Изчисляване на производната на даден параметър параметрично онлайн. Параметрично дефинирани функции

Нека не подчертаваме, всичко в този параграф също е доста просто. Можете да запишете обща формулапараметрично дадена функция, но за да стане ясно, ще го запиша веднага конкретен пример. В параметрична форма функцията се дава от две уравнения: . Често уравненията се записват не във къдрави скоби, а последователно: , .

Променливата се нарича параметър и може да приема стойности от „минус безкрайност“ до „плюс безкрайност“. Помислете например за стойността и я заменете в двете уравнения: . Или казано по човешки: „ако x е равно на четири, тогава y е равно на едно“. Можете да маркирате точка в координатната равнина и тази точка ще съответства на стойността на параметъра. По същия начин можете да намерите точка за всяка стойност на параметъра „te“. Що се отнася до „обикновена“ функция, за американските индианци на параметрично дефинирана функция, всички права също се спазват: можете да построите графика, да намерите производни и т.н. Между другото, ако трябва да начертаете графика на параметрично зададена функция, изтеглете моята геометрична програма на страницата Математически формулии маси.

В най-простите случаи е възможно функцията да се представи явно. Нека изразим параметъра от първото уравнение: – и го заместете във второто уравнение: . Резултатът е обикновена кубична функция.

В по-тежки случаи този трик не работи. Но това няма значение, защото за намиране на производната параметрична функцияима формула:

Намираме производната на „играта по отношение на променливата te“:

Всички правила за диференциране и таблицата на производните са валидни, естествено, за буквата, така че, няма новост в процеса на намиране на производни. Просто заменете мислено всички „X“ в таблицата с буквата „Te“.

Намираме производната на „x по отношение на променливата te“:

Сега всичко, което остава, е да заменим намерените производни в нашата формула:

Готов. Производната, подобно на самата функция, също зависи от параметъра.

Що се отнася до нотацията, вместо да се записва във формулата, може просто да се напише без долен индекс, тъй като това е „обикновена“ производна „по отношение на X“. Но в литературата винаги има вариант, така че няма да се отклонявам от стандарта.

Пример 6

Използваме формулата

В такъв случай:

По този начин:

Особеност на намирането на производната на параметрична функция е фактът, че на всяка стъпка е полезно резултатът да се опрости колкото е възможно повече. И така, в разглеждания пример, когато го намерих, отворих скобите под корена (въпреки че може и да не съм направил това). Има голям шанс при заместване във формулата много неща да се редуцират добре. Въпреки че, разбира се, има примери с тромави отговори.

Пример 7

Намерете производната на функция, зададена параметрично

Това е пример за независимо решение.

В статията Протозои типични задачис производна разгледахме примери, в които трябваше да намерим втората производна на функция. За параметрично дефинирана функция можете също да намерите втората производна и тя се намира по следната формула: . Съвсем очевидно е, че за да намерите втората производна, първо трябва да намерите първата производна.

Пример 8

Намерете първата и втората производни на функция, дадена параметрично

Първо, нека намерим първата производна.
Използваме формулата

В такъв случай:

Замества намерените производни във формулата. За опростяване използваме тригонометричната формула:

Забелязах, че в задачата за намиране на производната на параметрична функция доста често с цел опростяване е необходимо да се използва тригонометрични формули . Запомнете ги или ги дръжте под ръка и не пропускайте възможността да опростите всеки междинен резултат и отговор. За какво? Сега трябва да вземем производната на и това очевидно е по-добре от намирането на производната на .

Нека намерим втората производна.
Използваме формулата: .

Нека да разгледаме нашата формула. Знаменателят вече е намерен в предишната стъпка. Остава да намерим числителя - производната на първата производна по отношение на променливата "te":

Остава да използваме формулата:

За затвърждаване на материала предлагам още няколко примера, които да решите сами.

Пример 9

Пример 10

Намерете и за функция, зададена параметрично

Пожелавам ти успех!

Надявам се, че този урок беше полезен и вече можете лесно да намирате производни на функции, зададени имплицитно и от параметрични функции

Решения и отговори:

Пример 3: Решение:






По този начин:

Производна на функция, указана имплицитно.
Производна на параметрично дефинирана функция

В тази статия ще разгледаме още две типични задачи, които често се срещат в тестовевъв висшата математика. За да усвоите успешно материала, трябва да можете да намирате производни поне на средно ниво. Можете да се научите да намирате производни практически от нулата в два основни урока и Производна на сложна функция. Ако уменията ви за разграничаване са наред, тогава да тръгваме.

Производна на функция, указана имплицитно

Или накратко, производната на неявна функция. Какво е неявна функция? Нека първо си спомним самата дефиниция на функция на една променлива:

Функция с единична променливае правило, според което всяка стойност на независимата променлива съответства на една и само една стойност на функцията.

Променливата се извиква независима променливаили аргумент.
Променливата се извиква зависима променливаили функция .

Досега разгледахме функциите, дефинирани в изричноформа. Какво означава? Нека проведем дебрифинг, като използваме конкретни примери.

Помислете за функцията

Виждаме, че отляво имаме самотен „играч“, а отдясно - само "Х". Тоест функцията изричноизразено чрез независимата променлива.

Нека да разгледаме друга функция:

Това е мястото, където променливите се смесват. освен това невъзможно по никакъв начинизразете "Y" само чрез "X". Какви са тези методи? Прехвърляне на членове от част в част със смяна на знака, преместване извън скоби, хвърляне на множители според правилото за пропорцията и т.н. Препишете равенството и се опитайте да изразите изрично „y“: . Можете да въртите уравнението с часове, но няма да успеете.

Нека ви представя: – пример неявна функция.

В хода на математическия анализ беше доказано, че неявната функция съществува(обаче не винаги), има графика (точно като „нормална“ функция). Неявната функция е абсолютно същата съществувапърва производна, втора производна и т.н. Както се казва, всички права на сексуалните малцинства се спазват.

И в този урок ще научим как да намираме производната на функция, зададена имплицитно. Не е толкова трудно! Всички правила за диференциране и таблицата с производни на елементарни функции остават в сила. Разликата е в един особен момент, който ще разгледаме в момента.

Да, ще ви уведомя добри новини– разгледаните по-долу задачи се изпълняват по доста строг и ясен алгоритъм без камък пред три писти.

Пример 1

1) На първия етап прикрепяме щрихи към двете части:

2) Използваме правилата за линейност на производната (първите две правила от урока Как да намерим производната? Примери за решения):

3) Директна диференциация.
Как да ги разграничим е напълно ясно. Какво да правим там, където има „игри“ под ударите?

- до степен на позор, производната на функция е равна на нейната производна: .

Как да разграничим
Тук имаме сложна функция. Защо? Изглежда, че под синуса има само една буква "Y". Но факт е, че има само една буква "y" - САМОТО Е ФУНКЦИЯ(вижте определението в началото на урока). По този начин синусът е външна функция, – вътрешна функция. Използваме правилото за диференциране сложна функция :

Ние диференцираме продукта според обичайното правило :

Моля, имайте предвид, че – също е сложна функция, всяка „игра със звънци и свирки“ е сложна функция:

Самото решение трябва да изглежда така:


Ако има скоби, разгънете ги:

4) От лявата страна събираме термините, които съдържат „Y“ с просто число. Преместете всичко останало от дясната страна:

5) От лявата страна изваждаме производната извън скоби:

6) И според правилото за пропорцията, пускаме тези скоби в знаменателя на дясната страна:

Производното е намерено. Готов.

Интересно е да се отбележи, че всяка функция може да бъде пренаписана имплицитно. Например функцията може да се пренапише така: . И го разграничете с помощта на току-що обсъдения алгоритъм. Всъщност изразите „имплицитна функция“ и „имплицитна функция“ се различават по един семантичен нюанс. Фразата „имплицитно определена функция“ е по-обща и правилна, – тази функция е посочена имплицитно, но тук можете да изразите „играта“ и да представите функцията изрично. Фразата „имплицитна функция“ се отнася до „класическата“ имплицитна функция, когато „y“ не може да бъде изразено.

Второ решение

внимание!Можете да се запознаете с втория метод само ако знаете как да намерите уверено частични производни. Начинаещи да учат математически анализи чайници, моля не четете и прескочете тази точка, иначе в главата ти ще е пълна бъркотия.

Нека намерим производната на неявната функция, използвайки втория метод.

Преместваме всички термини в лявата страна:

И разгледайте функция от две променливи:

Тогава нашата производна може да се намери с помощта на формулата
Нека намерим частните производни:

По този начин:

Второто решение ви позволява да извършите проверка. Но не е препоръчително те да пишат окончателния вариант на заданието, тъй като частичните производни се усвояват по-късно и ученик, изучаващ темата „Производна на функция на една променлива“, все още не трябва да знае частични производни.

Нека да разгледаме още няколко примера.

Пример 2

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Добавете щрихи към двете части:

Използваме правила за линейност:

Намиране на производни:

Отваряне на всички скоби:

Преместваме всички термини с в лявата страна, останалите в дясната страна:

Окончателен отговор:

Пример 3

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Пълно решение и примерен дизайн в края на урока.

Не е необичайно след диференциране да се появят дроби. В такива случаи трябва да се отървете от дроби. Нека разгледаме още два примера.

Пример 4

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Ограждаме двете части под щрихи и използваме правилото за линейност:

Диференцирайте с помощта на правилото за диференциране на сложна функция и правилото за диференциране на частните :

Разширяване на скобите:

Сега трябва да се отървем от дробта. Това може да стане по-късно, но е по-рационално да го направите веднага. Знаменателят на дробта съдържа . Умножете На . В детайли ще изглежда така:

Понякога след диференциране се появяват 2-3 фракции. Ако имаме друга дроб, например, тогава операцията ще трябва да се повтори - умножение всеки член на всяка частНа

От лявата страна го поставяме извън скоби:

Окончателен отговор:

Пример 5

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Това е пример, който можете да решите сами. Единственото нещо е, че преди да се отървете от фракцията, първо ще трябва да се отървете от триетажната структура на самата фракция. Пълно решение и отговор в края на урока.

Производна на параметрично дефинирана функция

Нека не подчертаваме, всичко в този параграф също е доста просто. Можете да запишете общата формула за параметрично дефинирана функция, но за да стане ясно, веднага ще запиша конкретен пример. В параметрична форма функцията се дава от две уравнения: . Често уравненията се записват не във къдрави скоби, а последователно: , .

Променливата се нарича параметъри може да приема стойности от „минус безкрайност“ до „плюс безкрайност“. Помислете например за стойността и я заменете в двете уравнения: . Или казано по човешки: „ако x е равно на четири, тогава y е равно на едно“. Можете да маркирате точка в координатната равнина и тази точка ще съответства на стойността на параметъра. По същия начин можете да намерите точка за всяка стойност на параметъра „te“. Що се отнася до „обикновена“ функция, за американските индианци на параметрично дефинирана функция, всички права също се спазват: можете да построите графика, да намерите производни и т.н. Между другото, ако трябва да начертаете графика на параметрично дефинирана функция, можете да използвате моята програма.

В най-простите случаи е възможно функцията да се представи явно. Нека изразим параметъра от първото уравнение: – и го заместете във второто уравнение: . Резултатът е обикновена кубична функция.

В по-тежки случаи този трик не работи. Но това няма значение, защото има формула за намиране на производната на параметрична функция:

Намираме производната на „играта по отношение на променливата te“:

Всички правила за диференциране и таблицата на производните са валидни, естествено, за буквата, така че, няма новост в процеса на намиране на производни. Просто заменете мислено всички „X“ в таблицата с буквата „Te“.

Намираме производната на „x по отношение на променливата te“:

Сега всичко, което остава, е да заменим намерените производни в нашата формула:

Готов. Производната, подобно на самата функция, също зависи от параметъра.

Що се отнася до нотацията, вместо да се записва във формулата, може просто да се напише без долен индекс, тъй като това е „обикновена“ производна „по отношение на X“. Но в литературата винаги има вариант, така че няма да се отклонявам от стандарта.

Пример 6

Използваме формулата

В такъв случай:

По този начин:

Особеност на намирането на производната на параметрична функция е фактът, че на всяка стъпка е полезно резултатът да се опрости колкото е възможно повече. И така, в разглеждания пример, когато го намерих, отворих скобите под корена (въпреки че може и да не съм направил това). Има голям шанс при заместване във формулата много неща да се редуцират добре. Въпреки че, разбира се, има примери с тромави отговори.

Пример 7

Намерете производната на функция, зададена параметрично

Това е пример, който можете да решите сами.

В статията Най-прости типови задачи с производниразгледахме примери, в които трябваше да намерим втората производна на функция. За параметрично дефинирана функция можете също да намерите втората производна и тя се намира по следната формула: . Съвсем очевидно е, че за да намерите втората производна, първо трябва да намерите първата производна.

Пример 8

Намерете първата и втората производни на функция, дадена параметрично

Първо, нека намерим първата производна.
Използваме формулата

В такъв случай:

Заместваме намерените производни във формулата. За опростяване използваме тригонометричната формула:

Функцията може да бъде определена по няколко начина. Зависи от правилото, което се използва за определянето му. Изричната форма на специфициране на функцията е y = f (x). Има моменти, когато описанието му е невъзможно или неудобно. Ако има много двойки (x; y), които трябва да бъдат изчислени за параметъра t в интервала (a; b). За решаване на системата x = 3 cos t y = 3 sin t с 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Дефиниция на параметрична функция

От тук имаме, че x = φ (t), y = ψ (t) са дефинирани за стойност t ∈ (a; b) и имат обратна функция t = Θ (x) за x = φ (t), тогава говорим за определяне на параметрично уравнение на функция от вида y = ψ (Θ (x)) .

Има случаи, когато за изследване на функция е необходимо да се търси производната по x. Нека разгледаме формулата за производната на параметрично дефинирана функция от формата y x " = ψ " (t) φ " (t), нека поговорим за производната от 2-ри и n-ти ред.

Извеждане на формулата за производна на параметрично дефинирана функция

Имаме, че x = φ (t), y = ψ (t), дефинирани и диференцируеми за t ∈ a; b, където x t " = φ " (t) ≠ 0 и x = φ (t), тогава има обратна функция на формата t = Θ (x).

Като начало трябва да преминете от параметрична задача към изрична. За да направите това, трябва да получите сложна функция от формата y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), където има аргумент x.

Въз основа на правилото за намиране на производната на сложна функция получаваме, че y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Това показва, че t = Θ (x) и x = φ (t) са обратни функции от формулата за обратна функция Θ " (x) = 1 φ " (t), тогава y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Нека да преминем към разглеждане на решаването на няколко примера с помощта на таблица с производни според правилото за диференциране.

Пример 1

Намерете производната на функцията x = t 2 + 1 y = t.

Решение

По условие имаме, че φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, от тук получаваме, че φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Трябва да използвате получената формула и да запишете отговора във формата:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Отговор: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Когато работите с производната на функция h, параметърът t определя израза на аргумента x чрез същия параметър t, за да не се загуби връзката между стойностите на производната и параметрично дефинираната функция с аргумента до на които отговарят тези стойности.

За да определите производната от втори ред на параметрично дадена функция, трябва да използвате формулата за производната от първи ред на получената функция, тогава получаваме това

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Пример 2

Намерете производните от 2-ри и 2-ри ред на дадената функция x = cos (2 t) y = t 2 .

Решение

По условие намираме, че φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2.

След това след трансформацията

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

От това следва, че y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Получаваме, че формата на производната от първи ред е x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

За да решите, трябва да приложите формулата за производна от втори ред. Получаваме израз на формата

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

След това се указва производната от 2-ри ред с помощта на параметрична функция

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Подобно решение може да бъде решено с друг метод. Тогава

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

От тук разбираме това

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Отговор: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Производни от по-висок порядък с параметрично дефинирани функции се намират по подобен начин.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Нека функцията е определена по параметричен начин:
(1)
където е някаква променлива, наречена параметър. И нека функциите имат производни при определена стойност на променливата. Освен това функцията има и обратна функция в определена околност на точката. Тогава функция (1) има производна в точката, която в параметрична форма се определя от формулите:
(2)

Тук и са производните на функциите и по отношение на променливата (параметър). Те често се записват по следния начин:
;
.

Тогава система (2) може да бъде записана по следния начин:

Доказателство

По условие функцията има обратна функция. Нека го обозначим като
.
Тогава оригиналната функция може да бъде представена като сложна функция:
.
Нека намерим неговата производна, като използваме правилата за диференциране на сложни и обратни функции:
.

Правилото е доказано.

Доказателство по втория начин

Нека намерим производната по втория начин, въз основа на дефиницията на производната на функцията в точката:
.
Нека въведем обозначението:
.
Тогава предишната формула приема формата:
.

Нека се възползваме от факта, че функцията има обратна функция в околността на точката.
Нека въведем следната нотация:
; ;
; .
Разделете числителя и знаменателя на дробта на:
.
В , . Тогава
.

Правилото е доказано.

Производни от по-висок порядък

За да се намерят производни от по-високи разряди, е необходимо да се извърши диференциране няколко пъти. Да кажем, че трябва да намерим производната от втори ред на функция, дефинирана параметрично, със следната форма:
(1)

Използвайки формула (2), намираме първата производна, която също се определя параметрично:
(2)

Нека означим първата производна с променливата:
.
След това, за да намерите втората производна на функция по отношение на променливата, трябва да намерите първата производна на функцията по отношение на променливата. Зависимостта на променлива от променлива също се определя по параметричен начин:
(3)
Сравнявайки (3) с формули (1) и (2), намираме:

Сега нека изразим резултата чрез функциите и . За да направите това, нека заместим и приложим формулата за производна дроб:
.
Тогава
.

От тук получаваме втората производна на функцията по отношение на променливата:

Дава се и в параметрична форма. Обърнете внимание, че първият ред може да бъде написан и по следния начин:
.

Продължавайки процеса, можете да получите производни на функции от променлива от трети и по-висок ред.

Обърнете внимание, че не е необходимо да въвеждаме нотация за производната. Можете да го напишете така:
;
.

Пример 1

Намерете производната на функция, дефинирана параметрично:

Решение

Намираме производни по отношение на .
От таблицата на производните намираме:
;
.
Прилагаме:

.
Тук .

.
Тук .

Необходимата производна:
.

Отговор

Пример 2

Намерете производната на функцията, изразена чрез параметъра:

Решение

Нека разширим скобите, като използваме формули за степенни функции и корени:
.

Намиране на производната:

.

Намиране на производната. За да направим това, въвеждаме променлива и прилагаме формулата за производна на сложна функция.

.

Намираме търсената производна:
.

Отговор

Пример 3

Намерете производните от втори и трети ред на функцията, дефинирана параметрично в пример 1:

Решение

В пример 1 открихме производната от първи ред:

Нека представим обозначението. Тогава функцията е производна по отношение на . Задава се параметрично:

За да намерим втората производна по отношение на , трябва да намерим първата производна по отношение на .

Нека разграничим по.
.
Намерихме производната на в пример 1:
.
Производната от втори ред по отношение на е равна на производната от първи ред по отношение на:
.

И така, намерихме производната от втори ред по отношение на параметричната форма:

Сега намираме производната от трети ред. Нека представим обозначението. След това трябва да намерим производната от първи ред на функцията, която е зададена по параметричен начин:

Намерете производната по отношение на . За да направим това, ние го пренаписваме в еквивалентна форма:
.
от
.

Производната от трети ред по отношение на е равна на производната от първи ред по отношение на:
.

Коментирайте

Не е необходимо да въвеждате променливите и , които са производни съответно на и . След това можете да го напишете така:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Отговор

При параметрично представяне производната от втори ред има следната форма:

Производна от трети ред.