Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля: смысл, способы решения. Вывод основных уравнений электродинамики
Группой дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, которым должен удовлетворять каждый из векторов поля отдельно, можно получить исключением остальных векторов. Для области поля, которая не содержит свободных зарядов и токов ($\overrightarrow{j}=0,\ \rho =0$) уравнения для векторов $\overrightarrow{B}$ и $\overrightarrow{E}$ имеют вид:
Уравнения (1) и (2) - это обычные уравнения волнового движения, которые обозначают, что световые волны распространяются в среде со скоростью ($v$) равной:
Примечание 1
Надо заметить, что понятие скорости электромагнитной волны имеет определенный смысл лишь в связи с волнами простого вида, например плоскими. Скорость $v$ не является скоростью распространения волны в случае произвольного решения уравнений (1) и (2), так как эти уравнения допускают решения в виде стоячих волн.
В любой волновой теории света элементарным процессом считают гармоническую волну в пространстве и времени. Если частота этой волны лежит в интервале $4\cdot {10}^{-14}\frac{1}{c}\le \nu \le 7,5\cdot {10}^{-14}\frac{1}{c}$, такая волна вызывает у человека физиологическое ощущение определенного цвета.
Для прозрачных веществ диэлектрическая проницаемость $\varepsilon $ обычно больше единицы, магнитная проницаемость среды $\mu $ почти равна единице, получается, в соответствии с уравнением (3) скорость $v$ меньше скорости света в вакууме. Что было впервые экспериментально показано для случая распространения света в воде учеными Фуко и Физо .
Обычно определяют не саму величину скорости ($v$), а отношение $\frac{v}{c}$, для чего пользуются законом преломления . В соответствии с данным законом при падении плоской электромагнитной волны на плоскую границу, которая разделяет две однородные среды, отношение синуса угла ${\theta }_1$ падения к синусу угла преломления ${\theta }_2$ (рис.1) постоянно и равно отношению скоростей распространения волн в двух средах ($v_1\ и{\ v}_2$):
Значение постоянного отношения выражения (4) обычно обозначают как $n_{12}$. Говорят, что $n_{12}$ -- относительный показатель преломления второго вещества по отношению к первому, который испытывает волновой фронт (волна) при прохождении из первой среды во вторую.
Рисунок 1.
Определение 1
Абсолютным показателем преломления (просто показателем преломления) среды $n$ называют показатель преломления вещества по отношению к вакууму:
Вещество, имеющее больший показатель преломления является оптически более плотным. Относительный показатель преломления двух веществ ($n_{12}$) связан с их абсолютными показателями ($n_1,n_2$) как:
Формула Максвелла
Определение 2
Максвелл получил, что показатель преломления среды зависит от ее диэлектрических и магнитных свойств. Если в формулу(5) подставить выражение для скорости распространения света из уравнения (3), то мы получим:
\ \
Выражение (7) называется формулой Максвелла . Для большинства немагнитных прозрачных веществ, которые рассматриваются в оптике магнитная проницаемость вещества приблизительно можно считать равной единице, поэтому часто равенство (7) применяют в виде:
Часто предполагается, что $\varepsilon $ является постоянной величиной. Однако нам хорошо известны опыты Ньютона с призмой по разложению света, в результате этих экспериментов становится очевидным, что показатель преломления зависит от частоты света. Следовательно, если считать, что формула Максвелла справедлива, то следует признать, что диэлектрическая проницаемость вещества зависит от частоты поля. Связь $\varepsilon $ с частотой поля можно объяснить только в том случае, если принять во внимание атомное строение вещества.
Однако надо сказать, что формула Максвелла с постоянной диэлектрической проницаемостью вещества, в некоторых случаях может быть использована как хорошее приближение. Примером могут служить газы с простой химической структурой, в которых нет существенной дисперсии света, что означает, слабую зависимость оптических свойств от цвета. Формула (8), также хорошо работает для жидких углеводородов. С другой стороны, у большинства твердых тел, например у стекол, и большой части жидкостей наблюдается сильное отклонение от формулы (8), если считать $\varepsilon $ постоянной.
Пример 1
Задание: Какова концентрация свободных электронов в ионосфере, если известно, что для радиоволн с частотой $\nu$ показатель ее преломления равен $n$.
Решение:
За основу решения задачи возьмем формулу Максвелла:
\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac{P}{{\varepsilon }_0E}\left(1.2\right),\]
где $\varkappa $ -- диэлектрическая восприимчивость, P - мгновенное значение поляризованности. Из (1.1) и (1.2) следует, что:
В том случае, если концентрация атомов в ионосфере равна $n_0,$ то мгновенное значение поляризованности равно:
Из выражений (1.3) и (1.4) имеем:
где $\omega $ -- циклическая частота. Уравнение вынужденных колебаний электрона без учета силы сопротивления можно записать как:
\[\ddot{x}+{{\omega }_0}^2x=\frac{q_eE_0}{m_e}cos\omega t\left(1.7\right),\]
где $m_e$ -- масса электрона, $q_e$ -- заряд электрона. Решением уравнения (1.7) служит выражение:
\ \
Нам известна частота радиоволн, следовательно, можно найти циклическую частоту:
\[\omega =2\pi \nu \left(1.10\right).\]
Подставим в (1.5) правую часть выражения (1.9) вместо $x_{max}$ и используем (1.10), получим:
Ответ: $n_0=\frac{E_0m_e4\pi ^2\nu ^2}{{q_e}^2}\left(1-n^2\right).$
Пример 2
Задание: Объясните, почему формула Максвелла противоречит некоторым экспериментальным данным.
Решение:
Из классической электромагнитной теории Максвелла следует, что показатель преломления среды можно выразить как:
где в оптической области спектра для большинства веществ можно считать, что $\mu \approx 1$. Получается, что показатель преломления для вещества должен быть постоянной величиной, так как $\varepsilon $ -- диэлектрическая проницаемость среды постоянна. Тогда как эксперимент показывает, что показатель преломления зависит от частоты. Трудности, которые возникли перед теорией Максвелла в данном вопросе, устраняет электронная теория Лоренца. Лоренц рассматривал дисперсию света как результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами, которые входят в состав вещества и совершают вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны света. Используя свою гипотезу, Лоренц получил формулу, связывающую показатель преломления с частотой электромагнитной волны (см. пример 1).
Ответ: Проблема теории Максвелла в том, что она является макроскопической и не рассматривает структуру вещества.
В электродинамике – это как законы Ньютона в классической механике или как постулаты Эйнштейна в теории относительности. Фундаментальные уравнения, в сущности которых мы сегодня будем разбираться, чтобы не впадать в ступор от одного их упоминания.
Полезная и интересная информация по другим темам – у нас в телеграм .
Уравнения Максвелла – это система уравнений в дифференциальной или интегральной форме, описывающая любые электромагнитные поля, связь между токами и электрическими зарядами в любых средах.
Неохотно принимались и критически воспринимались учеными-современниками Максвелла. Все потому, что эти уравнения не были похожи ни на что из известного людям ранее.
Тем не менее, и по сей день нет никаких сомнений в правильности уравнений Максвелла, они «работают» не только в привычном нам макромире, но и в области квантовой механики.
Уравнения Максвелла совершили настоящий переворот в восприятии людьми научной картины мира. Так, они предвосхитили открытие радиоволн и показали, что свет имеет электромагнитную природу.
Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на .
По порядку запишем и поясним все 4 уравнения. Сразу уточним, что записывать их будем в системе СИ.
Современный вид первого уравнения Максвелла таков:
Тут нужно пояснить, что такое дивергенция. Дивергенция – это дифференциальный оператор, определяющий поток какого-то поля через определенную поверхность. Уместным будет сравнение с краном или с трубой. Например, чем больше диаметр носика крана и напор в трубе, тем большим будет поток воды через поверхность, которую представляет собой носик.
В первом уравнении Максвелла E – это векторное электрическое поле, а греческая буква «ро » – суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности.
Так вот, поток электрического поля E через любую замкнутую поверхность зависит от суммарного заряда внутри этой поверхности. Данное уравнение представляет собой закон (теорему) Гаусса .
Третье уравнение Максвелла
Сейчас мы пропустим второе уравнение, так как третье уравнение Максвелла – это тоже закон Гаусса , только уже не для электрического поля, но для магнитного.
Оно имеет вид:
Что это значит? Поток магнитного поля через замкнутую поверхность равен нулю. Если электрические заряды (положительные и отрицательные) вполне могут существовать по отдельности, порождая вокруг себя электрическое поле, то магнитных зарядов в природе просто не существует.
Второе уравнение Максвелла представляет собой ни что иное, как закон Фарадея . Его вид:
Ротор электрического поля (интеграл через замкнутую поверхность) равен скорости изменения магнитного потока, пронизывающего эту поверхность. Чтобы лучше понять, возьмем воду в ванной, которая сливается через отверстие. Вокруг отверстия образуется воронка. Ротор – это сумма (интеграл) векторов скоростей частиц воды, которые вращаются вокруг отверстия.
Как Вы помните, на основе закона Фарадея работают электродвигатели: вращающийся магнит порождает ток в катушке.
Четвертое - самое важное из всех уравнений Максвелла. Именно в нем ученый ввел понятие тока смещения .
Это уравнение еще называется теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции. Оно говорит нам о том, что электрический ток и изменение электрического поля порождают вихревое магнитное поле.
Приведем теперь всю систему уравнений и кратко обозначим суть каждого из них:
Первое уравнение: электрический заряд порождает электрическое поле
Второе уравнение: изменяющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле
Третье уравнение: магнитных зарядов не существует
Четвертое уравнение: электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле
Решая уравнения Максвелла для свободной электромагнитной волны, мы получим следующую картину ее распространения в пространстве:
Надеемся, эта статья поможет систематизировать знания об уравнениях Максвелла. А если понадобиться решить задачу по электродинамике с применением этих уравнений, можете смело обратиться за помощью в студенческий сервис . Подробное объяснение любого задания и отличная оценка гарантированы.
Любой колебательный контур излучает энергию. Изменяющееся электрическое поле возбуждает в окружающем пространстве переменное магнитное поле, и наоборот. Математические уравнения, описывающие связь магнитного и электрического полей, были выведены Максвеллом и носят его имя. Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме для случая, когда отсутствуют электрические заряды () и токи (j = 0 ):
Величины и - электрическая и магнитная постоянные, соответственно, которые связаны со скоростью света в вакууме соотношением
Постоянные и характеризуют электрические и магнитные свойства среды, которую мы будем считать однородной и изотропной.
В отсутствие зарядов и токов невозможно существование статических электрического и магнитного полей. Однако переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле, и наоборот, переменное магнитное поле создает электрическое поле. Поэтому имеются решения уравнений Максвелла в вакууме, в отсутствие зарядов и токов, где электрические и магнитные поля оказываются неразрывно связанными друг с другом. В теории Максвелла впервые были объединены два фундаментальных взаимодействия, ранее считавшихся независимыми. Поэтому мы говорим теперь об электромагнитном поле .
Колебательный процесс в контуре сопровождается изменением окружающего его поля. Изменения, происходящие в окружающем пространстве, распространяются от точки к точке с определенной скоростью, то есть колебательный контур излучает в окружающее его пространство энергию электромагнитного поля.
При строго гармоническом изменении во времени векторов и электромагнитная волна называется монохроматической.
Получим из уравнений Максвелла волновые уравнения для векторов и .
Волновое уравнение для электромагнитных волн
Как уже отмечалось в предыдущей части курса, ротор (rot) и дивергенция (div) - это некоторые операции дифференцирования, производимые по определенным правилам над векторами. Ниже мы познакомимся с ними поближе.
Возьмем ротор от обеих частей уравнения
При этом воспользуемся доказываемой в курсе математики формулой:
где - введенный выше лапласиан. Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу другого уравнения Максвелла:
Получаем в итоге:
Выразим rotB через электрическое поле с помощью уравнения Максвелла:
и используем это выражение в правой части (2.93). В результате приходим к уравнению:
Учитывая связь
и вводя показатель преломления среды
запишем уравнение для вектора напряженности электрического поля в виде:
Сравнивая с (2.69), убеждаемся, что мы получили волновое уравнение, где v - фазовая скорость света в среде :
Взяв ротор от обеих частей уравнения Максвелла
и действуя аналогичным образом, придем к волновому уравнению для магнитного поля:
Полученные волновые уравнения для и означают, что электромагнитное поле может существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна
В отсутствие среды (при ) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в вакууме.
Основные свойства электромагнитных волн
Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х:
Возможность существования таких решений следует из полученных волновых уравнений. Однако напряженности электрического и магнитного полей не являются независимыми друг от друга. Связь между ними можно установить, подставляя решения (2.99) в уравнения Максвелла. Дифференциальную операцию rot , применяемую к некоторому векторному полю А можно символически записать как детерминант:
Подставляя сюда выражения (2.99), зависящие только от координаты x , находим:
Дифференцирование плоских волн по времени дает:
Тогда из уравнений Максвелла следует:
Отсюда следует, во-первых, что электрическое и магнитное поля колеблются в фазе:
Иными словами и в изотропной среде,
Тогда можно выбрать координатные оси так, чтобы вектор был направлен вдоль оси у (рис. 2.27):
Рис. 2.27. Колебания электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне
В этом случае уравнения (2.103) приобретают вид:
Отсюда следует, что вектор направлен вдоль оси z:
Иначе говоря, векторы электрического и магнитного поля ортогональны друг другу и оба - направлению распространения волны. С учетом этого факта уравнения (2.104) еще более упрощаются:
Отсюда вытекает обычная связь волнового вектора, частоты и скорости:
а также связь амплитуд колебаний полей:
Отметим, что связь (2.107) имеет место не только для максимальных значений (амплитуд) модулей векторов напряженности электрического и магнитного поля волны, но и для текущих - в любой момент времени.
Итак, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны распространяются в вакууме со скоростью света. В свое время этот вывод произвел огромное впечатление. Стало ясно, что не только электричество и магнетизм являются разными проявлениями одного и того же взаимодействия. Все световые явления, оптика, также стали предметом теории электромагнетизма. Различия в восприятии человеком электромагнитных волн связаны с их частотой или длиной волны.
Шкала электромагнитных волн представляет собой непрерывную последовательность частот (и длин волн) электромагнитного излучения. Теория электромагнитных волн Максвелла позволяет установить, что в природе существуют электромагнитные волны различных длин, образованные различными вибраторами (источниками). В зависимости от способов получения электромагнитных волн их разделяют на несколько диапазонов частот (или длин волн).
На рис. 2.28 представлена шкала электромагнитных волн.
Рис. 2.28. Шкала электромагнитных волн
Видно, что диапазоны волн различных типов перекрывают друг друга. Следовательно, волны таких длин можно получить различными способами. Принципиальных различий между ними нет, поскольку все они являются электромагнитными волнами, порожденными колеблющимися заряженными частицами.
Уравнения Максвелла приводят также к выводу о поперечности электромагнитных волн в вакууме (и в изотропной среде): векторы напряженности электрического и магнитного полей ортогональны друг другу и направлению распространения волны.
Дополнительная информация
http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Волновое уравнение. Материал из Физической Энциклопедии.
http://fvl.fizteh.ru/courses/ovchinkin3/ovchinkin3-10.html – Уравнения Максвелла. Видеолекции.
http://elementy.ru/trefil/24 – Уравнения Максвелла. Материал из «Элементов».
http://nuclphys.sinp.msu.ru/enc/e092.htm – Очень кратко об уравнениях Максвелла.
http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Уравнения Максвелла и их физический смысл.
http://principact.ru/content/view/188/115/ – Кратко об уравнениях максвелла для электромагнитного поля.
Эффект Доплера для электромагнитных волн
Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К распространяется плоская электромагнитная волна. Фаза волны имеет вид:
Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчета К" , движущейся относительно первой со скоростью V вдоль оси x , также наблюдает эту волну, но пользуется другими координатами и временем: t", r". Связь между системами отсчета дается преобразованиями Лоренца:
Подставим эти выражения в выражение для фазы , чтобы получить фазу волны в движущейся системе отсчета:
Это выражение можно записать как
где и - циклическая частота и волновой вектор относительно движущейся системы отсчета. Сравнивая с (2.110), находим преобразования Лоренца для частоты и волнового вектора:
Для электромагнитной волны в вакууме
Пусть направление распространения волны составляет в первой системе отсчета угол с осью х:
Тогда выражение для частоты волны в движущейся системе отсчета принимает вид:
Это и есть формула Доплера для электромагнитных волн .
Если , то наблюдатель удаляется от источника излучения и воспринимаемая им частота волны уменьшается:
Если , то наблюдатель приближается к источнику и частота излучения для него увеличивается:
При скоростях V << с можно пренебречь отклонением квадратного корня в знаменателях от единицы, и мы приходим к формулам, аналогичным формулам (2.85) для эффекта Доплера в звуковой волне.
Отметим существенную особенность эффекта Доплера для электромагнитной волны. Скорость движущейся системы отсчета играет здесь роль относительной скорости наблюдателя и источника. Полученные формулы автоматически удовлетворяют принципу относительности Эйнштейна, и с помощью экспериментов невозможно установить, что именно движется - источник или наблюдатель. Это связано с тем, что для электромагнитных волн отсутствует среда (эфир), которая играла бы ту же роль, что и воздух для звуковой волны.
Заметим также, что для электромагнитных волн имеет место поперечный эффект Доплера . При частота излучения изменяется:
в то время как для звуковых волн движение в направлении, ортогональном распространению волны, не приводило к сдвигу частот. Этот эффект прямо связан с релятивистским замедлением времени в движущейся системе отсчета: наблюдатель на ракете видит увеличение частоты излучения или, в общем случае, ускорение всех процессов, происходящих на Земле.
Найдем теперь фазовую скорость волны
в движущейся системе отсчета. Имеем из преобразований Лоренца для волнового вектора:
Подставим сюда соотношение:
Получаем:
Отсюда находим скорость волны в движущейся системе отсчета:
Мы обнаружили, что скорость волны в движущейся системе отсчета не изменилась и по-прежнему равна скорости света с . Отметим всё же, что, при корректных выкладках, это не могло не получиться, так как инвариантность скорости света (электромагнитных волн) в вакууме есть основной постулат теории относительности уже «заложенный» в использованные нами преобразования Лоренца для координат и времени (3.109).
Пример 1. Фотонная ракета движется со скоростью V = 0.9 с , держа курс на звезду, наблюдавшуюся с Земли в оптическом диапазоне (длина волны мкм ). Найдем длину волны излучения, которую будут наблюдать космонавты.
Длина волны обратно пропорциональна частоте колебаний. Из формулы (2.115) для эффекта Доплера в случае сближения источника света и наблюдателя находим закон преобразования длин волн:
откуда следует результат:
По рис. 2.28 определяем, что для космонавтов излучение звезды сместилось в ультрафиолетовый диапазон.
Энергия и импульс электромагнитного поля
Объемная плотность энергии w электромагнитной волны складывается из объемных плотностей электрического и магнитного полей.
В основе теории Максвелла лежат рассмотренные четыре уравнения:
1. Электрическое поле может быть как потенциальным (e q), так и вихревым (Е B), поэтому напряженность суммарного поля Е =Е Q +Е B . Так как циркуляция вектора e q равна нулю, а циркуляция вектора Е B определяется выражением, то циркуляция вектора напряженности суммарного поляЭто уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и меняющиеся во времени магнитные поля.
2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н : Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами, либо переменными электрическими полями.
3. Теорема Гаусса для поля D : Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью, то формула запишется в виде
4. Теорема Гаусса для поля В: Итак,полная система уравнений Максвелла в интегральной форме: Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь:D = 0 E , В= 0 Н, j =E , где 0 и 0 - соответственно электрическая и магнитная постоянные, и - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, - удельная проводимость вещества.
Для стационарных полей (Е= const и В =const) уравнения Максвелла примут вид т. е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, источниками магнитного - только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.
Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса можно представитьполную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме :
Уравнения Максвелла - наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом - они образуют единое электромагнитное поле.
66. Дифференциальное уравнение электромагнитной волны. Плоские электромагнитные волны.
Для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа:
-оператор Лапласа.
Т.е. электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением (1) v - фазовая скорость, где с= 1/ 0 0 , 0 и 0 - соответственно электрическая и магнитная постоянные, и - соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.
В вакууме (при =1 и =1) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как > 1, то скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.
При вычислении скорости распространения электромагнитного поля по формуле (1) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с экспериментальными данными, если учитывать зависимость и , от частоты. Совпадение же размерного коэффициента в со скоростью распространения света в вакууме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электромагнитные волны.
Следствием теории Максвелла является поперечность электромагнитных волн: векторыЕ и Н напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (рис. 227) и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору v скорости распространения волны, причем векторы Е , Н и v образуют правовинтовую систему. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы Е и Н всегда колеблются в одинаковых фазах (см. рис. 227), причем мгновенные значения £ и Я в любой точке связаны соотношением 0 = 0 Н. (2)
Этим уравнениям удовлетворяют, в частности, плоскиемонохроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями Е у =Е 0 cos(t-kx+), (3) H z = H 0 cos (t-kx+), (4), где е 0 и Н 0 - соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны, - круговая частота волны, k=/v- волновое число, - начальные фазы колебаний в точках с координатой х= 0. В уравнениях (3) и (4) одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой.
(конспектируем курсив)
1. Ток смещения
2. Система уравнений Максвелла
3. ЭМ волны и их характеристики
4. Получение ЭМ волн – опыты Герца
5. Применение ЭМ волн
1. В реальной жизни не существует отдельно электрического и магнитного полей, есть единое электромагнитное поле.
Теория электромагнитного поля, начала которой заложил Фарадей, математически была завершена Максвеллом. Важной выдвинутой Максвеллом идеей, была мысль о симметрии во взаимозависимости электрического и магнитного полей. А именно, поскольку меняющееся во времени магнитное поле (dB/dt) создает электрическое поле, следует ожидать, что меняющееся во времени электрическое поле (dE/dt) создает магнитное поле.
Согласно теореме о циркуляции вектора Н
Применим эту теорему к случаю, когда предварительно заряженный плоский конденсатор разряжается через некоторое внешнее сопротивление (рис. а).
В качестве контура Г возьмем кривую, охватывающую провод. На контур Г можно натянуть разные поверхности, например S и S".Обе поверхности имеют «равные права», однако через поверхность S течет ток I, а через поверхность S" нет тока. Поверхность S" «пронизывает» только электрическое поле. По теореме Гаусса поток вектора D сквозь замкнутую поверхность
D dS = q
Согласно определения плотности тока имеем
Сложим левые и правые части уравнений, получим
Из уравнения видно, что кроме плотности тока проводимости j имеется еще одно слагаемое dD/dt,размерность которого равна размерности плотности тока.
Максвелл назвал это слагаемое плотностью тока смещения:
J см = dD/dt.
Сумму же тока проводимости и тока смещения называют полным током.
Линии полного тока являются непрерывными в отличие от линий тока проводимости. Токи проводимости, если они не замкнуты, замыкаются токами смещения.
Следует иметь в виду, что ток смещения эквивалентен току проводимости только в отношении способности создавать магнитное поле.
Токи смещения существуют лишь там, где меняется со временем электрическое поле. В сущности он сам является переменным электрическим полем.
Открытие Максвеллом тока смещения - чисто теоретическое открытие, причем первостепенной важности.
2. С введением тока смещения макроскопическая теория электромагнитного поля была завершена. Открытие тока смещения ( dD/dt) позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Теория Максвелла не только объяснила все разрозненные явления электричества и магнетизма, но и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии.
В основе электромагнитной теории Максвелла лежат четыре фундаментальных уравнений электродинамики, называемые уравнениями Максвелла.
Эти уравнения в сжатой форме выражают всю совокупность наших сведений об электромагнитном поле.
1. Циркуляция вектора Е по любому замкнутому контуру равна со знаком минус производной по времени от магнитного потока через любую поверхность, ограниченную данным контуром. При этом под Е понимается не только вихревое электрическое поле, но и электростатическое.
2. Поток вектора В сквозь произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю.
3. Циркуляция вектора Н по любому замкнутому контуру равна полному току (току проводимости и току смещения) через произвольную поверхность, ограниченную данным контуром.
4. Поток вектора D сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью.
Из уравнений Максвелла для циркуляции векторов Е и Н следует, что электрическое и магнитное поля нельзя рассматривать как независимые: изменение во времени одного из этих полей приводит к появлению другого. Поэтому имеет смысл лишь совокупность этих полей, описывающая единое электромагнитное поле.
Эти уравнения говорят о том, что электрическое поле может возникнуть по двум причинам. Во-первых, его источником являются электрические заряды, как сторонние, так и связанные. Во-вторых, поле Е образуется всегда, когда меняется во времени магнитное поле.
Эти же уравнения говорят о том, что магнитное поле В может возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями, либо тем и другим одновременно. Никаких источников магнитного поля, подобных электрическим зарядам, в природе не существует, это следует из второго уравнения.
Значение уравнений Максвелла не только в том, что они выражают основные законы электромагнитного поля, но и в том, что путем их решения (интегрирования) могут быть найдены сами поля Е и В.
Уравнения Максвелла обладают большей общностью, они справедливы и в тех случаях, когда существуют поверхности разрыва - поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно.
Фундаментальные уравнения Максвелла еще не составляют полной системы уравнений электромагнитного поля. Этих уравнений недостаточно для нахождения полей по заданным распределениям зарядов и токов. Их необходимо дополнить соотношениями, эти соотношения называют материальными уравнениями.
Материальные уравнения наиболее просты в случае достаточно слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени. В этом случае для изотропных сред, материальные уравнения имеют следующий вид:
=εε 0
=μμ 0
=γ( + ст)
Уравнения Максвелла обладают рядом свойств.
1 свойства – линейности.
Уравнения Максвелла линейны, т.к. они содержат только первые производные полей Е и В по времени и пространственным координатам и первые степени плотности электрических зарядов и токов.
Свойство линейности уравнений Максвелла непосредственно связано с принципом суперпозиции: если два каких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то это относится и к сумме этих полей.
2 свойство – непрерывности .
Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда.
3 свойство – инвариантности.
Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчета. Они являются релятивистски инвариантными. Это есть следствие принципа относительности, согласно которому все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны друг другу. Факт инвариантности уравнений Максвелла подтверждается многочисленными опытными данными.
Уравнения Максвелла являются правильными релятивистскими уравнениями в отличие, например, от уравнений механики Ньютона.
4 свойство – симметрии.
Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.
В нейтральной однородной непроводящей среде уравнения Максвелла приобретают симметричный вид.
Из уравнений Максвелла следует вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно - без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами. В вакууме они всегда распространяются со скоростью, равной скорости с.
Выяснилось также, что ток смещения (dD/dt)играет в этом явлении первостепенную роль. Именно его присутствие наряду с величиной dB/dtи означает возможность появления электромагнитных волн. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электрическое, изменение же поля электрического, в свою очередь, возбуждает магнитное поле.
За счет непрерывного взаимопревращения или взаимодействия они и должны сохраняться - электромагнитное возмущение будет распространяться в пространстве.
Теория Максвелла не только предсказала возможность существования электромагнитных волн, но и позволила установить все их основные свойства.
3. Существование электромагнитных волн было теоретически предсказано великим английским физиком Дж. Максвеллом в 1864 году.
Гипотеза Максвелла была лишь теоретическим предположением, не имеющим экспериментального подтверждения, однако на ее основе Максвеллу удалось записать непротиворечивую систему уравнений, описывающих взаимные превращения электрического и магнитного полей, то есть систему уравнений электромагнитного поля (уравнений Максвелла). Из теории Максвелла вытекает ряд важных выводов, одним из них явился вывод о существовании электромагнитных волн.
Электромагнитные волны поперечны – векторы перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (рис.).
Электромагнитные волны распространяются в веществе с конечной скоростью
Скорость c распространения электромагнитных волн в вакууме является одной из фундаментальных физических постоянных.
4. Максвелл утверждал, что электромагнитные волны обладают свойствами отражения, преломления, дифракции и т.д. Но любая теория становится доказанной лишь после ее подтверждения на практике. Но в то время ни сам Максвелл, ни кто-либо другой еще не умели экспериментально получать электромагнитные волны. Это произошло только после 1888 года , когда Герц экспериментально открыл электромагнитные волны.
В результате экспериментов Герц создал источник электромагнитных волн, названный им "вибратором" . Вибратор состоял из двух проводящих сфер (в ряде опытов цилиндров) диаметром 10-30 см, укрепленных на концах проволочного разрезанного посредине стержня . Концы половин стержня в месте разреза оканчивались небольшими полированными шариками , образуя искровой промежуток в несколько миллиметров.
Сферы подсоединялись ко вторичной обмотке катушки Румкорфа, являвшейся источником высокого напряжения.
Из теории Максвелла известно,
1)излучать электромагнитную волну может только ускоренно движущийся заряд,
2)что энергия электромагнитной волны пропорциональна четвертой степени ее частоты.
Понятно, что ускоренно заряды движутся в колебательном контуре, поэтому проще всего их использовать для излучения электромагнитных волн. Но надо сделать так чтобы частота колебаний зарядов стала как можно выше. Из формулы Томсона для циклической частоты колебаний в контуре следует, что для повышения частоты надо уменьшать емкость и индуктивность контура .
Чтобы уменьшить емкость C надо увеличивать расстояние между пластинами (раздвигать их, делать контур открытым) и уменьшать площадь пластин. Самая маленькая емкость, которая может получиться, - просто провод.
Чтобы уменьшить индуктивность L надо уменьшать число витков. В результате этих преобразований получим просто кусок провода или открытый колебательный контур ОКК.
Суть происходящих в вибраторе явлений заключается в следующем. Индуктор Румкорфа создает на концах своей вторичной обмотки очень высокое, порядка десятков киловольт, напряжение, заряжающее сферы зарядами противоположных знаков. В определенный момент в искровом промежутке вибратора возникает электрическая искра, делающая сопротивление его воздушного промежутка столь малым, что в вибраторе возникают высокочастотные затухающие колебания, длящиеся во все время существования искры. Поскольку вибратор представляет собой открытый колебательный контур, происходит излучение электромагнитных волн.
После огромной серии трудоемких и чрезвычайно остроумно поставленных опытов с использованием простейших, так сказать, подручных средств экспериментатор достиг цели. Удалось измерить длины волн и рассчитать скорость их распространения. Были доказаны
· наличие отражения,
· преломления,
· дифракции,
- интерференции и поляризации волн.
- измерена скорость электромагнитной волны
5. Впервые электромагнитные волны были использованы через семь лет после опытов Герца. 7 мая 1895 г. преподаватель физики офицерских минных классов А. С. Попов (1859-1906) на заседании Русского физико-химического общества продемонстрировал первый в мире радиоприемник, открывший возможность практического использования электромагнитных волн для беспроволочной связи, преобразившей жизнь человечества. Первая переданная в мире радиограмма содержала лишь два слова: «Генрих Герц». Изобретение радио Поповым сыграло огромную роль для распространения и развития теории Максвелла.
Электромагнитные волны сантиметрового и миллиметрового диапазонов, встречая на своем пути преграды, отражаются от них. Это явление лежит в основе радиолокации - обнаружения предметов (например, самолетов, кораблей и т. д.) на больших расстояниях и точного определения их положения. Помимо этого, методы радиолокации используются для наблюдения прохождения и образования облаков, движения метеоритов в верхних слоях атмосферы и т. д.
Для электромагнитных волн характерно явление дифракции - огибание волнами различных препятствий. Именно благодаря дифракции радиоволн возможна устойчивая радиосвязь между удаленными пунктами, разделенными между собой выпуклостью Земли. Длинные волны (сотни и тысячи метров) применяются в фототелеграфии, короткие волны (несколько метров и меньше) применяются в телевидении для передачи изображений на небольшие расстояния (немногим больше пределов прямой видимости). Электромагнитные волны используются также в радио-геодезии для очень точного определения расстояний с помощью радиосигналов, в радиоастрономии для исследования радиоизлучения небесных тел и т. д. Полное описание применения электромагнитных волн дать практически невозможно, так как нет областей науки и техники, где бы они не использовались.
Для осуществления радио- и телевизионной связи используются электромагнитные волны с частотой от нескольких сотен тысяч герц до сотен мегагерц.
При передаче по радио речи, музыки и других звуковых сигналов применяют различные виды модуляции высокочастотных (несущих) колебаний. Суть модуляции заключается в том, что высокочастотные колебания, вырабатываемые генератором, изменяют по закону низкой частоты. В этом и заключается один из принципов радиопередачи. Другим принципом является обратный процесс - детектирование. При радиоприеме из принятого антенной приемника модулированного сигнала нужно отфильтровать звуковые низкочастотные колебания.
С помощью радиоволн осуществляется передача на расстояние не только звуковых сигналов, но и изображения предметов.
Похожая информация.