Leidke geomeetrilise progressiooni nelja esimese arvu summa. Aritmeetilised ja geomeetrilised progressioonid

>>Matemaatika: Geomeetriline progressioon

Lugeja mugavuse huvides on see lõik üles ehitatud täpselt sama plaani järgi, mida järgisime eelmises lõigus.

1. Põhimõisted.

Definitsioon. Arvjada, mille kõik liikmed erinevad 0-st ja mille iga liige, alates teisest, saadakse eelmisest liikmest, korrutades selle sama arvuga, nimetatakse geomeetriliseks progressiooniks. Sel juhul nimetatakse arvu 5 geomeetrilise progressiooni nimetajaks.

Seega on geomeetriline progressioon arvuline jada (b n), mis on suhetega korduvalt määratletud

Kas on võimalik vaadata arvujada ja teha kindlaks, kas see on geomeetriline progressioon? Saab. Kui olete veendunud, et jada mis tahes liikme ja eelmise liikme suhe on konstantne, on teil geomeetriline progressioon.
Näide 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Näide 2.

See on geomeetriline progressioon, millel on
Näide 3.

See on geomeetriline progressioon, millel on
Näide 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

See on geomeetriline progressioon, milles b 1–8, q = 1.

Pange tähele, et see jada on ka aritmeetiline progressioon (vt näide 3 §-st 15).

Näide 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

See on geomeetriline progressioon, milles b 1 = 2, q = -1.

Ilmselt on geomeetriline progressioon kasvav jada, kui b 1 > 0, q > 1 (vt näide 1), ja kahanev jada, kui b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Et näidata, et jada (b n) on geomeetriline progressioon, on mõnikord mugav kasutada järgmist tähistust:

Ikoon asendab fraasi "geomeetriline progressioon".
Märgime ühte kummalist ja samal ajal üsna ilmset geomeetrilise progressiooni omadust:
Kui jada on geomeetriline progressioon, siis ruutude jada, s.o. on geomeetriline progressioon.
Teises geomeetrilises progressioonis on esimene liige võrdne ja võrdne q 2-ga.
Kui geomeetrilises progressioonis jätame kõrvale kõik b n järgnevad terminid, saame lõpliku geomeetrilise progressiooni
Selle jaotise järgmistes lõikudes käsitleme geomeetrilise progressiooni kõige olulisemaid omadusi.

2. Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem.

Mõelge geomeetrilisele progressioonile nimetaja q. Meil on:

Pole raske arvata, et mis tahes arvu n puhul on võrdsus tõene

See on geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem.

Kommenteeri.

Kui olete eelmisest lõigust olulise märkuse lugenud ja sellest aru saanud, proovige valemit (1) tõestada meetodiga matemaatiline induktsioon samamoodi nagu tehti aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemi jaoks.

Kirjutame ümber geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemi

ja tutvustame tähistust: Saame y = mq 2 või täpsemalt,
Argument x sisaldub eksponendis, seega nimetatakse seda funktsiooni eksponentsiaalfunktsiooniks. See tähendab, et geomeetrilist progressiooni võib pidada naturaalarvude hulgal N määratletud eksponentsiaalfunktsiooniks. Joonisel fig. 96a kujutab funktsiooni graafikut joonisel fig. 966 - funktsioonigraafik Mõlemal juhul on meil isoleeritud punktid(abstsissidega x = 1, x = 2, x = 3 jne) lamades kindlal kõveral (mõlemad joonised näitavad sama kõverat, ainult erineva asukohaga ja erinevatel mõõtkavadel kujutatud). Seda kõverat nimetatakse eksponentsiaalkõveraks. Täpsemalt eksponentsiaalfunktsiooni ja selle graafiku kohta tuleb juttu 11. klassi algebra kursusest.

Tuleme tagasi eelmise lõigu näidete 1-5 juurde.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . See on geomeetriline progressioon, mille korral b 1 = 1, q = 3. Koostame n-nda liikme valem
2) See on geomeetriline progressioon, mille jaoks loome n-nda liikme valemi

See on geomeetriline progressioon, millel on Koostame n-nda liikme valemi
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . See on geomeetriline progressioon, mille korral b 1 = 8, q = 1. Koostame n-nda liikme valem
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... See on geomeetriline progressioon, milles b 1 = 2, q = -1. Koostame n-nda liikme valemi

Näide 6.

Arvestades geomeetrilist progressiooni

Kõikidel juhtudel põhineb lahendus geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemil

a) Pannes n = 6 geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemisse, saame

b) Meil ​​on

Kuna 512 = 2 9, saame n - 1 = 9, n = 10.

d) Meil ​​on

Näide 7.

Geomeetrilise progressiooni seitsmenda ja viienda liikme vahe on 48, progressiooni viienda ja kuuenda liikme summa on samuti 48. Leidke selle progressiooni kaheteistkümnes liige.

Esimene aste. Matemaatilise mudeli koostamine.

Probleemi tingimused võib lühidalt kirjutada järgmiselt:

Kasutades geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemit, saame:
Siis saab ülesande teise tingimuse (b 7 - b 5 = 48) kirjutada kui

Ülesande kolmanda tingimuse (b 5 + b 6 = 48) saab kirjutada järgmiselt

Selle tulemusena saame kahest võrrandist koosneva süsteemi kahe muutujaga b 1 ja q:

mis koos ülalkirjeldatud tingimusega 1) on matemaatiline mudelülesandeid.

Teine faas.

Koostatud mudeliga töötamine. Võrdsustades süsteemi mõlema võrrandi vasakpoolsed küljed, saame:

(jagasime võrrandi mõlemad pooled nullist erineva avaldisega b 1 q 4).

Võrrandist q 2 - q - 2 = 0 leiame q 1 = 2, q 2 = -1. Asendades väärtuse q = 2 süsteemi teise võrrandisse, saame
Asendades väärtuse q = -1 süsteemi teise võrrandisse, saame b 1 1 0 = 48; sellel võrrandil pole lahendeid.

Niisiis, b 1 =1, q = 2 - see paar on koostatud võrrandisüsteemi lahendus.

Nüüd saame üles kirjutada ülesandes käsitletud geomeetrilise progressiooni: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Kolmas etapp.

Vastus probleemiküsimusele. Peate arvutama b 12. Meil on

Vastus: b 12 = 2048.

3. Lõpliku geomeetrilise progressiooni liikmete summa valem.

Olgu antud lõplik geomeetriline progressioon

Tähistame S n-ga selle liikmete summa, s.o.

Tuletame selle summa leidmise valemi.

Alustame kõige lihtsamast juhtumist, kui q = 1. Siis koosneb geomeetriline progressioon b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn n arvust, mis on võrdne b 1 -ga, s.o. progresseerumine näeb välja nagu b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Nende arvude summa on nb 1.

Olgu nüüd q = 1 S n leidmiseks rakendame tehistehnikat: teostame mõned avaldise S n q teisendused. Meil on:

Teisenduste sooritamisel kasutasime esiteks geomeetrilise progressiooni definitsiooni, mille järgi (vt kolmas arutluskäik); teiseks liideti ja lahutati, mistõttu väljendi tähendus muidugi ei muutunud (vt neljas arutluskäik); kolmandaks kasutasime geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemit:

Valemist (1) leiame:

See on geomeetrilise progressiooni n liikme summa valem (juhul, kui q = 1).

Näide 8.

Antud lõplik geomeetriline progressioon

a) progressiooni tingimuste summa; b) selle liikmete ruutude summa.

b) Eespool (vt lk 132) oleme juba märkinud, et kui geomeetrilise progressiooni kõik liikmed on ruudus, siis saame geomeetrilise progressiooni esimese liikmega b 2 ja nimetajaga q 2. Seejärel arvutatakse uue progressiooni kuue liikme summa

Näide 9.

Leidke geomeetrilise progressiooni 8. liige, mille jaoks

Tegelikult oleme tõestanud järgmise teoreemi.

Arvjada on geomeetriline progressioon siis ja ainult siis, kui selle iga liikme ruut, välja arvatud esimene teoreem (ja viimane, lõpliku jada puhul), on võrdne eelneva ja järgneva liikme korrutisega (a geomeetrilise progressiooni iseloomulik omadus).

Vaatleme teatud seeriat.

7 28 112 448 1792...

On täiesti selge, et selle mis tahes elemendi väärtus on täpselt neli korda suurem kui eelmine. See tähendab, et see seeria on edasiminek.

Geomeetriline progressioon on lõputu arvude jada. peamine omadus mis tähendab, et järgmine arv saadakse eelmisest, korrutades mingi kindla arvuga. Seda väljendatakse järgmise valemiga.

a z +1 =a z ·q, kus z on valitud elemendi number.

Vastavalt sellele z ∈ N.

Ajavahemik, mil koolis õpitakse geomeetrilist progressiooni, on 9. klass. Näited aitavad teil mõistet mõista:

0.25 0.125 0.0625...

Selle valemi põhjal võib progresseerumise nimetaja leida järgmiselt:

Ei q ega b z ei saa olla null. Samuti ei tohiks ükski progressi element olla võrdne nulliga.

Järelikult peate seeria järgmise arvu väljaselgitamiseks korrutama viimase q-ga.

Selle edenemise määramiseks peate määrama selle esimese elemendi ja nimetaja. Pärast seda on võimalik leida mis tahes järgnevaid termineid ja nende summat.

Sordid

Sõltuvalt q-st ja a 1-st jaguneb see edenemine mitmeks tüübiks:

• Kui nii a 1 kui ka q on suuremad kui üks, siis on selline jada geomeetriline progressioon, mis kasvab iga järgneva elemendiga. Selle näide on esitatud allpool.

Näide: a 1 =3, q=2 – mõlemad parameetrid on suuremad kui üks.

Siis saab numbrijada kirjutada järgmiselt:

3 6 12 24 48 ...

• Kui |q| on väiksem kui üks, st sellega korrutamine on samaväärne jagamisega, siis on sarnaste tingimustega progressioon kahanev geomeetriline progressioon. Selle näide on esitatud allpool.

Näide: a 1 =6, q=1/3 – a 1 on suurem kui üks, q on väiksem.

Seejärel saab numbrijada kirjutada järgmiselt:

6 2 2/3 ... - iga element on 3 korda suurem kui sellele järgnev element.

• Vahelduv märk. Kui q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Näide: a 1 = -3, q = -2 – mõlemad parameetrid on väiksemad kui null.

Siis saab numbrijada kirjutada järgmiselt:

3, 6, -12, 24,...

Valemid

Geomeetriliste progressioonide mugavaks kasutamiseks on palju valemeid:

• Z-termini valem. Võimaldab arvutada elemendi kindla numbri all ilma eelnevaid numbreid arvutamata.

Näide:q = 3, a 1 = 4. On vaja lugeda progressiooni neljas element.

Lahendus:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Esimeste elementide summa, mille kogus on võrdne z. Võimaldab arvutada jada kõigi elementide summa kunia zkaasa arvatud.

Alates (1-q) on nimetajas, siis (1 - q)≠ 0, seega ei ole q võrdne 1-ga.

Märkus: kui q = 1, siis on progressioon lõpmatult korduvate arvude jada.

Geomeetrilise progressiooni summa, näited:a 1 = 2, q= -2. Arvutage S5.

Lahendus:S 5 = 22 - arvutamine valemi abil.

• Summa, kui |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Näide:a 1 = 2 , q= 0,5. Leia summa.

Lahendus:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Mõned omadused:

• Iseloomulik omadus. Kui järgmine tingimus töötab iga jaoksz, siis antud arvuseeria on geomeetriline progressioon:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Samuti leitakse mis tahes arvu ruut geomeetrilises progressioonis, lisades antud jada mis tahes kahe teise arvu ruudud, kui need on sellest elemendist võrdsel kaugusel.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Kust- nende numbrite vaheline kaugus.

• Elemendiderinevad q-süks kord.
• Ka progressiooni elementide logaritmid moodustavad progressiooni, kuid aritmeetilise, see tähendab, et igaüks neist on teatud arvu võrra suurem kui eelmine.

Mõnede klassikaliste probleemide näited

Et paremini mõista, mis on geomeetriline progressioon, aitavad näited 9. klassi lahendustega.

• Tingimused:a 1 = 3, a 3 = 48. Leiaq.

Lahendus: iga järgmine element on suurem kui eelmineq üks kord.Mõnda elementi on vaja väljendada teistega, kasutades nimetajat.

Seegaa 3 = q 2 · a 1

Asendamiselq= 4

• Tingimused:a 2 = 6, a 3 = 12. Arvutage S 6.

Lahendus:Selleks leidke lihtsalt esimene element q ja asendage see valemis.

a 3 = q· a 2 , seega,q= 2

a 2 = q · a 1,Sellepärast a 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Leidke progressiooni neljas element.

Lahendus: selleks piisab neljanda elemendi väljendamisest läbi esimese ja läbi nimetaja.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Rakenduse näide:

• Pangaklient tegi sissemakse summas 10 000 rubla, mille alusel lisatakse kliendil igal aastal sellest 6% põhisummale. Kui palju raha on kontol 4 aasta pärast?

Lahendus: esialgne summa on 10 tuhat rubla. See tähendab, et aasta pärast investeeringut on kontol summa 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06

Sellest lähtuvalt väljendatakse kontol olevat summat järgmise aasta pärast järgmiselt:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000

See tähendab, et igal aastal suureneb summa 1,06 korda. See tähendab, et 4 aasta pärast kontol olevate rahaliste vahendite hulga leidmiseks piisab, kui leida progressiooni neljas element, mille annab esimene element 10 tuhandega ja nimetaja 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Näited summade arvutamise probleemidest:

Geomeetrilist progressiooni kasutatakse mitmesugustes ülesannetes. Summa leidmise näite võib tuua järgmiselt:

a 1 = 4, q= 2, arvutaS 5.

Lahendus: kõik arvutamiseks vajalikud andmed on teada, need tuleb lihtsalt valemis asendada.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Arvuta esimese kuue elemendi summa.

Lahendus:

Geom. progresseerumisel on iga järgmine element q korda suurem kui eelmine, st summa arvutamiseks on vaja elementi teadaa 1 ja nimetajaq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Samamoodi peate leidmaa 1 , teadesa 2 Jaq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Tund ja ettekanne teemal: "Arvujadad. Geomeetriline progressioon"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 9. klassile
Pädevused ja juured Funktsioonid ja graafikud

Poisid, täna tutvume teist tüüpi progresseerumisega.
Tänase tunni teemaks on geomeetriline progressioon.

Geomeetriline progressioon

Näide. 1,2,4,8,16... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne ühega ja $q=2$.

Näide. 8,8,8,8... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne kaheksaga,
ja $q=1$.

Näide. 3,-3,3,-3,3... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne kolmega,
ja $q=-1$.

Geomeetrilisel progressioonil on monotoonsuse omadused.
Kui $b_(1)>0$, $q>1$,
siis järjestus suureneb.
Kui $b_(1)>0$, siis $0 Jada tähistatakse tavaliselt kujul: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Nii nagu aritmeetilises progressioonis, kui geomeetrilises progressioonis on elementide arv lõplik, nimetatakse progressiooni lõplikuks geomeetriliseks progressiooniks.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Pange tähele, et kui jada on geomeetriline progressioon, siis on ka liikmete ruutude jada geomeetriline progressioon. Teises jadas on esimene liige võrdne $b_(1)^2$ ja nimetaja on võrdne $q^2$.

Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem

Tuleme tagasi oma näidete juurde.

Näide. 1,2,4,8,16... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne ühega,
ja $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Näide. 16,8,4,2,1,1/2… Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne kuueteistkümnega ja $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Näide. 8,8,8,8... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne kaheksaga ja $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Näide. 3,-3,3,-3,3... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne kolmega ja $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Näide. Antud geomeetriline progressioon $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) On teada, et $b_(1)=6, q=3$. Leidke $b_(5)$.
b) On teada, et $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Leia n.
c) On teada, et $q=-2, b_(6)=96$. Leidke $b_(1)$.
d) On teada, et $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Leia q.

Lahendus.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, kuna $2^7=128 => n-1=7; n = 8 $.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Näide. Geomeetrilise progressiooni seitsmenda ja viienda liikme vahe on 192, progressiooni viienda ja kuuenda liikme summa on 192. Leidke selle progressiooni kümnes liige.

Lahendus.
Teame, et $b_(7)-b_(5)=192$ ja $b_(5)+b_(6)=192$.
Teame ka: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Seejärel:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Saime võrrandisüsteemi:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(juhtumid)$.
Võrdstades võrrandid, saame:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Saime kaks lahendit q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Asendage järjestikku teise võrrandiga:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ lahendusi pole.
Saime selle: $b_(1)=4, q=2$.
Leiame kümnenda liikme: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Lõpliku geomeetrilise progressiooni summa

Olgu antud lõplik geomeetriline progressioon: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Tutvustame selle liikmete summa tähistust: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Juhul, kui $q=1$. Kõik geomeetrilise progressiooni liikmed on võrdsed esimese liikmega, siis on ilmne, et $S_(n)=n*b_(1)$.
Vaatleme nüüd juhtumit $q≠1$.
Korrutame ülaltoodud summa q-ga.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Märge:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Oleme saanud lõpliku geomeetrilise progressiooni summa valemi.

Lahendus.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Näide.
Leia geomeetrilise progressiooni viies liige, mis on teada: $b_(1)=-3$; $b_(n) = -3072 $; $S_(n) = -4095 $.

Lahendus.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
-4095 $(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095 $(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q = $1364.
$q = 4 $.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Geomeetrilise progressiooni iseloomulik omadus

Arvjada on geomeetriline progressioon ainult siis, kui iga liikme ruut on võrdne progressiooni kahe külgneva liikme korrutisega. Ärge unustage, et piiratud progressiooni korral ei ole see tingimus esimese ja viimase liikme puhul täidetud.

Geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme moodul on võrdne selle kahe naaberliikme geomeetrilise keskmisega.

Lahendus.
Kasutame iseloomulikku omadust:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ja $x_(2)=-1$.
Asendame oma lahendused järjestikku algse avaldisega:
Kui $x=2$, saime jada: 4;6;9 – geomeetriline progressioon $q=1.5$.
$x=-1$ korral saame jada: 1;0;0.
Vastus: $x=2.$

Iseseisvalt lahendatavad probleemid

Kui iga naturaalarvu kohta n vaste reaalarvuga a n , siis öeldakse, et on antud numbrijada :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Seega on numbrijada loomuliku argumendi funktsioon.

Number a 1 helistas jada esimene liige , number a 2 — jada teine ​​liige , number a 3 — kolmandaks ja nii edasi. Number a n helistas n-s tähtaeg järjestused ja naturaalarv n — tema number .

Kahest kõrvuti asetsevast liikmest a n Ja a n +1 jada liige a n +1 helistas järgnev ( suunas a n ), A a n — eelmine ( suunas a n +1 ).

Jada määratlemiseks peate määrama meetodi, mis võimaldab teil leida jada mis tahes arvuga liikme.

Sageli määratakse järjestus kasutades n-nda termini valemid , ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

Näiteks,

positiivsete paaritute arvude jada saab anda valemiga

a n= 2n- 1,

ja vaheldumise järjekord 1 Ja -1 - valem

b n = (-1)n +1 . ◄

Järjestust saab määrata korduv valem, see tähendab valem, mis väljendab jada mis tahes liiget, alustades mõnest, läbi eelneva (ühe või mitme) liikme.

Näiteks,

Kui a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kui a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , siis määratakse numbrilise jada esimesed seitse liiget järgmiselt:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Jadad võivad olla lõplik Ja lõputu .

Jada nimetatakse ülim , kui sellel on piiratud arv liikmeid. Jada nimetatakse lõputu , kui sellel on lõpmatult palju liikmeid.

Näiteks,

kahekohaliste naturaalarvude jada:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lõplik.

Algarvude jada:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

lõputu. ◄

Jada nimetatakse suureneb , kui iga selle liige, alates teisest, on suurem kui eelmine.

Jada nimetatakse väheneb , kui iga selle liige, alates teisest, on väiksem kui eelmine.

Näiteks,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — järjestuse suurenemine;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — kahanev järjestus. ◄

Nimetatakse jada, mille elemendid arvu kasvades ei vähene või, vastupidi, ei suurene monotoonne jada .

Eelkõige on monotoonsed järjestused suurenevad ja kahanevad järjestused.

Aritmeetiline progressioon

Aritmeetiline progressioon on jada, milles iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, millele liidetakse sama arv.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

on aritmeetiline progressioon, kui see on olemas naturaalarv n tingimus on täidetud:

a n +1 = a n + d,

Kus d - teatud arv.

Seega on erinevus antud aritmeetilise progressiooni järgnevate ja eelmiste liikmete vahel alati konstantne:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Number d helistas aritmeetilise progressiooni erinevus.

Aritmeetilise progressiooni määratlemiseks piisab selle esimese liikme ja erinevuse märkimisest.

Näiteks,

Kui a 1 = 3, d = 4 , siis leiame jada esimesed viis liiget järgmiselt:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Esimese liikmega aritmeetilise progressiooni jaoks a 1 ja erinevus d teda n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Näiteks,

leida aritmeetilise progressiooni kolmekümnes liige

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

siis ilmselgelt

Iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, on võrdne eelneva ja järgnevate liikmete aritmeetilise keskmisega.

arvud a, b ja c on mõne aritmeetilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui üks neist on võrdne kahe teise aritmeetilise keskmisega.

Näiteks,

a n = 2n- 7 , on aritmeetiline progressioon.

Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Seega

◄

Pange tähele, et n Aritmeetilise progressiooni th liiget võib leida mitte ainult läbi a 1 , aga ka kõik varasemad a k

a n = a k + (n- k)d.

Näiteks,

Sest a 5 saab kirja panna

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

siis ilmselgelt

iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, võrdub poolega selle aritmeetilise progressiooni võrdsete vahedega liikmete summast.

Lisaks kehtib mis tahes aritmeetilise progressiooni korral järgmine võrdsus:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Näiteks,

aritmeetilises progressioonis

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, sest

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

esiteks n Aritmeetilise progressiooni liikmed on võrdne äärmuslike liikmete summa ja liikmete arvu poole korrutisega:

Siit eelkõige järeldub, et kui on vaja tingimused kokku võtta

a k, a k +1 , . . . , a n,

siis säilitab eelmine valem oma struktuuri:

Näiteks,

aritmeetilises progressioonis 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kui antakse aritmeetiline progressioon, siis kogused a 1 , a n, d, n JaS n ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui on antud nendest kolmest suurusest väärtused, määratakse nende valemite põhjal kahe teise suuruse vastavad väärtused, mis liidetakse kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.

Aritmeetiline progressioon on monotoonne jada. Kus:

• Kui d > 0 , siis see suureneb;
• Kui d < 0 , siis see väheneb;
• Kui d = 0 , siis on jada paigal.

Geomeetriline progressioon

Geomeetriline progressioon on jada, milles iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, mis on korrutatud sama arvuga.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on mis tahes naturaalarvu geomeetriline progressioon n tingimus on täidetud:

b n +1 = b n · q,

Kus q ≠ 0 - teatud arv.

Seega on antud geomeetrilise progressiooni järgneva liikme ja eelmise liikme suhe konstantne arv:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Number q helistas geomeetrilise progressiooni nimetaja.

Geomeetrilise progressiooni määratlemiseks piisab selle esimese liikme ja nimetaja märkimisest.

Näiteks,

Kui b 1 = 1, q = -3 , siis leiame jada esimesed viis liiget järgmiselt:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimetaja q teda n Kolmanda termini saab leida järgmise valemi abil:

b n = b 1 · qn -1 .

Näiteks,

leida geomeetrilise progressiooni seitsmes liige 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

geomeetrilise progressiooni iga liige, alates teisest, on võrdne eelneva ja järgnevate liikmete geomeetrilise keskmisega (proportsionaalne).

Kuna ka vastupidine on tõsi, kehtib järgmine väide:

arvud a, b ja c on mingi geomeetrilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui neist ühe ruut on võrdne kahe teise korrutisega, see tähendab, et üks arvudest on kahe ülejäänud geomeetriline keskmine.

Näiteks,

Tõestame, et valemiga antud jada b n= -3 2 n , on geomeetriline progressioon. Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Seega

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

mis tõestab soovitud väidet. ◄

Pange tähele, et n Geomeetrilise progressiooni th liiget võib leida mitte ainult läbi b 1 , aga ka iga eelmine liige b k , mille jaoks piisab valemi kasutamisest

b n = b k · qn - k.

Näiteks,

Sest b 5 saab kirja panna

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n - k· b n + k

geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme ruut alates teisest on võrdne sellest võrdsel kaugusel oleva progressiooni liikmete korrutisega.

Lisaks kehtib mis tahes geomeetrilise progressiooni korral võrdsus:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Näiteks,

geomeetrilises progressioonis

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , sest

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

esiteks n geomeetrilise progressiooni liikmed nimetajaga q ≠ 0 arvutatakse valemiga:

Ja millal q = 1 - vastavalt valemile

S n= nb 1

Pange tähele, et kui teil on vaja tingimused kokku võtta

b k, b k +1 , . . . , b n,

siis kasutatakse valemit:

Näiteks,

geomeetrilises progressioonis 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kui on antud geomeetriline progressioon, siis suurused b 1 , b n, q, n Ja S n ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui on antud nendest kolmest suurusest mis tahes väärtused, määratakse nende valemite põhjal kahe teise suuruse vastavad väärtused, mis kombineeritakse kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.

Esimese liikmega geomeetrilise progressiooni jaoks b 1 ja nimetaja q toimuvad järgmised monotoonsuse omadused :

• progresseerumine suureneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 Ja q> 1;

b 1 < 0 Ja 0 < q< 1;

• Progressioon väheneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 Ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 Ja q> 1.

Kui q< 0 , siis on geomeetriline progressioon vahelduv: selle paaritute arvudega liikmetel on sama märk kui selle esimesel liikmel ja paarisarvulistel liikmetel on vastupidine märk. On selge, et vahelduv geomeetriline progressioon ei ole monotoonne.

Esimese toode n geomeetrilise progressiooni tingimusi saab arvutada järgmise valemi abil:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Näiteks,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon nimetatakse lõpmatuks geomeetriliseks progressiooniks, mille nimetaja moodul on väiksem 1 , see on

|q| < 1 .

Pange tähele, et lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon ei pruugi olla kahanev jada. See sobib juhuks

1 < q< 0 .

Sellise nimetaja korral on jada vahelduv. Näiteks,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa nimeta arv, millele esimeste summa piiranguteta läheneb n progresseerumise liikmed, mille arv kasvab piiramatult n . See arv on alati lõplik ja seda väljendatakse valemiga

Näiteks,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni seos

Aritmeetiline ja geomeetriline progressioon on omavahel tihedalt seotud. Vaatame vaid kahte näidet.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , See

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Näiteks,

1, 3, 5, . . . - aritmeetiline progressioon erinevusega 2 Ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geomeetriline progressioon koos nimetajaga 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geomeetriline progressioon koos nimetajaga q , See

logi a b 1, logi a b 2, logi a b 3, . . . - aritmeetiline progressioon erinevusega logi aq .

Näiteks,

2, 12, 72, . . . - geomeetriline progressioon koos nimetajaga 6 Ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmeetiline progressioon erinevusega lg 6 . ◄