Как да изразим степен на експонента. Какво е експонент или как да накарате чая да се охлади по-бързо

Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда стъпки зад нея. През времето, необходимо на Ахил да измине това разстояние, костенурката ще пропълзи стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил пробяга сто крачки, костенурката пълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.

Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Всички те разглеждат апориите на Зенон по един или друг начин. Шокът беше толкова силен, че " ...дискусиите продължават и до днес, за да се стигне до общо мнение за същността на парадоксите научна общностдосега не беше възможно... участвахме в проучването на въпроса математически анализ, теория на множествата, нови физически и философски подходи; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема...„[Уикипедия, „Апория на Зенон“. Всички разбират, че се заблуждават, но никой не разбира в какво се състои измамата.

От математическа гледна точка Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от количество към . Този преход предполага прилагане вместо постоянни. Доколкото разбирам, математическият апарат за използване на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на нашата обичайна логика ни води в капан. Ние, поради инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочната стойност. От физическа гледна точка това изглежда като забавяне на времето, докато спре напълно в момента, в който Ахил настигне костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да надбяга костенурката.

Ако обърнем обичайната си логика, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил ще настигне костенурката безкрайно бързо“.

Как да избегнем този логически капан? Останете в постоянни единици за време и не преминавайте към реципрочни единици. На езика на Зенон това изглежда така:

За времето, необходимо на Ахил да направи хиляда крачки, костенурката ще пропълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще направи още хиляда стъпки, а костенурката ще пропълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин стъпки пред костенурката.

Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но това не е пълно решение на проблема. Твърдението на Айнщайн за неустоимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон „Ахил и костенурката“. Все още трябва да изучаваме, преосмисляме и решаваме този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.

Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:

Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.

В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки един момент една летяща стрела е в покой в ​​различни точки на пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да определите дали колата се движи, ви трябват две снимки, направени от една и съща точка в различни точки във времето, но не можете да определите разстоянието от тях. За да определите разстоянието до колата, ви трябват две снимки, направени от различни точкипространство в един момент от времето, но е невъзможно да се определи фактът на движение от тях (естествено, все още са необходими допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне). Това, на което искам да обърна специално внимание е, че две точки във времето и две точки в пространството са различни неща, които не бива да се бъркат, защото осигуряват различни възможностиза изследване.

Сряда, 4 юли 2018 г

Разликите между набор и мултимножество са описани много добре в Wikipedia. Да видим.

Както можете да видите, "не може да има два еднакви елемента в набор", но ако има идентични елементи в набор, такъв набор се нарича "мултисет". Такава абсурдна логика съзнателни съществаникога не разбирам. Това е нивото говорещи папагалии дресирани маймуни, които нямат интелигентност от думата „напълно“. Математиците действат като обикновени обучители, проповядвайки ни своите абсурдни идеи.

Имало едно време инженерите, които построили моста, били в лодка под моста, докато тествали моста. Ако мостът се срути, посредственият инженер загина под развалините на своето творение. Ако мостът можеше да издържи натоварването, талантливият инженер построи други мостове.

Колкото и да се крият математиците зад фразата „имайте предвид, аз съм в къщата“ или по-скоро „математиката изучава абстрактни понятия“, има една пъпна връв, която ги свързва неразривно с реалността. Тази пъпна връв е пари. Приложимо математическа теориязадава на самите математици.

Учихме много добре математика и сега седим на касата и даваме заплати. И така, един математик идва при нас за парите си. Ние му преброяваме цялата сума и я поставяме на масата си в различни купчини, в които поставяме банкноти от една и съща деноминация. След това вземаме по една банкнота от всяка купчина и я предаваме на математика." математически наборзаплати." Обясняваме на математика, че ще получи останалите сметки само когато докаже, че множество без еднакви елементи не е равно на множество с еднакви елементи. Тук започва забавлението.

На първо място ще работи логиката на депутатите: „Това може да се приложи към другите, но не и към мен!“ След това ще започнат да ни уверяват, че банкнотите с една и съща номинална стойност имат различни номера на банкнотите, което означава, че не могат да се считат за едни и същи елементи. Добре, да броим заплатите в монети - на монетите няма цифри. Тук математикът ще започне трескаво да си спомня физиката: различните монети имат различно количество мръсотия, кристалната структура и разположението на атомите е уникално за всяка монета...

И сега имам най-интересния въпрос: къде е линията, отвъд която елементите на мултимножество се превръщат в елементи на множество и обратно? Такава линия не съществува - всичко се решава от шаманите, тук науката дори не лъже.

Вижте тук. Ние избираме футболни стадионисъс същата площ на полето. Площите на полетата са еднакви - което означава, че имаме мултимножество. Но ако погледнем имената на същите тези стадиони, получаваме много, защото имената са различни. Както можете да видите, едно и също множество от елементи е едновременно множество и мултимножество. Кое е вярно? И ето че математикът-шаман-шарпист вади асо коз от ръкава си и започва да ни говори или за множество, или за мултимножество. При всички случаи той ще ни убеди, че е прав.

За да разберем как съвременните шамани оперират с теорията на множествата, обвързвайки я с реалността, е достатъчно да отговорим на един въпрос: как елементите на едно множество се различават от елементите на друго множество? Ще ви покажа, без никакво „мислимо като неединно цяло“ или „немислимо като единно цяло“.

Неделя, 18 март 2018 г

Сумата от цифрите на едно число е танц на шамани с тамбура, който няма нищо общо с математиката. Да, в уроците по математика ни учат да намираме сумата от цифрите на числото и да го използваме, но те затова са шамани, за да учат потомците на своите умения и мъдрост, иначе шаманите просто ще измрат.

Имате ли нужда от доказателство? Отворете Wikipedia и се опитайте да намерите страницата „Сума от цифри на число“. Тя не съществува. Няма формула в математиката, която може да се използва за намиране на сумата от цифрите на произволно число. Все пак числата са графични символи, с помощта на който пишем числа и на езика на математиката задачата звучи така: „Намерете сбора от графични символи, представляващи произволно число.“ Математиците не могат да решат този проблем, но шаманите могат да го направят лесно.

Нека да разберем какво и как правим, за да намерим сумата от цифрите на дадено число. И така, нека имаме числото 12345. Какво трябва да се направи, за да се намери сборът от цифрите на това число? Нека разгледаме всички стъпки по ред.

1. Запишете числото на лист хартия. какво направихме Преобразуваме числото в графичен числов символ. Това не е математическа операция.

2. Разрязваме една получена картина на няколко картинки, съдържащи отделни числа. Изрязването на картина не е математическа операция.

3. Преобразувайте отделни графични символи в числа. Това не е математическа операция.

4. Съберете получените числа. Сега това е математика.

Сумата от цифрите на числото 12345 е 15. Това са „курсовете по кроене и шиене“, преподавани от шамани, които математиците използват. Но това не е всичко.

От математическа гледна точка няма значение в коя бройна система записваме числото. Така че в различни системи с числа сумата от цифрите на едно и също число ще бъде различна. В математиката числовата система се обозначава като долен индекс отдясно на числото. СЪС Голям брой 12345 Не искам да си заблуждавам главата, нека погледнем числото 26 от статията за . Нека запишем това число в двоична, осмична, десетична и шестнадесетична бройни системи. Няма да разглеждаме всяка стъпка под микроскоп; вече го направихме. Нека да видим резултата.

Както можете да видите, в различните бройни системи сумата от цифрите на едно и също число е различна. Този резултат няма нищо общо с математиката. Това е същото, както ако определите площта на правоъгълник в метри и сантиметри, ще получите напълно различни резултати.

Нулата изглежда еднакво във всички бройни системи и няма сбор от цифри. Това е още един аргумент в полза на факта, че. Въпрос към математиците: как в математиката се обозначава нещо, което не е число? Какво, за математиците не съществува нищо освен числата? За шаманите мога да го позволя, но не и за учените. Реалността не е само в числа.

Полученият резултат трябва да се счита за доказателство, че бройните системи са мерни единици за числа. В крайна сметка не можем да сравняваме числа с различни мерни единици. Ако едни и същи действия с различни мерни единици на една и съща величина водят до различни резултати след сравняването им, то това няма нищо общо с математиката.

Какво е истинска математика? Това е, когато резултатът от математическа операция не зависи от размера на числото, използваната мерна единица и от това кой извършва това действие.

о! Това не е ли женската тоалетна?
- Млада жена! Това е лаборатория за изследване на бездефилната святост на душите по време на възнесението им на небето! Ореол отгоре и стрелка нагоре. Каква друга тоалетна?

Жена... Ореолът отгоре и стрелката надолу са мъжки.

Ако такова произведение на дизайнерското изкуство мига пред очите ви няколко пъти на ден,

Тогава не е изненадващо, че изведнъж намирате странна икона в колата си:

Лично аз полагам усилия да видя минус четири градуса в акащ човек (една снимка) (композиция от няколко снимки: знак минус, числото четири, обозначение на градуси). И не мисля, че това момиче е глупачка, която не знае физика. Тя просто има архи стереотип на възприятие графични изображения. И математиците ни учат на това през цялото време. Ето един пример.

1А не е „минус четири градуса“ или „едно а“. Това е "какащ човек" или числото "двадесет и шест" в шестнадесетичен запис. Тези хора, които постоянно работят в тази бройна система, автоматично възприемат число и буква като един графичен символ.

Една от най-известните експоненциални функции в математиката е експонентата. Представлява числото на Ойлер, повишено на определената степен. В Excel има отделен оператор, който ви позволява да го изчислите. Нека да видим как може да се използва на практика.

Показателят е числото на Ойлер, повишено на дадена степен. Самото число на Ойлер е приблизително 2,718281828. Понякога се нарича още числото на Напиер. Експонентната функция изглежда така:

където e е числото на Ойлер, а n е степента на повдигане.

За изчисляване на този индикатор в Excel се използва отделен оператор - EXP. В допълнение, тази функция може да се покаже като графика. Ще говорим за работата с тези инструменти по-нататък.

Метод 1: Изчислете експонентата чрез ръчно въвеждане на функцията

EXP(число)

Тоест тази формула съдържа само един аргумент. Това е точно степента, на която трябва да се повдигне числото на Ойлер. Този аргумент може да бъде от формата числова стойности приема формата на препратка към клетка, съдържаща експонента.

Метод 2: Използване на съветника за функции

Въпреки че синтаксисът за изчисляване на степента е изключително прост, някои потребители предпочитат да използват Съветник за функции. Нека да разгледаме как се прави това с пример.

Ако препратка към клетка, която съдържа експонента, се използва като аргумент, тогава трябва да поставите курсора в полето "номер"и просто изберете тази клетка на листа. Неговите координати веднага ще бъдат показани в полето. След това, за да изчислите резултата, щракнете върху бутона "ДОБРЕ".

Метод 3: чертане

В допълнение, в Excel е възможно да се построи графика, като се използват резултатите, получени от изчисляването на степента като основа. За да се изгради графика, листът трябва вече да има изчислени стойности на степента на различни степени. Те могат да бъдат изчислени с помощта на един от методите, описани по-горе.

Описването на e като „константа, приблизително равна на 2,71828...“ е все едно да наречем pi „ирационално число, приблизително равно на 3,1415...“. Това несъмнено е вярно, но смисълът все още ни убягва.

Pi е съотношението на обиколката към диаметъра, еднакво за всички кръгове. Това е основна пропорция, обща за всички кръгове и следователно участва в изчисляването на обиколка, площ, обем и повърхностна площ за кръгове, сфери, цилиндри и др. Пи показва, че всички кръгове са свързани, да не говорим тригонометрични функции, получени от окръжности (синус, косинус, тангенс).

Числото e е основният коефициент на растеж за всички непрекъснато нарастващи процеси.Числото e ви позволява да вземете прост темп на растеж (където разликата е видима само в края на годината) и да изчислите компонентите на този показател, нормален растеж, при който с всяка наносекунда (или дори по-бързо) всичко расте малко Повече ▼.

Числото e участва и в двете системи с експоненциален и постоянен растеж: население, радиоактивно разпадане, изчисляване на лихви и много, много други. Дори стъпаловидни системи, които не растат равномерно, могат да бъдат приблизително изчислени с помощта на числото e.

Точно както всяко число може да се разглежда като "мащабирана" версия на 1 ( основна единица), всеки кръг може да се разглежда като "мащабирана" версия на единичния кръг (с радиус 1). И всеки растежен фактор може да се разглежда като "мащабирана" версия на e ("единица" растежен фактор).

Така че числото e не е случайно число, взето на случаен принцип. Числото e въплъщава идеята, че всички непрекъснато нарастващи системи са мащабирани версии на една и съща метрика.

Концепция за експоненциален растеж

Нека започнем с разглеждане на основната система, която двойкиза определен период от време. Например:

• Бактериите се делят и „удвояват” на всеки 24 часа
• Получаваме двойно повече фиде, ако го разполовим
• Вашите пари се удвояват всяка година, ако реализирате 100% печалба (късмет!)

И изглежда нещо подобно:

Делението на две или удвояването е много проста прогресия. Разбира се, можем да утроим или учетворим, но удвояването е по-удобно за обяснение.

Математически, ако имаме x деления, в крайна сметка получаваме 2^x пъти повече добро, отколкото сме започнали. Ако се направи само 1 дял, получаваме 2^1 пъти повече. Ако има 4 дяла, получаваме 2^4=16 части. Обща формулаизглежда така:

височина= 2 х

С други думи, удвояването е 100% увеличение. Можем да пренапишем тази формула така:

височина= (1+100%) x

Това е същото равенство, просто разделихме "2" на съставните му части, което по същество е това число: началната стойност (1) плюс 100%. Умен, нали?

Разбира се, можем да заменим всяко друго число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и да получим формулата за растеж за този нов коефициент. Общата формула за x периоди от динамичния ред ще бъде:

височина = (1+растеж)х

Това просто означава, че използваме скоростта на възвръщаемост, (1 + печалба), "x" пъти подред.

Нека да разгледаме по-отблизо

Нашата формула предполага, че растежът се осъществява на отделни стъпки. Нашите бактерии чакат и чакат, а след това бам!, и в последния момент броят им се удвоява. Нашата печалба от лихвата по депозита магически се появява точно след 1 година. Въз основа на формулата, написана по-горе, печалбите растат на стъпки. Зелените точки се появяват внезапно.

Но светът не винаги е такъв. Ако увеличим мащаба, можем да видим, че нашите бактериални приятели непрекъснато се делят:

Зеленият човек не възниква от нищото: той бавно израства от синия родител. След 1 период от време (24 часа в нашия случай) зеленият приятел вече е напълно узрял. След като узрее, той става пълноправен син член на стадото и може сам да създава нови зелени клетки.

Ще промени ли тази информация нашето уравнение по някакъв начин?

не При бактериите полуформираните зелени клетки все още не могат да направят нищо, докато не пораснат и не се отделят напълно от своите сини родители. Така че уравнението е правилно.

В тази статия ще обсъдим какво е експонент в Excel и най-важното защо може да бъде полезен обикновен животили в бизнеса.

През студентските си години често чувах фрази като: „Защо изобщо да учим „това“, никога няма да имаме нужда от „това“ в живота.“ Едно от тези „това е“ често беше експонент или, например, . Имах слаба висша математика в първото си образование, за което съжалявам. А сега трябва да наваксам теми, които пропуснах по-рано. Споделям преразказ на моите знания.

Знаем, че нашият свят е описан точни науки- т.е. набор от правила и закони, които повече или по-малко точно описват какво се случва. В повечето случаи функциите/формулите помагат за това. В природата експоненциалните явления са доста често срещани (описват се с експонента) чрез формула с число д,и y = e на степен x вече ще бъде експоненциална функция:

Номер д- това е т.нар Числото на Ойлер е приблизително равно на 2,72. Забележително е, че производната на тази функция е равна на самата функция exp(x)` = exp(x).

За какво става въпрос и какво означава за нас?

Най-доброто от всичко е, че действието на експоненциала е показано на графиките по-долу:

Две функции: y = 2 в x и y = дна степен x, където x = време, например. Виждаме, че скоростта на растеж на експоненциалната графика нараства по-бързо. И защо всички? Тъй като производната (скоростта на нарастване или намаляване) на функция е равна на самата функция, т.е. скоростта, с която функцията нараства, е равна на стойността на функцията.

Казано направо, в природата това всъщност се случва доста често – колкото повече клетки се делят, толкова по-бързо стават по-големи. Колкото повече пари имате в банката, толкова повече печалба генерира тя. Например:

Инвестирахте 1000 рубли. в банката, година по-късно те донесоха своите 100 рубли. процента, след още една година вече имате 2 служители, които работят за вас 1000 рубли. и 100 търкайте. и така докато изтеглите парите или настъпи банкова криза.

Между другото, населението на планетата Земя също расте експоненциално;)

Принцип на Парето и експоненциал

Чували ли сте за този принцип? Мисля, че да. „20% от усилията носят 80% от резултатите.“ Той е. По-добро определениеза запомняне ми се струва:

20% от пиещите бира пият 80% от цялата бира

Изграден на принципа на Парето ABC анализакции, например.

Този принцип на Парето е друг пример за експоненциал.

Между другото, много справедлив закон в Истински живот, потвърждавам с моя опит.Веднъж на първия си проект забелязах, че в около 20% от времето създаваш 80% от продукта (в количествено отношение), след това работиш върху качеството. Тези. Други 80% от времето завършвате, търсите грешки, конфигурирате. Дори съм чувал хора да казват „развитието е в експоненциален етап“ - т.е. в процеса на приближаване към идеала.

Когато „завършвате“ проект като този, е важно да спрете навреме, защото продуктът никога няма да бъде перфектен. Затова решете предварително какво качество искате да получите в крайна сметка. Ако не го правите за себе си, не забравяйте да съберете изискванията от клиента. Принципът изглежда така:

Показателят се означава като , или .

Номер e

Основата на експонентната степен е номер e. Това е ирационално число. Тя е приблизително равна
д ≈ 2,718281828459045...

Числото e се определя чрез границата на редицата. Това е т.нар втора прекрасна граница:
.

Числото e може да бъде представено и като серия:
.

Експоненциална графика

Експоненциална графика, y = e x .

Графиката показва експоненциала ддо известна степен х.
г (x) = e x
Графиката показва, че експонентата нараства монотонно.

Формули

Основните формули са същите като за експоненциалната функция с основа от степен e.

;
;
;

Изразяване на експоненциална функция с произволна основа от степен a чрез експоненциална:
.

Частни ценности

Нека y (x) = e x. Тогава
.

Експонентни свойства

Показателят има свойствата на експоненциална функция със степенна основа д > 1 .

Домейн, набор от стойности

Показател y (x) = e xопределени за всички x.
Неговата област на дефиниране:
- ∞ < x + ∞ .
Многото му значения:
0 < y < + ∞ .

Крайности, увеличаване, намаляване

Експоненциалът е монотонно нарастваща функция, така че няма екстремуми. Основните му свойства са представени в таблицата.

Обратна функция

Обратната на експонентата е натурален логаритъм.
;
.

Производна на показателя

Производна ддо известна степен хравна на ддо известна степен х :
.
Производна от n-ти ред:
.
Извличане на формули >>>

Интеграл

Комплексни числа

Операциите с комплексни числа се извършват с помощта на Формули на Ойлер:
,
къде е имагинерната единица:
.

Изразяване чрез хиперболични функции

; ;
.

Изрази, използващи тригонометрични функции

; ;
;
.

Разширение на степенни редове

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.