Tund “Erinevate meetodite rakendamine polünoomi faktoriseerimiseks. Mitmesuguste meetodite rakendamine polünoomi faktoriseerimiseks Erinevate meetodite rakendamine polünoomi faktoriseerimiseks

TUNNIPLAAN algebra tund 7. klassis

Õpetaja Prilepova O.A.

Tunni eesmärgid:

Näidake erinevate meetodite rakendamist polünoomi faktoriseerimiseks

Korrake faktoriseerimise meetodeid ja kinnistage oma teadmisi harjutuste käigus

Arendada õpilaste oskusi ja oskusi lühendatud korrutusvalemite rakendamisel.

Arendada õpilastes loogilist mõtlemist ja huvi aine vastu.

Ülesanded:

suunas isiklik areng:

Huvi arendamine matemaatilise loovuse ja matemaatiliste võimete vastu;

Algatusvõime arendamine, aktiivsus matemaatikaülesannete lahendamisel;

Iseseisvate otsuste tegemise võime kasvatamine.

meta-subjekti suunas :

Matemaatikale iseloomulike ja kognitiivse kultuuri aluseks olevate üldiste intellektuaalse tegevuse viiside kujundamine;

IKT tehnoloogia kasutamine;

ainevaldkonnas:

Haridusteed jätkamiseks vajalike matemaatiliste teadmiste ja oskuste omandamine;

Moodustab õpilastes võime otsida võimalusi polünoomi faktoriseerimiseks ja leida neid faktoriseeritud polünoomi jaoks.

Varustus:jaotusmaterjalid, marsruudilehed hindamiskriteeriumitega,multimeedia projektor, esitlus.

Tunni tüüp:käsitletava materjali kordamine, üldistamine ja süstematiseerimine

Töö vormid:töötada paaris ja rühmas, individuaalselt, kollektiivselt,iseseisev, frontaalne töö.

Tundide ajal:

Olemas mitmel erineval viisil polünoomi faktoriseerimine. Kõige sagedamini kasutatakse praktikas mitte ühte, vaid mitut meetodit korraga. Siin ei saa olla konkreetset toimingute järjekorda, iga näite puhul on kõik individuaalne. Kuid võite proovida järgida järgmist järjekorda:

1. Kui on ühine tegur, siis võtke see sulgudest välja;

2. Pärast seda proovige polünoomi lühendatud korrutamisvalemite abil faktoriseerida;

3. Kui pärast seda pole me veel soovitud tulemust saanud, tuleks proovida kasutada rühmitamise meetodit.

Lühendatud korrutusvalemid

1. a^2 - b^2 = (a+b)*(a-b);

2. (a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2;

3. (a-b)^2 = a^2-2*a*b+b^2;

4. a^3+b^3 = (a+b)*(a^2 - a*b+b^2);

5. a^3 - b^3 = (a-b)*(a^2 + a*b+b^2);

Vaatame nüüd mõnda näidet:

Näide 1

Tegutses polünoom: (a^2+1)^2 - 4*a^2

Esiteks rakendame lühendatud korrutamisvalemit "ruutude erinevus" ja avame sisemised sulud.

(a^2+1)^2 – 4*a^2 = ((a^2+1)-2*a)*((a^2+1)+2*a) = (a^2+1 -2*a)*(a^2+1+2*a);

Pange tähele, et summa ruudu ja kahe avaldise erinevuse ruudu avaldised saadakse sulgudes. Rakendage need ja saate vastuse.

a^2+1-2*a)*(a^2+1+2*a) = (a-1)^2*(a+1)^2;

Vastus:(a-1)^2*(a+1)^2;

Näide 2

Teguriseeri polünoom 4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y.

Nagu siit otse näha, ei sobi ükski meetod. Kuid seal on kaks ruutu, neid saab rühmitada. Proovime.

4*x^2 - y^2 + 4*x +2*y = (4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y);

Saime esimeses sulus oleva ruutude erinevuse valemi ja teises sulus on ühine tegur kaks. Rakendame valemit ja võtame välja ühisteguri.

(4*x^2 - y^2) +(4*x +2*y)= (2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y);

On näha, et saadakse kaks identset sulgu. Me võtame need välja kui ühine tegur.

(2*x - y)*(2*x+y) +2*(2*x+y) = (2*x+y)*(2*x - y)+2)= (2*x+ y) )*(2*x-y+2);

Vastus:(2*x+y)*(2*x-y+2);

Nagu näete, pole universaalset viisi. Kogemuste korral tuleb oskus ja polünoomi teguriteks arvestamine on väga lihtne.

Eelmises tunnis uurisime polünoomi korrutamist monoomiga. Näiteks monoomi a ja polünoomi b + c korrutis leitakse järgmiselt:

a(b + c) = ab + bc

Mõnel juhul on aga mugavam sooritada pöördtehing, mida võib nimetada ühisteguri sulgudest välja võtmiseks:

ab + bc = a(b + c)

Oletame näiteks, et peame arvutama polünoomi ab + bc väärtuse muutujate a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8 väärtustega. Kui asendame need otse avaldisega, saame

ab + bc = 15,6 * 7,2 + 15,6 * 2,8

ab + bc = a(b + c) = 15,6 * (7,2 + 2,8) = 15,6 * 10 = 156

Sel juhul oleme polünoomi ab + bc esitanud kahe teguri korrutisena: a ja b + c. Seda toimingut nimetatakse polünoomi faktoriseerimiseks.

Veelgi enam, kõik tegurid, milleks polünoom jaotatakse, võib omakorda olla polünoom või monoom.

Vaatleme polünoomi 14ab - 63b 2 . Iga selle koostises olevat monoomi saab esitada tootena:

On näha, et mõlemal polünoomil on ühine tegur 7b. Seega saab selle sulgudest välja võtta:

14ab – 63b 2 = 7b*2a – 7b*9b = 7b (2a–9b)

Koefitsiendi sulgudest väljavõtmise õigsust saate kontrollida pöördoperatsiooniga - sulgu laiendades:

7b (2a - 9b) = 7b * 2a - 7b * 9b = 14ab - 63b 2

Oluline on mõista, et sageli saab polünoomi mitmel viisil laiendada, näiteks:

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bcd) = bc(5a + 6d)

Tavaliselt püüavad nad jämedalt öeldes taluda "suuremat" monomi. See tähendab, et polünoom on paigutatud nii, et ülejäänud polünoomist ei saa enam midagi välja võtta. Niisiis, kui jagatakse

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

sulgudesse jääb nende monomialide summa, millel on ühine tegur c. Kui me selle ka välja võtame, siis sulgudes ühiseid tegureid ei ole:

b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

Analüüsime üksikasjalikumalt, kuidas leida monoomide jaoks ühiseid tegureid. Jagame summa pooleks

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10

See koosneb kolmest terminist. Kõigepealt vaatame nende ees olevaid arvulisi koefitsiente. Need on 8, 12 ja 16. 6. klassi 3. tunnis käsitleti GCD teemat ja selle leidmise algoritmi.See on suurim ühine jagaja.Selle saab peaaegu alati üles võtta suuliselt. Ühisteguri arvuline koefitsient on lihtsalt polünoomi liikmete arvuliste koefitsientide GCD. Sel juhul on number 4.

Järgmisena vaatleme nende muutujate astmeid. Ühisteguris peavad tähtedel olema terminites esinevad minimaalsed kraadid. Niisiis, muutuja a 3., 2. ja 4. astme polünoomis (minimaalselt 2), seega on ühine tegur 2 . Muutuja b minimaalne aste on 3, seega on ühine tegur b 3:

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)

Selle tulemusena ei ole ülejäänud liikmetel 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 ühist tähemuutujat ning nende koefitsientidel 2, 3 ja 4 puuduvad ühised jagajad.

Sulgudest saab välja võtta mitte ainult monomiaalid, vaid ka polünoomid. Näiteks:

x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5) (x+2y)

Üks näide veel. Väljendit on vaja laiendada

5t (8 a - 3x) + 2 s (3x - 8 a)

Lahendus. Tuletage meelde, et miinusmärk muudab sulgudes olevad märgid ümber, nii et

-(8a - 3x) = -8a + 3x = 3x - 8a

Nii et saate (3x - 8a) asendada - (8a - 3x):

5 t (8 a - 3x) + 2 s (3x - 8 x) = 5 t (8 a - 3x) + 2* (-1) s (8 a - 3x) = (8 a - 3x) (5 t - 2 s)

Vastus: (8a - 3x)(5t - 2s).

Pidage meeles, et lahutatud ja vähendatud väärtusi saab vahetada, muutes sulgude ees olevat märki:

(a - b) = - (b - a)

Tõsi on ka vastupidine: juba sulgudes oleva miinuse saab eemaldada, kui lahutatud ja vähendatud samaaegselt ümber paigutada:

Seda tehnikat kasutatakse sageli probleemide lahendamisel.

Rühmitamise meetod

Mõelge veel ühele polünoomi faktoriseerimise võimalusele, mis aitab polünoomi faktoriseerida. Olgu väljend

ab - 5a + bc - 5c

Kõigile neljale monoomile ühist tegurit pole võimalik välja võtta. Siiski saate seda polünoomi esitada kahe polünoomi summana ja igas neist võtta muutuja sulgudest välja:

ab – 5a + bc – 5c = (ab – 5a) + (bc – 5c) = a (b – 5) + c (b – 5)

Nüüd saate avaldise b - 5 välja võtta:

a (b - 5) + c (b - 5) = (b - 5) (a + c)

Esimese termini "rühmitasime" teisega ja kolmanda neljandaga. Seetõttu nimetatakse kirjeldatud meetodit rühmitamismeetodiks.

Näide. Laiendame polünoomi 6xy + ab- 2bx- 3ay.

Lahendus. 1. ja 2. termini rühmitamine on võimatu, kuna neil puudub ühine tegur. Nii et vahetame monomiaalid:

6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x(3y - b) + a(b - 3ay)

Erinevused 3y - b ja b - 3y erinevad ainult muutujate järjekorras. Ühes sulgudes saab seda muuta, nihutades miinusmärgi sulgudest välja:

(b - 3 a) = - (3 a - b)

Kasutame seda asendust:

2x(3y - b) + a(b - 3y) = 2x(3y - b) - a(3y - b) = (3y - b)(2x - a)

Tulemuseks on identiteet:

6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b) (2x - a)

Vastus: (3 a - b) (2x - a)

Saate rühmitada mitte ainult kahte, vaid üldiselt suvalise arvu termineid. Näiteks polünoomil

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z

saate rühmitada kolm esimest ja kolm viimast monomi:

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2 (x - 3y + z) = (x + 2) (x - 3 a + z)

Vaatame nüüd suurema keerukusega ülesannet

Näide. Laiendage ruudu kolmikut x 2 – 8x +15.

Lahendus. See polünoom koosneb ainult 3 monoomist ja seetõttu, nagu näib, ei saa rühmitada. Siiski saate teha järgmise asendustegevuse:

Seejärel saab algset trinoomi esitada järgmiselt:

x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15

Rühmitame terminid:

x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x (x - 3) - 5 (x - 3) = (x - 5) (x - 3)

Vastus: (x - 5) (x - 3).

Muidugi ei ole ülaltoodud näites asendus - 8x = - 3x - 5x oletamine lihtne. Näitame teistsugust mõttekäiku. Peame teise astme polünoomi laiendama. Nagu mäletame, liidetakse polünoomide korrutamisel nende astmed. See tähendab, et kui saame ruuttrinoomi lagundada kaheks teguriks, siis on need kaks 1. astme polünoomi. Kirjutame kahe esimese astme polünoomi korrutise, mille juhtkoefitsiendid on võrdsed 1-ga:

(x + a) (x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab

Siin on a ja b mõned suvalised arvud. Selleks, et see korrutis oleks võrdne algse trinoomiga x 2 - 8x +15, on vaja valida muutujate jaoks sobivad koefitsiendid:

Valiku abil saab kindlaks teha, et arvud a= - 3 ja b = - 5 vastavad sellele tingimusele.

(x - 3) (x - 5) = x 2 * 8x + 15

mida saab kontrollida sulgude avamisega.

Lihtsuse huvides vaatlesime ainult juhust, kui 1. astme korrutatud polünoomidel on suurimad koefitsiendid, mis on võrdsed 1-ga. Need võivad aga olla võrdsed näiteks 0,5 ja 2-ga. Sel juhul näeks laiendus mõnevõrra erinev:

x 2 * 8x + 15 = (2x - 6) (0,5x - 2,5)

Kuid võttes teguri 2 esimesest suust välja ja korrutades selle teisega, saame algse laienduse:

(2x - 6) (0,5x - 2,5) = (x - 3) * 2 * (0,5x - 2,5) = (x - 3) (x - 5)

Vaadeldavas näites jagasime ruuttrinoomi kaheks esimese astme polünoomiks. Tulevikus peame seda sageli tegema. Siiski väärib märkimist, et näiteks mõned ruudukujulised trinoomid

polünoomide korrutiseks on sel viisil võimatu lagundada. Seda tõestatakse hiljem.

Polünoomide faktoriseerimise rakendamine

Polünoomi faktoriseerimine võib mõningaid tehteid lihtsustada. Olgu vaja hinnata avaldise väärtust

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

Võtame välja arvu 2, samas kui iga liikme aste väheneb ühe võrra:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)

Tähistage summat

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

x jaoks. Seejärel saab ülaltoodud võrrandi ümber kirjutada:

x + 2 9 = 2 (1 + x)

Saime võrrandi, lahendame selle (vt võrrandi õppetund):

x + 2 9 = 2 (1 + x)

x + 2 9 = 2 + 2x

2x - x = 2 9 - 2

x = 512 - 2 = 510

Nüüd väljendame otsitavat summat x-ga:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

Selle ülesande lahendamisel tõstsime arvu 2 ainult 9. astmeni ja kõik muud astendamise operatsioonid õnnestus polünoomi faktoriseerimisega arvutustest välja jätta. Samamoodi saate arvutusvalemi koostada ka muude sarnaste summade jaoks.

Nüüd arvutame avaldise väärtuse

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890

81 4 - 9 7 + 3 12

jagub 73-ga. Pange tähele, et arvud 9 ja 81 on kolme astmed:

81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4

Seda teades asendame algse väljendiga:

81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12

Võtame välja 3 12:

3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73

Korrutis 3 12 .73 jagub 73-ga (kuna üks teguritest jagub sellega), seega jagub avaldis 81 4 - 9 7 + 3 12 selle arvuga.

Faktooreerimist saab kasutada identiteedi tõendamiseks. Näiteks tõestame võrdsuse kehtivust

(a 2 + 3a) 2 + 2 (a 2 + 3a) = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)

Identiteedi lahendamiseks teisendame võrdsuse vasaku poole, võttes välja ühisteguri:

(a 2 + 3a) 2 + 2 (a 2 + 3a) = (a 2 + 3a) (a 2 + 3a) + 2 (a 2 + 3a) = (a 2 + 3a) (a 2 + 3a + 2 )

(a 2 + 3a) (a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a) (a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a) ((a 2 + 2a) + (a + 2) ) = (a 2 + 3a) (a (a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a) (a + 1) (a + 2) = a (a + 3) (a + z) )(a + 2) = a(a + 1) (a + 2) (a + 3)

Üks näide veel. Tõestame, et muutujate x ja y mis tahes väärtuste korral on avaldis

(x - y) (x + y) - 2x (x - y)

ei ole positiivne arv.

Lahendus. Võtame välja ühisteguri x - y:

(x - y) (x + y) - 2x (x - y) = (x - y) (x + y - 2x) = (x - y) (y - x)

Pange tähele, et oleme saanud kahe sarnase binoomarvu korrutise, mis erinevad ainult tähtede x ja y järjekorras. Kui vahetaksime ühes sulgudes olevad muutujad, saaksime kahe identse avaldise korrutise ehk ruudu. Kuid x ja y vahetamiseks tuleb sulu ette panna miinusmärk:

(x - y) = -(y - x)

Siis võid kirjutada:

(x - y) (y - x) = -(y - x) (y - x) = -(y - x) 2

Nagu teate, on mis tahes arvu ruut suurem kui null või sellega võrdne. See kehtib ka avaldise (y - x) 2 kohta. Kui avaldise ees on miinus, siis peab see olema nullist väiksem või sellega võrdne, see tähendab, et see ei ole positiivne arv.

Polünoomi laiendamine aitab lahendada mõningaid võrrandeid. See kasutab järgmist avaldust:

Kui võrrandi ühes osas on null ja teises tegurite korrutis, siis tuleks igaüks neist võrdsustada nulliga.

Näide. Lahendage võrrand (s - 1)(s + 1) = 0.

Lahendus. Monoomide s - 1 ja s + 1 korrutis kirjutatakse vasakule ja null paremale. Seetõttu peab kas s - 1 või s + 1 võrduma nulliga:

(s - 1) (s + 1) = 0

s - 1 = 0 või s + 1 = 0

s=1 või s=-1

Iga muutuja s kahest saadud väärtusest on võrrandi juur, see tähendab, et sellel on kaks juurt.

Vastus: -1; üks.

Näide. Lahendage võrrand 5w 2 - 15w = 0.

Lahendus. Võtame välja 5w:

Jällegi on toode kirjutatud vasakule küljele ja null paremale. Jätkame lahendusega:

5w = 0 või (w - 3) = 0

w=0 või w=3

Vastus: 0; 3.

Näide. Leidke võrrandi k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0 juured.

Lahendus. Rühmitame terminid:

k 3 - 8k 2 + 3k-24 = 0

(k 3 - 8 k 2) + (3 k - 24) = 0

k 2 (k - 8) + 3 (k - 8) = 0

(k 3 + 3) (k - 8) = 0

k 2 + 3 = 0 või k - 8 = 0

k 2 \u003d -3 või k = 8

Pange tähele, et võrrandil k 2 = - 3 pole lahendust, kuna iga ruudus olev arv ei ole väiksem kui null. Seetõttu on algse võrrandi ainus juur k = 8.

Näide. Leidke võrrandi juured

(2u - 5) (u + 3) = 7u + 21

Lahendus. Liigutage kõik terminid vasakule ja seejärel rühmitage terminid:

(2u - 5) (u + 3) = 7u + 21

(2u - 5) (u + 3) - 7u - 21 = 0

(2u - 5) (u + 3) - 7 (u + 3) = 0

(2u - 5 - 7) (u + 3) = 0

(2u - 12) (u + 3) = 0

2u - 12 = 0 või u + 3 = 0

u = 6 või u = -3

Vastus: - 3; 6.

Näide. Lahenda võrrand

(t 2 - 5 t) 2 = 30 t - 6 t 2

(t 2 - 5 t) 2 = 30 t - 6 t 2

(t 2 - 5 t) 2 - (30 t - 6 t 2) = 0

(t 2 - 5 t) (t 2 - 5 t) + 6 (t 2 - 5 t) = 0

(t 2 - 5 t) (t 2 - 5 t + 6) = 0

t 2 - 5 t = 0 või t 2 - 5 t + 6 = 0

t = 0 või t - 5 = 0

t = 0 või t = 5

Vaatame nüüd teist võrrandit. Meie ees on taas ruudukujuline trinoom. Selle faktoriseerimiseks rühmitusmeetodi abil peate selle esitama 4 termini summana. Kui teeme asendus - 5t = - 2t - 3t, siis saame termineid edasi rühmitada:

t 2 – 5t + 6 = 0

t 2 - 2t - 3t + 6 = 0

t(t - 2) - 3 (t - 2) = 0

(t - 3) (t - 2) = 0

T - 3 = 0 või t - 2 = 0

t = 3 või t = 2

Selle tulemusena leidsime, et algsel võrrandil on 4 juurt.

See on üks elementaarsemaid viise väljendi lihtsustamiseks. Selle meetodi rakendamiseks tuletagem meelde liitmise jaotusseadust (ärge kartke neid sõnu, te kindlasti teate seda seadust, võib-olla olete selle nime unustanud).

Seadus ütleb: selleks, et korrutada kahe arvu summa kolmanda arvuga, tuleb iga liige korrutada selle arvuga ja liita tulemused ehk teisisõnu.

Võite teha ka pöördoperatsiooni ja just see pöördoperatsioon pakub meile huvi. Nagu näidisest näha, saab ühisteguri a, sulust välja võtta.

Sarnast toimingut saab teha nii muutujatega, nagu ja näiteks, kui ka numbritega: .

Jah, see on liiga elementaarne näide, nagu ka varem toodud näide, arvu laiendamisega, sest kõik teavad, mis arvud on ja jaguvad, aga mis siis, kui saaksite keerulisema avaldise:

Kuidas teada saada, milleks näiteks arv jaguneb, ei, kalkulaatoriga saab igaüks, kuid ilma selleta on see nõrk? Ja selleks on jaguvuse märgid, neid märke tasub tõesti teada, need aitavad kiiresti aru saada, kas ühistegurit on võimalik sulgudest välja võtta.

Jaguvuse märgid

Neid pole nii raske meeles pidada, tõenäoliselt olid enamik neist teile juba tuttavad ja midagi saab olema uus kasulik avastus, täpsemalt tabelis:

Märkus: tabelis puudub 4-ga jagatavusmärk. Kui kaks viimast numbrit jaguvad 4-ga, jagub täisarv 4-ga.

Noh, kuidas teile see märk meeldib? Soovitan seda meeles pidada!

Noh, tuleme tagasi väljendi juurde, võib-olla võta see sulgudest välja ja sellest piisab? Ei, matemaatikutel on tavaks lihtsustada, nii et võta välja KÕIK, mis välja võetakse!

Ja nii, mängijaga on kõik selge, aga kuidas on avaldise numbrilise osaga? Mõlemad numbrid on paaritud, nii et te ei saa jagada

Võite kasutada jaguvuse märki, numbrite summa ja, millest arv koosneb, on võrdne ja jagub arvuga, mis tähendab, et see on jagatav.

Seda teades võid julgelt veeruks jagada, mille jagamise tulemusena saame (jagatavuse märgid tulid kasuks!). Seega saame numbri sulgudest välja võtta, nagu y, ja selle tulemusena saame:

Veendumaks, et kõik on õigesti lagunenud, saate laiendamist kontrollida korrutamise teel!

Ühisteguri saab välja võtta ka võimsusavaldistest. Kas siin näiteks näete ühistegurit?

Kõigil selle avaldise liikmetel on x - me võtame välja, jagame kõik - võtame uuesti välja, vaatame, mis juhtus: .

2. Lühendatud korrutamisvalemid

Lühendatud korrutusvalemeid on teoorias juba mainitud, kui vaevalt mäletad, millega tegu, siis peaksid neid mälus värskendama.

No kui sa pead ennast väga targaks ja oled liiga laisk, et sellist infopilve lugeda, siis lihtsalt loe edasi, vaata valemeid ja võta kohe näited.

Selle lagunemise olemus seisneb selles, et märgata enda ees olevas avaldises mingit kindlat valemit, rakendada seda ja saada seeläbi millegi ja millegi korrutis, see ongi kõik lagunemine. Järgmised valemid:

Nüüd proovige ülaltoodud valemite abil järgmisi avaldisi arvesse võtta:

Ja siin on see, mis oleks pidanud juhtuma:

Nagu olete märganud, on need valemid väga tõhus faktooringu viis, see ei sobi alati, kuid võib olla väga kasulik!

3. Rühmitamine või rühmitamise meetod

Siin on teile veel üks näide:

No mis sa sellega peale hakkad? Tundub, et see on millekski ja millekski ja millekski ja millekski ja millekski jagatav

Aga kõike ei saa üheks asjaks jagada, noh ühist tegurit pole, kuidas mitte otsida mida ja jätta see ilma faktooringuta?

Siin peate üles näitama leidlikkust ja selle leidlikkuse nimi on rühmitus!

Seda kasutatakse just siis, kui kõigil liikmetel pole ühiseid jagajaid. Rühmitamiseks on vaja leida terminite rühmad, millel on ühised jagajad ja korraldada need ümber nii, et igast rühmast oleks võimalik saada sama kordaja.

Muidugi pole vaja kohati ümber paigutada, kuid see annab nähtavuse, selguse huvides võite võtta üksikud väljendi osad sulgudes, pole keelatud neid panna nii palju kui soovite, peaasi, et märke segamini ajada.

See kõik pole väga selge? Lubage mul selgitada näitega:

Polünoomis – pane liige – liikme järele – saame

rühmitame kaks esimest liiget eraldi sulgudesse ning rühmitame samamoodi kolmanda ja neljanda liikme, jättes miinusmärgi sulust välja, saame:

Ja nüüd vaatame eraldi kumbagi kahte "hunnikut", millesse oleme sulgudega väljendi murdnud.

Nipp seisneb selles, et purustada see sellisteks hunnikuteks, millest on võimalik välja võtta võimalikult suur tegur või, nagu antud näites, proovida liikmeid rühmitada nii, et pärast tegurite hunnikust sulgudest väljavõtmist, sulgudes on samad väljendid.

Mõlemast sulust võtame välja liikmete ühised tegurid, esimesest sulust ja teisest sulust saame:

Aga see pole lagunemine!

Peesel lagunemine peaks jääma ainult korrutamiseks, kuid praegu on meil polünoom lihtsalt jagatud kaheks osaks ...

AGA! Sellel polünoomil on ühine tegur. seda

väljaspool sulust ja saame lõpptoote

Bingo! Nagu näete, on korrutis juba olemas ja väljaspool sulgusid pole ei liitmist ega lahutamist, lagunemine on lõpetatud, sest meil pole sulgudest enam midagi välja võtta.

Võib tunduda imena, et peale tegurite sulgudest välja võtmist on sulgudes ikka samad väljendid, mis jällegi sulgudest välja võtsime.

Ja see pole üldse ime, fakt on see, et õpikutes ja eksamil olevad näited on spetsiaalselt tehtud nii, et enamik väljendeid ülesannetes lihtsustamiseks või faktoriseerimineõige lähenemise korral on need hõlpsasti lihtsustatavad ja vajuvad nupule vajutamisel järsult kokku nagu vihmavari, nii et otsige igast väljendist just seda nuppu.

Millest ma kaldun kõrvale, mis meil seal lihtsustamisel on? Keeruline polünoom sai lihtsama kuju: .

Nõus, mitte nii mahukas kui varem?

4. Täisruudu valik.

Mõnikord on lühendatud korrutamise valemite rakendamiseks (teema kordamiseks) vaja olemasolevat polünoomi teisendada, esitades ühe selle liikme kahe liikme summa või erinevusena.

Sel juhul peate seda tegema, õpite näitest:

Sel kujul olevat polünoomi ei saa lühendatud korrutamisvalemite abil lagundada, seega tuleb see teisendada. Võib-olla pole alguses teile selge, milline termin milleks jagada, kuid aja jooksul õpite kohe nägema lühendatud korrutusvalemeid, isegi kui need pole tervikuna olemas, ja saate kiiresti kindlaks teha, mis siin puudu on täisvalemile, aga praegu - õppige , õpilane, täpsemalt koolipoiss.

Erinevuse ruudu täieliku valemi jaoks vajate selle asemel siin. Esitame kolmanda liikme erinevusena, saame: Sulgudes olevale avaldisele saame rakendada erinevuse ruudu valemit (mitte segi ajada ruutude erinevusega!!!), meil on: , sellele avaldisele saame rakendada ruutude erinevuse valemit (mitte segi ajada ruudu vahega!!!), kujutledes, kuidas, saame: .

Avaldis, mida ei ole alati teguritesse arvestatud, näeb välja lihtsam ja väiksem, kui see oli enne lagunemist, kuid sellisel kujul muutub see liikuvamaks selles mõttes, et te ei saa muretseda märkide muutumise ja muu matemaatilise jama pärast. Noh, selleks, et saaksite ise otsustada, tuleb arvesse võtta järgmisi väljendeid.

Näited:

Vastused:

5. Ruuttrinoomi faktoriseerimine

Ruuttrinoomi faktoriseerimise kohta vt allpool toodud lagunemise näiteid.

Näited 5 polünoomi faktoriseerimise meetodi kohta

1. Ühise teguri väljavõtmine sulgudest. Näited.

Kas mäletate, mis on jaotusseadus? See on selline reegel:

Näide:

Polünoomi faktoriseerimine.

Lahendus:

Veel üks näide:

Korrutada.

Lahendus:

Kui kogu termin sulgudest välja võtta, jääb selle asemel sulgudesse üks!

2. Lühendatud korrutamise valemid. Näited.

Kõige sagedamini kasutatavad valemid on ruutude vahe, kuubikute vahe ja kuubikute summa. Kas mäletate neid valemeid? Kui ei, siis korrake teemat kiiresti!

Näide:

Faktoreeri väljendust.

Lahendus:

Selles väljendis on kuubikute erinevust lihtne teada saada:

Näide:

Lahendus:

3. Rühmitamise meetod. Näited

Mõnikord on võimalik termineid vahetada nii, et igast naaberterminite paarist saab eraldada ühe ja sama teguri. Selle ühise teguri saab sulust välja võtta ja algsest polünoomist saab korrutis.

Näide:

Tegutsege polünoom.

Lahendus:

Rühmitame terminid järgmiselt:
.

Esimeses rühmas võtame sulgudest välja ühisteguri ja teises - :
.

Nüüd saab ka ühisteguri sulgudest välja võtta:
.

4. Täisruudu valimise meetod. Näited.

Kui polünoomi saab esitada kahe avaldise ruutude erinevusena, jääb üle vaid rakendada lühendatud korrutamisvalemit (ruutude erinevus).

Näide:

Tegutsege polünoom.

Lahendus:Näide:

\begin(massiivi)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\alussulg(((x)^(2))+2\cpunkt 3\cpunkt x+9)_(ruut\summad\ ((\vasak (x+3 \parem))^(2)))-9-7=((\vasak(x+3 \parem))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\end(massiiv)

Tegutsege polünoom.

Lahendus:

\begin(massiivi)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\alussulg(((x)^(4))-2\cpunkt 2\cpunkt ((x)^(2) )+4)_(ruut\ erinevused((\left(((x)^(2))-2 \parem))^(2)))-4-1=((\left(((x)^ (2))-2 \parem)^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(massiiv)

5. Ruuttrinoomi faktoriseerimine. Näide.

Ruuttrinoom on polünoom kujul, kus on tundmatu, lisaks on mõned arvud.

Muutuvaid väärtusi, mis muudavad ruudukujulise trinoomi nulliks, nimetatakse trinoomi juurteks. Seetõttu on trinoomi juured ruutvõrrandi juured.

Teoreem.

Näide:

Faktoriseerime ruudu trinoomi: .

Esmalt lahendame ruutvõrrandi: Nüüd saame kirjutada selle ruudukujulise trinoomi faktoriseerimise teguriteks:

Nüüd sinu arvamus...

Oleme üksikasjalikult kirjeldanud, kuidas ja miks polünoomi faktoriseerida.

Tõime palju näiteid, kuidas seda praktikas teha, tõime välja lõkse, andsime lahendusi ...

Mida sa ütled?

Kuidas teile see artikkel meeldib? Kas sa kasutad neid nippe? Kas sa mõistad nende olemust?

Kirjutage kommentaaridesse ja... valmistuge eksamiks!

Siiani on see teie elus kõige tähtsam.

Polünoomide faktoriseerimiseks kasutasime sulgusid, rühmitamist ja lühendatud korrutamisvalemeid. Mõnikord on võimalik polünoomi faktoriseerida, rakendades järjestikku mitut meetodit. Sel juhul tuleks teisendust võimalusel alustada ühisteguri sulgudest välja võtmisega.

Näide 1 Teguristame polünoomi 10a 3 - 40a.

Lahendus: Selle polünoomi liikmete ühine tegur on 10a. Võtame selle teguri sulgudest välja:

10a 3–40a \u003d 10a (a 2–4).

Faktoriseerimist saab jätkata, rakendades avaldisele a 2–4 ​​ruutude erinevuse valemit. Selle tulemusena saame teguritena madalama astme polünoomid.

10a (a 2–4) \u003d 10a (a + 2) (a–2).

10a 3 - 40a \u003d 10a (a + 2) (a - 2).

Näide 2 Polünoomi faktoriseerimine

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - Zb 2 a.

Lahendus: Esiteks võtame sulgudest välja ühisteguri b2:

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - 3b 2 y = b 2 (ab - 3b + ay - 3y).

Proovime nüüd polünoomi faktoriseerida

ab - 3b + ay - 3 a.

Rühmitades esimese liikme teise ja kolmanda neljandaga, saame

ab - 3b + ay - Zu \u003d b (a - 3) + y (a - 3) \u003d (a - 3) (b + y).

Lõpuks saame

ab 3 - Zb 3 + ab 2 y - Zb 2 y \u003d b 2 (a - 3) (b + y).

Näide 3 Teguristame polünoomi a 2 - 4ax - 9 + 4x 2.

Lahendus: Rühmitame polünoomi esimese, teise ja neljanda liikme. Saame trinoomi a 2 - 4ax + 4x 2, mida saab esitada erinevuse ruuduna. Sellepärast

a 2 - 4ax - 9 + 4x 2 \u003d (a 2 - 4ax + 4x 2) - 9 \u003d (a - 2x) 2 - 9.

Saadud avaldist saab faktoristada ruutude erinevuse valemi abil:

(a - 2x) 2 - 9 \u003d (a - 2x) 2 - Z 2 \u003d (a - 2x - 3) (a - 2x + 3).

Järelikult

a 2 - 4ax - 9 + 4x 2 \u003d (a - 2x - 3) (a - 2x + 3).

Pange tähele, et polünoomi faktoristamisel peame silmas selle esitust mitme polünoomi korrutisena, milles vähemalt kaks tegurit on nullist erineva astme polünoomid (st nad ei ole arvud).

Iga polünoomi ei saa faktoriseerida. Näiteks polünoomide x 2 + 1, 4x 2 - 2x + 1 jne faktoriseerimine on võimatu.

Vaatame näidet faktoriseerimise kasutamisest, et lihtsustada arvutusi kalkulaatori abil.

Näide 4 Kalkulaatori abil leiame polünoomi bx 3 + 2x 2 - 7x + 4 väärtuse x = 1,2 korral.

Lahendus: Kui sooritate toimingud aktsepteeritud järjekorras, peate esmalt leidma avaldiste x 3 5, x 2 2 ja 7x väärtused, kirjutama tulemused paberile või sisestama need kalkulaatori mällu ja seejärel jätkama liitmine ja lahutamine. Soovitud tulemuse saab aga palju lihtsamini, kui antud polünoomi teisendada järgmiselt:

bx 3 + 2x 2 - 7x + 4 \u003d (5x 2 + 2x - 7)x + 4 \u003d ((5x + 2)x - 7)x + 4.

Pärast arvutuste tegemist x = 1,2 jaoks leiame, et polünoomi väärtus on 7,12.

Harjutused

Kontrollküsimused ja ülesanded

1. Tooge näide täisarvu avaldisest ja avaldisest, mis ei ole täisarv.
2. Milliseid toiminguid tuleb teha ja millises järjekorras, et esitada kogu avaldis 4x (3 - x) 2 + (x 2 - 4) (x + 4) polünoomina?
3. Milliseid polünoomide faktoringu meetodeid te teate?