Figūru piemēri ar aksiālo un centrālo simetriju. Prezentācija Simetrijas veidi

Aksiālā simetrija un pilnības jēdziens

Aksiālā simetrija ir raksturīga visām dabas formām un ir viens no skaistuma pamatprincipiem. Kopš seniem laikiem cilvēks ir mēģinājis

izprast pilnības nozīmi. Šo koncepciju vispirms pamatoja mākslinieki, filozofi un matemātiķi Senā Grieķija. Un pašu vārdu "simetrija" radīja viņi. Tas apzīmē veseluma daļu proporcionalitāti, harmoniju un identitāti. Sengrieķu domātājs Platons apgalvoja, ka tikai simetrisks un samērīgs objekts var būt skaists. Un patiešām, tās parādības un formas, kurām ir proporcionalitāte un pilnīgums, ir “acij patīkamas”. Mēs tos saucam par pareiziem.

Aksiālā simetrija kā jēdziens

Simetrija dzīvo būtņu pasaulē izpaužas regulārā identisku ķermeņa daļu izvietojumā attiecībā pret centru vai asi. Biežāk iekšā

daba ir aksiāli simetriska. Tas izraisa ne tikai vispārējā struktūra organismu, bet arī tā turpmākās attīstības iespējamību. ģeometriskās formas un dzīvo būtņu proporcijas veido "aksiālā simetrija". Tā definīcija ir formulēta šādi: tā ir objektu īpašība, ko var apvienot dažādās transformācijās. Senie cilvēki uzskatīja, ka sfērai ir vislielākais simetrijas princips. Viņi uzskatīja šo formu par harmonisku un perfektu.

Aksiālā simetrija savvaļas dzīvniekiem

Ja paskatās uz kādu radījums, ķermeņa uzbūves simetrija uzreiz krīt acīs. Vīrietis: divas rokas, divas kājas, divas acis, divas ausis un tā tālāk. Katram dzīvnieku veidam ir raksturīga krāsa. Ja krāsojumā parādās raksts, tas parasti tiek atspoguļots abās pusēs. Tas nozīmē, ka ir līnija, pa kuru dzīvniekus un cilvēkus var vizuāli sadalīt divās identiskās daļās, tas ir, to ģeometriskā struktūra balstās uz aksiālo simetriju. Daba jebkuru dzīvo organismu rada nevis haotiski un bezjēdzīgi, bet pēc vispārējiem pasaules kārtības likumiem, jo Visumā nekam nav tīri estētiska, dekoratīva nolūka. Pieejamība dažādas formas arī dabiskās nepieciešamības dēļ.

Aksiālā simetrija iekšā nedzīvā daba

Pasaulē mūs visur ieskauj tādas parādības un objekti kā: taifūns, varavīksne, piliens, lapas, ziedi utt. To spogulis, radiālā, centrālā, aksiālā simetrija ir acīmredzama. Lielā mērā tas ir saistīts ar gravitācijas fenomenu. Bieži vien ar simetrijas jēdzienu saprot jebkuru parādību maiņas regularitāti: diena un nakts, ziema, pavasaris, vasara un rudens utt. Praksē šis īpašums pastāv visur, kur ir kārtība. Un paši dabas likumi - bioloģiskie, ķīmiskie, ģenētiskie, astronomiskie - ir pakļauti simetrijas principiem, kas ir kopīgi mums visiem, jo tiem ir apskaužama konsekvence. Tādējādi līdzsvaram, identitātei kā principam ir universāls vēriens. Aksiālā simetrija dabā ir viens no "stūrakmens" likumiem, uz kura balstās Visums kopumā.

"SIMETRIJA - SKAISTUMA, HARMONIJAS UN PERFEKTĪBAS SIMBOLS"

NO simetrija(sengrieķu - "proporcionalitāte") - līdzīgu (identisku) dzīva organisma ķermeņa daļu vai formu regulārs izvietojums, dzīvo organismu kopums attiecībā pret simetrijas centru vai asi. Tas nozīmē, ka proporcionalitāte ir daļa no harmonijas, pareiza veseluma daļu kombinācija.

G armonija - Grieķu vārds, kas apzīmē "konsekvenci, proporcionalitāti, daļu vienotību un veselumu". Ārēji harmonija var izpausties melodijā, ritmā, simetrijā un proporcijās. Visā valda harmonijas likums, Un viss pasaulē ir ritms, akords un tonis. Dž.Draidens

NO pilnība - augstākā pakāpe, jebkuras pozitīvas kvalitātes, spēju vai prasmju robeža.

“Brīvība ir katras būtnes galvenā iekšējā zīme, kas radīta pēc Dieva tēla un līdzības; šajā zīmē slēpjas radīšanas plāna absolūtā pilnība. N. A. Berdjajevs Simetrija ir pasaules uzbūves pamatprincips.

Simetrija ir izplatīta parādība, tās universālums kalpo efektīva metode zināšanas par dabu. Simetrija dabā ir nepieciešama, lai saglabātu stabilitāti. Ārējās simetrijas iekšpusē slēpjas konstrukcijas iekšējā simetrija, kas garantē līdzsvaru.

Simetrija ir matērijas vēlmes pēc uzticamības un spēka izpausme.

Simetriskas formas nodrošina veiksmīgu formu atkārtojamību, tāpēc tās ir izturīgākas pret dažādām ietekmēm. Simetrija ir daudzšķautņaina.

Dabā un jo īpaši dzīvajā dabā simetrija nav absolūta un vienmēr satur zināmu asimetrijas pakāpi. Asimetrija - (grieķu α- - "bez" un "simetrija") - simetrijas trūkums.

Simetrija dabā

Simetrija, tāpat kā proporcija, tika cienīta nepieciešamais nosacījums harmonija un skaistums.

Cieši aplūkojot dabu, var saskatīt kopīgo pat visniecīgākajās lietās un detaļās, atrast simetrijas izpausmes. Koka lapas forma nav nejauša: tā ir stingri regulāra. Lapa ir it kā salīmēta no divām vairāk vai mazāk identiskām pusēm, no kurām viena ir spoguļattēlā attiecībā pret otru. Lapas simetrija tiek neatlaidīgi atkārtota, neatkarīgi no tā, vai tas ir kāpurs, tauriņš, blaktis utt.

Pastāv ļoti sarežģīta daudzlīmeņu simetrijas veidu klasifikācija. Šeit mēs neapskatīsim šīs klasifikācijas grūtības, mēs atzīmēsim tikai pamatnoteikumus un atgādināsim vienkāršākos piemērus.

Patiesībā augstākais līmenis Ir trīs simetrijas veidi: strukturālā, dinamiskā un ģeometriskā. Katrs no šiem simetrijas veidiem nākamajā līmenī ir sadalīts klasiskajā un neklasiskajā.

Tālāk ir norādīti šādi hierarhiskie līmeņi. Grafiskais attēls visi subordinācijas līmeņi dod sazarotu dendrogrammu.

Ikdienā mēs visbiežāk sastopamies ar tā saukto spoguļsimetriju. Šī ir objektu struktūra, kad tos var sadalīt labajā un kreisajā vai augšējā un apakšējā daļā ar iedomātu asi, ko sauc par spoguļa simetrijas asi. Šajā gadījumā puses, kas atrodas pretējās ass pusēs, ir identiskas viena otrai.

Atspulgs simetrijas plaknē. Atspoguļošana ir vispazīstamākais un visbiežāk sastopamais simetrijas veids dabā. Spogulis atveido tieši to, ko tas "redz", bet aplūkotā secība ir apgriezta: labā roka jūsu doppelgänger faktiski nonāks kreisajā pusē, jo pirksti uz tā atrodas apgrieztā secībā. Spoguļsimetriju var atrast visur: augu lapās un ziedos. Turklāt spoguļa simetrija ir raksturīga gandrīz visu dzīvo būtņu ķermeņiem, un šāda sakritība nekādā gadījumā nav nejauša. Spoguļa simetrijā ir viss, ko var sadalīt divās vienādās daļās. Katra no pusēm kalpo kā otras spoguļa atspulgs, un plakni, kas tās atdala, sauc par spoguļa atstarošanas plakni vai vienkārši par spoguļa plakni.

rotācijas simetrija. Raksta izskats nemainīsies, ja to pagriež par kādu leņķi ap asi. Simetriju, kas rodas šajā gadījumā, sauc par rotācijas simetriju. Daudzu augu lapām un ziediem ir radiāla simetrija. Šī ir tāda simetrija, kurā lapa vai zieds, griežoties ap simetrijas asi, pāriet sevī. Audu šķērsgriezumos, kas veido auga sakni vai stublāju, ir skaidri redzama radiālā simetrija. Arī daudzu ziedu ziedkopām ir radiāla simetrija.

Ziediem, sēnēm, kokiem ir radiāla staru simetrija. Šeit var atzīmēt, ka uz nenoplūktiem ziediem un sēnēm, augošiem kokiem simetrijas plaknes vienmēr ir vērstas vertikāli. Nosakot dzīvo organismu telpisko organizāciju, taisnais leņķis organizē dzīvību ar gravitācijas spēkiem. Biosfēra (dzīvo būtņu būtības slānis) ir ortogonāla zemes gravitācijas vertikālajai līnijai. Augu vertikālie stumbri, koku stumbri, ūdens telpu horizontālās virsmas un zemes garoza kopumā veido taisnu leņķi. Taisnais leņķis, kas atrodas zem trīsstūra, regulē līdzību simetrijas telpu, un līdzība, kā jau minēts, ir dzīves mērķis. Gan pati daba, gan cilvēka sākotnējā daļa atrodas ģeometrijas varā, pakļauti simetrijai gan kā būtības, gan kā simboli. Neatkarīgi no tā, kā tiek būvēti dabas objekti, katram ir sava galvenā iezīme, ko parāda forma, vai tas ir ābols, rudzu grauds vai cilvēks.

Radiālās simetrijas piemēri.

Vienkāršākais simetrijas veids ir spogulis (aksiāls), kas rodas, kad figūra griežas ap simetrijas asi.

Dabā spoguļsimetrija ir raksturīga augiem un dzīvniekiem, kas aug vai pārvietojas paralēli Zemes virsmai. Piemēram, tauriņa spārnus un ķermeni var saukt par spoguļa simetrijas standartu.

Aksiālā simetrija tas ir rezultāts, rotējot tieši tos pašus elementus ap kopīgu centru. Turklāt tos var novietot jebkurā leņķī un ar dažādām frekvencēm. Galvenais ir tas, ka elementi griežas ap vienu centru. Dabā aksiālās simetrijas piemēri visbiežāk sastopami starp augiem un dzīvniekiem, kas aug vai pārvietojas perpendikulāri Zemes virsmai.

Arī pastāv skrūvju simetrija.

Tulkošanu var apvienot ar refleksiju vai rotāciju, un rodas jaunas simetrijas darbības. Rotācija par noteiktu grādu skaitu, ko papildina pārvietošana uz attālumu gar rotācijas asi, rada spirālveida simetriju - spirālveida kāpņu simetriju. Spirālveida simetrijas piemērs ir lapu izvietojums uz daudzu augu kātiem. Ja aplūkojam lapu izvietojumu uz koka zara, pamanīsim, ka lapa ir atdalīta no otras, bet arī pagriezta ap stumbra asi.

Lapas ir izvietotas uz stumbra pa spirālveida līniju, lai neaizsegtu viena otru saules gaisma. Saulespuķes galvā ir procesi, kas sakārtoti ģeometriskās spirālēs, kas atritinās no centra uz āru. Centrā atrodas jaunākie spirāles dalībnieki. Šādās sistēmās var pamanīt divas spirāļu saimes, kas atritinās pretējos virzienos un krustojas leņķos, kas ir tuvu pa labi. Taču, lai cik interesantas un pievilcīgas būtu simetrijas izpausmes augu pasaulē, joprojām ir daudz noslēpumu, kas kontrolē attīstības procesus. Pēc Gētes, kurš runāja par dabas tiekšanos pēc spirāles, mēs varam pieņemt, ka šī kustība tiek veikta pa logaritmisku spirāli, katru reizi sākot no centrālā, fiksētā punkta un apvienojot kustība uz priekšu(stiept) ar rotācijas rotāciju.

Pamatojoties uz to, ir iespējams nedaudz vienkāršotā un shematizētā formā (no diviem punktiem) formulēt vispārējo simetrijas likumu, kas skaidri un visur izpaužas dabā:

1. Viss, kas aug vai kustas vertikāli, t.i. uz augšu vai uz leju attiecībā pret zemes virsma, pakļaujas radiālā stara simetrijai krustojošu simetrijas plakņu ventilatora formā. Daudzu augu lapām un ziediem ir radiāla simetrija. Šī ir tāda simetrija, kurā lapa vai zieds, griežoties ap simetrijas asi, pāriet sevī. Audu šķērsgriezumos, kas veido auga sakni vai stublāju, ir skaidri redzama radiālā simetrija. Arī daudzu ziedu ziedkopām ir radiāla simetrija.

2. Viss, kas aug un pārvietojas horizontāli vai slīpi attiecībā pret zemes virsmu, ir pakļauts divpusējai simetrijai, lapu simetrijai.

Šis universālais divu postulātu likums pakļaujas ne tikai ziediem, dzīvniekiem, viegli pārvietojamiem šķidrumiem un gāzēm, bet arī cietajiem, nelokāmiem akmeņiem. Šis likums ietekmē mainīgās mākoņu formas. Mierīgā dienā tiem ir kupola forma ar vairāk vai mazāk skaidri izteiktu radiāli-radiālu simetriju. Universālā simetrijas likuma ietekme patiesībā ir tīri ārēja, raupja, uzspiežot savu zīmogu tikai uz dabisko ķermeņu ārējo formu. Viņu iekšējā struktūra un detaļas izkļūst no viņa spēka.

Simetrijas pamatā ir līdzība. Tas nozīmē tādas attiecības starp elementiem, figūrām, kad tās atkārtojas un līdzsvaro viena otru.

Līdzības simetrija. Cits simetrijas veids ir līdzības simetrija, kas saistīta ar līdzīgu figūras daļu un attālumu starp tām vienlaicīgu palielināšanos vai samazināšanos. Matrjoška ir šāda veida simetrijas piemērs. Šāda simetrija savvaļas dabā ir ļoti izplatīta. To demonstrē visi augošie organismi.

Dzīvās matērijas evolūcijas pamatā ir līdzības simetrija. Apsveriet rožu ziedu vai kāpostu galvu. Visu šo dabisko ķermeņu ģeometrijā svarīga loma ir to līdzīgo daļu līdzībai. Šādas daļas, protams, ir savstarpēji saistītas ar kādu vispārēju, mums vēl nezināmu ģeometrisku likumu, kas ļauj tās atvasināt vienu no otras. Telpā un laikā realizētā līdzības simetrija izpaužas visur dabā uz visa, kas aug. Bet tieši augošajām formām pieder neskaitāmas augu, dzīvnieku un kristālu figūras. Koka stumbra forma ir koniska, stipri izstiepta. Zari parasti ir izvietoti ap stumbru spirālē. Šī nav vienkārša spirāle: tā pakāpeniski sašaurinās uz augšu. Un paši zari samazinās, tuvojoties koka galotnei. Tāpēc šeit ir darīšana ar līdzības simetrijas spirālveida asi.

Dzīvā daba visās tās izpausmēs atklāj vienu un to pašu mērķi, to pašu dzīves jēgu: katrs dzīvs objekts atkārtojas savā veidā. Galvenais uzdevums dzīvība ir dzīvība, un pieejamā esības forma slēpjas atsevišķu neatņemamu organismu esamībā. Un ne tikai primitīvas organizācijas, bet arī sarežģītas kosmiskās sistēmas, piemēram, cilvēks, demonstrē apbrīnojamu spēju burtiski atkārtot no paaudzes paaudzē vienas un tās pašas formas, tās pašas skulptūras, rakstura iezīmes, vienus un tos pašus žestus, manieres.

Daba atklāj līdzību kā tās globālo ģenētisko programmu. Pārmaiņu atslēga slēpjas arī līdzībā. Līdzība pārvalda dzīvo dabu kopumā. Ģeometriskā līdzība - vispārējs princips dzīvo struktūru telpiskā organizācija. Kļavas lapa ir kā kļavas lapa, bērza lapa ir kā bērza lapa. Ģeometriskā līdzība caurstrāvo visus dzīvības koka zarus. Neatkarīgi no tā, kādas metamorfozes tas piedzīvos izaugsmes procesā nākotnē dzīvā šūna, kas pieder visam organismam un veic tā vairošanās funkciju par jaunu, īpašu, vienotu esamības objektu, tas ir "sākuma punkts", kas sadalīšanās rezultātā tiks pārveidots par objektu, kas līdzīgs oriģinālais. Tas apvieno visu veidu dzīvās struktūras, tāpēc pastāv dzīves stereotipi: cilvēks, kaķis, spāre, slieka. Tos bezgalīgi interpretē un dažādo sadalīšanas mehānismi, taču tie paliek tie paši organizācijas, formas un uzvedības stereotipi.

Dzīvajiem organismiem ķermeņa orgānu daļu simetriskais izvietojums palīdz saglabāt līdzsvaru kustības un funkcionēšanas laikā, nodrošina vitalitāti un labāku pielāgošanos apkārtējai pasaulei, kas ir arī flora. Piemēram, egles vai priedes stumbrs visbiežāk ir taisns un zari ir vienmērīgi izvietoti attiecībā pret stumbru. Koks, kas attīstās gravitācijas ietekmē, sasniedz stabilu stāvokli. Virzoties uz koka virsotni, tā zari kļūst mazāki - tas iegūst konusa formu, jo gaismai jākrīt uz apakšējiem, kā arī uz augšējiem zariem. Turklāt smaguma centram jābūt pēc iespējas zemākam, no tā atkarīga koka stabilitāte. Likumi dabiskā izlase un smagums veicināja to, ka koks ir ne tikai estētiski skaists, bet arī lietderīgi sakārtots.

Izrādās, ka dzīvo organismu simetrija ir saistīta ar dabas likumu simetriju. Ikdienas līmenī, redzot simetrijas izpausmi dzīvajā un nedzīvajā dabā, mēs neviļus izjūtam gandarījumu par dabā valdošo universālo, kā mums šķiet, kārtību.

Tā kā dzīvo organismu sakārtotība, to sarežģītība dzīvības attīstības gaitā, asimetrija arvien vairāk ņem virsroku pār simetriju, izspiežot to no bioķīmiskiem un fizioloģiskiem procesiem. Taču arī šeit notiek dinamisks process: simetrija un asimetrija dzīvo organismu darbībā ir cieši saistītas. Ārēji cilvēks un dzīvnieki ir simetriski, bet viņu iekšējā struktūra ievērojami asimetrisks. Ja zemākos bioloģiskos objektos, piemēram, zemākajos augos, vairošanās norit simetriski, tad augstākajos ir izteikta asimetrija, piemēram, dzimumu dalījums, kur katrs dzimums pašizveides procesā ievada tikai viņam raksturīgo ģenētisko informāciju. pavairošana. Tādējādi iedzimtības stabila saglabāšana ir simetrijas izpausme noteiktā nozīmē, bet asimetrija izpaužas mainīgumā. Kopumā simetrijas un asimetrijas dziļā iekšējā saikne dzīvajā dabā nosaka tās rašanos, pastāvēšanu un attīstību.

Visums ir asimetrisks veselums, un dzīvībai, kāda tā tiek pasniegta, ir jābūt Visuma asimetrijas un tās seku funkcijai. Atšķirībā no nedzīvām molekulām, molekulas organisko vielu ir izteikts asimetrisks raksturs (hiralitāte). Došana liela nozīme dzīvās matērijas asimetrija, Pasters to uzskatīja tieši par vienīgo skaidri norobežojošo līniju, ko šobrīd var novilkt starp dzīvu un nedzīvu dabu, t.i. kas atšķir dzīvā matērija no nedzīvā. mūsdienu zinātne pierādīja, ka dzīvos organismos, tāpat kā kristālos, struktūras izmaiņas atbilst īpašību izmaiņām.

Tiek pieņemts, ka iegūtā asimetrija radās pēkšņi Lielā bioloģiskā sprādziena rezultātā (pēc analoģijas ar Lielo sprādzienu, kura rezultātā izveidojās Visums) radiācijas, temperatūras, elektromagnētisko lauku u.c. ietekmē. un atrada savu atspulgu dzīvo organismu gēnos. Šis process būtībā ir arī pašorganizēšanās process.

Zinātniskā un praktiskā konference

SM "23.vidusskola"

Vologdas pilsēta

sadaļa: dabas - zinātniskā

projektēšanas un izpētes darbi

SIMETRIJU VEIDI

Darbu veica 8. "a" klases skolēns

Kreņeva Margarita

Vadītājs: augstākās matemātikas skolotājs

2014. gads

Projekta struktūra:

1. Ievads.

2. Projekta mērķi un uzdevumi.

3. Simetrijas veidi:

3.1. Centrālā simetrija;

3.2. Aksiālā simetrija;

3.3. Spoguļa simetrija (simetrija attiecībā pret plakni);

3.4. Rotācijas simetrija;

3.5. Pārnēsājama simetrija.

4. Secinājumi.

Simetrija ir ideja, ar kuras palīdzību cilvēks gadsimtiem ilgi ir mēģinājis izprast un radīt kārtību, skaistumu un pilnību.

G. Veils

Ievads.

Mana darba tēma tika izvēlēta pēc sadaļas "Aksiālā un centrālā simetrija" apguves kursā "Ģeometrija 8.klase". Mani šī tēma ļoti ieinteresēja. Vēlējos uzzināt: kādi simetrijas veidi pastāv, kā tie atšķiras viens no otra, kādi ir uzbūves principi simetriskas figūras katrā tipā.

Mērķis : Ievads dažādos simetrijas veidos.

Uzdevumi:

Izpētiet literatūru par šo tēmu.

Apkopot un sistematizēt pētīto materiālu.

Sagatavojiet prezentāciju.

Senos laikos vārdu "SIMETRIJA" lietoja "harmonija", "skaistuma" nozīmē. Tulkojumā no grieķu valodas šis vārds nozīmē “proporcionalitāte, proporcionalitāte, vienādība kaut kā daļu izvietojumā punkta, taisnes vai plaknes pretējās pusēs.

Ir divas simetriju grupas.

Pirmajā grupā ietilpst pozīciju, formu, struktūru simetrija. Šī ir simetrija, ko var tieši redzēt. To var saukt par ģeometrisko simetriju.

Otrā grupa raksturo simetriju fiziskas parādības un dabas likumi. Šī simetrija ir dabaszinātnes pasaules attēla pamatā: to var saukt par fizisko simetriju.

Es apstājos mācītiesģeometriskā simetrija .

Savukārt ir arī vairāki ģeometriskās simetrijas veidi: centrālā, aksiālā, spoguļa (simetrija attiecībā pret plakni), radiālā (vai rotējošā), pārnēsājamā un citi. Šodien es apsvēršu 5 simetrijas veidus.

Centrālā simetrija

Divi punkti A un A 1 sauc par simetriskām attiecībā pret punktu O, ja tie atrodas uz taisnes, kas iet caur m O, un atrodas tās pretējās malās vienādā attālumā. Punktu O sauc par simetrijas centru.

Figūru sauc par simetrisku attiecībā pret punktuO , ja katram figūras punktam punkts ir simetrisks tam attiecībā pret punktuO arī pieder šim skaitlim. PunktsO ko sauc par figūras simetrijas centru, tiek uzskatīts, ka figūrai ir centrālā simetrija.

Centrālās simetrijas figūru piemēri ir aplis un paralelograms.

Slaidā redzamie skaitļi ir simetriski attiecībā pret kādu punktu

2. Aksiālā simetrija

Divi punktiX un Y sauc par simetrisku attiecībā pret līnijut , ja šī taisne iet caur segmenta XY viduspunktu un ir tai perpendikulāra. Jāsaka arī, ka katrs līnijas punktst uzskatīts par simetrisku sev.

Taisnit ir simetrijas ass.

Tiek uzskatīts, ka figūra ir simetriska attiecībā pret taisnu līniju.t, ja katram figūras punktam tai attiecībā pret taisni simetrisks punktst arī pieder šim skaitlim.

Taisnitko sauc par figūras simetrijas asi, tiek uzskatīts, ka figūrai ir aksiālā simetrija.

Aksiālajai simetrijai piemīt neattīstīts leņķis, vienādsānu un vienādmalu trīsstūri, taisnstūris un rombs,vēstules (skat. prezentāciju).

Spoguļa simetrija (simetrija attiecībā pret plakni)

Divi P punkti 1 un P sauc par simetriskiem attiecībā pret plakni a, ja tie atrodas uz taisnas līnijas, kas ir perpendikulāra plaknei a un atrodas vienādā attālumā no tās

Spoguļa simetrija visiem labi zināms. Tas savieno jebkuru objektu un tā atspulgu plakans spogulis. Tiek uzskatīts, ka viena figūra ir spoguļsimetriska otrai.

Plaknē figūra ar bezgalīgu skaitu simetrijas asu bija aplis. Telpā bezgalīgi daudzām simetrijas plaknēm ir bumba.

Bet, ja aplis ir vienīgais šāda veida aplis, tad trīsdimensiju pasaulē ir vesela virkne ķermeņu, kuriem ir bezgalīgi daudz simetrijas plakņu: taisns cilindrs ar apli pie pamatnes, konuss ar apļveida pamatne, bumba.

Ir viegli konstatēt, ka katru simetriskas plaknes figūru var apvienot ar sevi ar spoguļa palīdzību. Pārsteidzoši, ka simetriskas ir arī tādas sarežģītas figūras kā piecstaru zvaigzne vai vienādmalu piecstūris. Kā izriet no asu skaita, tās izceļas ar augstu simetriju. Un otrādi: nav nemaz tik viegli saprast, kāpēc tāds šķietami pareiza figūra, kā slīps paralelograms, nav simetrisks.

4. P rotācijas simetrija (vai radiālā simetrija)

Rotācijas simetrija ir simetrija, kas saglabā objekta formukad griežas ap kādu asi leņķī, kas vienāds ar 360 ° /n(vai šīs vērtības reizinājums), kurn= 2, 3, 4, … Norādīto asi sauc par rotācijas asin-tais pasūtījums.

Plkstn=2 visi figūras punkti ir pagriezti par 180 leņķi 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) ap asi, kamēr tiek saglabāta figūras forma, t.i. katrs figūras punkts iet uz tās pašas figūras punktu (figūra tiek pārveidota par sevi). Asi sauc par otrās kārtas asi.

2. attēlā redzama trešās kārtas ass, 3. attēlā - 4. secība, 4. attēlā - 5. secība.

Objektam var būt vairāk nekā viena rotācijas asis: 1. att. - 3 rotācijas asis, 2. att. - 4 asis, 3. att. - 5 asis, att. 4 - tikai 1 ass

Labi zināmajiem burtiem "I" un "F" ir rotācijas simetrija. Ja pagriežat burtu "I" par 180 ° ap asi, kas ir perpendikulāra burta plaknei un iet caur tā centru, tad burts tiks izlīdzināts ar pati par sevi. Citiem vārdiem sakot, burts "I" ir simetrisks attiecībā pret rotāciju par 180°, 180°= 360°: 2,n=2, tāpēc tai ir otrās kārtas simetrija.

Ņemiet vērā, ka burtam "F" ir arī otrās kārtas rotācijas simetrija.

Turklāt burtam un ir simetrijas centrs, bet burtam Ф ir simetrijas ass

Atgriezīsimies pie piemēriem no dzīves: glāze, konusveida mārciņa saldējuma, stieples gabals, pīpe.

Ja aplūkosim šos ķermeņus tuvāk, mēs pamanīsim, ka tie visi tā vai citādi sastāv no apļa, caur kuru iet bezgalīgs skaits simetrijas asu. Lielākajai daļai šo ķermeņu (tos sauc par apgriezienu ķermeņiem), protams, ir arī simetrijas centrs (apļa centrs), caur kuru iet vismaz viena rotācijas simetrijas ass.

Piemēram, ir skaidri redzama saldējuma konusa ass. Tas iet no apļa vidus (izceļas no saldējuma!) līdz bailīgā konusa asajam galam. Ķermeņa simetrijas elementu kopu mēs uztveram kā sava veida simetrijas mēru. Bumba, bez šaubām, simetrijas ziņā ir nepārspējams pilnības iemiesojums, ideāls. Senie grieķi to uztvēra kā vispilnīgāko ķermeni, bet apli, protams, kā vispilnīgāko plakano figūru.

Lai aprakstītu konkrēta objekta simetriju, ir jānorāda visas rotācijas asis un to secība, kā arī visas simetrijas plaknes.

Apsveriet, piemēram, ģeometrisks ķermenis, kas sastāv no divām identiskām regulārām četrstūra piramīdām.

Tam ir viena ceturtās kārtas rotācijas ass (ass AB), četras otrās kārtas rotācijas asis (asis CE,D.F., MP, NQ), piecas simetrijas plaknes (plaknesCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Pārnēsājama simetrija

Cits simetrijas veids irpārnēsājams Ar simetrija.

Viņi runā par šādu simetriju, kad, kad figūra tiek pārvietota pa taisnu līniju uz noteiktu attālumu “a” vai attālumu, kas ir šīs vērtības daudzkārtnis, tā tiek apvienota ar sevi Taisni, pa kuru tiek veikta pārsūtīšana, sauc par pārneses asi, un attālumu "a" sauc par elementāro pārnesi, periodu vai simetrijas soli.

Periodiski atkārtojas raksts uz garas lentes tiek saukts par apmali. Praksē apmales sastopamas dažādos veidos (sienu krāsošana, čuguns, ģipša bareljefi vai keramika). Apmales izmanto gleznotāji un mākslinieki, dekorējot telpu. Lai veiktu šos rotājumus, tiek izgatavots trafarets. Pārvietojam trafaretu, apgriežot vai neapgriežot, uzzīmējam kontūru, atkārtojot rakstu, un iegūstam ornamentu (vizuāls demonstrējums).

Apmali ir viegli izveidot, izmantojot trafaretu (oriģinālo elementu), mainot vai apgriežot to un atkārtojot rakstu. Attēlā parādīti piecu veidu trafareti:a ) asimetrisks;b, c ) kam ir viena simetrijas ass: horizontāla vai vertikāla;G ) centrāli simetrisks;d ), kam ir divas simetrijas asis: vertikālā un horizontālā.

Lai izveidotu robežas, tiek izmantotas šādas transformācijas:

a ) paralēlā pārsūtīšana;b ) simetrija pret vertikālo asi;iekšā ) centrālā simetrija;G ) simetrija pret horizontālo asi.

Līdzīgi jūs varat izveidot kontaktligzdas. Šim nolūkam aplis ir sadalītsn vienādos sektoros, vienā no tiem tiek veikts parauga modelis un pēc tam pēdējais tiek secīgi atkārtots pārējās apļa daļās, katru reizi pagriežot modeli par 360 ° / leņķi.n .

Labs aksiālās un translācijas simetrijas izmantošanas piemērs ir fotoattēlā redzamais žogs.

Secinājums: Tātad tādi ir Dažādi simetrijas, simetriski punkti katrā no šiem simetrijas veidiem tiek veidoti saskaņā ar noteiktiem likumiem. Dzīvē mēs visur sastopamies ar vienu vai otru simetrijas veidu, un bieži vien objektos, kas mūs ieskauj, vienlaikus var atzīmēt vairākus simetrijas veidus. Tas rada kārtību, skaistumu un pilnību apkārtējā pasaulē.

LITERATŪRA:

Elementārās matemātikas rokasgrāmata. M.Ya. Vigodskis. - Izdevniecība "Zinātne". - Maskava 1971. – 416 lpp.

Mūsdienu vārdu krājums svešvārdi. - M.: Krievu valoda, 1993.

Matemātikas vēsture skolāIX - Xklases. G.I. Glāzers. - Izdevniecība "Apgaismība". - Maskava 1983 – 351 lpp.

Vizuālā ģeometrija 5 - 6 klases. I.F. Šarigins, L.N. Erganžijevs. - Izdevniecība "Drofa", Maskava, 2005. - 189 lpp.

Enciklopēdija bērniem. Bioloģija. S. Ismailova. – Izdevniecība “Avanta+”. - Maskava 1997 – 704 lpp.

Urmancevs Yu.A. Dabas simetrija un simetrijas būtība - M.: Doma arhitektūra / arhkomp2. htm, , en.wikipedia.org/wiki/

Kustības jēdziens

Vispirms apskatīsim tādu jēdzienu kā kustība.

1. definīcija

Plaknes kartēšanu sauc par plaknes kustību, ja kartēšana saglabā attālumus.

Ar šo koncepciju ir saistītas vairākas teorēmas.

2. teorēma

Trijstūris, pārvietojoties, pāriet vienādā trīsstūrī.

3. teorēma

Jebkura figūra, pārvietojoties, pārvēršas par tai līdzvērtīgu figūru.

Aksiālā un centrālā simetrija ir kustības piemēri. Apsvērsim tos sīkāk.

Aksiālā simetrija

2. definīcija

Tiek uzskatīts, ka punkti $A$ un $A_1$ ir simetriski attiecībā pret taisni $a$, ja šī taisne ir perpendikulāra nogrieznim $(AA)_1$ un iet caur tās centru (1. att.).

1. attēls.

Apsveriet aksiālo simetriju, izmantojot problēmu kā piemēru.

1. piemērs

Izveidojiet simetrisku trīsstūri dotajam trīsstūrim attiecībā pret jebkuru no tā malām.

Risinājums.

Dosim mums trīsstūri $ABC$. Mēs izveidosim tā simetriju attiecībā pret malu $BC$. Puse $BC$ aksiālās simetrijas gadījumā nonāks sevī (seko no definīcijas). Punkts $A$ dosies uz punktu $A_1$ šādi: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. Trijstūris $ABC$ pārvērtīsies par trijstūri $A_1BC$ (2. att.).

2. attēls.

3. definīcija

Figūru sauc par simetrisku attiecībā pret taisni $a$, ja katrs šīs figūras simetriskais punkts atrodas vienā un tajā pašā figūrā (3. att.).

3. attēls

Attēlā $3$ parādīts taisnstūris. Tam ir aksiālā simetrija attiecībā pret katru tā diametru, kā arī attiecībā uz divām taisnēm, kas iet caur dotā taisnstūra pretējo malu centriem.

Centrālā simetrija

4. definīcija

Tiek uzskatīts, ka punkti $X$ un $X_1$ ir simetriski attiecībā pret punktu $O$, ja punkts $O$ ir segmenta $(XX)_1$ centrs (4. att.).

4. attēls

Apskatīsim centrālo simetriju problēmas piemērā.

2. piemērs

Izveidojiet simetrisku trīsstūri dotajam trīsstūrim jebkurā no tā virsotnēm.

Risinājums.

Dosim mums trīsstūri $ABC$. Mēs izveidosim tā simetriju attiecībā pret virsotni $A$. Virsotne $A$ zem centrālās simetrijas nonāks sevī (seko no definīcijas). Punkts $B$ dosies uz punktu $B_1$ šādi $(BA=AB)_1$, un punkts $C$ uz punktu $C_1$ šādi: $(CA=AC)_1$. Trijstūris $ABC$ pāriet trijstūrī $(AB)_1C_1$ (5. att.).

5. attēls

5. definīcija

Figūra ir simetriska attiecībā pret punktu $O$, ja katrs šīs figūras simetriskais punkts atrodas vienā un tajā pašā figūrā (6. att.).

6. attēls

Attēlā $6 $ parādīts paralelograms. Tam ir centrālā simetrija attiecībā pret diagonāļu krustošanās punktu.

Uzdevuma piemērs.

3. piemērs

Piešķirsim segmentu $AB$. Konstruē tās simetriju attiecībā pret taisni $l$, kas nekrusto doto nogriezni, un pret punktu $C$, kas atrodas uz taisnes $l$.

Risinājums.

Shematiski attēlosim problēmas stāvokli.

7. attēls

Vispirms attēlosim aksiālo simetriju attiecībā pret taisni $l$. Tā kā aksiālā simetrija ir kustība, tad saskaņā ar teorēmu $1$ segments $AB$ tiks kartēts uz segmentu $A"B"$, kas ir vienāds ar to. Lai to izveidotu, mēs rīkojamies šādi: caur punktiem $A\ un\ B$ novelkam līnijas $m\ un\ n$, kas ir perpendikulāra taisnei $l$. Ļaujiet $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$. Pēc tam uzzīmējiet segmentus $A"X=AX$ un $B"Y=BY$.

8. attēls

Tagad attēlosim centrālo simetriju attiecībā pret punktu $C$. Tā kā centrālā simetrija ir kustība, tad saskaņā ar teorēmu $1$ segments $AB$ tiks kartēts uz segmentu $A""B""$, kas ir vienāds ar to. Lai to izveidotu, mēs veiksim sekojošo: zīmēsim līnijas $AC\ un\ BC$. Pēc tam uzzīmējiet segmentus $A^("")C=AC$ un $B^("")C=BC$.

9. attēls

Aksiālā simetrija un pilnības jēdziens

Aksiālā simetrija ir raksturīga visām dabas formām un ir viens no skaistuma pamatprincipiem. Kopš seniem laikiem cilvēks ir mēģinājis

izprast pilnības nozīmi. Pirmo reizi šo koncepciju pamatoja Senās Grieķijas mākslinieki, filozofi un matemātiķi. Un pašu vārdu "simetrija" radīja viņi. Tas apzīmē veseluma daļu proporcionalitāti, harmoniju un identitāti. Sengrieķu domātājs Platons apgalvoja, ka tikai simetrisks un samērīgs objekts var būt skaists. Un patiešām, tās parādības un formas, kurām ir proporcionalitāte un pilnīgums, ir “acij patīkamas”. Mēs tos saucam par pareiziem.

Aksiālā simetrija kā jēdziens

Simetrija dzīvo būtņu pasaulē izpaužas regulārā identisku ķermeņa daļu izvietojumā attiecībā pret centru vai asi. Biežāk iekšā

daba ir aksiāli simetriska. Tas nosaka ne tikai vispārējo organisma uzbūvi, bet arī tā turpmākās attīstības iespējas. Dzīvu būtņu ģeometriskās formas un proporcijas veido "aksiālā simetrija". Tā definīcija ir formulēta šādi: tā ir objektu īpašība, ko var apvienot dažādās transformācijās. Senie cilvēki uzskatīja, ka sfērai ir vislielākais simetrijas princips. Viņi uzskatīja šo formu par harmonisku un perfektu.

Aksiālā simetrija savvaļas dzīvniekiem

Ja paskatās uz jebkuru dzīvo radību, ķermeņa uzbūves simetrija uzreiz iekrīt acīs. Vīrietis: divas rokas, divas kājas, divas acis, divas ausis un tā tālāk. Katram dzīvnieku veidam ir raksturīga krāsa. Ja krāsojumā parādās raksts, tas parasti tiek atspoguļots abās pusēs. Tas nozīmē, ka ir līnija, pa kuru dzīvniekus un cilvēkus var vizuāli sadalīt divās identiskās daļās, tas ir, to ģeometriskā struktūra balstās uz aksiālo simetriju. Daba jebkuru dzīvo organismu rada nevis haotiski un bezjēdzīgi, bet pēc vispārējiem pasaules kārtības likumiem, jo Visumā nekam nav tīri estētiska, dekoratīva nolūka. Dažādu formu klātbūtne ir saistīta arī ar dabisku vajadzību.

Aksiālā simetrija nedzīvajā dabā