Mis on tsentripetaalse kiirenduse valem? Ringikujuline liikumine

tsentripetaalne kiirendus- punktkiirenduse komponent, mis iseloomustab kõverusega trajektoori kiirusvektori suuna muutumise kiirust (teine komponent, tangentsiaalne kiirendus, iseloomustab kiirusmooduli muutust). Suunatud trajektoori kõveruskeskme poole, mis on termini põhjus. Suurus võrdub kiiruse ruuduga, mis on jagatud kõverusraadiusega. Mõiste " tsentripetaalne kiirendus"on samaväärne terminiga" normaalne kiirendus". Seda jõudude summa komponenti, mis selle kiirenduse põhjustab, nimetatakse tsentripetaaljõuks.

Enamik lihtne näide tsentripetaalne kiirendus on kiirendusvektor ühtlaseks ringjooneliseks liikumiseks (suunatud ringi keskpunkti poole).

Kiire kiirendus teljega risti olevale tasapinnale projitseerituna näib see tsentripetaalina.

Entsüklopeediline YouTube

1 / 5
A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) a n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)
kus a n (\displaystyle a_(n)\ )- normaalne (tsentripetaalne) kiirendus, v (\displaystyle v\)- (hetkeline) lineaarne liikumiskiirus piki trajektoori, ω (\displaystyle \omega \)- selle liikumise (hetkeline) nurkkiirus trajektoori kõveruskeskme suhtes, R (\displaystyle R\)- trajektoori kõverusraadius antud punktis. (Seos esimese ja teise valemi vahel on ilmne v = ω R (\displaystyle v=\omega R\)).
Ülaltoodud avaldised sisaldavad absoluutväärtusi. Neid saab lihtsalt vektorkujul kirjutada, korrutades e R (\displaystyle \mathbf (e) _(R))- ühikvektor trajektoori kõveruskeskpunktist antud punktini:
a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) a n = ω 2 R . (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .)
Need valemid on võrdselt rakendatavad nii konstantse (absoluutväärtuses) kiirusega liikumise kui ka suvalise juhtumi korral. Teise puhul tuleb aga meeles pidada, et tsentripetaalne kiirendus ei ole täielik vektor kiirendus, kuid ainult selle komponent, mis on risti trajektooriga (või, mis on sama, risti hetkkiiruse vektoriga); kogukiirenduse vektor sisaldab siis ka tangentsiaalset komponenti ( tangentsiaalne kiirendus) a τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\), mis langeb kokku trajektoori puutujaga (või, mis on sama, hetkekiirusega) .

Motivatsioon ja järeldus

See, et kiirendusvektori jaotamine komponentideks – üks piki trajektoori puutujat (tangentsiaalne kiirendus) ja teine selle suhtes risti (tavaline kiirendus) – võib olla mugav ja kasulik, on iseenesest üsna ilmne. Konstantse moodulkiirusega liikudes võrdub tangentsiaalne komponent nulliga ehk sel olulisel konkreetsel juhul jääb see alles ainult tavaline komponent. Lisaks, nagu allpool näha, on igal neist komponentidest oma selged omadused ja struktuur ning tavaline kiirendus sisaldab oma valemi struktuuris üsna olulist ja mittetriviaalset geomeetrilist sisu. Rääkimata olulisest ringis liikumise erijuhtumist.

Formaalne tuletus

Kiirenduse laienemist tangentsiaalseteks ja normaalkomponentideks (millest teine on tsentripetaal- ehk normaalkiirendus) saab leida, diferentseerides aja suhtes kiirusvektorit, mis on kujutatud kui v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau )) läbi ühiktangensi vektori e τ (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau )):
a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d l d d t = d v d l d t = d v d \ t b t = d v d \ t \ t \ t \ t \ t \ t t e 2 v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( n)\ ,)
Siin kasutame ühikulise normaalvektori tähistust trajektoorile ja l (\displaystyle l\)- trajektoori praeguse pikkuse jaoks ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); viimane üleminek kasutab ka ilmset d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ ).
v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )
Tavaline (tsentripetaalne) kiirendus. Samal ajal selle tähendus, selles sisalduvate objektide tähendus, aga ka tõend selle kohta, et see on tõepoolest puutujavektoriga ortogonaalne (st et e n (\displaystyle \mathbf (e) _(n)\ )- tõepoolest normaalne vektor) - tuleneb geomeetrilistest kaalutlustest (tõsiasi, et mis tahes konstantse pikkusega vektori tuletis aja suhtes on risti selle vektori endaga, on üsna lihtne fakt; sel juhul rakendame seda väidet juurde d e τ d t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))

Märkused

On lihtne näha, et tangentsiaalse kiirenduse absoluutväärtus sõltub ainult maapinna kiirendusest, langedes kokku selle absoluutväärtusega, vastupidiselt normaalkiirenduse absoluutväärtusele, mis ei sõltu maapinna kiirendusest, vaid sõltub maapinna kiirusest.
Siin esitatud meetodeid või nende variatsioone saab kasutada selliste mõistete tutvustamiseks nagu kõvera kõverus ja kõvera kõverusraadius (sest juhul, kui kõver on ring, R langeb kokku sellise ringi raadiusega; samuti pole liiga raske näidata, et ring on tasapinnas e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau ),e_(n)\ ) tsentreeritud suunas e n (\displaystyle e_(n)\ ) sellest punktist eemale R sellest - langeb kokku antud kõveraga - trajektoor - kuni teise väiksuse järguni antud punkti kauguses).

Lugu

Esiteks õiged valemid tsentripetaalse kiirenduse (või tsentrifugaaljõu) jaoks sai ilmselt Huygens. Praktiliselt sellest ajast peale on tsentripetaalse kiirenduse arvestamine olnud levinud tehnika mehaaniliste probleemide jms lahendamisel.
Mõnevõrra hiljem mängisid need valemid olulist rolli universaalse gravitatsiooniseaduse avastamisel (tsentripetaalse kiirenduse valemit kasutati gravitatsioonijõu sõltuvuse seaduse saamiseks gravitatsiooniallika kaugusest, tuginedes kolmandale Keplerile. vaatlustest tuletatud seadus).
To XIX sajandil Tsentripetaalse kiirenduse arvestamine on juba muutumas üsna rutiinseks nii puhta teaduse kui ka insenerirakenduste jaoks.

Võimaldab meil siin planeedil eksisteerida. Kuidas mõista, mis on tsentripetaalne kiirendus? Selle määratlus füüsiline kogus allpool esitatud.
Tähelepanekud
Lihtsaim näide ringis liikuva keha kiirendusest on vaadeldav kivi köiel pöörates. Tõmbad köit ja köis tõmbab kivi keskele. Igal ajahetkel annab köis kivile teatud liikumist ja iga kord uues suunas. Võite ette kujutada köie liikumist nõrkade tõmblustena. Tõmblus – ja köis muudab suunda, teine jõnks – veel üks muutus ja nii edasi ringi. Kui lasete järsku trossi lahti, siis tõmblused peatuvad ja koos nendega peatub ka kiiruse suunamuutus. Kivi liigub ringi puutuja suunas. Tekib küsimus: "Millise kiirendusega keha sel hetkel liigub?"
tsentripetaalse kiirenduse valem
Esiteks väärib märkimist, et keha liikumine ringis on keeruline. Kivi osaleb korraga kahte tüüpi liikumises: jõu mõjul liigub ta pöörlemiskeskme poole ja samal ajal, puutujalt ringiga, eemaldub sellest keskpunktist. Newtoni teise seaduse kohaselt on kivi nööril hoidev jõud suunatud seda nööri mööda pöörlemiskeskme poole. Sinna suunatakse ka kiirendusvektor.
Olgu mingi aeg t, et meie kivi, liikudes ühtlaselt kiirusega V, jõuab punktist A punkti B. Oletame, et hetkel, kui keha ületas punkti B, lakkas tsentripetaaljõud talle mõjumast. Siis tabab see teatud aja jooksul punkti K. See asub puutujal. Kui kehale mõjuksid samal ajahetkel ainult tsentripetaaljõud, siis ajas t jõuaks see sama kiirendusega liikudes punkti O, mis asub ringi läbimõõtu tähistaval sirgel. Mõlemad segmendid on vektorid ja järgivad vektorite liitmise reeglit. Nende kahe liikumise liitmisel ajavahemikuks t saame tulemuseks liikumise piki kaaret AB.
Kui ajavahemik t võtta tühiselt väikeseks, erineb kaar AB kõõlust AB vähe. Seega on võimalik kaarelt liikumine asendada liikumisega mööda akordi. Sel juhul järgib kivi liikumine piki kõõlu sirgjoonelise liikumise seadusi, see tähendab, et läbitud vahemaa AB võrdub kivi kiiruse ja selle liikumise aja korrutisega. AB = V x t.
Tähistame soovitud tsentripetaalkiirendust tähega a. Siis saab valemiga arvutada tee, mis kulgeb ainult tsentripetaalse kiirenduse mõjul ühtlaselt kiirendatud liikumine:
Kaugus AB on võrdne kiiruse ja aja korrutisega, st AB = V x t,
AO - arvutatud varem ühtlaselt kiirendatud liikumisvalemi abil sirgjoonel liikumiseks: AO = 2/2 juures.
Asendades need andmed valemisse ja teisendades need, saame lihtsa ja elegantse tsentripetaalse kiirenduse valemi:
Sõnades võib seda väljendada järgmiselt: ringjoonel liikuva keha tsentripetaalne kiirendus võrdub joonkiiruse jagamisega ruudus ringjoone raadiusega, mida mööda keha pöörleb. Tsentripetaalne jõud näeb sel juhul välja nagu alloleval pildil.
Nurkkiirus
Nurkkiirus võrdub lineaarkiirusega, mis on jagatud ringi raadiusega. Tõsi on ka vastupidine: V = ωR, kus ω on nurkkiirus
Kui asendame selle väärtuse valemis, saame nurkkiiruse tsentrifugaalkiirenduse avaldise. See näeb välja selline:
Kiirendus ilma kiiruse muutmiseta
Ja veel, miks ei liigu tsentri poole suunatud kiirendusega keha kiiremini ja ei liigu pöörlemiskeskmele lähemale? Vastus peitub kiirenduse enda sõnastuses. Faktid näitavad, et ringliikumine on tõeline, kuid selle säilitamiseks on vaja kiirendada keskpunkti suunas. Sellest kiirendusest põhjustatud jõu mõjul toimub impulsi muutus, mille tulemusena on liikumistrajektoor pidevalt kõver, muutes kogu aeg kiirusvektori suunda, kuid muutmata selle absoluutväärtust. Ringis liikudes tormab meie kauakannatanud kivi sissepoole, vastasel juhul jätkaks see tangentsiaalset liikumist. Igal ajahetkel puutujalt lahkudes tõmbab kivi keskmesse, kuid ei kuku sellesse. Teine näide tsentripetaalsest kiirendusest oleks veesuusataja, kes teeb vee peal väikseid ringe. Sportlase figuur on kallutatud; tundub, et ta kukub, jätkab liikumist ja kallutab edasi.
Seega võime järeldada, et kiirendus ei suurenda keha kiirust, kuna kiirus- ja kiirendusvektorid on üksteisega risti. Kiirusevektorile lisandudes muudab kiirendus ainult liikumissuunda ja hoiab keha orbiidil.
Ohutusvaru on ületatud
Varasemas kogemuses oli meil tegemist ideaalse köiega, mis ei katkenud. Kuid oletame, et meie köis on kõige levinum ja võite isegi arvutada pingutuse, mille järel see lihtsalt puruneb. Selle jõu arvutamiseks piisab, kui võrrelda trossi ohutusvaru koormusega, mida see kivi pöörlemise ajal kogeb. Kivi suurema kiirusega pöörates annate sellele rohkem liikumist ja seega ka kiirendust.
Džuutköie läbimõõduga umbes 20 mm on selle tõmbetugevus umbes 26 kN. Tähelepanuväärne on see, et köie pikkus ei paista kusagilt. Pöörates 1 kg raskust koormat 1 m raadiusega köiele, saame arvutada, et selle katkemiseks vajalik joonkiirus on 26 x 10 3 = 1kg x V 2 / 1 m. Seega kiirus, mida on ohtlik ületada, on olema võrdne √ 26 x 10 3 \u003d 161 m / s.
Gravitatsioon
Katse kaalumisel jätsime gravitatsiooni mõju tähelepanuta, kuna nii suurtel kiirustel on selle mõju tühine. Aga on näha, et pikka köit lahti kerides kirjeldab keha keerulisemat trajektoori ja läheneb tasapisi maapinnale.
taevakehad
Kui kanda ringliikumise seadused üle ruumi ja rakendada neid taevakehade liikumisele, võime taasavastada mitu ammu tuttavat valemit. Näiteks jõudu, millega keha Maa külge tõmbab, teatakse järgmise valemiga:
Meie puhul on tegur g väga tsentripetaalne kiirendus, mis tuletati eelmisest valemist. Ainult sel juhul hakkab kivi rolli täitma Maa poole tõmbunud taevakeha ja köie rollis on Maa külgetõmbejõud. Tegurit g väljendatakse meie planeedi raadiuses ja selle pöörlemiskiiruses.
Tulemused
Tsentripetaalse kiirenduse olemus seisneb raskes ja tänamatus töös liikuva keha orbiidil hoidmisel. Täheldatakse paradoksaalset juhtumit, kui pideva kiirenduse korral ei muuda keha oma kiirust. Treenimata mõistusele on selline väide üsna paradoksaalne. Sellegipoolest on tsentripetaalkiirendusel oluline roll nii elektroni liikumise arvutamisel ümber tuuma kui ka tähe pöörlemiskiiruse arvutamisel ümber musta augu.

Kuna joonkiirus muudab ühtlaselt suunda, siis liikumist mööda ringi ei saa nimetada ühtlaseks, see on ühtlaselt kiirenev.

Nurkkiirus

Valige ringil punkt 1 . Ehitame raadiuse. Ajaühiku jooksul liigub punkt punkti 2 . Sel juhul kirjeldab raadius nurka. Nurkkiirus on arvuliselt võrdne raadiuse pöördenurgaga ajaühikus.

Periood ja sagedus

Pöörlemisperiood T on aeg, mis kulub kehal ühe pöörde tegemiseks.

RPM on pöörete arv sekundis.

Sagedus ja periood on seotud seosega

Seos nurkkiirusega

Liini kiirus

Iga punkt ringil liigub teatud kiirusega. Seda kiirust nimetatakse lineaarseks. Lineaarkiiruse vektori suund langeb alati kokku ringjoone puutujaga. Näiteks liiguvad veski alt sädemed, korrates hetkekiiruse suunda.

Mõelge punktile ringil, mis teeb ühe pöörde, kulutatud aega – see on periood T. Punkti läbitav tee on ringi ümbermõõt.

tsentripetaalne kiirendus

Ringis liikudes on kiirendusvektor alati kiirusvektoriga risti, suunatud ringi keskpunkti.

Eelnevaid valemeid kasutades saame tuletada järgmised seosed

Punktidel, mis asuvad samal sirgel, mis väljub ringi keskpunktist (näiteks võivad need olla punktid, mis asuvad ratta kodaral), on sama nurkkiiruse, perioodi ja sagedusega. See tähendab, et nad pöörlevad samal viisil, kuid erineva lineaarkiirusega. Mida kaugemal on punkt keskpunktist, seda kiiremini see liigub.

Kiiruste liitmise seadus kehtib ka pöörleva liikumise puhul. Kui keha või tugisüsteemi liikumine ei ole ühtlane, kehtib seadus kohesed kiirused. Näiteks mööda pöörleva karusselli serva kõndiva inimese kiirus võrdub karusselli serva lineaarse pöörlemiskiiruse ja inimese kiiruse vektorsummaga.

Maa on seotud kahe peamise osaga pöörlevad liigutused: ööpäevane (ümber oma telje) ja orbitaalne (ümber Päikese). Maa pöörlemisperiood ümber Päikese on 1 aasta ehk 365 päeva. Maa pöörleb ümber oma telje läänest itta, selle pöörlemise periood on 1 ööpäev ehk 24 tundi. Laiuskraad on nurk ekvaatori tasapinna ja Maa keskpunktist selle pinnapunktini suunduva suuna vahel.

Newtoni teise seaduse järgi on igasuguse kiirenduse põhjuseks jõud. Kui liikuv keha kogeb tsentripetaalset kiirendust, võib seda kiirendust põhjustavate jõudude olemus olla erinev. Näiteks kui keha liigub tema külge seotud köiel ringikujuliselt, siis aktiivne jõud on elastsusjõud.

Kui kettal lamav keha pöörleb koos kettaga ümber oma telje, siis on selline jõud hõõrdejõud. Kui jõud lakkab toimimast, jätkab keha liikumist sirgjooneliselt

Vaatleme punkti liikumist ringjoonel punktist A punkti B. Lineaarkiirus on võrdne v A ja v B vastavalt. Kiirendus on kiiruse muutus ajaühiku kohta. Leiame vektorite erinevuse.

Võimaldab meil siin planeedil eksisteerida. Kuidas mõista, mis on tsentripetaalne kiirendus? Selle füüsikalise suuruse määratlus on esitatud allpool.
Tähelepanekud
Lihtsaim näide ringis liikuva keha kiirendusest on vaadeldav kivi köiel pöörates. Tõmbad köit ja köis tõmbab kivi keskele. Igal ajahetkel annab köis kivile teatud liikumist ja iga kord uues suunas. Võite ette kujutada köie liikumist nõrkade tõmblustena. Tõmblus – ja köis muudab suunda, teine jõnks – veel üks muutus ja nii edasi ringi. Kui lasete järsku trossi lahti, siis tõmblused peatuvad ja koos nendega peatub ka kiiruse suunamuutus. Kivi liigub ringi puutuja suunas. Tekib küsimus: "Millise kiirendusega keha sel hetkel liigub?"
tsentripetaalse kiirenduse valem
Esiteks väärib märkimist, et keha liikumine ringis on keeruline. Kivi osaleb korraga kahte tüüpi liikumises: jõu mõjul liigub ta pöörlemiskeskme poole ja samal ajal, puutujalt ringiga, eemaldub sellest keskpunktist. Newtoni teise seaduse kohaselt on kivi nööril hoidev jõud suunatud seda nööri mööda pöörlemiskeskme poole. Sinna suunatakse ka kiirendusvektor.
Olgu mingi aeg t, et meie kivi, liikudes ühtlaselt kiirusega V, jõuab punktist A punkti B. Oletame, et hetkel, kui keha ületas punkti B, lakkas tsentripetaaljõud talle mõjumast. Siis tabab see teatud aja jooksul punkti K. See asub puutujal. Kui kehale mõjuksid samal ajahetkel ainult tsentripetaaljõud, siis ajas t jõuaks see sama kiirendusega liikudes punkti O, mis asub ringi läbimõõtu tähistaval sirgel. Mõlemad segmendid on vektorid ja järgivad vektorite liitmise reeglit. Nende kahe liikumise liitmisel ajavahemikuks t saame tulemuseks liikumise piki kaaret AB.
Kui ajavahemik t võtta tühiselt väikeseks, erineb kaar AB kõõlust AB vähe. Seega on võimalik kaarelt liikumine asendada liikumisega mööda akordi. Sel juhul järgib kivi liikumine piki kõõlu sirgjoonelise liikumise seadusi, see tähendab, et läbitud vahemaa AB võrdub kivi kiiruse ja selle liikumise aja korrutisega. AB = V x t.
Tähistame soovitud tsentripetaalkiirendust tähega a. Siis saab ainult tsentripetaalse kiirenduse mõjul läbitud tee arvutada ühtlaselt kiirendatud liikumise valemi abil:
Kaugus AB on võrdne kiiruse ja aja korrutisega, st AB = V x t,
AO - arvutatud varem ühtlaselt kiirendatud liikumisvalemi abil sirgjoonel liikumiseks: AO = 2/2 juures.
Asendades need andmed valemisse ja teisendades need, saame lihtsa ja elegantse tsentripetaalse kiirenduse valemi:
Sõnades võib seda väljendada järgmiselt: ringjoonel liikuva keha tsentripetaalne kiirendus võrdub joonkiiruse jagamisega ruudus ringjoone raadiusega, mida mööda keha pöörleb. Tsentripetaalne jõud näeb sel juhul välja nagu alloleval pildil.
Nurkkiirus
Nurkkiirus võrdub lineaarkiirusega, mis on jagatud ringi raadiusega. Tõsi on ka vastupidine: V = ωR, kus ω on nurkkiirus
Kui asendame selle väärtuse valemis, saame nurkkiiruse tsentrifugaalkiirenduse avaldise. See näeb välja selline:
Kiirendus ilma kiiruse muutmiseta
Ja veel, miks ei liigu tsentri poole suunatud kiirendusega keha kiiremini ja ei liigu pöörlemiskeskmele lähemale? Vastus peitub kiirenduse enda sõnastuses. Faktid näitavad, et ringliikumine on tõeline, kuid selle säilitamiseks on vaja kiirendada keskpunkti suunas. Sellest kiirendusest põhjustatud jõu mõjul toimub impulsi muutus, mille tulemusena on liikumistrajektoor pidevalt kõver, muutes kogu aeg kiirusvektori suunda, kuid muutmata selle absoluutväärtust. Ringis liikudes tormab meie kauakannatanud kivi sissepoole, vastasel juhul jätkaks see tangentsiaalset liikumist. Igal ajahetkel puutujalt lahkudes tõmbab kivi keskmesse, kuid ei kuku sellesse. Teine näide tsentripetaalsest kiirendusest oleks veesuusataja, kes teeb vee peal väikseid ringe. Sportlase figuur on kallutatud; tundub, et ta kukub, jätkab liikumist ja kallutab edasi.
Seega võime järeldada, et kiirendus ei suurenda keha kiirust, kuna kiirus- ja kiirendusvektorid on üksteisega risti. Kiirusevektorile lisandudes muudab kiirendus ainult liikumissuunda ja hoiab keha orbiidil.
Ohutusvaru on ületatud
Varasemas kogemuses oli meil tegemist ideaalse köiega, mis ei katkenud. Kuid oletame, et meie köis on kõige levinum ja võite isegi arvutada pingutuse, mille järel see lihtsalt puruneb. Selle jõu arvutamiseks piisab, kui võrrelda trossi ohutusvaru koormusega, mida see kivi pöörlemise ajal kogeb. Kivi suurema kiirusega pöörates annate sellele rohkem liikumist ja seega ka kiirendust.
Džuutköie läbimõõduga umbes 20 mm on selle tõmbetugevus umbes 26 kN. Tähelepanuväärne on see, et köie pikkus ei paista kusagilt. Pöörates 1 kg raskust koormat 1 m raadiusega köiele, saame arvutada, et selle katkemiseks vajalik joonkiirus on 26 x 10 3 = 1kg x V 2 / 1 m. Seega kiirus, mida on ohtlik ületada, on olema võrdne √ 26 x 10 3 \u003d 161 m / s.
Gravitatsioon
Katse kaalumisel jätsime gravitatsiooni mõju tähelepanuta, kuna nii suurtel kiirustel on selle mõju tühine. Aga on näha, et pikka köit lahti kerides kirjeldab keha keerulisemat trajektoori ja läheneb tasapisi maapinnale.
taevakehad
Kui kanda ringliikumise seadused üle ruumi ja rakendada neid taevakehade liikumisele, võime taasavastada mitu ammu tuttavat valemit. Näiteks jõudu, millega keha Maa külge tõmbab, teatakse järgmise valemiga:
Meie puhul on tegur g väga tsentripetaalne kiirendus, mis tuletati eelmisest valemist. Ainult sel juhul hakkab kivi rolli täitma Maa poole tõmbunud taevakeha ja köie rollis on Maa külgetõmbejõud. Tegurit g väljendatakse meie planeedi raadiuses ja selle pöörlemiskiiruses.
Tulemused
Tsentripetaalse kiirenduse olemus seisneb raskes ja tänamatus töös liikuva keha orbiidil hoidmisel. Täheldatakse paradoksaalset juhtumit, kui pideva kiirenduse korral ei muuda keha oma kiirust. Treenimata mõistusele on selline väide üsna paradoksaalne. Sellegipoolest on tsentripetaalkiirendusel oluline roll nii elektroni liikumise arvutamisel ümber tuuma kui ka tähe pöörlemiskiiruse arvutamisel ümber musta augu.

Objekt, mis liigub raadiusega ringikujulisel orbiidil rühtlase tangentsiaalse kiirusega u on kiiruse vektor v, mille suurus on konstantne, kuid mille suund muutub pidevalt. Sellest järeldub, et objektil peab olema kiirendus, kuna (vektor) on (vektori) kiiruse muutumise kiirus ja (vektori) kiirused on ajas tõesti erinevad.

Oletame, et objekt liigub punktist P asja juurde K aja vahel t ja, t + δ t nagu on näidatud ülaloleval pildil. Oletame veel, et objekti pööratakse võrra δθ radiaanid selle aja jooksul. Vektor , nagu on näidatud diagrammil, on identne vektoriga . Samuti nurk vektorite ja selle vahel δθ . Vektor tähistab kiirusvektori muutust, δ v, aja vahel t ja t + δ t. Sellest on selge, et see vektor on suunatud ringi keskpunkti poole. Standardsest trigonomeetriast, vektori pikkus:

Küll aga väikeste nurkade all patt θ ≃ θ , tingimusel, et θ mõõdetuna radiaanides. Järelikult

δv ≃ v δθ.

kus on objekti nurkkiirus radiaanides sekundis. Seega raadiusega ringikujulisel orbiidil liikuv objekt r, ühtlase tangentsiaalse kiirusega v, ja ühtlane nurkkiirus , on kiirendusega, mis on suunatud ringi keskpunkti poole, st tsentripetaalne kiirendus- väärtus:

Oletame, et keha, mass m, kinnitatud kaabli otsa, pikkus r, ja pöörleb nii, et keha kirjeldab raadiusega horisontaalset ringi r, ühtlase tangentsiaalse kiirusega v. Nagu me just õppisime, on kehal tsentripetaalne kiirendus suurusjärgus . Seetõttu kogeb keha tsentripetaalset jõudu

Mis annab selle jõu? Noh, selles näites annab jõu kaabli pinge. Järelikult .

Oletame, et kaabel on selline, mis puruneb, kui pinge selles ületab mingi kriitilise väärtuse. Sellest järeldub, et on olemas maksimaalne kiirus, millega keha saab liikuda, nimelt:

Kui a vületab vmax, läheb kaabel katki. Niipea, kui kaabel puruneb, ei koge keha enam tsentripetaalset jõudu, seega liigub see suure kiirusega vmax sirgjoonel, mis puutub juba olemasoleva ringorbiidiga.