Matemaatilise mudeli kontseptsioon. Matemaatilise modelleerimise etapid

Loeng nr 1

Sissejuhatus. Matemaatiliste mudelite ja meetodite mõiste

1. jagu Sissejuhatus

2. Matemaatiliste mudelite koostamise meetodid. Süstemaatilise lähenemise kontseptsioon. üks

3. Majandussüsteemide matemaatilise modelleerimise põhimõisted.. 4

4. Analüütilise, simulatsiooni- ja loomuliku modelleerimise meetodid. 5

Turvaküsimused... 6

1. Distsipliini "Modelleerimismeetodid" sisu, eesmärgid ja eesmärgid

See distsipliin on pühendatud modelleerimismeetodite uurimisele ja praktilise rakendamise omandatud teadmisi. Distsipliini eesmärk on õpetada üliõpilastele modelleerimise teooria üldküsimusi, matemaatiliste mudelite konstrueerimise meetodeid ning protsesside ja objektide formaalset kirjeldamist, matemaatiliste mudelite kasutamist arvutuskatsete läbiviimisel ja optimeerimisülesannete lahendamisel kaasaegsete arvutusvahendite abil.

Distsipliini ülesannete hulka kuuluvad:

Tutvustada matemaatilise modelleerimise teooria, süsteemiteooria, sarnasusteooria, katse planeerimise teooria ja matemaatiliste mudelite koostamiseks kasutatavate katseandmete töötlemise põhimõisteid,

Anda õpilastele oskused modelleerimisülesande püstitamise, objektide / protsesside / matemaatilise kirjeldamise, arvutis matemaatiliste mudelite realiseerimise ja optimeerimisülesannete lahendamise arvuliste meetodite alal.

Distsipliini õppimise tulemusena peab üliõpilane valdama protsesside ja objektide matemaatilise modelleerimise meetodeid alates ülesande sõnastamisest kuni matemaatiliste mudelite rakendamiseni arvutis ja mudelite uurimise tulemuste esitamiseni.

Distsipliini kursus on mõeldud 12 loengu ja 12 praktilise töö jaoks. Distsipliini õppimise tulemusena peab üliõpilane valdama matemaatilise modelleerimise meetodeid alates ülesande sõnastamisest kuni matemaatiliste mudelite rakendamiseni arvutis

2. Matemaatiliste mudelite koostamise meetodid. Süstemaatilise lähenemise kontseptsioon

5. Ülesande lahendus.

Operatsiooniuuringute meetodite järjekindel kasutamine ja rakendamine tänapäevasel info- ja arvutitehnoloogial võimaldab ületada subjektivismi, välistada nn tahtlikud otsused, mis ei põhine objektiivsete asjaolude rangel ja täpsel arvestamisel, vaid juhuslikel emotsioonidel ja isiklikul huvil. erinevate tasandite juhtide seas, kes pealegi ei suuda nendes vabatahtlikes otsustes kokku leppida.

Süsteemianalüüs võimaldab võtta arvesse ja kasutada juhtimises kogu hallatava objekti kohta olemasolevat informatsiooni, koordineerida tehtud otsuseid objektiivse, mitte subjektiivse efektiivsuse kriteeriumi alusel. Sõidu ajal arvutuste pealt kokkuhoid on sama, mis pildistamisel sihtimise pealt. Arvuti ei võimalda aga mitte ainult kogu infoga arvestada, vaid säästab ka juhti mittevajaliku info eest ning laseb kogu vajalikul infol inimesest mööda minna, esitades talle vaid kõige üldistavama, kvintessentsi. Süsteemne lähenemine majanduses on iseenesest tõhus, ilma arvutit kasutamata, uurimismeetodina, samas ei muuda varem avastatud majandusseadusi, vaid õpetab neid paremini kasutama.

4. Analüütilise, simulatsiooni- ja loomuliku modelleerimise meetodid

Simulatsioon on võimas tehnika teaduslikud teadmised, mis asendab uuritava objekti lihtsama objektiga, mida nimetatakse mudeliks. Modelleerimisprotsessi peamisteks sortideks võib pidada selle kahte tüüpi - matemaatilist ja füüsilist modelleerimist. Füüsikalises (looduslikus) modelleerimises asendatakse uuritav süsteem teise sellele vastava materiaalse süsteemiga, mis taastoodab uuritava süsteemi omadused nende füüsikalise olemuse säilitamisega. Seda tüüpi modelleerimise näide on pilootvõrk, mis uurib põhimõttelist võimalust luua võrk, mis põhineb teatud arvutitel, sideseadmetel, operatsioonisüsteemidel ja rakendustel.

Füüsilise modelleerimise võimalused on üsna piiratud. See võimaldab lahendada üksikuid probleeme, määrates väikese arvu süsteemi uuritud parameetrite kombinatsioone. Tõepoolest, arvutivõrgu loomulikul simulatsioonil on peaaegu võimatu kontrollida selle toimimist erinevate sideseadmete – ruuterite, lülitite jne – võimaluste osas. Praktikas on kümmekonna erinevat tüüpi ruuteri kontrollimine seotud mitte ainult suurepäraste probleemidega. vaeva ja aega, aga ka märkimisväärseid materjalikulusid.

Kuid isegi juhtudel, kui võrgu optimeerimine ei muuda seadmete ja operatsioonisüsteemide tüüpe, vaid ainult nende parameetreid, tehakse reaalajas katseid tohutu hulk nende parameetrite kõikvõimalikud kombinatsioonid on lähitulevikus praktiliselt võimatud. Isegi lihtne paketi maksimaalse suuruse muutmine mis tahes protokollis nõuab operatsioonisüsteemi ümberseadistamist sadades võrgus olevates arvutites, mis nõuab võrguadministraatorilt palju tööd.

Seetõttu on võrkude optimeerimisel paljudel juhtudel eelistatav kasutada matemaatilist modelleerimist. Matemaatiline mudel on seoste kogum (valemid, võrrandid, võrratused, loogilised tingimused), mis määravad süsteemi oleku muutumise protsessi sõltuvalt selle parameetritest, sisendsignaalidest, algtingimustest ja ajast.

Simulatsioonimudelid on matemaatiliste mudelite eriklass. Sellised mudelid on arvutiprogramm, mis taasesitab samm-sammult reaalses süsteemis toimuvaid sündmusi. Mis puutub arvutivõrkudesse, siis nende simulatsioonimudelid reprodutseerivad rakenduste poolt sõnumite genereerimise protsesse, sõnumite jagamist teatud protokollide pakettideks ja raamideks, operatsioonisüsteemis sõnumite, pakettide ja kaadrite töötlemisega seotud viivitusi, juurdepääsu hankimise protsessi arvutist jagatud võrgukeskkonda, sissetulevate pakettide töötlemise protsess ruuteri poolt jne. Võrgu simuleerimisel ei ole vaja osta kalleid seadmeid – selle tööd simuleerivad programmid, mis reprodutseerivad täpselt sellise võrgu kõiki põhiomadusi ja parameetreid. varustus.

Simulatsioonimudelite eeliseks on võimalus asendada reaalajas uuritavas süsteemis toimuv sündmuste muutumise protsess programmi tempos kiirendatud sündmuste muutmise protsessiga. Selle tulemusel saate mõne minutiga taasesitada võrgu toimimist mitme päeva jooksul, mis võimaldab hinnata võrgu toimivust paljudes muutuvates parameetrites.

Simulatsioonimudeli tulemuseks on käimasolevate sündmuste jälgimise käigus kogutud statistilised andmed võrgu olulisemate omaduste kohta: reaktsiooniajad, kanalite ja sõlmede kasutusmäärad, pakettide kadumise tõenäosus jne.

On olemas spetsiaalsed simulatsioonikeeled, mis hõlbustavad tarkvaramudeli loomise protsessi võrreldes universaalsete programmeerimiskeelte kasutamisega. Simulatsioonikeelte näideteks on sellised keeled nagu SIMULA, GPSS, SIMDIS.

Samuti on olemas simulatsioonimodelleerimissüsteemid, mis keskenduvad kitsale uuritavatele süsteemide klassile ja võimaldavad koostada mudeleid ilma programmeerimata.

testi küsimused

LOENG 4

Matemaatilise modelleerimise mõiste ja eesmärk

Under mudel(ladinakeelsest moodulist - mõõt, valim, norm) mõistame sellist materiaalselt või vaimselt kujutatud objekti, mis tunnetusprotsessis (uuringus) asendab algse objekti, säilitades selle mõned tüüpilised tunnused, mis on selle uurimuse jaoks olulised. . Mudeli koostamise ja kasutamise protsessi nimetatakse modelleerimiseks.

olemus matemaatiline modelleerimine (MM) on asendada uuritav objekt (protsess) adekvaatse matemaatilise mudeliga ja seejärel uurida selle mudeli omadusi kas analüütiliste meetodite või arvutuslike katsete abil.

Mõnikord on rangete määratluste andmise asemel kasulikum kirjeldada konkreetset mõistet konkreetse näitega. Seetõttu illustreerime ülaltoodud MM-i definitsioone konkreetse impulsi arvutamise ülesande näitel. 1960. aastate alguses seisid teadlased silmitsi ülesandega töötada välja kõrgeima eriimpulsiga raketikütus. Raketi liikumise põhimõte on järgmine: raketipaakide vedelkütus ja oksüdeerija juhitakse mootorisse, kus need põletatakse ning põlemissaadused suunatakse atmosfääri. Impulsi jäävuse seadusest järeldub, et sel juhul liigub rakett kiirusega.

Kütuse eriimpulss on saadud impulss jagatud kütuse massiga. Katsed olid väga kallid ja viisid seadmete süstemaatilise kahjustamiseni. Selgus, et lihtsam ja odavam on arvutada ideaalgaaside termodünaamilisi funktsioone, arvutada nende abil välja eralduvate gaaside koostis ja plasma temperatuur ning seejärel eriimpulss. See tähendab, et viia läbi kütuse põlemisprotsessi MM.

Matemaatilise modelleerimise (MM) mõiste on tänapäeval üks levinumaid teaduskirjanduses. Valdav enamus tänapäevaseid lõputöid ja väitekirju on seotud sobivate matemaatiliste mudelite väljatöötamise ja kasutamisega. Arvuti-MM on tänapäeval paljude inimtegevuse valdkondade (teadus, tehnoloogia, majandus, sotsioloogia jne) lahutamatu osa. See on tänapäevase infotehnoloogia valdkonna spetsialistide nappuse üheks põhjuseks.

Matemaatilise modelleerimise kiire kasv on tingitud arvutitehnoloogia kiirest paranemisest. Kui veel 20 aastat tagasi tegeles arvuliste arvutustega vaid väike osa programmeerijaid, siis nüüd on tänapäevaste arvutite mälumaht ja kiirus, mis võimaldavad lahendada matemaatilise modelleerimise ülesandeid, kättesaadavad kõigile spetsialistidele, ka ülikooli üliõpilastele.

Igas distsipliinis antakse esmalt nähtuste kvalitatiivne kirjeldus. Ja siis - kvantitatiivne, sõnastatud seaduste kujul, mis loovad seosed erinevate suuruste (väljatugevus, hajumise intensiivsus, elektronide laeng, ...) vahel matemaatiliste võrrandite kujul. Seetõttu võime öelda, et igas distsipliinis on sama palju teadust, kui palju on selles matemaatikuid, ja see asjaolu võimaldab meil matemaatilise modelleerimise meetodite abil edukalt lahendada paljusid probleeme.

See kursus on mõeldud rakendusmatemaatika eriala üliõpilastele, kes teevad lõputöid erinevates valdkondades töötavate juhtivate teadlaste juhendamisel. Seetõttu on see kursus vajalik mitte ainult õppematerjalina, vaid ka lõputöö ettevalmistajana. Selle kursuse õppimiseks vajame järgmisi matemaatika jaotisi:

1. Matemaatilise füüsika võrrandid (Kanti mehaanika, gaas ja hüdrodünaamika)

2. Lineaaralgebra (elastsuse teooria)

3. Skalaar- ja vektorväljad (väljateooria)

4. Tõenäosusteooria ( kvantmehaanika, statistiline füüsika, füüsikaline kineetika)

5. Eriomadused.

6. Tensoranalüüs (elastsuse teooria)

7. Matemaatiline analüüs

MM loodusteadustes, inseneriteaduses ja majanduses

Vaatleme esmalt loodusteaduste, tehnoloogia, majanduse erinevaid harusid, milles kasutatakse matemaatilisi mudeleid.

loodusteadus

Loodusteaduse põhiseadused kehtestav füüsika on juba ammu jagatud teoreetiliseks ja eksperimentaalseks. Kirjeldavate võrrandite tuletamine füüsikalised nähtused, tegeleb teoreetilise füüsikaga. Seega võib ka teoreetilist füüsikat pidada üheks matemaatilise modelleerimise valdkonnaks. (Tuletame meelde, et esimese füüsikateemalise raamatu pealkirja - I. Newtoni "Loodusfilosoofia matemaatilised põhimõtted" saab tänapäeva keelde tõlkida kui "Loodusteaduste matemaatilised mudelid".) Saadud seaduste põhjal tehakse tehnilisi arvutusi. välja, mida viiakse läbi erinevates instituutides, firmades, projekteerimisbüroodes. Need organisatsioonid töötavad välja tehnoloogiaid kaasaegsete teadusmahukate toodete valmistamiseks.Seega hõlmab teadusmahukate tehnoloogiate mõiste arvutusi vastavate matemaatiliste mudelite abil.

Üks ulatuslikumaid füüsika harusid - klassikaline mehaanika(mõnikord nimetatakse seda osa teoreetiliseks või analüütiliseks mehaanikaks). See teoreetilise füüsika osa uurib kehade liikumist ja vastastikmõju. Arvutused teoreetilise mehaanika valemite abil on vajalikud kehade pöörlemise uurimisel (inertsmomentide arvutamine, gürostaadid - seadmed, mis hoiavad pöörlemisteljed paigal), keha liikumise analüüsimisel vaakumis jne Üks osadest Teoreetilise mehaanika teooriat nimetatakse stabiilsusteooriaks ja see on paljude lennukite, laevade ja rakettide liikumist kirjeldavate matemaatiliste mudelite aluseks. Praktilise mehaanika sektsioone - kursusi "Masinate ja mehhanismide teooria", "Masinate osad" õpivad peaaegu kõigi tehnikaülikoolide (sh MGIU) üliõpilased.

Elastsuse teooria- osa sektsioonist pidev mehaanika, mis eeldab, et elastse keha materjal on homogeenne ja kogu keha mahus pidevalt jaotunud, nii et väikseimal kehast välja lõigatud elemendil on samad füüsikalised omadused kui kogu kehal. Elastsuse teooria rakendamist - kursust "materjalide tugevus" õpivad kõigi tehnikaülikoolide (sh MGIU) üliõpilased. See jaotis on vajalik kõigi tugevusarvutuste jaoks. Siin on laevade, lennukite, rakettide kerede tugevuse arvutamine, hoonete teras- ja raudbetoonkonstruktsioonide tugevuse arvutamine ja palju muud.

Gaas ja hüdrodünaamika, samuti elastsuse teooria - osa lõigust pidev mehaanika, arvestab vedeliku ja gaasi liikumisseadustega. Gaasi ja hüdrodünaamika võrrandid on vajalikud kehade liikumise analüüsimisel vedelas ja gaasilises keskkonnas (satelliidid, allveelaevad, raketid, kestad, autod), raketi- ja lennukimootorite düüsidest gaasi väljavoolu arvutamisel. Vedeliku dünaamika praktiline rakendamine – hüdraulika (pidur, rool jne)

Eelmistes mehaanika osades käsitleti kehade liikumist makrokosmoses ja makrokosmose füüsikalised seadused ei kehti mikrokosmoses, milles liiguvad aineosakesed - prootonid, neutronid, elektronid. Siin toimivad hoopis teised põhimõtted ja mikromaailma kirjeldamiseks on seda vaja kvantmehaanika. Põhivõrrand, mis kirjeldab mikroosakeste käitumist, on Schrödingeri võrrand: . Siin on Hamiltoni operaator (Hamiltoni operaator). Ühemõõtmelise osakeste liikumisvõrrandi jaoks https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-potentsiaalne energia. Selle võrrandi lahendus on energia omaväärtuste ja omafunktsioonide hulk..gif" width="55" height="24 src=">– tõenäosustihedus. Kvantmehaanilisi arvutusi on vaja uute materjalide (mikroskeemide) väljatöötamiseks, laserite loomiseks, spektraalanalüüsi meetodite väljatöötamiseks jne.

Lahendatud on suur hulk ülesandeid kineetika osakeste liikumise ja vastastikmõju kirjeldamine. Siin ja difusioon, soojusülekanne, plasma teooria - aine neljas olek.

statistiline füüsika arvestab osakeste ansambleid, võimaldab öelda ansambli parameetrite kohta, lähtudes üksikute osakeste omadustest. Kui ansambel koosneb gaasimolekulidest, siis statistilise füüsika meetoditega tuletatud ansambli omadusteks on keskkoolist hästi tuntud gaasi oleku võrrandid: https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-gaasi molekulmass. K on Rydbergi konstant. Statistilisi meetodeid kasutatakse ka metallide lahuste, kristallide ja elektronide omaduste arvutamiseks. Statistilise füüsika MM on termodünaamika teoreetiline alus, mis on mootorite, soojusvõrkude ja jaamade arvutamise aluseks.

Väljateooria kirjeldab MM-meetoditega mateeria üht põhivormi – välja. Sel juhul on esmatähtis elektromagnetväljad. Võrrandid elektromagnetväli(elektrodünaamika) tuletas Maxwell:, , , . Siin ja https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - laengu tihedus, - voolutihedus. Leviarvutuste aluseks on elektrodünaamilised võrrandid elektromagnetlained vajalik kirjeldada raadiolainete levikut (raadio, televisioon, mobiilside), selgitada radarijaamade tööd.

Keemiat saab esindada kahes aspektis, tuues esile deskriptiivse keemia - keemiliste tegurite avastamise ja nende kirjeldamise - ning teoreetilise keemia - teooriate väljatöötamise, mis võimaldavad väljakujunenud tegureid üldistada ja esitada need konkreetse süsteemi kujul (L. Pauling) . Teoreetilist keemiat nimetatakse ka füüsikaliseks keemiaks ja see on sisuliselt füüsika haru, mis uurib aineid ja nende koostoimeid. Seetõttu kehtib kõik füüsika kohta öeldu täielikult keemia kohta. Füüsikalise keemia osadeks saavad olema termokeemia, mis uurib reaktsioonide soojusmõjusid, keemilist kineetikat (reaktsioonikiirused), kvantkeemiat (molekulide struktuuri). Samas on keemiaprobleemid äärmiselt keerulised. Nii kasutatakse näiteks kvantkeemia - aatomite ja molekulide ehituse teaduse - probleemide lahendamiseks programme, mis on mahult võrreldavad riigi õhutõrjeprogrammidega. Näiteks UCl4 molekuli kirjeldamiseks, mis koosneb 5 aatomituumast ja +17 * 4) elektronist, peate üles kirjutama liikumisvõrrandi - võrrandid osatuletistes.

Bioloogia

Matemaatika jõudis bioloogiasse tõeliselt alles 20. sajandi teisel poolel. Esimesed katsed bioloogilisi protsesse matemaatiliselt kirjeldada on seotud populatsioonidünaamika mudelitega. Populatsioon on sama liigi isendite kogukond, mis hõivab Maa teatud ruumipiirkonna. See matemaatilise bioloogia valdkond, mis uurib populatsiooni suuruse muutumist erinevates tingimustes (konkureerivate liikide, kiskjate, haiguste jne olemasolu), toimis ka matemaatilise testimispaigana, millel olid matemaatilised mudelid erinevates bioloogia valdkondades. esitati". Sealhulgas evolutsiooni, mikrobioloogia, immunoloogia ja muude rakupopulatsioonidega seotud valdkondade mudelid.
Kõige esimene kuulus modell, mis on sõnastatud bioloogilises sõnastuses, on kuulus Fibonacci seeria (iga järgnev arv on kahe eelneva summa), mida Pisa päritolu Leonardo tsiteerib oma töös 13. sajandil. See on numbriseeria, mis kirjeldab iga kuu sündivate küülikupaaride arvu, kui küülikud hakkavad sigima alates teisest kuust ja toodavad iga kuu paari küülikuid. Rida tähistab numbrite jada: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

8, 13, …

Teine näide on ioonsete transmembraansete transpordiprotsesside uurimine tehislikul kahekihilisel membraanil. Siin on selleks, et uurida poori tekkeseadusi, mille kaudu ioon läbib membraani rakku, luua mudelsüsteem, mida saab eksperimentaalselt uurida ja mille kohta saab koostada hästi väljatöötatud füüsikalise kirjelduse. kasutatud.

MM-i klassikaline näide on ka Drosophila populatsioon. Veelgi mugavam mudel on viirused, mida saab katseklaasis paljundada. Bioloogia modelleerimismeetoditeks on süsteemide dünaamilise teooria meetodid ning vahenditeks diferentsiaal- ja diferentsiaalvõrrandid, diferentsiaalvõrrandite kvalitatiivse teooria meetodid, simulatsiooni modelleerimine.
Bioloogia modelleerimise eesmärgid:
3. Süsteemi elementide interaktsiooni mehhanismide selgitamine
4. Mudeli parameetrite tuvastamine ja kontrollimine katseandmete abil.
5. Süsteemi (mudeli) stabiilsuse hindamine.

6. Süsteemi käitumise ennustamine erinevate välismõjude korral, erinevaid viise juhtimine ja nii edasi.
7. Süsteemi optimaalne juhtimine vastavalt valitud optimaalsuse kriteeriumile.

Tehnika

Tehnoloogia täiustamisega tegeleb suur hulk spetsialiste, kes oma töös tuginevad teadusuuringute tulemustele. Seetõttu on tehnoloogia MM-id samad, mis loodusteaduste MM, millest oli juttu eespool.

Majandus ja sotsiaalsed protsessid

On üldtunnustatud, et matemaatilist modelleerimist kui makromajanduslike protsesside analüüsimeetodit kasutas esmakordselt kuningas Louis XV arst dr. François Quesnay, kes 1758. aastal avaldas teose "Majandustabel". Selles töös tehti esimene katse rahvamajandust kvantitatiivselt kirjeldada. Ja 1838. aastal raamatus O. Cournot"Rikkuse teooria matemaatiliste põhimõtete uurimine" kvantitatiivseid meetodeid kasutati esmalt kaupade turul konkurentsi analüüsimiseks erinevates turuolukordades.

Laialt on tuntud ka Malthuse rahvastikuteooria, milles ta pakkus välja idee, et rahvastiku juurdekasv pole kaugeltki alati soovitav ning see kasv on kiirem kui kasvavad võimalused elanikkonna toiduga varustamiseks. Sellise protsessi matemaatiline mudel on üsna lihtne: Olgu - rahvastiku kasv ajas https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> rahvaarv oli võrdne .-ga ja on koefitsiendid, võttes arvesse sündimust ja suremust (in/aastas).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Instrumendi- ja matemaatilised meetodid" href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">matemaatilisi analüüsimeetodeid (näiteks in viimastel aastakümnetel humanitaarteadustes ilmusid kultuuri arengu matemaatilised teooriad, ehitati ja uuriti mobilisatsiooni matemaatilisi mudeleid, sotsiaalkultuuriliste protsesside tsüklilist arengut, rahva ja valitsuse interaktsiooni mudelit, võidurelvastumise mudelit jne. ).

Kõige üldisemalt võib sotsiaal-majanduslike protsesside MM-protsessi tinglikult jagada neljaks etapiks:

hüpoteeside süsteemi sõnastamine ja kontseptuaalse mudeli väljatöötamine; arengut matemaatiline mudel; mudelarvutuste tulemuste analüüs, mis sisaldab nende võrdlemist praktikaga; uute hüpoteeside püstitamine ja mudeli täpsustamine arvutuste tulemuste ja praktiliste andmete lahknevuse korral.

Pange tähele, et matemaatilise modelleerimise protsess on reeglina tsükliline, kuna isegi suhteliselt lihtsad protsessid harva on võimalik esimesest sammust koostada adekvaatne matemaatiline mudel ja valida selle täpsed parameetrid.

Praegu käsitletakse majandust kui kompleksset arenevat süsteemi, mille kvantitatiivseks kirjeldamiseks kasutatakse erineva keerukusastmega dünaamilisi matemaatilisi mudeleid. Üks makromajandusliku dünaamika uurimisvaldkondi on seotud suhteliselt lihtsate mittelineaarsete simulatsioonimudelite konstrueerimise ja analüüsiga, mis kajastavad erinevate allsüsteemide – tööturg, kaubaturg, finantssüsteem, looduskeskkond jne – koosmõju.

Katastroofide teooria areneb edukalt. See teooria käsitleb küsimust, millistel tingimustel põhjustab mittelineaarse süsteemi parameetrite muutumine süsteemi olekut iseloomustava punkti faasiruumis liikumise tõmbepiirkonnast esialgsesse tasakaaluasendisse. tõmme teise tasakaaluasendi poole. Viimane on väga oluline mitte ainult tehniliste süsteemide analüüsiks, vaid ka sotsiaal-majanduslike protsesside jätkusuutlikkuse mõistmiseks. Sellega seoses leiud mittelineaarsete mudelite uurimise tähtsusest juhtimises. 1990. aastal ilmunud raamatus "Katastroofide teooria" kirjutab ta eelkõige: "... praegune ümberkorraldus on suuresti tingitud sellest, et vähemalt mõned tagasisidemehhanismid (hirm isiku hävingu ees) on tööle hakanud. ."

(mudeli parameetrid)

Reaalsete objektide ja nähtuste mudelite ehitamisel puututakse sageli kokku teabepuudusega. Uuritava objekti puhul on erineva ebakindlusega teada omaduste jaotus, löögi parameetrid ja algseisund. Mudeli koostamisel on ebakindlate parameetrite kirjeldamiseks võimalikud järgmised võimalused:

Matemaatiliste mudelite klassifikatsioon

(rakendusmeetodid)

MM-i rakendusmeetodeid saab klassifitseerida alloleva tabeli järgi.

Matemaatilise modelleerimise all mõistavad nad selle sõna kitsamas tähenduses kirjeldust reaalsete füüsikaliste, keemiliste, tehnoloogiliste, bioloogiliste, majanduslike jm protsesside võrrandite ja ebavõrdsuste kujul. Selleks, et kasutada matemaatilisi meetodeid erinevate protsesside analüüsiks ja sünteesiks, on vaja neid protsesse osata kirjeldada matemaatika keeles ehk kirjeldada võrrandi- ja võrratussüsteemi kujul.

Matemaatilised meetodid toimivad objekti kohta uute teadmiste hankimise viisina. See ei kehti ainult süsteemide kohta. Vaadates tagasi, pöördudes teadusajaloo poole, näeb teadlane, et kogu teaduse dünaamikat võib vaadelda kui pidevat uute, arenenumate ja võimsamate mudelite ehitamise protsessi. Arusaam, et "kõik teadmised on simulatsioon" (N.Amosov), on juurdunud. Üldise süsteemiteooria mõjul toimus ümbermõtestamine, ümberhindamine ja klassikalised ideed. Matemaatilise modelleerimise mõistet hakati tõlgendama nii laialt, et see hõlmas kogu teadmiste formaliseerimist ja matematiseerimist. " Matemaatiline mudel on vaid spetsiaalne kirjeldamismeetod, mis võimaldab analüüsimiseks kasutada matemaatika formaalset loogilist aparaati."(Moiseev N.N., 1973).

Kuid keeruliste ja suurte süsteemide mudelid on põhimõtteliselt ja kvalitatiivselt midagi muud. Analüütilisest, vormilis-loogilisest aparaadist siin enam ei piisa. Antud töö raames mõistetakse matemaatilise mudeli all igasugust matemaatilist konstruktsiooni, mis on suur ja/või keeruline dünaamiline süsteem ning millel on uuritava süsteemi (algsüsteemi) suhtes struktuur-funktsionaalne isomorfismi omadus.

Modelleerimisel ja matemaatiliste meetoditega kvantitatiivse või kvalitatiivse tulemuse saamisel on sügav erinevus. Matemaatika kasutamine saab võimalikuks siis, kui selgub, mida ja mis eesmärgil matemaatiliste meetoditega määrata, hinnata, mõõta, mida ja kuidas töödelda. Mudel ei täida neid eesmärke. Matemaatiline modelleerimine ei ole matemaatilise tööriista rakendamine objektile, see ei ole konkreetsete probleemide lahendamine matemaatiliste vahenditega. See on uuritava objektiga isofunktsionaalse abstraktse objekti konstrueerimine formaalsete meetodite ja vahenditega kvantitatiivse ja kvalitatiivse analüüsi matemaatiliste meetodite hilisemaks rakendamiseks. Samas annab matemaatika kui keele (metateooria) kasutamine modelleerimisel saadud järeldustele tõestusjõu. Mudelite koostamise tegevus ei kuulu matemaatika alla ja seda teostavad (peaksid tegema) mitte matemaatikud, vaid teatud teadmiste valdkonna spetsialistid.

Süsteemimudeli ülesehitamiseks on vaja neid tähenduslikke empiirilisi ideid, neid kirjeldavaid teadusi, mis eelnevad formaliseeritud teaduste tekkele. Need kirjeldused ei sisaldu formaliseeritud teaduses komponentidena, vaid hõlbustavad ainult formaliseerimisprotsessi, rikastavad formaliseerimise heuristlikke võimalusi. Mudel ei nõua modelleeritava objekti eelkirjeldust, sest see ise on kirjelduse vorm.

Mudeli ja tegelikkuse suhe erineb tegelikkuse ja matemaatiline valem. Valem on hieroglüüf, reaalsuse märk. Mudel on reaalsus ise. Võib vastu vaielda, et füüsik või matemaatik tunnetab suurepäraselt valemi taga peituvat dünaamikat, tegelikke seoseid, ei taju seda hieroglüüfina ning pealegi pole tänapäeva matemaatika kaugeltki lihtne ja mitte ainult valem. Ja ometi ei suuda teadlane valemitega mõelda. Teine asi on mudel. Tal on dünaamikat, ta elab (mitte ainult kujundlikult, mõnikord ka sisse sõna otseses mõttes sõnad). Uurija oskab mõelda mudelites, ta saab võimaluse kujundlikuks mõtlemiseks. Modellimaailmas sulanduvad kunstiline ja loogiline reaalsustaju.

Matemaatiline modelleerimine ei välista klassikalise matemaatika kasutamist, pealegi saab matemaatika mudeli osana läbitungimise jõu ja universaalsuse, millest ta klassikalisel ajastul ilma jäi.

Kui vaadelda mõnda objekti kui tervikut, mis on antud selle väliste omaduste järgi, saame tõhusalt kasutada analüütilisi kirjeldamismeetodeid väljaspool seda tervikut toimuvate protsesside jaoks. Aga niipea, kui seame ülesandeks kirjeldada suure ja/või keerulise süsteemi sisemist kirjeldust, kirjeldada selle osade, elementide ja alamsüsteemide vahelisi vastasmõjusid klassikalise matemaatika meetoditega, puutume kohe kokku ületamatute raskustega.

Teisest küljest ei too katse kirjeldada teatud süsteemi protseduuriliste meetoditega üldiselt, tungimata selle sisemisse struktuuri, selle struktuuri ja elementide funktsioonidesse, reeglina märkimisväärse tulemuseni. Igal meetodil on oma koht.

Analüütiliste struktuuride matemaatikas peame esmalt aru saama ja seejärel kirjeldama. Modelleerimisel, algoritmiliste protsesside matemaatikas, muutub sageli mõistmise vahendiks juba arusaamatu kirjeldamise protsess.

Uurimismetoodikana ühendab matemaatiline modelleerimine fundamentaalsete probleemide lahendamiseks erinevate teadusharude kogemusi loodusest ja ühiskonnast, rakendusmatemaatikast, arvutiteadusest ja süsteemiprogrammeerimisest. Keerulise olemusega objektide matemaatiline modelleerimine - ühest otsast lõpuni arendustsükkel alates fundamentaaluuringud probleeme objekti jõudlusnäitajate konkreetsete numbriliste arvutustega. Arendustöö tulemuseks on matemaatiliste mudelite süsteem, mis kirjeldab objekti funktsioneerimise kvalitatiivselt heterogeenseid mustreid ja selle kui terviku evolutsiooni kompleksse süsteemina erinevates tingimustes. Arvutuskatsed matemaatiliste mudelitega annavad lähteandmeid objekti jõudlusnäitajate hindamiseks. Seetõttu on matemaatiline modelleerimine kui suurprobleemide teadusliku ekspertiisi korraldamise metoodika rahvamajanduslike lahenduste väljatöötamisel hädavajalik. (Esiteks puudutab see majandussüsteemide modelleerimist). Oma põhiolemuselt on matemaatiline modelleerimine meetod uute keerukate probleemide lahendamiseks, seega peaksid matemaatilise modelleerimise uuringud olema kõverast ees. Eelnevalt on vaja välja töötada uued meetodid, koolitada personali, kes oskab neid meetodeid rakendada teadmistega uute praktiliste probleemide lahendamiseks. Matemaatiline mudel võib tekkida kolmel viisil:1. Reaalse protsessi vahetu uurimise tulemusena. Selliseid mudeleid nimetatakse fenomenoloogilisteks.2. Mahaarvamise protsessi tulemusena. Uus mudel on mingi üldmudeli erijuhtum. Selliseid mudeleid nimetatakse asümptootilisteks.3. Induktsiooniprotsessi tulemusena. Uus mudel on elementaarmudelite üldistus. Selliseid mudeleid nimetatakse ansamblimudeliteks. Modelleerimisprotsess algab lihtsustatud protsessi modelleerimisega, mis ühelt poolt peegeldab peamisi kvalitatiivseid nähtusi, teisalt aga võimaldab üsna lihtsat matemaatilist kirjeldamist. Uurimistöö süvenedes ehitatakse uusi mudeleid, mis kirjeldavad nähtust üksikasjalikumalt. Tegurid, mida selles etapis peetakse teisejärguliseks, jäetakse kõrvale. Kuid uuringu järgmistes etappides, kui mudel muutub keerukamaks, võib need arvesse võtta. Sõltuvalt uuringu eesmärgist võib sama tegurit pidada peamiseks või sekundaarseks teguriks Matemaatiline mudel ja reaalne protsess ei ole identsed. Reeglina koostatakse matemaatiline mudel mõningase lihtsustamise ja idealiseerimisega. See kajastab tegelikku uurimisobjekti vaid ligikaudselt ja reaalse objekti matemaatiliste meetoditega uurimise tulemused on ligikaudsed. Uuringu täpsus sõltub mudeli ja objekti adekvaatsusastmest ning rakendatud arvutusmatemaatika meetodite täpsusest. Matemaatiliste mudelite koostamise skeem on järgmine:1. Uuritava parameetri või funktsiooni valik.2. Seaduse valik, millele see väärtus allub.3. Piirkonna valik, kus soovite seda nähtust uurida.

Teoreetiline distsipliin muutub täppisteadus kui see toimib kvantitatiivsete omadustega. Mudeli kvalitatiivsele kirjeldamisele järgneb abstraktsiooni teine ​​faas - mudeli kvantitatiivne kirjeldamine. Isegi Galileo Galilei ütles, et loodusraamat on kirjutatud matemaatika keeles. Immanuel Kant kuulutas, et "igas teaduses on sama palju tõde kui selles on matemaatikat". Ja David Hilbertile kuuluvad sõnad: "Matemaatika − kogu täppisloodusteaduse aluseks.

Matemaatiline modelleerimine on kognitiivse ja loomingulise tegevuse teoreetiline ja eksperimentaalne meetod, see on nähtuste, protsesside ja süsteemide (originaalobjektide) uurimise ja selgitamise meetod, mis põhineb uute objektide – matemaatiliste mudelite – loomisel.

Matemaatilise mudeli all mõistetakse tavaliselt seoste kogumit (võrrandid, võrratused, loogilised tingimused, operaatorid jne), mis määravad modelleerimisobjekti olekute omadused ja nende kaudu väljundväärtused - reaktsioonid, sõltuvalt algobjekti parameetrid, sisendtoimingud , alg- ja piirtingimused ning aeg.

Matemaatiline mudel võtab reeglina arvesse ainult neid algobjekti omadusi (atribuute), mis kajastavad, määravad ja pakuvad huvi konkreetse uuringu eesmärkide ja eesmärkide seisukohalt. Seetõttu võib olenevalt modelleerimise eesmärkidest sama algobjekti erinevatest vaatenurkadest ja eri aspektidest vaadeldes viimastel olla erinevad matemaatilised kirjeldused ja sellest tulenevalt esindatud erinevate matemaatiliste mudelitega.

Võttes arvesse ülaltoodut, anname matemaatilise mudeli kõige üldisema, kuid samas range konstruktiivse määratluse, mille on sõnastanud P.J. Cohen.

Definitsioon 4.1. Matemaatiline mudel on formaalne süsteem, mis on sümbolite lõplik kogum ja on täielikult ranged reeglid nende sümbolitega töötamine koos konkreetse objekti omaduste tõlgendamisega mingite seoste, sümbolite või konstantide abil.

Nagu ülaltoodud definitsioonist järeldub, viivad lõplik sümbolite kogu (tähestik) ja täiesti ranged reeglid nende sümbolitega opereerimiseks (matemaatikaväljendite "grammatika" ja "süntaks") abstraktsete matemaatiliste objektide (AMO) tekkeni. Ainult tõlgendamine muudab selle abstraktse objekti matemaatiliseks mudeliks.

Matemaatiline mudel on uuritava nähtuse või objekti kohta abstraktsete ideede kvantitatiivne vormistamine.

Matemaatilisi mudeleid saab esitada erinevate matemaatiliste vahenditega:

· reaalsed või komplekssed kogused;

· vektorid, maatriksid;

· geomeetrilised kujutised;

· ebavõrdsused;

· funktsioonid ja funktsionaalsused;

· hulgad, erinevad võrrandid;

· tõenäosusjaotuse funktsioonid, statistika jne.

"Füüsilises teaduses − Thompson kirjutas, − mis tahes objekti uurimisel on esimene ja kõige olulisem samm leida numbrilise hindamise põhimõtted ja praktilised meetodid mõne sellele objektile omase suuruse mõõtmiseks.

Üleminek abstraktsiooni esimesest faasist teise, s.o. füüsilisest mudelist matemaatilisele mudelile vabastab sageli mudeli konkreetsele uuritavale nähtusele või objektile omastest eripäradest. Paljud matemaatilised mudelid, olles kaotanud oma füüsilise või tehnilise kesta, omandavad universaalsuse, s.t. võime kvantitatiivselt kirjeldada protsesse, mis erinevad oma füüsilise olemuse või objektide tehnilise otstarbe järgi. Selles avaldub uurimisobjekti matemaatilise vormistamise üks olulisemaid omadusi, mille tõttu ei ole rakendusülesannete püstitamisel ja lahendamisel enamikul juhtudel vaja uut matemaatilist aparaati luua, vaid saab kasutada olemasolevat. , konkreetse olukorra jaoks vajalike parenduste ja tõlgendustega. Seega saab ühte matemaatilist mudelit kasutada suure hulga konkreetsete spetsiifiliste probleemide lahendamiseks ja selles mõttes väljendab see teooria üht peamist praktilist eesmärki.

Muidugi on füüsilise mudeli koostamine sageli lahutamatult seotud matemaatilise mudeli konstrueerimisega ja mõlemad protsessid esindavad ühe abstraktsiooniprotsessi kahte külge.

Meid ümbritseb kompleks inimese loodud tehnilised objektid (tehnilised süsteemid).. Uue tehnosüsteemi projekteerimise või olemasoleva uuendamise käigus lahendatakse selles süsteemis parameetrite arvutamise ja protsesside uurimise ülesanded. Mitme muutujaga arvutuste tegemisel asendatakse tegelik süsteem mudeliga. Laiemas tähenduses on mudel defineeritud kui objekti kõige olulisemate omaduste peegeldus.

4. määratlus.2 . Tehnilise objekti matemaatiline mudel on matemaatiliste objektide ja nendevaheliste suhete kogum, mis kajastab adekvaatselt uuritava objekti uurijale (insenerile) huvi pakkuvaid omadusi.

Mudelit saab kujutada mitmel viisil.

Mudelivaate vormid

· invariantne - mudeliseoste registreerimine traditsioonilise matemaatilise keele abil, sõltumata mudelvõrrandite lahendamise viisist;

· analüütiline - mudeli registreerimine mudeli algvõrrandite analüütilise lahenduse tulemuse kujul;

· algoritmiline - mudeli ja valitud numbrilise lahendusmeetodi seoste salvestamine algoritmi kujul;

· skemaatiline (graafiline) - mudeli esitus mõnes graafilises keeles (näiteks graafikute, ekvivalentsete ahelate, diagrammide jne keel);

· füüsiline;

· analoog;

Matemaatiline modelleerimine on protsesside kõige universaalsem kirjeldus.

Matemaatilise modelleerimise mõiste hõlmab mõnikord ülesande lahendamise protsessi arvutis (mis põhimõtteliselt ei vasta täielikult tõele, kuna ülesande lahendamine arvutis hõlmab muuhulgas algoritmilise ja tarkvaramudeli loomist, mis rakendab arvutamine vastavalt matemaatilisele mudelile).

Definitsioon 4.3.MM on uuritava objekti kujutis, mis on loodud subjekti-uurija meeles teatud formaalsete (matemaatika) süsteemide abil, et uurida (hinnata) selle objekti teatud omadusi.

Laske mõnel vastu vaielda K on meile huvipakkuv omadus C 0 .

Seda omadust kirjeldava matemaatilise mudeli saamiseks on vaja:

1. Määrake selle omaduse näitaja(need. määrata mingis mõõtesüsteemis omaduse mõõt).

2. Määrake atribuutide loend C 1 , ..., ~ m, millega varaFROM 0 ühendavad mõned suhted (need võivad olla objekti sisemised omadused ja omadused väliskeskkond objekti mõjutamine).

3. Kirjelda väliskeskkonna omadusi valitud vormingusüsteemis välisteguritena х 1 , ..., x n , mis mõjutab soovitud indikaatoritY,objekti sisemised omadused z parameetritena 1 , ..., z r ja arvestamata omadused on määratud arvesse võtmata tegurite rühma.

4. Võimaluse korral uurige omavahelist seostYning kõiki arvesse võetud tegureid ja parameetreid ning koostada matemaatiline kirjeldus(mudel).

Reaalset objekti iseloomustab järgmine funktsionaalne seos selle omaduste näitajate vahel:

Mudel kuvab aga ainult neid algobjekti tegureid ja parameetreid, mis on uuritava probleemi lahendamiseks hädavajalikud. Lisaks sisaldavad oluliste tegurite ja parameetrite mõõtmised peaaegu alati vigu, mis on põhjustatud mõõteriistade ebatäpsusest ja mõne teguri teadmatusest. Seetõttu on MM vaid ligikaudne uuritava objekti omaduste kirjeldus.

Matemaatilise mudeli võib määratleda ka kui abstraktsioonõppis päris üksused.

Tavaliselt erinevad mudelid originaalidest oma sisemiste parameetrite olemuse poolest. Sarnasus seisneb reaktsiooni adekvaatsuses Y mudel ja originaal välistegurite muutmiseks. Seetõttu on üldjuhul matemaatiline mudel funktsioon

kus on mudeli sisemised parameetrid, mis vastavad originaali parameetritele.

Sõltuvalt kasutatavatest uuritavate objektide (nähtuste, protsesside) matemaatilise kirjeldamise meetoditest võivad MM-id olla analüütilised, loogilised, graafilised, automaatsed jne.

Matemaatilise modelleerimise põhiküsimus on küsimus, kui täpselt koostatud MM peegeldab arvesse võetud tegurite, parameetrite ja indikaatori vahelist seost. Y reaalobjekti hinnatud omadus, s.o. kuidas täpselt võrrand (4.2) vastab võrrandile (4.1). Mõnikord võib võrrandi (4.2) saada kohe eksplitsiitsel kujul, näiteks diferentsiaalvõrrandisüsteemi kujul või muude eksplitsiitsete matemaatiliste seoste kujul.

Keerulisematel juhtudel on võrrandi (4.2) vorm teadmata ja uurija ülesandeks on eelkõige see võrrand leida. Samal ajal hõlmab muutuvate parameetrite arv kõiki vaadeldavaid välistegureid ja uuritava objekti parameetreid ning soovitud parameetrid hõlmavad mudeli sisemisi parameetreid, siduvaid tegureid indikaatoriga. Y"kõige usutavam seos. Eksperimendi teooria tegeleb selle probleemi lahendamisega. Selle teooria olemus seisneb selles, et parameetrite väärtuste selektiivsetel mõõtmistel põhinev indikaator Y", leidke parameetrid, mille puhul funktsioon (4.2) peegeldab kõige täpsemalt tegelikku seaduspärasust (4.1).

Mudeli ja simulatsiooni kontseptsioon.

Mudel laiemas mõttes- see on mis tahes mahu, protsessi või nähtuse kujund, mõttelise või väljakujunenud kujutise analoog, kirjeldus, diagramm, joonis, kaart jne, mida kasutatakse selle asendajana või esindajana. Objekti, protsessi või nähtust ennast nimetatakse selle mudeli originaaliks.

Modelleerimine - see on mis tahes objekti või objektide süsteemi uurimine nende mudelite ehitamise ja uurimise kaudu. See on mudelite kasutamine uute objektide omaduste kindlaksmääramiseks või täpsustamiseks ning uute objektide konstrueerimise viiside ratsionaliseerimiseks.

Igasugune teadusliku uurimistöö meetod põhineb modelleerimise ideel, samal ajal kasutatakse teoreetilistes meetodites mitmesuguseid märke, abstraktseid mudeleid ja eksperimentaalsetes ainete mudeleid.

Uuringus asendatakse keeruline reaalne nähtus mõne lihtsustatud koopia või skeemiga, mõnikord on selline koopia ainult meeldejätmiseks ja soovitud nähtuse äratundmiseks järgmisel kohtumisel. Mõnikord peegeldab konstrueeritud skeem mõnda olulist tunnust, võimaldab mõista nähtuse mehhanismi, võimaldab ennustada selle muutumist. Erinevad mudelid võivad vastata samale nähtusele.

Uurija ülesanne on ennustada nähtuse olemust ja protsessi kulgu.

Mõnikord juhtub, et objekt on saadaval, kuid sellega katsetamine on kulukas või toob kaasa tõsiseid keskkonnamõjusid. Teadmised selliste protsesside kohta saadakse mudelite abil.

Oluline punkt on see, et teaduse olemus hõlmab mitte ühe konkreetse nähtuse uurimist, vaid paljude seotud nähtuste uurimist. See eeldab vajadust sõnastada mõned üldised kategoorilised väited, mida nimetatakse seadusteks. Loomulikult jäetakse sellise sõnastuse puhul paljud detailid tähelepanuta. Mustri selgemaks tuvastamiseks minnakse meelega jämedamaks, idealiseerimiseks, skemaatiliseks ehk uuritakse mitte nähtust ennast, vaid selle enam-vähem täpset koopiat või mudelit. Kõik seadused on mudelite seadused ja seetõttu pole üllatav, et aja jooksul leitakse, et mõned teaduslikud teooriad on kasutuskõlbmatud. See ei too kaasa teaduse kokkuvarisemist, kuna üks mudel on asendunud teisega. moodsam.

Erilist rolli teaduses mängivad matemaatilised mudelid, nende mudelite ehitusmaterjal ja tööriistad – matemaatilised mõisted. Neid on tuhandete aastate jooksul kogunenud ja täiustatud. Kaasaegne matemaatika pakub erakordselt võimsaid ja universaalseid uurimisvahendeid. Peaaegu iga matemaatika mõiste, iga matemaatiline objekt, alustades arvu mõistest, on matemaatiline mudel. Uuritava objekti või nähtuse matemaatilise mudeli koostamisel eristatakse selle tunnuste, tunnuste ja detailide neid, mis ühelt poolt sisaldavad enam-vähem täielikku teavet objekti kohta, teisalt aga võimaldavad matemaatilist. vormistamine. Matemaatiline vormistamine tähendab, et objekti tunnuseid ja detaile saab sobitada sobiva adekvaatsega matemaatilised mõisted: arvud, funktsioonid, maatriksid ja nii edasi. Seejärel saab matemaatilisi seoseid kasutades üles kirjutada uuritavas objektis leitud ja eeldatud seosed ja seosed selle üksikute osade ja komponentide vahel: võrdsused, võrratused, võrrandid. Tulemuseks on uuritava protsessi või nähtuse matemaatiline kirjeldus ehk selle matemaatiline mudel.

Matemaatilise mudeli uurimine on alati seotud teatud tegevusreeglitega uuritavatel objektidel. Need reeglid kajastavad põhjuste ja tagajärgede vahelisi seoseid.

Matemaatilise mudeli koostamine on mis tahes süsteemi uurimise või kavandamise keskne etapp. Kogu edasine objekti analüüs sõltub mudeli kvaliteedist. Mudeli koostamine ei ole ametlik protseduur. See sõltub tugevalt uurijast, tema kogemusest ja maitsest, toetub alati teatud katsematerjalile. Mudel peaks olema piisavalt täpne, piisav ja mugav kasutada.

Matemaatika modelleerimine.

Matemaatiliste mudelite klassifikatsioon.

Matemaatilised mudelid võivad ollakindlaks määratud ja stohhastiline .

Deterministlik mudel ja - need on mudelid, milles objekti või nähtust kirjeldavate muutujate vahel luuakse üks-ühele vastavus.

See lähenemine põhineb teadmistel objektide toimimismehhanismi kohta. Modelleeritav objekt on sageli keeruline ja selle mehhanismi dešifreerimine võib olla väga töömahukas ja aeganõudev. Sel juhul toimivad nad järgmiselt: katsed tehakse originaaliga, tulemusi töödeldakse ning modelleeritud objekti mehhanismi ja teooriasse süvenemata luuakse matemaatilise statistika ja tõenäosusteooria meetodeid kasutades seosed objekti kirjeldavad muutujad. Sel juhul hankigestohhastiline mudel . AT stohhastiline mudeli järgi on muutujate vaheline seos juhuslik, mõnikord juhtub see põhimõtteliselt. Väga paljude tegurite mõju, nende kombinatsioon toob kaasa juhusliku muutujate komplekti, mis kirjeldab objekti või nähtust. Režiimide olemuse järgi on mudelstatistiline ja dünaamiline.

Statistilinemudelsisaldab püsiseisundis simuleeritud objekti peamiste muutujate vaheliste seoste kirjeldust, võtmata arvesse parameetrite muutumist ajas.

AT dünaamilinemudelidkirjeldab simuleeritud objekti peamiste muutujate vahelisi seoseid üleminekul ühest režiimist teise.

Mudelid on diskreetne ja pidev, sama hästi kui segatud tüüp. AT pidev muutujad võtavad väärtused teatud intervallist, indiskreetnemuutujad võtavad isoleeritud väärtused.

Lineaarsed mudelid- kõik mudelit kirjeldavad funktsioonid ja seosed on lineaarselt sõltuvad muutujatest jamitte lineaarnemuidu.

Matemaatika modelleerimine.

Nõuded , esitleti mudelite juurde.

1. Mitmekülgsus- iseloomustab kuva täielikkust reaalobjekti uuritavate omaduste mudeliga.

1. Adekvaatsus - võime kajastada objekti soovitud omadusi veaga, mis ei ole suurem kui määratud.
2. Täpsus - hinnatakse reaalse objekti omaduste väärtuste ja nende mudelite abil saadud omaduste väärtuste kokkulangevuse astme järgi.
3. majandust - määratakse arvuti mäluressursside maksumuse ja selle rakendamise ja toimimise aja järgi.

Matemaatika modelleerimine.

Modelleerimise peamised etapid.

1. Probleemi avaldus.

Analüüsi eesmärgi ja selle saavutamise viiside kindlaksmääramine ning ühise lähenemise väljatöötamine uuritavale probleemile. Selles etapis on vaja sügavat arusaamist ülesande olemusest. Mõnikord pole ülesande õigesti püstitamine vähem keeruline kui selle lahendamine. Lavastus ei ole ametlik protsess, üldreeglid ei.

2. Teoreetiliste aluste uurimine ja teabe kogumine originaali objekti kohta.

Selles etapis valitakse või töötatakse välja sobiv teooria. Kui seda ei esine, luuakse objekti kirjeldavate muutujate vahel põhjuslikud seosed. Määratakse sisend- ja väljundandmed, tehakse lihtsustavaid eeldusi.

3. Formaliseerimine.

See seisneb sümbolite süsteemi valimises ja nende kasutamises objekti komponentide vaheliste suhete kirjapanekus matemaatiliste avaldiste kujul. Moodustatakse ülesannete klass, millele saab omistada saadud objekti matemaatilise mudeli. Mõnede parameetrite väärtusi selles etapis ei pruugita veel täpsustada.

4. Lahendusmeetodi valik.

Selles etapis määratakse mudelite lõplikud parameetrid, võttes arvesse objekti töötingimusi. Saadud matemaatilise ülesande jaoks valitakse lahendusmeetod või töötatakse välja spetsiaalne meetod. Meetodi valimisel arvestatakse nii kasutaja teadmisi, tema eelistusi kui ka arendaja eelistusi.

5. Mudeli rakendamine.

Pärast algoritmi väljatöötamist kirjutatakse programm, mida silutakse, testitakse ja leitakse soovitud probleemile lahendus.

6. Saadud info analüüs.

Võrreldakse saadud ja oodatud lahendust, kontrollitakse modelleerimisviga.

7. Reaalobjekti adekvaatsuse kontrollimine.

Mudeliga saadud tulemusi võrreldaksekas objekti kohta olemasoleva infoga või tehakse katse ja võrreldakse selle tulemusi arvutatutega.

Modelleerimisprotsess on iteratiivne. Etappide mitterahuldavate tulemuste korral 6. või 7. viiakse läbi tagasipöördumine ühte algfaasi, mis võib viia ebaõnnestunud mudeli väljatöötamiseni. Seda etappi ja kõiki järgnevaid etappe täpsustatakse ja selline mudeli täpsustamine toimub kuni vastuvõetavate tulemuste saamiseni.

Matemaatiline mudel on reaalse maailma mis tahes klassi nähtuste või objektide ligikaudne kirjeldus matemaatika keeles. Modelleerimise peamine eesmärk on uurida neid objekte ja ennustada tulevaste vaatluste tulemusi. Modelleerimine on aga ka ümbritseva maailma tunnetamise meetod, mis võimaldab seda kontrollida.

Matemaatiline modelleerimine ja sellega seotud arvutikatse on asendamatud juhtudel, kui täismahus katse on ühel või teisel põhjusel võimatu või keeruline. Näiteks on võimatu luua ajaloos täismahus eksperimenti, et kontrollida, “mis juhtuks, kui...” Selle või teise kosmoloogilise teooria õigsust on võimatu kontrollida. Põhimõtteliselt on võimalik, kuid vaevalt mõistlik, korraldada katse mõne haiguse, näiteks katku leviku kohta või läbi viia tuumaplahvatus selle tagajärgi uurida. Seda kõike saab aga teha arvutis, olles eelnevalt uuritavate nähtuste matemaatilised mudelid üles ehitanud.

1.1.2 2. Matemaatilise modelleerimise põhietapid

1) Mudeliehitus. Selles etapis täpsustatakse mõnda "mittematemaatiline" objekt - loodusnähtus, ehitus, majandusplaan, tootmisprotsess jne. Sel juhul on olukorra selge kirjeldamine reeglina keeruline. Esiteks tehakse kindlaks nähtuse peamised tunnused ja nendevaheline seos kvalitatiivsel tasandil. Seejärel formuleeritakse leitud kvalitatiivsed sõltuvused matemaatika keeles ehk ehitatakse matemaatiline mudel. See on modelleerimise kõige keerulisem osa.

2) Matemaatilise ülesande lahendamine, milleni mudel viib. Selles etapis pööratakse palju tähelepanu algoritmide ja numbriliste meetodite väljatöötamisele ülesande lahendamiseks arvutis, mille abil on võimalik tulemus vajaliku täpsusega ja vastuvõetava aja jooksul leida.

3) Saadud tagajärgede tõlgendamine matemaatilisest mudelist.Matemaatika keeles mudelist tuletatud tagajärgi tõlgendatakse selles valdkonnas aktsepteeritud keeles.

4) Mudeli adekvaatsuse kontrollimine.Selles etapis selgitatakse välja, kas katse tulemused ühtivad teatud täpsusega mudelist tulenevate teoreetiliste tagajärgedega.

5) Mudeli muutmine.Selles etapis muutub mudel kas keerulisemaks, et see oleks tegelikkusele adekvaatsem, või lihtsustatakse, et saavutada praktiliselt vastuvõetav lahendus.

1.1.3 3. Mudelite klassifikatsioon

Mudeleid saab klassifitseerida erinevate kriteeriumide järgi. Näiteks võib mudelid vastavalt lahendatavate probleemide olemusele jagada funktsionaalseteks ja struktuurseteks. Esimesel juhul väljendatakse kõik nähtust või objekti iseloomustavad suurused kvantitatiivselt. Samal ajal peetakse mõnda neist sõltumatuteks muutujateks, teisi aga nende suuruste funktsioonideks. Matemaatiline mudel on tavaliselt erinevat tüüpi võrrandite süsteem (diferentsiaal-, algebraline jne), mis loovad kvantitatiivsed seosed vaadeldavate suuruste vahel. Teisel juhul iseloomustab mudel keeruka objekti struktuuri, mis koosneb eraldi osadest, mille vahel on teatud seosed. Tavaliselt ei ole need suhted kvantifitseeritavad. Selliste mudelite koostamiseks on mugav kasutada graafiteooriat. Graaf on matemaatiline objekt, mis kujutab endast tasapinnal või ruumis asuvate punktide (tippude) kogumit, millest osa on ühendatud joontega (servadega).

Lähteandmete ja ennustustulemuste olemuse järgi võib mudelid jagada deterministlikeks ja tõenäosus-statistilisteks. Esimest tüüpi mudelid annavad kindlaid, ühemõttelisi ennustusi. Teist tüüpi mudelid põhinevad statistilisel informatsioonil ja nende abil saadud ennustused on tõenäosuslikku laadi.

MATEMAATILINE MODELLEERIMINE JA ÜLDINE ARVUTUS- VÕI SIMULATSIOONIMUDELID

Nüüd, mil riigis toimub peaaegu üleüldine arvutistamine, võib kuulda erinevate ametite spetsialistide väiteid: "Tutvustame meie riigis arvutit, siis saavad kõik ülesanded kohe lahendatud." See seisukoht on täiesti vale, arvutid ise ei saa ilma teatud protsesside matemaatiliste mudeliteta midagi teha ja universaalsest arvutiseerimisest võib vaid unistada.

Eelneva toetuseks püüame põhjendada modelleerimise, sh matemaatilise modelleerimise vajadust, paljastada selle eelised välismaailma tundmisel ja inimese poolt ümberkujundamisel, tuvastada olemasolevad puudused ja minna ... simulatsioonimodelleerimise juurde, s.t. modelleerimine arvutite abil. Aga kõik on korras.

Kõigepealt vastame küsimusele: mis on mudel?

Mudel on materiaalne või vaimselt kujutatud objekt, mis tunnetusprotsessis (uuringus) asendab originaali, säilitades mõned tüüpilised omadused, mis on selle uuringu jaoks olulised.

Hästi ehitatud mudel on uurimistöö jaoks kättesaadavam kui reaalne objekt. Näiteks katsed riigi majandusega aastal hariduslikel eesmärkidel, on mudel siin asendamatu.

Öeldut kokku võttes saame vastata küsimusele: milleks on mudelid? To

• mõista, kuidas objekt töötab (selle struktuur, omadused, arenguseadused, interaktsioon välismaailmaga).
• õppida objekti (protsessi) juhtima ja parimaid strateegiaid määrama
• ennustada löögi tagajärgi objektile.

Mis on igas mudelis positiivset? See võimaldab saada uusi teadmisi objekti kohta, kuid kahjuks pole see ühel või teisel määral täielik.

Mudelmatemaatika keeles matemaatilisi meetodeid kasutades sõnastatud nimetatakse matemaatiliseks mudeliks.

Selle ehitamise lähtepunktiks on tavaliselt mõni ülesanne, näiteks majanduslik. Laialt levinud, nii kirjeldav kui optimeeriv matemaatiline, iseloomustavad erinevaid majandusprotsessid ja sündmused nagu:

• ressursside eraldamine
• ratsionaalne lõikamine
• transport
• ettevõtete konsolideerimine
• võrgu planeerimine.

Kuidas koostatakse matemaatilist mudelit?

• Esiteks sõnastatakse uuringu eesmärk ja teema.
• Teiseks kõige rohkem olulised omadused selleks otstarbeks sobiv.
• Kolmandaks kirjeldatakse verbaalselt mudeli elementide omavahelisi suhteid.
• Edasi vormistatakse suhe.
• Ja arvutamine toimub vastavalt matemaatilisele mudelile ja saadud lahenduse analüüsile.

Seda algoritmi kasutades saate lahendada mis tahes optimeerimisülesande, sealhulgas mitme kriteeriumi, st. selline, milles taotletakse mitte ühte, vaid mitut eesmärki, sealhulgas vastuolulisi.

Võtame näite. Järjekorra teooria – järjekorra probleem. Peate tasakaalustama kaks tegurit – teenindusseadmete hoolduskulud ja järjekorras püsimise kulud. Pärast mudeli formaalse kirjelduse koostamist tehakse arvutused analüütiliste ja arvutusmeetodite abil. Kui mudel on hea, siis on selle abil leitud vastused modelleerimissüsteemile adekvaatsed, kui halb, siis tuleb seda täiustada ja välja vahetada. Adekvaatsuse kriteeriumiks on praktika.

Optimeerimismudelitel, sealhulgas mitmekriteeriumilistel, on ühine omadus – teada on eesmärk (või mitu eesmärki), mille saavutamiseks tuleb sageli tegeleda keeruliste süsteemidega, kus pole niivõrd optimeerimisülesannete lahendamine, vaid olekute uurimine ja ennustamine. sõltuvalt valitud kontrollistrateegiatest. Ja siin seisame silmitsi raskustega eelmise plaani elluviimisel. Need on järgmised:

• keeruline süsteem sisaldab palju elementide vahelisi seoseid
• reaalset süsteemi mõjutavad juhuslikud tegurid, neid on võimatu analüütiliselt arvesse võtta
• originaali võrdlemise võimalus mudeliga on olemas ainult matemaatilise aparaadi rakendamise alguses ja pärast seda, sest vahetulemustel ei pruugi reaalses süsteemis analooge olla.

Seoses loetletud raskustega, mis tekivad keeruliste süsteemide uurimisel, nõudis praktika paindlikumat meetodit ja see ilmnes - simulatsiooni modelleerimine " Simulatsiooni modelleerimine".

Tavaliselt mõistetakse simulatsioonimudeli all arvutiprogrammide kogumit, mis kirjeldab üksikute süsteemide plokkide toimimist ja nendevahelise interaktsiooni reegleid. Kasutamine juhuslikud muutujad teeb vajalikuks korduvate katsete läbiviimise simulatsioonisüsteemiga (arvutis) ja saadud tulemuste hilisema statistilise analüüsi. Väga levinud näide simulatsioonimudelite kasutamisest on järjekorraprobleemi lahendamine MONTE CARLO meetodil.

Seega on töö simulatsioonisüsteemiga arvutis läbiviidav eksperiment. Mis kasu sellest on?

– suurem lähedus reaalsele süsteemile kui matemaatilised mudelid;

– ploki põhimõte võimaldab kontrollida iga plokki enne selle lisamist üldisesse süsteemi;

– Keerulisema iseloomuga sõltuvuste kasutamine, mida ei kirjelda lihtsad matemaatilised seosed.

Loetletud eelised määravad puudused

– simulatsioonimudeli koostamine on pikem, keerulisem ja kulukam;

– simulatsioonisüsteemiga töötamiseks peab olema klassile sobiv arvuti;

– interaktsioon kasutaja ja simulatsioonimudeli (liidese) vahel ei tohiks olla liiga keeruline, mugav ja hästi tuntud;

- simulatsioonimudeli konstrueerimine eeldab reaalse protsessi sügavamat uurimist kui matemaatiline modelleerimine.

Tekib küsimus: kas simulatsioonimodelleerimine võib asendada optimeerimismeetodeid? Ei, kuid täiendab neid mugavalt. Simulatsioonimudel on programm, mis rakendab mingit algoritmi, mille juhtimise optimeerimiseks lahendatakse esmalt optimeerimisülesanne.

Seega ei suuda ei arvuti ega matemaatiline mudel ega selle eraldi õppimise algoritm lahendada üsna keerulist ülesannet. Kuid koos esindavad nad jõudu, mis võimaldab teil teada saada maailm, haldage seda inimese huvides.

1.2 Mudelite klassifikatsioon

Tehnilise objekti matemaatiline mudel on matemaatiliste objektide ja nendevaheliste suhete kogum, mis kajastab adekvaatselt uuritava objekti uurijale (insenerile) huvi pakkuvaid omadusi.

Mudelit saab kujutada mitmel viisil.

Näidisvormid:

invariant - mudeliseoste salvestamine traditsioonilise matemaatilise keele abil, sõltumata mudelvõrrandite lahendamise meetodist;

analüütiline - mudeli salvestamine mudeli algvõrrandite analüütilise lahenduse tulemuse kujul;

algoritmiline - mudeli ja valitud numbrilise lahendusmeetodi seoste salvestamine algoritmi kujul.

skemaatiline (graafiline) - mudeli esitus mõnes graafilises keeles (näiteks graafikute, ekvivalentsete ahelate, diagrammide jne keel);

füüsiline

analoog

Kõige universaalsem on protsesside matemaatiline kirjeldus – matemaatiline modelleerimine.

Matemaatilise modelleerimise mõiste hõlmab ka ülesande lahendamise protsessi arvutis.

Üldistatud matemaatiline mudel

Matemaatiline mudel kirjeldab seost lähteandmete ja soovitud väärtuste vahel.

Üldistatud matemaatilise mudeli elemendid on (joonis 1): sisendandmete (muutujate) kogum X,Y;

X - muutuvate muutujate hulk; Y - sõltumatud muutujad (konstant);

matemaatiline operaator L, mis määrab nende andmetega tehteid; mida mõistetakse tervikliku matemaatiliste operatsioonide süsteemina, mis kirjeldavad sisend- ja väljundandmete (muutujate) kogumite vahelisi arvulisi või loogilisi seoseid;

väljundandmete (muutujate) kogum G(X,Y); on kriteeriumifunktsioonide kogum, sealhulgas (vajadusel) sihtfunktsioon.

Matemaatiline mudel on kavandatud objekti matemaatiline analoog. Selle objekti adekvaatsuse astme määrab disainiprobleemi lahenduste sõnastus ja õigsus.

Muutujate parameetrite (muutujate) hulk X moodustab muutujaparameetrite ruumi Rx (otsinguruum), mis on meetermõõdustik, mille mõõde n võrdub muutuja parameetrite arvuga.

Sõltumatute muutujate hulk Y moodustab sisendandmete Ry meetrikaruumi. Juhul, kui ruumi Ry iga komponent on antud võimalike väärtuste vahemikuga, kaardistatakse sõltumatute muutujate hulk ruumi Ry mingisse piiratud alamruumi.

Sõltumatute muutujate hulk Y määrab objekti töökeskkonna, s.t. välistingimused, milles projekteeritud objekt töötab

See võib olla:

• - tehnilised kirjeldused objekt, mida projekteerimise käigus ei muudeta;
• - keskkonna füüsilised häired, millega kujundusobjekt interakteerub;
• - taktikalised parameetrid, mida disainiobjekt peaks saavutama.

Vaadeldava üldistatud mudeli väljundandmed moodustavad kriteeriuminäitajate metrilise ruumi RG.

Matemaatilise mudeli kasutamise skeem arvutipõhises projekteerimissüsteemis on näidatud joonisel 2.

Nõuded matemaatilisele mudelile

Matemaatiliste mudelite põhinõuded on adekvaatsuse, universaalsuse ja ökonoomsuse nõuded.

Adekvaatsus. Mudel loetakse adekvaatseks, kui see kajastab antud omadusi vastuvõetava täpsusega. Täpsus on määratletud kui mudeli ja objekti väljundparameetrite väärtuste vastavuse aste.

Mudeli täpsus on objekti erinevates toimimistingimustes erinev. Neid tingimusi iseloomustavad välised parameetrid. Väliste parameetrite alal valige mudeli adekvaatsuse piirkond, kus viga on väiksem kui määratud maksimaalne lubatud viga. Mudeli adekvaatsuse valdkonna määramine on keeruline protseduur, mis nõuab suuri arvutuskulusid, mis kasvavad kiiresti koos välisparameetrite ruumi mõõtmete suurenemisega. See ülesanne võib mahult oluliselt ületada mudeli enda parameetrilise optimeerimise ülesannet, mistõttu ei pruugi seda äsja projekteeritud objektide puhul lahendada.

Universaalsus - määrab peamiselt mudelis arvesse võetud välis- ja väljundparameetrite arv ja koostis.

Mudeli ökonoomsust iseloomustab selle rakendamiseks vajalike arvutusressursside maksumus - arvuti aja ja mälu maksumus.

Nõuete vastuolu mudelile lai ala adekvaatsus, kõrge universaalsus ja kõrge kuluefektiivsus määravad mitmete sama tüüpi objektide mudelite kasutamise.

Mudeli otsimise meetodid

Üldjuhul mudelite hankimine on vormistamata protseduur. Peamised otsused, mis puudutavad matemaatiliste seoste tüübi valikut, kasutatavate muutujate ja parameetrite olemust, teeb kujundaja. Samal ajal algoritmiseeritakse ja lahendatakse arvutis sellised toimingud nagu mudeli parameetrite arvväärtuste arvutamine, piisavuse alade määramine ja muud. Seetõttu teostavad projekteeritud süsteemi elementide modelleerimist tavaliselt spetsiifiliste tehnikavaldkondade spetsialistid traditsiooniliste eksperimentaaluuringute abil.

Elementide funktsionaalsete mudelite saamise meetodid jagunevad teoreetilisteks ja eksperimentaalseteks.

Teoreetilised meetodid põhinevad objektis toimuvate protsesside füüsikaliste seaduspärasuste uurimisel, nendele seaduspärasustele vastava matemaatilise kirjelduse määramisel, lihtsustavate eelduste põhjendamisel ja aktsepteerimisel, vajalike arvutuste tegemisel ning tulemuse viimisel mudelesituse aktsepteeritud kujule. .

Eksperimentaalsed meetodid põhinevad objekti omaduste väliste ilmingute kasutamisel, mis on fikseeritud sama tüüpi objektide töötamise või sihipäraste katsete käigus.

Vaatamata paljude operatsioonide heuristilisele olemusele on modelleerimisel mitmeid ühiseid sätteid ja tehnikaid erinevate objektide mudelite saamiseks. Piisav üldine iseloom on

makro modelleerimise tehnika,

matemaatilised meetodid katsete planeerimiseks,

algoritmid formaliseeritud toimingute jaoks parameetrite arvväärtuste arvutamiseks ja adekvaatsusalade määramiseks.

Matemaatiliste mudelite kasutamine

Kaasaegsete arvutite arvutusvõimsus koos kõigi süsteemiressursside tagamisega kasutajale, interaktiivse režiimi võimalusega probleemi lahendamisel ja tulemuste analüüsimisel võimaldavad minimeerida probleemi lahendamiseks kuluvat aega.

Matemaatilise mudeli koostamisel peab teadlane:

uurida uuritava objekti omadusi;

oskus eraldada objekti põhiomadused sekundaarsetest;

hinnata tehtud eeldusi.

Mudel kirjeldab seost sisendandmete ja soovitud väärtuste vahel. Algandmetelt soovitud väärtustele liikumiseks vajalike toimingute jada nimetatakse algoritmiks.

Arvuti ülesande lahendamise algoritm on seotud numbrilise meetodi valikuga. Sõltuvalt matemaatilise mudeli esitusviisist (algebraline või diferentsiaalvorm) kasutatakse erinevaid arvulisi meetodeid.

Majandusliku ja matemaatilise modelleerimise olemus seisneb sotsiaalmajanduslike süsteemide ja protsesside kirjeldamises majanduslike ja matemaatiliste mudelite vormis.

Vaatleme majanduslike ja matemaatiliste meetodite klassifitseerimise küsimusi. Need meetodid, nagu eespool märgitud, on majandus- ja matemaatiliste distsipliinide kompleks, mis on majanduse, matemaatika ja küberneetika sulam.

Seetõttu taandatakse majanduslike ja matemaatiliste meetodite klassifikatsioon nende koosseisu kuuluvate teadusharude klassifikatsioonile. Kuigi nende distsipliinide üldtunnustatud klassifikatsiooni ei ole veel välja töötatud, saab majanduslike ja matemaatiliste meetodite koostises teatud lähendusega eristada järgmisi jaotisi:

• * majandusküberneetika: majanduse süsteemianalüüs, majandusinformatsiooni teooria ja juhtimissüsteemide teooria;
• * matemaatiline statistika: selle distsipliini majandusrakendused – valimimeetod, dispersioonanalüüs, korrelatsioonianalüüs, regressioonianalüüs, mitme muutujaga statistiline analüüs, faktoranalüüs, indeksiteooria jne;
• * matemaatiline majandus ja ökonomeetria uurib samu küsimusi kvantitatiivsest küljest: majanduskasvu teooria, tootmisfunktsioonide teooria, sektoritevahelised tasakaalud, rahvamajanduse arvepidamised, nõudluse ja tarbimise analüüs, regionaalne ja ruumiline analüüs, globaalne modelleerimine jne;
• * meetodid optimaalsete otsuste tegemiseks, sh majanduse toimingute uurimine. See on kõige mahukam osa, mis sisaldab järgmisi distsipliine ja meetodeid: optimaalne (matemaatiline) programmeerimine, sealhulgas haru- ja seotud meetodid, võrgu planeerimise ja juhtimise meetodid, programmi sihtmärgi planeerimise ja juhtimise meetodid, varude haldamise teooria ja meetodid, järjekorrateooria, mänguteooria, otsustusteooria ja meetodid, ajakava teooria. Optimaalne (matemaatiline) programmeerimine hõlmab omakorda lineaarset programmeerimist, mittelineaarset programmeerimist, dünaamilist programmeerimist, diskreetset (täisarvulist) programmeerimist, murdosa lineaarset programmeerimist, parameetrilist programmeerimist, eraldatavat programmeerimist, stohhastilist programmeerimist, geomeetrilist programmeerimist;
• * Meetodid ja distsipliinid, mis on omased nii tsentraalsele plaanimajandusele kui ka turu(konkurentsi)majandusele. Esimesed hõlmavad majanduse optimaalse toimimise teooriat, optimaalset planeerimist, optimaalse hinnakujunduse teooriat, logistikamudeleid jne. Teised on meetodid, mis võimaldavad välja töötada vaba konkurentsi mudeleid, kapitalistliku tsükli mudeleid, monopoli mudeleid, mudeleid. indikatiivne planeerimine, ettevõtte teooria mudelid jne.

Paljud tsentraalse plaanimajanduse jaoks välja töötatud meetodid võivad olla kasulikud ka turumajanduse majanduslikus ja matemaatilises modelleerimises;

* majandusnähtuste eksperimentaalse uurimise meetodid. Nende hulka kuuluvad reeglina matemaatilised analüüsimeetodid ja majanduskatsete planeerimine, masinsimulatsiooni (simulatsiooni) meetodid, ärimängud. See hõlmab ka eksperthinnangute meetodeid, mis on välja töötatud selliste nähtuste hindamiseks, mida ei saa otseselt mõõta.

Pöördugem nüüd majanduslike ja matemaatiliste mudelite ehk teisisõnu sotsiaalmajanduslike süsteemide ja protsesside matemaatiliste mudelite klassifitseerimise küsimuste juurde.

Ühtset klassifikatsioonisüsteemi selliste mudelite jaoks praegu samuti ei eksisteeri, kuid tavaliselt eristatakse enam kui kümmet nende klassifikatsiooni põhitunnust ehk klassifikatsioonipealkirja. Vaatame mõnda neist jaotistest.

Üldeesmärgi järgi jagunevad majanduslikud ja matemaatilised mudelid teoreetilisteks ja analüütilisteks, mida kasutatakse majandusprotsesside üldiste omaduste ja mustrite uurimisel, ning rakenduslikeks, mida kasutatakse spetsiifiliste analüüsi-, prognoosi- ja juhtimisprobleemide lahendamisel. Selles õpetuses käsitletakse erinevat tüüpi rakendatud majanduslikke ja matemaatilisi mudeleid.

Modelleerivate objektide liitmisastme järgi jaotatakse mudelid makro- ja mikromajanduslikeks. Kuigi nende vahel pole selget vahet, on neist esimesed mudelid, mis kajastavad majanduse kui terviku toimimist, samas kui mikromajanduslikud mudelid on reeglina seotud selliste majanduse osadega nagu ettevõtted ja ettevõtted.

Vastavalt konkreetsele eesmärgile, s.o loomise ja rakendamise eesmärgile, eristatakse tasakaalumudeleid, mis väljendavad nõuet, et ressursside kättesaadavus vastaks nende kasutamisele; trendimudelid, milles modelleeritava majandussüsteemi areng kajastub selle põhinäitajate trendi (pikaajalise trendi) kaudu; optimeerimismudelid, mille eesmärk on valida teatud arvu tootmis-, turustamis- või tarbimisvõimaluste hulgast parim valik; simulatsioonimudelid, mis on mõeldud kasutamiseks uuritavate süsteemide või protsesside masinasimulatsiooni protsessis jne.

Vastavalt mudelis kasutatava teabe tüübile jagunevad majandus-matemaatilised mudelid analüütilisteks, mis on üles ehitatud a priori teabele, ja tuvastatavateks, mis on üles ehitatud tagantjärele teabele.

Ajategurit arvesse võttes jaotatakse mudelid staatilistele, milles kõik sõltuvused on seotud ühe ajahetkega, ja dünaamilisteks, mis kirjeldavad arengus olevaid majandussüsteeme.

Võttes arvesse määramatuse tegurit, jagatakse mudelid deterministlikeks, kui nendes olevad väljundtulemused on juhtimistoimingutega üheselt määratud, ja stohhastilisteks (tõenäosuslikeks), kui mudeli sisendis on määratud teatud väärtuste komplekt. , võib olenevalt juhusliku teguri toimest saada erinevaid tulemusi.

Majanduslikke ja matemaatilisi mudeleid saab klassifitseerida ka mudelis sisalduvate matemaatiliste objektide omaduste järgi ehk teisisõnu mudelis kasutatava matemaatilise aparaadi tüübi järgi. Selle põhjal koostati maatriksmudelid, lineaarsed ja mittelineaarsed programmeerimismudelid, korrelatsiooni-regressioonimudelid,

Järjekorrateooria mudeli, võrgu planeerimise ja juhtimise mudeli, mänguteooria mudeli jne matemaatilise modelleerimise põhimõisted.

Lõpuks eristatakse uuritavate sotsiaalmajanduslike süsteemide lähenemisviisi tüübi järgi kirjeldavaid ja normatiivseid mudeleid. Kirjeldava (kirjeldava) lähenemisega saadakse mudelid, mis on loodud kirjeldama ja seletama tegelikult vaadeldud nähtusi või ennustama neid nähtusi; Kirjeldavate mudelite näitena võib tuua eelnevalt nimetatud tasakaalu ja trendi mudelid. Normatiivses käsitluses ei huvita mitte see, kuidas majandussüsteem on korraldatud ja areneb, vaid kuidas see peaks olema korrastatud ja toimima teatud kriteeriumide mõttes. Eelkõige on kõik optimeerimismudelid normatiivset tüüpi; Teiseks näiteks võivad olla normatiivsed elatustaseme mudelid.

Vaatleme näiteks sisend-väljundbilansi (EMM IOB) majandus-matemaatilist mudelit. Võttes arvesse ülaltoodud klassifikatsioonipealkirju, on tegemist rakendusliku, makromajandusliku, analüütilise, kirjeldava, deterministliku, tasakaalu-, maatriksmudeliga; On nii staatilisi kui ka dünaamilisi meetodeid.

Lineaarne programmeerimine on optimaalse programmeerimise eriharu. Optimaalne (matemaatiline) programmeerimine on omakorda rakendusmatemaatika haru, mis uurib tingimusliku optimeerimise probleeme. Majandusteaduses tekivad sellised probleemid optimaalsuse põhimõtte praktilisel rakendamisel planeerimisel ja juhtimisel.

Planeerimise ja juhtimise optimaalse lähenemise (optimaalsuse printsiibi) kasutamise vajalik tingimus on paindlikkus, tootmise alternatiivsus ja majanduslikud olukorrad, milles tuleb langetada planeerimis- ja juhtimisotsuseid. Just sellised olukorrad moodustavad reeglina majandusüksuse igapäevase praktika (valik tootmisprogramm, tarnijate külge kinnitamine, marsruutimine, materjalide lõikamine, segude valmistamine jne).

Optimaalsuse põhimõtte olemus on soov valida selline planeerimis- ja juhtimisotsus X = (xi, X2 xn), kus Xu, (y = 1. x) - selle komponendid, mis võtaksid kõige paremini arvesse sisemisi võimalusi ja majandusüksuse tootmistegevuse välistingimused .

Sõnad "parimal viisil" tähendavad siin mingi optimaalsuse kriteeriumi valikut, s.t. mingi majandusnäitaja, mis võimaldab võrrelda teatud planeerimis- ja juhtimisotsuste tõhusust. Traditsioonilised optimaalsuse kriteeriumid: "maksimaalne kasum", "minimaalsed kulud", "maksimaalne kasumlikkus" jne. Sõnad "võtaks arvesse tootmistegevuse sisemisi võimalusi ja väliseid tingimusi" tähendavad, et toote valikule seatakse mitmeid tingimusi. planeerimis- ja juhtimisotsus (käitumine), t .e. X valik tehakse võimalike (lubatavate) lahenduste D teatud piirkonnast; seda ala nimetatakse ka probleemi definitsiooni alaks. optimaalse (matemaatilise) programmeerimise üldülesanne, muidu optimaalse programmeerimisülesande matemaatiline mudel, mille konstrueerimisel (arendamisel) lähtutakse optimaalsuse ja järjepidevuse printsiibist.

Vektorit X (juhtmuutujate kogum Xj, j = 1, n) nimetatakse teostatavaks lahenduseks või optimaalseks programmeerimisülesande plaaniks, kui see rahuldab piirangute süsteemi. Ja seda plaani X (lubatav lahendus), mis annab sihtfunktsiooni f(xi, *2, ..., xn) maksimumi või miinimumi, nimetatakse optimaalse programmeerimisprobleemi optimaalseks plaaniks (optimaalne käitumine või lihtsalt lahendus).

Seega on optimaalse juhtimiskäitumise valik konkreetses tootmissituatsioonis seotud majandusliku ja matemaatilise modelleerimise läbiviimisega järjepidevuse ja optimaalsuse seisukohast ning optimaalse programmeerimise probleemi lahendamisega. Optimaalsed programmeerimisprobleemid kõige rohkem üldine vaade klassifitseeritud vastavalt järgmistele kriteeriumidele.

• 1. Muutujate vahelise seose olemuse järgi --
• a) lineaarne
• b) mittelineaarne.

Juhul a) kõik funktsionaalsed seosed piirangute süsteemis ja sihtfunktsioon on lineaarsed funktsioonid; mittelineaarsuse olemasolu vähemalt ühes nimetatud elemendis viib juhtumini b).

• 2. Muutujate muutumise olemuse järgi --
• a) pidev
• b) diskreetne.

Juhul a) iga kontrollmuutuja väärtused võivad täielikult täita teatud reaalarvude ala; juhul b) kõik või vähemalt üks muutuja võib võtta ainult täisarvulisi väärtusi.

• 3. Võttes arvesse ajategurit -
• a) staatiline
• b) dünaamiline.

Ülesannetes a) toimub modelleerimine ja otsustamine eeldusel, et mudeli elemendid on ajast sõltumatud selle aja jooksul, mille kohta planeerimis- ja juhtimisotsus tehakse. Juhul b) ei saa sellise eeldusega piisavalt põhjendatult nõustuda ja arvesse tuleb võtta ajategurit.

• 4. Vastavalt muutujate kohta teabe saadavusele --
• a) ülesanded täieliku kindluse tingimustes (deterministlikud),
• b) ülesanded puuduliku teabe tingimustes,
• c) ülesanded ebakindluse tingimustes.

Ülesannetes b) on üksikud elemendid tõenäosuslikud suurused, kuid nende jaotusseadused on teada või saab teha täiendavaid statistilisi uuringuid. Juhtumi c) puhul võib teha eelduse juhuslike elementide võimalike tulemuste kohta, kuid tulemuste tõenäosuse kohta järeldust teha ei saa.

• 5. Vastavalt alternatiivide hindamise kriteeriumide arvule -
• a) lihtsad ühe kriteeriumiga ülesanded,
• b) keerulised ja mitmekriteeriumilised ülesanded.

Ülesannetes a) on majanduslikult vastuvõetav kasutada ühte optimaalsuse kriteeriumi või on see võimalik spetsiaalsete protseduuride abil (näiteks "prioriteedi kaalumine")