Lineāru viendabīgu vienādojumu sistēma un to atrisinājumi. Atrodiet sistēmas vispārīgo risinājumu un fsr

Dotās matricas

Atrodiet: 1) aA - bB,

Risinājums: 1) Mēs to atrodam secīgi, izmantojot matricas reizināšanas ar skaitli un matricu pievienošanas noteikumus.

2. Atrodiet A*B, ja

Risinājums: Mēs izmantojam matricas reizināšanas noteikumu

Atbilde:

3. Priekš dotā matrica atrodiet nepilngadīgo M 31 un aprēķiniet determinantu.

Risinājums: Minor M 31 ir matricas determinants, kas iegūts no A

pēc 3. rindiņas un 1. ailes izsvītrošanas. Atrodam

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Pārveidosim matricu A, nemainot tās determinantu (1. rindā izveidosim nulles)

Tagad mēs aprēķinām matricas A determinantu, izvēršot 1. rindu

Atbilde: M 31 = 0, detA = 0

Atrisiniet, izmantojot Gausa metodi un Krēmera metodi.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Risinājums: Pārbaudīsim

Jūs varat izmantot Cramer metodi

Sistēmas risinājums: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Pielietosim Gausa metodi.

Reducēsim sistēmas paplašināto matricu līdz trīsstūrveida formai.

Lai atvieglotu aprēķinu, apmainīsim rindas:

Reiziniet 2. rindiņu ar (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) un pievienojiet 3.:

Reiziniet pirmo rindiņu ar (k = -2 / 2 = -1 ) un pievienojiet 2.:

Tagad sākotnējo sistēmu var uzrakstīt šādi:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 — (6 x 3)

No 2. rindas izsakām

No 1. rindas izsakām

Risinājums ir vienāds.

Atbilde: (2; -5; 3)

Atrast kopīgs lēmums sistēmas un FSR

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Risinājums: pielietosim Gausa metodi. Reducēsim sistēmas paplašināto matricu līdz trīsstūrveida formai.

Reiziniet 1. rindiņu ar (-11). Reizināsim 2. rindu ar (13). Pievienosim 2. rindiņu pirmajai:

Reiziniet 2. rindiņu ar (-5). Reizināsim 3. rindu ar (11). Pievienosim 3. rindiņu otrajai:

Reiziniet 3. rindiņu ar (-7). Reizināsim 4. rindu ar (5). Pievienosim 4. rindiņu trešajai:

Otrais vienādojums ir citu lineāra kombinācija

Atradīsim matricas rangu.

Atlasītajam nepilngadīgajam ir augstākā secība (no iespējamiem nepilngadīgajiem) un tā nav nulle (tas ir vienāds ar reversās diagonāles elementu reizinājumu), tāpēc rangs(A) = 2.

Šī nepilngadīgā ir pamata. Tas ietver koeficientus nezināmajiem x 1 , x 2 , kas nozīmē, ka nezināmie x 1 , x 2 ir atkarīgi (pamata), un x 3 , x 4 , x 5 ir brīvi.

Sistēma ar šīs matricas koeficientiem ir līdzvērtīga oriģinālajai sistēmai, un tai ir šāda forma:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Izmantojot nezināmo novēršanas metodi, mēs atrodam kopīgs lēmums:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Mēs atrodam fundamentālu risinājumu sistēmu (FSD), kas sastāv no (n-r) risinājumiem. Mūsu gadījumā n = 5, r = 2, tāpēc pamatsistēma risinājumi sastāv no 3 risinājumiem, un šiem risinājumiem jābūt lineāri neatkarīgiem.

Lai rindas būtu lineāri neatkarīgas, ir nepieciešams un pietiekami, lai no rindas elementiem veidotās matricas rangs būtu vienāds ar rindu skaitu, tas ir, 3.

Pietiek dot brīvajiem nezināmajiem x 3 , x 4 , x 5 vērtības no 3. kārtas determinanta rindām, kas nav nulle, un aprēķināt x 1 , x 2 .

Vienkāršākais noteicošais faktors, kas nav nulle, ir identitātes matrica.

Bet šeit ir ērtāk ņemt

Mēs atrodam, izmantojot vispārējo risinājumu:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

FSR I lēmums: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR šķīdums: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

FSR III lēmums: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. Dots: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Atrast: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Risinājums: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Atbilde: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 - 0,3i

Lineāro vienādojumu sauc viendabīgs, ja tā brīvais loceklis ir vienāds ar nulli un citādi nehomogēns. Sistēmu, kas sastāv no viendabīgiem vienādojumiem, sauc par viendabīgu un tai ir vispārējā forma:

Ir skaidrs, ka katrs viendabīga sistēma ir konsekventa un tam ir nulles (triviāls) risinājums. Tāpēc attiecībā uz viendabīgām sistēmām lineārie vienādojumi nereti nākas meklēt atbildi uz jautājumu par nulles atrisinājumu esamību. Atbildi uz šo jautājumu var formulēt kā šādu teorēmu.

Teorēma . Viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai ir atrisinājums, kas nav vienāds ar nulli, tad un tikai tad, ja tā ir ranga mazāks skaitlis nezināms .

Pierādījums: Pieņemsim, ka sistēmai, kuras rangs ir vienāds, ir risinājums, kas nav nulle. Acīmredzot tas nepārsniedz. Gadījumā, ja sistēmai ir unikāls risinājums. Tā kā viendabīgu lineāru vienādojumu sistēmai vienmēr ir nulles risinājums, tad nulles risinājums būs šis unikālais risinājums. Tādējādi risinājumi, kas atšķiras no nulles, ir iespējami tikai .

Secinājums 1 : Viendabīgai vienādojumu sistēmai, kurā vienādojumu skaits ir mazāks par nezināmo skaitu, vienmēr ir atrisinājums, kas nav nulle.

Pierādījums: Ja vienādojumu sistēmai ir , tad sistēmas rangs nepārsniedz vienādojumu skaitu, t.i. . Tādējādi nosacījums ir izpildīts, un tāpēc sistēmai ir risinājums, kas atšķiras no nulles.

Secinājums 2 : Viendabīgai vienādojumu sistēmai ar nezināmajiem ir atrisinājums, kas nav vienāds ar nulli, tad un tikai tad, ja tās determinants ir nulle.

Pierādījums: Pieņemsim, ka lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmai, kuras matrica ar determinantu , ir atrisinājums, kas nav vienāds ar nulli. Tad saskaņā ar pārbaudīto teorēmu, un tas nozīmē, ka matrica ir vienskaitļa, t.i. .

Homogēna lineāra sistēma algebriskie vienādojumi .

M lineāro vienādojumu sistēmu ar n mainīgajiem sauc par lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmu, ja visi brīvie vārdi ir vienādi ar 0. Lineāru viendabīgu vienādojumu sistēma vienmēr ir konsekventa, jo tam vienmēr ir vismaz nulles risinājums. Lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmai ir nulles atrisinājums tad un tikai tad, ja tās mainīgo koeficientu matricas rangs ir mazāks par mainīgo skaitu, t.i. rangam A (n. Jebkura lineāra kombinācija

Lin sistēmu risinājumi. viendabīgs. ur-ii ir arī šīs sistēmas risinājums.

Lineāru neatkarīgu risinājumu e1, e2,...,еk sistēmu sauc par fundamentālu, ja katrs sistēmas risinājums ir lineāra risinājumu kombinācija. Teorēma: ja lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmas mainīgo koeficientu matricas rangs r ir mazāks par mainīgo skaitu n, tad katra sistēmas atrisinājumu fundamentālā sistēma sastāv no n-r risinājumi. Tāpēc lineārās sistēmas vispārējais risinājums. viena diena ur-th ir šāda forma: c1e1+c2e2+...+skek, kur e1, e2,..., ek ir jebkura pamata atrisinājumu sistēma, c1, c2,...,ck ir patvaļīgi skaitļi un k=n-r. M lineāro vienādojumu sistēmas ar n mainīgajiem vispārējais risinājums ir vienāds ar summu

tam atbilstošās sistēmas vispārējā risinājuma ir viendabīgs. lineāri vienādojumi un patvaļīgs konkrēts šīs sistēmas risinājums.

7. Lineārās telpas. Apakštelpas. Pamats, dimensija. Lineārs apvalks. Lineāro telpu sauc n-dimensiju, ja tā satur lineāri neatkarīgu vektoru sistēmu un jebkura sistēma ar lielāku vektoru skaitu ir lineāri atkarīga. Numurs tiek izsaukts dimensija (izmēru skaits) lineārā telpa un tiek apzīmēta ar . Citiem vārdiem sakot, telpas dimensija ir maksimālais šīs telpas lineāri neatkarīgo vektoru skaits. Ja šāds skaitlis pastāv, tad telpu sauc par galīgo dimensiju. Ja kādam dabiskais skaitlis n telpā ir sistēma, kas sastāv no lineāri neatkarīgiem vektoriem, tad šādu telpu sauc par bezgalīgu dimensiju (rakstīts: ). Turpmāk, ja nav norādīts citādi, tiks aplūkotas ierobežotas dimensijas telpas.

N-dimensiju lineārās telpas pamats ir sakārtota lineāri neatkarīgu vektoru kolekcija ( bāzes vektori).

8.1. teorēma par vektora izplešanos bāzes izteiksmē. Ja ir n-dimensiju lineāras telpas pamats, tad jebkuru vektoru var attēlot kā bāzes vektoru lineāru kombināciju:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+lv
un turklāt vienīgajā veidā, t.i. koeficienti tiek noteikti unikāli. Citiem vārdiem sakot, jebkuru telpas vektoru var izvērst par pamatu un turklāt unikālā veidā.

Patiešām, telpas dimensija ir. Vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga (tas ir pamats). Pēc jebkura vektora pievienošanas bāzei mēs iegūstam lineāri atkarīgu sistēmu (jo šī sistēma sastāv no n-dimensiju telpas vektoriem). Izmantojot 7 lineāri atkarīgu un lineāri neatkarīgu vektoru īpašību, iegūstam teorēmas secinājumu.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu (SLAE) risināšana neapšaubāmi ir vissvarīgākā tēma lineārās algebras kursā. Lieliska summa visu matemātikas nozaru uzdevumi tiek reducēti uz lineāro vienādojumu sistēmu risināšanu. Šie faktori izskaidro šī raksta iemeslu. Raksta materiāls ir atlasīts un strukturēts tā, lai ar tā palīdzību jūs varētu

• izvēlēties optimālo metodi lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas atrisināšanai,
• studēt izvēlētās metodes teoriju,
• atrisiniet savu lineāro vienādojumu sistēmu, apsverot detalizētus tipisku piemēru un problēmu risinājumus.

Īss raksta materiāla apraksts.

Pirmkārt, mēs sniedzam visas nepieciešamās definīcijas, jēdzienus un ieviešam apzīmējumus.

Tālāk apskatīsim metodes lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai, kurās vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu un kurām ir unikāls risinājums. Pirmkārt, mēs koncentrēsimies uz Cramer metodi, otrkārt, parādīsim matricas metodi šādu vienādojumu sistēmu risināšanai, treškārt, mēs analizēsim Gausa metodi (metode secīga likvidēšana nezināmi mainīgie). Lai nostiprinātu teoriju, mēs noteikti atrisināsim vairākus SLAE dažādos veidos.

Pēc tam pāriesim pie lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanas vispārīgās formas, kurās vienādojumu skaits nesakrīt ar nezināmo mainīgo skaitu vai sistēmas galvenā matrica ir vienskaitlī. Formulēsim Kronecker-Capelli teorēmu, kas ļauj noteikt SLAE saderību. Analizēsim sistēmu risinājumu (ja tās ir savietojamas), izmantojot koncepciju pamata nepilngadīgais matricas. Mēs arī apsvērsim Gausa metodi un detalizēti aprakstīsim piemēru risinājumus.

Noteikti pakavēsimies pie lineāro algebrisko vienādojumu viendabīgu un nehomogēnu sistēmu vispārīgā risinājuma struktūras. Sniegsim fundamentālas risinājumu sistēmas jēdzienu un parādīsim, kā tiek uzrakstīts SLAE vispārējais risinājums, izmantojot fundamentālās risinājumu sistēmas vektorus. Lai labāk izprastu, aplūkosim dažus piemērus.

Noslēgumā mēs aplūkosim vienādojumu sistēmas, kuras var reducēt uz lineāriem, kā arī dažādi uzdevumi, kuru risinājumā rodas SLAE.

Lapas navigācija.

Definīcijas, jēdzieni, apzīmējumi.

Apskatīsim p lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas ar n nezināmiem formas mainīgajiem (p var būt vienāds ar n)

Nezināmi mainīgie, - koeficienti (daži reāli vai kompleksi skaitļi), - brīvie termini (arī reālie vai kompleksie skaitļi).

Šo SLAE ierakstīšanas veidu sauc koordinēt.

IN matricas formašīs vienādojumu sistēmas rakstīšanai ir forma,
Kur - sistēmas galvenā matrica, - nezināmu mainīgo kolonnu matrica, - brīvo terminu kolonnu matrica.

Ja matricai A kā (n+1) kolonnu pievienojam brīvo terminu matricas kolonnu, iegūstam t.s. paplašināta matrica lineāro vienādojumu sistēmas. Parasti paplašināto matricu apzīmē ar burtu T, un brīvo terminu kolonnu no pārējām kolonnām atdala vertikāla līnija, tas ir,

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas atrisināšana To sauc par nezināmu mainīgo vērtību kopu, kas visus sistēmas vienādojumus pārvērš identitātēs. Matricas vienādojums noteiktām nezināmo mainīgo vērtībām arī kļūst par identitāti.

Ja vienādojumu sistēmai ir vismaz viens risinājums, tad to sauc locītavu.

Ja vienādojumu sistēmai nav atrisinājumu, tad to sauc nav locītavu.

Ja SLAE ir unikāls risinājums, tad to sauc noteikti; ja ir vairāki risinājumi, tad – nenoteikts.

Ja visu sistēmas vienādojumu brīvie termini ir vienādi ar nulli , tad sistēma tiek izsaukta viendabīgs, citādi - neviendabīgs.

Lineāro algebrisko vienādojumu elementāru sistēmu risināšana.

Ja sistēmas vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu un tās galvenās matricas determinants nav vienāds ar nulli, tad šādi SLAE tiks izsaukti elementāri. Šādām vienādojumu sistēmām ir unikāls risinājums, un homogēnas sistēmas gadījumā visi nezināmie mainīgie ir vienādi ar nulli.

Mēs sākām pētīt šādus SLAE vidusskola. Atrisinot tos, mēs paņēmām vienu vienādojumu, izteicām vienu nezināmu mainīgo ar citiem un aizstājām to atlikušajos vienādojumos, pēc tam paņēmām nākamo vienādojumu, izteicām nākamo nezināmo mainīgo un aizstājām to citos vienādojumos utt. Vai arī viņi izmantoja pievienošanas metodi, tas ir, viņi pievienoja divus vai vairākus vienādojumus, lai novērstu dažus nezināmus mainīgos. Mēs sīkāk nepakavēsimies pie šīm metodēm, jo ​​tās būtībā ir Gausa metodes modifikācijas.

Galvenās lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas metodes ir Krāmera metode, matricas metode un Gausa metode. Sakārtosim tos.

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana, izmantojot Krāmera metodi.

Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina lineāro algebrisko vienādojumu sistēma

kurā vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu un sistēmas galvenās matricas determinants atšķiras no nulles, tas ir, .

Ļaut būt sistēmas galvenās matricas determinants, un - matricu determinanti, kas iegūti no A ar aizstāšanu 1., 2., …, nth kolonnu attiecīgi uz brīvo dalībnieku kolonnu:

Izmantojot šo apzīmējumu, nezināmi mainīgie tiek aprēķināti, izmantojot Krāmera metodes formulas kā . Šādi tiek atrasts risinājums lineāro algebrisko vienādojumu sistēmai, izmantojot Krāmera metodi.

Piemērs.

Krāmera metode .

Risinājums.

Sistēmas galvenajai matricai ir forma . Aprēķināsim tā determinantu (ja nepieciešams, skatiet rakstu):

Tā kā sistēmas galvenās matricas determinants nav nulle, sistēmai ir unikāls risinājums, ko var atrast ar Krāmera metodi.

Sastādīsim un aprēķināsim nepieciešamos determinantus (determinantu iegūstam, matricas A pirmo kolonnu aizstājot ar brīvo terminu kolonnu, determinantu, otro kolonnu aizstājot ar brīvo terminu kolonnu un matricas A trešo kolonnu aizstājot ar brīvo terminu kolonnu) :

Nezināmu mainīgo atrašana, izmantojot formulas :

Atbilde:

Galvenais Krāmera metodes trūkums (ja to var saukt par trūkumu) ir determinantu aprēķināšanas sarežģītība, ja vienādojumu skaits sistēmā ir lielāks par trim.

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana ar matricas metodi (izmantojot apgriezto matricu).

Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma tiks dota matricas formā, kur matricas A izmērs ir n x n un tās determinants nav nulle.

Tā kā , matrica A ir invertējama, tas ir, pastāv apgrieztā matrica. Ja abas vienādības puses reizinām ar kreiso, iegūstam formulu nezināmu mainīgo matricas kolonnas atrašanai. Tādā veidā mēs ieguvām risinājumu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmai, izmantojot matricas metodi.

Piemērs.

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu matricas metode.

Risinājums.

Pārrakstīsim vienādojumu sistēmu matricas formā:

Jo

tad SLAE var atrisināt, izmantojot matricas metodi. Izmantojot apgrieztā matricašīs sistēmas risinājumu var atrast kā .

Konstruēsim apgriezto matricu, izmantojot matricu no matricas A elementu algebriskām pievienošanas (ja nepieciešams, skatiet rakstu):

Atliek aprēķināt nezināmo mainīgo matricu, reizinot apgriezto matricu uz bezmaksas dalībnieku matricas kolonnu (ja nepieciešams, skatiet rakstu):

Atbilde:

vai citā apzīmējumā x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Galvenā problēma, meklējot risinājumus lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām, izmantojot matricas metodi, ir apgrieztās matricas atrašanas sarežģītība, īpaši kvadrātveida matricas pasūtījums ir lielāks par trešo.

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana ar Gausa metodi.

Pieņemsim, ka mums jāatrod risinājums n lineāru vienādojumu sistēmai ar n nezināmiem mainīgajiem
kuras galvenās matricas determinants atšķiras no nulles.

Gausa metodes būtība sastāv no secīgas nezināmu mainīgo lielumu likvidēšanas: pirmkārt, x 1 tiek izslēgts no visiem sistēmas vienādojumiem, sākot no otrā, pēc tam x 2 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no trešā un tā tālāk, līdz paliek tikai nezināmais mainīgais x n pēdējā vienādojumā. Šo sistēmu vienādojumu pārveidošanas procesu, lai secīgi likvidētu nezināmus mainīgos, sauc tiešā Gausa metode. Pēc Gausa metodes virziena uz priekšu pabeigšanas no pēdējā vienādojuma tiek atrasts x n, izmantojot šo vērtību no priekšpēdējā vienādojuma, tiek aprēķināts x n-1 un tā tālāk, no pirmā vienādojuma tiek atrasts x 1. Nezināmu mainīgo aprēķina procesu, pārejot no pēdējā sistēmas vienādojuma uz pirmo, sauc apgriezta Gausa metode.

Īsi aprakstīsim nezināmo mainīgo likvidēšanas algoritmu.

Mēs pieņemsim, ka , jo mēs vienmēr varam to panākt, pārkārtojot sistēmas vienādojumus. Izslēgsim nezināmo mainīgo x 1 no visiem sistēmas vienādojumiem, sākot ar otro. Lai to izdarītu, sistēmas otrajam vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar , trešajam vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar , un tā tālāk, n-tajam vienādojumam pievienojam pirmo, kas reizināts ar . Pēc šādām transformācijām vienādojumu sistēma iegūs formu

kur un .

Mēs būtu nonākuši pie tāda paša rezultāta, ja mēs būtu izteikuši x 1 ar citiem nezināmiem mainīgajiem sistēmas pirmajā vienādojumā un aizvietojuši iegūto izteiksmi visos citos vienādojumos. Tādējādi mainīgais x 1 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no otrā.

Tālāk mēs rīkojamies līdzīgi, bet tikai ar daļu no iegūtās sistēmas, kas ir atzīmēta attēlā

Lai to izdarītu, sistēmas trešajam vienādojumam pievienojam otro, kas reizināts ar , ceturtajam vienādojumam pievienojam otro, reizinātu ar , un tā tālāk, n-tajam vienādojumam pievienojam otro, reizinātu ar . Vienādojumu sistēma pēc šādām transformācijām iegūs formu

kur un . Tādējādi mainīgais x 2 tiek izslēgts no visiem vienādojumiem, sākot no trešā.

Tālāk mēs pārejam pie nezināmā x 3 likvidēšanas, kamēr mēs rīkojamies līdzīgi ar attēlā atzīmēto sistēmas daļu

Tātad mēs turpinām tiešo Gausa metodes virzību, līdz sistēma iegūst formu

No šī brīža mēs sākam apgrieztu Gausa metodi: mēs aprēķinām x n no pēdējā vienādojuma kā , izmantojot iegūto x n vērtību, mēs atrodam x n-1 no priekšpēdējā vienādojuma un tā tālāk, mēs atrodam x 1 no pirmā vienādojuma. .

Piemērs.

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu Gausa metode.

Risinājums.

Izslēgsim nezināmo mainīgo x 1 no sistēmas otrā un trešā vienādojuma. Lai to izdarītu, abām otrā un trešā vienādojuma pusēm pievienojam atbilstošās pirmā vienādojuma daļas, kas reizinātas attiecīgi ar un ar:

Tagad mēs izslēdzam x 2 no trešā vienādojuma, tā kreisajai un labajai pusei pievienojot otrā vienādojuma kreiso un labo pusi, reizinot ar:

Tas pabeidz Gausa metodes virzienu uz priekšu, mēs sākam apgriezto gājienu.

No iegūtās vienādojumu sistēmas pēdējā vienādojuma mēs atrodam x 3:

No otrā vienādojuma iegūstam .

No pirmā vienādojuma mēs atrodam atlikušo nezināmo mainīgo un tādējādi pabeidzam Gausa metodes apvērsumu.

Atbilde:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Vispārīgas formas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšana.

Kopumā sistēmas p vienādojumu skaits nesakrīt ar nezināmo mainīgo skaitu n:

Šādiem SLAE var nebūt risinājumu, tiem var būt viens risinājums vai arī bezgalīgi daudz risinājumu. Šis apgalvojums attiecas arī uz vienādojumu sistēmām, kuru galvenā matrica ir kvadrātveida un vienskaitļa.

Kronekera-Kapella teorēma.

Pirms lineāro vienādojumu sistēmas risinājuma atrašanas ir jānosaka tās savietojamība. Atbildi uz jautājumu, kad SLAE ir saderīgs un kad tas nav konsekvents, sniedz Kronekera-Kapella teorēma:
Lai p vienādojumu sistēma ar n nezināmajiem (p var būt vienāds ar n) būtu konsekventa, ir nepieciešams un pietiekami, lai sistēmas galvenās matricas rangs būtu vienāds ar paplašinātās matricas rangu, tas ir, , Rank(A)=Rangs(T).

Kā piemēru aplūkosim Kronekera-Kapella teorēmas pielietojumu lineāro vienādojumu sistēmas saderības noteikšanai.

Piemērs.

Uzziniet, vai lineāro vienādojumu sistēmai ir risinājumus.

Risinājums.

. Izmantosim nepilngadīgo robežu metodi. Otrās kārtas nepilngadīgais atšķiras no nulles. Apskatīsim trešās kārtas nepilngadīgos, kas robežojas ar to:

Tā kā visi trešās kārtas blakus esošie nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, galvenās matricas rangs ir vienāds ar diviem.

Savukārt paplašinātās matricas rangs ir vienāds ar trīs, jo nepilngadīgais ir trešās kārtas

atšķiras no nulles.

Tādējādi Diapazons (A), tāpēc, izmantojot Kronecker-Capelli teorēmu, mēs varam secināt, ka sākotnējā lineāro vienādojumu sistēma ir nekonsekventa.

Atbilde:

Sistēmai nav risinājumu.

Tātad, mēs esam iemācījušies noteikt sistēmas nekonsekvenci, izmantojot Kronecker-Capelli teorēmu.

Bet kā rast risinājumu SLAE, ja tā saderība ir noteikta?

Lai to izdarītu, mums ir nepieciešams matricas pamata minora jēdziens un teorēma par matricas rangu.

Nepilngadīga augstākā pakāpe tiek saukta matrica A, kas atšķiras no nulles pamata.

No pamata minora definīcijas izriet, ka tā secība ir vienāda ar matricas rangu. Matricai A, kas atšķiras no nulles, vienmēr var būt viena pamata minora.

Piemēram, apsveriet matricu .

Visas šīs matricas trešās kārtas minorās ir vienādas ar nulli, jo šīs matricas trešās rindas elementi ir pirmās un otrās rindas atbilstošo elementu summa.

Tālāk norādītie otrās kārtas nepilngadīgie ir pamata, jo tie nav nulle

Nepilngadīgie nav pamata, jo tie ir vienādi ar nulli.

Matricas ranga teorēma.

Ja matricas pakāpes p pēc n rangs ir vienāds ar r, tad visi matricas rindu (un kolonnu) elementi, kas neveido izvēlēto bāzes minoritāti, tiek lineāri izteikti ar atbilstošo rindas (un kolonnas) elementu veidošanu. pamats minors.

Ko mums saka matricas ranga teorēma?

Ja saskaņā ar Kronekera–Kapella teorēmu esam konstatējuši sistēmas saderību, tad izvēlamies jebkuru sistēmas galvenās matricas pamata minoru (tā secība ir vienāda ar r) un izslēdzam no sistēmas visus vienādojumus, kas to dara. neveido izvēlēto pamatu minora. Šādā veidā iegūtais SLAE būs līdzvērtīgs sākotnējam, jo ​​izmestie vienādojumi joprojām ir lieki (saskaņā ar matricas rangu teorēmu tie ir atlikušo vienādojumu lineāra kombinācija).

Rezultātā pēc nevajadzīgo sistēmas vienādojumu atmešanas ir iespējami divi gadījumi.

Ja vienādojumu skaits r iegūtajā sistēmā ir vienāds ar nezināmo mainīgo skaitu, tad tas būs noteikts un vienīgo risinājumu var atrast ar Krāmera metodi, matricas metodi vai Gausa metodi.

Piemērs.

.

Risinājums.

Sistēmas galvenās matricas rangs ir vienāds ar divi, jo nepilngadīgais ir otrās kārtas atšķiras no nulles. Paplašinātās matricas rangs ir arī vienāds ar divi, jo vienīgā trešās kārtas nepilngadīgā ir nulle

un iepriekš aplūkotais otrās kārtas nepilngadīgais atšķiras no nulles. Pamatojoties uz Kronekera–Kapelli teorēmu, varam apgalvot sākotnējās lineāro vienādojumu sistēmas savietojamību, jo Rank(A)=Ranks(T)=2.

Par pamatu ņemam nepilngadīgo . To veido pirmā un otrā vienādojuma koeficienti:


Sistēmas trešais vienādojums nepiedalās pamata minora veidošanā, tāpēc mēs to izslēdzam no sistēmas, pamatojoties uz teorēmu par matricas rangu:


Tādā veidā mēs ieguvām elementāru lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu. Atrisināsim to, izmantojot Krāmera metodi:


Atbilde:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ja vienādojumu skaits r iegūtajā SLAE ir mazāks par nezināmo mainīgo skaitu n, tad vienādojumu kreisajā pusē terminus, kas veido pamatu, atstājam minorus, un atlikušos nosacījumus pārnesam uz sistēmas vienādojumi ar pretēju zīmi.

Tiek izsaukti nezināmie mainīgie (r no tiem), kas paliek vienādojumu kreisajā pusē galvenais.

Tiek saukti nezināmie mainīgie (ir n - r gabali), kas atrodas labajā pusē bezmaksas.

Tagad mēs uzskatām, ka brīvie nezināmie mainīgie var iegūt patvaļīgas vērtības, savukārt r galvenie nezināmie mainīgie tiks izteikti ar brīviem nezināmiem mainīgajiem unikālā veidā. To izteiksmi var atrast, atrisinot iegūto SLAE, izmantojot Cramer metodi, matricas metodi vai Gausa metodi.

Apskatīsim to ar piemēru.

Piemērs.

Atrisiniet lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu .

Risinājums.

Atradīsim sistēmas galvenās matricas rangu ar nepilngadīgo robežu metodi. Pieņemsim 1 1 = 1 kā pirmās kārtas minoru, kas nav nulle. Sāksim meklēt otrās kārtas minoru, kas nav nulle un kas robežojas ar šo minoru:


Tā atradām otrās kārtas nepilngadīgo, kas nav nulle. Sāksim meklēt trešās kārtas nepilngadīgo, kas robežojas ar nulli:


Tādējādi galvenās matricas rangs ir trīs. Paplašinātās matricas rangs ir arī vienāds ar trīs, tas ir, sistēma ir konsekventa.

Par pamatu ņemam atrasto trešās kārtas nepilngadīgo, kas nav nulle.

Skaidrības labad mēs parādām elementus, kas veido pamatu minora:


Sistēmas vienādojumu kreisajā pusē atstājam pamata minorā iesaistītos terminus, bet pārējos ar pretējām zīmēm pārnesam uz labajām pusēm:


Dosim brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem x 2 un x 5 patvaļīgas vērtības, tas ir, mēs pieņemam , kur ir patvaļīgi skaitļi. Šajā gadījumā SLAE būs forma


Atrisināsim iegūto lineāro algebrisko vienādojumu elementāro sistēmu, izmantojot Krāmera metodi:


Līdz ar to,.

Savā atbildē neaizmirstiet norādīt brīvos nezināmos mainīgos.

Atbilde:

Kur ir patvaļīgi skaitļi.

Apkopojiet.

Lai atrisinātu vispārīgo lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu, vispirms nosakām tās saderību, izmantojot Kronecker-Capelli teorēmu. Ja galvenās matricas rangs nav vienāds ar paplašinātās matricas rangu, mēs secinām, ka sistēma nav savietojama.

Ja galvenās matricas rangs ir vienāds ar paplašinātās matricas rangu, mēs izvēlamies pamata minoru un atmetam sistēmas vienādojumus, kas nepiedalās izvēlētās bāzes minora veidošanā.

Ja bāzes minora secība ir vienāda ar nezināmo mainīgo skaitu, tad SLAE ir unikāls risinājums, kuru var atrast ar jebkuru mums zināmu metodi.

Ja pamata minora secība ir mazāka par nezināmo mainīgo skaitu, tad sistēmas vienādojumu kreisajā pusē mēs atstājam terminus ar galvenajiem nezināmajiem mainīgajiem, atlikušos vārdus pārnesam uz labajām pusēm un piešķiram patvaļīgas vērtības brīvie nezināmie mainīgie. No iegūtās lineāro vienādojumu sistēmas mēs atrodam galvenos nezināmos mainīgos, izmantojot Cramer metodi, matricas metodi vai Gausa metodi.

Gausa metode vispārīgas formas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai.

Gausa metodi var izmantot, lai atrisinātu jebkura veida lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas, iepriekš nepārbaudot to konsekvenci. Nezināmo mainīgo secīgas likvidēšanas process ļauj izdarīt secinājumu gan par SLAE saderību, gan nesaderību, un, ja risinājums pastāv, tas ļauj to atrast.

No skaitļošanas viedokļa priekšroka dodama Gausa metodei.

Skaties Detalizēts apraksts un rakstā analizēti piemēri Gausa metodei vispārīgas formas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu risināšanai.

Vispārīga risinājuma rakstīšana viendabīgām un nehomogēnām lineārām algebriskām sistēmām, izmantojot fundamentālās risinājumu sistēmas vektorus.

Šajā sadaļā runāsim par vienlaicīgām viendabīgām un nehomogēnām lineāro algebrisko vienādojumu sistēmām, kurām ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Vispirms apskatīsim viendabīgas sistēmas.

Fundamentāla risinājumu sistēma homogēna p lineāru algebrisko vienādojumu sistēma ar n nezināmiem mainīgajiem ir (n – r) šīs sistēmas lineāri neatkarīgu risinājumu kopums, kur r ir sistēmas galvenās matricas pamatmolra secība.

Ja viendabīga SLAE lineāri neatkarīgus risinājumus apzīmējam kā X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ir kolonnu matricas ar izmēru n ar 1) , tad šīs viendabīgās sistēmas vispārējais risinājums tiek attēlots kā lineāra kombinācija no fundamentālās risinājumu sistēmas vektoriem ar patvaļīgu pastāvīgie koeficienti C 1, C 2, ..., C (n-r), tas ir, .

Ko nozīmē termins homogēnas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas vispārējs risinājums (oroslau)?

Nozīme ir vienkārša: formula nosaka visu iespējamie risinājumi sākotnējais SLAE, citiem vārdiem sakot, ņemot jebkuru patvaļīgu konstantu vērtību kopu C 1, C 2, ..., C (n-r), saskaņā ar formulu mēs iegūsim vienu no sākotnējās viendabīgās SLAE risinājumiem.

Tādējādi, ja mēs atrodam fundamentālu risinājumu sistēmu, tad visus šīs viendabīgās SLAE risinājumus varam definēt kā .

Parādīsim viendabīga SLAE fundamentālas risinājumu sistēmas konstruēšanas procesu.

Mēs izvēlamies sākotnējās lineāro vienādojumu sistēmas pamata minoru, izslēdzam no sistēmas visus pārējos vienādojumus un visus terminus, kas satur brīvus nezināmos mainīgos, pārnesam uz sistēmas vienādojumu labajām pusēm ar pretējām zīmēm. Dosim brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem vērtības 1,0,0,...,0 un aprēķināsim galvenos nezināmos, risinot iegūto elementāro lineāro vienādojumu sistēmu jebkādā veidā, piemēram, izmantojot Cramer metodi. Tā rezultātā tiks iegūts X (1) - pirmais pamatsistēmas risinājums. Ja brīvajiem nezināmajiem piešķiram vērtības 0,1,0,0,…,0 un aprēķinām galvenos nezināmos, iegūstam X (2) . Un tā tālāk. Ja brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem piešķiram vērtības 0.0,…,0.1 un aprēķinām galvenos nezināmos, iegūstam X (n-r) . Tādā veidā tiks izveidota viendabīga SLAE risinājumu fundamentāla sistēma un tās vispārīgo risinājumu var ierakstīt formā .

Lineāro algebrisko vienādojumu nehomogēnām sistēmām vispārējais risinājums tiek attēlots formā , kur ir atbilstošās viendabīgās sistēmas vispārējais risinājums, un tas ir sākotnējās nehomogēnās SLAE konkrētais risinājums, ko iegūstam, brīvajiem nezināmajiem piešķirot vērtības. ​0,0,...,0 un aprēķinot galveno nezināmo vērtības.

Apskatīsim piemērus.

Piemērs.

Atrodiet viendabīgas lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risinājumu pamatsistēmu un vispārīgo risinājumu .

Risinājums.

Viendabīgu lineāro vienādojumu sistēmu galvenās matricas rangs vienmēr ir vienāds ar paplašinātās matricas rangu. Atradīsim galvenās matricas rangu, izmantojot nepilngadīgo robežu metodi. Kā pirmās kārtas minoru, kas nav nulle, mēs ņemam sistēmas galvenās matricas elementu a 1 1 = 9. Atradīsim otrās kārtas malējo, kas robežojas ar nulli:

Atrasts otrās kārtas nepilngadīgais, kas atšķiras no nulles. Iziesim cauri trešās kārtas nepilngadīgajiem, kas robežojas ar to, meklējot vienu, kas nav nulle:

Visi trešās kārtas robežojošie nepilngadīgie ir vienādi ar nulli, tāpēc galvenās un paplašinātās matricas rangs ir vienāds ar diviem. Ņemsim. Skaidrības labad atzīmēsim sistēmas elementus, kas to veido:

Sākotnējā SLAE trešais vienādojums nepiedalās pamata minora veidošanā, tāpēc to var izslēgt:

Vienādojumu labajā pusē atstājam terminus, kas satur galvenos nezināmos, un labajā pusē pārnesam terminus ar brīvajiem nezināmajiem:

Izveidosim fundamentālu risinājumu sistēmu sākotnējai viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai. Šī SLAE pamata risinājumu sistēma sastāv no diviem risinājumiem, jo ​​sākotnējā SLAE ir četri nezināmi mainīgie, un tā bāzes minora secība ir vienāda ar diviem. Lai atrastu X (1), mēs piešķiram brīvajiem nezināmajiem mainīgajiem vērtības x 2 = 1, x 4 = 0, pēc tam atrodam galvenos nezināmos no vienādojumu sistēmas
.

Mēs turpināsim pieslīpēt mūsu tehnoloģiju elementāras pārvērtības ieslēgts viendabīga lineāro vienādojumu sistēma.
Pamatojoties uz pirmajām rindkopām, materiāls var šķist garlaicīgs un viduvējs, taču šis iespaids ir mānīgs. Papildus turpmākai tehnikas attīstībai būs daudz jaunas informācijas, tāpēc, lūdzu, mēģiniet neatstāt novārtā šajā rakstā sniegtos piemērus.

Kas ir viendabīga lineāro vienādojumu sistēma?

Atbilde liecina par sevi. Lineāro vienādojumu sistēma ir viendabīga, ja brīvais termins visi sistēmas vienādojums ir nulle. Piemēram:

Tas ir pilnīgi skaidrs viendabīga sistēma vienmēr ir konsekventa, tas ir, tam vienmēr ir risinājums. Un, pirmkārt, acīs krīt t.s triviāls risinājums . Triviāls, tiem, kas vispār nesaprot īpašības vārda nozīmi, nozīmē bez izrādīšanās. Ne jau akadēmiski, protams, bet saprotami =) ...Kāpēc sist pa krūmiem, noskaidrosim, vai šai sistēmai ir kādi citi risinājumi:

1. piemērs

Risinājums: lai atrisinātu viendabīgu sistēmu ir nepieciešams rakstīt sistēmas matrica un ar elementāru pārveidojumu palīdzību novest to pakāpeniskā formā. Lūdzu, ņemiet vērā, ka šeit nav jāpieraksta vertikālā josla un brīvo terminu nulles kolonna - galu galā neatkarīgi no tā, ko jūs darāt ar nullēm, tās paliks nulles:

(1) Pirmā rinda tika pievienota otrajai rindai, reizinot ar –2. Pirmā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizinot ar –3.

(2) Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizinot ar –1.

Trešo rindu dalīt ar 3 nav lielas jēgas.

Elementāru pārveidojumu rezultātā tiek iegūta līdzvērtīga viendabīga sistēma , un, izmantojot Gausa metodes apgriezto metodi, ir viegli pārbaudīt, vai risinājums ir unikāls.

Atbilde:

Formulēsim acīmredzamu kritēriju: viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai ir tikai triviāls risinājums, Ja sistēmas matricas rangs(šajā gadījumā 3) ir vienāds ar mainīgo skaitu (šajā gadījumā – 3 gab.).

Iesildīsimies un noskaņosim savu radio elementāru pārvērtību vilnim:

2. piemērs

Atrisiniet viendabīgu lineāro vienādojumu sistēmu

Lai beidzot konsolidētu algoritmu, analizēsim pēdējo uzdevumu:

7. piemērs

Atrisiniet viendabīgu sistēmu, uzrakstiet atbildi vektora formā.

Risinājums: pierakstīsim sistēmas matricu un, izmantojot elementāras transformācijas, izveidosim to pakāpeniskā formā:

(1) Mainīta pirmās rindas zīme. Vēlreiz vēršu uzmanību uz daudzkārt sastaptu paņēmienu, kas ļauj būtiski vienkāršot nākamo darbību.

(1) Pirmā rinda tika pievienota 2. un 3. rindai. Pirmā rinda, kas reizināta ar 2, tika pievienota 4. rindai.

(3) Pēdējās trīs rindas ir proporcionālas, divas no tām ir noņemtas.

Rezultātā tiek iegūta standarta soļu matrica, un risinājums turpinās pa rievoto sliežu ceļu:

– pamata mainīgie;
- brīvie mainīgie.

Izteiksim galvenos mainīgos kā brīvos mainīgos. No 2. vienādojuma:

- aizstāt 1. vienādojumu:

Tātad vispārējais risinājums ir:

Tā kā aplūkotajā piemērā ir trīs brīvi mainīgie, tad fundamentālajā sistēmā ir trīs vektori.

Aizstāsim trīskāršu vērtību vērtību vispārīgajā risinājumā un iegūstam vektoru, kura koordinātes apmierina katru homogēnās sistēmas vienādojumu. Un vēlreiz atkārtoju, ka ir ļoti ieteicams pārbaudīt katru saņemto vektoru - tas neaizņems daudz laika, bet tas pilnībā pasargās jūs no kļūdām.

Par vērtību trīskāršību atrast vektoru

Un visbeidzot par trim mēs iegūstam trešo vektoru:

Atbilde: , Kur

Tie, kas vēlas izvairīties no daļējām vērtībām, var apsvērt trīskāršus un saņemiet atbildi līdzvērtīgā formā:

Runājot par frakcijām. Apskatīsim uzdevumā iegūto matricu un jautāsim sev: vai ir iespējams vienkāršot tālāko risinājumu? Galu galā šeit mēs vispirms izteicām pamata mainīgo ar daļskaitļiem, pēc tam ar daļskaitļiem pamata mainīgo, un, jāsaka, šis process nebija tas vienkāršākais un ne patīkamākais.

Otrais risinājums:

Ideja ir mēģināt izvēlēties citus bāzes mainīgos. Apskatīsim matricu un trešajā kolonnā pamanīsim divus. Tātad, kāpēc augšpusē nav nulles? Veiksim vēl vienu elementāru transformāciju:

Ļaujiet M 0 – viendabīgas lineāro vienādojumu sistēmas (4) atrisinājumu kopa.

Definīcija 6.12. Vektori Ar 1 ,Ar 2 , …, ar p, kas ir viendabīgas lineāro vienādojumu sistēmas atrisinājumi sauc pamata risinājumu kopums(saīsināti FNR), ja

1) vektori Ar 1 ,Ar 2 , …, ar p lineāri neatkarīgi (t.i., nevienu no tiem nevar izteikt ar citiem);

2) jebkuru citu atrisinājumu viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai var izteikt ar atrisinājumiem Ar 1 ,Ar 2 , …, ar p.

Ņemiet vērā, ka, ja Ar 1 ,Ar 2 , …, ar p– jebkura f.n.r., tad izteiksme k 1× Ar 1 + k 2× Ar 2 + … + k p× ar p jūs varat aprakstīt visu komplektu M 0 risinājumi sistēmai (4), tāpēc to sauc vispārējs sistēmas risinājuma skatījums (4).

Teorēma 6.6. Jebkurai nenoteiktai viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai ir fundamentāls risinājumu kopums.

Veids, kā atrast pamata risinājumu kopu, ir šāds:

Atrast vispārīgu risinājumu homogēnai lineāro vienādojumu sistēmai;

Būvēt ( n – r) šīs sistēmas daļējie risinājumi, savukārt brīvo nezināmo vērtībām jāveido identitātes matrica;

Pierakstiet iekļautā risinājuma vispārējo formu M 0 .

Piemērs 6.5. Atrodiet pamata risinājumu kopumu šādai sistēmai:

Risinājums. Atradīsim vispārēju risinājumu šai sistēmai.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Šajā sistēmā ir pieci nezināmie ( n= 5), no kuriem ir divi galvenie nezināmie ( r= 2), ir trīs brīvi nezināmie ( n – r), tas ir, pamata risinājumu kopa satur trīs atrisinājuma vektorus. Veidosim tos. Mums ir x 1 un x 3 – galvenie nezināmie, x 2 , x 4 , x 5 – brīvie nezināmie

Brīvo nezināmo vērtības x 2 , x 4 , x 5 veido identitātes matricu E trešais pasūtījums. Saņēmu šos vektorus Ar 1 ,Ar 2 , Ar 3 veidlapa f.n.r. no šīs sistēmas. Tad šīs viendabīgās sistēmas risinājumu kopums būs M 0 = {k 1× Ar 1 + k 2× Ar 2 + k 3× Ar 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Tagad noskaidrosim homogēnas lineāro vienādojumu sistēmas nulles atrisinājumu pastāvēšanas nosacījumus, citiem vārdiem sakot, fundamentālas risinājumu kopas pastāvēšanas nosacījumus.

Viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai ir risinājumi, kas atšķiras no nulles, tas ir, nav skaidrs, vai

1) sistēmas galvenās matricas rangs ir mazāks par nezināmo skaitu;

2) viendabīgā lineāro vienādojumu sistēmā vienādojumu skaits ir mazāks par nezināmo skaitu;

3) ja viendabīgā lineāro vienādojumu sistēmā vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo skaitu un galvenās matricas determinants ir vienāds ar nulli (t.i. | A| = 0).

Piemērs 6.6. Pie kādas parametra vērtības a viendabīga lineāro vienādojumu sistēma ir risinājumi, kas atšķiras no nulles?

Risinājums. Sastādām šīs sistēmas galveno matricu un atradīsim tās determinantu: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Šīs matricas determinants ir vienāds ar nulli pie a = –4.

Atbilde: –4.

7. Aritmētika n-dimensiju vektoru telpa

Pamatjēdzieni

Iepriekšējās sadaļās mēs jau esam saskārušies ar jēdzienu reālo skaitļu kopa, kas sakārtota noteiktā secībā. Šī ir rindu matrica (vai kolonnu matrica) un risinājums lineāro vienādojumu sistēmai ar n nezināms. Šo informāciju var apkopot.

Definīcija 7.1. n-dimensiju aritmētiskais vektors sauc par pasūtītu komplektu n reāli skaitļi.

Līdzekļi A= (a 1 , a 2 , …, a n), kur iО R, i = 1, 2, …, n– vektora vispārīgs skats. Numurs n sauca dimensiju vektori un skaitļi a i tiek saukti par viņa koordinātas.

Piemēram: A= (1, –8, 7, 4, ) – piecdimensiju vektors.

Viss kārtībā n-dimensiju vektorus parasti apzīmē kā Rn.

Definīcija 7.2. Divi vektori A= (a 1 , a 2 , …, a n) Un b= (b 1 , b 2 , …, b n) vienādas dimensijas vienāds tad un tikai tad, ja to atbilstošās koordinātas ir vienādas, t.i., a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definīcija 7.3.Summa divi n-dimensiju vektori A= (a 1 , a 2 , …, a n) Un b= (b 1 , b 2 , …, b n) sauc par vektoru a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+ b n).

Definīcija 7.4. Darbs reāls skaitlis k uz vektoru A= (a 1 , a 2 , …, a n) sauc par vektoru k× A = (k×a 1, k×a 2, …, k×a n)

Definīcija 7.5. Vektors O= (0, 0, …, 0) tiek izsaukts nulle(vai nulles vektors).

Ir viegli pārbaudīt, vai vektoru pievienošanas un reizināšanas ar reālu skaitli darbībām (operācijām) ir šādas īpašības: " a, b, c Î Rn, " k, lО R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + O = a;

4) a+ (–a) = O;

5) 1 × a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Definīcija 7.6.ķekars Rn ar vektoru saskaitīšanas un reizināšanas ar uz tā doto reālo skaitli tiek izsauktas operācijas aritmētiskā n-dimensiju vektoru telpa.