Vektoriem i j k ir koordinātes. Vektoru krustreizinājums

Definīcija Tiek izsaukta sakārtota reālo skaitļu kolekcija (x 1 , x 2 , ... , x n) n n-dimensiju vektors, un skaitļi x i (i = ) - sastāvdaļas vai koordinātas,

Piemērs. Ja, piemēram, daži auto rūpnīca maiņā jāsaražo 50 vieglās automašīnas, 100 kravas automašīnas, 10 autobusi, 50 rezerves daļu komplekti vieglajām automašīnām un 150 komplekti kravas automašīnām un autobusiem, tad ražošanas programmašo augu var uzrakstīt kā vektoru (50, 100, 10, 50, 150) ar pieciem komponentiem.

Apzīmējums. Vektori tiek apzīmēti ar trekniem mazajiem burtiem vai burtiem ar joslu vai bultiņu augšpusē, piemēram, a vai. Abi vektori tiek saukti vienāds ja tiem ir vienāds sastāvdaļu skaits un to atbilstošās sastāvdaļas ir vienādas.

Vektoru komponentus nevar apmainīt, piemēram, (3, 2, 5, 0, 1) un (2, 3, 5, 0, 1) dažādi vektori.
Darbības ar vektoriem. strādāt x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) uz reālu skaitliλ sauc par vektoruλ x= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

summax= (x 1 , x 2 , ... , x n) un y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) sauc par vektoru x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Vektoru telpa. N -dimensiju vektora telpa R n ir definēts kā visu n-dimensiju vektoru kopa, kurai definētas reizināšanas ar reāliem skaitļiem un saskaitīšanas operācijas.

Ekonomiskā ilustrācija. Ekonomisks n-dimensiju vektoru telpas ilustrācija: preču telpa (preces). Zem prece mēs sapratīsim kādu preci vai pakalpojumu, kas nonāca pārdošanā noteiktā laikā noteiktā vietā. Pieņemsim, ka ir pieejams ierobežots preču skaits n; katra no tiem patērētāja iegādātos daudzumus raksturo preču kopums

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

kur x i apzīmē patērētāja iegādātās i-tās preces daudzumu. Pieņemsim, ka visām precēm ir patvaļīgas dalāmības īpašība, lai no katras no tām varētu nopirkt jebkuru nenegatīvu daudzumu. Tad visas iespējamās preču kopas ir preču telpas vektori C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Lineārā neatkarība. Sistēma e 1 , e 2 , ... , e m n-dimensiju vektorus sauc lineāri atkarīgi ja tādi skaitļi irλ 1 , λ 2 , ... , λ m , no kuriem vismaz viens nav nulle, kas atbilst vienādībaiλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; citādi šī sistēma vektorus sauc lineāri neatkarīgs, tas ir, šī vienlīdzība ir iespējama tikai tad, ja visi . Vektoru lineārās atkarības ģeometriskā nozīme in R 3 , kas interpretēts kā virzīti segmenti, izskaidro šādas teorēmas.

1. teorēma. Sistēma, kas sastāv no viena vektora, ir lineāri atkarīga tad un tikai tad, ja šis vektors ir nulle.

2. teorēma. Lai divi vektori būtu lineāri atkarīgi, ir nepieciešams un pietiekami, lai tie būtu kolineāri (paralēli).

3. teorēma . Lai trīs vektori būtu lineāri atkarīgi, ir nepieciešams un pietiekami, lai tie būtu vienā plaknē (atrodas vienā plaknē).

Kreisais un labais vektoru trīskārši. Ne-kopplanāru vektoru trīskāršs a, b, c sauca pa labi, ja novērotājs no to kopīgās izcelsmes apiet vektoru galus a, b, c tādā secībā, šķiet, turpinās pulksteņrādītāja virzienā. Citādi a, b, c -kreisais trīskāršs. Tiek izsaukti visi labējie (vai kreisie) vektoru trīskārši vienādi orientēts.

Pamats un koordinātas. Troika e 1, e 2 , e 3 ne-kopplanāri vektori iekšā R 3 zvanīja pamata, un paši vektori e 1, e 2 , e 3 - pamata. Jebkurš vektors a var unikālā veidā paplašināt bāzes vektoru izteiksmē, tas ir, to var attēlot formā

a= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

skaitļus x 1 , x 2 , x 3 izvērsumā (1.1) sauc koordinātasa pamatā e 1, e 2 , e 3 un ir apzīmēti a(x 1 , x 2 , x 3).

Ortonormāls pamats. Ja vektori e 1, e 2 , e 3 ir pa pāriem perpendikulāri un katra no tiem garums ir vienāds ar vienu, tad tiek izsaukts pamats ortonormāls, un koordinātas x 1 , x 2 , x 3 - taisnstūrveida. Tiks apzīmēti ortonormālās bāzes bāzes vektori i, j, k.

Mēs to pieņemsim kosmosā R 3 pareizā Dekarta taisnstūra koordinātu sistēma (0, i, j, k}.

vektora produkts. vektormāksla a uz vektoru b sauc par vektoru c, ko nosaka šādi trīs nosacījumi:

1. Vektora garums c skaitliski vienāds ar uz vektoriem veidotā paralelograma laukumu a un b, t.i.
c= |a||b| grēks ( a^b).

2. Vektors c perpendikulāri katram no vektoriem a un b.

3. Vektori a, b un c, ņemti šādā secībā, veido labo trīskāršu.

Vektorproduktam c tiek ieviests apzīmējums c=[ab] vai
c = a × b.

Ja vektori a un b ir kolineāri, tad sin( a^b) = 0 un [ ab] = 0, jo īpaši [ aa] = 0. Orts vektorprodukti: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Ja vektori a un b dots pamatā i, j, k koordinātas a(a 1 , a 2 , a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), tad

jaukts produkts. Ja divu vektoru krustreizinājums a un b skalārs, kas reizināts ar trešo vektoru c, tad tādu triju vektoru reizinājumu sauc jaukts produkts un tiek apzīmēts ar simbolu a bc.

Ja vektori a, b un c pamatā i, j, k nosaka pēc to koordinātām
a(a 1 , a 2 , a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c 1 , c 2 , c 3), tad

.

Jauktajam produktam ir vienkārša ģeometriskā interpretācija - tas ir skalārs, kas absolūtā vērtībā ir vienāds ar paralēlskaldņa tilpumu, kas uzbūvēts uz trim dotiem vektoriem.

Ja vektori veido taisnu trīskāršu, tad to jauktais reizinājums ir pozitīvs skaitlis, kas vienāds ar norādīto tilpumu; ja trīs a, b, c - tad pa kreisi a b c<0 и V = - a b c, tāpēc V =|a b c|.

Tiek pieņemts, ka pirmās nodaļas uzdevumos sastopamo vektoru koordinātas ir dotas attiecībā pret pareizo ortonormālo bāzi. Vienības vektors līdzvirziena pret vektoru a, apzīmē ar simbolu a par. Simbols r=OM apzīmē ar punkta M rādiusa vektoru, simboliem a, AB vai|a|, | AB |vektoru moduļi ir apzīmēti a un AB.

Piemērs 1.2. Atrodiet leņķi starp vektoriem a= 2m+4n un b= m-n, kur m un n- vienību vektori un leņķis starp m un n vienāds ar 120 o.

Risinājums. Mums ir: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, tātad a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, tātad b = . Beidzot mums ir: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Piemērs 1.3.Zinot vektorus AB(-3,-2,6) un BC(-2,4,4), aprēķina trijstūra ABC augstumu AD.

Risinājums. Apzīmējot trijstūra ABC laukumu ar S, mēs iegūstam:
S = 1/2 B.C. AD. Tad AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, tātad vektors AC ir koordinātas
. .

Piemērs 1.4 . Doti divi vektori a(11,10,2) un b(4,0,3). Atrodiet vienības vektoru c, vektoriem ortogonāli a un b un vērsta tā, lai sakārtotu vektoru trīskāršu a, b, c bija pareizi.

Risinājums.Apzīmēsim vektora koordinātas c attiecībā uz doto pareizo ortonormālo bāzi x, y, z izteiksmē.

Tāpēc ka c ⊥ a, c ⊥b, tad apm= 0, cb= 0. Pēc uzdevuma nosacījuma ir nepieciešams, lai c = 1 un a b c >0.

Mums ir vienādojumu sistēma atrast x, y, z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

No sistēmas pirmā un otrā vienādojuma iegūstam z = -4/3 x, y = -5/6 x. Aizvietojot y un z trešajā vienādojumā, mums būs: x 2 = 36/125, no kurienes
x=± . Izmantojot nosacījumu a b c > 0, mēs iegūstam nevienlīdzību

Ņemot vērā z un y izteiksmes, iegūto nevienādību pārrakstām formā: 625/6 x > 0, no kurienes izriet, ka x>0. Tātad x = , y = - , z = - .

Definīcija. Vektora a (reizinātāja) vektora reizinājums ar vektoru (reizinātāju), kas nav kolineārs ar to, ir trešais vektors c (reizinātājs), kas tiek konstruēts šādi:

1) tā modulis ir skaitliski vienāds ar laukumu paralelograms attēlā. 155), veidots uz vektoriem, t.i., tas ir vienāds ar virzienu, kas ir perpendikulārs minētā paralelograma plaknei;

3) šajā gadījumā tiek izvēlēts vektora c virziens (no diviem iespējamiem), lai vektori c veidotu labās puses sistēmu (§ 110).

Apzīmējums: vai

Papildinājums definīcijai. Ja vektori ir kolineāri, tad, uzskatot figūru par (nosacīti) paralelogramu, ir dabiski piešķirt nulles laukumu. Tāpēc kolineāro vektoru vektorreizinājums tiek uzskatīts par vienādu ar nulles vektoru.

Tā kā nulles vektoram var piešķirt jebkuru virzienu, šī vienošanās nav pretrunā ar definīcijas 2. un 3. punktu.

1. piezīme. Terminā "vektora reizinājums" pirmais vārds norāda, ka darbības rezultāts ir vektors (pretēji skalārajai reizinājumam; sal. § 104, 1. piezīme).

Piemērs 1. Atrodiet vektoru reizinājumu, kurā atrodas labās koordinātu sistēmas galvenie vektori (156. att.).

1. Tā kā galveno vektoru garumi ir vienādi ar mēroga vienību, tad paralelograma laukums (kvadrāts) skaitliski ir vienāds ar vienu. Tādējādi vektora reizinājuma modulis ir vienāds ar vienu.

2. Tā kā perpendikulārs plaknei ir ass, vēlamā vektora reizinājums ir vektors, kas ir kolineārs vektoram k; un tā kā abiem ir modulis 1, tad vajadzīgais šķērsreizinājums ir vai nu k, vai -k.

3. No šiem diviem iespējamiem vektoriem jāizvēlas pirmais, jo vektori k veido labo sistēmu (un vektori veido kreiso sistēmu).

2. piemērs. Atrodiet krustojumu

Risinājums. Tāpat kā 1. piemērā, mēs secinām, ka vektors ir vai nu k, vai -k. Bet tagad mums ir jāizvēlas -k, jo vektori veido pareizo sistēmu (un vektori veido kreiso). Tātad,

3. piemērs Vektoru garums ir attiecīgi 80 un 50 cm, un tie veido 30° leņķi. Ņemot metru par garuma vienību, atrodiet vektora reizinājuma a garumu

Risinājums. Uz vektoriem veidota paralelograma laukums ir vienāds ar Vēlamā vektora reizinājuma garums ir vienāds ar

Piemērs 4. Atrodiet to pašu vektoru šķērsreizinājuma garumu, par garuma vienību ņemot centimetru.

Risinājums. Tā kā uz vektoriem veidotā paralelograma laukums ir vienāds ar vektora reizinājuma garumu ir 2000 cm, t.i.

Salīdzinot 3. un 4. piemēru, redzams, ka vektora garums ir atkarīgs ne tikai no faktoru garumiem, bet arī no garuma vienības izvēles.

Vektora reizinājuma fiziskā nozīme. No daudzajiem fizikālie lielumi, ko attēlo vektora reizinājums, ņem vērā tikai spēka momentu.

Spēka pielikšanas punktu apzīmēsim A. Spēka momentu attiecībā pret punktu O sauc par vektora reizinājumu. Tā kā šī vektora reizinājuma modulis skaitliski ir vienāds ar paralelograma laukumu (157. att.) momenta modulis ir vienāds ar pamatnes reizinājumu ar augstumu, t.i., spēku, kas reizināts ar attālumu no punkta O līdz taisnei, pa kuru darbojas spēks.

Mehānikā ir pierādīts, ka līdzsvaram ciets ķermenis ir nepieciešams, lai ne tikai vektoru summa, kas attēlo ķermenim pieliktos spēkus, būtu vienāda ar nulli, bet arī spēku momentu summa. Gadījumā, ja visi spēki ir paralēli vienai un tai pašai plaknei, momentus attēlojošo vektoru saskaitīšanu var aizstāt ar to moduļu saskaitīšanu un atņemšanu. Bet patvaļīgiem spēku virzieniem šāda nomaiņa nav iespējama. Saskaņā ar to krustreizinājums ir precīzi definēts kā vektors, nevis kā skaitlis.

Vienības vektors- tas ir vektors, kuras absolūtā vērtība (modulis) ir vienāda ar vienu. Vienības vektora apzīmēšanai izmantosim apakšindeksu e. Tātad, ja ir dots vektors a, tad tā vienības vektors būs vektors a e. Šis vienības vektors norāda tajā pašā virzienā kā pats vektors a, un tā modulis ir vienāds ar vienu, tas ir, a e \u003d 1.

Acīmredzot a= a a e (a - vektora modulis a). Tas izriet no noteikuma, saskaņā ar kuru tiek veikta skalāra reizināšanas ar vektoru operācija.

Vienību vektori bieži saistītas ar koordinātu sistēmas koordinātu asīm (jo īpaši ar Dekarta koordinātu sistēmas asīm). Norādījumi šiem vektori sakrīt ar atbilstošo asu virzieniem, un to sākumi bieži tiek apvienoti ar koordinātu sistēmas sākumu.

Ļaujiet man jums to atgādināt Dekarta koordinātu sistēma telpā to tradicionāli sauc par trīskāršu savstarpēji perpendikulāru asu, kas krustojas punktā, ko sauc par sākumu. Koordinātu asis parasti apzīmē ar burtiem X, Y, Z un sauc attiecīgi par abscisu asi, ordinātu asi un aplikācijas asi. Pats Dekarts izmantoja tikai vienu asi, uz kuras tika uzzīmētas abscises. lietošanas nopelns sistēmas cirvji pieder viņa audzēkņiem. Tāpēc frāze Dekarta sistēma koordinātas vēsturiski nepareizi. Labāk runājiet taisnstūrveida koordinātu sistēma vai ortogonālā koordinātu sistēma. Tomēr tradīcijas nemainīsim un turpmāk pieņemsim, ka Dekarta un taisnstūra (ortogonālā) koordinātu sistēmas ir viena un tā pati.

Vienības vektors, kas vērsts pa X asi, ir apzīmēts i, vienības vektors, kas vērsts pa Y asi, ir apzīmēts j, a vienības vektors, kas vērsts pa Z asi, ir apzīmēts k. Vektori i, j, k sauca orts(12. att., pa kreisi), tiem ir atsevišķi moduļi, tas ir
i = 1, j = 1, k = 1.

cirvji un orts taisnstūra koordinātu sistēma dažos gadījumos tiem ir citi nosaukumi un apzīmējumi. Tātad abscisu asi X var saukt par pieskares asi, un tās vienības vektoru apzīmē τ (grieķu mazais burts tau), y ass ir normālā ass, tās vienības vektors ir apzīmēts n, aplikācijas ass ir binormāļa ass, tās vienības vektors ir apzīmēts b. Kāpēc mainīt nosaukumus, ja būtība paliek tā pati?

Fakts ir tāds, ka, piemēram, mehānikā, pētot ķermeņu kustību, ļoti bieži tiek izmantota taisnstūra koordinātu sistēma. Tātad, ja pati koordinātu sistēma ir nekustīga un šajā nekustīgajā sistēmā tiek izsekotas kustīga objekta koordinātu izmaiņas, tad parasti asis apzīmē X, Y, Z un to orts attiecīgi i, j, k.

Bet bieži vien, kad objekts pārvietojas pa kādu līknes trajektoriju (piemēram, pa apli), ir ērtāk apsvērt mehāniskos procesus koordinātu sistēmā, kas pārvietojas kopā ar šo objektu. Šādai kustīgai koordinātu sistēmai tiek izmantoti citi asu nosaukumi un to vienību vektori. Tas ir vienkārši pieņemts. Šajā gadījumā X ass ir vērsta tangenciāli trajektorijai punktā, kur Šis brīdisšis objekts atrodas. Un tad šo asi vairs nesauc par X asi, bet gan par pieskares asi, un tās vienības vektors vairs netiek apzīmēts i, a τ . Y ass ir vērsta pa trajektorijas izliekuma rādiusu (apļa kustības gadījumā - uz apļa centru). Un tā kā rādiuss ir perpendikulārs pieskarei, asi sauc par normas asi (perpendikulārs un normālais ir viens un tas pats). Šīs ass ort vairs nav apzīmēts j, a n. Trešā ass (bijušais Z) ir perpendikulāra divām iepriekšējām. Tas ir binormāls ar vektoru b(12. att. pa labi). Starp citu, šajā gadījumā taisnstūra koordinātu sistēma bieži dēvē par "dabisku" vai dabisku.

Šajā nodarbībā mēs apskatīsim vēl divas darbības ar vektoriem: vektoru krustreizinājums un vektoru jauktais produkts (tūlītēja saite tiem, kam tas ir nepieciešams). Tas ir labi, dažreiz gadās, ka pilnīgai laimei, turklāt vektoru punktu reizinājums, vajag arvien vairāk. Tāda ir vektora atkarība. Var rasties iespaids, ka mēs nonākam analītiskās ģeometrijas džungļos. Tā nav taisnība. Šajā augstākās matemātikas sadaļā parasti ir maz malkas, izņemot, iespējams, pietiekami daudz Pinokio. Patiesībā materiāls ir ļoti izplatīts un vienkāršs – diez vai grūtāks par to pašu skalārais produkts, pat tipiski uzdevumi būs mazāk. Galvenais analītiskajā ģeometrijā, kā daudzi redzēs vai jau ir redzējuši, ir NEMALDĪT APRĒĶINOS. Atkārto kā burvestību, un tu būsi laimīgs =)

Ja vektori kaut kur tālu mirdz kā zibens pie horizonta, tas nav svarīgi, sāciet ar stundu Manekenu vektori atjaunot vai atkārtoti iegūt pamatzināšanas par vektoriem. Gatavāki lasītāji ar informāciju var iepazīties selektīvi, centos apkopot vispilnīgāko piemēru krājumu, kas bieži sastopams praktiskais darbs

Kas tevi iepriecinās? Kad biju mazs, varēju žonglēt ar divām un pat trīs bumbiņām. Tas izdevās labi. Tagad vispār nav vajadzības žonglēt, jo mēs to apsvērsim tikai telpas vektori, un plakanie vektori ar divām koordinātām tiks izlaisti. Kāpēc? Tā radās šīs darbības – vektoru vektors un jauktais vektoru produkts ir definēts un darbojas trīsdimensiju telpā. Jau vieglāk!

Šajā darbībā tāpat kā skalārajā reizinājumā, divi vektori. Lai tie ir neiznīcīgi burti.

Pati darbība apzīmētsšādā veidā: . Ir arī citi varianti, bet vektoru krustreizinājumu es mēdzu apzīmēt šādā veidā, kvadrātiekavās ar krustiņu.

Un uzreiz jautājums: ja iekšā vektoru punktu reizinājums ir iesaistīti divi vektori, un šeit arī tiek reizināti divi vektori kāda ir atšķirība? Skaidra atšķirība, pirmkārt, REZULTĀTĀ:

Vektoru skalārās reizinājuma rezultāts ir SKAITS:

Vektoru krustojuma rezultāts ir VEKTORS: , tas ir, mēs reizinām vektorus un atkal iegūstam vektoru. Slēgts klubs. Patiesībā, līdz ar to arī operācijas nosaukums. Dažādos izglītojoša literatūra apzīmējums var arī atšķirties, izmantošu burtu .

Šķērsprodukta definīcija

Vispirms būs definīcija ar bildi, tad komentāri.

Definīcija: krustojums nekolineārs vektori, pieņemts šādā secībā, sauc par VECTOR, garums kas ir skaitliski vienāds ar paralelograma laukumu, kas veidota uz šiem vektoriem; vektors vektoriem ortogonāli, un ir vērsta tā, lai bāzei būtu pareiza orientācija:

Mēs analizējam definīciju pēc kauliem, ir daudz interesantu lietu!

Tātad, mēs varam izcelt šādus būtiskus punktus:

1) Avota vektori pēc definīcijas, kas apzīmēti ar sarkanām bultiņām nav kolineārs. Nedaudz vēlāk būs lietderīgi apsvērt kolineāro vektoru gadījumu.

2) Uzņemtie vektori stingrā kārtībā: – "a" tiek reizināts ar "būt", nevis "būt" uz "a". Vektoru reizināšanas rezultāts ir VECTOR , kas ir apzīmēts zilā krāsā. Ja vektorus reizina apgrieztā secībā, tad iegūstam vienāda garuma un virzienā pretēju vektoru (sārtināta krāsa). Tas ir, vienlīdzība .

3) Tagad iepazīsimies ar vektora reizinājuma ģeometrisko nozīmi. Tas ir ļoti svarīgs punkts! Zilā vektora GARUMS (un līdz ar to tumšsarkanā vektora ) ir skaitliski vienāds ar uz vektoriem veidotā paralelograma AREA. Attēlā šis paralelograms ir iekrāsots melnā krāsā.

Piezīme : zīmējums ir shematisks, un, protams, šķērsprodukta nominālais garums nav vienāds ar paralelograma laukumu.

Mēs atceramies vienu no ģeometriskajām formulām: paralelograma laukums ir vienāds ar blakus esošo malu un starp tām esošā leņķa sinusa reizinājumu. Tāpēc, pamatojoties uz iepriekš minēto, ir spēkā formula vektora reizinājuma GARUMA aprēķināšanai:

Es uzsveru, ka formulā mēs runājam par vektora GARU, nevis par pašu vektoru. Kāda ir praktiskā nozīme? Un nozīme ir tāda, ka analītiskās ģeometrijas problēmās paralelograma laukums bieži tiek atrasts, izmantojot vektora reizinājuma jēdzienu:

Mēs iegūstam otro svarīgo formulu. Paralelograma diagonāle (sarkana punktēta līnija) sadala to divās daļās vienāds trīsstūris. Tāpēc trīsstūra laukumu, kas veidots uz vektoriem (sarkans ēnojums), var atrast pēc formulas:

4) Ne mazāk kā svarīgs fakts ir tas, ka vektors ir ortogonāls vektoriem, tas ir, . Protams, arī pretēji vērstais vektors (sārtināta bultiņa) ir ortogonāls sākotnējiem vektoriem.

5) Vektors ir vērsts tā, lai pamata Tā ir pa labi orientācija. Nodarbībā par pāreja uz jaunu pamatu Es detalizēti runāju par plaknes orientācija, un tagad mēs sapratīsim, kāda ir telpas orientācija. Es paskaidrošu uz jūsu pirkstiem labā roka . Garīgi apvienot rādītājpirksts ar vektoru un Vidējais pirksts ar vektoru. Gredzena pirksts un mazais pirksts nospiediet plaukstā. Rezultātā īkšķis - vektora reizinājums tiks meklēts uz augšu. Šī ir uz labo pusi orientēta bāze (tas ir attēlā). Tagad samainiet vektorus ( rādītājpirksti un vidējie pirksti) vietām, kā rezultātā īkšķis pagriezīsies, un vektorreizinājums jau skatīsies uz leju. Tas ir arī uz labo pusi vērsts pamats. Varbūt jums ir jautājums: kāds pamats ir kreisajai orientācijai? "Piešķirt" tos pašus pirkstus kreisā roka vektori , un iegūstiet kreisās bāzes un kreisās telpas orientāciju (šajā gadījumā īkšķis atradīsies apakšējā vektora virzienā). Tēlaini izsakoties, šīs bāzes “sagriež” jeb orientē telpu dažādos virzienos. Un šo jēdzienu nevajadzētu uzskatīt par kaut ko tālu vai abstraktu - piemēram, visparastākais spogulis maina telpas orientāciju, un, ja jūs “izvelk atstaroto objektu no spoguļa”, tad kopumā tas nebūs iespējams. apvienojiet to ar "oriģinālu". Starp citu, pievelciet trīs pirkstus pie spoguļa un analizējiet atspulgu ;-)

... cik labi, ka jūs tagad zināt par to orientēts pa labi un pa kreisi bāzes, jo dažu pasniedzēju izteikumi par orientācijas maiņu ir šausmīgi =)

Kolineāru vektoru vektorreizinājums

Definīcija ir izstrādāta detalizēti, atliek noskaidrot, kas notiek, ja vektori ir kolineāri. Ja vektori ir kolineāri, tad tos var novietot uz vienas taisnes un arī mūsu paralelograms “salocās” vienā taisnē. Tādu laukums, kā saka matemātiķi, deģenerēts paralelograms ir nulle. Tas pats izriet no formulas - nulles vai 180 grādu sinuss ir vienāds ar nulli, kas nozīmē, ka laukums ir nulle

Tādējādi, ja , tad . Stingri sakot, krustreizinājums pats par sevi ir vienāds ar nulles vektoru, taču praksē tas bieži tiek atstāts novārtā un rakstīts, ka tas vienkārši ir vienāds ar nulli.

īpašs gadījums ir vektora un paša krustreizinājums:

Izmantojot krustojumu, jūs varat pārbaudīt trīsdimensiju vektoru kolinearitāti, un mēs, cita starpā, arī analizēsim šo problēmu.

Lai atrisinātu praktiskus piemērus, tas var būt nepieciešams trigonometriskā tabula lai no tā atrastu sinusu vērtības.

Nu, iekuram uguni:

1. piemērs

a) Atrodi vektoru vektorreizinājuma garumu, ja

b) Atrodiet uz vektoriem veidota paralelograma laukumu, ja

Risinājums: Nē, tā nav drukas kļūda, es apzināti izveidoju sākotnējos datus nosacījuma vienībās vienādus. Jo risinājumu dizains būs atšķirīgs!

a) Atbilstoši nosacījumam ir jāatrod garums vektors (vektora reizinājums). Saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde:

Tā kā tika jautāts par garumu, tad atbildē norādām izmēru - mērvienības.

b) Atbilstoši nosacījumam ir jāatrod kvadrāts uz vektoriem veidots paralelograms . Šī paralelograma laukums ir skaitliski vienāds ar šķērsreizinājuma garumu:

Atbilde:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka atbildē par vektorproduktu vispār nav runas, mums jautāja par to figūras laukums, attiecīgi izmērs ir kvadrāta vienības.

Mēs vienmēr skatāmies, KAS ir jāatrod pēc nosacījuma, un, pamatojoties uz to, mēs formulējam skaidrs atbildi. Var šķist, ka tas ir burtiski, bet skolotāju vidū ir pietiekami daudz literātu, un uzdevums ar labām izredzēm tiks atgriezts pārskatīšanai. Lai gan tas nav īpaši saspringts niķis - ja atbilde ir nepareiza, tad rodas iespaids, ka cilvēks nesaprot vienkāršas lietas un/vai nav iedziļinājies uzdevuma būtībā. Šis brīdis vienmēr ir jākontrolē, risinot jebkuru uzdevumu augstākajā matemātikā un arī citos priekšmetos.

Kur pazuda lielais burts "en"? Principā varētu papildus pielipt pie risinājuma, bet, lai saīsinātu ierakstu, es to nedarīju. Es ceru, ka visi to saprot un apzīmē vienu un to pašu.

Populārs piemērs neatkarīgs risinājums:

2. piemērs

Atrodiet uz vektoriem veidota trīsstūra laukumu, ja

Formula trijstūra laukuma atrašanai caur vektora reizinājumu ir dota definīcijas komentāros. Risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Praksē uzdevums patiešām ir ļoti izplatīts, trijstūri parasti var spīdzināt.

Lai atrisinātu citas problēmas, mums ir nepieciešams:

Vektoru krustreizinājuma īpašības

Mēs jau esam apsvēruši dažas vektorprodukta īpašības, tomēr es tās iekļaušu šajā sarakstā.

Patvaļīgiem vektoriem un patvaļīgam skaitlim ir patiesas šādas īpašības:

1) Citos informācijas avotos šis vienums parasti nav izcelts īpašībās, bet tas ir ļoti svarīgi praktiskā ziņā. Tātad lai tas būtu.

2) - īpašums ir apspriests arī iepriekš, dažreiz tas tiek saukts antikommutativitāte. Citiem vārdiem sakot, vektoru secībai ir nozīme.

3) - kombinācija vai asociatīvs vektorproduktu likumi. Konstantes var viegli izņemt no vektora reizinājuma robežām. Tiešām, ko viņi tur dara?

4) - izplatīšana vai izplatīšana vektorproduktu likumi. Arī ar atvēršanu nav problēmu.

Kā demonstrāciju apsveriet īsu piemēru:

3. piemērs

Atrodi, ja

Risinājums: Pēc nosacījuma atkal ir jāatrod vektora reizinājuma garums. Krāsosim savu miniatūru:

(1) Saskaņā ar asociatīvajiem likumiem mēs izņemam konstantes ārpus vektora reizinājuma robežām.

(2) Mēs izņemam konstanti no moduļa, bet modulis “apēd” mīnusa zīmi. Garums nevar būt negatīvs.

(3) Tālāk ir skaidrs.

Atbilde:

Ir pienācis laiks mest malku ugunī:

4. piemērs

Aprēķiniet uz vektoriem veidota trīsstūra laukumu, ja

Risinājums: Atrodiet trīsstūra laukumu, izmantojot formulu . Traucējums ir tāds, ka vektori "ce" un "te" paši ir attēloti kā vektoru summas. Algoritms šeit ir standarta un nedaudz atgādina nodarbības 3. un 4. piemēru. Vektoru punktu reizinājums. Skaidrības labad sadalīsim to trīs posmos:

1) Pirmajā solī mēs izsakām vektora reizinājumu caur vektora reizinājumu, patiesībā, izteikt vektoru vektora izteiksmē. Par garumu vēl ne vārda!

(1) Mēs aizstājam vektoru izteiksmes.

(2) Izmantojot sadalījuma likumus, atveriet iekavas saskaņā ar polinomu reizināšanas likumu.

(3) Izmantojot asociatīvos likumus, mēs izņemam visas konstantes ārpus vektora reizinājuma. Ar nelielu pieredzi 2. un 3. darbību var veikt vienlaikus.

(4) Pirmais un pēdējais termins ir vienādi ar nulli (nulles vektors) patīkamās īpašības dēļ. Otrajā termiņā mēs izmantojam vektora reizinājuma antikomutativitātes īpašību:

(5) Mēs piedāvājam līdzīgus terminus.

Rezultātā vektors izrādījās izteikts caur vektoru, kas bija tas, kas bija jāsasniedz:

2) Otrajā solī mēs atrodam vajadzīgā vektora reizinājuma garumu. Šī darbība ir līdzīga 3. piemēram:

3) Atrodiet vajadzīgā trīsstūra laukumu:

Risinājuma 2-3 soļus varētu sakārtot vienā rindā.

Atbilde:

Aplūkotā problēma ir diezgan izplatīta kontroles darbs, šeit ir piemērs risinājumam, ko dari pats:

5. piemērs

Atrodi, ja

Īss risinājums un atbilde nodarbības beigās. Paskatīsimies, cik uzmanīgs bijāt, pētot iepriekšējos piemērus ;-)

Vektoru krustreizinājums koordinātēs

Formula ir patiešām vienkārša: determinanta augšējā rindā ierakstām koordinātu vektorus, otrajā un trešajā rindā "iepakojam" vektoru koordinātas un ievietojam stingrā kārtībā- vispirms vektora "ve" koordinātas, tad vektora "double-ve" koordinātas. Ja vektori jāreizina citā secībā, tad arī rindas ir jāsamaina:

10. piemērs

Pārbaudiet, vai šādi telpas vektori ir kolineāri:
a)
b)

Risinājums: Validācija, pamatojoties uz vienu no apgalvojumiem šī nodarbība: ja vektori ir kolineāri, tad to krustojums ir nulle (nulles vektors): .

a) Atrodiet vektora reizinājumu:

Tātad vektori nav kolineāri.

b) Atrodiet vektora reizinājumu:

Atbilde a) nav kolineārs, b)

Šeit, iespējams, ir visa pamatinformācija par vektoru vektoru reizinājumu.

Šī sadaļa nebūs ļoti liela, jo ir maz problēmu, ja tiek izmantots vektoru jauktais produkts. Patiesībā viss būs atkarīgs no definīcijas, ģeometriskā sajūta un pāris darba formulas.

Vektoru jauktais reizinājums ir trīs vektoru reizinājums:

Šādi viņi sastājās rindā kā vilciens un gaida, viņi nevar gaidīt, kamēr tiks aprēķināti.

Vispirms atkal definīcija un attēls:

Definīcija: Jaukts produkts ne-kopplanārs vektori, pieņemts šādā secībā, tiek saukts paralēlskaldņa tilpums, veidots uz šiem vektoriem, aprīkots ar "+" zīmi, ja pamats ir pareizs, un "-" zīmi, ja pamats ir pa kreisi.

Taisīsim zīmējumu. Mums neredzamās līnijas ir novilktas ar punktētu līniju:

Iedziļināsimies definīcijā:

2) Uzņemtie vektori noteiktā secībā, tas ir, vektoru permutācija produktā, kā jūs varētu nojaust, nepaliek bez sekām.

3) Pirms komentēt ģeometrisko nozīmi, es atzīmēju acīmredzams fakts: vektoru jauktais reizinājums ir SKAITS: . Mācību literatūrā dizains var nedaudz atšķirties, es mēdzu apzīmēt jauktu produktu caur un aprēķinu rezultātu ar burtu "pe".

Pēc definīcijas jauktais produkts ir paralēlskaldņa tilpums, veidots uz vektoriem (attēls zīmēts ar sarkaniem vektoriem un melnām līnijām). Tas ir, skaitlis ir vienāds ar dotā paralēlskaldņa tilpumu.

Piezīme : Zīmējums ir shematisks.

4) Neraizīsimies atkal ar pamata un telpas orientācijas jēdzienu. Pēdējās daļas nozīme ir tāda, ka skaļumam var pievienot mīnusa zīmi. Vienkāršiem vārdiem sakot, jauktais produkts var būt negatīvs: .

Formula uz vektoriem veidota paralēlskaldņa tilpuma aprēķināšanai izriet tieši no definīcijas.