Намерете общо решение за примери. Редът на диференциалното уравнение и неговото решение, задачата на Коши

Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения.
Диференциални уравнения с разделими променливи

Диференциални уравнения (DE). Тези две думи обикновено ужасяват обикновения човек. Диференциалните уравнения изглеждат нещо непосилно и трудно за овладяване за много ученици. ууууу... диференциални уравнения, как да преживея всичко това?!

Това мнение и това отношение е коренно погрешно, защото в действителност ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ – ПРОСТО Е И ДОРИ ЗАБАВНО. Какво трябва да знаете и да можете, за да се научите да решавате диференциални уравнения? За да изучавате успешно дифузи, трябва да сте добри в интегрирането и диференцирането. Колкото по-добре се изучават темите Производна на функция на една променливаИ Неопределен интеграл, толкова по-лесно ще бъде разбирането на диференциалните уравнения. Ще кажа повече, ако имате повече или по-малко прилични умения за интеграция, тогава темата е почти овладяна! Колкото повече интеграли различни видовезнаете как да решите - толкова по-добре. Защо? Ще трябва да интегрирате много. И разграничете. Също горещо препоръчвамнаучете се да намирате.

В 95% от случаите в тестовеИма 3 вида диференциални уравнения от първи ред: разделими уравнениякоито ще разгледаме в този урок; хомогенни уравненияИ линейни нееднородни уравнения. За тези, които започват да изучават дифузори, ви съветвам да прочетете уроците точно в този ред и след като изучите първите две статии, няма да навреди да консолидирате уменията си в допълнителен семинар - уравнения, свеждащи се до хомогенни.

Има още по-редки видове диференциални уравнения: общи диференциални уравнения, уравнения на Бернули и някои други. Най-важният от последните два вида са уравненията в общите диференциали, тъй като в допълнение към това диференциално уравнение считам нов материал – частична интеграция.

Ако ви остават само ден-два, Че за ултра бързо приготвянеИма блиц курсв pdf формат.

И така, ориентирите са поставени - да тръгваме:

Първо, нека си припомним обичайните алгебрични уравнения. Те съдържат променливи и числа. Най-простият пример: . Какво означава да решиш обикновено уравнение? Това означава намиране набор от числа, които удовлетворяват това уравнение. Лесно се забелязва, че уравнението на децата има един корен: . Просто за забавление, нека проверим и заместим намерения корен в нашето уравнение:

– получено е правилното равенство, което означава, че решението е намерено правилно.

Дифузорите са проектирани почти по същия начин!

Диференциално уравнение първа поръчкаобщо взето съдържа:
1) независима променлива;
2) зависима променлива (функция);
3) първата производна на функцията: .

В някои уравнения от първи ред може да няма „x“ и/или „y“, но това не е важно - важнода отидете в контролната зала бешепърва производна и не са ималипроизводни от по-високи разряди – и др.

Какво означава ?Решаването на диференциално уравнение означава намиране набор от всички функции, които удовлетворяват това уравнение. Такъв набор от функции често има формата (– произволна константа), която се нарича общо решение на диференциалното уравнение.

Пример 1

Решете диференциално уравнение

Пълни боеприпаси. Откъде да започна решение?

Първо, трябва да пренапишете производната в малко по-различна форма. Припомняме тромавото обозначение, което на мнозина от вас вероятно се е сторило нелепо и ненужно. Това е правилото в дифузьорите!

Във втората стъпка нека да видим дали е възможно отделни променливи?Какво означава да се разделят променливите? Грубо казано, отлявотрябва да си тръгваме само "гърци", А от дясната странаорганизирам само "Х". Разделянето на променливите се извършва с помощта на „училищни“ манипулации: поставянето им извън скоби, прехвърляне на термини от част към част с промяна на знака, прехвърляне на фактори от част към част според правилото за пропорцията и др.

Диференциали и са пълни умножители и активни участници във военните действия. В разглеждания пример променливите лесно се разделят чрез подхвърляне на факторите според правилото за пропорцията:

Променливите са разделени. От лявата страна има само "Y", от дясната страна - само "X".

Следващ етап - интегриране на диференциално уравнение. Просто е, поставяме интеграли от двете страни:

Разбира се, трябва да вземем интеграли. В този случай те са таблични:

Както си спомняме, константа се присвоява на всяка антипроизводна. Тук има два интеграла, но е достатъчно да напишете константата веднъж (тъй като константа + константа все още е равна на друга константа). В повечето случаи се поставя от дясната страна.

Строго погледнато, след като се вземат интегралите, диференциалното уравнение се счита за решено. Единственото нещо е, че нашето "y" не се изразява чрез "x", тоест решението е представено в имплицитноформа. Решението на диференциално уравнение в неявна форма се нарича общ интеграл на диференциалното уравнение. Тоест това е общ интеграл.

Отговорът в тази форма е доста приемлив, но има ли по-добър вариант? Нека се опитаме да получим общо решение .

Моля те, запомнете първата техника, той е много разпространен и често се използва в практически задачи: ако след интегриране от дясната страна се появи логаритъм, тогава в много случаи (но не винаги!) също е препоръчително да напишете константата под логаритъма.

Това е, ВМЕСТОзаписите обикновено са писмени .

Защо е необходимо това? И за да се улесни изразяването на „играта“. Използване на свойството на логаритмите . В такъв случай:

Сега логаритмите и модулите могат да бъдат премахнати:

Функцията е представена изрично. Това е общото решение.

Отговор: общо решение: .

Отговорите на много диференциални уравнения са доста лесни за проверка. В нашия случай това се прави съвсем просто, ние вземаме намереното решение и го диференцираме:

След това заместваме производната в оригиналното уравнение:

– получено е правилното равенство, което означава, че общото решение удовлетворява уравнението, което е необходимо да се провери.

Даване на константа различни значения, можете да получите безкрайно много частни решениядиференциално уравнение. Ясно е, че всяка от функциите , и т.н. удовлетворява диференциалното уравнение.

Понякога се извиква общото решение семейство от функции. В този пример общото решение е семейство от линейни функции или по-точно семейство от права пропорционалност.

След обстоен преглед на първия пример е уместно да отговоря на няколко наивни въпросиотносно диференциалните уравнения:

1)В този пример успяхме да разделим променливите. Може ли това винаги да се прави?Не винаги. И още по-често променливите не могат да бъдат разделени. Например в хомогенни уравнения от първи ред, първо трябва да го смените. В други видове уравнения, например в линейно нехомогенно уравнение от първи ред, трябва да използвате различни техники и методи, за да намерите общо решение. Уравнения с разделими променливи, които разглеждаме в първия урок - най-прост типдиференциални уравнения.

2) Винаги ли е възможно да се интегрира диференциално уравнение?Не винаги. Много е лесно да се измисли „фантастично“ уравнение, което не може да бъде интегрирано; освен това има интеграли, които не могат да бъдат взети. Но такива DE могат да бъдат решени приблизително с помощта на специални методи. Д’Аламбер и Коши гарантират... ...уф, луркмор.за да прочета много току-що, почти добавих „от онзи свят“.

3) В този пример получихме решение под формата на общ интеграл . Винаги ли е възможно да се намери общо решение от общ интеграл, тоест да се изрази изрично „y“?Не винаги. Например: . Е, как ще изразиш тук "гръцки"?! В такива случаи отговорът трябва да се запише като общ интеграл. Освен това понякога е възможно да се намери общо решение, но то е написано толкова тромаво и тромаво, че е по-добре да оставим отговора под формата на общ интеграл

4) ...може би това е достатъчно за сега. В първия пример, който срещнахме Друг важен момент , но за да не покривам „манекените“ с лавина от нова информация, ще го оставя за следващия урок.

Няма да бързаме. Друго просто дистанционно управление и друго типично решение:

Пример 2

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие

Решение: според състоянието, трябва да намерите частно решение DE, който отговаря на дадено начално условие. Тази постановка на въпроса се нарича още Проблем с Коши.

Първо намираме общо решение. В уравнението няма променлива „x“, но това не трябва да обърква, основното е, че има първата производна.

Пренаписваме производната в необходимата форма:

Очевидно променливите могат да бъдат разделени, момчета отляво, момичета отдясно:

Нека интегрираме уравнението:

Получава се общият интеграл. Тук съм нарисувал константа със звездичка, факт е, че много скоро тя ще се превърне в друга константа.

Сега се опитваме да трансформираме общия интеграл в общо решение (изразете изрично „y“). Да си припомним добрите стари неща от училище: . В такъв случай:

Константата в индикатора изглежда някак некошерна, така че обикновено се сваля на земята. В детайли така става. Използвайки свойството на степените, пренаписваме функцията, както следва:

Ако е константа, тогава е и някаква константа, нека я преозначим с буквата:

Не забравяйте, че „разрушаването“ е константа втора техника, който често се използва при решаване на диференциални уравнения.

И така, общото решение е: . Това е хубаво семейство от експоненциални функции.

На последния етап трябва да намерите конкретно решение, което да отговаря на даденото начално условие. Това също е просто.

Каква е задачата? Трябва да вземете такивастойността на константата, така че условието да е изпълнено.

Може да се форматира по различни начини, но това вероятно ще бъде най-ясният начин. В общото решение вместо „X“ заместваме нула, а вместо „Y“ заместваме две:



Това е,

Стандартна версия на дизайна:

Сега заместваме намерената стойност на константата в общото решение:
– това е конкретното решение, от което се нуждаем.

Отговор: лично решение:

Да проверим. Проверката на частно решение включва два етапа:

Първо трябва да проверите дали конкретното намерено решение наистина удовлетворява първоначалното условие? Вместо „X“ заместваме нула и вижте какво се случва:
- да, наистина е получена двойка, което означава, че първоначалното условие е изпълнено.

Вторият етап вече е познат. Взимаме полученото конкретно решение и намираме производната:

Заместваме в оригиналното уравнение:

– получава се правилното равенство.

Заключение: конкретното решение е намерено правилно.

Да преминем към по-смислени примери.

Пример 3

Решете диференциално уравнение

Решение:Пренаписваме производната във формата, от която се нуждаем:

Оценяваме дали е възможно да разделим променливите? Мога. Преместваме втория член от дясната страна с промяна на знака:

И прехвърляме множителите според правилото на пропорцията:

Променливите са разделени, нека интегрираме двете части:

Трябва да ви предупредя, че денят на страшния съд наближава. Ако не сте учили добре неопределени интеграли, са решили няколко примера, тогава няма къде да отидете - ще трябва да ги усвоите сега.

Интегралът на лявата страна е лесен за намиране; ние се занимаваме с интеграла на котангенса, използвайки стандартната техника, която разгледахме в урока Интегриране на тригонометрични функцииминалата година:

От дясната страна имаме логаритъм и, според първата ми техническа препоръка, константата също трябва да бъде записана под логаритъма.

Сега се опитваме да опростим общия интеграл. Тъй като имаме само логаритми, е напълно възможно (и необходимо) да се отървем от тях. Като се използва известни свойства„Паковаме“ логаритмите колкото е възможно повече. Ще го напиша много подробно:

Опаковката е варварски оръфана:

Може ли да се изрази „игра“? Мога. Необходимо е да квадратирате и двете части.

Но не е нужно да правите това.

трето технически съвети: ако за получаване на общо решение е необходимо да се повдигне на степен или да се вкоренят, тогава В повечето случаитрябва да се въздържате от тези действия и да оставите отговора под формата на общ интеграл. Факт е, че общото решение ще изглежда просто ужасно - с големи корени, знаци и други боклуци.

Затова записваме отговора под формата на общ интеграл. По добър начинСмята се, че се представя във формата , тоест от дясната страна, ако е възможно, оставете само константа. Не е необходимо да правите това, но винаги е полезно да угодите на професора ;-)

Отговор:общ интеграл:

! Забележка: общият интеграл на всяко уравнение не може да бъде написан единствения начин. Следователно, ако вашият резултат не съвпада с предварително известния отговор, това не означава, че сте решили уравнението неправилно.

Общият интеграл също е доста лесен за проверка, основното е да можете да намерите производна на функция, зададена имплицитно. Нека разграничим отговора:

Умножаваме двата члена по:

И разделете на:

Оригиналното диференциално уравнение е получено точно, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 4

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие. Извършете проверка.

Това е пример за независимо решение.

Нека ви напомня, че алгоритъмът се състои от два етапа:
1) намиране на общо решение;
2) намиране на необходимото конкретно решение.

Проверката също се извършва на две стъпки (вижте примера в Пример № 2), трябва да:
1) уверете се, че конкретното намерено решение отговаря на първоначалното условие;
2) проверете дали определено решение като цяло удовлетворява диференциалното уравнение.

Пълно решение и отговор в края на урока.

Пример 5

Намерете конкретно решение на диференциално уравнение , отговарящи на началното условие. Извършете проверка.

Решение:Първо, нека намерим общо решение.Това уравнение вече съдържа готови диференциали и следователно решението е опростено. Разделяме променливите:

Нека интегрираме уравнението:

Интегралът отляво е табличен, интегралът отдясно е взет метод за поставяне на функция под диференциалния знак:

Общият интеграл е получен; възможно ли е успешно да се изрази общото решение? Мога. Закачаме логаритми от двете страни. Тъй като те са положителни, модулните знаци са ненужни:

(Надявам се всички да разберат трансформацията, такива неща вече трябва да се знаят)

И така, общото решение е:

Нека намерим конкретно решение, отговарящо на даденото начално условие.
В общото решение вместо „X“ заместваме нула, а вместо „Y“ заместваме логаритъма от две:

По-познат дизайн:

Заместваме намерената стойност на константата в общото решение.

Отговор:лично решение:

Проверка: Първо, нека проверим дали е изпълнено първоначалното условие:
- всичко е наред.

Сега нека проверим дали намереното конкретно решение изобщо удовлетворява диференциалното уравнение. Намиране на производната:

Нека да разгледаме оригиналното уравнение: – представя се в диференциали. Има два начина за проверка. Възможно е да се изрази диференциала от намерената производна:

Нека заместим намереното конкретно решение и получения диференциал в първоначалното уравнение :

Използваме основната логаритмична идентичност:

Получава се правилното равенство, което означава, че конкретното решение е намерено правилно.

Вторият метод за проверка е огледален и по-познат: от уравнението Нека изразим производната, за да направим това, разделяме всички части на:

И в преобразуваното DE заместваме полученото частично решение и намерената производна. В резултат на опростявания трябва да се получи и правилното равенство.

Пример 6

Решете диференциално уравнение. Представете отговора под формата на общ интеграл.

Това е пример, който можете да решите сами, пълно решение и отговор в края на урока.

Какви трудности чакат при решаването на диференциални уравнения с разделими променливи?

1) Не винаги е очевидно (особено за „чайник“), че променливите могат да бъдат разделени. Нека помислим условен пример: . Тук трябва да извадите факторите от скоби: и да разделите корените: . Ясно е какво да правим по-нататък.

2) Трудности със самата интеграция. Интегралите често не са най-простите и ако има недостатъци в уменията за намиране неопределен интеграл, тогава ще е трудно с много дифузори. В допълнение, логиката „тъй като диференциалното уравнение е просто, тогава поне нека интегралите да бъдат по-сложни“ е популярна сред съставителите на колекции и ръководства за обучение.

3) Трансформации с константа. Както всички са забелязали, константата в диференциалните уравнения може да се борави доста свободно и някои трансформации не винаги са ясни за начинаещ. Нека да разгледаме друг условен пример: . Препоръчително е да умножите всички термини по 2: . Получената константа също е някакъв вид константа, която може да бъде означена с: . Да, и тъй като от дясната страна има логаритъм, тогава е препоръчително да пренапишете константата под формата на друга константа: .

Проблемът е, че те често не се занимават с индекси и използват една и съща буква. В резултат на това записът на решението приема следната форма:

Каква ерес? Точно там има грешки! Строго погледнато, да. От гледна точка на съдържанието обаче няма грешки, тъй като в резултат на преобразуване на променлива константа все пак се получава променлива константа.

Или друг пример, да предположим, че в хода на решаването на уравнението се получава общ интеграл. Този отговор изглежда грозен, така че е препоръчително да промените знака на всеки термин: . Формално тук има друга грешка - трябва да се пише отдясно. Но неофициално се подразбира, че „минус ce“ все още е константа ( което също толкова лесно може да приеме всякакво значение!), така че поставянето на „минус“ няма смисъл и можете да използвате същата буква.

Ще се опитам да избегна небрежен подход и все пак ще присвоя различни индекси на константите, когато ги преобразувам.

Пример 7

Решете диференциално уравнение. Извършете проверка.

Решение:Това уравнение позволява разделяне на променливи. Разделяме променливите:

Нека интегрираме:

Не е необходимо да дефинирате константата тук като логаритъм, тъй като нищо полезно няма да излезе от това.

Отговор:общ интеграл:

Проверка: Разграничете отговора (имплицитна функция):

Отърваваме се от дроби, като умножим двата члена по:

Получено е оригиналното диференциално уравнение, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 8

Намерете конкретно решение на DE.
,

Това е пример, който можете да решите сами. Единственият намек е, че тук ще получите общ интеграл и, по-правилно казано, трябва да се опитате да намерите не конкретно решение, а частичен интеграл. Пълно решение и отговор в края на урока.

Обикновено диференциално уравнение е уравнение, което свързва независима променлива, неизвестна функция на тази променлива и нейните производни (или диференциали) от различен порядък.

Редът на диференциалното уравнение се нарича ред на най-високата производна, съдържаща се в него.

Освен обикновените се изучават и частни диференциални уравнения. Това са уравнения, свързващи независими променливи, неизвестна функция на тези променливи и нейните частни производни по отношение на същите променливи. Но ние само ще разгледаме обикновени диференциални уравнения и затова, за краткост, ще пропуснем думата „обикновен“.

Примери за диференциални уравнения:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Уравнение (1) е от четвърти ред, уравнение (2) е от трети ред, уравнения (3) и (4) са от втори ред, уравнение (5) е от първи ред.

Диференциално уравнение нред не е задължително да съдържа изрична функция, всички нейни производни от първия до н-ти ред и независима променлива. Може да не съдържа изрично производни на определени порядки, функция или независима променлива.

Например, в уравнение (1) очевидно няма производни от трети и втори ред, както и функция; в уравнение (2) - производната от втори ред и функцията; в уравнение (4) - независимата променлива; в уравнение (5) - функции. Само уравнение (3) съдържа изрично всички производни, функцията и независимата променлива.

Решаване на диференциално уравнение всяка функция се извиква y = f(x), когато се замести в уравнението, то се превръща в идентичност.

Процесът на намиране на решение на диференциално уравнение се нарича негов интеграция.

Пример 1.Намерете решението на диференциалното уравнение.

Решение. Нека напишем това уравнение във формата. Решението е да се намери функцията от нейната производна. Първоначалната функция, както е известно от интегралното смятане, е антипроизводна за, т.е.

Това е, което е решение на това диференциално уравнение . Промяна в него ° С, ще получим различни решения. Открихме, че има безкраен брой решения на диференциално уравнение от първи ред.

Общо решение на диференциалното уравнение нред е неговото решение, изразено изрично по отношение на неизвестната функция и съдържащо ннезависими произволни константи, т.е.

Решението на диференциалното уравнение в пример 1 е общо.

Частично решение на диференциалното уравнение е решение, в което произволни константи са дадени специфични числови стойности.

Пример 2.Намерете общото решение на диференциалното уравнение и частно решение за .

Решение. Нека интегрираме двете страни на уравнението брой пъти, равен на реда на диференциалното уравнение.

,

.

В резултат на това получихме общо решение -

на дадено диференциално уравнение от трети ред.

Сега нека намерим конкретно решение при посочените условия. За да направите това, заменете техните стойности вместо произволни коефициенти и вземете

.

Ако в допълнение към диференциалното уравнение първоначалното условие е дадено във формата , тогава такава задача се нарича Проблем с Коши . Заместете стойностите и в общото решение на уравнението и намерете стойността на произволна константа ° Си след това конкретно решение на уравнението за намерената стойност ° С. Това е решението на проблема на Коши.

Пример 3.Решете задачата на Коши за диференциалното уравнение от Пример 1, предмет на .

Решение. Нека заместим стойностите от началното условие в общото решение г = 3, х= 1. Получаваме

Записваме решението на проблема на Коши за това диференциално уравнение от първи ред:

Решаването на диференциални уравнения, дори и на най-простите, изисква добри умения за интегриране и производни, включително сложни функции. Това може да се види в следния пример.

Пример 4.Намерете общото решение на диференциалното уравнение.

Решение. Уравнението е написано в такава форма, че можете веднага да интегрирате и двете страни.

.

Прилагаме метода на интегриране чрез промяна на променлива (заместване). Нека бъде тогава.

Задължително да се вземе dxи сега - внимание - правим това според правилата за диференциране на сложна функция, тъй като хи има сложна функция ("ябълка" - екстракт корен квадратенили, което е едно и също - повдигане на степен "половин", а "кайма" е самият израз под корена):

Намираме интеграла:

Връщане към променливата х, получаваме:

.

Това е общото решение на това диференциално уравнение от първа степен.

При решаването на диференциални уравнения ще са необходими не само умения от предишни раздели на висшата математика, но и умения от началната, тоест училищна математика. Както вече беше споменато, в диференциално уравнение от всякакъв ред може да няма независима променлива, т.е. х. Знанията за пропорциите от училище, които не са забравени (но в зависимост от кого) от училище, ще помогнат за решаването на този проблем. Това е следващият пример.

Нека си припомним задачата, която ни изправи при намирането на определени интеграли:

или dy = f(x)dx. Нейното решение:

и се свежда до пресмятане неопределен интеграл. На практика по-често се среща по-сложна задача: намирането на функцията г, ако е известно, че той удовлетворява отношение на формата

Тази връзка свързва независимата променлива х, неизвестна функция ги неговите производни до реда нвключително, се наричат .

Диференциалното уравнение включва функция под знака на производни (или диференциали) от един или друг ред. Най-високият ред се нарича ред (9.1) .

Диференциални уравнения:

- първа поръчка,

Втора поръчка

- пети ред и др.

Функцията, която удовлетворява дадено диференциално уравнение, се нарича негово решение , или интегрална . Решаването му означава намиране на всички негови решения. Ако за необходимата функция гуспяхме да получим формула, която дава всички решения, тогава казваме, че сме намерили нейното общо решение , или общ интеграл .

Общо решение съдържа нпроизволни константи и изглежда като

Ако се получи връзка, която се отнася x, yИ нпроизволни константи във форма, непозволена по отношение на г -

тогава такава връзка се нарича общ интеграл на уравнение (9.1).

Проблем с Коши

Всяко конкретно решение, т.е. всяка специфична функция, която удовлетворява дадено диференциално уравнение и не зависи от произволни константи, се нарича конкретно решение , или частичен интеграл. За да се получат частни решения (интеграли) от общите, на константите трябва да се дадат конкретни числени стойности.

Графиката на определено решение се нарича интегрална крива. Общото решение, което съдържа всички частични решения, е семейство от интегрални криви. За уравнение от първи ред това семейство зависи от една произволна константа за уравнението н-та поръчка - от нпроизволни константи.

Проблемът на Коши е да се намери конкретно решение на уравнението н-ти ред, задоволителен нначални условия:

чрез които се определят n константи c 1, c 2,..., c n.

Диференциални уравнения от 1-ви ред

За диференциално уравнение от първи ред, което е неразрешено по отношение на производната, то има формата

или за разрешено относително

Пример 3.46. Намерете общото решение на уравнението

Решение.Интегрирайки, получаваме

където C е произволна константа. Ако присвоим конкретни числени стойности на C, получаваме конкретни решения, например,

Пример 3.47. Помислете за нарастваща сума пари, депозирана в банката, при начисляване на 100 r сложна лихва на година. Нека Yo е първоначалната сума пари, а Yx - в края хгодини. Ако лихвата се изчислява веднъж годишно, получаваме

където x = 0, 1, 2, 3,.... Когато лихвата се изчислява два пъти годишно, получаваме

където x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... При изчисляване на лихвата нведнъж годишно и ако хприема последователни стойности 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогава

Обозначете 1/n = h, тогава предишното равенство ще изглежда така:

С неограничено увеличение н(при ) в лимита стигаме до процеса на увеличаване на сумата пари с непрекъснато начисляване на лихва:

Така става ясно, че при непрекъсната промяна хзаконът за изменението на паричното предлагане се изразява чрез диференциално уравнение от първи ред. Където Y x е неизвестна функция, х- независима променлива, r- постоянен. Нека решим това уравнение, за да направим това, ние го пренаписваме, както следва:

където , или , където P означава e C .

От началните условия Y(0) = Yo намираме P: Yo = Pe o, откъдето Yo = P. Следователно решението има формата:

Нека разгледаме втория икономически проблем. Макроикономическите модели също се описват с линейни диференциални уравнения от първи ред, описващи промените в дохода или продукцията Y като функции на времето.

Пример 3.48. Нека националният доход Y нараства със скорост, пропорционална на неговата стойност:

и нека дефицитът в държавните разходи е правопропорционален на дохода Y с коефициента на пропорционалност р. Дефицитът на разходите води до увеличаване на националния дълг D:

Начални условия Y = Yo и D = Do при t = 0. От първото уравнение Y= Yoe kt. Като заместим Y, получаваме dD/dt = qYoe kt. Общото решение има формата
D = (q/ k) Yoe kt +С, където С = const, което се определя от началните условия. Замествайки началните условия, получаваме Do = (q/ k)Yo + C. И така, накрая,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

това показва, че националният дълг нараства със същата относителна скорост к, същото като националния доход.

Нека разгледаме най-простите диференциални уравнения нти ред, това са уравнения от вида

Неговото общо решение може да се получи с помощта на нпъти интеграции.

Пример 3.49.Разгледайте примера y """ = cos x.

Решение.Интегрирайки, намираме

Общото решение има формата

Линейни диференциални уравнения

Те се използват широко в икономиката; нека разгледаме решаването на такива уравнения. Ако (9.1) има формата:

тогава се нарича линеен, където рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - определени функции. Ако f(x) = 0, тогава (9.2) се нарича хомогенно, в противен случай се нарича нехомогенно. Общото решение на уравнение (9.2) е равно на сумата от всяко негово частно решение y(x)и общо решение хомогенно уравнениесъответстващ на него:

Ако коефициентите р o (x), р 1 (x),..., р n (x) са постоянни, тогава (9.2)

(9.4) се нарича линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти на ред н .

За (9.4) има формата:

Без загуба на общност можем да зададем p o = 1 и да запишем (9.5) във формата

Ще търсим решение (9.6) във формата y = e kx, където k е константа. Ние имаме: ; y " = ke kx, y "" = k 2 e kx, ..., y (n) = kne kx. Замествайки получените изрази в (9.6), ще имаме:

(9.7) е алгебрично уравнение, неговото неизвестно е к, тя се нарича характеристика. Характеристичното уравнение има степен нИ нкорени, сред които може да има както множество, така и сложни. Тогава нека k 1 , k 2 ,..., k n са реални и различни - частни решения (9.7) и общи

Разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти:

Неговото характеристично уравнение има формата

(9.9)

неговият дискриминант D = p 2 - 4q, в зависимост от знака на D са възможни три случая.

1. Ако D>0, тогава корените k 1 и k 2 (9.9) са реални и различни и общото решение има формата:

Решение.Характеристично уравнение: k 2 + 9 = 0, откъдето k = ± 3i, a = 0, b = 3, общото решение има формата:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Линейни диференциални уравнения от 2-ри ред се използват, когато се изучава уеб-тип икономически модел със запаси от стоки, където скоростта на промяна на цената P зависи от размера на запасите (вижте параграф 10). В случай, че търсенето и предлагането са линейни функциицени, т.е

a е константа, която определя скоростта на реакция, тогава процесът на промяна на цената се описва от диференциалното уравнение:

За конкретно решение можем да вземем константа

смислена равновесна цена. отклонение удовлетворява хомогенното уравнение

(9.10)

Характеристичното уравнение ще бъде както следва:

В случай, че срокът е положителен. Нека обозначим . Корените на характеристичното уравнение k 1,2 = ± i w, следователно общото решение (9.10) има формата:

където C и са произволни константи, те се определят от началните условия. Получихме закона за промяната на цените във времето:

I. Обикновени диференциални уравнения

1.1. Основни понятия и определения

Диференциалното уравнение е уравнение, което свързва независима променлива х, необходимата функция ги неговите производни или диференциали.

Символично диференциалното уравнение се записва по следния начин:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Диференциалното уравнение се нарича обикновено, ако търсената функция зависи от една независима променлива.

Решаване на диференциално уравнениесе нарича функция, която превръща това уравнение в идентичност.

Редът на диференциалното уравнениее порядъкът на най-високата производна, включена в това уравнение

Примери.

1. Разгледайте диференциално уравнение от първи ред

Решението на това уравнение е функцията y = 5 ln x. Наистина, заместване y"в уравнението, получаваме идентичността.

И това означава, че функцията y = 5 ln x– е решение на това диференциално уравнение.

2. Разгледайте диференциалното уравнение от втори ред y" - 5y" +6y = 0. Функцията е решението на това уравнение.

Наистина ли, .

Замествайки тези изрази в уравнението, получаваме: , – идентичност.

И това означава, че функцията е решението на това диференциално уравнение.

Интегриране на диференциални уравненияе процес на намиране на решения на диференциални уравнения.

Общо решение на диференциалното уравнениенаречена функция на формата , което включва толкова независими произволни константи, колкото е редът на уравнението.

Частично решение на диференциалното уравнениее решение, получено от общо решение за различни числени стойности на произволни константи. Стойностите на произволни константи се намират при определени начални стойности на аргумента и функцията.

Графиката на конкретно решение на диференциално уравнение се нарича интегрална крива.

Примери

1. Намерете конкретно решение на диференциално уравнение от първи ред

xdx + ydy = 0, Ако г= 4 at х = 3.

Решение. Интегрирайки двете страни на уравнението, получаваме

Коментирайте. Произволна константа C, получена в резултат на интегриране, може да бъде представена във всяка форма, удобна за по-нататъшни трансформации. В този случай, като се вземе предвид каноничното уравнение на кръг, е удобно да се представи произволна константа C във формата.

- общо решение на диференциалното уравнение.

Частно решение на уравнението, удовлетворяващо началните условия г = 4 at х = 3 се намира от общото чрез заместване на началните условия в общото решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Замествайки C=5 в общото решение, получаваме x 2 + y 2 = 5 2 .

Това е конкретно решение на диференциално уравнение, получено от общо решение при дадени начални условия.

2. Намерете общото решение на диференциалното уравнение

Решението на това уравнение е всяка функция от формата , където C е произволна константа. Действително, замествайки , в уравненията, получаваме: , .

Следователно това диференциално уравнение има безкраен брой решения, тъй като за различни стойности на константата C равенството определя различни решения на уравнението.

Например чрез директно заместване можете да проверите дали функциите са решения на уравнението.

Задача, в която трябва да намерите определено решение на уравнението y" = f(x,y)удовлетворяващи първоначалното условие y(x 0) = y 0, се нарича проблем на Коши.

Решаване на уравнението y" = f(x,y), отговарящи на първоначалното условие, y(x 0) = y 0, се нарича решение на задачата на Коши.

Решението на проблема на Коши има прост геометричен смисъл. Всъщност, според тези определения, за решаване на проблема на Коши y" = f(x,y)предвид това y(x 0) = y 0, означава да се намери интегралната крива на уравнението y" = f(x,y)който преминава през дадена точка M 0 (x 0,y 0).

II. Диференциални уравнения от първи ред

2.1. Основни понятия

Диференциалното уравнение от първи ред е уравнение на формата F(x,y,y") = 0.

Диференциалното уравнение от първи ред включва първата производна и не включва производни от по-висок ред.

Уравнението y" = f(x,y)се нарича уравнение от първи ред, решено по отношение на производната.

Общото решение на диференциално уравнение от първи ред е функция от формата , която съдържа една произволна константа.

Пример.Разгледайте диференциално уравнение от първи ред.

Решението на това уравнение е функцията.

Наистина, замествайки това уравнение с неговата стойност, получаваме

това е 3x=3x

Следователно функцията е общо решение на уравнението за всяка константа C.

Намерете конкретно решение на това уравнение, което удовлетворява началното условие y(1)=1Заместване на началните условия x = 1, y = 1в общото решение на уравнението, получаваме откъде C=0.

Така получаваме конкретно решение от общото, като заместваме в това уравнение получената стойност C=0– частно решение.

2.2. Диференциални уравнения с разделими променливи

Диференциално уравнение с разделими променливи е уравнение от формата: y"=f(x)g(y)или чрез диференциали, където f(x)И g(y)– определени функции.

За тези г, за които , уравнението y"=f(x)g(y)е еквивалентно на уравнението, в която променливата гприсъства само от лявата страна, а променливата x е само от дясната страна. Те казват, „в ур. y"=f(x)g(yНека разделим променливите."

Уравнение на формата наречено уравнение с отделена променлива.

Интегриране на двете страни на уравнението от х, получаваме G(y) = F(x) + Cе общото решение на уравнението, където G(y)И F(x)– някои антипроизводни, съответно на функции и f(x), ° Спроизволна константа.

Алгоритъм за решаване на диференциално уравнение от първи ред с разделими променливи

Пример 1

Решете уравнението y" = xy

Решение. Производна на функция y"заменете го с

нека разделим променливите

Нека интегрираме двете страни на равенството:

Пример 2

2yy" = 1- 3x 2, Ако y 0 = 3при х 0 = 1

Това е уравнение с отделена променлива. Нека си го представим в диференциали. За да направим това, пренаписваме това уравнение във формата Оттук

Интегрирайки двете страни на последното равенство, намираме

Заместване на първоначалните стойности x 0 = 1, y 0 = 3ще намерим СЪС 9=1-1+° С, т.е. С = 9.

Следователно исканият частичен интеграл ще бъде или

Пример 3

Напишете уравнение за крива, минаваща през точка M(2;-3)и имаща тангенс с ъглов коефициент

Решение. Според условието

Това е уравнение с разделими променливи. Разделяйки променливите, получаваме:

Интегрирайки двете страни на уравнението, получаваме:

Използвайки началните условия, х = 2И y = - 3ще намерим ° С:

Следователно търсеното уравнение има формата

2.3. Линейни диференциални уравнения от първи ред

Линейно диференциално уравнение от първи ред е уравнение от формата y" = f(x)y + g(x)

Където f(x)И g(x)- някои определени функции.

Ако g(x)=0тогава линейното диференциално уравнение се нарича хомогенно и има формата: y" = f(x)y

Ако тогава уравнението y" = f(x)y + g(x)се нарича хетерогенна.

Общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение y" = f(x)yсе дава по формулата: където СЪС– произволна константа.

По-специално, ако C =0,тогава решението е y = 0Ако едно линейно хомогенно уравнение има формата y" = kyКъдето ке някаква константа, тогава нейното общо решение има формата: .

Общо решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение y" = f(x)y + g(x)се дава по формулата ,

тези. е равно на сумата от общото решение на съответното линейно хомогенно уравнение и частното решение на това уравнение.

За линейно нехомогенно уравнение от вида y" = kx + b,

Където кИ b- някои числа и определено решение ще бъдат постоянна функция. Следователно общото решение има формата .

Пример. Решете уравнението y" + 2y +3 = 0

Решение. Нека представим уравнението във формата y" = -2y - 3Където k = -2, b = -3Общото решение се дава с формулата.

Следователно, където C е произволна константа.

2.4. Решаване на линейни диференциални уравнения от първи ред по метода на Бернули

Намиране на общо решение на линейно диференциално уравнение от първи ред y" = f(x)y + g(x)свежда до решаване на две диференциални уравнения с разделени променливи чрез заместване y=uv, Където uИ v- неизвестни функции от х. Този метод на решение се нарича метод на Бернули.

Алгоритъм за решаване на линейно диференциално уравнение от първи ред

y" = f(x)y + g(x)

1. Въведете заместване y=uv.

2. Диференцирайте това равенство y" = u"v + uv"

3. Заместник гИ y"в това уравнение: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)или u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Групирайте членовете на уравнението така, че uизвади го от скоби:

5. От скобата, приравнявайки я на нула, намерете функцията

Това е разделимо уравнение:

Нека разделим променливите и да получим:

Където . .

6. Заменете получената стойност vв уравнението (от стъпка 4):

и намерете функцията Това е уравнение с разделими променливи:

7. Напишете общото решение във формата: , т.е. .

Пример 1

Намерете конкретно решение на уравнението y" = -2y +3 = 0Ако y =1при х = 0

Решение. Нека го решим с помощта на заместване y=uv,.y" = u"v + uv"

Заместване гИ y"в това уравнение получаваме

Като групираме втория и третия член от лявата страна на уравнението, премахваме общия множител u извън скоби

Приравняваме израза в скоби към нула и след като решим полученото уравнение, намираме функцията v = v(x)

Получаваме уравнение с разделени променливи. Нека интегрираме двете страни на това уравнение: Намерете функцията v:

Нека заместим получената стойност vв уравнението, което получаваме:

Това е уравнение с отделена променлива. Нека интегрираме двете страни на уравнението: Нека намерим функцията u = u(x,c) Нека намерим общо решение: Нека намерим конкретно решение на уравнението, което удовлетворява началните условия y = 1при х = 0:

III. Диференциални уравнения от по-висок ред

3.1. Основни понятия и определения

Диференциално уравнение от втори ред е уравнение, съдържащо производни от не по-висок от втори ред. В общия случай диференциалното уравнение от втори ред се записва като: F(x,y,y",y") = 0

Общото решение на диференциално уравнение от втори ред е функция от формата , която включва две произволни константи C 1И C 2.

Конкретно решение на диференциално уравнение от втори ред е решение, получено от общо решение за определени стойности на произволни константи C 1И C 2.

3.2. Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициентинаречено уравнение на формата y" + py" +qy = 0, Където стрИ р- постоянни стойности.

Алгоритъм за решаване на хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

1. Напишете диференциалното уравнение във формата: y" + py" +qy = 0.

2. Съставете характеристичното му уравнение, като обозначите y"през r 2, y"през r, гв 1: r 2 + pr + q = 0

Диференциалното уравнение е уравнение, което включва функция и една или повече от нейните производни. В повечето практически задачи функциите са физични величини, производните съответстват на скоростите на изменение на тези величини, а уравнението определя връзката между тях.

Тази статия обсъжда методи за решаване на някои видове обикновени диференциални уравнения, решенията на които могат да бъдат записани във формата елементарни функции, тоест полиномни, експоненциални, логаритмични и тригонометрични, както и техните обратни функции. Много от тези уравнения се появяват в Истински живот, въпреки че повечето други диференциални уравнения не могат да бъдат решени с тези методи и за тях отговорът е написан под формата на специални функции или степенни редове, или се намира чрез числени методи.

За да разберете тази статия, трябва да владеете диференциално и интегрално смятане, както и да имате известна представа за частни производни. Препоръчва се също така да се познават основите на линейната алгебра, приложена към диференциалните уравнения, особено диференциалните уравнения от втори ред, въпреки че познаването на диференциалното и интегралното смятане е достатъчно за решаването им.

Предварителна информация

• Диференциалните уравнения имат обширна класификация. Тази статия говори за обикновени диференциални уравнения, тоест за уравнения, които включват функция на една променлива и нейните производни. Обикновените диференциални уравнения са много по-лесни за разбиране и решаване от частични диференциални уравнения, които включват функции на няколко променливи. Тази статия не обсъжда частични диференциални уравнения, тъй като методите за решаване на тези уравнения обикновено се определят от тяхната конкретна форма.
  • По-долу са някои примери за обикновени диференциални уравнения.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • По-долу са някои примери за частични диференциални уравнения.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\partial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Поръчкана диференциално уравнение се определя от реда на най-високата производна, включена в това уравнение. Първото от горните обикновени диференциални уравнения е от първи ред, докато второто е уравнение от втори ред. Степенсе нарича диференциално уравнение най-висока степен, към който е повдигнат един от членовете на това уравнение.
  • Например, уравнението по-долу е от трети ред и втора степен.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ надясно)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Диференциалното уравнение е линейно диференциално уравнениев случай, че функцията и всички нейни производни са на първа степен. В противен случай уравнението е нелинейно диференциално уравнение. Линейните диференциални уравнения са забележителни с това, че техните решения могат да се използват за образуване на линейни комбинации, които също ще бъдат решения на даденото уравнение.
  • По-долу са някои примери за линейни диференциални уравнения.
  • По-долу са дадени някои примери за нелинейни диференциални уравнения. Първото уравнение е нелинейно поради синуса.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Общо решениеобикновеното диференциално уравнение не е уникално, то включва произволни интеграционни константи. В повечето случаи броят на произволните константи е равен на реда на уравнението. На практика стойностите на тези константи се определят въз основа на даденото начални условия, тоест според стойностите на функцията и нейните производни при x = 0. (\displaystyle x=0.)Броят на началните условия, които трябва да се намерят частно решениедиференциално уравнение, в повечето случаи също е равно на реда на даденото уравнение.
  • Например тази статия ще разгледа решаването на уравнението по-долу. Това е линейно диференциално уравнение от втори ред. Неговото общо решение съдържа две произволни константи. За да се намерят тези константи е необходимо да се знаят началните условия при x (0) (\displaystyle x(0))И x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).)Обикновено началните условия се уточняват в точката x = 0, (\displaystyle x=0,), въпреки че това не е необходимо. Тази статия също така ще обсъди как да намерите конкретни решения за дадени начални условия.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

стъпки

Част 1

Когато използвате тази услуга, част от информацията може да бъде прехвърлена към YouTube.

1. Линейни уравнения от първи ред.Този раздел обсъжда методи за решаване на линейни диференциални уравнения от първи ред в общи и специални случаи, когато някои членове са равни на нула. Нека се преструваме, че y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))И q (x) (\displaystyle q(x))са функции х. (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)Според една от основните теореми на математическия анализ, интегралът на производната на функция също е функция. По този начин е достатъчно просто да интегрирате уравнението, за да намерите неговото решение. Трябва да се има предвид, че при изчисляване на неопределения интеграл се появява произволна константа.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)Използваме метода разделяне на променливи. Това премества различни променливи към различни страни на уравнението. Например, можете да преместите всички членове от y (\displaystyle y)в едно и всички членове с x (\displaystyle x)от другата страна на уравнението. Членовете също могат да бъдат прехвърляни d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)И d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), които са включени в производни изрази, но трябва да се помни, че те са просто символ, което е удобно при разграничаване сложна функция. Обсъждане на тези членове, които се наричат диференциали, е извън обхвата на тази статия.

   • Първо, трябва да преместите променливите в противоположните страни на знака за равенство.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Нека интегрираме двете страни на уравнението. След интегрирането ще се появят произволни константи от двете страни, които могат да бъдат прехвърлени в дясната страна на уравнението.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Пример 1.1.В последната стъпка използвахме правилото e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))и заменен e C (\displaystyle e^(C))На C (\displaystyle C), тъй като това също е произволна интеграционна константа.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin(aligned )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(подравнено)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)За да намерим общо решение, ние въведохме интегриращ факторкато функция на x (\displaystyle x)за да намалим лявата страна до обща производна и по този начин да решим уравнението.

   • Умножете двете страни по μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • За да се намали лявата страна до общата производна, трябва да се направят следните трансформации:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Последното равенство означава това d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Това е интегриращ фактор, който е достатъчен за решаване на всяко линейно уравнение от първи ред. Сега можем да изведем формулата за решаване на това уравнение по отношение на μ , (\displaystyle \mu ,)въпреки че е полезно за обучение да се правят всички междинни изчисления.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Пример 1.2.Този пример показва как да се намери конкретно решение на диференциално уравнение с дадени начални условия.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Решаване на линейни уравнения от първи ред (записано от Intuit – Национален Отворен Университет).

2. Нелинейни уравнения от първи ред. Този раздел обсъжда методи за решаване на някои нелинейни диференциални уравнения от първи ред. Въпреки че няма общ метод за решаване на такива уравнения, някои от тях могат да бъдат решени с помощта на методите по-долу.

   D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)Ако функцията f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))може да се раздели на функции на една променлива, такова уравнение се нарича диференциално уравнение с разделими променливи. В този случай можете да използвате горния метод:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )х)
   • Пример 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ начало (подравнено)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(подравнено)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).)Нека се преструваме, че g (x, y) (\displaystyle g(x,y))И h (x, y) (\displaystyle h(x,y))са функции x (\displaystyle x)И г. (\displaystyle y.)Тогава хомогенно диференциално уравнениее уравнение, в което g (\displaystyle g)И h (\displaystyle h)са хомогенни функциив същата степен. Тоест функциите трябва да отговарят на условието g (α x, α y) = α k g (x, y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)Където k (\displaystyle k)се нарича степен на хомогенност. Всяко хомогенно диференциално уравнение може да се използва по подходящ начин замествания на променливи (v = y / x (\displaystyle v=y/x)или v = x / y (\displaystyle v=x/y)) конвертирайте в разделимо уравнение.

   • Пример 1.4.Горното описание на хомогенността може да изглежда неясно. Нека разгледаме тази концепция с пример.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Като начало трябва да се отбележи, че това уравнение е нелинейно по отношение на г. (\displaystyle y.)Виждаме също, че в този случай е невъзможно да се разделят променливите. В същото време това диференциално уравнение е хомогенно, тъй като и числителят, и знаменателят са хомогенни със степен 3. Следователно можем да направим промяна на променливите v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x, d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)В резултат на това имаме уравнението за v (\displaystyle v)с разделими променливи.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)Това Диференциално уравнение на Бернули- специален вид нелинейно уравнение от първа степен, чието решение може да бъде написано с помощта на елементарни функции.

   • Умножете двете страни на уравнението по (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Използваме правилото за диференциране на сложна функция от лявата страна и трансформираме уравнението в линейно уравнениеотносително y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)които могат да бъдат решени с помощта на горните методи.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.)Това уравнение в общи диференциали. Необходимо е да се намери т.нар потенциална функция φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), което отговаря на условието d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • За да се изпълни това условие е необходимо да има тотална производна. Общата производна отчита зависимостта от други променливи. За изчисляване на общата производна φ (\displaystyle \varphi )от x , (\displaystyle x,)предполагаме, че y (\displaystyle y)може също да зависи от х. (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Сравняването на термините ни дава M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))И N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).)Това е типичен резултат за уравнения с няколко променливи, в които смесените производни на гладки функции са равни една на друга. Понякога този случай се нарича Теорема на Клеро. В този случай диференциалното уравнение е общо диференциално уравнение, ако е изпълнено следното условие:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • Методът за решаване на уравнения в общите диференциали е подобен на намирането на потенциални функции при наличието на няколко производни, които ще обсъдим накратко. Първо нека се интегрираме M (\displaystyle M)от х. (\displaystyle x.)Тъй като M (\displaystyle M)е функция и x (\displaystyle x), И y , (\displaystyle y,)при интегриране получаваме непълна функция φ , (\displaystyle \varphi ,)обозначен като φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Резултатът също зависи от y (\displaystyle y)интеграционна константа.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • След това, за да получите c (y) (\displaystyle c(y))можем да вземем частната производна на получената функция по отношение на y , (\displaystyle y,)приравнете резултата N (x, y) (\displaystyle N(x,y))и интегрирайте. Можете също първо да интегрирате N (\displaystyle N), и след това вземете частичната производна по отношение на x (\displaystyle x), което ще ви позволи да намерите произволна функция d(x). (\displaystyle d(x).)И двата метода са подходящи и обикновено за интегриране се избира по-простата функция.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ частично (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Пример 1.5.Можете да вземете частни производни и да видите, че уравнението по-долу е общо диференциално уравнение.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Ако диференциалното уравнение не е общо диференциално уравнение, в някои случаи можете да намерите интегриращ фактор, който ви позволява да го преобразувате в общо диференциално уравнение. Въпреки това, такива уравнения рядко се използват на практика, въпреки че интегриращият фактор съществува, случва се да го намерите Не е лесно, следователно тези уравнения не се разглеждат в тази статия.

Част 2

1. Хомогенни линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти.Тези уравнения се използват широко в практиката, така че тяхното решаване е от първостепенно значение. В този случай не говорим за хомогенни функции, а за факта, че от дясната страна на уравнението има 0. Следващият раздел ще покаже как да решите съответната разнороднидиференциални уравнения. По-долу a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)са константи.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Характеристично уравнение. Това диференциално уравнение е забележително с това, че може да бъде решено много лесно, ако обърнете внимание какви свойства трябва да притежават неговите решения. От уравнението става ясно, че y (\displaystyle y)и неговите производни са пропорционални една на друга. От предишни примери, които бяха обсъдени в раздела за уравнения от първи ред, знаем, че само експоненциална функция има това свойство. Следователно е възможно да се изложи анзац(обосновано предположение) какво ще бъде решението на дадено уравнение.

   • Решението ще има формата на експоненциална функция e r x , (\displaystyle e^(rx),)Където r (\displaystyle r)е константа, чиято стойност трябва да се намери. Заместете тази функция в уравнението и получете следния израз
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Това уравнение показва, че произведението на експоненциална функция и полином трябва да е равно на нула. Известно е, че показателят не може да бъде равен на нула за никакви стойности на степента. От това заключаваме, че полиномът е равен на нула. Така сведохме проблема за решаване на диференциално уравнение до много по-простия проблем за решаване на алгебрично уравнение, което се нарича характеристично уравнение за дадено диференциално уравнение.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Имаме два корена. Тъй като това диференциално уравнение е линейно, общото му решение е линейна комбинация от частични решения. Тъй като това е уравнение от втори ред, знаем, че е така наистина лиобщо решение и няма други. По-строго оправдание за това се намира в теореми за съществуването и уникалността на решение, които могат да бъдат намерени в учебниците.
   • Полезен начин да проверите дали две решения са линейно независими е да изчислите Вронскиана. Вронскиан W (\displaystyle W)е детерминанта на матрица, чиито колони съдържат функции и техните последователни производни. Теоремата за линейната алгебра гласи, че функциите, включени в Wronskian, са линейно зависими, ако Wronskian е равен на нула. В този раздел можем да проверим дали две решения са линейно независими - за да направим това, трябва да сме сигурни, че Wronskian не е нула. Wronskian е важен при решаване на нехомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти по метода на вариращите параметри.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • От гледна точка на линейната алгебра, множеството от всички решения на дадено диференциално уравнение образува векторно пространство, чиято размерност е равна на реда на диференциалното уравнение. В това пространство може да се избере основа от линейно независимирешения един от друг. Това е възможно поради факта, че функцията y (x) (\displaystyle y(x))валиден линеен оператор. Производна елинеен оператор, тъй като трансформира пространството на диференцируемите функции в пространството на всички функции. Уравненията се наричат ​​хомогенни в случаите, когато за някои линеен оператор L (\displaystyle L)трябва да намерим решение на уравнението L [y] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Нека сега да разгледаме няколко конкретни примери. Ще разгледаме случая на множество корени на характеристичното уравнение малко по-късно, в раздела за намаляване на реда.

   Ако корените r ± (\displaystyle r_(\pm ))са различни реални числа, диференциалното уравнение има следното решение

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Два сложни корена.От основната теорема на алгебрата следва, че решенията на полиномиални уравнения с реални коефициенти имат корени, които са реални или образуват спрегнати двойки. Следователно, ако комплексно число r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )тогава е коренът на характеристичното уравнение r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )също е коренът на това уравнение. Така можем да запишем решението във формуляра c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)това обаче е комплексно число и не е желателно за решаване на практически проблеми.

   • Вместо това можете да използвате Формула на Ойлер e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), което ни позволява да напишем решението във формата тригонометрични функции:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Сега можете вместо константа c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))записвам c 1 (\displaystyle c_(1)), и изразът i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))заменен от c 2 . (\displaystyle c_(2).)След това получаваме следното решение:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
   • Има друг начин да напишете решението по отношение на амплитудата и фазата, който е по-подходящ за физични задачи.
   • Пример 2.1.Нека намерим решение на даденото по-долу диференциално уравнение с дадените начални условия. За да направите това, трябва да вземете получения разтвор, както и негова производна, и ги заместваме в началните условия, което ще ни позволи да определим произволни константи.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )и)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Решаване на диференциални уравнения от n-ти ред с постоянни коефициенти (записано от Intuit - Национален отворен университет).

2. Намаляващ ред.Намаляването на реда е метод за решаване на диференциални уравнения, когато е известно едно линейно независимо решение. Този метод се състои в понижаване на реда на уравнението с единица, което ви позволява да решите уравнението, като използвате методите, описани в предишния раздел. Нека решението е известно. Основната идея за намаляване на поръчката е да се намери решение във формата по-долу, където е необходимо да се дефинира функцията v (x) (\displaystyle v(x)), замествайки го в диференциалното уравнение и намирайки v(x). (\displaystyle v(x).)Нека да разгледаме как може да се използва намаляване на реда за решаване на диференциално уравнение с постоянни коефициенти и множество корени.

   
   

   Множество коренихомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. Спомнете си, че уравнение от втори ред трябва да има две линейно независими решения. Ако характеристичното уравнение има множество корени, множеството от решения Необразува пространство, тъй като тези решения са линейно зависими. В този случай е необходимо да се използва намаляване на реда, за да се намери второ линейно независимо решение.

   • Нека характеристичното уравнение има множество корени r (\displaystyle r). Да приемем, че второто решение може да бъде записано във формата y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), и го заместете в диференциалното уравнение. В този случай повечето членове, с изключение на члена с втората производна на функцията v, (\displaystyle v,)ще бъдат намалени.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Пример 2.2.Нека е дадено следното уравнение, което има множество корени r = − 4. (\displaystyle r=-4.)По време на заместването повечето термини се намаляват.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\край (подравнено)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
   • Подобно на нашия анзац за диференциално уравнение с постоянни коефициенти, в този случай само втората производна може да бъде равна на нула. Интегрираме два пъти и получаваме желания израз за v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Тогава общото решение на диференциално уравнение с постоянни коефициенти в случая, когато характеристичното уравнение има множество корени, може да бъде записано в следната форма. За удобство можете да запомните, че за да получите линейна независимост е достатъчно просто да умножите втория член по x (\displaystyle x). Този набор от решения е линейно независим и по този начин сме намерили всички решения на това уравнение.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)Намаляването на поръчката е приложимо, ако решението е известно y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), които могат да бъдат намерени или дадени в формулировката на проблема.

   • Търсим решение във формата y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))и го заместете в това уравнение:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Тъй като y 1 (\displaystyle y_(1))е решение на диференциално уравнение, всички членове с v (\displaystyle v)се намаляват. Накрая остава линейно уравнение от първи ред. За да видим това по-ясно, нека направим промяна на променливите w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Ако интегралите могат да бъдат изчислени, получаваме общото решение като комбинация от елементарни функции. В противен случай решението може да се остави в интегрална форма.

3. Уравнение на Коши-Ойлер.Уравнението на Коши-Ойлер е пример за диференциално уравнение от втори ред с променливикоефициенти, който има точни решения. Това уравнение се използва на практика, например, за решаване на уравнението на Лаплас в сферични координати.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Характеристично уравнение.Както можете да видите, в това диференциално уравнение всеки член съдържа фактор на мощността, чиято степен е равна на порядъка на съответната производна.

   • Така можете да опитате да потърсите решение във формата y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)където е необходимо да се определи n (\displaystyle n), точно както търсихме решение под формата на експоненциална функция за линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. След диференциране и заместване получаваме
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • За да използваме характеристичното уравнение, трябва да приемем, че x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Точка x = 0 (\displaystyle x=0)Наречен правилна особена точкадиференциално уравнение. Такива точки са важни при решаване на диференциални уравнения с помощта на степенни редове. Това уравнение има два корена, които могат да бъдат различни и реални, многократно или комплексно спрегнати.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   Два различни реални корена.Ако корените n ± (\displaystyle n_(\pm ))са реални и различни, тогава решението на диференциалното уравнение има следната форма:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Два сложни корена.Ако характеристичното уравнение има корени n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), решението е сложна функция.

   • За да трансформираме решението в реална функция, правим промяна на променливите x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)това е t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)и използвайте формулата на Ойлер. Подобни действия бяха извършени преди това при определяне на произволни константи.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Тогава общото решение може да бъде написано като
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Множество корени.За да се получи второ линейно независимо решение, е необходимо редуцирането отново.

   • Необходими са доста изчисления, но принципът остава същият: ние заместваме y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))в уравнение, чието първо решение е y 1 (\displaystyle y_(1)). След редукции се получава следното уравнение:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Това е линейно уравнение от първи ред по отношение на v ′ (x) . (\displaystyle v"(x).)Неговото решение е v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)Така решението може да се запише в следната форма. Това е доста лесно за запомняне - за получаване на второто линейно независимо решение просто е необходим допълнителен член с ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Нееднородни линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Нееднородни уравненияизглежда като L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)Където f (x) (\displaystyle f(x))- т.нар безплатен член. Според теорията на диференциалните уравнения общото решение на това уравнение е суперпозиция частно решение y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))И допълнително решение y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).)В този случай обаче конкретно решение не означава решение, дадено от началните условия, а по-скоро решение, което се определя от наличието на хетерогенност (свободен термин). Допълнително решение е решение на съответното хомогенно уравнение, в което f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)Цялостното решение е суперпозиция на тези две решения, тъй като L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), и оттогава L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,)такава суперпозиция е наистина общо решение.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Метод на неопределените коефициенти.Методът на неопределените коефициенти се използва в случаите, когато фиктивният член е комбинация от експоненциален, тригонометричен, хиперболичен или мощностни функции. Гарантирано е, че само тези функции имат краен брой линейно независими производни. В този раздел ще намерим конкретно решение на уравнението.

   • Нека сравним термините в f (x) (\displaystyle f(x))с условия в без да се обръща внимание на постоянни фактори. Има три възможни случая.
     • Няма два еднакви члена.В този случай конкретно решение y p (\displaystyle y_(p))ще бъде линейна комбинация от членове от y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) съдържа член x n (\displaystyle x^(n)) и член от y c , (\displaystyle y_(c),) Където n (\displaystyle n) е нула или положително цяло число и този член съответства на отделен корен на характеристичното уравнение.В такъв случай y p (\displaystyle y_(p))ще се състои от комбинация от функцията x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)неговите линейно независими производни, както и други термини f (x) (\displaystyle f(x))и техните линейно независими производни.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) съдържа член h (x) , (\displaystyle h(x),) което е произведение x n (\displaystyle x^(n)) и член от y c , (\displaystyle y_(c),) Където n (\displaystyle n) е равно на 0 или положително цяло число и този член съответства на многократникорен на характеристичното уравнение.В такъв случай y p (\displaystyle y_(p))е линейна комбинация от функцията x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Където s (\displaystyle s)- кратност на корена) и неговите линейно независими производни, както и други членове на функцията f (x) (\displaystyle f(x))и неговите линейно независими производни.
   • Нека го запишем y p (\displaystyle y_(p))като линейна комбинация от термините, изброени по-горе. Благодарение на тези коефициенти в линейна комбинация този методнаречен "метод на неопределените коефициенти". Когато се съдържа в y c (\displaystyle y_(c))членовете могат да бъдат отхвърлени поради наличието на произволни константи в y c . (\displaystyle y_(c).)След това заместваме y p (\displaystyle y_(p))в уравнението и приравнете подобни членове.
   • Ние определяме коефициентите. На този етап се получава системата алгебрични уравнения, което обикновено може да бъде разрешено без проблеми. Решението на тази система ни позволява да получим y p (\displaystyle y_(p))и по този начин да реши уравнението.
   • Пример 2.3.Нека разгледаме нехомогенно диференциално уравнение, чийто свободен член съдържа краен брой линейно независими производни. Конкретно решение на такова уравнение може да се намери чрез метода на неопределените коефициенти.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(подравнено)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ край (случаи)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Метод на Лагранж.Методът на Лагранж или методът на вариация на произволни константи е по-общ метод за решаване на нехомогенни диференциални уравнения, особено в случаите, когато интерсептираният член не съдържа краен брой линейно независими производни. Например с безплатни условия tan ⁡ x (\displaystyle \tan x)или x − n (\displaystyle x^(-n))за намиране на определено решение е необходимо да се използва методът на Лагранж. Методът на Лагранж може дори да се използва за решаване на диференциални уравнения с променливи коефициенти, въпреки че в този случай, с изключение на уравнението на Коши-Ойлер, той се използва по-рядко, тъй като допълнителното решение обикновено не се изразява чрез елементарни функции.

   • Да приемем, че решението има следния вид. Производната му е дадена във втория ред.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Тъй като предложеното решение съдържа двенеизвестни количества, е необходимо да се наложи допълнителенсъстояние. Нека изберем това допълнително условие в следната форма:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Сега можем да получим второто уравнение. След заместване и преразпределение на членове, можете да групирате заедно членове с v 1 (\displaystyle v_(1))и членове с v 2 (\displaystyle v_(2)). Тези срокове са намалени, защото y 1 (\displaystyle y_(1))И y 2 (\displaystyle y_(2))са решения на съответното хомогенно уравнение. В резултат на това получаваме следната система от уравнения
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(aligned)))
   • Тази система може да се трансформира в матрично уравнение от вида A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)чието решение е x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)За матрица 2 × 2 (\displaystyle 2\пъти 2) обратна матрицасе намира чрез разделяне на детерминанта, пренареждане на диагоналните елементи и промяна на знака на недиагоналните елементи. Всъщност детерминантата на тази матрица е Wronskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Изрази за v 1 (\displaystyle v_(1))И v 2 (\displaystyle v_(2))са дадени по-долу. Както при метода на редукция, и в този случай при интегрирането се появява произволна константа, която включва допълнително решение в общото решение на диференциалното уравнение.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Лекция от Национален отворен университет Интуит на тема "Линейни диференциални уравнения от n-ти ред с постоянни коефициенти".

Практическа употреба

Диференциалните уравнения установяват връзка между функция и една или повече от нейните производни. Тъй като такива връзки са изключително често срещани, диференциалните уравнения са намерили широко приложение в различни области и тъй като живеем в четири измерения, тези уравнения често са диференциални уравнения в частенпроизводни. Този раздел обхваща някои от най-важните уравнения от този тип.

• Експоненциален растеж и разпад. Радиоактивно разпадане. Сложна лихва. Скорост химична реакция. Концентрация на лекарства в кръвта. Неограничен растеж на населението. Закон на Нютон-Рихман. IN реалния святИма много системи, в които скоростта на растеж или разпад във всеки даден момент е пропорционална на количеството в този моментвреме или могат да бъдат добре приближени от модела. Това е така, защото решението на дадено диференциално уравнение, експоненциалната функция, е една от най-важните функции в математиката и други науки. По-общо, при контролиран растеж на населението, системата може да включва допълнителни условия, които ограничават растежа. В уравнението по-долу, константата k (\displaystyle k)може да бъде по-голямо или по-малко от нула.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Хармонични вибрации.Както в класическата, така и в квантова механикаХармоничният осцилатор е една от най-важните физически системи поради своята простота и широко приложениеза апроксимиране на по-сложни системи като обикновено махало. В класическата механика хармонични вибрациисе описват с уравнение, което свързва позицията материална точкас ускорението си чрез закона на Хук. В този случай могат да се вземат предвид и затихването и движещите сили. В израза по-долу x ˙ (\displaystyle (\точка (x)))- времева производна на x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )- параметър, който описва силата на затихване, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- ъглова честота на системата, F (t) (\displaystyle F(t))- зависим от времето движеща сила. Хармоничният осцилатор присъства и в електромагнитните осцилаторни вериги, където може да се реализира с по-голяма точност, отколкото в механичните системи.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\бета (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Уравнение на Бесел.Диференциалното уравнение на Бесел се използва в много области на физиката, включително решаването вълново уравнение, уравнения на Лаплас и уравнения на Шрьодингер, особено при наличие на цилиндрична или сферична симетрия. Това диференциално уравнение от втори ред с променливи коефициенти не е уравнение на Коши-Ойлер, така че неговите решения не могат да бъдат записани като елементарни функции. Решенията на уравнението на Бесел са функциите на Бесел, които са добре проучени поради приложението им в много области. В израза по-долу α (\displaystyle \alpha )- константа, която съответства в редФункции на Бесел.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Уравнения на Максуел.Заедно със силата на Лоренц, уравненията на Максуел формират основата на класическата електродинамика. Това са четирите частични диференциални уравнения за електричество E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))и магнитни B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))полета. В изразите по-долу ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- плътност на заряда, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- плътност на тока и ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))И μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- съответно електрически и магнитни константи.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Уравнение на Шрьодингер.В квантовата механика уравнението на Шрьодингер е основното уравнение на движението, което описва движението на частиците според промяната вълнова функция Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))с време. Уравнението на движението се описва от поведението Хамилтонов H^(\displaystyle (\hat (H))) - оператор, който описва енергията на системата. Един от широко известни примериУравнението на Шрьодингер във физиката е уравнение за една нерелативистична частица, върху която действа потенциал V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Много системи са описани от зависимото от времето уравнение на Шрьодингер, а от лявата страна на уравнението е E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,)Където E (\displaystyle E)- енергия на частиците. В изразите по-долу ℏ (\displaystyle \hbar )- намалена константа на Планк.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• Вълново уравнение.Физиката и технологиите не могат да се представят без вълни, те присъстват във всички видове системи. Като цяло вълните се описват с уравнението по-долу, в което u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))е желаната функция и c (\displaystyle c)- експериментално определена константа. d'Alembert беше първият, който откри, че за едномерния случай решението на вълновото уравнение е всякаквифункция с аргумент x − c t (\displaystyle x-ct), който описва вълна с произволна форма, разпространяваща се надясно. Общото решение за едномерния случай е линейна комбинация от тази функция с втора функция с аргумент x + c t (\displaystyle x+ct), което описва вълна, разпространяваща се наляво. Това решение е представено във втория ред.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Уравнения на Навие-Стокс.Уравненията на Навие-Стокс описват движението на течности. Тъй като течностите присъстват на практика във всяка област на науката и технологиите, тези уравнения са изключително важни за прогнозиране на времето, проектиране на самолети, изучаване на океанските течения и решаване на много други приложни проблеми. Уравненията на Навие-Стокс са нелинейни частични диференциални уравнения и в повечето случаи са много трудни за решаване, тъй като нелинейността води до турбулентност и получаването на стабилно решение чрез числени методи изисква разделяне на много малки клетки, което изисква значителна изчислителна мощност. За практически цели в хидродинамиката се използват методи като усредняване на времето за симулиране на турбулентни потоци. Дори по-основни въпроси като съществуването и уникалността на решения за нелинейни частични диференциални уравнения са предизвикателни проблеми, а доказването на съществуването и уникалността на решение за уравненията на Навие-Стокс в три измерения е сред математически задачихилядолетие. По-долу са уравнението на потока на несвиваем флуид и уравнението за непрекъснатост.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u) ) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Много диференциални уравнения просто не могат да бъдат решени с помощта на горните методи, особено тези, споменати в последния раздел. Това се отнася за случаите, когато уравнението съдържа променливи коефициентии не е уравнение на Коши-Ойлер или когато уравнението е нелинейно, освен в няколко много редки случая. Горните методи обаче могат да решават много важни диференциални уравнения, които често се срещат в различни области на науката.
• За разлика от диференцирането, което ви позволява да намерите производната на всяка функция, интегралът на много изрази не може да бъде изразен в елементарни функции. Така че не губете време в опити да изчислите интеграл там, където е невъзможно. Вижте таблицата с интегралите. Ако решението на диференциално уравнение не може да бъде изразено чрез елементарни функции, понякога то може да бъде представено в интегрална форма и в този случай няма значение дали този интеграл може да бъде изчислен аналитично.

Предупреждения

• Външен виддиференциалното уравнение може да бъде подвеждащо. Например, по-долу са две диференциални уравнения от първи ред. Първото уравнение може лесно да бъде решено с помощта на методите, описани в тази статия. На пръв поглед незначителна промяна y (\displaystyle y)На y 2 (\displaystyle y^(2))във второто уравнение го прави нелинейно и става много трудно за решаване.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))