Leia funktsiooninäidete tingimuslik ekstreemum. Kohalikud äärmused

Vajalikud ja piisavad tingimused kahe muutuja funktsioonide ekstreemumiks. Punkti nimetatakse funktsiooni minimaalseks (maksimaalseks) punktiks, kui punkti teatud naabruses on funktsioon defineeritud ja rahuldab ebavõrdsust (vastavalt maksimum- ja miinimumpunkti nimetatakse funktsiooni äärmuspunktideks).

Ekstreemumi vajalik tingimus. Kui äärmuspunktis on funktsioonil esimesed osatuletised, siis need kaovad selles punktis. Sellest järeldub, et sellise funktsiooni äärmuspunktide leidmiseks tuleb lahendada võrrandisüsteem Punkte, mille koordinaadid seda süsteemi rahuldavad, nimetatakse funktsiooni kriitilisteks punktideks. Nende hulgas võib olla maksimumpunkte, miinimumpunkte ja ka punkte, mis ei ole äärmuspunktid.

Ekstreemumipunktide tuvastamiseks kriitiliste punktide hulgast kasutatakse piisavaid äärmustingimusi ja need on loetletud allpool.

Olgu funktsioonil kriitilises punktis pidevad teised osatuletised. Kui see praegu on tõsi

tingimus, siis on see miinimumpunkt ja maksimumpunkt Kui kriitilises punktis, siis see ei ole äärmuspunkt. Sel juhul on vaja peenemat uurimist kriitilise punkti olemuse kohta, mis antud juhul võib, aga ei pruugi olla äärmuspunkt.

Kolme muutuja funktsioonide äärmus. Kolme muutuja funktsiooni puhul kordavad äärmuspunktide definitsioonid sõna-sõnalt kahe muutuja funktsiooni vastavaid definitsioone. Piirdume ekstreemumi funktsiooni uurimise protseduuri tutvustamisega. Võrrandisüsteemi lahendamisel tuleks leida funktsiooni kriitilised punktid ja seejärel arvutada igas kriitilises punktis väärtused

Kui kõik kolm suurust on positiivsed, on kõne all olev kriitiline punkt miinimumpunkt; kui siis see kriitiline punkt on maksimumpunkt.

Kahe muutuja funktsiooni tingimuslik ekstreemum. Punkti nimetatakse funktsiooni tingimuslikuks minimaalseks (maksimaalseks) punktiks eeldusel, et selle punkti naabruses, kus funktsioon on määratletud ja kus (vastavalt) on kõik punktid, mille koordinaadid vastavad võrrandile

Tingimuslike ekstreemumipunktide leidmiseks kasutage funktsiooni Lagrange

kus arvu nimetatakse Lagrange'i kordajaks. Kolme võrrandisüsteemi lahendamine

leida Lagrange'i funktsiooni kriitilised punktid (nagu ka abiteguri A väärtus). Nendel kriitilistel punktidel võib esineda tingimuslik ekstreemum. Ülaltoodud süsteem annab ainult vajalikud tingimused ekstreemum, kuid mitte piisav: seda saab rahuldada punktide koordinaatidega, mis ei ole tingimusliku ekstreemumi punktid. Probleemi olemusest lähtuvalt on aga sageli võimalik kindlaks teha kriitilise punkti olemus.

Mitme muutuja funktsiooni tingimuslik ekstreemum. Vaatleme muutujate funktsiooni tingimusel, et need on võrranditega seotud

Tingimuslik ekstreemum.

Mitme muutuja funktsiooni äärmus

Vähima ruudu meetod.

FNP kohalik äärmus

Olgu funktsioon antud Ja= f(P), РÎDÌR n ja olgu punkt P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –sisemine komplekti punkt D.

Definitsioon 9.4.

1) Punkti P 0 kutsutakse maksimaalne punkt funktsioonid Ja= f(P), kui selle punkti U(P 0) М D naabrus on selline, et mis tahes punkti P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0, tingimus on täidetud f(P)£ f(P 0) . Tähendus f(P 0) funktsioon maksimumpunktis kutsutakse välja funktsiooni maksimum ja on määratud f(P0) = max f(P) .

2) Punkti P 0 kutsutakse miinimumpunkt funktsioonid Ja= f(P), kui selle punkti U(P 0)Ì D naabruskond on selline, et mis tahes punkti P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0, tingimus on täidetud f(P)³ f(P 0) . Tähendus f(P 0) funktsiooni miinimumpunktis kutsutakse minimaalne funktsioon ja on määratud f(P 0) = min f(P).

Funktsiooni miinimum- ja maksimumpunkti nimetatakse äärmuslikud punktid, kutsutakse funktsiooni väärtusi äärmuslikes punktides funktsiooni äärmus.

Nagu definitsioonist järeldub, ebavõrdsused f(P)£ f(P 0), f(P)³ f(P 0) peab olema täidetud ainult punkti P 0 teatud läheduses, mitte aga kogu funktsiooni definitsioonipiirkonnas, mis tähendab, et funktsioonil võib olla mitu sama tüüpi ekstreemi (mitu miinimumi, mitu maksimumi) . Seetõttu nimetatakse ülaltoodud äärmusi kohalik(kohalikud) äärmused.

Teoreem 9.1. (FNP ekstreemumi vajalik tingimus)

Kui funktsioon Ja= f(X 1 , X 2 , ..., x n) omab ekstreemumit punktis P 0 , siis on selle esimest järku osatuletised selles punktis kas võrdsed nulliga või neid ei eksisteeri.

Tõestus. Olgu punktis P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) funktsioon Ja= f(P) omab ekstreemumit, näiteks maksimumi. Parandame argumendid X 2 , ..., x n, pannes X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Siis Ja= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) on ühe muutuja funktsioon X 1 . Kuna sellel funktsioonil on X 1 = A 1 äärmus (maksimaalne), siis f 1 ¢=0 või ei eksisteeri millal X 1 =A 1 (vajalik tingimus ühe muutuja funktsiooni ekstreemumi olemasoluks). Kuid see tähendab või ei eksisteeri punktis P 0 – äärmuspunktis. Samamoodi võime käsitleda osatuletisi teiste muutujate suhtes. CTD.

Funktsiooni domeeni punkte, kus esimest järku osatuletised on võrdsed nulliga või neid ei eksisteeri, nimetatakse kriitilised punktid seda funktsiooni.

Nagu tuleneb teoreemist 9.1, tuleks FNP äärmuspunkte otsida funktsiooni kriitiliste punktide hulgast. Kuid ühe muutuja funktsiooni puhul ei ole iga kriitiline punkt äärmuspunkt.

Teoreem 9.2. (FNP ekstreemumi piisav tingimus)

Olgu P 0 funktsiooni kriitiline punkt Ja= f(P) ja on selle funktsiooni teist järku diferentsiaal. Siis

ja kui d 2 u(P 0) > 0 juures , siis P 0 on punkt miinimum funktsioonid Ja= f(P);

b) kui d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimaalselt funktsioonid Ja= f(P);

c) kui d 2 u(P 0) ei ole defineeritud märgiga, siis P 0 ei ole äärmuspunkt;

Vaatleme seda teoreemi ilma tõestuseta.

Pange tähele, et teoreem ei käsitle juhtu, kui d 2 u(P 0) = 0 või seda pole olemas. See tähendab, et küsimus ekstreemumi olemasolust punktis P 0 sellistel tingimustel jääb lahtiseks – on vaja täiendavaid uuringuid, näiteks funktsiooni juurdekasvu uuringut selles punktis.

Detailsematel matemaatikakursustel on tõestatud, et eelkõige funktsiooni puhul z = f(x,y) kahest muutujast, mille teist järku diferentsiaal on vormi summa

kriitilises punktis P 0 ekstreemumi olemasolu uurimist saab lihtsustada.

Tähistame , , . Koostame determinandi

Tuleb välja:

d 2 z> 0 punktis P 0, st. P 0 – miinimumpunkt, kui A(P 0) > 0 ja D (P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

kui D(P 0)< 0, то d 2 z punkti P 0 läheduses muudab märki ja punktis P 0 ekstreemumit pole;

kui D(Р 0) = 0, siis on vajalikud ka funktsiooni lisauuringud kriitilise punkti Р 0 läheduses.

Seega funktsiooni jaoks z = f(x,y) kahest muutujast on meil ekstreemumi leidmiseks järgmine algoritm (nimetagem seda "algoritmiks D"):

1) Leidke definitsiooni D( f) funktsioonid.

2) Leida kriitilised punktid, s.t. punktid D( f), mille puhul ja on nulliga või neid pole olemas.

3) Kontrollige igas kriitilises punktis P 0 ekstreemumi piisavaid tingimusi. Selleks leidke , kus , , ja arvutada D(P 0) ja A(P 0). Siis:

kui D(P 0) >0, siis punktis P 0 on ekstreemum ja kui A(P 0) > 0 – siis see on miinimum ja kui A(P 0)< 0 – максимум;

kui D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;

Kui D(P 0) = 0, siis on vaja täiendavaid uuringuid.

4) Leitud ekstreemumipunktides arvuta välja funktsiooni väärtus.

Näide 1.

Leia funktsiooni ekstreemum z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Lahendus. Selle funktsiooni määratluspiirkond on kogu koordinaattasand. Leiame kriitilised punktid.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Kontrollime, kas ekstreemumi piisavad tingimused on täidetud. Me leiame

6X, = -3, = 48juures Ja = 288xy – 9.

Siis D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – punktis Р 1 on ekstreemum ja kuna A(P 1) = 3 >0, siis on see ekstreemum miinimum. Nii et min z=z(P 1) = .

Näide 2.

Leia funktsiooni ekstreemum .

Lahendus: D( f) =R2. Kriitilised punktid: ; ei eksisteeri millal juures= 0, mis tähendab, et P 0 (0,0) on selle funktsiooni kriitiline punkt.

2, = 0, = , = , kuid D(P 0) ei ole defineeritud, seega on selle märgi uurimine võimatu.

Samal põhjusel on võimatu teoreemi 9.2 otse rakendada - d 2 z hetkel ei eksisteeri.

Vaatleme funktsiooni juurdekasvu f(x, y) punktis P 0 . Kui D f =f(P) – f(P 0)>0 "P, siis P 0 on miinimumpunkt, aga kui D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Meie puhul on meil

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

D juures x= 0,1 ja D y= -0,008 saame D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 ja D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, s.o. punkti P 0 läheduses ei ole täidetud kumbki tingimus D f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) ja seetõttu ei ole P 0 maksimumpunkt), ega ka tingimus D f>0 (st. f(x, y) > f(0, 0) ja siis P 0 ei ole miinimumpunkt). See tähendab ekstreemumi definitsiooni järgi, et sellel funktsioonil ei ole äärmust.

Tingimuslik ekstreemum.

Funktsiooni vaadeldavat ekstreemumi nimetatakse tingimusteta, kuna funktsiooni argumentidele ei seata piiranguid (tingimusi).

Definitsioon 9.2. Funktsiooni äärmus Ja = f(X 1 , X 2 , ... , x n), leiti tingimusel, et tema argumendid X 1 , X 2 , ... , x n täitma võrrandid j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kus P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), kutsus tingimuslik ekstreemum .

Võrrandid j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, kutsutakse ühendusvõrrandid.

Vaatame funktsioone z = f(x,y) kaks muutujat. Kui ühendusvõrrand on üks, s.o. , siis tingimusliku ekstreemumi leidmine tähendab, et ekstreemumit ei otsita mitte kogu funktsiooni definitsioonipiirkonnas, vaid mõnel kõveral, mis asub D( f) (st see ei ole kõrgeim ega kõrgeim madalad punktid pinnad z = f(x,y) ja selle pinna ja silindri lõikepunktide kõrgeimad või madalaimad punktid, joonis 5).

Funktsiooni tingimuslik ekstreemum z = f(x,y) kahest muutujast saab leida järgmisel viisil ( kõrvaldamise meetod). Avaldage võrrandist üks muutujatest teise funktsioonina (näiteks kirjutage ) ja asendades selle muutuja väärtuse funktsiooniga, kirjutage viimane ühe muutuja funktsioonina (vaataval juhul ). Leia ühe muutuja tulemuseks oleva funktsiooni ekstreemum.

Esiteks vaatleme kahe muutuja funktsiooni juhtumit. Funktsiooni $z=f(x,y)$ tingimuslik ekstreemum punktis $M_0(x_0;y_0)$ on selle funktsiooni ekstreemum, mis saavutatakse tingimusel, et muutujad $x$ ja $y$ selle punkti lähedus rahuldab ühendusvõrrandit $\ varphi (x,y)=0$.

Nimetus “tingimuslik” ekstreemum tuleneb asjaolust, et muutujatele on kehtestatud lisatingimus $\varphi(x,y)=0$. Kui ühendusvõrrandist saab väljendada üht muutujat teise kaudu, siis tingliku ekstreemumi määramise probleem taandub ühe muutuja funktsiooni tavapärase ekstreemumi määramise probleemiks. Näiteks kui ühendusvõrrand eeldab $y=\psi(x)$, siis asendades $y=\psi(x)$ väärtusega $z=f(x,y)$, saame ühe muutuja $z funktsiooni =f\left (x,\psi(x)\right)$. Üldjuhul on sellest meetodist aga vähe kasu, mistõttu on vaja kasutusele võtta uus algoritm.

Lagrange'i kordaja meetod kahe muutuja funktsioonide jaoks.

Lagrange'i kordaja meetod seisneb Lagrange'i funktsiooni konstrueerimises tingimusliku ekstreemumi leidmiseks: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parameeter $\lambda$ on nn. Lagrange'i kordaja). Ekstreemumi jaoks vajalikud tingimused määratakse võrrandisüsteemiga, millest määratakse statsionaarsed punktid:

$$ \left \( \begin( joondatud) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(joondatud) \paremale. $$

Piisav tingimus, mille põhjal saab määrata ekstreemumi olemuse, on märk $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Kui statsionaarses punktis $d^2F > 0$, siis funktsioonil $z=f(x,y)$ on selles punktis tingimuslik miinimum, aga kui $d^2F< 0$, то условный максимум.

Ekstreemumi olemuse määramiseks on veel üks viis. Sidestamisvõrrandist saame: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, seega on meil igas statsionaarses punktis:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \paremal)$$

Teist tegurit (asub sulgudes) saab esitada järgmisel kujul:

Determinandi $\left| elemendid on punasega esile tõstetud. \begin(massiivi) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (massiiv)\right|$, mis on Lagrange'i funktsiooni Hessi koer. Kui $H > 0$, siis $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, st. meil on funktsiooni $z=f(x,y)$ tingimuslik miinimum.

Märkus determinandi $H$ märkimise kohta. Näita Peida

$$ H=-\left|\begin(massiivi) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(massiivi) \right| $$

Sellises olukorras muutub ülaltoodud reegel järgmiselt: kui $H > 0$, siis on funktsioonil tingimuslik miinimum ja kui $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritm kahe muutuja funktsiooni uurimiseks tingimusliku ekstreemumi jaoks

Koostage Lagrange'i funktsioon $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
Lahendage süsteem $ \left \( \begin( joondatud) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0. \end(joondatud) \right.$
Määrake ekstreemumi olemus igas eelmises lõigus leitud statsionaarses punktis. Selleks kasutage ühte järgmistest meetoditest.
- Koostage $H$ determinant ja leidke selle märk
- Võttes arvesse sidumisvõrrandit, arvutage märk $d^2F$

Lagrange'i kordaja meetod n muutuja funktsioonide jaoks

Oletame, et meil on funktsioon $n$ muutujatest $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ja $m$ sidumisvõrranditest ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Tähistades Lagrange'i kordajaid kui $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, koostame Lagrange'i funktsiooni:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Tingimusliku ekstreemumi olemasoluks vajalikud tingimused on antud võrrandisüsteemiga, millest leitakse statsionaarsete punktide koordinaadid ja Lagrange'i kordajate väärtused:

$$\left\(\begin(joondatud) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ ülejoon(1,m)) \end(joondatud) \right.$$

Märgi $d^2F$ abil saate teada, kas funktsioonil on leitud punktis tingimuslik miinimum või tingimuslik maksimum, nagu varemgi. Kui leitud punktis $d^2F > 0$, siis on funktsioonil tingimuslik miinimum, aga kui $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Maatriksi $\left| determinant \begin(massiivi) (cccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( massiiv) \right|$, mis on maatriksis $L$ punasega esile tõstetud, on Lagrange'i funktsiooni Hess. Kasutame järgmist reeglit:

Kui nurgeliste alaealiste tunnused $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ maatriksid $L$ langevad kokku $(-1)^m$ märgiga, siis on uuritav statsionaarne punkt funktsiooni $ tingimuslik miinimumpunkt z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
Kui nurgeliste alaealiste tunnused $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ vahelduvad ja molli $H_(2m+1)$ märk langeb kokku arvu $(-1)^(m+1) märgiga )$, siis statsionaarne punkt on funktsiooni $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ tingimuslik maksimumpunkt.

Näide nr 1

Leidke funktsiooni $z(x,y)=x+3y$ tingimuslik ekstreemum tingimuse $x^2+y^2=10$ all.

Selle ülesande geomeetriline tõlgendus on järgmine: peate leidma suurima ja väikseim väärtus rakendab tasandit $z=x+3y$ selle silindriga $x^2+y^2=10$ lõikepunktidele.

Mõnevõrra raske on väljendada sidestusvõrrandist üht muutujat teise kaudu ja asendada see funktsiooniga $z(x,y)=x+3y$, seetõttu kasutame Lagrange'i meetodit.

Tähistades $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, koostame Lagrange'i funktsiooni:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Kirjutame võrrandisüsteemi, et määrata Lagrange'i funktsiooni statsionaarsed punktid:

$$ \left \( \begin(joondatud) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (joondatud)\paremale.$$

Kui eeldame $\lambda=0$, siis saab esimeseks võrrandiks $1=0$. Saadud vastuolu näitab, et $\lambda\neq 0$. Tingimusel $\lambda\neq 0$ saame esimesest ja teisest võrrandist: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Asendades saadud väärtused kolmandasse võrrandisse, saame:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(joondatud) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(joondatud) \right.\\ \begin(joondatud) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(joondatud) $$

Seega on süsteemil kaks lahendust: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ ja $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Uurime igas statsionaarses punktis ekstreemumi olemust: $M_1(1;3)$ ja $M_2(-1;-3)$. Selleks arvutame determinant$H$ igas punktis.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(massiiv) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(massiiv) \right|= \left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(massiivi) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiivi) \right| $$

Punktis $M_1(1;3)$ saame: $H=8\cdot\left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiiv) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(massiivi) \right|=40 > 0$, nii et punkt Funktsioonil $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ on tingimuslik maksimum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Samamoodi leiame punktis $M_2(-1,-3)$: $H=8\cdot\left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiiv) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(massiivi) \right|=-40 $. Alates $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Märgin, et selle asemel, et arvutada igas punktis determinandi $H$ väärtust, on palju mugavam seda laiendada üldine vaade. Et teksti mitte risustada detailidega, peidan selle meetodi märkuse alla.

Determinandi $H$ kirjutamine üldkujul. Näita Peida

$$ H=8\cdot\left|\begin(massiivi)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(massiivi)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

Põhimõtteliselt on juba ilmne, mis märk $H$ on. Kuna ükski punktidest $M_1$ ega $M_2$ ei kattu lähtepunktiga, siis $y^2+x^2>0$. Seetõttu on $H$ märk vastupidine märgile $\lambda$. Saate arvutused lõpule viia:

$$ \begin(joondatud) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(joondatud) $$

Küsimuse ekstreemumi olemuse kohta statsionaarsetes punktides $M_1(1;3)$ ja $M_2(-1;-3)$ saab lahendada ilma determinanti $H$ kasutamata. Leiame igas statsionaarses punktis märgi $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Olgu märgitud, et märge $dx^2$ tähendab täpselt $dx$ tõstetud teise astmeni, st. $\left(dx \right)^2$. Seega on meil: $dx^2+dy^2>0$, seega koos $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ saame $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Vastus: punktis $(-1;-3)$ on funktsioonil tingimuslik miinimum, $z_(\min)=-10$. Punktis $(1;3)$ on funktsioonil tingimuslik maksimum, $z_(\max)=10$

Näide nr 2

Leidke funktsiooni $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ tingimuslik ekstreemum tingimuse $x+y=0$ all.

Esimene meetod (Lagrange'i kordaja meetod)

Tähistades $\varphi(x,y)=x+y$, koostame Lagrange'i funktsiooni: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin (joondatud) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0. \end(joondatud) \paremale. $$

Pärast süsteemi lahendamist saame: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ ja $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Meil on kaks statsionaarset punkti: $M_1(0;0)$ ja $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Uurime ekstreemumi olemust igas statsionaarses punktis kasutades determinant$H$.

$$H=\left| \begin(massiiv) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(massiiv) \right|= \left| \begin(massiivi) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(massiivi) \right|=-10-18y $$

Punktis $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, seega on sellel hetkel funktsioonil tingimuslik maksimum $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Uurime ekstreemumi olemust igas punktis erineva meetodi abil, mis põhineb märgil $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Ühendusvõrrandist $x+y=0$ saame: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Kuna $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, siis $M_1(0;0)$ on funktsiooni $z(x,y)=3y^3+ tingimuslik miinimumpunkt 4x^ 2-xy$. Samamoodi $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Teine viis

Ühendusvõrrandist $x+y=0$ saame: $y=-x$. Asendades $y=-x$ funktsiooni $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, saame mingi muutuja $x$ funktsiooni. Tähistame seda funktsiooni kui $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Seega taandasime kahe muutuja funktsiooni tingimusliku ekstreemumi leidmise probleemi ühe muutuja funktsiooni ekstreemumi määramise ülesandeks.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9). $$

Saime punktid $M_1(0;0)$ ja $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Edasised uuringud on teada ühe muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutuse käigust. Uurides $u_(xx)^("")$ märki igas statsionaarses punktis või kontrollides $u_(x)^(")$ märgi muutust leitud punktides, saame samad järeldused kui siis, kui lahendades esimesel viisil. Näiteks kontrollime märki $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Kuna $u_(xx)^("")(M_1)>0$, siis $M_1$ on funktsiooni $u(x)$ miinimumpunkt ja $u_(\min)=u(0)=0 $ . Alates $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Funktsiooni $u(x)$ väärtused antud ühendustingimuse jaoks langevad kokku funktsiooni $z(x,y)$ väärtustega, st. funktsiooni $u(x)$ leitud ekstreemumid on funktsiooni $z(x,y)$ otsitavad tingimuslikud ekstreemumid.

Vastus: punktis $(0;0)$ on funktsioonil tingimuslik miinimum $z_(\min)=0$. Punktis $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ on funktsioonil tingimuslik maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Vaatleme veel ühte näidet, milles selgitame ekstreemumi olemust, määrates $d^2F$ märgi.

Näide nr 3

Leidke funktsiooni $z=5xy-4$ suurimad ja väikseimad väärtused, kui muutujad $x$ ja $y$ on positiivsed ja vastavad sidestusvõrrandile $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Koostame Lagrange'i funktsiooni: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Leiame Lagrange'i funktsiooni statsionaarsed punktid:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin (joondatud) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(joondatud) \paremale. $$

Kõik edasised teisendused viiakse läbi, võttes arvesse $x > 0; \; y > 0$ (see on täpsustatud probleemi avalduses). Teisest võrrandist väljendame $\lambda=-\frac(5x)(y)$ ja asendame leitud väärtuse esimese võrrandiga: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Asendades $x=2y$ kolmandas võrrandis, saame: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1$.

Kuna $y=1$, siis $x=2$, $\lambda=-10$. Ekstreemumi olemuse punktis $(2;1)$ määrame $d^2F$ märgi alusel.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Kuna $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, siis:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Põhimõtteliselt saab siin kohe asendada statsionaarse punkti $x=2$, $y=1$ ja parameetri $\lambda=-10$ koordinaadid, saades:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Kuid muudes tingimusliku ekstreemumi probleemides võib olla mitu statsionaarset punkti. Sellistel juhtudel on parem esitada $d^2F$ üldkujul ja seejärel asendada saadud avaldisega iga leitud statsionaarse punkti koordinaadid:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Asendades $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, saame:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Kuna $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Vastus: punktis $(2;1)$ on funktsioonil tingimuslik maksimum, $z_(\max)=6$.

Järgmises osas käsitleme Lagrange'i meetodi rakendamist suurema arvu muutujate funktsioonide puhul.

Olgu funktsioon z - /(x, y) defineeritud mingis domeenis D ja Mo(xo, Vo) selle domeeni sisepunkt. Definitsioon. Kui on selline arv, mille puhul on ebavõrdsus kõigi tingimuste täitmise korral tõene, siis punkti Mo(xo, yo) nimetatakse funktsiooni /(x, y) lokaalseks maksimumpunktiks; kui kõigi Dx, Du puhul, mis vastavad tingimustele | siis punkti Mo(xo,yo) nimetatakse õhukeseks lokaalseks miinimumiks. Teisisõnu, punkt M0(x0, y0) on funktsiooni f(x, y) maksimumi või miinimumi punkt, kui punktil A/o(x0, y0) on 6-ne naabruskond, nii et üldse Selle punktid M(x, y) naabruses, säilitab funktsiooni juurdekasv oma märgi. Näited. 1. Funktsioonipunkti jaoks - miinimumpunkt (joonis 17). 2. Funktsiooni jaoks on punkt 0(0,0) maksimaalne punkt (joonis 18). 3. Funktsiooni puhul on punkt 0(0,0) kohalik maksimumpunkt. 4 Tõepoolest, on olemas punkti 0(0,0) naabruskond, näiteks ring raadiusega j (vt joonis 19), mille mis tahes punktis, mis erineb punktist 0(0,0), on funktsiooni väärtus /(x,y) väiksem kui 1 = Me võtame arvesse ainult funktsioonide range maksimumi ja miinimumi punkte, kui range ebavõrdsus või range ebavõrdsus on täidetud kõigi punktide M(x) y) mõnest läbitorkatud 6-naabrusest. punkt Mq. Funktsiooni väärtust maksimumpunktis nimetatakse maksimumiks ja funktsiooni väärtust miinimumpunktis nimetatakse selle funktsiooni miinimumiks. Funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkte nimetatakse funktsiooni äärmuspunktideks ning funktsiooni enda maksimume ja miinimume selle ekstreemumiteks. Teoreem 11 (vajalik tingimus ekstreemumi jaoks). Kui funktsioon on mitme muutuja funktsiooni ekstreemum.Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumi mõiste. Ekstreemumi vajalikud ja piisavad tingimused Tingimuslik ekstreemum Pidevate funktsioonide suurimal ja väikseimal väärtusel on punktis ekstreemum, siis selles punktis iga osatuletis u kas kaob või ei eksisteeri. Olgu punktis M0(x0, yо) funktsioonil z = f(x) y) ekstreemum. Anname muutujale y väärtuse yo. Siis on funktsioon z = /(x, y) ühe muutuja x funktsioon. Kuna x = xo korral on sellel ekstreemum (maksimaalne või miinimum, joon. 20), siis selle tuletis x = “o, | (*o,l>)" Võrdne nulliga või ei eksisteeri. Samamoodi oleme veendunud, et) on kas võrdne nulliga või ei eksisteeri. Punkte, kus = 0 ja χ = 0 või ei eksisteeri, nimetatakse kriitilisteks funktsiooni punktid z = Dx, y).Punkte, kus $£ = φ = 0, nimetatakse ka funktsiooni statsionaarseteks punktideks.Teoreem 11 väljendab ainult ekstreemumi jaoks vajalikke tingimusi, millest ei piisa Näide: Funktsioon Joon. 18 Joon. 20 immt tuletised, mis muutuvad nulliks. Kuid see funktsioon on strummi imvatis õhuke. Tõepoolest, funktsioon on punktis 0(0,0) võrdne nulliga ja võtab punktides M(x,y), mis on suvaliselt lähedal punktile 0(0,0), positiivse ja negatiivsed väärtused. Selle jaoks nimetatakse punktides (0, y) antud tüüpi suvaliselt väikese punkti 0(0,0) jaoks mini-max punktiks (joonis 21). Piisavad tingimused kahe muutuja funktsiooni ekstreemumi jaoks on väljendatud järgmise teoreemiga. Teoreem 12 (piisavad tingimused ekstreemumi jaoks kahes muutujas). Olgu punkt Mo(xo»Yo) funktsiooni f(x, y) statsionaarne punkt ja punkti / mõnes naabruses, kaasa arvatud punkt Mo ise, on funktsioonil f(z, y) pidevad osatuletised kuni teise järjekorrani (kaasa arvatud). Siis". punktis Mo(xo, V0) ei ole funktsioonil /(xo, y) ekstreemumit, kui D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Funktsiooni f(x, y) ekstreemum võib eksisteerida või mitte. Sel juhul on vaja täiendavaid uuringuid. m Piirdugem teoreemi väidete 1) ja 2) tõestamisega. Kirjutame funktsiooni /(i, y) teist järku Taylori valem: kus. Tingimuse järgi on selge, et juurdekasvu märgi D/ määrab (1) paremal pool oleva trinoomi märk, st teise diferentsiaali d2f märk. Tähistagem seda lühiduse huvides. Siis saab võrdsuse (l) kirjutada järgmiselt: Olgu punktis MQ(so, V0)... Kuna tingimuse järgi on funktsiooni f(s, y) teist järku osatuletised pidevad, siis ebavõrdsus (3) kehtib ka mõne punkti M0(s0,yo) läheduses. Kui tingimus on täidetud (punktis А/0 ja pidevuse tõttu säilitab tuletis /,z(s,y) oma märgi mõnes punkti Af0 läheduses. Piirkonnas, kus А Ф 0, on meil Siit on selge, et kui ЛС - В2 > 0 punkti M0(x0) y0 mõnes naabruses, siis trinoomi AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 märk langeb kokku punktis A märgiga (nii , V0) (nagu ka C märgiga, kuna AC puhul - B2 > 0 A ja C ei saa olla erinevaid märke). Kuna summa AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 märk punktis (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) määrab erinevuse märgi, jõuame järgmisele järeldusele: kui funktsiooni /(s,y) juures on statsionaarse punkti (s0, V0) tingimus, siis piisavalt väikese || ebavõrdsus rahuldatakse. Seega on punktis (sq, V0) funktsioonil /(s, y) maksimum. Kui tingimus on täidetud statsionaarses punktis (s0, y0), siis kõigi jaoks piisavalt väike |Dr| ja |Du| ebavõrdsus on tõene, mis tähendab, et punktis (so,yo) on funktsioonil /(s, y) miinimum. Näited. 1. Uurige funktsiooni ekstreemumi jaoks 4 Kasutades ekstreemumi jaoks vajalikke tingimusi, otsime funktsiooni statsionaarsed punktid. Selleks leiame osatuletised u ja võrdsustame need nulliga. Saame võrrandisüsteemi, kust - statsionaarne punkt. Kasutame nüüd teoreemi 12. Meil on See tähendab, et punktis Ml on ekstreemum. Sest see on miinimum. Kui teisendame funktsiooni r vormiks, on lihtne märgata, et parem pool (“) on minimaalne, kui - absoluutne miinimum seda funktsiooni. 2. Uurige ekstreemumi funktsiooni. Leiame funktsiooni statsionaarsed punktid, mille jaoks koostame võrrandisüsteemi, seega nii, et punkt on statsionaarne. Kuna teoreemi 12 kohaselt pole punktis M ekstreemumit. * 3. Uuri funktsiooni ekstreemumit.Leia funktsiooni statsionaarsed punktid. Võrrandisüsteemist saame selle, seega on punkt paigal. Järgmisena saame teada, et teoreem 12 ei vasta küsimusele ekstreemumi olemasolu või puudumise kohta. Teeme seda nii. Funktsiooni kõigi punktide puhul, mis erinevad punktist, nii et definitsiooni järgi ja punktil A/o(0,0) on funktsioonil r absoluutne miinimum. Sarnaste arvutustega tuvastame, et funktsioonil on punktis maksimum, kuid funktsioonil ei ole punktis ekstreemumit. Olgu n sõltumatust muutujast koosnev funktsioon punktis diferentseeruv Punkti Mo nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks, kui Lause 13 (kuni ekstreemumi piisavate tingimusteni). Olgu funktsioon defineeritud ja sellel on pidevad teist järku osatuletised trahvi Mt(xi...) mõnes naabruses, mis on statsionaarne peenfunktsioon, kui ruutkuju (funktsiooni f teine diferentsiaal trahvis on positiivne kindel (negatiivne definiit), funktsiooni f miinimumpunkt (vastavalt peenmaksimum) on õhuke Kui ruutvorm (4) on vahelduv, siis õhukeses LG0 ekstreemumit ei ole. ruutvorm (4) positiivne või negatiivne kindel, võite kasutada näiteks Sylvesteri kriteeriumit ruutvormi positiivse (negatiivse) määratluse jaoks. 15.2. Tingimuslik ekstreemum Seni oleme otsinud funktsiooni lokaalset ekstreemumit kogu selle definitsioonipiirkonna ulatuses, kui funktsiooni argumendid ei ole seotud ühegi lisatingimustega. Selliseid äärmusi nimetatakse tingimusteta. Tihti on aga probleeme nn tingimuslike ekstreemide leidmisega. Olgu funktsioon z = /(x, y) defineeritud domeenis D. Oletame, et selles valdkonnas on antud kõver L ja funktsiooni f(x> y) ekstreemumid tuleb leida ainult nende hulgast selle väärtustest, mis vastavad kõvera L punktidele. Sama äärmust nimetatakse funktsiooni z = f(x) y) tingimuslikeks ekstreemumiteks kõveral L. Definitsioon Nad ütlevad, et punktis, mis asub kõveral L. , funktsioonil f(x, y) on tingimuslik maksimum (miinimum), kui ebavõrdsus on täidetud kõigis punktides M (s, y) y) kõver L, mis kuulub punkti M0(x0, V0) mõnda naabrusesse ja erinevad punktist M0 (Kui kõver L on antud võrrandiga, siis funktsiooni r - f(x,y) tingimusliku ekstreemumi leidmise ülesande kõveral! saab sõnastada järgmiselt: leia funktsiooni x ekstreemum. = /(z, y) piirkonnas D eeldusel, et Seega ei saa funktsiooni z = y tingimusliku ekstreemumi leidmisel gnuu argumente enam pidada sõltumatuteks muutujateks: need on omavahel seotud seos y) = 0, mida nimetatakse ühendusvõrrandiks. Tingimusteta ja tingimusliku ekstreemumi erinevuse selgitamiseks vaatame näidet, kus funktsiooni tingimusteta maksimum (joonis 23) on võrdne ühega ja saavutatakse punktis (0,0). See vastab punktile M - pvvboloidi tipule. Liidame ühendusvõrrandi y = j. Siis on sellega ilmselgelt võrdne tingimuslik maksimum, mis saavutatakse punktis (o,|) ja see vastab kuuli tipule Afj, mis on kuuli lõikejoon tasapinnaga y = j. Tingimusteta mvximumi korral on meil mvximum applikatsioon kõigi pinna vpplicvtide hulgas * = 1 - l;2 ~ y1; summvv tingimuslik - ainult vllikvt punktide hulgas pvraboloidv, mis vastavad sirge y = j punktile* mitte xOy tasapinnale. Üks meetoditest funktsiooni tingimusliku ekstreemumi leidmiseks olemasolu ja ühenduse korral on järgmine. Olgu ühendusvõrrand y) - O defineerige y argumendi x unikaalse diferentseeruva funktsioonina: Asendades funktsiooni y asemel funktsiooni, saame ühe argumendi funktsiooni, milles ühenduse tingimus on juba arvesse võetud. Funktsiooni (tingimusteta) ekstreemum on soovitud tingimuslik ekstreemum. Näide. Leia funktsiooni ekstreemum tingimusel Mitme muutuja funktsiooni ekstreemum Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumi mõiste. Ekstreemumi vajalikud ja piisavad tingimused Tingimuslik ekstreemum Pidevate funktsioonide A suurimad ja väikseimad väärtused Ühendusvõrrandist (2") leiame y = 1-x. Asendades selle väärtuse y väärtusega (V), saame funktsiooni üks argument x: Uurime seda ekstreemumi jaoks: kus x = 1 on kriitiline punkt; , seega esitab see funktsiooni r tingimusliku miinimumi (joonis 24). Näidakem teist võimalust tingimuslause probleemi lahendamiseks ekstreemum, mida nimetatakse Lagrange'i kordaja meetodiks Olgu ühenduse olemasolul funktsiooni tingimusliku ekstreemumi punkt Oletame, et ühendusvõrrand defineerib kordumatu pidevalt diferentseeruva funktsiooni punkti xx teatud naabruses. Eeldusel et me saame, et funktsiooni /(r, ip(x)) tuletis x suhtes punktis xq peab olema võrdne nulliga või, mis on sellega samaväärne, f(x, y) diferentsiaaliga punkt Mo" O) Ühendusvõrrandist saame (5) Korrutades viimase võrrandi veel määramata arvulise teguriga A ja liites liige liikme võrra võrdsusega (4), saame (oletame, et). Seejärel saame dx-i meelevaldsuse tõttu võrrandid (6) ja (7) väljendavad vajalikke tingimusi tingimusteta ekstreemumi jaoks funktsiooni punktis, mida nimetatakse Lagrange'i funktsiooniks. Seega on funktsiooni /(x, y) tingimuslik äärmuspunkt, kui, tingimata Lagrange'i funktsiooni statsionaarne punkt, kus A on teatud arvuline koefitsient. Siit saame reegli tingimuslike ekstreemumite leidmiseks: et leida punkte, mis võivad olla funktsiooni kokkuleppelise ekstreemumi punktid ühenduse olemasolul, 1) koostame Lagrange'i funktsiooni, 2) võrdsustame selle tuletised. funktsiooni nulliks ja liites saadud võrranditele ühendusvõrrandi, saame kolmest võrrandist koosneva süsteemi, millest leiame A väärtused ja võimalike äärmuspunktide koordinaadid x, y. Tingimusliku ekstreemumi olemasolu ja olemuse küsimus lahendatakse Lagrange'i funktsiooni teise diferentsiaali märgi uurimise põhjal vaadeldava väärtuste süsteemi x0, V0, A jaoks, mis on saadud punktist (8) tingimusel, et kui , siis punktis (x0, V0) on funktsioonil /(x, y ) tingimuslik maksimum; kui d2F > 0 - siis tingimuslik miinimum. Täpsemalt, kui statsionaarses punktis (xo, J/o) on funktsiooni F(x, y) determinant D positiivne, siis punktis (®o, V0) on funktsiooni f( tingimuslik maksimum x, y), kui ja funktsiooni /(x, y) tingimuslik miinimum, kui Näide. Pöördume uuesti eelmise näite tingimuste juurde: leiame funktsiooni ekstreemumi tingimusel, et x + y = 1. Lahendame ülesande Lagrange'i kordaja meetodil. Lagrange'i funktsioon on sel juhul kujul Statsionaarsete punktide leidmiseks koostame süsteemi Süsteemi kahest esimesest võrrandist saame, et x = y. Seejärel leiame süsteemi kolmandast võrrandist (ühendusvõrrandist), et x - y = j on võimaliku äärmuspunkti koordinaadid. Sel juhul (on näidatud, et A = -1. Seega on Lagrange'i funktsioon. funktsiooni * = x2 + y2 tingimuslik miinimumpunkt tingimusel Lagrange'i funktsioonil pole tingimusteta ekstreemumit. P(x, y ) ei tähenda veel funktsiooni /(x, y) tingimusliku ekstreemumi puudumist ühenduse olemasolul Näide: funktsiooni ekstreemumi leidmine tingimusel y 4 Koostame Lagrange'i funktsiooni ja kirjutame välja süsteemi A määramine ja võimalike ekstreempunktide koordinaadid: Kahest esimesest võrrandist saame x + y = 0 ja jõuame süsteemi, kust x = y = A = 0. Seega on vastav Lagrange'i funktsioon kujuga Punktis (0,0) funktsioonil F(x, y; 0) ei ole tingimusteta ekstreemumit, kuid funktsiooni r = xy tingimuslik ekstreemum. Kui y = x, on ". Tõepoolest, sel juhul r = x2. Siit on selge, et punktis (0,0) on tingimuslik miinimum. "Lagrange'i kordajate meetod kantakse üle suvalise arvu argumentidega funktsioonide korrale/ Otsime funktsiooni ekstreemumi ühendusvõrrandite olemasolul Koostage Lagrange'i funktsioon, kus A|, Az,..., A„, on määramatud konstantsed tegurid. Võrdsustades kõik funktsiooni F esimest järku osatuletised nulliga ja lisades saadud võrranditele ühendusvõrrandid (9), saame n + m võrrandisüsteemi, millest määrame Ab A3|..., At ja koordinaadid x \) x2). » xn tingimusliku ekstreemumi võimalikest punktidest. Küsimust, kas Lagrange'i meetodi abil leitud punktid on tegelikult tingimusliku ekstreemumi punktid, saab sageli lahendada füüsikalist või geomeetrilist laadi kaalutluste põhjal. 15.3. Pidevate funktsioonide suurimad ja väikseimad väärtused Olgu vaja leida funktsiooni z = /(x, y) suurim (väikseim) väärtus, pidev mingis suletud piiratud domeenis D. Teoreemi 3 järgi on selles valdkonnas on punkt (xo, V0), kus funktsioon omandab suurima (väikseima) väärtuse. Kui punkt (xo, y0) asub domeenis D, siis funktsioonil / on selles maksimum (miinimum), seega on meie jaoks huvipakkuv punkt antud juhul funktsiooni /(x, kriitiliste punktide hulgas) y). Funktsioon /(x, y) võib aga saavutada oma suurima (väikseima) väärtuse piirkonna piiril. Seetõttu peate funktsiooni z = /(x, y) suurima (väikseima) väärtuse leidmiseks piiratud suletud alal 2 leidma selle ala sees saavutatud funktsiooni kõik maksimumid (miinimum), samuti funktsiooni suurim (väikseim) väärtus selle ala piiril. Kõigist neist arvudest suurim (väikseim) on funktsiooni z = /(x,y) soovitud suurim (väikseim) väärtus piirkonnas 27. Näitame, kuidas seda tehakse diferentseeruva funktsiooni korral. Prmmr. Leia piirkonna 4 funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused. Leiame funktsiooni kriitilised punktid piirkonnas D. Selleks koostame võrrandisüsteemi. Siit saame x = y « 0, nii et punkt 0 (0,0) on funktsiooni x kriitiline punkt. Kuna Leiame nüüd funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused piirkonna D piiril Г. Piiri osas on meil, et y = 0 on kriitiline punkt ja kuna =, siis selles punktis on funktsioon z = 1 + y2 miinimum on võrdne ühega. Lõigu Г" otstes punktides (, on meil. Kasutades sümmeetriakaalutlusi, saame samad tulemused piiri teiste osade kohta. Lõpuks saame: funktsiooni z = x2+y2 väikseima väärtuse piirkonnas "B on võrdne nulliga ja see saavutatakse sisemise punkti 0 (0, 0) aladel ja kõrgeim väärtus selle funktsiooni võrdne kahega saavutatakse neljas piiripunktis (joonis 25) Joonis 25 Ülesanded Leia funktsioonide definitsioonipiirkond: Koostage funktsioonide tasemejooned: 9 Leia funktsioonide tasapinnad kolmest sõltumatust muutujast: Arvutage funktsioonide piirid: Leia funktsioonide osatuletised ja nende summaarsed diferentsiaalid: Leia kompleksfunktsioonide tuletised: 3 Leia J. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemum Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumi mõiste muutujad. Ekstreemumi vajalikud ja piisavad tingimused Tingimuslik ekstreemum Pidevate funktsioonide suurimad ja väikseimad väärtused 34. Tuletisvalemi kasutamine keeruline funktsioon kaks muutujat, leid ja funktsioonid: 35. Kasutades kahe muutuja kompleksfunktsiooni tuletise valemit, leidke |J ja funktsioonid: Leidke kaudselt antud funktsioonid jj: 40. Leidke puutuja kõvera kalle ristumispunktis see sirgega x = 3. 41. Leia punktid, kus x-kõvera puutuja on paralleelne Ox-teljega. . Järgmistes ülesannetes leidke ja T: Kirjutage pinna puutujatasandi ja normaalväärtuse võrrandid: 49. Kirjutage x2 + 2y2 + 3z2 = 21 pinna puutujatasandite võrrandid, mis on paralleelsed tasapinnaga x + 4y + 6z = 0. Leidke laienduse kolm või neli esimest liiget Taylori valemiga : 50. y punkti (0, 0) läheduses. Kasutades funktsiooni ekstreemumi definitsiooni, uurige ekstreemumi jaoks järgmisi funktsioone:). Kasutades piisavaid tingimusi kahe muutuja funktsiooni ekstreemumi jaoks, uurige funktsiooni ekstreemumit: 84. Leia funktsiooni z = x2 - y2 suurim ja väikseim väärtus suletud ringis 85. Leia suurim ja väikseim väärtus funktsiooni * = x2y(4-x-y) kolmnurgas, mida piiravad sirged x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Määrake väikseima pinnaga ristkülikukujulise avatud basseini mõõtmed eeldusel, et selle ruumala on võrdne V-ga. 87. Leia ristkülikukujulise rööptahuka mõõtmed, mille ruumala on kogupinda 5 arvestades suurim. Vastused 1. ja | Ruut, mis on moodustatud sirglõikudest x koos selle külgedega. 3. Kontsentriliste rõngaste perekond 2= 0,1,2,... .4. Kogu tasapind, välja arvatud sirgetel olevad punktid. Osa tasapinnast, mis asub parabooli kohal y = -x?. 8. Ringjoone x punktid. Kogu tasapind, välja arvatud sirged x Radikaalne avaldis on mittenegatiivne kahel juhul j * ^ või j x ^ ^, mis on vastavalt ekvivalentne lõpmatu võrratuste seeriaga Definitsioonipiirkonnaks on varjutatud ruudud (joonis 26); l mis on ekvivalentne lõpmatu jadaga Funktsioon on defineeritud punktides. a) sirgjoonega x paralleelsed sirged b) kontsentrilised ringid, mille keskpunkt on alguspunktis. 10. a) paraboolid y) paraboolid y a) paraboolid b) hüperboolid | .Lennukid xc. 13.Prime - ümber Oz-telje pöörlevad üheõõnsused hüperboloidid; kui ja on kahelehelised ümber Oz-telje pöörlevad hüperboloidid, on mõlemad pindade perekonnad eraldatud koonusega; Limiiti pole, b) 0. 18. Olgu y = kxt siis z lim z = -2, seega antud funktsioon punktis (0,0) pole piirangut. 19. a) punkt (0,0); b) punkt (0,0). 20. a) Katkestusjoon - ring x2 + y2 = 1; b) murdejoon on sirge y = x. 21. a) Murdejooned - koordinaatteljed Ox ja Oy; b) 0 (tühi komplekt). 22. Kõik punktid (m, n), kus ja n on täisarvud