Kuidas leida x eksponentsiaalselt. Geomeetriline progressioon

Geomeetriline progressioon koos aritmeetikaga on oluline arvurida, mida uuritakse koolikursus algebra 9. klassis. Selles artiklis käsitleme geomeetrilise progressiooni nimetajat ja seda, kuidas selle väärtus mõjutab selle omadusi.

Geomeetrilise progressiooni definitsioon

Alustuseks anname selle numbrirea definitsiooni. Geomeetriline progressioon on jada ratsionaalsed arvud, mis saadakse selle esimese elemendi järjestikuse korrutamisel konstantse arvuga, mida nimetatakse nimetajaks.

Näiteks arvud reas 3, 6, 12, 24, ... on geomeetriline progressioon, sest kui me korrutame 3 (esimese elemendi) 2-ga, saame 6. Kui korrutame 6 2-ga, saame 12 ja nii edasi.

Vaadeldava jada liikmeid tähistatakse tavaliselt sümboliga ai, kus i on täisarv, mis näitab elemendi arvu reas.

Ülaltoodud progressiooni definitsiooni saab matemaatika keeles kirjutada järgmiselt: an = bn-1 * a1, kus b on nimetaja. Seda valemit on lihtne kontrollida: kui n = 1, siis b1-1 = 1 ja saame a1 = a1. Kui n = 2, siis an = b * a1 ja jõuame taas vaadeldava arvujada definitsioonini. Sarnast arutlust saab jätkata ka suurte n väärtuste puhul.

Geomeetrilise progressiooni nimetaja

Arv b määrab täielikult, mis tähemärki kogu numbriseeria saab. Nimetaja b võib olla positiivne, negatiivne või suurem või väiksem kui üks. Kõik ülaltoodud valikud viivad erinevate jadadeni:

• b > 1. Ratsionaalarvude jada kasvab. Näiteks 1, 2, 4, 8, ... Kui element a1 on negatiivne, siis kogu jada kasvab ainult mooduli, kuid väheneb, võttes arvesse arvude märki.
• b = 1. Sageli ei nimetata sellist juhtumit progressiooniks, kuna on olemas tavaline identsete ratsionaalarvude jada. Näiteks -4, -4, -4.

Summa valem

Enne konkreetsete probleemide käsitlemist, kasutades vaadeldava progressitüübi nimetajat, tuleks anda selle esimese n elemendi summa jaoks oluline valem. Valem on: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Selle avaldise saate ise hankida, kui arvestada progressi liikmete rekursiivset jada. Pange tähele ka seda, et ülaltoodud valemis piisab suvalise arvu terminite summa leidmiseks ainult esimese elemendi ja nimetaja teadmisest.

Lõpmatult kahanev järjestus

Eespool oli selgitus, mis see on. Nüüd, teades Sn valemit, rakendame seda sellele arvuseeriale. Kuna iga arv, mille moodul ei ületa 1, kipub nulli, kui seda tõstetakse suurte astmeteni, st b∞ => 0, kui -1

Kuna erinevus (1 - b) on alati positiivne, olenemata nimetaja väärtusest, määrab lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni S∞ summa märgi üheselt selle esimese elemendi a1 märk.

Nüüd käsitleme mitmeid probleeme, kus näitame, kuidas omandatud teadmisi konkreetsetele numbritele rakendada.

Ülesanne number 1. Progressi tundmatute elementide ja summa arvutamine

Arvestades geomeetrilist progressiooni, on progressiooni nimetaja 2 ja selle esimene element on 3. Mis on selle 7. ja 10. liige ning mis on selle seitsme algelemendi summa?

Probleemi tingimus on üsna lihtne ja hõlmab ülaltoodud valemite otsest kasutamist. Nii et arvuga n elemendi arvutamiseks kasutame avaldist an = bn-1 * a1. 7. elemendi jaoks on meil: a7 = b6 * a1, asendades teadaolevad andmed, saame: a7 = 26 * 3 = 192. Teeme sama 10. liikmega: a10 = 29 * 3 = 1536.

Kasutame summa jaoks üldtuntud valemit ja määrame selle väärtuse seeria esimese 7 elemendi jaoks. Meil on: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Ülesanne number 2. Edasiliikumise suvaliste elementide summa määramine

Olgu -2 eksponentsiaalse progressiooni bn-1 * 4 nimetaja, kus n on täisarv. On vaja kindlaks määrata selle seeria 5. kuni 10. elemendi summa, kaasa arvatud.

Esitatud probleemi ei saa teadaolevate valemite abil otse lahendada. Saate selle lahendada 2 erinevaid meetodeid. Täielikkuse huvides esitame mõlemad.

Meetod 1. Selle idee on lihtne: peate arvutama esimeste liikmete kaks vastavat summat ja seejärel lahutama teise ühest. Arvutage väiksem summa: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Nüüd arvutame suur summa: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Pange tähele, et viimases avaldises summeeriti ainult 4 liiget, kuna 5. on juba ülesande olukorra järgi arvutatavas summas. Lõpuks võtame erinevuse: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Meetod 2. Enne arvude asendamist ja loendamist saate valemi vaadeldava jada liikmete m ja n vahelise summa kohta. Toimime täpselt samamoodi nagu 1. meetodis, ainult et kõigepealt töötame summa sümboolse esitusega. Meil on: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Saadud avaldisesse saate asendada teadaolevad arvud ja arvutada lõpptulemuse: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Ülesanne number 3. Mis on nimetaja?

Olgu a1 = 2, leidke geomeetrilise progressiooni nimetaja eeldusel, et selle lõpmatu summa on 3 ja on teada, et see on kahanev arvude jada.

Vastavalt ülesande seisukorrale pole raske ära arvata, millist valemit selle lahendamiseks kasutada. Muidugi lõpmatult kahaneva progressiooni summaks. Meil on: S∞ = a1 / (1 - b). Kust me väljendame nimetaja: b = 1 - a1 / S∞. Jääb asendada teadaolevad väärtused ja saada vajalik arv: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 või -0,333(3). Saame seda tulemust kvalitatiivselt kontrollida, kui meeles pidada, et seda tüüpi jada puhul ei tohi moodul b ületada 1. Nagu näete, |-1 / 3|

Ülesanne number 4. Numbrite jada taastamine

Olgu antud arvurea 2 elementi, näiteks 5. võrdub 30 ja 10. 60. Nende andmete põhjal on vaja taastada terve seeria, teades, et see rahuldab geomeetrilise progressiooni omadusi.

Ülesande lahendamiseks tuleb esmalt kirjutada igale teadaolevale liikmele vastav avaldis. Meil on: a5 = b4 * a1 ja a10 = b9 * a1. Nüüd jagame teise avaldise esimesega, saame: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Siit määrame nimetaja, võttes ülesande tingimusest teadaolevate liikmete suhte viienda astme juure, b = 1,148698. Asendame saadud arvu ühe teadaoleva elemendi avaldisega, saame: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Seega oleme leidnud, mis on progressiooni bn nimetaja ja geomeetriline progressioon bn-1 * 17,2304966 = an, kus b = 1,148698.

Kus kasutatakse geomeetrilisi progressioone?

Kui seda arvulist rida praktikas ei rakendataks, taandataks selle uurimine puhtalt teoreetiliseks huviks. Kuid selline rakendus on olemas.

Allpool on loetletud 3 kõige kuulsamat näidet:

• Zenoni paradoks, mille puhul väle Achilleus ei suuda aeglasele kilpkonnale järele jõuda, on lahendatud lõpmatult kahaneva arvujada kontseptsiooni abil.
• Kui malelaua igasse lahtrisse asetatakse nisuterad nii, et 1. lahtrisse asetatakse 1 tera, 2. 2, 3. 3 ja nii edasi, siis on kõigi lahtrite täitmiseks vaja 18446744073709551615 tera. juhatus!
• Mängus "Tower of Hanoi" on ketaste ühelt vardalt teisele ümberpaigutamiseks vaja teha 2n - 1 toimingut, see tähendab, et nende arv kasvab eksponentsiaalselt kasutatavate ketaste arvust n.

Kui iga naturaalarv n vaste reaalarvuga a n , siis nad ütlevad, et antud numbrijada :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Seega on numbriline jada loomuliku argumendi funktsioon.

Number a 1 helistas jada esimene liige , number a 2 — jada teine ​​liige , number a 3 — kolmandaks ja nii edasi. Number a n helistas n-s liige järjestused ja naturaalarv n — tema number .

Kahelt naaberliikmelt a n ja a n +1 liikmete järjestused a n +1 helistas järgnev ( suunas a n ), a a n — eelmine ( suunas a n +1 ).

Jada määramiseks tuleb määrata meetod, mis võimaldab leida suvalise numbriga jadaliikme.

Sageli on järjestus antud koos n-nda termini valemid , st valem, mis võimaldab määrata jadaliikme numbri järgi.

Näiteks,

positiivsete paaritute arvude jada saab anda valemiga

a n= 2n- 1,

ja vaheldumise järjekord 1 ja -1 - valem

b n = (-1)n +1 . ◄

Järjestust saab määrata korduv valem, see tähendab valem, mis väljendab jada mis tahes liiget, alustades mõnest, läbi eelneva (ühe või mitme) liikme.

Näiteks,

kui a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kui a a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , siis seatakse arvjada esimesed seitse liiget järgmiselt:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Jadad võivad olla lõplik ja lõputu .

Jada nimetatakse ülim kui sellel on piiratud arv liikmeid. Jada nimetatakse lõputu kui sellel on lõpmatult palju liikmeid.

Näiteks,

kahekohaline jada naturaalarvud:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lõplik.

Algnumbrite jada:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

lõputu. ◄

Jada nimetatakse suureneb , kui iga selle liige, alates teisest, on suurem kui eelmine.

Jada nimetatakse kahanev , kui iga selle liige, alates teisest, on väiksem kui eelmine.

Näiteks,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . on tõusev jada;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . on kahanev jada. ◄

Nimetatakse jada, mille elemendid arvu suurenedes ei vähene või, vastupidi, ei suurene monotoonne jada .

Eelkõige on monotoonsed järjestused suurenevad ja kahanevad järjestused.

Aritmeetiline progressioon

Aritmeetiline progressioon kutsutakse jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelmisega, millele liidetakse sama arv.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

on aritmeetiline progressioon, kui mõne naturaalarvu puhul n tingimus on täidetud:

a n +1 = a n + d,

kus d - mingi number.

Seega on erinevus antud aritmeetilise progressiooni järgmise ja eelmise liikme vahel alati konstantne:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Number d helistas aritmeetilise progressiooni erinevus.

Aritmeetilise progressiooni määramiseks piisab selle esimese liikme ja erinevuse määramisest.

Näiteks,

kui a 1 = 3, d = 4 , siis leitakse jada esimesed viis liiget järgmiselt:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Esimese liikmega aritmeetilise progressiooni jaoks a 1 ja erinevus d teda n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Näiteks,

leida aritmeetilise progressiooni kolmekümnes liige

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

siis ilmselgelt

iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, on võrdne eelmise ja järgnevate liikmete aritmeetilise keskmisega.

arvud a, b ja c on mõne aritmeetilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui üks neist on võrdne kahe ülejäänud aritmeetilise keskmisega.

Näiteks,

a n = 2n- 7 , on aritmeetiline progressioon.

Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Järelikult

◄

Pange tähele, et n Aritmeetilise progressiooni -nda liige võib leida mitte ainult läbi a 1 , aga ka kõik varasemad a k

a n = a k + (n- k)d.

Näiteks,

jaoks a 5 saab kirjutada

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

siis ilmselgelt

iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, võrdub poolega selle aritmeetilise progressiooni liikmete summast, mis on sellest võrdse vahega.

Lisaks kehtib mis tahes aritmeetilise progressiooni korral võrdsus:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Näiteks,

aritmeetilises progressioonis

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, sest

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

esiteks n aritmeetilise progressiooni liikmed võrdub poole äärmiste liikmete summa korrutisega liikmete arvuga:

Eelkõige sellest järeldub, et kui on vaja tingimusi kokku võtta

a k, a k +1 , . . . , a n,

siis säilitab eelmine valem oma struktuuri:

Näiteks,

aritmeetilises progressioonis 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kui on antud aritmeetiline progressioon, siis suurused a 1 , a n, d, n jaS n ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui on antud nendest kolmest suurusest kolme väärtused, määratakse nende valemite põhjal kahe tundmatuga kahe võrrandi süsteemiks kahe teise suuruse vastavad väärtused.

Aritmeetiline progressioon on monotoonne jada. Kus:

• kui d > 0 , siis see suureneb;
• kui d < 0 , siis see väheneb;
• kui d = 0 , siis on jada paigal.

Geomeetriline progressioon

geomeetriline progressioon kutsutakse jada, mille iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on mis tahes naturaalarvu geomeetriline progressioon n tingimus on täidetud:

b n +1 = b n · q,

kus q ≠ 0 - mingi number.

Seega on selle geomeetrilise progressiooni järgmise liikme ja eelmise liikme suhe konstantne arv:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Number q helistas geomeetrilise progressiooni nimetaja.

Geomeetrilise progressiooni määramiseks piisab selle esimese liikme ja nimetaja määramisest.

Näiteks,

kui b 1 = 1, q = -3 , siis leitakse jada esimesed viis liiget järgmiselt:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimetaja q teda n -nda termini saab leida valemiga:

b n = b 1 · q n -1 .

Näiteks,

leida geomeetrilise progressiooni seitsmes liige 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

geomeetrilise progressiooni iga liige, alates teisest, võrdub eelmise ja järgnevate liikmete geomeetrilise keskmisega (proportsionaalne).

Kuna ka vastupidine on tõsi, kehtib järgmine väide:

arvud a, b ja c on mingi geomeetrilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui neist ühe ruut on võrdne kahe teise korrutisega, see tähendab, et üks arvudest on kahe ülejäänud geomeetriline keskmine.

Näiteks,

tõestame, et valemiga antud jada b n= -3 2 n , on geomeetriline progressioon. Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Järelikult

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

mis tõestab nõutavat väidet. ◄

Pange tähele, et n geomeetrilise progressiooni liiget võib leida mitte ainult läbi b 1 , aga ka mis tahes eelmist terminit b k , mille jaoks piisab valemi kasutamisest

b n = b k · q n - k.

Näiteks,

jaoks b 5 saab kirjutada

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n - k· b n + k

geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme ruut alates teisest on võrdne sellest võrdsel kaugusel olevate liikmete korrutisega.

Lisaks kehtib mis tahes geomeetrilise progressiooni korral võrdsus:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Näiteks,

eksponentsiaalselt

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , sest

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

esiteks n geomeetrilise progressiooni liikmed nimetajaga q ≠ 0 arvutatakse valemiga:

Ja millal q = 1 - vastavalt valemile

S n= n.b. 1

Pange tähele, et kui meil on vaja tingimused kokku võtta

b k, b k +1 , . . . , b n,

siis kasutatakse valemit:

Näiteks,

eksponentsiaalselt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kui on antud geomeetriline progressioon, siis suurused b 1 , b n, q, n ja S n ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui on antud nende kolme suuruse väärtused, määratakse ülejäänud kahe suuruse vastavad väärtused nendest valemistest, mis on kombineeritud kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.

Esimese liikmega geomeetrilise progressiooni jaoks b 1 ja nimetaja q toimuvad järgmised monotoonsuse omadused :

• progresseerumine suureneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 ja q> 1;

b 1 < 0 ja 0 < q< 1;

• Progressioon väheneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 ja q> 1.

Kui a q< 0 , siis on geomeetriline progressioon märgi vahelduv: selle paaritutel liikmetel on sama märk kui esimesel liikmel ja paarisnumbritel on vastupidine märk. On selge, et vahelduv geomeetriline progressioon ei ole monotoonne.

Esimese toode n geomeetrilise progressiooni termineid saab arvutada järgmise valemiga:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Näiteks,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon nimetatakse lõpmatuks geomeetriliseks progressiooniks, mille nimetaja moodul on väiksem kui 1 , see on

|q| < 1 .

Pange tähele, et lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon ei pruugi olla kahanev jada. See sobib juhtumiga

1 < q< 0 .

Sellise nimetaja korral on jada märk-vahelduv. Näiteks,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa nimeta number, millele esimese summa n progresseerumise tingimustes koos arvu piiramatu suurenemisega n . See arv on alati lõplik ja seda väljendatakse valemiga

Näiteks,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni seos

Aritmeetiline ja geomeetriline progressioon on omavahel tihedalt seotud. Vaatleme ainult kahte näidet.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , siis

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Näiteks,

1, 3, 5, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega 2 ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon q , siis

logi a b 1, logi a b 2, logi a b 3, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega logi aq .

Näiteks,

2, 12, 72, . . . on nimetajaga geomeetriline progressioon 6 ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmeetiline progressioon erinevusega lg 6 . ◄

Vaatleme sarja.

7 28 112 448 1792...

On täiesti selge, et selle mis tahes elemendi väärtus on täpselt neli korda suurem kui eelmine. Nii et see sari on edasiminek.

Geomeetriline progressioon on lõputu arvude jada peamine omadus mis tähendab, et järgmine arv saadakse eelmisest, korrutades mingi kindla arvuga. Seda väljendatakse järgmise valemiga.

a z +1 =a z q, kus z on valitud elemendi number.

Vastavalt sellele z ∈ N.

Ajavahemik, mil koolis õpitakse geomeetrilist progressiooni, on 9. klass. Näited aitavad teil mõistet mõista:

0.25 0.125 0.0625...

Selle valemi põhjal võib progresseerumise nimetaja leida järgmiselt:

Ei q ega b z ei saa olla null. Samuti ei tohiks ükski progressi element olla võrdne nulliga.

Järelikult peate seeria järgmise numbri väljaselgitamiseks korrutama viimase q-ga.

Selle edenemise määramiseks peate määrama selle esimese elemendi ja nimetaja. Pärast seda on võimalik leida mis tahes järgnevaid termineid ja nende summat.

Sordid

Sõltuvalt q-st ja a 1-st jaguneb see edenemine mitmeks tüübiks:

• Kui nii a 1 kui ka q on suuremad kui üks, siis on selline jada geomeetriline progressioon, mis kasvab iga järgmise elemendiga. Selle näide on esitatud allpool.

Näide: a 1 =3, q=2 – mõlemad parameetrid on suuremad kui üks.

Seejärel saab numbrilise jada kirjutada järgmiselt:

3 6 12 24 48 ...

• Kui |q| vähem kui üks, st sellega korrutamine on samaväärne jagamisega, siis on sarnaste tingimustega progressioon kahanev geomeetriline progressioon. Selle näide on esitatud allpool.

Näide: a 1 =6, q=1/3 – a 1 on suurem kui üks, q on väiksem.

Seejärel saab numbrilise jada kirjutada järgmiselt:

6 2 2/3 ... - iga element on 3 korda suurem kui sellele järgnev element.

• Märgi-muutuja. Kui q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Näide: a 1 = -3 , q = -2 - mõlemad parameetrid on väiksemad kui null.

Siis saab järjestuse kirjutada järgmiselt:

3, 6, -12, 24,...

Valemid

Geomeetriliste progressioonide mugavaks kasutamiseks on palju valemeid:

• z-nda liikme valem. Võimaldab arvutada elemendi konkreetse numbri all ilma eelnevaid numbreid arvutamata.

Näide:q = 3, a 1 = 4. On vaja arvutada progressiooni neljas element.

Lahendus:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Esimeste elementide summa, mille arv on z. Võimaldab arvutada jada kõigi elementide summa kunia zkaasa arvatud.

Alates (1-q) on nimetajas, siis (1 - q)≠ 0, seega q ei ole võrdne 1-ga.

Märkus: kui q = 1, siis on progressioon lõpmatult korduva arvu jada.

Geomeetrilise progressiooni summa, näited:a 1 = 2, q= -2. Arvutage S 5 .

Lahendus:S 5 = 22 - arvutamine valemiga.

• Summa, kui |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Näide:a 1 = 2 , q= 0,5. Leia summa.

Lahendus:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Mõned omadused:

• iseloomulik omadus. Kui järgmine tingimus sooritatud mis tahesz, siis antud arvuseeria on geomeetriline progressioon:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Samuti leitakse geomeetrilise progressiooni mis tahes arvu ruut, lisades antud jada mis tahes muu kahe arvu ruudud, kui need on sellest elemendist võrdsel kaugusel.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , kuston nende numbrite vaheline kaugus.

• Elemendiderinevad q-süks kord.
• Ka progressioonielementide logaritmid moodustavad progressiooni, kuid juba aritmeetilise, st igaüks neist on teatud arvu võrra suurem kui eelmine.

Mõnede klassikaliste probleemide näited

Et paremini mõista, mis on geomeetriline progressioon, võivad abiks olla näited 9. klassi lahendusega.

• Tingimused:a 1 = 3, a 3 = 48. Leiaq.

Lahendus: iga järgmine element on suurem kui eelmineq üks kord.Mõnda elementi on vaja väljendada teiste kaudu, kasutades nimetajat.

Järelikulta 3 = q 2 · a 1

Asendamiselq= 4

• Tingimused:a 2 = 6, a 3 = 12. Arvutage S 6 .

Lahendus:Selleks piisab, kui leida q, esimene element ja asendada see valemiga.

a 3 = q· a 2 , Järelikultq= 2

a 2 = q a 1,sellepärast a 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Leidke progressiooni neljas element.

Lahendus: selleks piisab neljanda elemendi väljendamisest läbi esimese ja läbi nimetaja.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Rakenduse näide:

• Panga klient tegi sissemakse summas 10 000 rubla, mille tingimustel lisab klient sellest igal aastal 6% põhisummale. Kui palju raha on kontol 4 aasta pärast?

Lahendus: esialgne summa on 10 tuhat rubla. Seega on aasta pärast investeeringut kontol summa 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06

Sellest lähtuvalt väljendatakse kontol olevat summat järgmise aasta pärast järgmiselt:

(10 000 1,06) 0,06 + 10 000 1,06 = 1,06 1,06 10 000

See tähendab, et igal aastal suureneb summa 1,06 korda. See tähendab, et 4 aasta pärast kontol olevate rahasummade leidmiseks piisab, kui leida progressiooni neljas element, mille annab esimene element, mis on võrdne 10 tuhandega, ja nimetaja 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Summa arvutamise ülesannete näited:

Erinevates ülesannetes kasutatakse geomeetrilist progressiooni. Summa leidmise näite võib tuua järgmiselt:

a 1 = 4, q= 2, arvutaS5.

Lahendus: kõik arvutamiseks vajalikud andmed on teada, need tuleb lihtsalt valemis asendada.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Arvuta esimese kuue elemendi summa.

Lahendus:

Geom. progresseerumisel on iga järgmine element q korda suurem kui eelmine, see tähendab, et summa arvutamiseks peate elementi teadmaa 1 ja nimetajaq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Samamoodi peame leidmaa 1 , teadesa 2 jaq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Esimene tase

Geomeetriline progressioon. Põhjalik näidetega juhend (2019)

Numbriline jada

Nii et istume maha ja hakkame numbreid kirjutama. Näiteks:

Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite (meie puhul neid). Ükskõik kui palju numbreid me kirjutame, saame alati öelda, milline neist on esimene, milline teine ​​ja nii edasi kuni viimaseni, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast:

Numbriline jada on numbrite komplekt, millest igaühele saab määrata kordumatu numbri.

Näiteks meie jada jaoks:

Määratud number on spetsiifiline ainult ühele järjekorranumbrile. Teisisõnu, jadas pole kolme sekundilist numbrit. Teine number (nagu -th number) on alati sama.

Numbriga arvu nimetatakse jada -ndaks liikmeks.

Tavaliselt nimetame kogu jada mõneks täheks (näiteks) ja selle jada iga liiget - sama tähte, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .

Meie puhul:

Levinumad progressioonitüübid on aritmeetiline ja geomeetriline. Selles teemas räägime teisest liigist - geomeetriline progressioon.

Miks me vajame geomeetrilist progressiooni ja selle ajalugu.

Juba iidsetel aegadel tegeles kaubanduse praktiliste vajadustega Itaalia matemaatik, Pisa munk Leonardo (tuntud paremini kui Fibonacci). Munga ees seisis ülesanne kindlaks teha, milline on väikseim raskuste arv, millega saab kaupa kaaluda? Fibonacci tõestab oma kirjutistes, et selline kaalude süsteem on optimaalne: See on üks esimesi olukordi, kus inimesed pidid tegelema geomeetrilise progressiooniga, millest olete ilmselt kuulnud ja millest teil on vähemalt üldine ettekujutus. Kui olete teemast täielikult aru saanud, mõelge, miks selline süsteem on optimaalne?

Praegusel ajal avaldub elupraktikas panka raha paigutamisel geomeetriline progressioon, kui eelmise perioodi eest kontole kogunenud summalt võetakse intressisumma. Ehk kui panna raha hoiupanka tähtajalisele hoiusele, siis aastaga suureneb hoius esialgsest summast, s.t. uus summa võrdub sissemakse korrutisega. Järgmise aastaga suureneb see summa, i.е. sel ajal saadud summa korrutatakse uuesti ja nii edasi. Sarnast olukorda kirjeldatakse arvutamise probleemides nn liitintress- protsent võetakse iga kord arvel olevast summast, arvestades eelnevat intressi. Nendest ülesannetest räägime veidi hiljem.

Lihtsamaid juhtumeid, kus rakendatakse geomeetrilist progressiooni, on palju rohkem. Näiteks gripi levik: üks inimene nakatas inimese, nemad omakorda teise inimese ja seega ka teine ​​nakkuslaine - inimene ja nemad omakorda nakatas teise... ja nii edasi. .

Muide, finantspüramiid, seesama MMM, on lihtne ja kuiv arvutus geomeetrilise progressiooni omaduste järgi. Huvitav? Selgitame välja.

Geomeetriline progressioon.

Oletame, et meil on numbrijada:

Vastate kohe, et see on lihtne ja sellise jada nimi on aritmeetiline progressioon selle liikmete erinevusega. Kuidas oleks millegi sellisega:

Kui lahutada eelmine arv järgmisest arvust, siis näed, et iga kord saad uue vahe (vms), aga jada on kindlasti olemas ja seda on lihtne märgata - iga järgmine arv on kordades suurem kui eelmine!

Seda tüüpi jada nimetatakse geomeetriline progressioon ja on märgitud.

Geomeetriline progressioon ( ) on arvjada, mille esimene liige erineb nullist ja iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Seda arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks.

Piirangud, et esimene liige ( ) ei ole võrdne ega ole juhuslik. Oletame, et neid pole ja esimene liige on ikkagi võrdne ja q on, hmm .. las, siis selgub:

Nõus, et see pole edasiminek.

Nagu te mõistate, saame samad tulemused, kui see on mis tahes muu arv kui null, kuid. Nendel juhtudel lihtsalt ei toimu progresseerumist, kuna kogu numbriseeria on kas kõik nullid või üks arv ja kõik ülejäänud nullid.

Räägime nüüd üksikasjalikumalt geomeetrilise progressiooni nimetajast, see tähendab umbes.

Kordame: - see on arv, mitu korda iga järgnev termin muutub geomeetriline progressioon.

Mis see teie arvates olla võiks? See on õige, positiivne ja negatiivne, kuid mitte null (me rääkisime sellest veidi kõrgemal).

Oletame, et meil on positiivne. Olgu meie puhul a. Mis on teine ​​termin ja? Sellele saate hõlpsalt vastata:

Hästi. Seega, kui, siis on kõigil järgmistel edenemise liikmetel sama märk - nemad positiivne.

Mis siis, kui see on negatiivne? Näiteks a. Mis on teine ​​termin ja?

See on hoopis teine ​​lugu

Proovige lugeda selle edenemise tähtaeg. Kui palju sa said? Mul on. Seega, kui, siis geomeetrilise progressiooni liikmete märgid vahelduvad. See tähendab, et kui näete selle liikmetes vahelduvate märkidega progressiooni, on selle nimetaja negatiivne. Need teadmised aitavad teil end proovile panna selleteemaliste probleemide lahendamisel.

Nüüd harjutame veidi: proovige kindlaks teha, millised arvulised jadad on geomeetriline ja millised aritmeetilised:

Sain aru? Võrrelge meie vastuseid:

• Geomeetriline progressioon – 3, 6.
• Aritmeetiline progressioon – 2, 4.
• See ei ole aritmeetiline ega geomeetriline progressioon - 1, 5, 7.

Pöördume tagasi oma viimase progressiooni juurde ja proovime leida selle liikme samamoodi nagu aritmeetikas. Nagu võite arvata, on selle leidmiseks kaks võimalust.

Korrutame iga liikme järjestikku arvuga.

Seega on kirjeldatud geomeetrilise progressiooni -s liige võrdne.

Nagu juba arvate, tuletate nüüd ise valemi, mis aitab teil leida geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme. Või oled selle juba enda jaoks välja toonud, kirjeldades, kuidas etapiviisiliselt th liiget leida? Kui jah, siis kontrollige oma arutluskäigu õigsust.

Illustreerime seda selle progressi -nda liikme leidmise näitega:

Teisisõnu:

Leia endale antud geomeetrilise progressiooni liikme väärtus.

Juhtus? Võrrelge meie vastuseid:

Pange tähele, et saite täpselt sama arvu kui eelmises meetodis, kui korrutasime järjestikku geomeetrilise progressiooni iga eelmise liikmega.
Proovime seda valemit "depersonaliseerida" - viime selle üldisesse vormi ja saame:

Tuletatud valem kehtib kõigi väärtuste kohta - nii positiivsete kui ka negatiivsete. Kontrollige seda ise, arvutades geomeetrilise progressiooni liikmed järgmistel tingimustel: , a.

Kas sa lugesid? Võrdleme tulemusi:

Nõus, et progressiooni liiget oleks võimalik leida samamoodi nagu liiget, kuid on võimalus valearvestuseks. Ja kui oleme juba leidnud geomeetrilise progressiooni th liikme a, siis mis saaks olla lihtsam kui kasutada valemi "kärbitud" osa.

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon.

Hiljuti rääkisime sellest, mis võib olla nullist suurem või väiksem, kuid on olemas spetsiaalsed väärtused, mille jaoks nimetatakse geomeetrilist progressiooni. lõpmatult väheneb.

Mis sa arvad, miks sellel selline nimi on?
Alustuseks paneme kirja mõne liikmetest koosneva geomeetrilise progressiooni.
Ütleme siis:

Näeme, et iga järgnev liige on kordades väiksem kui eelmine liige, aga kas arvu tuleb? Vastad kohe – "ei". Sellepärast lõpmatult kahanev - väheneb, väheneb, kuid ei muutu kunagi nulliks.

Et selgelt mõista, kuidas see visuaalselt välja näeb, proovime joonistada oma edenemise graafikut. Niisiis, meie puhul on valem järgmine:

Diagrammidel oleme harjunud sõltuvust tekitama, seetõttu:

Avaldise olemus ei ole muutunud: esimeses kirjes näitasime geomeetrilise progressiooni liikme väärtuse sõltuvust selle järgarvust ja teises kirjes võtsime lihtsalt geomeetrilise progressiooni liikme väärtuse ja järjekorranumbrit tähistati mitte kui, vaid kui. Jääb vaid graafik joonistada.
Vaatame, mis sul on. Siin on diagramm, mille sain:

Näete? Funktsioon väheneb, kaldub nulli, kuid ei ületa seda kunagi, seega on see lõpmatult vähenev. Märgime graafikule oma punktid ja samal ajal, mida koordinaat ja tähendab:

Proovige skemaatiliselt kujutada geomeetrilise progressiooni graafikut, kui selle esimene liige on samuti võrdne. Analüüsige, mis vahe on meie eelmisest diagrammist?

Kas said hakkama? Siin on diagramm, mille sain:

Nüüd, kui olete geomeetrilise progressiooni teema põhitõdesid täielikult mõistnud: teate, mis see on, teate, kuidas selle liiget leida ja teate ka, mis on lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon, liigume edasi selle põhiomaduse juurde.

geomeetrilise progressiooni omadus.

Kas mäletate aritmeetilise progressiooni liikmete omadust? Jah, jah, kuidas leida progressiooni teatud arvu väärtust, kui selle progressiooni liikmetel on varasemad ja järgnevad väärtused. Mäletasid? See:

Nüüd seisame silmitsi täpselt sama küsimusega geomeetrilise progressiooni terminite kohta. Sellise valemi tuletamiseks alustame joonistamist ja arutlemist. Näete, see on väga lihtne ja kui unustate, saate selle ise välja tuua.

Võtame veel ühe lihtsa geomeetrilise progressiooni, milles teame ja. Kuidas leida? Aritmeetilise progressiooniga on see lihtne ja lihtne, aga kuidas siin on? Tegelikult pole ka geomeetrias midagi keerulist - peate lihtsalt iga meile antud väärtuse valemi järgi värvima.

Küsite ja mida me sellega nüüd peale hakkame? Jah, väga lihtne. Alustuseks kujutame neid valemeid joonisel ja proovime väärtuseni jõudmiseks nendega erinevaid manipuleerimisi teha.

Abstraheerime meile antud arvudest, keskendume ainult nende väljendamisele valemi kaudu. Peame leidma oranžiga esiletõstetud väärtuse, teades sellega külgnevaid termineid. Proovime nendega teha erinevaid toiminguid, mille tulemusena saame.

Lisand.
Proovime lisada kaks väljendit ja saame:

Sellest väljendist, nagu näete, ei saa me kuidagi väljendada, seetõttu proovime teist võimalust - lahutamist.

Lahutamine.

Nagu näete, ei saa me ka sellest väljendada, seetõttu proovime neid väljendeid üksteisega korrutada.

Korrutamine.

Nüüd vaadake hoolikalt, mis meil on, korrutades meile antud geomeetrilise progressiooni tingimused võrreldes sellega, mida on vaja leida:

Arva ära, millest ma räägin? Õigesti, selle leidmiseks peame võtma soovitud arvuga külgnevate geomeetriliste progressioonide arvude ruutjuure ja korrutama üksteisega:

Palun. Te ise tuletasite geomeetrilise progressiooni omaduse. Proovige see valem kirjutada üldkujul. Juhtus?

Unustasid seisukorra millal? Mõelge, miks see oluline on, proovige näiteks ise arvutada, kl. Mis sel juhul juhtub? See on õige, täielik jama, kuna valem näeb välja selline:

Seetõttu ärge unustage seda piirangut.

Nüüd arvutame, mis on

Õige vastus -! Kui sa ei unustanud arvutamisel teist võimalikku väärtust, siis oled suurepärane sell ja võid kohe edasi trenni minna ning kui unustasid, siis loe allpool analüüsitut ja pane tähele, miks tuleb vastuses kirjutada mõlemad juured .

Joonistame mõlemad oma geomeetrilised progressioonid – üks väärtusega ja teine ​​väärtusega ning kontrollime, kas mõlemal on õigus eksisteerida:

Selleks, et kontrollida, kas selline geomeetriline progressioon on olemas või mitte, tuleb vaadata, kas see on kõigi antud liikmete vahel sama? Arvutage q esimese ja teise juhtumi jaoks.

Vaadake, miks me peame kirjutama kaks vastust? Sest vajaliku liikme märk sõltub sellest, kas see on positiivne või negatiivne! Ja kuna me ei tea, mis see on, peame kirjutama mõlemad vastused pluss- ja miinusmärgiga.

Nüüd, kui olete omandanud põhipunktid ja tuletanud geomeetrilise progressiooni omaduse valemi, leidke, teades ja

Võrrelge oma vastuseid õigete vastustega:

Mis te arvate, mis siis, kui meile ei antaks soovitud arvuga külgnevate, vaid sellest võrdsel kaugusel olevate geomeetrilise progressiooni liikmete väärtused. Näiteks peame leidma, ja antud ja. Kas saame antud juhul kasutada tuletatud valemit? Proovige seda võimalust kinnitada või ümber lükata samal viisil, kirjeldades, millest iga väärtus koosneb, nagu tegite valemit algusest peale tuletades.
Mis sa said?

Vaata nüüd uuesti hoolega.
ja vastavalt:

Sellest võime järeldada, et valem töötab mitte ainult naabritega geomeetrilise progressiooni soovitud liikmetega, aga ka koos võrdsel kaugusel sellest, mida liikmed otsivad.

Seega saab meie algne valem järgmine:

See tähendab, et kui esimesel juhul me seda ütlesime, siis nüüd ütleme, et see võib olla võrdne mis tahes naturaalarvuga, mis on väiksem. Peaasi, et mõlema antud numbri puhul oleks sama.

Harjutage konkreetsete näidete kallal, olge lihtsalt äärmiselt ettevaatlik!

1. , . Otsi.
2. , . Otsi.
3. , . Otsi.

Ma otsustasin? Loodan, et olite äärmiselt tähelepanelik ja märkasite väikest saaki.

Me võrdleme tulemusi.

Kahel esimesel juhul rakendame rahulikult ülaltoodud valemit ja saame järgmised väärtused:

Kolmandal juhul saame meile antud numbrite seerianumbrite hoolika kaalumisega aru, et need ei asu otsitavast numbrist võrdsel kaugusel: see on eelmine number, kuid see on positsioonilt eemaldatud, nii et see pole võimalik valemi rakendamiseks.

Kuidas seda lahendada? Tegelikult pole see nii raske, kui tundub! Kirjutame koos Sinuga üles, millest iga meile antud number ja soovitud number koosneb.

Nii et meil on ja. Vaatame, mida saame nendega teha. Soovitan jagada. Saame:

Asendame oma andmed valemiga:

Järgmise sammu leiame - selleks peame võtma saadud arvu kuupjuure.

Vaatame nüüd uuesti, mis meil on. Meil on, aga me peame leidma ja see omakorda võrdub:

Leidsime kõik arvutamiseks vajalikud andmed. Asendage valemis:

Meie vastus: .

Proovige teist sama probleemi ise lahendada:
Arvestades: ,
Leia:

Kui palju sa said? Mul on - .

Nagu näete, on tegelikult vaja mäleta ainult ühte valemit- . Kõik ülejäänud saate igal ajal ilma raskusteta ise tagasi võtta. Selleks kirjutage lihtsalt paberile lihtsaim geomeetriline progressioon ja kirjutage üles, millega ülaltoodud valemi kohaselt on iga selle arv võrdne.

Geomeetrilise progressiooni liikmete summa.

Mõelge nüüd valemitele, mis võimaldavad meil kiiresti arvutada antud intervalli geomeetrilise progressiooni liikmete summa:

Lõpliku geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemi tuletamiseks korrutame ülaltoodud võrrandi kõik osad arvuga. Saame:

Vaadake tähelepanelikult: mis on kahel viimasel valemil ühist? See on õige, näiteks tavaliikmed ja nii edasi, välja arvatud esimene ja viimane liige. Proovime 1. võrrandi 2. võrrandist lahutada. Mis sa said?

Nüüd väljendage geomeetrilise progressiooni liikme valemi kaudu ja asendage saadud avaldis meie viimases valemis:

Rühmitage väljend. Peaksite saama:

Jääb üle vaid väljendada:

Vastavalt sellele antud juhul.

Mis siis kui? Mis valem siis töötab? Kujutage ette geomeetrilist progressiooni punktis. Milline ta on? Õigesti identsete numbrite seeria näeb valem välja järgmine:

Nagu aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni puhul, on ka palju legende. Üks neist on legend Sethist, malemängu loojast.

Paljud teavad, et malemäng leiutati Indias. Kui Hindu kuningas teda kohtas, rõõmustas ta naise teravmeelsusest ja tema võimalike ametikohtade mitmekesisusest. Saanud teada, et selle leiutas üks tema alamatest, otsustas kuningas teda isiklikult premeerida. Ta kutsus leiutaja enda juurde ja käskis temalt küsida kõike, mida ta soovib, lubades täita isegi kõige osavama soovi.

Seta palus mõtlemisaega ja kui Seta järgmisel päeval kuninga ette ilmus, üllatas ta kuningat oma palve võrratu tagasihoidlikkusega. Ta küsis nisutera malelaua esimesele ruudule, nisu teisele, kolmandale, neljandale jne.

Kuningas oli vihane ja ajas Sethi minema, öeldes, et teenija palve ei vääri kuninglikku suuremeelsust, kuid lubas, et sulane saab oma terad kõigi juhatuse lahtrite eest.

Ja nüüd on küsimus: arvutage geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemit kasutades, mitu tera peaks Seth saama?

Hakkame arutama. Kuna Seth küsis tingimuse järgi nisutera malelaua esimesse lahtrisse, teise, kolmandasse, neljandasse jne, siis näeme, et probleem on geomeetrilises progressioonis. Mis on sel juhul võrdne?
Õigesti.

Malelaua lahtrid kokku. Vastavalt,. Meil on kõik andmed olemas, jääb vaid valemiga asendada ja arvutada.

Et kujutada antud arvu "skaalasid" vähemalt ligikaudselt, teisendame astme omaduste abil:

Muidugi, kui tahad, võid võtta kalkulaatori ja arvutada, millise arvuga sa lõpuks saad, ja kui ei, siis pead jääma minu sõnale: avaldise lõppväärtus saab olema.
See on:

kvintiljon kvadriljon triljon miljardit miljonit tuhat.

Fuh) Kui soovite ette kujutada selle arvu tohutut suurust, siis hinnake, kui suur oleks ait kogu viljakoguse mahutamiseks.
Aida kõrguse m ja laiusega m peaks selle pikkus ulatuma km-ni, s.o. kaks korda kaugemal kui Maast Päikeseni.

Kui kuningas oleks matemaatikas tugev, võiks ta pakkuda teadlasele ise, et ta loeks terad, sest miljoni tera lugemiseks oleks tal vaja vähemalt päeva väsimatut loendamist ja arvestades, et on vaja lugeda kvintiljoneid, terad peaks terve elu lugema.

Ja nüüd lahendame lihtsa ülesande geomeetrilise progressiooni liikmete summal.
5. klassi õpilane Vasja haigestus grippi, kuid jätkab koolis käimist. Iga päev nakatab Vasya kahte inimest, kes omakorda nakatavad veel kahte inimest jne. Ainult üks inimene klassis. Mitme päeva pärast saab kogu klass grippi?

Niisiis, geomeetrilise progressiooni esimene liige on Vasja, see tähendab inimene. geomeetrilise progressiooni liige, need on kaks inimest, keda ta nakatas esimesel saabumise päeval. Järelejäänud liikmete kogusumma võrdub õpilaste arvuga 5A. Seega räägime progressist, milles:

Asendame oma andmed geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemis:

Terve klass jääb mõne päevaga haigeks. Ei usu valemitesse ja numbritesse? Proovige ise kujutada õpilaste "nakatumist". Juhtus? Vaata, kuidas see minu jaoks välja näeb:

Arvutage ise, mitu päeva jääksid õpilased grippi, kui kõik nakatavad inimese ja klassis oli inimene.

Mis väärtuse sa said? Selgus, et kõik hakkasid päevapealt haigeks jääma.

Nagu näete, sarnaneb selline ülesanne ja selle joonis püramiidiga, kuhu iga järgnev "toob" uusi inimesi. Ent varem või hiljem saabub hetk, mil viimane ei suuda kedagi meelitada. Meie puhul, kui kujutame ette, et klass on isoleeritud, sulgeb isik ahelast (). Seega, kui inimene oleks seotud finantspüramiidiga, millesse raha anti, kui tõite kaasa kaks osalejat, siis inimene (või üldiselt) ei tooks kedagi, vastavalt, kaotaks kõik, mis ta sellesse finantskelmusesse investeeris. .

Kõik ülal öeldu viitab kahanevale või suurenevale geomeetrilisele progressioonile, kuid nagu mäletate, on meil eriline liik - lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon. Kuidas arvutada selle liikmete summa? Ja miks on seda tüüpi progresseerumisel teatud omadused? Arutame selle koos välja.

Alustuseks vaatame uuesti seda pilti lõpmatult vähenevast geomeetrilisest progressioonist meie näites:

Ja nüüd vaatame veidi varem tuletatud geomeetrilise progressiooni summa valemit:
või

Mille poole me püüdleme? See on õige, graafik näitab, et see kipub nulli. See tähendab, et kui see on peaaegu võrdne, saame avaldise arvutamisel peaaegu. Sellega seoses usume, et lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa arvutamisel võib selle sulg tähelepanuta jätta, kuna see on võrdne.

- valem on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa.

TÄHTIS! Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemit kasutame ainult siis, kui tingimus ütleb selgesõnaliselt, et peame leidma summa lõputu liikmete arv.

Kui on märgitud konkreetne arv n, siis kasutame n liikme summa valemit, isegi kui või.

Ja nüüd harjutame.

1. Leia geomeetrilise progressiooni esimeste liikmete summa koos ja.
2. Leia lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa koos ja.

Loodan, et olite väga ettevaatlik. Võrrelge meie vastuseid:

Nüüd teate kõike geomeetrilisest progressioonist ja on aeg liikuda teoorialt praktikale. Kõige levinumad eksamil leitud eksponentsiaalsed probleemid on liitintressiprobleemid. Nendest me räägimegi.

Ülesanded liitintressi arvutamisel.

Olete kindlasti kuulnud niinimetatud liitintressi valemist. Kas saate aru, mida ta mõtleb? Kui ei, siis mõtleme välja, sest olles protsessi ise mõistnud, saad kohe aru, mis seos on geomeetrilisel progressioonil.

Me kõik läheme panka ja teame, et hoiustele kehtivad erinevad tingimused: see on tähtaeg ja lisahooldus ning intressid kahe erineva arvutamisviisiga - lihtne ja keeruline.

FROM lihtne huvi kõik on enam-vähem selge: intressi arvestatakse üks kord hoiutähtaja lõpus. See tähendab, et kui me räägime 100 rubla aastas alla panemisest, siis need krediteeritakse alles aasta lõpus. Vastavalt sellele saame sissemakse lõpuks rublad kätte.

Liitintress on variant, milles intressi kapitaliseerimine, st. nende lisamine tagatisraha summale ja hilisem tulu arvestamine mitte esialgselt, vaid kogunenud hoiuse summalt. Suurtähtede kasutamine ei toimu pidevalt, vaid teatud perioodilisusega. Reeglina on sellised perioodid võrdsed ja kõige sagedamini kasutavad pangad kuud, kvartalit või aastat.

Oletame, et paneme kõik samad rublad aastas, kuid sissemakse igakuise kapitalisatsiooniga. Mida me saame?

Kas sa saad siin kõigest aru? Kui ei, siis teeme seda samm-sammult.

Tõime rublad panka. Kuu lõpuks peaks meie kontol olema summa, mis koosneb meie rubladest ja intressidest, mis on:

Ma nõustun?

Saame selle klambrist välja võtta ja siis saame:

Nõus, see valem on juba sarnasem sellele, mida me alguses kirjutasime. Jääb üle tegeleda protsentidega

Probleemi olukorras räägitakse meile iga-aastasest. Nagu teate, me ei korruta - teisendame protsendid kümnendkohtadeks, see tähendab:

eks? Nüüd küsite, kust see number pärit on? Väga lihtne!
Kordan: probleemi seisund ütleb umbes AASTAARUANNE kogunenud intress IGAKUINE. Nagu teate, võtab pank meilt vastavalt kuude aasta jooksul osa aastaintressi kuus:

Sai aru? Proovige nüüd kirjutada, kuidas see valemi osa välja näeks, kui ma ütleksin, et intressi arvestatakse iga päev.
Kas said hakkama? Võrdleme tulemusi:

Hästi tehtud! Tuleme tagasi oma ülesande juurde: kirjutage üles, kui palju laekub meie kontole teiseks kuuks, arvestades, et kogunenud hoiuse summalt arvestatakse intressi.
Minuga juhtus järgmine:

Või teisisõnu:

Ma arvan, et olete juba märganud mustrit ja näinud selles kõiges geomeetrilist progressiooni. Kirjutage, millega selle liige võrdub ehk teisisõnu kui palju raha me kuu lõpus saame.
Kas? Kontrollimine!

Nagu näete, kui paned raha aastaks panka lihtintressiga, siis saad rublasid, liitkursiga pannes aga rublasid. Kasu on väike, kuid see juhtub ainult aasta jooksul, kuid pikema perioodi jooksul on kapitaliseerimine palju tulusam:

Mõelge teist tüüpi liitintressiprobleemidele. Pärast seda, mida sa välja mõtlesid, on see sinu jaoks elementaarne. Seega ülesanne on:

Zvezda alustas tööstusesse investeerimist 2000. aastal dollarilise kapitaliga. Alates 2001. aastast on see igal aastal teeninud kasumit, mis on võrdne eelmise aasta kapitaliga. Kui palju kasumit saab firma Zvezda 2003. aasta lõpus, kui kasumit ringlusest ei kõrvaldatud?

Zvezda ettevõtte kapital 2000. aastal.
- Zvezda ettevõtte kapital 2001. aastal.
- Zvezda ettevõtte kapital 2002. aastal.
- Zvezda ettevõtte kapital 2003. aastal.

Või kirjutame lühidalt:

Meie juhtumi jaoks:

2000, 2001, 2002 ja 2003.

Vastavalt:
rubla
Pange tähele, et selles ülesandes ei ole meil jagamist ei poolt ega poolt, kuna protsent antakse AASTA ja seda arvutatakse AASTA. See tähendab, et liitintressi probleemi lugemisel pöörake tähelepanu sellele, milline protsent antakse ja millisel perioodil seda võetakse, ning alles seejärel jätkake arvutustega.
Nüüd teate kõike geomeetrilisest progressioonist.

Treening.

1. Leidke geomeetrilise progressiooni liige, kui on teada, et ja
2. Leidke geomeetrilise progressiooni esimeste liikmete summa, kui see on teada, ja
3. MDM Capital alustas tööstusesse investeerimist 2003. aastal dollari kapitaliga. Alates 2004. aastast on ta igal aastal teeninud kasumit, mis on võrdne eelmise aasta kapitaliga. Ettevõte "MSK Cash Flows" hakkas tööstusesse investeerima 2005. aastal 10 000 dollari ulatuses, hakates 2006. aastal tootma kasumit summas. Kui mitme dollari võrra ületab ühe ettevõtte kapital 2007. aasta lõpus teise ettevõtte oma, kui kasumit ringlusest ei kõrvaldata?

Vastused:

1. Kuna ülesande tingimus ei ütle, et progressioon on lõpmatu ja selleks on vaja leida selle teatud arvu liikmete summa, tehakse arvutus valemi järgi:
2. 
   Ettevõte "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - suureneb 100%, see tähendab 2 korda.
   Vastavalt:
   rubla
   MSK rahavood:

   2005, 2006, 2007.
   - suureneb kordades.
   Vastavalt:
   rubla
   rubla

Teeme kokkuvõtte.

1) Geomeetriline progressioon ( ) on arvjada, mille esimene liige erineb nullist ja iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Seda arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks.

2) Geomeetrilise progressiooni liikmete võrrand -.

3) võib võtta mis tahes väärtuse, välja arvatud ja.

• kui, siis kõigil järgnevatel progressiooni liikmetel on sama märk – nemad positiivne;
• kui, siis kõik järgnevad progressiooni liikmed alternatiivsed märgid;
• mil - progressiooni nimetatakse lõpmatult kahanevaks.

4) , at - geomeetrilise progressiooni omadus (naaberliikmed)

või
, juures (võrdse kaugusega terminid)

Kui leiate selle, ärge unustage seda peaks olema kaks vastust..

Näiteks,

5) Geomeetrilise progressiooni liikmete summa arvutatakse valemiga:
või

Kui progresseerumine väheneb lõpmatult, siis:
või

TÄHTIS! Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemit kasutame ainult siis, kui tingimus ütleb selgesõnaliselt, et on vaja leida lõpmatu arvu liikmete summa.

6) Liitintressi ülesandeid arvutatakse ka geomeetrilise progressiooni liikme valemi järgi, eeldusel, et raha ei ole ringlusest välja võetud:

GEOMEETRILINE EDENEMINE. LÜHIDALT PEAMISEST

Geomeetriline progressioon( ) on arvjada, mille esimene liige erineb nullist ja iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Seda numbrit kutsutakse geomeetrilise progressiooni nimetaja.

Geomeetrilise progressiooni nimetaja võib võtta mis tahes väärtuse, välja arvatud ja.

• Kui, siis kõigil järgmistel progresseerumise liikmetel on sama märk - need on positiivsed;
• kui, siis kõik järgnevad edenemise liikmed vahelduvad märkidega;
• mil - progressiooni nimetatakse lõpmatult kahanevaks.

Geomeetrilise progressiooni liikmete võrrand - .

Geomeetrilise progressiooni liikmete summa arvutatakse valemiga:
või

>>Matemaatika: geomeetriline progressioon

Lugeja mugavuse huvides järgib see osa täpselt sama plaani, mida järgisime eelmises jaotises.

1. Põhimõisted.

Definitsioon. Arvjada, mille kõik liikmed erinevad 0-st ja mille iga liige, alates teisest, saadakse eelmisest liikmest, korrutades selle sama arvuga, nimetatakse geomeetriliseks progressiooniks. Sel juhul nimetatakse arvu 5 geomeetrilise progressiooni nimetajaks.

Seega on geomeetriline progressioon relatsioonidega rekursiivselt antud arvjada (b n).

Kas arvujada vaadates on võimalik kindlaks teha, kas tegemist on geomeetrilise progressiooniga? Saab. Kui olete veendunud, et jada mis tahes liikme ja eelmise liikme suhe on konstantne, on teil geomeetriline progressioon.
Näide 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Näide 2

See on geomeetriline progressioon, mis
Näide 3

See on geomeetriline progressioon, mis
Näide 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

See on geomeetriline progressioon, kus b 1–8, q = 1.

Pange tähele, et see jada on ka aritmeetiline progressioon (vt näide 3 §-st 15).

Näide 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

See on geomeetriline progressioon, milles b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Ilmselt on geomeetriline progressioon kasvav jada, kui b 1 > 0, q > 1 (vt näide 1), ja kahanev jada, kui b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Et näidata, et jada (b n) on geomeetriline progressioon, on mõnikord mugav kasutada järgmist tähistust:

Ikoon asendab fraasi "geomeetriline progressioon".
Märgime ühte geomeetrilise progressiooni kummalist ja samal ajal üsna ilmset omadust:
Kui jada on geomeetriline progressioon, siis ruutude jada, s.o. on geomeetriline progressioon.
Teises geomeetrilises progressioonis on esimene liige võrdne aga q 2.
Kui jätta kõik b n-le järgnevad terminid eksponentsiaalselt kõrvale, saame lõpliku geomeetrilise progressiooni
Selle jaotise järgmistes lõikudes käsitleme geomeetrilise progressiooni kõige olulisemaid omadusi.

2. Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem.

Mõelge geomeetrilisele progressioonile nimetaja q. Meil on:

Pole raske arvata, et iga arvu n korral on võrdsus

See on geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem.

Kommenteeri.

Kui olete eelmisest lõigust olulise märkuse lugenud ja sellest aru saanud, proovige valemit (1) tõestada meetodiga matemaatiline induktsioon täpselt nagu seda tehti aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemiga.

Kirjutame ümber geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemi

ja tutvustage tähistust: saame y \u003d mq 2 või üksikasjalikumalt
Argument x sisaldub eksponendis, seega nimetatakse sellist funktsiooni eksponentsiaalfunktsiooniks. See tähendab, et geomeetrilist progressiooni võib pidada naturaalarvude hulgal N antud eksponentsiaalfunktsiooniks. Joonisel fig. 96a on kujutatud joonise fig. 966 - funktsioonigraafik Mõlemal juhul on meil eraldatud punktid(abstsissidega x = 1, x = 2, x = 3 jne), mis asetsevad mingil kõveral (mõlemad joonised näitavad sama kõverat, ainult erineva asukohaga ja erinevas mõõtkavas kujutatud). Seda kõverat nimetatakse eksponendiks. Eksponentfunktsioonist ja selle graafikust tuleb pikemalt juttu 11. klassi algebra kursusel.

Tuleme tagasi eelmise lõigu näidete 1-5 juurde.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . See on geomeetriline progressioon, milles b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Koostame n-nda liikme valemi
2) See on geomeetriline progressioon, milles sõnastame n-nda liikme

See on geomeetriline progressioon, mis Koostage n-nda liikme valem
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . See on geomeetriline progressioon, milles b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Teeme n-nda liikme jaoks valemi
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... See on geomeetriline progressioon, milles b 1 = 2, q = -1. Koostage n-nda liikme valem

Näide 6

Arvestades geomeetrilist progressiooni

Kõikidel juhtudel põhineb lahendus geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemil

a) Pannes n = 6 geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemisse, saame

b) Meil ​​on

Kuna 512 \u003d 2 9, saame n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Meil ​​on

Näide 7

Geomeetrilise progressiooni seitsmenda ja viienda liikme vahe on 48, progressiooni viienda ja kuuenda liikme summa on samuti 48. Leia selle progressiooni kaheteistkümnes liige.

Esimene aste. Matemaatilise mudeli koostamine.

Ülesande tingimused võib lühidalt kirjutada järgmiselt:

Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemit kasutades saame:
Siis saab ülesande teise tingimuse (b 7 - b 5 = 48) kirjutada kui

Ülesande kolmanda tingimuse (b 5 +b 6 = 48) saab kirjutada järgmiselt

Selle tulemusena saame kahest võrrandist koosneva süsteemi kahe muutujaga b 1 ja q:

mis koos ülalkirjeldatud tingimusega 1) on matemaatiline mudelülesandeid.

Teine faas.

Koostatud mudeliga töötamine. Võrdsustades süsteemi mõlema võrrandi vasakpoolsed osad, saame:

(oleme jaganud võrrandi mõlemad pooled avaldisesse b 1 q 4 , mis erineb nullist).

Võrrandist q 2 - q - 2 = 0 leiame q 1 = 2, q 2 = -1. Asendades väärtuse q = 2 süsteemi teise võrrandiga, saame
Asendades väärtuse q = -1 süsteemi teise võrrandisse, saame b 1 1 0 = 48; sellel võrrandil pole lahendeid.

Niisiis, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - see paar on koostatud võrrandisüsteemi lahendus.

Nüüd saame üles kirjutada kõnealuse geomeetrilise progressiooni: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Kolmas etapp.

Vastus probleemsele küsimusele. Tuleb arvutada b 12 . Meil on

Vastus: b 12 = 2048.

3. Lõpliku geomeetrilise progressiooni liikmete summa valem.

Olgu olemas lõplik geomeetriline progressioon

Tähistame S n-ga selle liikmete summat, st.

Tuletame selle summa leidmise valemi.

Alustame lihtsaimast juhtumist, kui q = 1. Siis koosneb geomeetriline progressioon b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn n arvust, mis on võrdne b 1 -ga, s.o. progressioon on b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Nende arvude summa on nb 1 .

Olgu nüüd q = 1 S n leidmiseks kasutame kunstlikku nippi: teeme avaldise S n q mõned teisendused. Meil on:

Teisendusi sooritades kasutasime esiteks geomeetrilise progressiooni definitsiooni, mille järgi (vt kolmas arutluskäik); teiseks liideti ja lahutati, miks väljendi tähendus loomulikult ei muutunud (vt neljas arutluskäik); kolmandaks kasutasime geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemit:

Valemist (1) leiame:

See on geomeetrilise progressiooni n liikme summa valem (juhul, kui q = 1).

Näide 8

Antud lõplik geomeetriline progressioon

a) progressi liikmete summa; b) selle liikmete ruutude summa.

b) Eespool (vt lk 132) oleme juba märkinud, et kui geomeetrilise progressiooni kõik liikmed on ruudus, siis saadakse geomeetriline progressioon esimese liikmega b 2 ja nimetajaga q 2. Seejärel arvutatakse uue progressiooni kuue liikme summa

Näide 9

Leidke geomeetrilise progressiooni 8. liige, mille jaoks

Tegelikult oleme tõestanud järgmise teoreemi.

Arvjada on geomeetriline progressioon siis ja ainult siis, kui selle iga liikme ruut, välja arvatud esimene (ja lõpliku jada puhul viimane), on võrdne eelneva ja järgneva liikme korrutisega. (geomeetrilise progressiooni iseloomulik omadus).