Намерете общото решение на първото диференциално уравнение. Диференциални уравнения

Решение диференциални уравнения. Благодарение на нашите онлайн услугаМожете да решавате диференциални уравнения от всякакъв вид и сложност: нехомогенни, хомогенни, нелинейни, линейни, от първи, втори ред, с разделими или неразделими променливи и др. Получавате решение на диференциални уравнения в аналитична форма с подробно описание. Много хора се интересуват: защо е необходимо да се решават диференциални уравнения онлайн? Този видуравнения е много разпространено в математиката и физиката, където ще бъде невъзможно да се решат много проблеми без да се изчисли диференциалното уравнение. Диференциалните уравнения също са често срещани в икономиката, медицината, биологията, химията и други науки. Решението на такова уравнение е онлайн режимТова значително улеснява задачите ви, дава ви възможност да разберете по-добре материала и да се тествате. Предимства на решаването на диференциални уравнения онлайн. Модерен уебсайт за математически услуги ви позволява да решавате диференциални уравнения онлайн с всякаква сложност. Както знаете има голям бройвидове диференциални уравнения и всяко от тях има свои собствени методи за решаване. В нашата услуга можете да намерите онлайн решения на диференциални уравнения от всякакъв ред и вид. За да получите решение, предлагаме да попълните първоначалните данни и да щракнете върху бутона „Решение“. Грешки в работата на услугата са изключени, така че можете да сте 100% сигурни, че сте получили правилния отговор. Решете диференциални уравнения с нашата услуга. Решете диференциални уравнения онлайн. По подразбиране в такова уравнение функцията y е функция на променливата x. Но можете също да посочите свое собствено обозначение на променлива. Например, ако посочите y(t) в диференциално уравнение, тогава нашата услуга автоматично ще определи, че y е функция на променливата t. Редът на цялото диференциално уравнение ще зависи от максималния ред на производната на функцията, присъстваща в уравнението. Решаването на такова уравнение означава намиране на желаната функция. Нашата услуга ще ви помогне да решавате диференциални уравнения онлайн. Не са необходими много усилия от ваша страна, за да решите уравнението. Просто трябва да въведете лявата и дясната страна на вашето уравнение в задължителните полета и да щракнете върху бутона „Решение“. При въвеждане производната на функция трябва да се обозначи с апостроф. След секунди ще получите готовия продукт подробно решениедиференциално уравнение. Нашата услуга е абсолютно безплатна. Диференциални уравнения с разделими променливи. Ако в едно диференциално уравнение има израз от лявата страна, който зависи от y, а от дясната страна има израз, който зависи от x, тогава такова диференциално уравнение се нарича с разделими променливи. Лявата страна може да съдържа производна на y; решението на диференциални уравнения от този тип ще бъде под формата на функция на y, изразена чрез интеграла на дясната страна на уравнението. Ако от лявата страна има диференциал на функцията на y, тогава в този случай двете страни на уравнението са интегрирани. Когато променливите в диференциалното уравнение не са разделени, те ще трябва да бъдат разделени, за да се получи отделно диференциално уравнение. Линейно диференциално уравнение. Диференциално уравнение, чиято функция и всички негови производни са от първа степен, се нарича линейно. Обща формауравнения: y’+a1(x)y=f(x). f(x) и a1(x) са непрекъснати функцииот х. Решаването на диференциални уравнения от този тип се свежда до интегриране на две диференциални уравнения с разделени променливи. Ред на диференциалното уравнение. Диференциалното уравнение може да бъде от първи, втори, n-ти ред. Редът на диференциалното уравнение определя реда на най-високата производна, която съдържа. В нашата услуга можете да решавате диференциални уравнения първо онлайн, второ, трето и т.н. поръчка. Решението на уравнението ще бъде всяка функция y=f(x), замествайки я в уравнението, ще получите идентичност. Процесът на намиране на решение на диференциално уравнение се нарича интегриране. Проблем с Коши. Ако в допълнение към самото диференциално уравнение е дадено началното условие y(x0)=y0, тогава това се нарича проблем на Коши. Индикаторите y0 и x0 се добавят към решението на уравнението и се определя стойността на произволна константа C, след което се определя конкретно решение на уравнението при тази стойност на C. Това е решението на задачата на Коши. Задачата на Коши се нарича още задача с гранични условия, която е много разпространена във физиката и механиката. Имате и възможност да зададете задачата на Коши, тоест от всички възможни решенияуравнение, изберете частното, което отговаря на дадените начални условия.

Или вече са решени по отношение на производната, или могат да бъдат решени по отношение на производната .

Общо решение на диференциални уравнения от типа на интервала х, което е дадено, може да се намери, като се вземе интегралът от двете страни на това равенство.

Получаваме .

Ако погледнете имотите неопределен интеграл, тогава ще намерим необходимото общо решение:

y = F(x) + C,

Където F(x)- една от примитивните функции f(x)между х, А СЪС- произволна константа.

Моля, имайте предвид, че в повечето проблеми интервалът хне посочват. Това означава, че трябва да се намери решение за всички. х, за които и желаната функция ги оригиналното уравнение има смисъл.

Ако трябва да изчислите конкретно решение на диференциално уравнение, което отговаря на първоначалното условие y(x 0) = y 0, след това след изчисляване на общия интеграл y = F(x) + C, все още е необходимо да се определи стойността на константата C = C 0, използвайки началното условие. Тоест константа C = C 0определен от уравнението F(x 0) + C = y 0и желаното частично решение на диференциалното уравнение ще приеме формата:

y = F(x) + C 0.

Да разгледаме един пример:

Нека намерим общо решение на диференциалното уравнение и проверим правилността на резултата. Нека намерим конкретно решение на това уравнение, което ще удовлетвори първоначалното условие.

Решение:

След като интегрираме даденото диференциално уравнение, получаваме:

.

Нека вземем този интеграл, използвайки метода на интегриране по части:

Че., е общо решение на диференциалното уравнение.

За да сме сигурни, че резултатът е правилен, нека направим проверка. За да направим това, заместваме решението, което намерихме, в даденото уравнение:

.

Тоест, когато първоначалното уравнение се превръща в идентичност:

следователно общото решение на диференциалното уравнение е определено правилно.

Решението, което намерихме, е общо решение на диференциалното уравнение за всяка реална стойност на аргумента х.

Остава да се изчисли конкретно решение на ОДУ, което да удовлетворява началното условие. С други думи, необходимо е да се изчисли стойността на константата СЪС, при което ще бъде вярно равенството:

.

.

След това, заместване С = 2в общото решение на ODE, получаваме конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие:

.

Обикновено диференциално уравнение може да се реши за производната, като се разделят двете страни на уравнението на f(x). Тази трансформация ще бъде еквивалентна, ако f(x)не се превръща в нула при никакви обстоятелства хот интервала на интегриране на диференциалното уравнение х.

Има вероятни ситуации, когато за някои стойности на аргумента х ∈ хфункции f(x)И g(x)едновременно стават нула. За подобни стойности хобщото решение на диференциално уравнение е всяка функция г, което е определено в тях, т.к .

Ако за някои стойности на аргумент х ∈ хусловието е изпълнено, което означава, че в този случай ОДУ няма решения.

За всички останали хот интервала хобщото решение на диференциалното уравнение се определя от трансформираното уравнение.

Нека да разгледаме примери:

Пример 1.

Нека намерим общо решение на ODE: .

Решение.

От свойствата на основните елементарни функции става ясно, че функцията натурален логаритъм е дефинирана за неотрицателни стойности на аргумента, следователно домейнът на дефиниция на израза ln(x+3)има интервал х > -3 . Това означава, че даденото диференциално уравнение има смисъл за х > -3 . За тези стойности на аргумент изразът х+3не изчезва, така че можете да решите ODE за производната, като разделите 2-те части на х + 3.

Получаваме .

След това интегрираме полученото диференциално уравнение, решено по отношение на производната: . За да вземем този интеграл, използваме метода да го поставим под диференциалния знак.

Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения.
Диференциални уравнения с разделими променливи

Диференциални уравнения (DE). Тези две думи обикновено ужасяват обикновения човек. Диференциалните уравнения изглеждат нещо непосилно и трудно за овладяване за много ученици. Уууууу... диференциални уравнения, как да преживея всичко това?!

Това мнение и това отношение е коренно погрешно, защото в действителност ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ – ПРОСТО Е И ДОРИ ЗАБАВНО. Какво трябва да знаете и да можете, за да се научите да решавате диференциални уравнения? За да изучавате успешно дифузи, трябва да сте добри в интегрирането и диференцирането. Колкото по-добре се изучават темите Производна на функция на една променливаИ Неопределен интеграл, толкова по-лесно ще бъде разбирането на диференциалните уравнения. Ще кажа повече, ако имате повече или по-малко прилични умения за интеграция, тогава темата е почти овладяна! Колкото повече интеграли различни видовезнаете как да решите - толкова по-добре. Защо? Ще трябва да интегрирате много. И разграничете. Също горещо препоръчвамнаучете се да намирате.

В 95% от случаите в тестовеИма 3 вида диференциални уравнения от първи ред: разделими уравнениякоито ще разгледаме в този урок; хомогенни уравненияИ линейни нееднородни уравнения. За тези, които започват да изучават дифузори, ви съветвам да прочетете уроците точно в този ред и след като изучите първите две статии, няма да навреди да консолидирате уменията си в допълнителен семинар - уравнения, свеждащи се до хомогенни.

Има още по-редки видове диференциални уравнения: общи диференциални уравнения, уравнения на Бернули и някои други. Най-важният от последните два вида са уравненията в общите диференциали, тъй като в допълнение към това диференциално уравнение считам нов материал – частична интеграция.

Ако ви остават само ден-два, Че за ултра бързо приготвянеИма блиц курсв pdf формат.

И така, ориентирите са поставени - да тръгваме:

Първо, нека си припомним обичайните алгебрични уравнения. Те съдържат променливи и числа. Най-простият пример: . Какво означава да решиш обикновено уравнение? Това означава намиране набор от числа, които удовлетворяват това уравнение. Лесно се забелязва, че уравнението на децата има един корен: . Просто за забавление, нека проверим и заместим намерения корен в нашето уравнение:

– получено е правилното равенство, което означава, че решението е намерено правилно.

Дифузорите са проектирани почти по същия начин!

Диференциално уравнение първа поръчкаобщо взето съдържа:
1) независима променлива;
2) зависима променлива (функция);
3) първата производна на функцията: .

В някои уравнения от първи ред може да няма „x“ и/или „y“, но това не е важно - важнода отидете в контролната зала бешепърва производна и не са ималипроизводни от по-високи разряди – и др.

Какво означава ?Решаването на диференциално уравнение означава намиране набор от всички функции, които удовлетворяват това уравнение. Такъв набор от функции често има формата (– произволна константа), която се нарича общо решение на диференциалното уравнение.

Пример 1

Решете диференциално уравнение

Пълни боеприпаси. Откъде да започна решение?

Първо, трябва да пренапишете производната в малко по-различна форма. Припомняме тромавото обозначение, което на мнозина от вас вероятно се е сторило нелепо и ненужно. Това е правилото в дифузьорите!

Във втората стъпка нека да видим дали е възможно отделни променливи?Какво означава да се разделят променливите? Грубо казано, отлявотрябва да си тръгваме само "гърци", А от дясната странаорганизирам само "Х". Разделянето на променливите се извършва с помощта на „училищни“ манипулации: поставянето им извън скоби, прехвърляне на термини от част към част с промяна на знака, прехвърляне на фактори от част към част според правилото за пропорцията и др.

Диференциали и са пълни умножители и активни участници във военните действия. В разглеждания пример променливите лесно се разделят чрез подхвърляне на факторите според правилото за пропорцията:

Променливите са разделени. От лявата страна има само "Y", от дясната страна - само "X".

Следващ етап - интегриране на диференциално уравнение. Просто е, поставяме интеграли от двете страни:

Разбира се, трябва да вземем интеграли. В този случай те са таблични:

Както си спомняме, константа се присвоява на всяка антипроизводна. Тук има два интеграла, но е достатъчно да напишете константата веднъж (тъй като константа + константа все още е равна на друга константа). В повечето случаи се поставя от дясната страна.

Строго погледнато, след като се вземат интегралите, диференциалното уравнение се счита за решено. Единственото нещо е, че нашето "y" не се изразява чрез "x", тоест решението е представено в имплицитноформа. Решението на диференциално уравнение в неявна форма се нарича общ интеграл на диференциалното уравнение. Тоест това е общ интеграл.

Отговорът в тази форма е доста приемлив, но има ли по-добър вариант? Нека се опитаме да получим общо решение.

Моля те, запомнете първата техника, той е много разпространен и често се използва в практически задачи: ако след интегриране от дясната страна се появи логаритъм, тогава в много случаи (но не винаги!) също е препоръчително да напишете константата под логаритъма.

Това е, ВМЕСТОзаписите обикновено са писмени .

Защо е необходимо това? И за да се улесни изразяването на „играта“. Използване на свойството на логаритмите . В такъв случай:

Сега логаритмите и модулите могат да бъдат премахнати:

Функцията е представена изрично. Това е общото решение.

Отговор: общо решение: .

Отговорите на много диференциални уравнения са доста лесни за проверка. В нашия случай това се прави съвсем просто, ние вземаме намереното решение и го диференцираме:

След това заместваме производната в оригиналното уравнение:

– получено е правилното равенство, което означава, че общото решение удовлетворява уравнението, което е необходимо да се провери.

Даване на константа различни значения, можете да получите безкрайно много частни решениядиференциално уравнение. Ясно е, че всяка от функциите , и т.н. удовлетворява диференциалното уравнение.

Понякога се извиква общото решение семейство от функции. В този пример общото решение - това е семейство линейни функции, или по-скоро семейство с права пропорционалност.

След обстоен преглед на първия пример е уместно да отговоря на няколко наивни въпросиотносно диференциалните уравнения:

1)В този пример успяхме да разделим променливите. Може ли това винаги да се прави?Не винаги. И още по-често променливите не могат да бъдат разделени. Например в хомогенни уравнения от първи ред, първо трябва да го смените. В други видове уравнения, например в линейно нехомогенно уравнение от първи ред, трябва да използвате различни техники и методи, за да намерите общо решение. Уравнения с разделими променливи, които разглеждаме в първия урок - най-прост типдиференциални уравнения.

2) Винаги ли е възможно да се интегрира диференциално уравнение?Не винаги. Много е лесно да се измисли „фантастично“ уравнение, което не може да бъде интегрирано; освен това има интеграли, които не могат да бъдат взети. Но такива DE могат да бъдат решени приблизително с помощта на специални методи. Д’Аламбер и Коши гарантират... ...уф, луркмор.за да прочета много току-що, почти добавих „от онзи свят“.

3) В този пример получихме решение под формата на общ интеграл . Винаги ли е възможно да се намери общо решение от общ интеграл, тоест да се изрази изрично „y“?Не винаги. Например: . Е, как ще изразиш тук "гръцки"?! В такива случаи отговорът трябва да се запише като общ интеграл. Освен това понякога е възможно да се намери общо решение, но то е написано толкова тромаво и тромаво, че е по-добре да оставим отговора под формата на общ интеграл

4) ...може би това е достатъчно за сега. В първия пример, който срещнахме Друг важен момент , но за да не покривам „манекените“ с лавина от нова информация, ще го оставя за следващия урок.

Няма да бързаме. Друго просто дистанционно управление и друго типично решение:

Пример 2

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие

Решение: според състоянието, трябва да намерите частно решение DE, който отговаря на дадено начално условие. Тази постановка на въпроса се нарича още Проблем с Коши.

Първо намираме общо решение. В уравнението няма променлива "x", но това не трябва да обърква, основното е, че има първата производна.

Пренаписваме производната в необходимата форма:

Очевидно променливите могат да бъдат разделени, момчета отляво, момичета отдясно:

Нека интегрираме уравнението:

Получава се общият интеграл. Тук съм нарисувал константа със звездичка, факт е, че много скоро тя ще се превърне в друга константа.

Сега се опитваме да трансформираме общия интеграл в общо решение (изразете изрично „y“). Да си припомним добрите стари неща от училище: . В такъв случай:

Константата в индикатора изглежда някак некошерна, така че обикновено се сваля на земята. В детайли така става. Използвайки свойството на степените, пренаписваме функцията, както следва:

Ако е константа, тогава е и някаква константа, нека я преозначим с буквата:

Не забравяйте, че „разрушаването“ е константа втора техника, който често се използва при решаване на диференциални уравнения.

И така, общото решение е: . Това е хубаво семейство от експоненциални функции.

На последния етап трябва да намерите конкретно решение, което да отговаря на даденото начално условие. Това също е просто.

Каква е задачата? Трябва да вземете такивастойността на константата, така че условието да е изпълнено.

Може да се форматира по различни начини, но това вероятно ще бъде най-ясният начин. В общото решение вместо „X“ заместваме нула, а вместо „Y“ заместваме две:



Това е,

Стандартна версия на дизайна:

Сега заместваме намерената стойност на константата в общото решение:
– това е конкретното решение, от което се нуждаем.

Отговор: лично решение:

Да проверим. Проверката на частно решение включва два етапа:

Първо трябва да проверите дали конкретното намерено решение наистина удовлетворява първоначалното условие? Вместо „X“ заместваме нула и вижте какво се случва:
- да, наистина е получена двойка, което означава, че първоначалното условие е изпълнено.

Вторият етап вече е познат. Взимаме полученото конкретно решение и намираме производната:

Заместваме в оригиналното уравнение:

– получава се правилното равенство.

Заключение: конкретното решение е намерено правилно.

Да преминем към по-смислени примери.

Пример 3

Решете диференциално уравнение

Решение:Пренаписваме производната във формата, от която се нуждаем:

Оценяваме дали е възможно да разделим променливите? Мога. Преместваме втория член от дясната страна с промяна на знака:

И прехвърляме множителите според правилото на пропорцията:

Променливите са разделени, нека интегрираме двете части:

Трябва да ви предупредя, че денят на страшния съд наближава. Ако не сте учили добре неопределени интеграли, са решили няколко примера, тогава няма къде да отидете - ще трябва да ги усвоите сега.

Интегралът на лявата страна е лесен за намиране; ние се занимаваме с интеграла на котангенса, използвайки стандартната техника, която разгледахме в урока Интегриране на тригонометрични функцииминалата година:

От дясната страна имаме логаритъм и, според първата ми техническа препоръка, константата също трябва да бъде записана под логаритъма.

Сега се опитваме да опростим общия интеграл. Тъй като имаме само логаритми, е напълно възможно (и необходимо) да се отървем от тях. Като се използва известни свойства„Паковаме“ логаритмите колкото е възможно повече. Ще го напиша много подробно:

Опаковката е варварски оръфана:

Може ли да се изрази „игра“? Мога. Необходимо е да квадратирате и двете части.

Но не е нужно да правите това.

трето технически съвети: ако за получаване на общо решение е необходимо да се повдигне на степен или да се вкоренят, тогава В повечето случаитрябва да се въздържате от тези действия и да оставите отговора под формата на общ интеграл. Факт е, че общото решение ще изглежда просто ужасно - с големи корени, знаци и други боклуци.

Затова записваме отговора под формата на общ интеграл. По добър начинСмята се, че се представя във формата , тоест от дясната страна, ако е възможно, оставете само константа. Не е необходимо да правите това, но винаги е полезно да угодите на професора ;-)

Отговор:общ интеграл:

! Забележка: общият интеграл на всяко уравнение не може да бъде написан единствения начин. Следователно, ако вашият резултат не съвпада с предварително известния отговор, това не означава, че сте решили уравнението неправилно.

Общият интеграл също е доста лесен за проверка, основното е да можете да намерите производна на функция, зададена имплицитно. Нека разграничим отговора:

Умножаваме двата члена по:

И разделете на:

Оригиналното диференциално уравнение е получено точно, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 4

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие. Извършете проверка.

Това е пример за независимо решение.

Нека ви напомня, че алгоритъмът се състои от два етапа:
1) намиране на общо решение;
2) намиране на необходимото конкретно решение.

Проверката също се извършва на две стъпки (вижте примера в Пример № 2), трябва да:
1) уверете се, че конкретното намерено решение отговаря на първоначалното условие;
2) проверете дали определено решение като цяло удовлетворява диференциалното уравнение.

Пълно решение и отговор в края на урока.

Пример 5

Намерете конкретно решение на диференциално уравнение , отговарящи на началното условие. Извършете проверка.

Решение:Първо, нека намерим общо решение.Това уравнение вече съдържа готови диференциали и следователно решението е опростено. Разделяме променливите:

Нека интегрираме уравнението:

Интегралът отляво е табличен, интегралът отдясно е взет метод за поставяне на функция под диференциалния знак:

Общият интеграл е получен; възможно ли е успешно да се изрази общото решение? Мога. Закачаме логаритми от двете страни. Тъй като те са положителни, модулните знаци са ненужни:

(Надявам се всички да разберат трансформацията, такива неща вече трябва да се знаят)

И така, общото решение е:

Нека намерим конкретно решение, отговарящо на даденото начално условие.
В общото решение вместо „X“ заместваме нула, а вместо „Y“ заместваме логаритъма от две:

По-познат дизайн:

Заместваме намерената стойност на константата в общото решение.

Отговор:лично решение:

Проверка: Първо, нека проверим дали е изпълнено първоначалното условие:
- всичко е наред.

Сега нека проверим дали намереното конкретно решение изобщо удовлетворява диференциалното уравнение. Намиране на производната:

Нека да разгледаме оригиналното уравнение: – представя се в диференциали. Има два начина за проверка. Възможно е да се изрази диференциала от намерената производна:

Нека заместим намереното конкретно решение и получения диференциал в първоначалното уравнение :

Използваме основната логаритмична идентичност:

Получава се правилното равенство, което означава, че конкретното решение е намерено правилно.

Вторият метод за проверка е огледален и по-познат: от уравнението Нека изразим производната, за да направим това, разделяме всички части на:

И в преобразуваното DE заместваме полученото частично решение и намерената производна. В резултат на опростявания трябва да се получи и правилното равенство.

Пример 6

Решете диференциално уравнение. Представете отговора под формата на общ интеграл.

Това е пример, който можете да решите сами, пълно решение и отговор в края на урока.

Какви трудности чакат при решаването на диференциални уравнения с разделими променливи?

1) Не винаги е очевидно (особено за „чайник“), че променливите могат да бъдат разделени. Нека помислим условен пример: . Тук трябва да извадите факторите от скоби: и да разделите корените: . Ясно е какво да правим по-нататък.

2) Трудности със самата интеграция. Интегралите често не са най-простите и ако има недостатъци в уменията за намиране неопределен интеграл, тогава ще е трудно с много дифузори. В допълнение, логиката „тъй като диференциалното уравнение е просто, тогава поне нека интегралите да бъдат по-сложни“ е популярна сред съставителите на колекции и ръководства за обучение.

3) Трансформации с константа. Както всички са забелязали, константата в диференциалните уравнения може да се борави доста свободно и някои трансформации не винаги са ясни за начинаещ. Нека да разгледаме друг условен пример: . Препоръчително е да умножите всички термини по 2: . Получената константа също е някакъв вид константа, която може да бъде означена с: . Да, и тъй като от дясната страна има логаритъм, тогава е препоръчително да пренапишете константата под формата на друга константа: .

Проблемът е, че те често не се занимават с индекси и използват една и съща буква. В резултат на това записът на решението приема следната форма:

Каква ерес? Точно там има грешки! Строго погледнато, да. От гледна точка на съдържанието обаче няма грешки, тъй като в резултат на преобразуване на променлива константа все пак се получава променлива константа.

Или друг пример, да предположим, че в хода на решаването на уравнението се получава общ интеграл. Този отговор изглежда грозен, така че е препоръчително да промените знака на всеки термин: . Формално тук има друга грешка - трябва да се пише отдясно. Но неофициално се подразбира, че „минус ce“ все още е константа ( което също толкова лесно може да приеме всякакво значение!), така че поставянето на „минус“ няма смисъл и можете да използвате същата буква.

Ще се опитам да избегна небрежен подход и все пак ще присвоя различни индекси на константите, когато ги преобразувам.

Пример 7

Решете диференциално уравнение. Извършете проверка.

Решение:Това уравнение позволява разделяне на променливи. Разделяме променливите:

Нека интегрираме:

Не е необходимо да дефинирате константата тук като логаритъм, тъй като нищо полезно няма да излезе от това.

Отговор:общ интеграл:

Проверка: Разграничете отговора (имплицитна функция):

Отърваваме се от дроби, като умножим двата члена по:

Получено е оригиналното диференциално уравнение, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 8

Намерете конкретно решение на DE.
,

Това е пример, който можете да решите сами. Единственият намек е, че тук ще получите общ интеграл и, по-правилно казано, трябва да се опитате да намерите не конкретно решение, а частичен интеграл. Пълно решение и отговор в края на урока.

I. Обикновени диференциални уравнения

1.1. Основни понятия и определения

Диференциалното уравнение е уравнение, което свързва независима променлива х, необходимата функция ги неговите производни или диференциали.

Символично диференциалното уравнение се записва по следния начин:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Диференциалното уравнение се нарича обикновено, ако търсената функция зависи от една независима променлива.

Решаване на диференциално уравнениесе нарича функция, която превръща това уравнение в идентичност.

Редът на диференциалното уравнениее порядъкът на най-високата производна, включена в това уравнение

Примери.

1. Разгледайте диференциално уравнение от първи ред

Решението на това уравнение е функцията y = 5 ln x. Наистина, заместване y"в уравнението, получаваме идентичността.

И това означава, че функцията y = 5 ln x– е решение на това диференциално уравнение.

2. Разгледайте диференциалното уравнение от втори ред y" - 5y" +6y = 0. Функцията е решението на това уравнение.

Наистина ли, .

Замествайки тези изрази в уравнението, получаваме: , – идентичност.

И това означава, че функцията е решението на това диференциално уравнение.

Интегриране на диференциални уравненияе процес на намиране на решения на диференциални уравнения.

Общо решение на диференциалното уравнениенаречена функция на формата , което включва толкова независими произволни константи, колкото е редът на уравнението.

Частично решение на диференциалното уравнениее решение, получено от общо решение за различни числени стойности на произволни константи. Стойностите на произволни константи се намират при определени начални стойности на аргумента и функцията.

Графиката на конкретно решение на диференциално уравнение се нарича интегрална крива.

Примери

1. Намерете конкретно решение на диференциално уравнение от първи ред

xdx + ydy = 0, Ако г= 4 at х = 3.

Решение. Интегрирайки двете страни на уравнението, получаваме

Коментирайте. Произволна константа C, получена в резултат на интегриране, може да бъде представена във всяка форма, удобна за по-нататъшни трансформации. В този случай, като се вземе предвид каноничното уравнение на кръг, е удобно да се представи произволна константа C във формата.

- общо решение на диференциалното уравнение.

Частно решение на уравнението, удовлетворяващо началните условия г = 4 at х = 3 се намира от общото чрез заместване на началните условия в общото решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Замествайки C=5 в общото решение, получаваме x 2 + y 2 = 5 2 .

Това е конкретно решение на диференциално уравнение, получено от общо решение при дадени начални условия.

2. Намерете общото решение на диференциалното уравнение

Решението на това уравнение е всяка функция от формата , където C е произволна константа. Действително, замествайки , в уравненията, получаваме: , .

Следователно това диференциално уравнение има безкраен брой решения, тъй като за различни стойности на константата C равенството определя различни решения на уравнението.

Например чрез директно заместване можете да проверите дали функциите са решения на уравнението.

Задача, в която трябва да намерите определено решение на уравнението y" = f(x,y)удовлетворяващи първоначалното условие y(x 0) = y 0, се нарича проблем на Коши.

Решаване на уравнението y" = f(x,y), отговарящи на първоначалното условие, y(x 0) = y 0, се нарича решение на задачата на Коши.

Решението на проблема на Коши има прост геометричен смисъл. Всъщност, според тези определения, за решаване на проблема на Коши y" = f(x,y)предвид това y(x 0) = y 0, означава да се намери интегралната крива на уравнението y" = f(x,y)който преминава през дадена точка M 0 (x 0,y 0).

II. Диференциални уравнения от първи ред

2.1. Основни понятия

Диференциалното уравнение от първи ред е уравнение на формата F(x,y,y") = 0.

Диференциалното уравнение от първи ред включва първата производна и не включва производни от по-висок ред.

Уравнението y" = f(x,y)се нарича уравнение от първи ред, решено по отношение на производната.

Общото решение на диференциално уравнение от първи ред е функция от формата , която съдържа една произволна константа.

Пример.Разгледайте диференциално уравнение от първи ред.

Решението на това уравнение е функцията.

Наистина, замествайки това уравнение с неговата стойност, получаваме

това е 3x=3x

Следователно функцията е общо решение на уравнението за всяка константа C.

Намерете конкретно решение на това уравнение, което удовлетворява началното условие y(1)=1Заместване на началните условия x = 1, y = 1в общото решение на уравнението, получаваме откъде C=0.

Така получаваме конкретно решение от общото, като заместваме в това уравнение получената стойност C=0– частно решение.

2.2. Диференциални уравнения с разделими променливи

Диференциално уравнение с разделими променливи е уравнение от формата: y"=f(x)g(y)или чрез диференциали, където f(x)И g(y)– определени функции.

За тези г, за които , уравнението y"=f(x)g(y)е еквивалентно на уравнението, в която променливата гприсъства само от лявата страна, а променливата x е само от дясната страна. Те казват, „в ур. y"=f(x)g(yНека разделим променливите."

Уравнение на формата наречено уравнение с отделена променлива.

Интегриране на двете страни на уравнението от х, получаваме G(y) = F(x) + Cе общото решение на уравнението, където G(y)И F(x)– някои антипроизводни, съответно на функции и f(x), ° Спроизволна константа.

Алгоритъм за решаване на диференциално уравнение от първи ред с разделими променливи

Пример 1

Решете уравнението y" = xy

Решение. Производна на функция y"заменете го с

нека разделим променливите

Нека интегрираме двете страни на равенството:

Пример 2

2yy" = 1- 3x 2, Ако y 0 = 3при х 0 = 1

Това е уравнение с отделена променлива. Нека си го представим в диференциали. За да направим това, пренаписваме това уравнение във формата Оттук

Интегрирайки двете страни на последното равенство, намираме

Заместване на първоначалните стойности x 0 = 1, y 0 = 3ще намерим СЪС 9=1-1+° С, т.е. С = 9.

Следователно исканият частичен интеграл ще бъде или

Пример 3

Напишете уравнение за крива, минаваща през точка M(2;-3)и имаща тангенс с ъглов коефициент

Решение. Според условието

Това е уравнение с разделими променливи. Разделяйки променливите, получаваме:

Интегрирайки двете страни на уравнението, получаваме:

Използвайки началните условия, х = 2И y = - 3ще намерим ° С:

Следователно търсеното уравнение има формата

2.3. Линейни диференциални уравнения от първи ред

Линейно диференциално уравнение от първи ред е уравнение от формата y" = f(x)y + g(x)

Където f(x)И g(x)- някои определени функции.

Ако g(x)=0тогава линейното диференциално уравнение се нарича хомогенно и има формата: y" = f(x)y

Ако тогава уравнението y" = f(x)y + g(x)се нарича хетерогенна.

Общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение y" = f(x)yсе дава по формулата: където СЪС– произволна константа.

По-специално, ако C =0,тогава решението е y = 0Ако е линейно хомогенно уравнениеизглежда като y" = kyКъдето ке някаква константа, тогава нейното общо решение има формата: .

Общо решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение y" = f(x)y + g(x)се дава по формулата ,

тези. е равно на сумата от общото решение на съответното линейно хомогенно уравнение и частното решение на това уравнение.

За линейно нехомогенно уравнение от вида y" = kx + b,

Където кИ b- някои числа и определено решение ще бъдат постоянна функция. Следователно общото решение има формата .

Пример. Решете уравнението y" + 2y +3 = 0

Решение. Нека представим уравнението във формата y" = -2y - 3Където k = -2, b = -3Общото решение се дава с формулата.

Следователно, където C е произволна константа.

2.4. Решаване на линейни диференциални уравнения от първи ред по метода на Бернули

Намиране на общо решение на линейно диференциално уравнение от първи ред y" = f(x)y + g(x)свежда до решаване на две диференциални уравнения с разделени променливи чрез заместване y=uv, Където uИ v- неизвестни функции от х. Този метод на решение се нарича метод на Бернули.

Алгоритъм за решаване на линейно диференциално уравнение от първи ред

y" = f(x)y + g(x)

1. Въведете заместване y=uv.

2. Диференцирайте това равенство y" = u"v + uv"

3. Заместник гИ y"в това уравнение: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)или u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Групирайте членовете на уравнението така, че uизвади го от скоби:

5. От скобата, приравнявайки я на нула, намерете функцията

Това е разделимо уравнение:

Нека разделим променливите и да получим:

Където . .

6. Заменете получената стойност vв уравнението (от стъпка 4):

и намерете функцията Това е уравнение с разделими променливи:

7. Напишете общото решение във формата: , т.е. .

Пример 1

Намерете конкретно решение на уравнението y" = -2y +3 = 0Ако y =1при х = 0

Решение. Нека го решим чрез заместване y=uv,.y" = u"v + uv"

Заместване гИ y"в това уравнение, получаваме

Като групираме втория и третия член от лявата страна на уравнението, премахваме общия множител u извън скоби

Приравняваме израза в скоби към нула и след като решим полученото уравнение, намираме функцията v = v(x)

Получаваме уравнение с разделени променливи. Нека интегрираме двете страни на това уравнение: Намерете функцията v:

Нека заместим получената стойност vв уравнението, което получаваме:

Това е уравнение с отделена променлива. Нека интегрираме двете страни на уравнението: Нека намерим функцията u = u(x,c) Нека намерим общо решение: Нека намерим конкретно решение на уравнението, което удовлетворява началните условия y = 1при х = 0:

III. Диференциални уравнения от по-висок ред

3.1. Основни понятия и определения

Диференциално уравнение от втори ред е уравнение, съдържащо производни от не по-висок от втори ред. В общия случай диференциалното уравнение от втори ред се записва като: F(x,y,y",y") = 0

Общото решение на диференциално уравнение от втори ред е функция от формата , която включва две произволни константи C 1И C 2.

Конкретно решение на диференциално уравнение от втори ред е решение, получено от общо решение за определени стойности на произволни константи C 1И C 2.

3.2. Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициентинаречено уравнение на формата y" + py" +qy = 0, Където стрИ р- постоянни стойности.

Алгоритъм за решаване на хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

1. Напишете диференциалното уравнение във формата: y" + py" +qy = 0.

2. Съставете характеристичното му уравнение, като обозначите y"през r 2, y"през r, гв 1: r 2 + pr + q = 0

The онлайн калкулаторви позволява да решавате диференциални уравнения онлайн. Достатъчно е да въведете уравнението си в съответното поле, като обозначите производната на функцията с апостроф и щракнете върху бутона „решаване на уравнението“, а системата, реализирана на базата на популярния уебсайт WolframAlpha, ще даде подробни решаване на диференциално уравнениеабсолютно безплатно. Можете също така да дефинирате задача на Коши, за да изберете от целия набор от възможни решения частното, което съответства на дадените начални условия. Задачата на Коши се въвежда в отделно поле.

Диференциално уравнение

По подразбиране функцията в уравнението ге функция на променлива х. Можете обаче да зададете собствено обозначение за променливата; ако напишете например y(t) в уравнението, калкулаторът автоматично ще разпознае това гима функция от променлива T. С помощта на калкулатор можете решаване на диференциални уравненияот всякаква сложност и тип: хомогенни и нехомогенни, линейни или нелинейни, първи ред или втори и по-високи редове, уравнения с разделими или неразделими променливи и др. Решение разл. уравнението е дадено в аналитична форма, има Подробно описание. Диференциалните уравнения са много често срещани във физиката и математиката. Без тяхното изчисляване е невъзможно да се решат много проблеми (особено в математическата физика).

Един от етапите на решаване на диференциални уравнения е интегрирането на функции. Съществуват стандартни методи за решаване на диференциални уравнения. Необходимо е да се редуцират уравненията до форма с разделими променливи y и x и отделно да се интегрират разделените функции. За да направите това, понякога трябва да се направи определена подмяна.