Изваждане на дроби с различни примери. Събиране на дроби

Забележка!Преди да напишете окончателния си отговор, вижте дали можете да съкратите дробта, която сте получили.

Изваждане на дроби с еднакви знаменатели, примери:

,

,

Изваждане на правилна дроб от едно.

Ако е необходимо да се извади дроб от единица, която е правилна, единицата се преобразува във формата на неправилна дроб, нейният знаменател е равен на знаменателя на извадената дроб.

Пример за изваждане на правилна дроб от едно:

Знаменател на дробта, която трябва да се извади = 7 , т.е. представяме единица като неправилна дроб 7/7 и я изваждаме според правилото за изваждане на дроби с еднакви знаменатели.

Изваждане на правилна дроб от цяло число.

Правила за изваждане на дроби -правилно от цяло число (естествено число):

• Дадени дроби, които съдържат цяла част, преобразуваме в неправилни. Получаваме нормални условия (няма значение дали са с различни знаменатели), които изчисляваме съгласно дадените по-горе правила;
• След това изчисляваме разликата между дробите, които сме получили. В резултат на това почти ще намерим отговора;
• Извършваме обратната трансформация, тоест се отърваваме от неправилната дроб - избираме цялата част във фракцията.

Извадете от цяло число правилна дроб: Представяне естествено числокато смесено число. Тези. Взимаме единица в естествено число и я преобразуваме във формата на неправилна дроб, като знаменателят е същият като този на извадената дроб.

Пример за изваждане на дроби:

В примера сменихме едно с неправилната дроб 7/7 и вместо 3 записахме смесено число и извадихме дроб от дробната част.

Изваждане на дроби с различни знаменатели.

Или казано по друг начин, изваждане на различни дроби.

Правило за изваждане на дроби с различни знаменатели.За да извадите дроби с различни знаменатели, е необходимо първо да намалите тези дроби до най-малкия общ знаменател (LCD) и едва след това да извършите изваждането, както при дроби с еднакви знаменатели.

Общият знаменател на няколко дроби е LCM (най-малко общо кратно)естествени числа, които са знаменателите на тези дроби.

внимание!Ако в крайната дроб числителят и знаменателят имат общи множители, тогава дробта трябва да се намали. Неправилната дроб е най-добре представена като смесена дроб. Оставянето на резултата от изваждането без намаляване на дробта, където е възможно, е непълно решение на примера!

Процедура за изваждане на дроби с различни знаменатели.

• намерете LCM за всички знаменатели;
• добавете допълнителни множители за всички дроби;
• умножете всички числители с допълнителен коефициент;
• Записваме получените продукти в числителя, като подписваме общия знаменател под всички дроби;
• извадете числителите на дробите, подписвайки общия знаменател под разликата.

По същия начин се извършва събиране и изваждане на дроби, ако в числителя има букви.

Изваждане на дроби, примери:

Изваждане на смесени дроби.

При изваждане на смесени дроби (числа)отделно, цялата част се изважда от цялата част, а дробната част се изважда от дробната част.

Първият вариант за изваждане на смесени дроби.

Ако дробните части същотознаменатели и числител на дробната част на умаляваното (изваждаме го от него) ≥ числител на дробната част на умаляваното (изваждаме го).

Например:

Вторият вариант за изваждане на смесени дроби.

Когато дробни части различензнаменатели. Като начало привеждаме дробните части към общ знаменател и след това изваждаме цялата част от цялата част и дробната част от дробната част.

Например:

Третият вариант за изваждане на смесени дроби.

Дробната част на умаляваното е по-малка от дробната част на изваждаемото.

Пример:

защото Дробните части имат различни знаменатели, което означава, както във втория вариант, първо привеждаме обикновените дроби към общ знаменател.

Числителят на дробната част на умаляваното е по-малък от числителя на дробната част на субтрахенда.3 < 14. Това означава, че вземаме единица от цялата част и редуцираме тази единица до формата на неправилна дроб с еднакви знаменател и числител = 18.

В числителя от дясната страна записваме сбора на числителите, след което отваряме скобите в числителя от дясната страна, тоест умножаваме всичко и даваме подобни. Не отваряме скобите в знаменателя. Прието е продуктът да се оставя в знаменателите. Получаваме:

Дробите са редовни числа, те също могат да се събират и изваждат. Но тъй като имат знаменател, те изискват по-сложни правила, отколкото за цели числа.

Нека разгледаме най-простия случай, когато има две дроби с еднакви знаменатели. Тогава:

За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен.

За да извадите дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на втората от числителя на първата дроб и отново да оставите знаменателя непроменен.

Във всеки израз знаменателите на дробите са равни. По дефиниция за събиране и изваждане на дроби получаваме:

Както можете да видите, няма нищо сложно: просто събираме или изваждаме числителите и това е.

Но дори и в такива прости действия хората успяват да направят грешки. Най-често се забравя, че знаменателят не се променя. Например, когато ги добавяте, те също започват да се добавят и това е фундаментално погрешно.

Отървавам се от лош навикДобавянето на знаменателите е доста просто. Опитайте същото, когато изваждате. В резултат на това знаменателят ще бъде нула и дробта (внезапно!) ще загуби значението си.

Затова запомнете веднъж завинаги: при събиране и изваждане знаменателят не се променя!

Много хора също правят грешки, когато събират няколко отрицателни дроби. Има объркване със знаците: къде да поставите минус и къде да поставите плюс.

Този проблем също е много лесен за решаване. Достатъчно е да запомните, че минусът пред знака на дроб винаги може да бъде прехвърлен в числителя - и обратно. И разбира се, не забравяйте две прости правила:

1. Плюс с минус дава минус;
2. Две отрицания правят утвърдително.

Нека разгледаме всичко това с конкретни примери:

Задача. Намерете значението на израза:

В първия случай всичко е просто, но във втория нека добавим минуси към числителите на дробите:

Какво да направите, ако знаменателите са различни

Не можете директно да събирате дроби с различни знаменатели. Поне на мен този метод е непознат. Оригиналните дроби обаче винаги могат да бъдат пренаписани, така че знаменателите да станат еднакви.

Има много начини за преобразуване на дроби. Три от тях се разглеждат в урока „Привеждане на дроби към общ знаменател“, така че тук няма да се спираме на тях. Нека да разгледаме някои примери:

Задача. Намерете значението на израза:

В първия случай редуцираме дробите до общ знаменател по метода „кръстосан“. Във втория ще търсим НОК. Забележете, че 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последните множители в тези разлагания са равни, а първите са относително прости. Следователно, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Какво да направите, ако една дроб има цяла част

Мога да ви зарадвам: различните знаменатели в дробите не са най-голямото зло. Много повече грешки възникват, когато цялата част е осветена в събираемите фракции.

Разбира се, има собствени алгоритми за добавяне и изваждане за такива дроби, но те са доста сложни и изискват дълго проучване. По-добра употреба проста диаграма, дадено по-долу:

1. Преобразувайте всички дроби, съдържащи цяла част, в неправилни. Получаваме нормални термини (дори с различни знаменатели), които се изчисляват по правилата, обсъдени по-горе;
2. Всъщност изчислете сбора или разликата на получените дроби. В резултат на това практически ще намерим отговора;
3. Ако това е всичко, което се изисква в задачата, извършваме обратната трансформация, т.е. Отърваваме се от неправилна дроб, като подчертаваме цялата част.

Правилата за преминаване към неправилни дроби и подчертаване на цялата част са описани подробно в урока „Какво е числова дроб“. Ако не си спомняте, не забравяйте да го повторите. Примери:

Задача. Намерете значението на израза:

Тук всичко е просто. Знаменателите във всеки израз са равни, така че всичко, което остава, е да преобразувате всички дроби в неправилни и да преброите. Ние имаме:

За да опростя изчисленията, пропуснах някои очевидни стъпки в последните примери.

Малка забележка към последните два примера, където се изваждат дроби с маркираните цяла част. Минусът преди втората дроб означава, че се изважда цялата дроб, а не само цялата й част.

Прочетете отново това изречение отново, погледнете примерите - и помислете върху него. Това е мястото, където начинаещите признават голяма сумагрешки. Те обичат да дават такива задачи тестове. Ще ги срещнете няколко пъти и в тестовете за този урок, които ще бъдат публикувани скоро.

Резюме: обща изчислителна схема

В заключение ще дам общ алгоритъм, което ще ви помогне да намерите сбора или разликата на две или повече дроби:

1. Ако една или повече дроби имат цяла част, преобразувайте тези дроби в неправилни;
2. Приведете всички дроби към общ знаменател по всеки удобен за вас начин (освен ако, разбира се, авторите на проблемите не са направили това);
3. Събиране или изваждане на получените числа по правилата за събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели;
4. Ако е възможно, съкратете резултата. Ако фракцията е неправилна, изберете цялата част.

Не забравяйте, че е по-добре да подчертаете цялата част в самия край на задачата, непосредствено преди да запишете отговора.

Следващото действие, което може да се извърши с обикновени дроби, е изваждане. В този материал ще разгледаме как правилно да пресмятаме разликата между дроби с еднакви и различни знаменатели, как да изваждаме дроб от естествено число и обратно. Всички примери ще бъдат илюстрирани със задачи. Нека уточним предварително, че ще изследваме само случаите, когато разликата на дробите води до положително число.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Как да намерим разликата между дроби с еднакви знаменатели

Нека започнем веднага с ясен пример: да кажем, че имаме ябълка, която е разделена на осем части. Нека оставим пет части на чинията и вземем две от тях. Това действие може да се напише така:

В резултат на това ни остават 3 осми, тъй като 5 − 2 = 3. Оказва се, че 5 8 - 2 8 = 3 8.

По този начин прост примерВидяхме как точно работи правилото за изваждане за дроби, чиито знаменатели са еднакви. Нека го формулираме.

Определение 1

За да намерите разликата между дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на другия от числителя на единия и да оставите знаменателя същия. Това правило може да се запише като a b - c b = a - c b.

Ще използваме тази формула в бъдеще.

Да вземем конкретни примери.

Пример 1

Извадете обикновената дроб 17 15 от дробта 24 15.

Решение

Виждаме, че тези дроби имат еднакви знаменатели. Всичко, което трябва да направим, е да извадим 17 от 24. Получаваме 7 и добавяме знаменателя към него, получаваме 7 15.

Нашите изчисления могат да бъдат записани по следния начин: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

Ако е необходимо, можете да съкратите сложна дроб или да изберете цяла част от неправилна дроб, за да направите броенето по-удобно.

Пример 2

Намерете разликата 37 12 - 15 12.

Решение

Нека използваме описаната по-горе формула и изчислим: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Лесно е да се забележи, че числителят и знаменателят могат да бъдат разделени на 2 (вече говорихме за това по-рано, когато разгледахме признаците на делимост). Съкращавайки отговора, получаваме 11 6. Това неправилна дроб, от която ще изберем цялата част: 11 6 = 1 5 6 .

Как да намерим разликата на дроби с различни знаменатели

Тази математическа операция може да се сведе до това, което вече описахме по-горе. За да направим това, ние просто намаляваме необходимите дроби до един и същи знаменател. Нека формулираме определение:

Определение 2

За да намерите разликата между дроби, които имат различни знаменатели, трябва да ги намалите до един и същи знаменател и да намерите разликата между числителите.

Нека да разгледаме пример как се прави това.

Пример 3

Извадете дробта 1 15 от 2 9.

Решение

Знаменателите са различни и трябва да ги намалите до най-малкия обща стойност. В този случай LCM е 45. Първата фракция изисква допълнителен фактор 5, а втората - 3.

Нека изчислим: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

Имаме две дроби с еднакъв знаменател и сега можем лесно да намерим разликата им, използвайки алгоритъма, описан по-рано: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Кратко обобщение на решението изглежда така: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45.

Не пренебрегвайте намаляването на резултата или отделянето на цяла част от него, ако е необходимо. В този пример не е нужно да правим това.

Пример 4

Намерете разликата 19 9 - 7 36.

Решение

Нека сведем посочените в условието дроби до най-малкия общ знаменател 36 и да получим съответно 76 9 и 7 36.

Изчисляваме отговора: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

Резултатът може да се намали с 3 и да се получи 23 12. Числителят е по-голям от знаменателя, което означава, че можем да изберем цялата част. Крайният отговор е 1 11 12.

Кратко обобщение на цялото решение е 19 9 - 7 36 = 1 11 12.

Как да извадим естествено число от обикновена дроб

Това действие също може лесно да се сведе до просто изваждане на обикновени дроби. Това може да стане чрез представяне на естествено число като дроб. Нека го покажем с пример.

Пример 5

Намерете разликата 83 21 – 3 .

Решение

3 е същото като 3 1. След това можете да го изчислите по следния начин: 83 21 - 3 = 20 21.

Ако условието изисква изваждане на цяло число от неправилна дроб, по-удобно е първо да отделите цялото число от нея, като го запишете като смесено число. Тогава предишният пример може да бъде решен по различен начин.

От дробта 83 21, когато отделяте цялата част, получавате 83 21 = 3 20 21.

Сега нека просто извадим 3 от него: 3 20 21 - 3 = 20 21.

Как да извадим дроб от естествено число

Това действие се извършва подобно на предишното: пренаписваме естественото число като дроб, привеждаме и двете към един знаменател и намираме разликата. Нека илюстрираме това с пример.

Пример 6

Намерете разликата: 7 - 5 3 .

Решение

Нека направим 7 дроб 7 1. Правим изваждането и преобразуваме крайния резултат, като отделяме цялата част от него: 7 - 5 3 = 5 1 3.

Има и друг начин за извършване на изчисления. Той има някои предимства, които могат да се използват в случаите, когато числителите и знаменателите на дробите в задачата са големи числа.

Определение 3

Ако дробта, която трябва да се извади, е правилна, тогава естественото число, от което изваждаме, трябва да бъде представено като сбор от две числа, едното от които е равно на 1. След това трябва да извадите желаната дроб от единица и да получите отговора.

Пример 7

Пресметнете разликата 1 065 - 13 62.

Решение

Дробта, която трябва да се извади, е правилна дроб, защото числителят й е по-малък от знаменателя. Следователно трябва да извадим едно от 1065 и от него да извадим желаната дроб: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62

Сега трябва да намерим отговора. Използвайки свойствата на изваждането, полученият израз може да бъде записан като 1064 + 1 - 13 62. Нека изчислим разликата в скоби. За да направите това, нека си представим единицата като дроб 1 1.

Оказва се, че 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62.

Сега нека си спомним за 1064 и формулираме отговора: 1064 49 62.

Използваме стария метод, за да докажем, че е по-малко удобен. Това са изчисленията, до които бихме стигнали:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

Отговорът е същият, но изчисленията очевидно са по-тромави.

Разгледахме случая, когато трябва да извадим правилна дроб. Ако е неправилно, го заместваме със смесено число и изваждаме по познатите правила.

Пример 8

Изчислете разликата 644 - 73 5.

Решение

Втората дроб е неправилна дроб и цялата част трябва да се отдели от нея.

Сега изчисляваме подобно на предишния пример: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Свойства на изваждането при работа с дроби

Свойствата, които има изваждането на естествените числа, се отнасят и за случаите на изваждане на обикновени дроби. Нека да разгледаме как да ги използваме, когато решаваме примери.

Пример 9

Намерете разликата 24 4 - 3 2 - 5 6.

Решение

Вече сме решавали подобни примери, когато разглеждахме изваждането на сбор от число, така че следваме добре познат алгоритъм. Първо, нека изчислим разликата 25 4 - 3 2 и след това извади последната дроб от нея:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Нека трансформираме отговора, като отделим цялата част от него. Резултат - 3 11 12.

Кратко резюме на цялото решение:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Ако изразът съдържа както дроби, така и естествени числа, препоръчително е да ги групирате по тип при пресмятане.

Пример 10

Намерете разликата 98 + 17 20 - 5 + 3 5.

Решение

Познавайки основните свойства на изваждането и събирането, можем да групираме числата, както следва: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Нека завършим изчисленията: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Вашето дете донесе домашна работаот училище и не знаете как да го решите? Тогава този мини урок е за вас!

Как да добавя десетични знаци

По-удобно е да добавяте десетични дроби в колона. За извършване на добавяне десетични знаци, трябва да се придържате към едно просто правило:

• Мястото трябва да е под мястото, запетаята под запетаята.

Както можете да видите в примера, целите единици са разположени една под друга, десетите и стотните цифри са разположени една под друга. Сега събираме числата, като игнорираме запетаята. Какво да правим със запетаята? Запетаята се премества на мястото, където е стояла в категорията на целите числа.

Събиране на дроби с равни знаменатели

За да извършите събиране с общ знаменател, трябва да запазите знаменателя непроменен, да намерите сумата от числителите и да получите дроб, която ще бъде общата сума.

Събиране на дроби с различни знаменатели по метода на общото кратно

Първото нещо, на което трябва да обърнете внимание, са знаменателите. Знаменателите са различни, не се ли делят един на друг, нали прости числа. Първо трябва да го приведете към един общ знаменател, има няколко начина да направите това:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, за да решим този пример, трябва да намерим най-малкото общо кратно (LCM), което ще се дели на 2 знаменателя. За означаване на най-малкото кратно на a и b – LCM (a;b). В този пример LCM (3;4)=12. Проверяваме: 12:3=4; 12:4=3.
• Умножаваме факторите и събираме получените числа, получаваме 13/12 - неправилна дроб.

• За да преобразуваме неправилна дроб в правилна, разделяме числителя на знаменателя, получаваме цяло число 1, остатъкът 1 е числителят, а 12 е знаменателят.

Събиране на дроби чрез метода на кръстосано умножение

За да добавите дроби с различни знаменатели, има друг метод, използващ формулата „кръст към кръст“. Това е гарантиран начин за изравняване на знаменателите; трябва да умножите числителите със знаменателя на една дроб и обратно. Ако сте само на начална фазаизучаване на дроби, тогава този метод е най-простият и точен начин за получаване на правилния резултат при добавяне на дроби с различни знаменатели.

Събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели
Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели
Концепция за НОК
Намаляване на дроби до един и същи знаменател
Как да съберем цяло число и дроб

1 Събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели

За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители, но да оставите знаменателя същия, например:

За да извадите дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя същия, например:

За да добавите смесени дроби, трябва отделно да добавите целите им части, а след това да добавите техните дробни части и да запишете резултата като смесена дроб,

Ако при добавяне на дробни части получите неправилна дроб, изберете цялата част от нея и я добавете към цялата част, например:

2 Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели

За да събирате или изваждате дроби с различни знаменатели, първо трябва да ги намалите до един и същ знаменател и след това да продължите, както е посочено в началото на тази статия. Общият знаменател на няколко дроби е LCM (най-малкото общо кратно). За числителя на всяка дроб се намират допълнителни множители чрез разделяне на LCM на знаменателя на тази дроб. Ще разгледаме пример по-късно, след като разберем какво е NOC.

3 Най-малко общо кратно (LCM)

Най-малкото общо кратно на две числа (LCM) е най-малкото естествено число, което се дели и на двете числа без остатък. Понякога NOC може да бъде избран устно, но по-често, особено при работа с големи числа, трябва да намерите LOC писмено, като използвате следния алгоритъм:

За да намерите LCM на няколко числа, трябва:

1. Разложете тези числа на прости множители
2. Вземете най-голямото разширение и запишете тези числа като продукт
3. Изберете числа в други разложения, които не се появяват в най-голямото разлагане (или се срещат по-малко пъти в него), и ги добавете към произведението.
4. Умножете всички числа в продукта, това ще бъде LCM.

Например, нека намерим LCM на числата 28 и 21:

4 Намаляване на дроби до същия знаменател

Нека се върнем към събирането на дроби с различни знаменатели.

Когато редуцираме дроби до един и същи знаменател, който е равен на LCM на двата знаменателя, трябва да умножим числителите на тези дроби по допълнителни множители. Можете да ги намерите, като разделите LCM на знаменателя на съответната дроб, например:

По този начин, за да намалите дробите до същия експонент, първо трябва да намерите LCM (т.е. най-малкото число, което се дели на двата знаменателя) на знаменателите на тези дроби, след това добавете допълнителни множители към числителите на дробите. Можете да ги намерите, като разделите общия знаменател (CLD) на знаменателя на съответната дроб. След това трябва да умножите числителя на всяка дроб с допълнителен коефициент и да поставите LCM като знаменател.

5Как да съберем цяло число и дроб

За да съберете цяло число и дроб, просто трябва да добавите това число преди дробта и ще получите смесена фракция, Например.