: 16/25.

4. В окружность наудачу вписывается треугольник. Какова вероятность, что он остроугольный? Ответ: 1/4.

5. В окружность наудачу вписывается треугольник. Какова вероятность, что он прямоугольный? Ответ: 0.

6. Стержень длины а наудачу разломан на три части. Найдите вероятность того, что длина каждой части окажется больше а/4. Ответ: 1/16.

Классическое определение вероятности предполагает, что все эле­ментарные исходы равновозможны . О равновозможности исходов опы­та заключают в силу соображений симметрии (как в случае монеты или игрального кубика). Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи с этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, называемого статистическим . Чтобы дать это определение, предварительно вводят понятие относительной частоты события.

Относительной частотой события , или частотой , называется от­ношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события через , тогда по определению

(1.4.1)
где - число опытов, в которых появилось событие и - число всех произведенных опытов.

Частота события обладает следующими свойствами.

Наблюдения позволили установить, что относительная частота об­ладает свойствами статистической устойчивости: в различных сериях многочленных испытаний (в каждом из которых может появиться или не появиться это событие) она принимает значения, достаточно близкие к некоторой постоянной. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного со­бытия.

Вероятностью события называется число, около которого группи­руются значения,частоты данного события в различных сериях большо­го числа испытаний.

Это определение вероятности называется статистическим .

В случае статистического определения вероятность обладает сле­дующими свойствами:
1) вероятность достоверного события равна еди­нице;
2) вероятность невозможного события равна нулю;
3) вероятность случайного события заключена между нулем и единицей;
4) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих со­бытий.

Пример 1. Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 8 бракован­ных. Найти частоту бракованных деталей.

Решение. Так как в данном случае = 8, = 500, то в соответствии с формулой (1.4.1) находим

Пример 2 . Игральный кубик подброшен 60 раз, при этом шестерка появилась 10 раз. Какова частота появления шестерки ?

Решение. Из условия задачи следует, что = 60, = 10, поэтому

Пример 3. Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков.Чему равна частота рождения мальчиков?
Решение. Поскольку в данном случае , , то .

Пример 4. В результате 20 выстрелов по мишени получено 15 попаданий. Какова частота попаданий?

Решение. Так как = 20, = 15, то

Пример 5. При стрельбе по мишени частота попаданий = 0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.

Решение. Из формулы (1.4.1) следует, что . Так как = 0,75, = 40, то . Таким образом, было получено 30 попаданий.

Пример 6. www.. Из высе­янных семян взошло 970. Сколько семян было высеяно?

Решение. Из формулы (1.4.1) следует, что . Поскольку , , то . Итак, было высеяно 1000 семян.

Пример 7. На отрезке натурального ряда от 1 до 20 найти частоту простых чисел.

Решение. На указанном отрезке натурального ряда чисел находятся следующие простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; всего их 8. Так как = 20, = 8, то искомая частота

.

Пример 8. Проведены три серии многократных подбрасываний симметричной монеты, подсчитаны числа появлений герба: 1) = 4040, =2048, 2) = 12000, = 6019; 3) = 24000, = 12012. Найти частоту появления герба в каждой серии испытаний.

Решение . В соответствии с формулой (1.4.1) находим:

Замечание. Эти примеры свидетельствуют о том, что при многократ­ных испытаниях частота события незначительно отличается от его вероятности. Вероятность появления герба при подбрасывании монеты р = 1/2 = 0,5 , так как в этом случае n = 2, m = 1.

Пример 9. Среди 300 деталей, изготовленных на автоматическом станке, оказалось 15, не отвечающих стандарту. Найти частоту появле­ния нестандартных деталей.

Решение. В данном случае n = 300, m = 15, поэтому

Пример 10. Контролер, проверяя качество 400 изделий установил, что 20 из них относятся ко второму сорту, а остальные - к первому. Най­ти частоту изделий первого сорта, частоту изделий второго сорта.

Решение. Прежде всего, найдем число изделий первого сорта: 400 - 20 = 380. Поскольку n = 400, = 380, то частота изделий перво­го сорта

Аналогично находим частоту изделий второго сорта:

Задачи

1. Отдел технического контроля обнаружил 10 нестандартных изде­лий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракован­ных изделий.
2. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабо­раторных условиях 100 штук. 95 семян дали нормальный всход. Какова частота нормального всхода семян?
3. Найдите частоту появления простых чисел в следующих отрезках натурального ряда: а) от 21 до 40; б) от 41 до 50; в) от 51 до 70.
4. Найдите частоту появления цифры при 100 подбрасываниях сим­метричной монеты. (Опыт проводите самостоятельно).
5. Найдите частоту появления шестерки при 90 подбрасываниях иг­рального кубика.
6. Путем опроса всех студентов Вашего курса определите частоту дней рождения, попадающих на каждый месяц года.
7. Найдите частоту пятибуквенных слов в любом газетном тексте.

Ответы

1. 0,01. 2. 0,95; 0,05. 3. а) 0,2; б) 0,3; в) 0,2.

Вопросы

1. Что такое частота события?
2. Чему равна частота достоверного события?
3. Чему равна частота невозможного события?
4. В каких пределах заключена частота случайного события?
5. Чему равна частота суммы двух несовместных событий?
6. Какое определение вероятности называют статистическим?
7. Какими свойствами обладает статистическая вероятность?

Метки . Смотреть .

Случайность наступления событий связана с невозможностью предсказать заранее исход того или иного испытания. Однако, если рассматривать, например, испытание: многократное бросание монеты, ω 1 , ω 2 , … , ω n , то получается, что приблизительно в половине исходов (n / 2) обнаруживается определённая закономерность, которая соответствует понятию вероятности.

Под вероятностью события А понимается некоторая числовая характеристика возможности наступления события А . Обозначим эту числовую характеристику р (А ). Существуют несколько подходов к определению вероятности. Основными из них являются статистический, классический и геометрический.

Пусть произведено n испытаний и при этом некоторое событие А наступило n A раз. Число n A называется абсолютной частотой (или просто частотой) события А , а отношение называется относительной частотой наступления события А. Относительная частота любого события характеризуется следующими свойствами:

Основанием для применения методов теории вероятностей к изучению реальных процессов является объективное существование случайных событий, обладающих свойством устойчивости частот. Многочисленные испытания изучаемого события А показывают, что при больших n относительная частота (А ) остаётся примерно постоянной.

Статистическое определение вероятности заключается в том, что за вероятность события А принимается постоянная величина р(А), вокруг которой колеблются значения относительных частот (А ) при неограниченном возрастании числа испытаний n .

Замечание 1 . Отметим, что пределы изменения вероятности случайного события от нуля до единицы выбраны Б. Паскалем для удобства ее вычисления и применения. В переписке с П. Ферма Паскаль указывал, что в качестве указанного промежутка можно было выбрать любой промежуток, например от нуля до ста и другие промежутки. В приведенных ниже задачах в данном пособии вероятности иногда указываются в процентах, т.е. от нуля до ста. В этом случае приведенные в задачах проценты необходимо переводить в доли, т.е. делить на 100.

Пример 1. Проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Величина (А ) в каждой из серий равна 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Эти частоты группируются около р (А ) = 0,5.

Этот пример подтверждает, что относительная частота (А ) примерно равна р (А ), т.е.