Rotācijas kustības kinemātiskā enerģija. Rotējoša ķermeņa kinētiskā enerģija

Rotācijas kustības galvenie dinamiskie raksturlielumi ir leņķiskais impulss ap rotācijas asi z:

un kinētiskā enerģija

Vispārīgā gadījumā enerģiju rotācijas laikā ar leņķisko ātrumu nosaka pēc formulas:

Termodinamikā

Ar tieši tādu pašu argumentāciju kā lietā kustība uz priekšu, līdzsvars nozīmē, ka termiskā līdzsvara apstākļos katras monatomiskās gāzes daļiņas vidējā rotācijas enerģija ir: (3/2) k B T. Līdzīgi, ekvipartīcijas teorēma ļauj aprēķināt vidējo kvadrātu leņķiskais ātrums molekulas.

Skatīt arī

Wikimedia fonds. 2010 .

Skatiet, kas ir "rotācijas kustības enerģija" citās vārdnīcās:

Šim terminam ir citas nozīmes, skatiet Enerģija (nozīmes). Enerģija, Dimensija ... Wikipedia

KUSTĪBAS- KUSTĪBAS. Saturs: Ģeometrija D.................452 Kinemātika D.................456 Dinamika D. ...................461 Motora mehānismi ......................465 D izpētes metodes. personas ..........471 Patoloģija D. personas ............. 474 ... ... Lielā medicīnas enciklopēdija

Kinētiskā enerģija enerģiju mehāniskā sistēma, atkarībā no tā punktu ātrumiem. Bieži piešķir translācijas un rotācijas kustības kinētisko enerģiju. Stingrāk sakot, kinētiskā enerģija ir atšķirība starp kopējo ... ... Wikipedia

α peptīda termiskā kustība. Atomu, kas veido peptīdu, sarežģītā trīcošā kustība ir nejauša, un atsevišķa atoma enerģija svārstās plašā diapazonā, bet, izmantojot līdzdalības likumu, tiek aprēķināta kā katra ... ... Wikipedia vidējā kinētiskā enerģija.

α peptīda termiskā kustība. Atomu, kas veido peptīdu, sarežģītā trīcošā kustība ir nejauša, un atsevišķa atoma enerģija svārstās plašā diapazonā, bet, izmantojot līdzdalības likumu, tiek aprēķināta kā katra ... ... Wikipedia vidējā kinētiskā enerģija.

- (franču marées, vācu Gezeiten, angļu plūdmaiņas) periodiskas svārstībasūdens līmenis mēness un saules pievilkšanās dēļ. Galvenā informācija. P. visvairāk pamanāms gar okeānu krastiem. Tūlīt pēc lielākā bēguma laikā okeāna līmenis sāk pazemināties ... ... enciklopēdiskā vārdnīca F. Brokhauss un I.A. Efrons

Refrigerated kuģis Ivory Tirupati sākotnējā stabilitāte ir negatīva Stabilitātes spēja ... Wikipedia

Refrižeratora kuģa Ivory Tirupati sākotnējā stabilitāte ir negatīva Stabilitāte ir peldošas iekārtas spēja izturēt ārējos spēkus, kas izraisa tā ripošanu vai apgriešanu un atgriešanos līdzsvara stāvoklī, beidzoties traucējošajam ... ... Wikipedia

« Fizika — 10. klase

Kāpēc slidotājs stiepjas pa griešanās asi, lai palielinātu griešanās leņķisko ātrumu.
Vai helikopteram jāgriežas, kad tā dzenskrūve griežas?

Uzdotie jautājumi liek domāt, ka, ja ārējie spēki uz ķermeni neiedarbojas vai to darbība tiek kompensēta un viena ķermeņa daļa sāk griezties vienā virzienā, tad otrai daļai jāgriežas otrā virzienā, tāpat kā tad, kad degviela tiek izmesta no raķete, pati raķete kustas pretējā virzienā.

impulsa moments.

Ja aplūkojam rotējošu disku, kļūst skaidrs, ka diska kopējais impulss ir nulle, jo jebkura ķermeņa daļiņa atbilst daļiņai, kas pārvietojas ar vienādu ātrumu absolūtā vērtībā, bet pretējā virzienā (6.9. att.).

Bet disks kustas, visu daļiņu griešanās leņķiskais ātrums ir vienāds. Tomēr ir skaidrs, ka jo tālāk daļiņa atrodas no rotācijas ass, jo lielāks ir tās impulss. Tāpēc rotācijas kustībai ir nepieciešams ieviest vēl vienu impulsam līdzīgu raksturlielumu - leņķisko impulsu.

Daļiņas leņķiskais impulss, kas kustas pa apli, ir daļiņas impulsa un attāluma no tā līdz rotācijas asi reizinājums (6.10. att.):

Lineārais un leņķiskais ātrums ir saistīts ar v = ωr, tad

Visi cietās vielas punkti pārvietojas attiecībā pret fiksētu rotācijas asi ar vienādu leņķisko ātrumu. Stingru korpusu var attēlot kā komplektu materiālie punkti.

Stingra ķermeņa leņķiskais impulss ir vienāds ar inerces momenta un griešanās leņķiskā ātruma reizinājumu:

Leņķiskais impulss ir vektora lielums, saskaņā ar formulu (6.3) leņķiskais impulss ir vērsts tāpat kā leņķiskais ātrums.

Rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojums impulsīvā formā.

Ķermeņa leņķiskais paātrinājums ir vienāds ar leņķiskā ātruma izmaiņām, kas dalītas ar laika intervālu, kurā šīs izmaiņas notika: aizstājiet šo izteiksmi rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojumā. tātad I(ω 2 - ω 1) = MΔt vai IΔω = MΔt.

Pa šo ceļu,

∆L = M∆t. (6.4)

Leņķiskā impulsa izmaiņas ir vienādas ar kopējo spēku momentu, kas iedarbojas uz ķermeni vai sistēmu, un šo spēku darbības laika reizinājumu.

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums:

Ja kopējais spēku moments, kas iedarbojas uz ķermeni vai ķermeņu sistēmu ar fiksētu griešanās asi, ir vienāds ar nulli, tad arī leņķiskā impulsa izmaiņas ir vienādas ar nulli, t.i., sistēmas leņķiskais impulss paliek nemainīgs.

∆L=0, L=konst.

Sistēmas impulsa izmaiņas ir vienādas ar kopējo uz sistēmu iedarbojošo spēku impulsu.

Rotējošais slidotājs izpleš rokas uz sāniem, tādējādi palielinot inerces momentu, lai samazinātu griešanās leņķisko ātrumu.

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likumu var demonstrēt, izmantojot šādu eksperimentu, ko sauc par "eksperimentu ar Žukovska soliņu". Cilvēks stāv uz sola ar vertikālu rotācijas asi, kas iet caur tās centru. Vīrietis tur rokās hanteles. Ja sols ir likts griezties, tad cilvēks var mainīt griešanās ātrumu, piespiežot hanteles pie krūtīm vai nolaižot rokas un pēc tam izpletot tās. Izplešot rokas, viņš palielina inerces momentu, un griešanās leņķiskais ātrums samazinās (6.11. att., a), nolaižot rokas, viņš samazina inerces momentu, un palielinās sola griešanās leņķiskais ātrums (Att. 6.11., a). 6.11., b).

Cilvēks var likt griezties arī soliņam, ejot gar tā malu. Šajā gadījumā sols griezīsies pretējā virzienā, jo kopējam leņķiskajam impulsam jāpaliek vienādam ar nulli.

Ierīču, ko sauc par žiroskopiem, darbības princips ir balstīts uz leņķiskā impulsa saglabāšanas likumu. Žiroskopa galvenā īpašība ir rotācijas ass virziena saglabāšana, ja uz šo asi neiedarbojas ārējie spēki. 19. gadsimtā navigatori izmantoja žiroskopus, lai pārvietotos jūrā.

Rotējoša cieta ķermeņa kinētiskā enerģija.

Rotējoša cieta ķermeņa kinētiskā enerģija ir vienāda ar tā atsevišķo daļiņu kinētisko enerģiju summu. Sadalīsim ķermeni mazos elementos, no kuriem katru var uzskatīt par materiālu punktu. Tad ķermeņa kinētiskā enerģija ir vienāda ar to materiālo punktu kinētisko enerģiju summu, no kuriem tas sastāv:

Visu ķermeņa punktu griešanās leņķiskais ātrums ir vienāds, tāpēc

Vērtība iekavās, kā mēs jau zinām, ir stingrā korpusa inerces moments. Visbeidzot, stingra ķermeņa ar fiksētu griešanās asi kinētiskās enerģijas formulai ir forma

Vispārējā stingra ķermeņa kustības gadījumā, kad griešanās ass ir brīva, tā kinētiskā enerģija ir vienāda ar translācijas un rotācijas kustību enerģiju summu. Tātad riteņa, kura masa ir koncentrēta lokā, kinētiskā enerģija, kas ripo pa ceļu nemainīgā ātrumā, ir vienāda ar

Tabulā ir salīdzinātas materiāla punkta translācijas kustības mehānikas formulas ar līdzīgām formulām stingra ķermeņa rotācijas kustībai.

Nosakīsim stingra ķermeņa kinētisko enerģiju, kas rotē ap fiksētu asi. Sadalīsim šo ķermeni n materiālos punktos. Katrs punkts pārvietojas ar lineāro ātrumu υ i =ωr i , tad punkta kinētiskā enerģija

vai

Rotācijas kopējā kinētiskā enerģija ciets ķermenis ir vienāds ar visu tā materiālo punktu kinētisko enerģiju summu:

(3.22)

(J - ķermeņa inerces moments ap rotācijas asi)

Ja visu punktu trajektorijas atrodas paralēlās plaknēs (piemēram, cilindram, kas ripo lejup pa slīpu plakni, katrs punkts pārvietojas savā plaknē att.), tas ir plakana kustība. Saskaņā ar Eilera principu plaknes kustību vienmēr var bezgalīgi daudzos veidos sadalīt translācijas un rotācijas kustībā. Ja bumba nokrīt vai slīd pa slīpu plakni, tā virzās tikai uz priekšu; kad bumba ripo, tā arī griežas.

Ja ķermenis vienlaikus veic translācijas un rotācijas kustības, tad tā kopējā kinētiskā enerģija ir vienāda ar

(3.23)

Salīdzinot kinētiskās enerģijas formulas translācijas un rotācijas kustībām, var redzēt, ka inerces mērs rotācijas kustības laikā ir ķermeņa inerces moments.

§ 3.6. Ārējo spēku darbs stingra ķermeņa rotācijas laikā

Kad stingrs ķermenis griežas, tā potenciālā enerģija nemainās, tāpēc elementāri darbojas ārējie spēki ir vienāds ar ķermeņa kinētiskās enerģijas pieaugumu:

dA = dE vai

Ņemot vērā, ka Jβ = M, ωdr = dφ, mums ir ķermeņa α ierobežotā leņķī φ vienāds

(3.25)

Kad stingrs ķermenis griežas ap fiksētu asi, ārējo spēku darbu nosaka šo spēku momenta darbība ap noteiktu asi. Ja spēku moments ap asi ir vienāds ar nulli, tad šie spēki nerada darbu.

Problēmu risināšanas piemēri

Piemērs 2.1. spararata masam=5kg un rādiussr= 0,2 m griežas ap horizontālo asi ar frekvenciν 0 =720 min -1 un apstājas bremzējott=20 s. Pirms apstāšanās atrodiet bremzēšanas momentu un apgriezienu skaitu.

Bremzēšanas momenta noteikšanai izmantojam rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojumu

kur I=mr 2 ir diska inerces moments; Δω \u003d ω - ω 0, un ω \u003d 0 ir galīgais leņķiskais ātrums, ω 0 \u003d 2πν 0 ir sākotnējais. M ir to spēku bremzēšanas moments, kas iedarbojas uz disku.

Zinot visus daudzumus, ir iespējams noteikt bremzēšanas momentu

Mr 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

No rotācijas kustības kinemātikas griešanās leņķi diska griešanās laikā līdz apstāšanās brīdim var noteikt pēc formulas

(3)

kur β ir leņķiskais paātrinājums.

Atbilstoši uzdevuma nosacījumam: ω = ω 0 - βΔt, jo ω=0, ω 0 = βΔt

Tad izteiksmi (2) var uzrakstīt šādi:

Piemērs 2.2. Divi spararati disku veidā ar vienādu rādiusu un masu tika sagriezti līdz griešanās ātrumamn= 480 apgr./min un atstāja sev. Vārpstu berzes spēku ietekmē uz gultņiem pirmais apstājās pēc tamt\u003d 80 s, un otrais to darījaN= 240 apgriezieni, lai apturētu. Kurā spararatā vārpstu berzes spēku moments uz gultņiem bija lielāks un cik reizes.

Pirmā spararata ērkšķu spēku momentu M 1 atradīsim, izmantojot rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojumu

M 1 Δt \u003d Iω 2 - Iω 1

kur Δt ir berzes spēku momenta darbības laiks, I \u003d mr 2 - spararata inerces moments, ω 1 \u003d 2πν un ω 2 \u003d 0 ir spararata sākotnējais un galīgais leņķiskais ātrums

Tad

Otrā spararata berzes spēku moments M 2 tiek izteikts ar attiecību starp berzes spēku darbu A un tā kinētiskās enerģijas ΔE k izmaiņām:

kur Δφ = 2πN ir griešanās leņķis, N ir spararata apgriezienu skaits.

Tad kur

O attiecība būs

Otrā spararata berzes griezes moments ir 1,33 reizes lielāks.

Piemērs 2.3. Viendabīga cieta diska masa m, slodžu masas m 1 un m 2 (15. att.). Cilindra asī nav vītnes slīdēšanas un berzes. Atrodiet masu paātrinājumu un vītnes spriegumu attiecībukustības procesā.

Vītne neslīd, tāpēc, m 1 un m 2 veicot translācijas kustību, cilindrs griezīsies ap asi, kas iet caur punktu O. Precizitātei pieņemsim, ka m 2 > m 1.

Tad slodze m 2 tiek nolaista un cilindrs griežas pulksteņrādītāja virzienā. Pierakstīsim sistēmā iekļauto ķermeņu kustības vienādojumus

Pirmie divi vienādojumi ir uzrakstīti ķermeņiem ar masu m 1 un m 2, kas veic translācijas kustību, bet trešais vienādojums ir paredzēts rotējošam cilindram. Trešajā vienādojumā kreisajā pusē ir kopējais spēku moments, kas iedarbojas uz cilindru (spēka moments T 1 tiek ņemts ar mīnusa zīmi, jo spēkam T 1 ir tendence pagriezt cilindru pretēji pulksteņrādītāja virzienam). Labajā pusē I ir cilindra inerces moments ap asi O, kas ir vienāds ar

kur R ir cilindra rādiuss; β ir cilindra leņķiskais paātrinājums.

Tā kā nav vītnes slīdēšanas,
. Ņemot vērā izteiksmes I un β, mēs iegūstam:

Saskaitot sistēmas vienādojumus, nonākam pie vienādojuma

No šejienes mēs atrodam paātrinājumu a kravas

No iegūtā vienādojuma var redzēt, ka vītnes spriegojumi būs vienādi, t.i. =1, ja cilindra masa ir daudz mazāka par atsvaru masu.

Piemērs 2.4. Dobai lodītei ar masu m = 0,5 kg ārējais rādiuss R = 0,08 m un iekšējais rādiuss r = 0,06 m. Bumba griežas ap asi, kas iet caur tās centru. Noteiktā brīdī uz bumbu sāk iedarboties spēks, kā rezultātā mainās lodes griešanās leņķis atbilstoši likumam
. Nosakiet pieliktā spēka momentu.

Mēs risinām uzdevumu, izmantojot rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojumu
. Galvenā grūtība ir noteikt dobās lodītes inerces momentu, un leņķiskais paātrinājums β tiek atrasts kā
. Dobas lodītes inerces moments I ir vienāds ar starpību starp lodītes ar rādiusu R un lodītes ar rādiusu r inerces momentiem:

kur ρ ir lodītes materiāla blīvums. Mēs atrodam blīvumu, zinot dobas lodītes masu

No šejienes mēs nosakām bumbiņas materiāla blīvumu

Spēka momentam M iegūstam šādu izteiksmi:

Piemērs 2.5. Plāns stienis ar masu 300 g un garumu 50 cm griežas ar leņķisko ātrumu 10 s -1 horizontālā plaknē ap vertikālo asi, kas iet caur stieņa vidu. Atrodiet leņķisko ātrumu, ja, griežoties tajā pašā plaknē, stienis kustas tā, ka rotācijas ass iet caur stieņa galu.

Mēs izmantojam leņķiskā impulsa saglabāšanas likumu

(1)

(J i - stieņa inerces moments attiecībā pret griešanās asi).

Izolētai ķermeņu sistēmai leņķiskā impulsa vektora summa paliek nemainīga. Sakarā ar to, ka mainās stieņa masas sadalījums attiecībā pret griešanās asi, mainās arī stieņa inerces moments saskaņā ar (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)

Ir zināms, ka stieņa inerces moments ap asi, kas iet caur masas centru un ir perpendikulāra stienim, ir vienāds ar

J 0 \u003d mℓ 2/12. (3)

Saskaņā ar Šteinera teorēmu

J = J 0 +m a 2

(J ir stieņa inerces moments ap patvaļīgu griešanās asi; J 0 ir inerces moments ap paralēlu asi, kas iet caur masas centru; a- attālums no masas centra līdz izvēlētajai griešanās asij).

Atradīsim inerces momentu ap asi, kas iet caur tās galu un ir perpendikulāra stienim:

J 2 \u003d J 0 +m a 2, J 2 = mℓ 2 /12 +m (ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (četri)

Aizstāsim formulas (3) un (4) ar (2):

mℓ 2 ω 1/12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 \u003d ω 1/4 ω 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2,5 s -1

Piemērs 2.6 . masu cilvēksm= 60 kg, stāvot uz platformas malas ar masu M = 120 kg, griežoties ar inerci ap fiksētu vertikālo asi ar frekvenci ν 1 =12 min -1 , dodas uz tās centru. Uzskatot platformu par apaļu viendabīgu disku un cilvēku par punktu masu, nosakiet, ar kādu frekvenci ν 2 platforma tad griezīsies.

Ņemot vērā: m = 60 kg, M = 120 kg, ν 1 = 12 min -1 = 0,2 s -1 .

Atrast: v 1

Risinājums: Atbilstoši problēmas stāvoklim platforma ar cilvēku griežas pēc inerces, t.i. visu rotējošajai sistēmai pielikto spēku iegūtais moments ir nulle. Tāpēc sistēmai “platformas cilvēks” ir izpildīts impulsa saglabāšanas likums

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

kur
- sistēmas inerces moments, kad cilvēks stāv uz platformas malas (ņēmām vērā, ka platformas inerces moments ir vienāds ar (R ir rādiuss p
platforma), cilvēka inerces moments platformas malā ir mR 2).

- sistēmas inerces moments, kad cilvēks stāv platformas centrā (mēs ņēmām vērā, ka moments, kad cilvēks stāv platformas centrā, ir vienāds ar nulli). Leņķiskais ātrums ω 1 = 2π ν 1 un ω 1 = 2π ν 2 .

Aizvietojot rakstītos izteicienus formulā (1), iegūstam

no kurienes vēlamais griešanās ātrums

Atbilde: v 2 =24 min -1 .

Kinētiskā enerģija ir aditīvs lielums. Tāpēc patvaļīgi kustīga ķermeņa kinētiskā enerģija ir vienāda ar visu n materiālo punktu kinētisko enerģiju summu, kuros šo ķermeni var mentāli sadalīt:

Ja ķermenis griežas ap fiksētu asi z ar leņķisko ātrumu , tad lineārs i-tais ātrums punktus , Ri ir attālums līdz rotācijas asij. Sekojoši,

Salīdzinot un redzams, ka ķermeņa I inerces moments ir inerces mērs rotācijas kustības laikā, tāpat kā masa m ir inerces mērs translācijas kustības laikā.

Vispārīgā gadījumā stingra ķermeņa kustību var attēlot kā divu kustību summu - translācijas ar ātrumu vc un rotācijas ar leņķisko ātrumu ω ap momentāno asi, kas iet caur inerces centru. Tad šī ķermeņa kopējā kinētiskā enerģija

Šeit Ic ir inerces moments ap momentāno rotācijas asi, kas iet caur inerces centru.

Rotācijas kustības dinamikas pamatlikums.

Rotācijas dinamika

Rotācijas kustības dinamikas pamatlikums:

vai M=Jē, kur M ir spēka moments M = [ r F ] , J - inerces moments ir ķermeņa impulsa moments.

ja M(ārējais)=0 ​​- leņķiskā impulsa saglabāšanas likums. - rotējoša ķermeņa kinētiskā enerģija.

rotācijas darbs.

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums.

Tiek saukts materiāla punkta A leņķiskais impulss (momentum) attiecībā pret fiksētu punktu O fiziskais daudzums, definēts vektora produkts:

kur r ir rādiusa vektors, kas novilkts no punkta O uz punktu A, p=mv ir materiālā punkta impulss (1. att.); L ir pseidovektors, kura virziens sakrīt ar labās skrūves translācijas kustības virzienu tās griešanās laikā no r uz p.

Impulsa vektora modulis

kur α ir leņķis starp vektoriem r un p, l ir vektora p plecs attiecībā pret punktu O.

Leņķiskais impulss attiecībā pret fiksēto asi z ir skalārā vērtība Lz, kas ir vienāda ar leņķiskā momenta vektora projekciju uz šo asi, kas noteikta attiecībā pret šīs ass patvaļīgu punktu O. Leņķiskais impulss Lz nav atkarīgs no punkta O stāvokļa uz z ass.

Kad absolūti stingrs ķermenis griežas ap fiksētu asi z, katrs ķermeņa punkts pārvietojas pa apli ar nemainīgu rādiusu ri ar ātrumu vi. Ātrums vi un impulss mivi ir perpendikulāri šim rādiusam, t.i., rādiuss ir vektora mivi plecs. Tātad mēs varam rakstīt, ka atsevišķas daļiņas leņķiskais impulss ir

un ir vērsta pa asi virzienā, ko nosaka labās skrūves noteikums.

Stingra ķermeņa impulss attiecībā pret asi ir atsevišķu daļiņu impulsa summa:

Izmantojot formulu vi = ωri, mēs iegūstam

Tādējādi stingra ķermeņa leņķiskais impulss ap asi ir vienāds ar ķermeņa inerces momentu ap to pašu asi, kas reizināts ar leņķisko ātrumu. Atšķirsim vienādojumu (2) attiecībā pret laiku:

Šī formula ir vēl viena stingra ķermeņa rotācijas kustības dinamikas vienādojuma forma ap fiksētu asi: stingra ķermeņa leņķiskā impulsa atvasinājums ap asi ir vienāds ar spēku momentu ap to pašu asi.

Var parādīt, ka pastāv vektoru vienādība

Slēgtā sistēmā ārējo spēku moments ir M = 0 un no kurienes

Izteiksme (4) ir leņķiskā impulsa saglabāšanas likums: slēgtas sistēmas leņķiskais impulss tiek saglabāts, t.i., laika gaitā nemainās.

Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums, kā arī enerģijas nezūdamības likums ir dabas pamatlikums. Tas ir saistīts ar telpas simetrijas īpašību - tās izotropiju, t.i., ar fizikālo likumu nemainīgumu attiecībā uz atskaites sistēmas koordinātu asu virziena izvēli (attiecībā uz slēgtas sistēmas griešanos telpā par jebkurš leņķis).

Šeit mēs demonstrēsim leņķiskā impulsa saglabāšanas likumu, izmantojot Žukovska soliņu. Cilvēku, kurš sēž uz sola, griežas ap vertikālo asi un izstieptās rokās tur hanteles (2. att.), griež ārējs mehānisms ar leņķisko ātrumu ω1. Ja cilvēks piespiež hanteles pie ķermeņa, tad sistēmas inerces moments samazināsies. Bet ārējo spēku moments ir vienāds ar nulli, saglabājas sistēmas leņķiskais impulss un palielinās griešanās leņķiskais ātrums ω2. Tāpat vingrotājs, lecot pāri galvai, pievelk rokas un kājas ķermenim, lai samazinātu inerces momentu un tādējādi palielinātu griešanās leņķisko ātrumu.

Spiediens šķidrumā un gāzē.

Gāzes molekulas, kas padara haotiskas, haotiska kustība, nav savienoti vai diezgan vāji savienoti ar mijiedarbības spēkiem, kuru dēļ tie gandrīz brīvi pārvietojas un sadursmju rezultātā izkliedējas visos virzienos, vienlaikus aizpildot visu tiem paredzēto tilpumu, t.i., gāzes tilpumu nosaka trauka tilpums, ko aizņem gāze.

Un šķidrums, kam ir noteikts tilpums, iegūst trauka formu, kurā tas ir ievietots. Bet atšķirībā no gāzēm šķidrumos, vidējais attālums starp molekulām vidēji paliek nemainīgs, tāpēc šķidrumam ir gandrīz nemainīgs tilpums.

Šķidrumu un gāzu īpašības ir ļoti atšķirīgas daudzos aspektos, bet vairākos mehāniskās parādības to īpašības nosaka tie paši parametri un identiski vienādojumi. Šī iemesla dēļ hidroaeromehānika ir mehānikas nozare, kas pēta gāzu un šķidrumu līdzsvaru un kustību, mijiedarbību starp tiem un starp tiem apkārt plūstošajiem cietajiem ķermeņiem, t.i. tiek piemērota vienota pieeja šķidrumu un gāzu izpētē.

Mehānikā šķidrumus un gāzes ar augstu precizitātes pakāpi uzskata par nepārtrauktiem, nepārtraukti sadalītiem to aizņemtajā telpas daļā. Gāzēs blīvums ir būtiski atkarīgs no spiediena. Izveidots no pieredzes. ka šķidruma un gāzes saspiežamību bieži var atstāt novārtā un ieteicams lietot vienu jēdzienu - šķidruma nesaspiežamība - visur šķidrums ar vienādu blīvumu, kas laika gaitā nemainās.

Mēs ievietojam to plānā plāksnē miera stāvoklī, kā rezultātā šķidruma daļas, kas atrodas plāksnes pretējās pusēs, iedarbosies uz katru tā elementu ΔS ar spēkiem ΔF, kas būs vienādi absolūtā vērtībā un vērsti perpendikulāri vietai. ΔS, neatkarīgi no vietas orientācijas, pretējā gadījumā tangenciālu spēku klātbūtne iedarbinātu šķidruma daļiņas (1. att.)

Noteikts fiziskais daudzums normāls spēks, kas darbojas no šķidruma (vai gāzes) puses uz laukuma vienību, sauc par spiedienu p / šķidrums (vai gāze): p=ΔF/ΔS.

Spiediena mērvienība ir paskāls (Pa): 1 Pa ir vienāds ar spiedienu, ko rada 1 N spēks, kas vienmērīgi tiek sadalīts pa 1 m2 lielu virsmu, kas ir normāls tam (1 Pa = 1 N/m2).

Spiediens šķidrumu (gāzu) līdzsvara stāvoklī atbilst Paskāla likumam: spiediens jebkurā šķidruma vietā, kas atrodas miera stāvoklī, ir vienāds visos virzienos, un spiediens tiek vienādi pārraidīts visā tilpumā, ko aizņem šķidrums miera stāvoklī.

Izpētīsim šķidruma svara ietekmi uz spiediena sadalījumu stacionārā nesaspiežamā šķidrumā. Kad šķidrums atrodas līdzsvarā, spiediens jebkurā horizontālajā līnijā vienmēr ir vienāds, pretējā gadījumā līdzsvara nebūtu. Tas nozīmē, ka šķidruma brīvā virsma miera stāvoklī vienmēr ir horizontāla (mēs neņemam vērā šķidruma piesaisti pie trauka sienām). Ja šķidrums ir nesaspiežams, tad šķidruma blīvums nav atkarīgs no spiediena. Tad ar šķidruma kolonnas šķērsgriezumu S, tās augstumu h un blīvumu ρ svars ir P=ρgSh, savukārt spiediens uz apakšējo pamatni ir: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

i., spiediens mainās lineāri ar augstumu. Spiedienu ρgh sauc par hidrostatisko spiedienu.

Saskaņā ar formulu (1) spiediena spēks uz šķidruma apakšējiem slāņiem būs lielāks nekā uz augšējiem, tāpēc uz šķidrumā (gāzē) iegremdētu ķermeni iedarbojas spēks, ko nosaka Arhimēda likums: uz augšu peldošs. spēku vienāds ar svaruķermeņa izspiests šķidrums (gāze): FA=ρgV, kur ρ ir šķidruma blīvums, V ir šķidrumā iegremdētā ķermeņa tilpums.

Apsveriet absolūti stingru ķermeni, kas rotē ap fiksētu asi. Garīgi sadalīsim šo ķermeni bezgala mazos gabaliņos ar bezgala maziem izmēriem un masām. m vt., t 3,... attālumos R v R 0 , R 3 ,... no ass. Rotējoša ķermeņa kinētiskā enerģija mēs atrodam kā tā mazo daļu kinētisko enerģiju summu:

- inerces moments stingrs korpuss attiecībā pret doto asi 00,. Salīdzinot translācijas un rotācijas kustību kinētiskās enerģijas formulas, ir skaidrs, ka Inerces moments rotācijas kustībā ir analogs masai translācijas kustībā. Formula (4.14) ir ērta, lai aprēķinātu inerces momentu sistēmām, kas sastāv no atsevišķiem materiāliem punktiem. Lai aprēķinātu cieto ķermeņu inerces momentu, izmantojot integrāļa definīciju, varat to pārvērst formā

Ir viegli redzēt, ka inerces moments ir atkarīgs no ass izvēles un mainās līdz ar tās paralēlo translāciju un rotāciju. Atradīsim dažu viendabīgu ķermeņu inerces momentu vērtības.

No formulas (4.14) ir skaidrs, ka materiāla punkta inerces moments vienāds

kur t - punktu masa; R- attālums līdz rotācijas asij.

Ir viegli aprēķināt inerces momentu dobs plānsienu cilindrs(vai īpašs cilindra korpuss ar mazu augstumu - plāns gredzens) rādiuss R par simetrijas asi. Šāda ķermeņa visu punktu attālums līdz rotācijas asij ir vienāds, vienāds ar rādiusu, un to var izņemt no summas zīmes (4.14):

Rīsi. 4.5

ciets cilindrs(vai īpašs gadījums zema augstuma cilindrs disks) rādiuss R lai aprēķinātu inerces momentu ap simetrijas asi, nepieciešams integrāļa (4.15) aprēķins. Var jau iepriekš saprast, ka masa šajā gadījumā vidēji ir koncentrēta nedaudz tuvāk asij nekā doba cilindra gadījumā, un formula būs līdzīga (4.17), bet koeficients ir mazāks par vienu. parādās tajā. Atradīsim šo koeficientu. Pieņemsim, ka cietam cilindram ir blīvums p un augstums A. Sadalīsim to dobos cilindros (plānās cilindriskās virsmas) ar biezumu dr(4.5. att. parādīta projekcija, kas ir perpendikulāra simetrijas asij). Šāda doba cilindra tilpums ar rādiusu r vienāds ar laukumu virsmas reizes biezums: dV = 2nrhdr, svars: dm=2nphdr, un inerces moments saskaņā ar formulu (4.17.): dj=

= r 2 dm = 2lr/?g Wr. Cietā cilindra kopējo inerces momentu iegūst, integrējot (summējot) dobo cilindru inerces momentus:

Līdzīgi meklēts tieva stieņa inerces moments garums L un masām t, ja griešanās ass ir perpendikulāra stienim un iet caur tā vidu. Pārtrauksim šo

Ņemot vērā to, ka cieta cilindra masa ir saistīta ar blīvumu pēc formulas t = nR 2 zs, mums beidzot ir cieta cilindra inerces moments:

Rīsi. 4.6

stienis saskaņā ar att. 4,6 gabaliņi biezi dl.Šāda gabala masa ir dm = mdl/l, un inerces moments saskaņā ar formulu (4.6.): dj = l 2 dm = l 2 mdl/L. Plāna stieņa kopējo inerces momentu iegūst, integrējot (summējot) gabalu inerces momentus:

Ņemot elementāro integrāli, tiek iegūts tieva garuma stieņa inerces moments L un masām t

Rīsi. 4.7

Meklējot integrālis tiek uztverts nedaudz sarežģītāk viendabīgas lodītes inerces moments rādiuss R un masa /77 attiecībā pret simetrijas asi. Lai cietai bumbiņai ir blīvums p. Sadalīsim to, kā parādīts attēlā. 4.7 dobu plānu cilindru biezumam Dr, kuras simetrijas ass sakrīt ar lodītes rotācijas asi. Šāda doba rādiusa cilindra tilpums G ir vienāds ar virsmas laukumu, kas reizināts ar biezumu:

kur ir cilindra augstums h atrasts, izmantojot Pitagora teorēmu:

Tad ir viegli atrast dobā cilindra masu:

kā arī inerces moments saskaņā ar formulu (4.15):

Cietas lodītes kopējo inerces momentu iegūst, integrējot (summējot) dobu cilindru inerces momentus:

Ņemot vērā to, ka cietas lodītes masa ir saistīta ar formas blīvumu - 4 .

loy t = -npR A g mums beidzot ir inerces moments ap asi

viendabīgas rādiusa lodes simetrija R masu t: