Püramiidi külgpinna arvutamise valem. Püramiid

Suvalise püramiidi külgpinna pindala on võrdne selle külgpindade pindalade summaga. Selle ala väljendamiseks on otstarbekas anda tavapüramiidi puhul spetsiaalne valem. Niisiis, olgu antud tavaline püramiid, mille põhjas asub korrapärane n-nurk, mille külg on võrdne a-ga. Olgu h külgpinna kõrgus, mida nimetatakse ka apoteem püramiidid. Ühe külgpinna pindala on 1/2ah ja kogu püramiidi külgpinna pindala on n/2ha. Kuna na on püramiidi aluse ümbermõõt, saame leitud valemi kirjutada järgmiselt :

Külgmine pindala tavalise püramiidi korrutis on võrdne tema apoteemi korrutisega poole aluse ümbermõõduga.

Mis puudutab kogupindala, seejärel lisage lihtsalt aluse pindala küljele.

Sissekirjutatud ja piiritletud kera ja kuul. Tuleb märkida, et püramiidi sisse kirjutatud sfääri keskpunkt asub püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitajate tasandite ristumiskohas. Püramiidi lähedal kirjeldatud sfääri keskpunkt asub püramiidi servade keskpunkte läbivate ja nendega risti olevate tasandite ristumiskohas.

Kärbitud püramiid. Kui püramiidi lõigatakse selle põhjaga paralleelse tasapinnaga, siis lõiketasandi ja aluse vahele jäävat osa nimetatakse nn. kärbitud püramiid. Joonisel on kujutatud püramiidi, mille lõiketasandi kohal asuva osa kõrvale heites saame kärbitud püramiidi. On selge, et väike püramiid, mis tuleb ära visata, on homoteetiline suure püramiidiga, mille tipus on homoteedi keskpunkt. Sarnasuskoefitsient võrdub kõrguste suhtega: k=h 2 /h 1 ehk mõlema püramiidi külgribid või muud vastavad lineaarmõõtmed. Teame, et sarnaste kujundite pindalad on seotud lineaarsete mõõtmetega ruutudena; seega on mõlema püramiidi aluste pindalad (s.o. kärbitud püramiidi alused säästud) omavahel seotud

Siin on S 1 alumise aluse pindala ja S 2 on kärbitud püramiidi ülemise aluse pindala. Püramiidide külgpinnad on samas vahekorras. Sarnane reegel kehtib ka mahtude kohta.

Sarnaste kehade mahud on seotud nende lineaarsete mõõtmetega kuubikutena; Näiteks püramiidide ruumalad on nende kõrguste korrutisena seotud aluste pindalaga, millest tuleneb kohe meie reegel. Sellel on absoluutselt üldine iseloom ja tuleneb otseselt sellest, et mahul on alati pikkuse kolmanda astme mõõde. Seda reeglit kasutades tuletame valemi, mis väljendab kärbitud püramiidi ruumala aluste kõrguse ja pindalade järgi.

Olgu antud kärbitud püramiid kõrgusega h ja aluse pindaladega S 1 ja S 2. Kui kujutame ette, et seda laiendatakse täispüramiidile, siis on täispüramiidi ja väikese püramiidi sarnasuskordaja lihtne leida suhte S 2 /S 1 juurena. Kärbitud püramiidi kõrgust väljendatakse h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Nüüd on meil kärbitud püramiidi ruumala (V 1 ja V 2 tähistavad täis- ja väikese püramiidi ruumala)

kärbitud püramiidi mahuvalem

Tuletame aluste perimeetrite P 1 ja P 2 läbiva korrapärase tüvipüramiidi külgpinna pindala S valemi ning apoteemi a pikkuse. Me vaidleme täpselt samamoodi nagu mahu valemi tuletamisel. Täiendame püramiidi ülemise osaga, meil on P 2 \u003d kP 1, S 2 \u003d k 2 S 1, kus k on sarnasustegur, P 1 ja P 2 on aluste perimeetrid ning S 1 ja S 2 on vastavalt kogu saadud püramiidi külgpindade ja selle tipu hobused. Külgpinna jaoks leiame (a 1 ja a 2 - püramiidide apoteemid, a \u003d a 1 - a 2 \u003d a 1 (1-k))

tavalise kärbitud püramiidi külgpinna valem

• Ülesanne 1. Leidke püramiidi kogupindala
• Ülesanne 2. Leidke korrapärase kolmnurkse püramiidi külgpinna pindala

Ülesanne 1. Leidke tavalise püramiidi kogupindala

Lahendus.

Korrapärase kolmnurkse püramiidi põhjas asub võrdkülgne kolmnurk.
Seetõttu kasutame ülesande lahendamiseks tavalise kolmnurga omadusi:

Teame kolmnurga kõrgust, kust leiame selle pindala.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Kust aluse pindala on võrdne:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Külgpinna pindala leidmiseks arvutame kõrguse KM. OKM-i nurk on probleemi püstituse järgi 45 kraadi.
Sellel viisil:
OK / MK = cos 45
Kasutame trigonomeetriliste funktsioonide ja asendusfunktsioonide väärtuste tabelit teadaolevad väärtused.

OK / MK = √2/2

Arvestame, et OK võrdub sisse kirjutatud ringi raadiusega. Siis
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Siis
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2

Külgpinna pindala on siis võrdne poolega kolmnurga kõrguse ja aluse korrutisest.
külg = 1/2 (6/√3) (2/√2) = 6/√6

Seega on püramiidi kogupind võrdne
S = 3√3 + 3*6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Vastus: 3√3 + 18/√6

2. ülesanne. Leidke tavalise püramiidi külgpindala

Lahendus.

Kuna korrapärase kolmnurkse püramiidi alus on võrdkülgne kolmnurk, siis AO on aluse ümber oleva ringjoone raadius.
(See tuleneb sellest)

Ümber võrdkülgse kolmnurga ümbritsetud ringi raadius leitakse selle omaduste põhjal

Siit on tavalise kolmnurkse püramiidi servade pikkus võrdne:
AM 2 = MO 2 + AO 2
püramiidi kõrgus on teada tingimusega (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √ (556/3)

Püramiidi kumbki külg on võrdhaarne kolmnurk. Ruut võrdhaarne kolmnurk leidke allolevast esimesest valemist

S = 1/2 * 16 ruutmeetrit ((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 ruutmeetrit ((556/3) - 64)
S = 8 ruutmeetrit (364/3)
S = 16 ruutmeetrit (91/3)

Kuna tavalise püramiidi kõik kolm tahku on võrdsed, on külgpind võrdne
3S = 48√ (91/3)

Vastus: 48 √(91/3)

Ülesanne 3. Leidke tavalise püramiidi kogupindala

Tavalise kolmnurkse püramiidi külg on 3 cm ja nurk püramiidi külgpinna ja aluse vahel on 45 kraadi. Leidke püramiidi kogupindala.

Lahendus.
Kuna püramiid on korrapärane, on selle põhjas võrdkülgne kolmnurk. Nii et aluse pindala on


Seega = 9 * √3/4

Külgpinna pindala leidmiseks arvutame kõrguse KM. OKM-i nurk on probleemi püstituse järgi 45 kraadi.
Sellel viisil:
OK / MK = cos 45
Kasutame ära

Definitsioon. Külg nägu- see on kolmnurk, mille üks nurk asub püramiidi tipus ja selle vastaskülg langeb kokku aluse (hulknurga) küljega.

Definitsioon. Külgmised ribid on külgpindade ühised küljed. Püramiidil on nii palju servi kui hulknurki.

Definitsioon. püramiidi kõrgus on püramiidi tipust põhja langenud risti.

Definitsioon. Apoteem- see on püramiidi külgpinna risti, mis on langetatud püramiidi tipust aluse küljele.

Definitsioon. Diagonaalne lõige- see on püramiidi läbilõige tasapinnast, mis läbib püramiidi tippu ja aluse diagonaali.

Definitsioon. Õige püramiid on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk, ja kõrgus langeb aluse keskele.

Püramiidi ruumala ja pindala

Valem. püramiidi maht läbi aluse pindala ja kõrgus:

püramiidi omadused

Kui kõik külgmised ribid on võrdsed, siis saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse ja aluse keskpunkt ühtib ringi keskpunktiga. Samuti läbib ülevalt alla lastud risti aluse (ringi) keskpunkti.

Kui kõik külgmised ribid on võrdsed, on need alustasandi suhtes samade nurkade all.

Külgmised ribid on võrdsed, kui nad moodustavad alustasandiga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse.

Kui a külgmised näod aluse tasapinna suhtes ühe nurga all kaldu, siis saab püramiidi põhja kirjutada ringi ja püramiidi tipp projitseeritakse selle keskmesse.

Kui külgpinnad on alustasapinna suhtes ühe nurga all kaldu, siis on külgpindade apoteemid võrdsed.

Tavalise püramiidi omadused

1. Püramiidi tipp on aluse kõigist nurkadest võrdsel kaugusel.

2. Kõik külgmised servad on võrdsed.

3. Kõik külgmised ribid on aluse suhtes sama nurga all.

4. Kõikide külgpindade apoteemid on võrdsed.

5. Kõikide külgpindade pindalad on võrdsed.

6. Kõigil tahkudel on samad kahetahulised (tasapinnalised) nurgad.

7. Püramiidi ümber saab kirjeldada kera. Kirjeldatud sfääri keskpunkt on servade keskosa läbivate perpendikulaaride lõikepunkt.

8. Püramiidi saab sisse kirjutada kera. Sissekirjutatud sfääri keskpunkt on serva ja aluse vahelisest nurgast lähtuvate poolitajate lõikepunkt.

9. Kui sissekirjutatud sfääri keskpunkt ühtib piiritletud sfääri keskpunktiga, siis on tipus olevate tasapindade nurkade summa võrdne π-ga või vastupidi, üks nurk on võrdne π / n, kus n on arv nurgad püramiidi põhjas.

Püramiidi seos sfääriga

Püramiidi ümber olevat kera saab kirjeldada siis, kui püramiidi põhjas asub hulktahukas, mille ümber saab kirjeldada ringi (vajalik ja piisav tingimus). Kera keskpunkt on püramiidi külgmiste servade keskpunkte risti läbivate tasapindade lõikepunkt.

Sfääri saab alati kirjeldada mis tahes kolmnurkse või korrapärase püramiidi ümber.

Kera saab püramiidi sisse kirjutada, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad ühes punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.

Püramiidi ühendus koonusega

Koonust nimetatakse püramiidi sissekirjutatuks, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on kantud püramiidi põhja.

Püramiidi saab kirjutada koonuse, kui püramiidi apoteemid on võrdsed.

Koonust nimetatakse ümber püramiidi, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on ümbritsetud ümber püramiidi aluse.

Püramiidi ümber olevat koonust saab kirjeldada, kui kõik püramiidi külgservad on üksteisega võrdsed.

Püramiidi ühendus silindriga

Püramiidi kohta öeldakse, et see on silindrisse kantud, kui püramiidi tipp asub silindri ühel alusel ja püramiidi põhi on kantud silindri teisele alusele.

Silindri saab püramiidi ümber piirata, kui püramiidi aluse ümber saab piirata ringi.

Tetraeedril on neli tahku ja neli tippu ja kuus serva, kus kahel serval pole ühiseid tippe, kuid need ei puutu kokku.

Iga tipp koosneb kolmest tahust ja servast, mis moodustavad kolmnurkne nurk.

Nimetatakse lõiku, mis ühendab tetraeedri tippu vastaskülje keskpunktiga tetraeedri mediaan(GM).

Bimediaan nimetatakse lõiguks, mis ühendab vastasservade keskpunkte, mis ei puutu kokku (KL).

Kõik tetraeedri bimediaanid ja mediaanid lõikuvad ühes punktis (S). Sel juhul jagatakse bimediaanid pooleks ja mediaanid suhtega 3:1, alustades ülalt.

Definitsioon. Terava nurgaga püramiid on püramiid, mille apoteem on üle poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. nüri püramiid on püramiid, mille apoteem on alla poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. korrapärane tetraeeder Tetraeeder, mille neli tahku on võrdkülgsed kolmnurgad. See on üks viiest korrapärasest hulknurgast. Tavalises tetraeedris on kõik kahetahulised nurgad (tahkude vahel) ja kolmnurksed nurgad (tipu juures) võrdsed.

Definitsioon. Ristkülikukujuline tetraeeder nimetatakse tetraeedrit, mille tipus on kolme serva vahel täisnurk (servad on risti). Moodustuvad kolm nägu ristkülikukujuline kolmnurkne nurk ja servad on täisnurksed kolmnurgad, ja alus on suvaline kolmnurk. Mis tahes näo apoteem on võrdne poole aluse küljega, millele apoteem langeb.

Definitsioon. Isoeedriline tetraeeder Nimetatakse tetraeedrit, mille külgpinnad on üksteisega võrdsed ja alus on korrapärane kolmnurk. Sellise tetraeedri tahud on võrdhaarsed kolmnurgad.

Definitsioon. Ortotsentriline tetraeeder nimetatakse tetraeedrit, milles kõik kõrgused (perpendikulaarid), mis on langetatud ülalt vastasküljele, ristuvad ühes punktis.

Definitsioon. tähe püramiid Nimetatakse hulktahukat, mille alus on täht.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, sisse kohtuvaidlusi ja/või Vene Föderatsiooni territooriumil asuvate riiklike organite avalike taotluste või taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Millist kuju me nimetame püramiidiks? Esiteks on see hulktahukas. Teiseks on selle hulktahuka põhjas suvaline hulknurk ja püramiidi küljed (külgpinnad) peavad olema kolmnurkade kujul, mis koonduvad ühte ühisesse tippu. Nüüd, olles terminiga tegelenud, uurime välja, kuidas leida püramiidi pindala.

On selge, et sellise pindala geomeetriline keha koosneb aluse ja kogu selle külgpinna pindalade summast.

Püramiidi aluse pindala arvutamine

Arvutusvalemi valik sõltub meie püramiidi põhjas asuva hulknurga kujust. See võib olla õige, st sama pikkusega külgedega või vale. Mõelgem mõlemale võimalusele.

Alusel on korrapärane hulknurk

Alates koolikursus teatud:

• ruudu pindala on võrdne selle külje ruudu pikkusega;
• Võrdkülgse kolmnurga pindala on võrdne selle külje ruuduga, mis on jagatud 4-kordse ruutjuurega kolmest.

Kuid on olemas ka üldine valem mis tahes korrapärase hulknurga (Sn) pindala arvutamiseks: peate korrutama selle hulknurga (P) perimeetri väärtuse sellesse kirjutatud ringi raadiusega (r) ja seejärel jagage tulemus kahega: Sn=1/2P*r .

Alus on ebakorrapärane hulknurk.

Selle pindala leidmise skeem on kõigepealt jagada kogu hulknurk kolmnurkadeks, arvutada nende pindala valemiga: 1/2a * h (kus a on kolmnurga alus, h on kõrgus alandatud sellele alusele), liitke kõik tulemused.

Püramiidi külgpindala

Nüüd arvutame välja püramiidi külgpinna pindala, s.o. selle kõigi külgede pindalade summa. Siin on ka 2 võimalust.

1. Olgu meil suvaline püramiid, st. selline, mille alus on ebakorrapärane hulknurk. Seejärel peaksite arvutama iga näo pindala eraldi ja lisama tulemused. Kuna püramiidi küljed saavad definitsiooni järgi olla ainult kolmnurgad, siis arvutatakse ülalmainitud valemi alusel: S=1/2a*h.
2. Olgu meie püramiid õige, s.t. selle põhjas asub korrapärane hulknurk ja selle keskel on püramiidi tipu projektsioon. Seejärel piisab külgpinna pindala (Sb) arvutamiseks, kui leida pool aluse hulknurga perimeetri (P) ja külje kõrguse (h) korrutisest (kõigi tahkude jaoks sama). : Sb \u003d 1/2 P * h. Hulknurga ümbermõõt määratakse selle kõigi külgede pikkuste liitmise teel.

Tavalise püramiidi kogupindala leitakse selle aluse pindala liitmisel kogu külgpinna pindalaga.

Näited

Näiteks arvutame algebraliselt mitme püramiidi pindalad.

Kolmnurkse püramiidi pindala

Sellise püramiidi põhjas on kolmnurk. Valemi So \u003d 1 / 2a * h järgi leiame aluse pindala. Kasutame sama valemit, et leida püramiidi iga külje pindala, millel on ka kolmnurkne kuju, ja saame 3 piirkonda: S1, S2 ja S3. Püramiidi külgpinna pindala on kõigi pindalade summa: Sb \u003d S1 + S2 + S3. Lisades külgede ja aluse pindalad, saame soovitud püramiidi kogupindala: Sp \u003d So + Sb.

Nelinurkse püramiidi pindala

Külgpind on 4 liikme summa: Sb \u003d S1 + S2 + S3 + S4, millest igaüks arvutatakse kolmnurga pindala valemi abil. Ja aluse pindala tuleb otsida sõltuvalt nelinurga kujust - õige või ebakorrapärane. Püramiidi kogupind saadakse jällegi, kui liidetakse antud püramiidi aluse pindala ja kogupindala.