Näide 1 matemaatilise induktsiooni meetod. Matemaatilise induktsiooni põhimõte

Loeng 6. Matemaatilise induktsiooni meetod.

Uusi teadmisi teaduses ja elus saadakse erineval viisil, kuid kõik need (kui te ei lasku detailidesse) jagunevad kahte tüüpi - üleminek üldiselt konkreetsele ja konkreetselt üldisele. Esimene on mahaarvamine, teine ​​on induktsioon. Deduktiivne arutlus on see, mida matemaatikas tavaliselt nimetatakse loogiline arutluskäik, ja matemaatilises teaduses on deduktsioon ainus õigustatud uurimismeetod. Loogilise mõtlemise reeglid sõnastas kaks ja pool aastatuhandet tagasi Vana-Kreeka teadlane Aristoteles. Ta koostas täieliku nimekirja kõige lihtsamatest õigetest arutlustest, süllogismid– loogika "klotsid", tuues samal ajal välja tüüpilise arutluskäigu, mis on väga sarnane õigetele, kuid vale (sellist "pseudoloogilist" arutluskäiku kohtame meedias sageli).

Induktsioon (induktsioon - ladina keeles juhised) illustreerib tuntud legend, kuidas Isaac Newton sõnastas universaalse gravitatsiooni seaduse pärast seda, kui õun talle pähe kukkus. Teine näide füüsikast: sellises nähtuses nagu elektromagnetiline induktsioon tekitab elektriväli, “indutseerib” magnetvälja. "Newtoni õun" on tüüpiline näide olukorrast, kus üks või mitu erijuhtumit, s.o. tähelepanekud, "viivad" üldise väiteni, tehakse üldine järeldus konkreetsete juhtumite põhjal. Induktiivne meetod on nii loodus- kui ka humanitaarteaduste üldiste mustrite saamiseks peamine. Kuid sellel on väga oluline puudus: konkreetsete näidete põhjal võib teha vale järelduse. Eravaatlustest tulenevad hüpoteesid ei pea alati paika. Vaatleme Euleri näidet.

Arvutame trinoomi väärtuse mõne esimese väärtuse jaoks n:

Pange tähele, et arvutuste tulemusel saadud arvud on algarvud. Ja seda saab igaühe puhul otse kontrollida n 1 kuni 39 polünoomi väärtus
on algarv. Siiski, millal n=40 saame arvu 1681=41 2 , mis ei ole algarvuks. Seega hüpotees, mis siin võiks tekkida ehk hüpotees, et iga n number
on lihtne, osutub valeks.

Leibniz tõestas 17. sajandil, et iga positiivse täisarvu kohta n number
jagub 3-ga
jagub 5-ga ja nii edasi. Selle põhjal pakkus ta välja, et iga paaritu kohta k ja mis tahes loomulik n number
jagatuna k, kuid märkasin seda peagi
ei jagu 9-ga.

Vaadeldud näited võimaldavad teha olulise järelduse: väide võib olla tõene mitmel erijuhtumil ja samal ajal üldiselt ebaõiglane. Küsimuse väite kehtivuse kohta üldjuhul saab lahendada spetsiaalse arutlusmeetodi rakendamisega, mida nimetatakse matemaatilise induktsiooni abil(täielik induktsioon, täiuslik induktsioon).

6.1. Matemaatilise induktsiooni põhimõte.

♦ Matemaatilise induktsiooni meetod põhineb matemaatilise induktsiooni põhimõte , mis koosneb järgmisest:

1) selle väite kehtivust kontrollitaksen=1 (induktsioonipõhine) ,

2) eeldatakse, et see väide vastab tõelen= k, kuskon suvaline naturaalarv 1(induktsiooni eeldus) , ja seda eeldust arvesse võttes tehakse kindlaks selle kehtivusn= k+1.

Tõestus. Oletame vastupidist, st oletame, et väide ei kehti iga loomuliku kohta n. Siis on selline loomulik m, mida:

1) heakskiit n=m pole aus,

2) kõigile n, väiksem m, on väide tõene (teisisõnu, m on esimene naturaalarv, mille puhul väide ebaõnnestub).

See on ilmne m>1, sest jaoks n=1 väide on tõene (tingimus 1). Järelikult
- naturaalarv. Selgub, et naturaalarvu puhul
väide on tõene ja järgmise naturaalarvu puhul m see on ebaõiglane. See on vastuolus tingimusega 2. ■

Pange tähele, et tõestuses kasutati aksioomi, et iga naturaalarvude kogu sisaldab väikseimat arvu.

Nimetatakse matemaatilise induktsiooni põhimõttel põhinevat tõestust täieliku matemaatilise induktsiooni abil .

 Näide6.1. Tõesta seda iga loomuliku puhul n number
jagub 3-ga.

Lahendus.

1) Millal n=1, nii a 1 jagub 3-ga ja väide on tõene n=1.

2) Oletame, et väide on tõene n=k,
st see number
jagub 3-ga ja leidke see n=k Arv +1 jagub 3-ga.

Tõepoolest,

Sest iga liige jagub 3-ga, siis jagub ka nende summa 3-ga. ■ 

 Näide6.2. Tõesta, et esimese summa n loomulikud paaritud arvud on võrdne nende arvu ruuduga, st .

Lahendus. Kasutame täieliku matemaatilise induktsiooni meetodit.

1) Kontrollime selle väite kehtivust n=1: 1=1 2 on õige.

2) Oletame, et esimese summa k (
) paaritutest arvudest on võrdne nende arvude arvu ruuduga, st . Selle võrdsuse põhjal teeme kindlaks, et esimese summa k+1 paaritu arv on võrdne
, see on .

Kasutame oma eeldust ja saame

. ■ 

Mõne ebavõrdsuse tõestamiseks kasutatakse täieliku matemaatilise induktsiooni meetodit. Tõestame Bernoulli ebavõrdsust.

 Näide6.3. Tõesta, et millal
ja mis tahes loomulik n ebavõrdsus
(Bernoulli ebavõrdsus).

Lahendus. 1) Millal n=1 saame
, kumb on õige.

2) Eeldame, et kell n=k on ebavõrdsus
(*). Seda eeldust kasutades tõestame seda
. Pange tähele, et millal
see ebavõrdsus kehtib ja seetõttu piisab juhtumi käsitlemisest
.

Korrutage mõlemad võrratuse osad (*) arvuga
ja saada:

See tähendab (1+
.■ 

Tõestus meetodi järgi mittetäielik matemaatiline induktsioon mõni väide olenevalt n, kus
teostatakse sarnasel viisil, kuid alguses kehtestatakse õiglus väikseima väärtuse eest n.

Mõned ülesanded ei formuleeri otseselt väidet, mida saaks tõestada matemaatilise induktsiooniga. Sellistel juhtudel on vaja kehtestada seaduspärasus ja avaldada hüpotees selle seaduspärasuse kehtivuse kohta ning seejärel testida pakutud hüpoteesi matemaatilise induktsiooniga.

 Näide6.4. Leia summa
.

Lahendus. Leiame summad S 1 , S 2 , S 3 . Meil on
,
,
. Me oletame, et iga loomulik n valem on kehtiv
. Selle hüpoteesi kontrollimiseks kasutame täieliku matemaatilise induktsiooni meetodit.

1) Millal n=1 hüpotees on tõene, sest
.

2) Oletame, et hüpotees on tõene n=k,
, see on
. Seda valemit kasutades teeme kindlaks, et hüpotees on tõene ja jaoks n=k+1, see tähendab

Tõepoolest,

Seega, eeldades, et hüpotees vastab tõele n=k,
, on tõestatud, et see kehtib n=k+1 ja matemaatilise induktsiooni põhimõttele tuginedes järeldame, et valem kehtib iga loomuliku n. ■ 

 Näide6.5. Matemaatikas on tõestatud, et kahe ühtlaselt pideva funktsiooni summa on ühtlaselt pidev funktsioon. Selle väite põhjal peame tõestama, et mis tahes arvu summa
ühtlaselt pidevad funktsioonid on ühtlaselt pidev funktsioon. Aga kuna me pole veel juurutanud mõistet "ühtlaselt pidev funktsioon", siis seadkem probleem abstraktsemalt: olgu teada, et kahe funktsiooni summa, millel on mingi omadus S, omab vara S. Tõestame, et suvalise arvu funktsioonide summal on omadus S.

Lahendus. Induktsiooni alus sisaldub siin juba probleemi sõnastuses. Tehes induktiivse eelduse, kaaluge
funktsioonid f 1 , f 2 , …, f n , f n+1, kellel on vara S. Siis . Paremal küljel on omadus esimesel terminil S induktsioonihüpoteesi järgi on teisel liikmel omadus S tingimuse järgi. Seetõttu on nende summal vara S– kahel terminil induktsiooni alus “töötab”.

See tõestab väidet ja kasutab seda edasi. ■ 

 Näide6.6. Leia kõik looduslikud n, mille puhul ebavõrdsus

.

Lahendus. Kaaluge n=1, 2, 3, 4, 5, 6. Meil ​​on: 2 1 >1 2, 2 2 =2 2, 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2 , 2 6 >6 2 . Seega võime püstitada hüpoteesi: ebavõrdsus
on koht kõigile
. Selle hüpoteesi tõesuse tõestamiseks kasutame mittetäieliku matemaatilise induktsiooni põhimõtet.

1) Nagu eespool öeldud, kehtib see hüpotees n=5.

2) Oletame, et see kehtib n=k,
, see tähendab ebavõrdsust
. Seda eeldust kasutades tõestame, et ebavõrdsus
.

T. kuni.
ja kell
on ebavõrdsus

juures
,

siis me saame selle
. Niisiis, hüpoteesi tõde n=k+1 tuleneb eeldusest, et see kehtib n=k,
.

Alates lk. 1 ja 2, mis põhineb mittetäieliku matemaatilise induktsiooni põhimõttel, järeldub, et ebavõrdsus
tõsi iga loomuliku kohta
. ■ 

 Näide6.7. Tõesta seda mis tahes naturaalarvu puhul n diferentseerimisvalem kehtib
.

Lahendus. Kell n=1 sellel valemil on vorm
, või 1=1, see tähendab, et see on tõsi. Tehes induktiivse eelduse, on meil:

Q.E.D. ■ 

 Näide6.8. Tõesta, et hulk, mis koosneb n elemendid, on alamhulgad.

Lahendus.Ühe elemendiga komplekt a, sisaldab kahte alamhulka. See on tõsi, sest kõik selle alamhulgad on tühi hulk ja hulk ise ning 2 1 =2.

Eeldame, et mis tahes komplekt n elementidel on alamhulgad. Kui hulk A koosneb n+1 elemente, siis fikseerime selles ühe elemendi - tähistame seda d ja jagage kõik alamhulgad kahte klassi – ei sisalda d ja sisaldavad d. Kõik esimese klassi alamhulgad on A-st elemendi eemaldamise teel saadud hulga B alamhulgad d.

Komplekt B koosneb n elemendid ja seetõttu on tal induktsioonihüpoteesi kohaselt alamhulgad, seega esimeses klassis alamhulgad.

Kuid teises klassis on sama palju alamhulka: igaüks neist saadakse täpselt ühest esimese klassi alamhulgast, lisades elemendi d. Seega kokku komplekt A
alamhulgad.

Seega on väide tõestatud. Pange tähele, et see kehtib ka hulgale, mis koosneb 0 elemendist - tühi hulk: sellel on üks alamhulk - ise ja 2 0 =1. ■ 

Peano aksioomil 4 põhinevat tõestusmeetodit kasutatakse paljude matemaatiliste omaduste ja erinevate väidete tõestamiseks. Selle aluseks on järgmine teoreem.

Teoreem. Kui avaldus AGA(n) loomuliku muutujaga n tõsi n= 1 ja sellest, et see kehtib n=k, järeldub, et see kehtib ka järgmise numbri kohta n=k, siis avaldus AGA(n) n.

Tõestus. Tähistage M paljud neist ja ainult need naturaalarvud, mille kohta avaldus AGA(n) tõsi. Siis saame teoreemi tingimusest: 1) 1 M; 2) k MkM. Seega järeldame aksioomi 4 põhjal, et M =N, st. avaldus AGA(n) tõsi iga loomuliku kohta n.

Sellel teoreemil põhinevat tõestusmeetodit nimetatakse matemaatilise induktsiooni meetod, ja aksioom on induktsiooni aksioom. Sellel tõendil on kaks osa:

1) tõestama, et väide AGA(n) tõsi n= A(1);

2) eeldame, et väide AGA(n) tõsi n=k, ja sellest eeldusest lähtudes tõestage, et väide A(n) tõsi n=k+ 1, st. et väide vastab tõele A(k) A(k + 1).

Kui a AGA( 1) AGA(k) A(k + 1) on tõene väide, siis järeldavad nad, et väide A(n) tõene mis tahes naturaalarvu kohta n.

Tõestamine matemaatilise induktsiooniga võib alata mitte ainult väite õigsuse kinnitamisega n= 1, aga ka mis tahes naturaalarvust m. Sel juhul avaldus AGA(n) tõestatakse kõigi naturaalarvude puhul nm.

Ülesanne Tõestame, et mis tahes naturaalarvu korral on võrdsus 1 + 3 + 5 ... + (2 n- 1) = n.

Lahendus. Võrdsus 1 + 3 + 5 ... + (2 n- 1) = n on valem, mille abil saab leida esimeste järjestikuste paaritute naturaalarvude summa. Näiteks 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (summa sisaldab 4 liiget), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (summa sisaldab 6 liiget); kui see summa sisaldab 20 märgitud tüüpi liiget, siis on see võrdne 20 = 400 jne. Olles tõestanud selle võrdsuse tõesust, saame valemi abil leida suvalise arvu määratud tüüpi liikmete summa.

1) Kontrollige selle võrdsuse õigsust n= 1. Millal n= 1 võrrandi vasak pool koosneb ühest liikmest, mis on võrdne 1-ga, parem pool on võrdne 1= 1. Kuna 1 = 1, siis n= 1 see võrdsus on tõsi.

2) Oletame, et see võrdsus kehtib n=k, st. et 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) = k. Selle eelduse põhjal tõestame, et see vastab tõele n=k+ 1, st. 1 + 3 + 5 + ... + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

Vaatleme viimase võrdsuse vasakut külge.

Eeldusel esimese summa k tingimused on k ja seetõttu 1 + 3 + 5 + ... + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k- 1) + (2k+ 1)=

= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. Väljendus k+ 2k + 1 on identselt võrdne avaldisega ( k + 1).

Seetõttu tõde selle võrdsuse eest n=k+ 1 on tõestatud.

Seega kehtib see võrdsus n= 1 ja selle tõest eest n=k järgib tõde n=k+ 1.

See tõestab, et see võrdsus kehtib mis tahes naturaalarvu puhul.

Matemaatilise induktsiooni meetodit kasutades saab tõestada mitte ainult võrduste, vaid ka ebavõrdsuse tõesust.

Ülesanne. Tõesta, et kus nN.

Lahendus. Kontrollime ebavõrdsuse tõesust n= 1. Meil ​​on – tõeline ebavõrdsus.

Oletame, et ebavõrdsus kehtib n=k, need. - tõeline ebavõrdsus. Tõestagem eeldusele tuginedes, et see kehtib n=k+ 1, st. (*).

Teisendame võrratuse (*) vasaku poole, võttes arvesse, et : .

Aga , mis tähendab ja .

Nii et see ebavõrdsus kehtib n= 1 ja sellest, et ebavõrdsus kehtib mõne jaoks n= k, leidsime, et see kehtib ka puhul n= k + 1.

Seega oleme aksioomi 4 abil tõestanud, et see ebavõrdsus kehtib mis tahes naturaalarvu puhul.

Ka teisi väiteid saab tõestada matemaatilise induktsiooni meetodiga.

Ülesanne. Tõesta, et väide kehtib mis tahes naturaalarvu kohta.

Lahendus. Kontrollime väite õigsust n= 1: -tõene väide.

Oletame, et see väide vastab tõele n=k: . Näidakem seda kasutades väite õigsust n=k+ 1: .

Teisendame avaldise: . Leiame erinevuse k ja k+ 1 liiget. Kui selgub, et saadud erinevus on 7-kordne ja eeldades, et alajaotus jagub 7-ga, siis on ka minuend 7-kordne:

Korrutis on seega 7-kordne ja .

Seega on see väide tõene n= 1 ja selle tõest eest n=k järgib tõde n=k+ 1.

See tõestab, et see väide kehtib iga naturaalarvu kohta.

Ülesanne. Tõesta seda mis tahes naturaalarvu puhul n 2 väide (7-1)24 on tõene.

Lahendus. 1) Kontrollige väite õigsust n= 2: - tõene väide.

Matemaatiline induktsioon on üks levinumaid matemaatiliste tõestuste meetodeid. Seda saab kasutada tõestamiseks enamus naturaalarvudega valemid n, näiteks progressiooni S n \u003d 2 a 1 + n - 1 d 2 n esimeste liikmete summa leidmise valem, Newtoni binoomvalem a + b n \u003d C n 0 a n C n 1 a n - 1 b + . . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n .

Esimeses lõigus analüüsime põhimõisteid, seejärel käsitleme meetodi enda põhitõdesid ja seejärel räägime teile, kuidas seda kasutada võrduste ja ebavõrdsuse tõestamiseks.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Induktsiooni ja deduktsiooni mõisted

Kõigepealt vaatame, mis on induktsioon ja deduktsioon üldiselt.

Definitsioon 1

Induktsioon on üleminek konkreetselt üldisele ja mahaarvamine vastupidi, üldisest konkreetsesse.

Näiteks on meil väide: 254 saab täielikult jagada kaheks. Sellest saame teha palju järeldusi, mille hulgas on nii tõeseid kui ka valesid. Näiteks väide, et kõik täisarvud, mille lõpus on arv 4, saab jagada kahega ilma jäägita, on tõene, kuid mis tahes kolmest numbrist koosnev arv jagub 2-ga, on väär.

Üldiselt võib öelda, et induktiivse arutluse abil saab ühest teadaolevast või ilmsest arutlusest teha palju järeldusi. Matemaatiline induktsioon võimaldab meil kindlaks teha, kui õiged need järeldused on.

Oletame, et meil on arvude jada nagu 1 1 2 , 1 2 3 , 1 3 4 , 1 4 5 , . . . , 1 n (n + 1) , kus n tähistab mõnda naturaalarvu. Sel juhul saame järjestuse esimeste elementide lisamisel järgmise:

S 1 \u003d 1 1 2 \u003d 1 2, S 2 \u003d 1 1 2 + 1 2 3 \u003d 2 3, S 3 \u003d 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 \u04 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 + 1 4 5 = 4 5 , . . .

Induktsiooni kasutades võime järeldada, et S n = n n + 1 . Kolmandas osas tõestame seda valemit.

Mis on matemaatilise induktsiooni meetod

See meetod põhineb samanimelisel põhimõttel. See on sõnastatud järgmiselt:

2. definitsioon

Teatud väide on tõene loomuliku väärtuse n puhul, kui 1) see on tõene n = 1 ja 2) korral, kuna see avaldis on tõene suvalise loomuliku väärtuse n = k korral, järeldub, et see on tõene ka kui n = k + 1 .

Matemaatilise induktsiooni meetodi rakendamine toimub kolmes etapis:

1. Esiteks kontrollime algse väite õigsust suvalise n-i loomuliku väärtuse korral (tavaliselt tehakse test ühtsuse jaoks).
2. Pärast seda kontrollime täpsust n = k .
3. Ja siis tõestame väite kehtivust, kui n = k + 1 .

Kuidas rakendada matemaatilise induktsiooni meetodit võrratuste ja võrrandite lahendamisel

Võtame näite, millest me varem rääkisime.

Näide 1

Tõesta valem S n = 1 1 2 + 1 2 3 + . . . + 1 n (n + 1) = n n + 1 .

Lahendus

Nagu me juba teame, tuleb matemaatilise induktsiooni meetodi rakendamiseks sooritada kolm järjestikust sammu.

1. Esmalt kontrollime, kas see võrdsus kehtib n-i puhul, mis on võrdne ühega. Saame S 1 \u003d 1 1 2 \u003d 1 1 + 1 \u003d 1 2. Siin on kõik õige.
2. Edasi teeme eelduse, et valem S k = k k + 1 on õige.
3. Kolmandas etapis peame eelmise võrdsuse kehtivuse põhjal tõestama, et S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2 .

K + 1 saame esitada algse jada esimeste liikmete ja k + 1 summana:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2)

Kuna teises etapis saime S k = k k + 1, saame kirjutada järgmise:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) .

Nüüd teostame vajalikud teisendused. Peame vähendama murdosa ühise nimetajani, vähendama sarnaseid termineid, rakendama lühendatud korrutamisvalemit ja vähendama juhtunut:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) = k k + 1 + 1 k + 1 (k + 2) = = k (k + 2) + 1 k + 1 (k + 2) = k 2 + 2 k + 1 k + 1 (k + 2) = (k + 1) 2 k + 1 (k + 2) = k + 1 k + 2

Seega oleme tõestanud võrdsust kolmandas punktis matemaatilise induktsiooni meetodi kõik kolm etappi sooritades.

Vastus: valemi S n = n n + 1 oletus on õige.

Võtame keerulisema ülesande trigonomeetriliste funktsioonidega.

Näide 2

Tõestage identsus cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 n α \u003d sin 2 n + 1 α 2 n sin 2 α.

Lahendus

Nagu mäletame, tuleks esimese sammuna kontrollida võrdsuse õigsust, kui n on võrdne ühega. Selle väljaselgitamiseks peame meeles pidama põhilisi trigonomeetrilisi valemeid.

cos 2 1 = cos 2 α sin 2 1 + 1 α 2 1 sin 2 α = sin 4 α 2 sin 2 α = 2 sin 2 α cos 2 α 2 sin 2 α = cos 2 α

Seetõttu on identsus tõene, kui n on võrdne ühega.

Oletame nüüd, et selle kehtivus säilib n = k korral, s.o. on tõsi, et cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 k α \u003d sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α.

Tõestame võrdsuse cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 k + 1 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α juhul, kui n = k + 1, tuginedes eelmisele eeldusele.

Trigonomeetrilise valemi järgi

sin 2 k + 1 α cos 2 k + 1 α = = 1 2 (sin (2 k + 1 α + 2 k + 1 α) + sin (2 k + 1 α - 2 k + 1 α)) = = 1 2 sin (2 2 k + 1 α) + sin 0 = 1 2 sin 2 k + 2 α

Järelikult

cos 2 α cos 4 α . . . · cos 2 k + 1 α = = cos 2 α · cos 4 α · . . . cos 2 k α cos 2 k + 1 α = = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α cos 2 k + 1 α = 1 2 sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α

Näite selle meetodi abil ebavõrdsuse tõestamise probleemi lahendamisest on antud meetodit käsitlevas artiklis vähimruudud. Lugege lõiku, milles on tuletatud lähenduskoefitsientide leidmise valemid.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Bibliograafiline kirjeldus: Badanin AS, Sizova M. Yu. Matemaatilise induktsiooni meetodi rakendamine naturaalarvude jaguvuse probleemide lahendamisel // Noor teadlane. 2015. №2. S. 84-86..02.2019).

Matemaatikaolümpiaadidel tuleb sageli ette üsna keerulisi ülesandeid naturaalarvude jaguvuse tõestamisel. Koolilapsed seisavad silmitsi probleemiga: kuidas leida universaali matemaatiline meetod selliste probleemide lahendamiseks?

Selgub, et enamik jagatavusülesandeid on lahendatavad matemaatilise induktsiooniga, kuid kooliõpikutes pööratakse sellele meetodile väga vähe tähelepanu, enamasti antakse lühidalt teoreetiline kirjeldus ja analüüsitakse mitmeid probleeme.

Arvuteooriast leiame matemaatilise induktsiooni meetodi. Arvuteooria koidikul avastasid matemaatikud palju fakte induktiivselt: L. Euler ja K. Gauss kaalusid mõnikord tuhandeid näiteid, enne kui märkasid numbrilist mustrit ja uskusid sellesse. Kuid samal ajal mõistsid nad, kui eksitavad võivad hüpoteesid olla, kui nad läbivad "lõpliku" testi. Induktiivseks üleminekuks lõpliku alamhulga jaoks kontrollitud väitelt sarnasele väitele kogu lõpmatu hulga jaoks on vaja tõestust. Selle meetodi pakkus välja Blaise Pascal, kes leidis üldine algoritm leida märke mis tahes täisarvu jaguvuse kohta mis tahes muu täisarvuga (traktaat “Arvude jaguvuse olemusest).

Matemaatilise induktsiooni meetodit kasutatakse selleks, et arutledes tõestada teatud väite tõesust kõigi naturaalarvude puhul või väite tõesust, mis algab mõnest arvust n.

Ülesannete lahendamine teatud väite õigsuse tõestamiseks matemaatilise induktsiooni meetodil koosneb neljast etapist (joonis 1):

Riis. 1. Probleemi lahendamise skeem

1. Induktsiooni alused . Kontrolli väite kehtivust väikseima naturaalarvu puhul, mille puhul väide on mõttekas.

2. Induktiivne oletus . Eeldame, et väide on tõene mõne k väärtuse korral.

3. induktiivne üleminek . Tõestame, et väide kehtib k+1 korral.

4. Järeldus . Kui selline tõestus on lõpetatud, siis võib matemaatilise induktsiooni põhimõtte alusel väita, et väide on tõene mis tahes naturaalarvu n korral.

Kaaluge matemaatilise induktsiooni meetodi rakendamist ülesannete lahendamisel, et tõestada naturaalarvude jaguvust.

Näide 1. Tõesta, et arv 5 on arvu 19 kordne, kus n on naturaalarv.

Tõestus:

1) Kontrollime, kas see valem on tõene n = 1 korral: arv =19 on 19 kordne.

2) Olgu see valem tõene n = k korral, st arv on 19 kordne.

Jagub 19-ga. Tõepoolest, esimene liige jagub eelduse (2) tõttu 19-ga; ka teine ​​liige jagub 19-ga, kuna sisaldab koefitsienti 19.

Näide 2 Tõesta, et kolme järjestikuse naturaalarvu kuubikute summa jagub 9-ga.

Tõestus:

Tõestame väidet: „Iga naturaalarvu n korral on avaldis n 3 +(n+1) 3 +(n+2) 3 arvu 9 kordne.

1) Kontrollige, kas see valem on n = 1 korral õige: 1 3 +2 3 +3 3 =1+8+27=36 on 9 kordne.

2) Olgu see valem tõene n = k korral, st k 3 +(k+1) 3 +(k+2) 3 on 9 kordne.

3) Tõestame, et valem kehtib ka n = k + 1 korral, st (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3 on 9-kordne. (k+1) 3 +( k+2) 3 +(k+3) 3 =(k+1) 3 +(k+2) 3 + k 3 + 9k 2 +27 k+ 27=(k 3 +(k+1) 3 +(k +2) 3)+9 (k 2 +3 k+ 3).

Saadud avaldis sisaldab kahte liiget, millest igaüks jagub 9-ga, seega jagub summa 9-ga.

4) Mõlemad matemaatilise induktsiooni põhimõtte tingimused on täidetud, seetõttu kehtib väide kõigi n väärtuste kohta.

Näide 3 Tõesta, et iga loomuliku n korral jagub arv 3 2n+1 +2 n+2 7-ga.

Tõestus:

1) Kontrollige, kas see valem on n = 1 jaoks õige: 3 2*1+1 +2 1+2 = 3 3 +2 3 =35, 35 on 7 kordne.

2) Olgu see valem tõene n = k korral, st 3 2 k +1 +2 k +2 jagub 7-ga.

3) Tõestame, et valem kehtib ka n = k + 1 korral, s.t.

3 2(k +1)+1 +2 (k +1)+2 =3 2 k +1 3 2 +2 k +2 2 1 =3 2 k +1 9+2 k +2 2 =3 2 k +1 9+2 k +2 (9–7)=(3 2 k +1 +2 k +2) 9–7 2 k +2 .T. Kuna (3 2 k +1 +2 k +2) 9 jagub 7-ga ja 7 2 k +2 jagub 7-ga, siis jagub ka nende erinevus 7-ga.

4) Mõlemad matemaatilise induktsiooni põhimõtte tingimused on täidetud, seetõttu kehtib väide kõigi n väärtuste kohta.

Paljud tõestusülesanded naturaalarvude jaguvuse teoorias lahendatakse mugavalt matemaatilise induktsiooni meetodil, võib isegi öelda, et ülesannete lahendamine selle meetodiga on üsna algoritmiline, piisab 4 põhietapi sooritamisest. Kuid seda meetodit ei saa nimetada universaalseks, sest sellel on ka puudusi: esiteks on võimalik tõestada ainult naturaalarvude hulgal ja teiseks on võimalik tõestada ainult ühe muutuja puhul.

Arenguks loogiline mõtlemine, matemaatilise kultuuri see meetod on hädavajalik tööriist, on ju suur vene matemaatik A. N. Kolmogorov öelnud: "Matemaatika induktsiooni põhimõtte mõistmine ja õige rakendamise oskus on hea loogilise küpsuse kriteerium, mis on matemaatika jaoks hädavajalik."

Kirjandus:

1. Vilenkin N. Ya. Induktsioon. Kombinatoorika. - M.: Valgustus, 1976. - 48 lk.

2. Genkin L. Matemaatilisest induktsioonist. - M., 1962. - 36 lk.

3. Solominsky I. S. Matemaatilise induktsiooni meetod. - M.: Nauka, 1974. - 63 lk.

4. Sharygin I. F. Matemaatika valikkursus: Ülesannete lahendamine: Õpik 10 lahtrile. Põhikool - M.: Valgustus, 1989. - 252 lk.

5. Shen A. Matemaatiline induktsioon. - M.: MTSNMO, 2007.- 32 lk.

Selleks kontrollige esmalt väite tõesust numbriga 1 - induktsiooni alus, ja siis tõestatakse, et kui väide arvuga n, siis järgmine väide koos numbriga n + 1 - induktsiooni samm, või induktiivne üleminek.

Tõestust induktsiooni abil saab visualiseerida nn doomino põhimõte. Olgu suvaline arv doominoklotse paigutatud ritta nii, et iga doomino, mis langeb, kummutab tingimata järgmise doomino (see on induktiivne üleminek). Siis, kui me surume esimese luu (see on induktsiooni alus), siis kõik reas olevad luud langevad.

Selle tõestusmeetodi loogiliseks aluseks on nn induktsiooni aksioom, viies Peano aksioomidest, mis määratlevad naturaalarvud. Induktsioonimeetodi õigsus on samaväärne asjaoluga, et naturaalarvude mis tahes alamhulgas on minimaalne element.

On ka variatsioon, nn täieliku matemaatilise induktsiooni põhimõte. Siin on selle range sõnastus:

Täieliku matemaatilise induktsiooni põhimõte on samaväärne ka Peano aksioomide induktsiooni aksioomiga.

Näited

Ülesanne. Tõesta seda, olgu see loomulik n ja päris q≠ 1, võrdsus

Tõestus. Induktsioon sisse n.

Alus, n = 1:

Üleminek: Teeskleme seda

Q.E.D.

Kommentaar: väite truudust P n selles tõestuses on sama, mis võrdsuse kehtivus

Vaata ka

Variatsioonid ja üldistused

Kirjandus

• N. Ya. Vilenkin Induktsioon. Kombinatoorika. Juhend õpetajatele. M., Valgustus, 1976.-48 lk.
• L. I. Golovina, I. M. Yaglom Sissejuhatus geomeetrias, "Populaarsed matemaatikaloengud", 21. väljaanne, Fizmatgiz 1961.-100 lk.
• R. Courant, G. Robbins"Mis on matemaatika?" I peatükk, §2.
• I. S. Sominsky Matemaatilise induktsiooni meetod. "Populaarsed loengud matemaatikast", 3. number, Nauka kirjastus 1965.-58 lk.

Wikimedia sihtasutus. 2010 .

Vaadake, mis on "matemaatilise induktsiooni meetod" teistes sõnaraamatutes:

Matemaatiline induktsioon matemaatikas on üks tõestusmeetodeid. Kasutatakse mõne väite õigsuse tõestamiseks kõigi naturaalarvude puhul. Selleks kontrollitakse esmalt numbriga 1 väite õigsust, induktsiooni alust ja seejärel ... ... Wikipedia

Meetod teooria koostamiseks, kuigi see põhineb mõnel selle sättel - aksioomidel või postulaatidel -, millest kõik muud teooria sätted (teoreemid) tuletatakse arutledes, mida nimetatakse tõestuseks m i. Reeglid, muide ...... Filosoofiline entsüklopeedia

Induktsioon (ladina keeles inductio guidance) on järeldusprotsess, mis põhineb üleminekul konkreetselt positsioonilt üldisele. Induktiivne arutluskäik seob eraruumid järeldusega mitte niivõrd loogikaseaduste, vaid pigem mõne ... ... Vikipeedia kaudu

GENEETILINE MEETOD- viis, kuidas määrata uuritava objekti sisu ja olemus mitte kokkuleppe, idealiseerimise või loogilise järelduse, vaid selle päritolu uurimise kaudu (põhinedes selle esinemiseni viinud põhjuste, kujunemismehhanismi uurimisel). Lai...... Teadusfilosoofia: põhimõistete sõnastik

Teadusliku teooria koostamise meetod, mille puhul see põhineb mõnel aksioomi algsättel (otsustel) (vt aksioom) või postulaatidel, millest tuleb tuletada kõik teised selle teaduse väited (teoreemid (vt teoreem)). .. ... Suur Nõukogude entsüklopeedia

aksiomaatiline meetod- AKSIOMAATNE MEETOD (kreeka keelest. axioma) aktsepteeritud seisukoht on teadusliku teooria konstrueerimise meetod, mille puhul kasutatakse tõendites ainult aksioome, postulaate ja neist varem tuletatud väiteid. Esimest korda näidatud... Epistemoloogia ja teadusfilosoofia entsüklopeedia

Üks teooria veameetodeid tundmatute suuruste hindamiseks mõõtmistulemuste põhjal, mis sisaldavad juhuslikud vead. N. c. m kasutatakse ka ligikaudse esituse jaoks antud funktsioon muid (lihtsamaid) funktsioone ja sageli osutub... Matemaatiline entsüklopeedia

Matemaatiline induktsioon on üks matemaatilise tõestamise meetodeid, mida kasutatakse mõne väite tõesuse tõestamiseks kõigi naturaalarvude puhul. Selleks kontrolli esmalt ... Wikipedia

Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Induktsioon. Induktsioon (ladina keeles inductio guidance) on järeldusprotsess, mis põhineb üleminekul konkreetselt positsioonilt üldisele. Induktiivne arutluskäik ühendab eraruume ... ... Wikipedia