Par Fourierovih transformacija. Spektralna gustina signala

Razmotrimo takozvani energetski oblik Fourierovog integrala. U poglavlju 5 prikazane su formule (7.15) i (7.16) koje daju prijelaz sa vremenske funkcije na Fourierovu sliku i obrnuto. Ako neki slučajna funkcija vremena x (s), onda se za njega ove formule mogu napisati u obliku

i integrisati preko svega

zamijeniti izrazom (11.54):

Vrijednost u uglastim zagradama (11.57), kao što je lako vidjeti, je originalna funkcija vremena (11.55). Stoga je rezultat takozvana Rayleighova formula (Parsevalov teorem), koja odgovara energetskom obliku Fourierovog integrala:

Desna strana (11.58) i (11.39) je veličina proporcionalna energiji procesa koji se razmatra. Tako, na primjer, ako uzmemo u obzir struju koja teče kroz određeni otpornik sa otporom K, tada će energija oslobođena u ovom otporniku tokom vremena biti

Formule (11.58) i (11.59) izražavaju energetski oblik Fourierovog integrala.

Međutim, ove formule su nezgodne jer za većinu procesa energija takođe teži beskonačnosti u beskonačnom vremenskom intervalu. Stoga je prikladnije baviti se ne energijom, već prosječnom snagom procesa, koja će se dobiti ako se energija podijeli s intervalom promatranja. Tada se formula (11.58) može predstaviti kao

Predstavljamo oznaku

naziva se spektralna gustina. bitan

Na svoj način fizičko značenje spektralna gustina je vrijednost koja je proporcionalna prosječnoj snazi ​​procesa u opsegu frekvencija od co do co + d?co.

U nekim slučajevima, spektralna gustoća se uzima u obzir samo za pozitivne frekvencije, udvostručavajući je, što se može učiniti budući da je spektralna gustoća parna funkcija frekvencije. Tada, na primjer, formulu (11.62) treba upisati u obrazac

- spektralna gustina za pozitivne frekvencije.

budući da u ovom slučaju formule postaju simetričnije.

Vrlo važna okolnost je da su spektralna gustina i korelacione funkcije slučajnih procesa međusobne Fourierove transformacije, odnosno povezane su integralnim zavisnostima tipa (11.54) i (11.55). Ovo svojstvo je dato bez dokaza.

Tako se mogu napisati sljedeće formule:

Budući da su spektralna gustoća i korelacijske funkcije čak i realne funkcije, formule (11.65) i (11.66) se ponekad prikazuju u jednostavnijem obliku;

)

Ovo proizilazi iz činjenice da vrijede sljedeće jednakosti:

a imaginarni dijelovi se mogu odbaciti nakon zamjene u (11.65) i (11.66), jer postoje realne funkcije na lijevoj strani.

Stvar je u tome da što je grafik spektralne gustine uži (slika 11.16a), tj. niže frekvencije su predstavljene u spektralnoj gustini, to se vrijednost x sporije mijenja tokom vremena. Naprotiv, što je širi grafikon spektralne gustine (slika 11.16, b), tj. što su više frekvencije predstavljene u spektralnoj gustini, to je finija struktura funkcije x(r) i brže se promene dešavaju u vremenu.

Kao što se može vidjeti iz ovog razmatranja, veza između vrste spektralne gustoće i tipa vremenske funkcije je inverzna u poređenju sa vezom između korelacijske funkcije i samog procesa (slika 11.14). Iz toga slijedi da širi graf spektralne gustine treba da odgovara užem grafikonu korelacijske funkcije i obrnuto.

I 8 (co). Ove funkcije, za razliku od impulsnih funkcija o kojima se govori u poglavlju 4, su parne. To znači da se funkcija 8(m) nalazi simetrično u odnosu na ishodište i može se definirati na sljedeći način;

Slična definicija se odnosi na funkciju 8 (co). Ponekad se u obzir uvodi normalizirana spektralna gustoća, što je Fourierova slika normalizirane korelacijske funkcije (11.52):

i zbog toga,

gdje je O disperzija.

Unakrsne spektralne gustine su također mjera odnosa između dvije slučajne varijable. U nedostatku komunikacije, međusobne spektralne gustine su jednake nuli.

Pogledajmo neke primjere.

Ova funkcija je prikazana na sl. 11.17 a. Odgovarajuća Fourierova slika na osnovu tabele. 11.3 će biti

Spektar procesa se sastoji od jednog vrha tipa impulsne funkcije, koji se nalazi na početku koordinata (slika 11.17, b).

To znači da je sva snaga dotičnog procesa koncentrisana na frekvenciji metka, kao što bi se očekivalo.

Ova funkcija je prikazana na sl. 11.18, a, U skladu sa tabelom. 11.3 spektralna gustina će biti

3. Za periodična funkcija, proširivo u Fourierovom nizu

osim periodičnog dijela će sadržavati neperiodičnu komponentu, tada će spektar ove funkcije sadržavati, uz pojedinačne linije tipa impulsne funkcije, i kontinuirani dio (slika 11.20). Pojedinačni vrhovi na grafu spektralne gustine ukazuju na prisustvo skrivenih neriodičnosti u funkciji koja se proučava.

ne sadrži periodični dio, imat će kontinuirani spektar bez izraženih pikova.

Razmotrimo neke stacionarne slučajne procese koji su važni u proučavanju sistema upravljanja. Smatraćemo samo centriranim

U isto vrijeme, prosječni kvadrat slučajna varijablaće biti jednaka varijansi:

uzimanje u obzir konstantne pristrasnosti u sistemu upravljanja je elementarno.

(Sl. 11.21, a):

Primjer takvog procesa je termalni šum otpornika, koji daje nivo spektralne gustine haotičnog napona na ovom otporniku.

Apsolutna temperatura.

Na osnovu (11.68), spektralna gustina (11.71) odgovara korelacionoj funkciji

ne postoji korelacija između narednih i prethodnih vrijednosti slučajne varijable x.

a samim tim i beskonačno veću moć.

Da bi se dobio fizički realan proces, zgodno je uvesti koncept belog šuma sa ograničenom spektralnom gustinom (slika 11.21, b):

Širina pojasa za spektralnu gustinu.

Ovaj proces odgovara korelacionoj funkciji

Srednja kvadratna vrijednost slučajne varijable proporcionalna je kvadratnom korijenu frekvencijskog pojasa:

Često je zgodnije aproksimirati zavisnost (11.73) glatkom krivom. U tu svrhu možete, na primjer, koristiti izraz

Koeficijent koji određuje širinu frekvencijskog pojasa.

Proces se približava bijelom šumu, dakle

sto se tice ovih frekvencija

Integracija (11.77) po svim frekvencijama omogućava određivanje disperzije:

Stoga se spektralna gustina (11.77) može zapisati u drugom obliku:

Korelaciona funkcija za ovaj proces

Korelaciona funkcija je takođe prikazana na Sl. 11.21 u.

Prijelaz s jedne vrijednosti na drugu se događa trenutno. Vremenski intervali poštuju Poissonov zakon raspodjele (11.4).

Grafikon ovog tipa dobija se, na primjer, kao prva aproksimacija pri praćenju pokretnog cilja radarom. Konstantna vrijednost brzine odgovara cilju koji se kreće pravolinijski. Promjena znaka ili veličine brzine odgovara ciljnom manevru.

Biće prosječna vrijednost vremenskog intervala tokom kojeg ugaona brzina ostaje konstantna. U odnosu na radar, ova vrijednost će biti prosječno vrijeme pravolinijskog kretanja cilja.

Za određivanje korelacijske funkcije potrebno je pronaći prosječnu vrijednost proizvoda

Prilikom pronalaženja ovog rada mogu postojati dva slučaja.

pripadaju istom intervalu. Tada će prosječna vrijednost proizvoda kutnih brzina biti jednaka srednjem kvadratu kutne brzine ili disperzije:

pripadaju različitim intervalima. Tada će prosječna vrijednost proizvoda brzina biti jednaka metku:

budući da proizvodi sa pozitivnim i negativni znaciće biti jednako vjerovatno. Korelaciona funkcija će biti jednaka

Vjerovatnoća njihovog pronalaženja u različitim intervalima.

Verovatnoća odsustva

Za vremenski interval

pošto su ovi događaji nezavisni.

Kao rezultat, za konačan interval At dobijamo

Predznak modula za m je dat zbog činjenice da izraz (11.80) mora odgovarati parnoj funkciji. Izraz za korelacijske funkcije poklapa se sa (11.79). Prema tome, spektralna gustina procesa koji se razmatra mora se poklapati sa (11.78):

Imajte na umu da je, za razliku od (11.78), formula spektralne gustine (11.81) napisana za ugaonu brzinu procesa (slika 11.22). Ako idemo od ugaone brzine do ugla, dobićemo nestacionarni slučajni proces sa disperzijom koja teži beskonačnosti. Međutim, u većini slučajeva servo sistem, na čijem ulazu radi ovaj proces, ima astatizam prvog i višeg reda. Dakle, prvi koeficijent greške c0 sistema za praćenje je nula i njegova greška će biti određena samo ulaznom brzinom i derivatima viših redova, u odnosu na koje je proces stacionaran. Ovo omogućava korištenje spektralne gustine (11.81) prilikom izračunavanja dinamičke greške sistema za praćenje.

3. Nepravilno bacanje. Neki objekti, kao što su brodovi, avioni i drugi, pod uticajem nepravilnih smetnji (nepravilni talasi, atmosferski poremećaji itd.), kreću se ali slučajni zakon Budući da sami objekti imaju određenu karakterističnu frekvenciju vibracija, oni imaju svojstvo da ističu one frekvencije smetnji koje su bliske njihovoj vlastitoj frekvenciji vibracija. Rezultirajuće nasumično kretanje objekta naziva se nepravilno kretanje, za razliku od pravilnog kretanja, koje je periodično kretanje.

Tipičan grafikon nepravilnog kretanja prikazan je na Sl. 11.23. Iz razmatranja ovog grafikona može se vidjeti da je, uprkos nasumičnoj prirodi, ovo

kretanje je prilično blisko periodičnom.

U praksi, korelaciona funkcija nepravilnog kretanja se često aproksimira izrazom

Disperzija.

obično se pronađu obradom eksperimentalnih podataka (testovi punog opsega).

Korelaciona funkcija (11.82) odgovara spektralnoj gustini (vidi tabelu 11.3)

Nezgoda aproksimacije (11.82) je u tome što ova formula može opisati ponašanje bilo koje veličine nepravilnog kretanja (ugao, ugaona brzina ili ugaono ubrzanje), U ovom slučaju, vrijednost O će odgovarati disperziji kuta, brzine ili ubrzanja.

Ako, na primjer, napišemo formulu (11.82) za ugao, onda će ovaj proces odgovarati nepravilnom kamenu s disperzijom za ugaone brzine koje teže beskonačnosti, odnosno bit će to fizički nerealan proces.

Pogodnija formula za aproksimaciju ugla nagiba

Međutim, ova aproksimacija također odgovara fizički nerealnom procesu, budući da disperzija kutnog ubrzanja teži beskonačnosti.

Da bi se dobila konačna disperzija kutnog ubrzanja, potrebne su još složenije aproksimacijske formule, koje ovdje nisu date.

Tipične krive korelacijske funkcije i spektralne gustoće nepravilnog kretanja prikazane su na Sl. 11.24.

procesi nisu međusobno povezani ni na koji način (statistički nezavisni).

Rxy (τ) = 0

6.3 Spektralna gustina slučajnog procesa

Koncept spektralne gustoće povezan je sa širenjem stacionarnog slučajnog procesa u harmonijske komponente, slično uobičajenom proširenju u Fourierovom nizu. Ovo omogućava korištenje metoda analize frekvencija pri proračunu automatskih sistema.

Spektralna gustina S x (ω) slučajnog procesa x(t) karakterizira spektralni (frekvencijski) sastav slučajne varijable i predstavlja funkciju frekvencije za prosječne vrijednosti kvadrata harmonijskih amplituda na koje se slučajni proces može razložiti.

Za stacionarni slučajni proces, spektralna gustoća S x (ω) može se dobiti kao Fourierova slika korelacijske funkcije R x (τ)

Sx (ω )= ∫ Rx (τ )å− j ωτ dτ

Koristeći inverznu Fourierovu transformaciju, možete odrediti korelacijske funkcije u smislu spektralne gustoće

Na slici 6.3 prikazani su grafovi korelacione funkcije R x (τ) (vidi sliku 6.2) i odgovarajući grafikoni spektralne gustine S(ω). Ovaj odnos je sličan odnosu između prelaznog i frekventnog odziva sistema: što je tranzijentni proces duži, to je njegov frekvencijski odziv uži. Kada se razmatraju slučajni procesi: što je širi graf korelacione funkcije (krivulje 3, 4), to je uži graf spektralne gustoće i obrnuto.

Slika 6. 3 – Korelacijske funkcije i odgovarajuće spektralne gustine centriranih stacionarnih procesa

U graničnom slučaju, kada je slučajna varijabla x(t) konstantna vrijednost i korelacija je također konstantna i jednaka D x = a 2

(prava linija 1), tada spektralna gustina postoji samo na nultoj frekvenciji i jednaka je

Sx (ω )= 2π a2 δ (ω )

U drugom ograničavajućem slučaju, kada je slučajna varijabla x(t) apsolutno slučajan proces (bijeli šum), tada korelacija postoji samo za τ = 0 (red 2). Spektralna gustina takvog slučajnog procesa je jednoliko raspoređena po svim frekvencijama i jednaka je

Sx (ω )= C2

Za neperiodični slučajni proces (krivulje 3, 4), korelacija se aproksimira sa R ​​(τ )= D x å − α τ , zatim se određuje spektralna gustoća

Sx (ω )= 2D x α

α 2+ ω 2

Ako slučajna varijabla x(t) ima periodičnu komponentu na ω = ω0, tada će spektralna gustina na frekvencijama ω = + ω0 i ω = - ω0 imati odgovarajuće vrhove (kriva 5). Korelaciona funkcija takvog slučaja

Jedan od glavnih parametara rada sistema pod slučajnim uticajima je standardna devijacija, koja karakteriše odstupanje slučajne varijable od njene prosečne vrednosti. Ako je poznata spektralna gustina signala S(ω), tada se pri τ = 0 može odrediti disperzija

Zatim standardna devijacija (RMS)

σ x = Dx = Rx (0)

Na osnovu dobijenih glavnih karakteristika slučajnog procesa, sprovedeno je istraživanje automatskog sistema za statističku tačnost rada.

V sljedeći redoslijed:

- na osnovu datog slučajnog procesa, utvrđuje se njegova korelacija

funkcija R x (τ);

- po korelacionoj funkciji R x (τ) određuju spektralnu gustinu signala na ulazu sistema S x (ω);

- prema poznatoj funkciji prijenosa frekvencije sistema W(jω) određuju spektralnu gustinu na izlazu sistema S y (ω);

- na osnovu dobijene spektralne gustine na izlazu sistema S y (ω) određuju korelacione funkcije izlaznog signala R y (τ);

Iz korelacijske funkcije izlaznog signala R y (τ) određuju se disperzija D y = R y (0) i standardna devijacija kontrolirane varijable.

6.4 Analiza tačnosti linearnog sistema pod slučajnim uticajem

Ako je ulazna akcija primijenjena na linearni sistem nasumični stacionarni proces x(t), onda će izlazna vrijednost y(t) također biti nasumični stacionarni proces. Pretpostavlja se da je sistem koji se razmatra stabilan. Jasno je da je u ovim uslovima potrebno suditi o tačnosti rada sistema ne po trenutnim vrednostima izlazne veličine, već po nekim prosečnim vrednostima, koje se računaju iz spektralne gustine izlaznog signala S y ( ω).

Neka je spektralna gustoća ulaznog signala S x (ω), tada je određena spektralna gustina izlaznog signala S y (ω) (bez izlaza)

S y (ω )= W (j ω )2 S x (ω )

Spektralna gustina izlaznog signala automatskog sistema jednaka je spektralnoj gustini ulaznog signala pomnoženoj sa kvadratom modula frekvencijskog odziva sistema koji se proučava.

Zakon distribucije slučajne varijable kada ona prolazi automatski sistem generalno može da se promeni. Ali ako je na ulazu linearnog sistema zakon distribucije normalan, onda se na izlazu sistema može pretpostaviti normalna distribucija.

Neka je očekivanje m x stacionarnog procesa x(t), na

ulaz linearnog sistema nije jednak nuli, onda se, na osnovu principa superpozicije za linearne sisteme, ovaj slučajni proces na ulazu sistema može predstaviti

x1 (t)= mx + xo c (t),

gdje je x o (t) centrirani slučajni proces na ulazu sistema.

U ovom slučaju, matematičko očekivanje na izlazu sistema m y je određeno ako se m x pomnoži sa funkcijom prijenosa frekvencije pri ω =0

my = W(0) mx

Kada je sistem istovremeno pod utjecajem slučajnog upravljačkog signala x a (t) i signala slučajnog poremećaja x n (t), tada se određuje spektralna gustoća kontrolne greške S osh (ω).

Sîø (ω )= Wa (jω )2 Sa (ω )+ Wn (jω )2 Sn (ω ),

gdje je S a (ω) spektralna gustoća kontrolnog signala, S n (ω) je spektralna gustoća signala poremećaja;

W a (jω) - prijenosna funkcija za grešku u upravljanju, W n (jω) - prijenosna funkcija za poremećaj.

Varijanca kontrolne greške D y i njena ukupna srednja kvadratna vrijednost σ y određuju se formulama

Dy = 1 / 2π ∞ ∫ [ Wa (jω )2 Sa (ω )+ Wn (jω )2 Sn (ω )] dω ,

Kada se nasumični upravljački i signali smetnji primjenjuju na ulaz sistema, ukupna srednja kvadratna greška je određena Pitagorinom teoremom na osnovu standardne devijacije upravljanja i standardne devijacije smetnji

Zabilježimo prednosti i nedostatke procjene tačnosti sistema pomoću srednje kvadratne greške regulacije (RMS). Koristeći MSE, možete procijeniti vjerovatnoću da se greška dogodi odozgo. Ovo procjenjuje prosječnu, statističku vrijednost greške, a ne veličinu trenutne vrijednosti greške. Stoga, za sisteme u kojima su velike greške (iako kratkoročne) neprihvatljive, koristi se drugačija metoda proračuna. Osim toga, rezultirajuća standardna devijacija vrijedi za velike vremenske periode (pri T → ∞), a greške povezane s kratkotrajnim prolaznim procesom se praktično ne uzimaju u obzir.

Ako su spektralne gustoće i funkcije prijenosa frekvencije date u obliku frakcione racionalne funkcije od ω, tada možete odmah odrediti disperziju izlaznog signala D y, figurativno rečeno, zaobilazeći definicije S y (ω) izlaznog signala i R y (τ) izlaznog signala. Vrijednost disperzije izlaznog signala određena je tabelarnim integralom J n u zavisnosti od reda karakteristične jednačine sistema. Da bi se to postiglo, izraz integranda se svodi na tabelarni oblik

gdje je G(ω )= b0 ω 2n − 2 + b1 ω 2n − 4 + ...+ bn − 1 ; H(jω )= a0 (jω )n + a1 (jω )n − 1 + ...+ an.

Prikazaćemo formule za izračunavanje tabelarnog integrala na osnovu koeficijenata prenosne funkcije

Za više visok stepen karakteristična jednačina, izračunavanje ovih tabelarnih integrala postaje glomazno. Stoga se koriste druge metode statističke analize.

Parametri sistema odabrani prema kriteriju minimiziranja standardnih devijacija moraju se ocijeniti u mjeri u kojoj je to moguće za njihovu tehničku implementaciju, a uz to se moraju ocijeniti i promijenjene dinamičke karakteristike sistema.

Primjer 6.1 – Na osnovu kriterija za minimiziranje standardne devijacije, odrediti optimalnu vrijednost koeficijenta pojačanja K y za dati sistem linearnog praćenja (slika 6.4). Na ulazu sistema, kontrole, prima se nasumični signal

čija je spektralna gustina S α = (2 D γ α ) . Istovremeno, ulaz

α 2+ ω 2

slučajni šum se prima u obliku bijelog šuma spektralne gustine S n (ω) = C 2

4 Dobijeni integrand odgovara tabelarnom integralu J 2

6 Varijanca kontrolne greške zbog nasumičnih smetnji u obliku bijelog šuma

7 Rezultirajući integrand odgovara tabelarnom integralu J 1

10 Da bismo odredili optimalnu vrijednost K y, pri kojoj je ukupna greška minimalna, nacrtajmo grafove D osh , D pom, D total u zavisnosti od K y (slika 6.5).

D oshD helpD total

D total

D pom

D osh

To optk

Slika 6.5 – Grafičko određivanje optimalne vrijednosti K y na primjer 6.1

Grafikoni pokazuju da sa povećanjem K y, varijansa kontrolne greške D osh opada, a varijansa greške zbog interferencije D pom raste. Sa većim pojačanjem, smetnje slobodnije prolaze kroz sistem. U zavisnosti od stepena nesigurnosti kontrolnog signala (koeficijent α) i od intenziteta smetnje (koeficijent C2), mogu se dobiti različite optimalne vrednosti K y.

6.5 Karakteristike izračunavanja slučajnog procesa u nelinearnom sistemu

Ako slučajni signal prođe kroz nelinearnu vezu, tada proračun takvog sistema postaje znatno komplikovaniji u poređenju sa proračunom prolaska slučajnog signala kroz linearnu vezu. Slika 6.6 prikazuje prolazak slučajnog signala kroz nelinearni element sa zasićenjem F(x).

b a

Slika 6.6 – Prolazak slučajnog signala kroz nelinearni element

U ovom primjeru, zbog dijela zasićenja, slučajni signal ne prolazi u potpunosti kroz nelinearni element i, kao rezultat, disperzija izlaznog signala ili „koridora“ unutar kojeg se nalazi izlazni signal bit će manja. Slika 6.6 pokazuje da je dio slučajnog ulaznog signala pao u zonu zasićenja i nije prošao kroz nelinearnu vezu. To je dovelo do promjene disperzije izlaznog signala (smanjuje se) i do smanjenja njegove prosječne vrijednosti. Pojasnimo da do smanjenja ovih parametara izlaznog slučajnog signala nije došlo zbog faktora pojačanja, već zbog nelinearnosti karakteristika elementa u obliku zone zasićenja.

Razmotrimo prvo blok dijagram linearni sistem upravljanja(Slika 6.7), na koji se na ulaz dovodi nasumični signal

x(t) = mx (t)+ xo (t)

gdje je m x matematičko očekivanje ulaznog signala;

x ° (t) - smetnje i šum ulaznog signala, koji se karakterišu disperzijom (D x ).

U ovom linearnom sistemu, koristeći princip superpozicije, moguće je odrediti matematičko očekivanje vrijednosti odvojeno i nezavisno jedno od drugog.

signal za trčanje m

moj(t)

yt (t)

x°(t)

y°(t)

y q (t) - stvarni izlaz

y t (t) - teoretski izračunati izlazni signal

Slika 6.7 – Prolazak slučajnog signala kroz linearni sistem menadžment

ym(t)

K1 (mx , σx )W(p)

Slika 6.8 – Prolazak slučajnog signala kroz nelinearnu vezu

(vidi 6.7). Ovaj proračun je prikazan u pododjeljku 6.4 i primjeru 6.1.

Ako se isti nasumični signal unese u nelinearni kontrolni sistem (slika 6.8), onda matematičko očekivanje na izlazu sistema zavisi od promene disperzije, a promena u disperziji zavisi od promene matematičko očekivanje. Ove dvije karakteristike slučajnog procesa postaju međusobno povezane. Označimo sa K 0 (m x , σ x ) ovu međuzavisnost matematičkog očekivanja o disperziji ulaznog signala D x. . Prilikom izračunavanja, zgodnije je koristiti standardnu ​​devijaciju σ x umjesto varijanse D x.

Shodno tome, označimo sa K 1 (m x, σ x) odnos između standardne devijacije od matematičkog očekivanja. Onda

ym (t)= moj + yo (t)= K0 mx + K1 xo (t)

Za pronalaženje ovih koeficijenata K 0 i K 1 prilikom izračunavanja prolaska signala kroz nelinearnu vezu, koristi se statistička metoda

statička linearizacija nelinearnog elementa

Metoda statističke linearizacije zasniva se na zamjeni nelinearnog elementa sa statistički ekvivalentnim lineariziranim elementom.

Ova metoda statističke linearizacije je u načelu slična metodi harmonijske linearizacije.

Pusti signal s(t) je specificirana kao neperiodična funkcija i postoji samo na intervalu ( t 1 ,t 2) (primjer - pojedinačni impuls). Odaberimo proizvoljan vremenski period T, uključujući interval ( t 1 ,t 2) (vidi sliku 1).

Označimo periodični signal dobijen iz s(t), kao ( t). Tada možemo napisati Fourierov niz za njega

Za odlazak na funkciju s(t) slijedi u izrazu ( t) usmjeriti period u beskonačnost. U ovom slučaju, broj harmonijskih komponenti sa frekvencijama w=n 2str/Tće biti beskonačno velika, udaljenost između njih će težiti nuli (do beskonačno male vrijednosti:

amplitude komponenti će takođe biti beskonačno male. Stoga se više ne može govoriti o spektru takvog signala, jer spektar postaje kontinuiran.

Unutrašnji integral je funkcija frekvencije. Zove se spektralna gustina signala, odnosno frekvencijski odziv signala i označava se tj.

Općenito, granice integracije mogu se postaviti na beskonačne, jer je svejedno gdje je s(t) jednako nuli, a integral jednak nuli.

Izraz za spektralnu gustinu naziva se direktna Fourierova transformacija. Inverzna Fourierova transformacija određuje vremensku funkciju signala iz njegove spektralne gustine

Direktna (*) i inverzna (**) Fourierova transformacija se zajedno nazivaju par Fourierovih transformacija. Modul spektralne gustine

određuje amplitudno-frekvencijski odziv (AFC) signala i njegov argument naziva fazno-frekvencijski odziv (PFC) signala. Frekvencijski odziv signala je parna funkcija, a fazni odziv je neparan.

Značenje modula S(w) definira se kao amplituda signala (struja ili napon) po 1 Hz u beskonačno uskom frekvencijskom pojasu koji uključuje frekvenciju o kojoj je riječ w. Njegova dimenzija je [signal/frekvencija].

Energetski spektar signala. Ako funkcija s(t) ima gustinu snage Fourierovog signala ( spektralna gustina energije signala) određena je izrazom:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Spektar snage W()-realan nenegativan ravnomjerna funkcija, koji se obično naziva energetskim spektrom. Spektar snage, kao kvadrat modula spektralne gustine signala, ne sadrži fazne informacije o njegovim frekvencijskim komponentama, te je stoga rekonstrukcija signala iz spektra snage nemoguća. To također znači da signali s različitim faznim karakteristikama mogu imati iste spektre snage. Konkretno, pomak signala ne utiče na njegov spektar snage. Ovo posljednje nam omogućava da dobijemo izraz za energetski spektar direktno iz izraza (5.2.7). U granici, za identične signale u(t) i v(t) sa pomakom t 0, imaginarni dio spektra Wuv () teži nultim vrijednostima, a realni dio teži vrijednostima modula spektra . Sa kompletnom vremenskom kombinacijom signala imamo:

one. energija signala jednaka je integralu kvadrata modula njegovog frekventnog spektra – zbiru energije njegovih frekvencijskih komponenti, i uvijek je realna vrijednost.

Za proizvoljni signal s(t) jednakost

obično se naziva Parsevalova jednakost (u matematici - Plancherelova teorema, u fizici - Rayleighova formula). Jednakost je očigledna, budući da su koordinatni i frekvencijski prikazi u suštini samo različiti matematički prikazi istog signala. Slično za energiju interakcije dva signala:

Iz Parsevalove jednakosti slijedi da je skalarni proizvod signala i norme u odnosu na Fourierovu transformaciju nepromjenjiv:

U nizu čisto praktičnih problema snimanja i prenošenja signala, energetski spektar signala je veoma značajan. Periodični signali se prevode u spektralno područje u obliku Fourierovih redova. Zapišimo periodični signal s periodom T u obliku Fourierovog niza u kompleksnom obliku:

Interval 0-T sadrži cijeli broj perioda svih eksponenata integranda i jednak je nuli, sa izuzetkom eksponencijala na k = -m, za koji je integral jednak T. Prema tome, prosječna snaga a periodični signal jednak je zbroju kvadrata modula koeficijenata njegovog Fourierovog reda:

Energetski spektar signala – ovo je raspodjela energije osnovnih signala koji čine neharmonični signal na osi frekvencije. Matematički, energetski spektar signala jednak je kvadratu modula spektralne funkcije:

Shodno tome, amplitudno-frekvencijski spektar prikazuje skup amplituda komponenti osnovnih signala na osi frekvencije, a fazno-frekvencijski spektar prikazuje skup faza

Često se naziva modul spektralne funkcije amplitudnog spektra, a njegov argument je fazni spektar.

Osim toga, postoji inverzna Fourierova transformacija koja vam omogućava da vratite originalni signal, znajući njegovu spektralnu funkciju:

Na primjer, uzmite pravokutni impuls:

Još jedan primjer spektra:

Nyquist frekvencija, Kotelnikova teorema .

Nyquist frekvencija - u digitalnoj obradi signala, frekvencija jednaka polovini frekvencije uzorkovanja. Ime je dobio po Harryju Nyquistu. Iz Kotelnikove teoreme slijedi da prilikom uzorkovanja analognog signala neće doći do gubitka informacija samo ako je spektar (spektralna gustina) signala jednak ili niži od Nyquistove frekvencije. U suprotnom, prilikom vraćanja analognog signala, doći će do preklapanja spektralnih "repova" (zamjena frekvencije, maskiranje frekvencije), a oblik obnovljenog signala će biti izobličen. Ako spektar signala nema komponente iznad Nyquistove frekvencije, onda se (teoretski) može uzorkovati i zatim rekonstruisati bez izobličenja. Zapravo, "digitalizacija" signala (pretvaranje analognog signala u digitalni) povezana je s kvantizacijom uzoraka - svaki uzorak je napisan u obliku digitalnog koda konačne dubine bita, što rezultira greške kvantizacije (zaokruživanja) se dodaju uzorcima, pod određenim uslovima koji se smatraju “šumom kvantizacije”.

Realni signali konačnog trajanja uvijek imaju beskonačno širok raspon, koji se manje ili više brzo smanjuje sa povećanjem učestalosti. Stoga uzorkovanje signala uvijek dovodi do gubitka informacija (izobličenja oblika signala tokom uzorkovanja i rekonstrukcije), bez obzira na to koliko je visoka frekvencija uzorkovanja. Pri odabranoj brzini uzorkovanja, izobličenje se može smanjiti potiskivanjem spektralnih komponenti analognog signala (prije uzorkovanja) koje leže iznad Nyquistove frekvencije, što zahtijeva vrlo visok filter. high order kako bi se izbjeglo preklapanje "repova". Praktična implementacija takvog filtera je vrlo složena, budući da amplitudno-frekventne karakteristike filtara nisu pravokutne, već glatke, a između propusnog i potisnog pojasa formira se određeni prijelazni frekvencijski pojas. Stoga se frekvencija uzorkovanja bira sa marginom, na primjer, kod audio CD-a koristi se frekvencija uzorkovanja od 44.100 Hz, dok se najvišom frekvencijom u spektru audio signala smatra 20.000 Hz. Nyquist frekvencijska margina od 44100 / 2 - 20000 = 2050 Hz omogućava vam da izbjegnete zamjenu frekvencije kada koristite implementirani filter nižeg reda.

Kotelnikova teorema

Da bi se povratio originalni kontinuirani signal iz uzorkovanog sa malim distorzijama (greškama), potrebno je racionalno odabrati korak uzorkovanja. Stoga, kada se analogni signal pretvara u diskretni, nužno se postavlja pitanje o veličini koraka uzorkovanja.Intuitivno nije teško razumjeti sljedeću ideju. Ako analogni signal ima niskofrekventni spektar ograničen određenom gornjom frekvencijom Fe (tj. funkcija u(t) ima oblik glatke promjenjive krivulje, bez oštrih promjena amplitude), onda je malo vjerovatno da ova funkcija može značajno mijenjati tokom nekog malog vremenskog intervala uzorkovanja.amplituda. Sasvim je očigledno da tačnost rekonstrukcije analognog signala iz niza njegovih uzoraka zavisi od veličine intervala uzorkovanja.Što je kraći, to će se funkcija u(t) manje razlikovati od glatke krive koja prolazi kroz uzorak. bodova. Međutim, kako se interval uzorkovanja smanjuje, složenost i obim opreme za obradu značajno se povećavaju. Ako je interval uzorkovanja dovoljno velik, povećava se vjerovatnoća izobličenja ili gubitka informacija prilikom rekonstrukcije analognog signala. Optimalna vrijednost intervala uzorkovanja je utvrđena Kotelnikovom teoremom (drugi nazivi su teorema uzorkovanja, teorema K. Shanona, X. Nyquistova teorema: teorema je prvi put otkrivena u matematici O. Cauchyja, a zatim je ponovo opisao D. Carson i R. Hartley), koju je dokazao 1933. godine, teorema V. A. Kotelnikova ima važne teorijske i praktični značaj: omogućava pravilno uzorkovanje analognog signala i određuje optimalan način da se on vrati na prijemnoj strani iz vrijednosti uzorka.

Prema jednoj od najpoznatijih i najjednostavnijih interpretacija Kotelnikove teoreme, proizvoljni signal u(t), čiji je spektar ograničen određenom frekvencijom Fe, može se u potpunosti rekonstruirati iz niza njegovih referentnih vrijednosti, prateći s vremenom interval

Interval uzorkovanja i frekvencija Fe(1) u radiotehnici se često nazivaju interval i Nyquist frekvencija, respektivno. Analitički, Kotelnikova teorema je prikazana pored

gdje je k broj uzorka; - vrijednost signala u referentnim tačkama - gornja frekvencija spektra signala.

Frekvencijski prikaz diskretnih signala .

Većina signala se može predstaviti kao Fourierov niz:

Periodični nastavak impulsa. Koncept spektralne gustine signala Inverzna Fourierova transformacija. Uslov za postojanje spektralne gustine signala Odnos između trajanja impulsa i širine njegovog spektra Generalizovana Rayleighova formula Međusobna spektralna gustina signala. Energetski spektar Korelaciona analiza signala Poređenje vremenski pomerenih signala.

Svrha predavanja:

Dobiti spektralne karakteristike neperiodičnih (pulsnih) signala generalizacijom Fourierovih redova. Odredite zahtjeve za propusni opseg radio uređaja. Predstavite signale u smislu njihove spektralne gustine. Koristite energetski spektar da dobijete različite inženjerske procjene. Shvatite kako se javlja potreba za signalima sa posebno odabranim svojstvima.

Neka je s (t) jedan impulsni signal konačnog trajanja. Nakon što ga mentalno dopunimo istim signalima, periodično prateći nakon određenog vremenskog intervala T, dobijamo prethodno proučavani periodični niz S per (t), koji se može predstaviti kao složeni Fourierov red

(12.1) sa koeficijentima . (12.2)

Da bismo se vratili na jedan impulsni signal, usmjerimo period ponavljanja u beskonačnost T. Ocigledno je:

a) frekvencije susjednih harmonika nω 1 i (n+ l)ω 1 će biti proizvoljno bliske, tako da se u formulama (12.1) i (12.2) diskretna varijabla nω 1 može zamijeniti kontinuiranom varijablom ω - trenutnom frekvencijom;

b) amplitudski koeficijenti C n će postati neograničeno mali zbog prisustva vrijednosti T u nazivniku formule (12.2).

Naš zadatak je sada pronaći ekstremna forma formule (12.1) kao T→∞.

Razmotrimo mali frekvencijski interval Δω, koji formira susjedstvo neke odabrane vrijednosti frekvencije ω 0. Unutar ovog intervala biće N=Δω/ω 1 = ΔωT/(2π) pojedinačnih parova spektralnih komponenti, čije se frekvencije razlikuju koliko god želite. Stoga se komponente mogu dodati na sljedeći način: kao da svi imaju istu frekvenciju i da ih karakteriziraju iste kompleksne amplitude

Kao rezultat, nalazimo kompleksnu amplitudu ekvivalenta harmonijski signal, prikazujući doprinos svih spektralnih komponenti sadržanih u intervalu Δω

. (12.3)

Funkcija (12.4)

se zove spektralna gustina signal s(t). Formula (12.4) implementira Fourierova transformacija ovog signala.

Rešimo inverzni problem spektralne teorije signala: signal ćemo pronaći iz njegove spektralne gustine, koju ćemo smatrati datim.

Budući da se u graničnom dijelu frekvencijski intervali između susjednih harmonika neograničeno smanjuju, posljednji zbir treba zamijeniti integralom

. (12.5)

Ova važna formula se zove inverzna Fourierova transformacija za signal s(t).

Hajde da konačno formulišemo osnovni rezultat: signal s(t) i njegova spektralna gustoća S(ω) su jedan prema jedan povezani direktnim i inverznim Fourierovim transformacijama

, (12.6)

.

Spektralno predstavljanje signala otvara direktan put ka analizi prolaska signala kroz široku klasu radio kola, uređaja i sistema.

Signal s(t) može biti povezan sa svojom spektralnom gustinom s(ω) ako je ovaj signal apsolutno integrisati, tj. postoji integral

Ovaj uslov značajno sužava klasu prihvatljivih signala. Dakle, u naznačenom klasičnom smislu nemoguće je govoriti o spektralnoj gustoći harmonijskog signala I(t) = U m cosω 0 t , postoji duž cijele beskonačne ose vremena.

Važan prilog: Što je kraće trajanje impulsa, širi je njegov spektar.

Pod širinom spektra se podrazumijeva interval frekvencije unutar kojeg modul spektralne gustine nije manji od određenog unaprijed određenog nivoa, na primjer, varira od |S| max , do 0,1|S| max.

Umnožak širine pulsnog spektra i njegovog trajanja je konstantan broj koji zavisi samo od oblika impulsa i po pravilu je reda jedinice: Što je trajanje impulsa kraće, širina pojasa odgovarajućeg pojačala treba da bude širi. . Kratkopulsne smetnje imaju širok spektar i stoga mogu pogoršati uslove radio prijema u širokom frekventnom opsegu.

Matematički modeli Mnogi signali koji se široko koriste u radiotehnici ne zadovoljavaju uvjet apsolutne integrabilnosti, stoga Fourierova metoda transformacije u svom uobičajenom obliku nije primjenjiva na njih. Međutim, možemo govoriti o spektralnim gustoćama takvih signala ako pretpostavimo da su te gustoće opisane generaliziranim funkcijama.

Neka dva signala i (t) I v(t), u opštem slučaju, kompleksne vrednosti, definisane njihovim inverznim Fourierovim transformacijama.

Naći ćemo skalarni proizvod te signale izražavanjem jednog od njih, na primjer v(t), kroz svoju spektralnu gustinu

Rezultirajući odnos je generalizirana Rayleighova formula. Lako pamtljiva interpretacija ove formule je sljedeća: skalarni proizvod dva signala, do koeficijenta, proporcionalan je skalarnom proizvodu njihovih spektralnih gustoća. Ako se signali poklapaju identično, onda skalarni proizvod postaje jednak energiji

. (12.7)

Hajde da pozovemo uzajamni energetski spektar stvarni signali u(t) i v(t) funkcija

, (12.8)

takav da

. (4.9)

Lako je vidjeti da je Re W UV(ω)-par, i Im W UV(ω) je neparna funkcija frekvencije. Dakle, samo realni dio doprinosi integralu (12.9).

. (12.10)

Posljednja formula omogućava analizu “fine strukture” odnosa između signala.

Štaviše, generalizovana Rayleighova formula, predstavljena u obliku (12.10), ukazuje na fundamentalni način da se smanji stepen sprege između dva signala, postižući, u krajnjoj liniji, njihovu ortogonalnost. Da bi se to postiglo, jedan od signala mora biti obrađen u posebnom fizičkom sistemu tzv frekvencijski filter. Ovaj filter podliježe zahtjevu: da ne prelazi na izlazne spektralne komponente koje se nalaze unutar frekvencijskog intervala, gdje je stvarni dio međusobnog energetskog spektra velik. Frekvencijska ovisnost koeficijenta prijenosa takvog ortogonalni filter imaće izražen minimum unutar navedenog frekvencijskog opsega.

Spektralni prikaz energije signala može se lako dobiti iz generalizirane Rayleighove formule ako se signali u njoj i (t) I v(t) smatra isto. Formula (12.8), koja izražava spektralnu gustinu energije, poprima oblik

Količina W u (ω) se zove spektralna gustina energije signal u(t), ili, ukratko, njegov energetski spektar. Formula (3.2) će se napisati na sljedeći način

. (12.12)

Relacija (4.12) je poznata kao Rayleigh formula(u užem smislu), koji kaže sljedeće: energija bilo kojeg signala je rezultat zbrajanja doprinosa iz različitih intervala frekvencijske ose.

Proučavanjem signala koristeći njegov energetski spektar, neminovno gubimo informacije sadržane u faznom spektru signala, budući da je, u skladu sa formulom (4.11), energetski spektar kvadrat modula spektralne gustine i ne zavisi od na svojoj fazi.

Okrenimo se pojednostavljenoj ideji ​​rada pulsnog radara dizajniranog za mjerenje dometa do cilja. Ovdje je informacija o objektu mjerenja sadržana u vrijednosti τ - vremenskom kašnjenju između sondiranog i primljenog signala. Sondiranje oblika I(t) i prihvaćeno I(t-τ) signali su isti za bilo koje kašnjenje. Blok dijagram uređaja za obradu radarskog signala dizajniranog za mjerenje dometa može izgledati kao što je prikazano na slici 12.1.

Slika 12.1 - Uređaj za mjerenje vremena kašnjenja signala

U statističkoj radiotehnici i fizici, pri proučavanju determinističkih signala i slučajnih procesa, široko se koristi njihova spektralna reprezentacija u obliku spektralne gustoće koja se zasniva na Fourierovoj transformaciji.

Ako proces ima konačnu energiju i kvadratno je integrabilan (a ovo je nestacionaran proces), tada se za jednu implementaciju procesa Fourierova transformacija može definirati kao slučajna složena funkcija frekvencije:

Međutim, pokazalo se da je gotovo beskorisno za opisivanje ansambla. Izlaz iz ove situacije je odbacivanje nekih parametara spektra, odnosno faznog spektra, i konstruisanje funkcije koja karakteriše energetsku distribuciju procesa duž frekventne ose. Zatim, prema Parsevalovoj teoremi, energija

Funkcija S x (f) = | X(f) | 2 (\displaystyle S_(x)(f)=|X(f)|^(2)) tako karakteriše distribuciju energije implementacije duž frekventne ose i naziva se spektralna gustina implementacije. Usrednjavanjem ove funkcije po svim implementacijama, može se dobiti spektralna gustoća procesa.

Okrenimo se sada stacionarnom, u širem smislu, centriranom slučajnom procesu x (t) (\displaystyle x(t)), čije realizacije sa vjerovatnoćom 1 imaju beskonačnu energiju i, prema tome, nemaju Fourierovu transformaciju. Spektralna gustina snage takvog procesa može se naći na osnovu Wiener-Khinchinove teoreme kao Fourierova transformacija korelacijske funkcije:

Ako postoji direktna transformacija, onda postoji i inverzna Fourierova transformacija, koja, sa poznate tačke gledišta, određuje k x (τ) (\displaystyle k_(x)(\tau)):

Ako pretpostavimo u formulama (3) i (4) respektivno f = 0 (\displaystyle f=0) I τ = 0 (\displaystyle \tau =0), imamo

Formula (6), uzimajući u obzir (2), pokazuje da disperzija određuje ukupnu energiju stacionarnog slučajnog procesa, koja je jednaka površini ispod krivulje spektralne gustine. Dimenziona vrijednost S x (f) d f (\displaystyle S_(x)(f)df) može se tumačiti kao dio energije koncentriran u malom frekvencijskom rasponu od f − d f / 2 (\displaystyle f-df/2) prije f + d f / 2 (\displaystyle f+df/2). Ako mislimo pod x (t) (\displaystyle x(t)) nasumična (fluktuacija) struja ili napon, zatim vrijednost S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) imaće energetsku dimenziju [V 2 /Hz] = [V 2 s]. Zbog toga S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) ponekad se zove energetski spektar. U literaturi se često može naći i druga interpretacija: σ x 2 (\displaystyle \sigma _(x)^(2))– smatra se prosječnom snagom koju oslobađa struja ili napon na otporu od 1 oma. Istovremeno, vrijednost S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) pozvao spektar snage slučajni proces.

Svojstva spektralne gustine

• Energetski spektar stacionarnog procesa (materijala ili kompleksa) je nenegativna veličina:

• Energetski spektar stvarnog, stacionarnog, u širem smislu, slučajnog procesa je stvarna i čak funkcija frekvencije: