Pöörleva keha kineetilise energia võrrand. Kineetiline energia pöörleva liikumise ajal

« Füüsika – 10. klass

Miks uisutaja venib mööda pöörlemistelge, et suurendada pöörlemise nurkkiirust.
Kas helikopter peaks pöörlema, kui selle propeller pöörleb?

Esitatud küsimused viitavad sellele, et kui kehale ei mõju välised jõud või nende mõju kompenseeritakse ja üks kehaosa hakkab ühes suunas pöörlema, siis teine osa peab pöörlema teises suunas, täpselt nagu siis, kui kütust väljutatakse kehast. rakett, rakett ise liigub vastassuunas.

impulsi hetk.

Kui vaadelda pöörlevat ketast, siis selgub, et ketta koguimpulss on null, kuna ükskõik milline kehaosake vastab absoluutväärtuses võrdse kiirusega, kuid vastupidises suunas liikuvale osakesele (joonis 6.9).

Kuid ketas liigub, kõigi osakeste pöörlemise nurkkiirus on sama. Siiski on selge, et mida kaugemal on osake pöörlemisteljest, seda suurem on tema impulss. Seetõttu on pöörleva liikumise jaoks vaja kasutusele võtta veel üks impulsiga sarnane tunnus - nurkimpulss.

Ringis liikuva osakese nurkimpulss on osakese impulsi ja temast pöörlemistelje kauguse korrutis (joon. 6.10):

Lineaar- ja nurkkiirused on seotud v = ωr, siis

Kõik jäiga aine punktid liiguvad fikseeritud pöörlemistelje suhtes sama nurkkiirusega. Jäika keha võib kujutada materiaalsete punktide kogumina.

nurkmoment tahke keha on võrdne inertsmomendi ja pöörlemise nurkkiiruse korrutisega:

Nurkmoment on vektorsuurus, valemi (6.3) järgi on nurkimpulss suunatud samamoodi nagu nurkkiirus.

Impulsiivsel kujul pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrand.

Keha nurkiirendus võrdub nurkkiiruse muutusega, mis on jagatud ajaintervalliga, mille jooksul see muutus toimus: Asendage see avaldis pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrandiga seega I(ω 2 - ω 1) = MΔt või IΔω = MΔt.

Sellel viisil,

∆L = M∆t. (6.4)

Nurkmomendi muutus võrdub kehale või süsteemile mõjuvate jõudude summaarse momendi ja nende jõudude toimeaja korrutisega.

Nurkmomendi jäävuse seadus:

Kui fikseeritud pöörlemisteljega kehale või kehade süsteemile mõjuvate jõudude summaarne moment on võrdne nulliga, siis nurkimpulsi muutus on samuti võrdne nulliga, st süsteemi nurkimpulss jääb konstantseks.

∆L=0, L=konst.

Süsteemi impulsi muutus on võrdne süsteemile mõjuvate jõudude summaarse impulsiga.

Pöörlev uisutaja sirutab käed külgedele, suurendades seeläbi inertsimomenti, et vähendada pöörlemise nurkkiirust.

Nurkmomendi jäävuse seadust saab demonstreerida järgmise katsega, mida nimetatakse "katseks Žukovski pingiga". Inimene seisab pingil, mille keskpunkti läbib vertikaalne pöörlemistelg. Mees hoiab käes hantleid. Kui pink on pandud pöörlema, saab inimene pöörlemiskiirust muuta, surudes hantlid rinnale või langetades käed ning seejärel laiali ajades. Käed laiali sirutades suurendab ta inertsmomenti ja pöörlemise nurkkiirus väheneb (joonis 6.11, a), käsi langetades vähendab inertsimomenti ja pingi pöörlemise nurkkiirus suureneb (joonis 6.11, a). 6.11, b).

Inimene saab pingi pöörlema panna ka mööda selle serva kõndides. Sel juhul pöörleb pink vastupidises suunas, kuna kogu nurkimment peab jääma võrdseks nulliga.

Güroskoopideks nimetatavate seadmete tööpõhimõte põhineb nurkimpulsi jäävuse seadusel. Güroskoobi põhiomadus on pöörlemistelje suuna säilimine, kui sellele teljele välisjõud ei mõju. 19. sajandil güroskoope kasutasid navigaatorid merel navigeerimiseks.

Pöörleva jäiga keha kineetiline energia.

Pöörleva tahke keha kineetiline energia on võrdne selle üksikute osakeste kineetiliste energiate summaga. Jagagem keha väikesteks elementideks, millest igaüht võib pidada materiaalseks punktiks. Siis võrdub keha kineetiline energia nende materiaalsete punktide kineetilise energia summaga, millest see koosneb:

Keha kõigi punktide pöörlemise nurkkiirus on sama, seega

Sulgudes olev väärtus, nagu me juba teame, on jäiga keha inertsimoment. Lõpuks on fikseeritud pöörlemisteljega jäiga keha kineetilise energia valem selline

Jäiga keha üldisel liikumisel, kui pöörlemistelg on vaba, on selle kineetiline energia võrdne translatsiooni- ja pöörlemisliikumise energiate summaga. Seega on konstantsel kiirusel mööda teed veereva ratta kineetiline energia, mille mass on koondunud veljesse,

Tabelis võrreldakse mehaanika valemeid edasi liikumine materiaalne punkt sarnaste valemitega jäiga keha pöörleva liikumise kohta.

Kuna tahke on erijuhtum materiaalsete punktide süsteemi, siis võrdub keha kineetiline energia ümber fikseeritud telje Z pöörlemisel selle kõigi materiaalsete punktide kineetilise energia summaga, st.

Kõik jäiga keha materiaalsed punktid pöörlevad sel juhul mööda ringjooni, mille raadiused ja nurkkiirused on samad. Jäiga keha iga materiaalse punkti lineaarkiirus on võrdne . Jäiga keha kineetiline energia võtab kuju

Selle avaldise paremal küljel olev summa on kooskõlas punktiga (4.4) selle keha inertsimomenti antud pöörlemistelje suhtes. Seetõttu saab fikseeritud telje suhtes pöörleva jäiga keha kineetilise energia arvutamise valem lõpliku kuju:

. (4.21)

Siin on arvestatud sellega

Jäiga keha kineetilise energia arvutamine suvalise liikumise korral muutub palju keerulisemaks. Vaatleme tasapinnalist liikumist, kui keha kõigi materiaalsete punktide trajektoorid asetsevad paralleelsetes tasandites. Jäiga keha iga materiaalse punkti kiirust vastavalt (1.44) saab esitada kui

kus hetkeliseks pöörlemisteljeks valime keha inertskeskme läbiva telje, mis on risti keha mõne punkti trajektoori tasapinnaga. Sel juhul on viimases avaldises keha inertskeskme kiirus, - nende ringide raadiused, mida mööda keha punktid pöörlevad nurkkiirusega ümber selle inertsi keskpunkti läbiva telje. Kuna sellise liikumisega ^, siis vektoriga võrdne asub punkti trajektoori tasapinnal.

Eeltoodu põhjal on keha kineetiline energia tasapinnalise liikumise ajal võrdne

Tõsttes sulgudes oleva avaldise ruutu ja võttes välja kõigi keha punktide konstantsed väärtused summamärgist kaugemal, saame

Siin võetakse arvesse, et ^.

Vaatleme iga terminit viimase avaldise paremal küljel eraldi. Esimene liige on ilmse võrdsuse tõttu võrdne

Teine liige on võrdne nulliga, kuna summa määrab inertskeskme (3.5) raadiusvektori, mis antud juhul asub pöörlemisteljel. Viimane termin, võttes arvesse (4.4), on kujul . Lõpuks võib jäiga keha suvalise, kuid tasapinnalise liikumise kineetilist energiat esitada kahe liikme summana:

, (4.23)

kus esimene liige on massiga materiaalse punkti kineetiline energia, võrdne massiga keha ja liikumine kiirusega, mis on keha massikesel;

teine liige on keha kineetiline energia, mis pöörleb ümber telje (liikub kiirusega), mis läbib selle inertskeskme.

Järeldused: Seega saab jäiga keha kineetilise energia selle pöörlemisel ümber fikseeritud telje arvutada ühe seose (4.21) ja tasapinnalise liikumise korral (4.23) abil.

Testi küsimused.

4.4. Millistel juhtudel läheb (4.23) üle (4.21)?

4.5. Kuidas näeb välja keha kineetilise energia valem selle tasapinnalise liikumise ajal, kui hetkeline pöörlemistelg ei läbi inertskeset? Mida tähendavad valemis sisalduvad kogused?

4.6. Näidake, et see töötab sisemised jõud jäiga keha pöörlemise ajal on null.

Pöörleva keha kineetilise energia avaldis, võttes arvesse, et keha moodustava suvalise materjali punkti lineaarkiirus pöörlemistelje suhtes on võrdne, on kujul

kus on keha inertsimoment valitud pöörlemistelje suhtes, nurkkiirus selle telje suhtes, keha impulsimoment pöördetelje ümber.

Kui keha sooritab translatsioonilist pöörlevat liikumist, siis kineetilise energia arvutamine sõltub pooluse valikust, mille suhtes keha liikumist kirjeldatakse. Lõpptulemus saab olema sama. Seega, kui ümmarguse keha puhul, mis veereb kiirusel v ilma libisemiseta raadiusega R ja inertsi koefitsiendiga k, võetakse poolus punktis C tema CM-is, siis selle inertsmoment ja pöörlemisnurkkiirus ümber telg С. Siis keha kineetiline energia

Kui poolus võtta keha ja selle pinna kokkupuutepunktis O, mida läbib keha hetkeline pöörlemistelg, siis tema inertsmoment telje O suhtes võrdub . Siis on keha kineetiline energia, võttes arvesse, et keha pöörlemise nurkkiirused paralleelsete telgede suhtes on samad ja keha teeb ümber O-telje puhta pöörlemise, võrdub . Tulemus on sama.

Keerulist liikumist sooritava keha kineetilise energia teoreemil on sama kuju kui selle translatsioonilisel liikumisel: .

Näide 1 Keha massiga m seotakse silindrilisele plokile raadiusega R ja massiga M keritud keerme otsa. Keha tõstetakse kõrgusele h ja vabastatakse (joon. 65). Pärast niidi mitteelastset tõmblust hakkavad korpus ja plokk kohe koos liikuma. Milline soojus tõmbumise ajal vabaneb? Kui suur on keha liikumise kiirendus ja niidi pinge pärast tõmblemist? Kui suur on keha kiirus ja selle läbitud teepikkus pärast niidi jõnksatust aja t järel?

Antud: M, R, m, h, g, t. Otsi: Q -?, a -?, T -?, v -?, s -?

Lahendus: keha kiirus enne niidi tõmbamist. Pärast keerme tõmblemist hakkavad plokk ja keha pöörlema ümber ploki O telje ning käituvad kehadena, mille inertsmoment selle telje ümber on võrdne ja . Nende koguinertsimoment pöörlemistelje suhtes.

Keerme jõnks on kiire protsess ja tõmblemise käigus toimub plokk-kere süsteemi nurkimpulsi jäävuse seadus, mis tänu sellele, et keha ja plokk kohe pärast jõnksu hakkavad koos liikuma. , on kujul: . Kust tuleb ploki esialgne pöörlemise nurkkiirus , ja keha algne lineaarkiirus .

Süsteemi kineetiline energia, mis tuleneb selle nurkmomendi säilimisest vahetult pärast keermetõmbumist, on võrdne . Soojus, mis eraldub jõnksu ajal vastavalt energia jäävuse seadusele

Süsteemi kehade dünaamilised liikumisvõrrandid pärast keerme jõnksutamist ei sõltu nende algkiirusest. Ploki puhul näeb see välja või , ja keha jaoks . Lisades need kaks võrrandit, saame . Kust tuleb keha liikumise kiirendus. Keerme pingutusjõud

Keha kinemaatilised liikumisvõrrandid pärast jõnksu saavad sellise kuju kus kõik parameetrid on teada.

Vastus: . .

Näide 2. Kaks ümmargust keha, millel on inertsi koefitsiendid (õõnes silinder) ja (kuul), mis asuvad kaldenurgaga kaldtasandi põhjas α teatage sama algkiirused suunatud ülespoole piki kaldtasapinda. Millisele kõrgusele ja mis ajaga kehad sellele kõrgusele tõusevad? Millised on keha tõusu kiirendused? Mitu korda erinevad kehade tõusu kõrgused, ajad ja kiirendused? Kehad liiguvad mööda kaldtasandit libisemata.

Antud: . Otsi:

Lahendus: Kehale mõjub: gravitatsioon m g, kaldtasandi reaktsioon N, ja haardumishõõrdejõud (joonis 67). Normaalreaktsiooni töö ja haardumishõõrdejõud (keha ja tasapinna haardumispunktis libisemist ja soojust ei eraldu.) võrdub nulliga: , seetõttu on kehade liikumise kirjeldamiseks võimalik rakendada energia jäävuse seadust: . Kus.

Kehade liikumise ajad ja kiirendused leiame kinemaatilistest võrranditest . Kus , . Kehade tõusu kõrguste, aegade ja kiirenduste suhe:

Vastus: , , , .

Näide 3. Kiirusega lendav massikuul tabab massiga M ja raadiusega R kuuli keskpunkti, mis on kinnitatud massiga m ja pikkusega l varda otsa, mis ripub teise otsa punktis O, ja lendab sellest välja. kiirusega (joonis 68). Leidke varda-kuuli süsteemi pöörlemise nurkkiirus vahetult pärast lööki ja varda läbipaindenurk pärast kuuli lööki.

Antud: . Otsi:

Lahendus: Varda ja kuuli inertsmomendid varda vedrustuse punkti O suhtes vastavalt Steineri teoreemile: ja . Varras-kuuli süsteemi koguinertsimoment . Kuuli löök on kiire protsess ning toimub kuuli-varras-kuuli süsteemi nurkimpulsi jäävuse seadus (kehad hakkavad pärast kokkupõrget pöörlema): . Kust tuleb varda-kuuli süsteemi nurkkiirus vahetult pärast kokkupõrget?

Varras-kuuli süsteemi CM-i asend vedrustuspunkti O suhtes: . Süsteemi CM energia jäävuse seadus pärast kokkupõrget, võttes arvesse süsteemi nurkimpulsi jäävuse seadust kokkupõrkel, on kujul . Kus on süsteemi CM kõrgus pärast kokkupõrget . Varda läbipaindenurk pärast kokkupõrget määratakse tingimusega .

Vastus: , , .

Näide 4. Ümmarguse kehale massiga m ja raadiusega R, inertsi koefitsiendiga k, mis pöörleb nurkkiirusega , surutakse klots jõuga N (joonis 69). Mis aja möödudes silinder seiskub ja kui palju soojust eraldub, kui king selle aja jooksul vastu silindrit hõõrub? Padja ja silindri vaheline hõõrdetegur on .

Antud: Otsi:

Lahendus: Hõõrdejõu töö kuni keha peatumiseni vastavalt kineetilise energia teoreemile on võrdne . Pöörlemisel eralduv soojus .

Keha pöörleva liikumise võrrandil on vorm . Kus nurkkiirendus selle aeglane pöörlemine . Kere pöörlemise aeg enne selle peatumist.

Vastus: , .

Näide 5. ümar keha mass m ja raadius R inertsi koefitsiendiga k keeratakse lahti nurkkiiruseni vastupäeva ja asetatakse horisontaalsele pinnale, mis ühendab vertikaalset seina (joonis 70). Mis aja pärast keha peatub ja mitu pööret teeb enne peatumist? Kui suur on selle aja jooksul keha pinnale hõõrdumisel eralduv soojus? Keha hõõrdetegur pinnal on .

Antud: . Otsi:

Lahendus: Keha pöörlemisel kuni selle peatumiseni eralduv soojus võrdub hõõrdejõudude tööga, mille saab leida keha kineetilise energia teoreemist. Meil on .

Horisontaaltasandi reaktsioon. Horisontaal- ja vertikaalpinnalt kehale mõjuvad hõõrdejõud on võrdsed: ja .Nende kahe võrrandi süsteemist saame ja .

Neid seoseid arvesse võttes on keha pöörleva liikumise võrrandil kuju

Vastus: , , , .

Näide 6. Ümmargune keha inertsiteguriga k veereb horisontaalsel pinnal seistes raadiusega R poolkera tipust alla libisemata (joonis 71). Millisel kõrgusel ja millise kiirusega murdub see poolkerast lahti ja millise kiirusega kukub horisontaalsele pinnale?

Antud: k, g, R. Otsi:

Lahendus: kehale mõjuvad jõud . Töö ja 0, (poolkera ja kuuli haakepunktis libisemist ja soojust ei eraldu), seetõttu on keha liikumise kirjeldamiseks võimalik rakendada energia jäävuse seadust. Newtoni teine seadus keha CM kohta poolkerast eraldumise punktis, võttes arvesse, et sellel hetkel on keha kuju , kust . Keha algpunkti ja eralduspunkti energia jäävuse seadus on kujul . Kui keha kõrgus ja poolkerast eraldumise kiirus on võrdsed, .

Pärast keha eraldumist poolkerast muutub ainult selle translatsiooniline kineetiline energia, mistõttu keha eraldumise ja maapinnale langemise punktide energia jäävuse seadus on kujul . Kuhu, võttes arvesse, saame . Hõõrdumiseta poolkera pinnal libiseva keha puhul k=0 ja , , .

Vastus: , , .

Määrame kindlaks ümber fikseeritud telje pöörleva jäiga keha kineetilise energia. Jagame selle keha n materiaalseks punktiks. Iga punkt liigub lineaarse kiirusega υ i =ωr i, siis punkti kineetiline energia

või

Pöörleva jäiga keha kogu kineetiline energia on võrdne kõigi selle materiaalsete punktide kineetiliste energiate summaga:

(3.22)

(J - keha inertsimoment pöörlemistelje suhtes)

Kui kõigi punktide trajektoorid asetsevad paralleelsetel tasapindadel (nagu kaldtasapinnal alla veerev silinder, iga punkt liigub oma tasapinnal joon.), on see tasane liikumine. Euleri printsiibi järgi saab tasapinnalist liikumist alati lõpmatul hulgal translatsiooni- ja pöörlemisliikumiseks lagundada. Kui pall kukub või libiseb mööda kaldtasapinda, liigub see ainult edasi; kui pall veereb, siis see ka pöörleb.

Kui keha sooritab translatsiooni- ja pöörlemisliigutusi samal ajal, on tema kogu kineetiline energia võrdne

(3.23)

Translatsiooni- ja pöörlemisliikumise kineetilise energia valemite võrdlusest on näha, et pöörleva liikumise inertsi mõõt on keha inertsimoment.

§ 3.6 Välisjõudude töö jäiga keha pöörlemisel

Jäiga keha pöörlemisel selle potentsiaalne energia ei muutu, seetõttu on välisjõudude elementaarne töö võrdne keha kineetilise energia juurdekasvuga:

dA = dE või

Arvestades, et Jβ = M, ωdr = dφ, on keha α lõpliku nurga φ juures võrdub

(3.25)

Kui jäik keha pöörleb ümber fikseeritud telje, määrab välisjõudude töö nende jõudude momendi mõju antud telje ümber. Kui jõudude moment telje ümber on võrdne nulliga, siis need jõud tööd ei tekita.

Näited probleemide lahendamisest

Näide 2.1. hooratta massm=5kg ja raadiusr= 0,2 m pöörleb sagedusega ümber horisontaalteljeν 0 =720 min -1 ja peatub pidurdamiselt=20 s. Leidke enne peatumist pidurdusmoment ja pöörete arv.

Pidurdusmomendi määramiseks rakendame pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrandit

kus I=mr 2 on ketta inertsimoment; Δω \u003d ω - ω 0 ja ω \u003d 0 on lõplik nurkkiirus, ω 0 \u003d 2πν 0 on esialgne. M on kettale mõjuvate jõudude pidurdusmoment.

Teades kõiki koguseid, on võimalik määrata pidurdusmoment

Mr 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

Pöörleva liikumise kinemaatikast saab ketta pöörlemise nurga kuni peatumiseni määrata valemiga

(3)

kus β on nurkiirendus.

Vastavalt ülesande tingimusele: ω = ω 0 - βΔt, kuna ω=0, ω 0 = βΔt

Seejärel saab avaldise (2) kirjutada järgmiselt:

Näide 2.2. Kaks sama raadiuse ja massiga ketaste kujul olevat hooratast keerutati kuni pöörlemiskiirusenin= 480 p/min ja jäeti endale. Laagrite võllide hõõrdejõudude mõjul peatus esimene pärast sedat\u003d 80 s ja teine tegigiN= 240 pööret peatamiseks. Millises hoorattas oli võllide hõõrdejõudude moment laagritel suurem ja mitu korda.

Leiame esimese hooratta okaste jõudude momendid M 1 kasutades pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrandit

M 1 Δt \u003d Iω 2 - Iω 1

kus Δt on hõõrdejõudude momendi toimeaeg, I \u003d mr 2 - hooratta inertsimoment, ω 1 \u003d 2πν ja ω 2 \u003d 0 on hooratta alg- ja lõplik nurkkiirus

Siis

Teise hooratta hõõrdejõudude momenti M 2 väljendatakse hõõrdejõudude töö A ja selle kineetilise energia muutuse ΔE k seose kaudu:

kus Δφ = 2πN on pöördenurk, N on hooratta pöörete arv.

Siis kuhu

O suhe saab olema

Teise hooratta hõõrdemoment on 1,33 korda suurem.

Näide 2.3. Homogeense tahke ketta mass m, koormuste massid m 1 ja m 2 (joon.15). Silindri teljel ei esine keerme libisemist ja hõõrdumist. Leidke masside kiirendus ja keerme pingete suheliikumise protsessis.

Keerme libisemist ei toimu, mistõttu kui m 1 ja m 2 teevad translatsioonilise liikumise, siis silinder pöörleb ümber punkti O läbiva telje. Eeldame täpsuse huvides, et m 2 > m 1.

Seejärel langetatakse koormus m 2 ja silinder pöörleb päripäeva. Kirjutame üles süsteemi kuuluvate kehade liikumisvõrrandid

Esimesed kaks võrrandit on kirjutatud kehade massiga m 1 ja m 2 jaoks, mis sooritavad translatsioonilist liikumist, ja kolmas võrrand on mõeldud pöörleva silindri jaoks. Kolmandas võrrandis on vasakul silindrile mõjuvate jõudude summaarne moment (jõumoment T 1 võetakse miinusmärgiga, kuna jõud T 1 kipub silindrit vastupäeva pöörama). Paremal on I silindri inertsimoment telje O suhtes, mis on võrdne

kus R on silindri raadius; β on silindri nurkkiirendus.

Kuna niit ei libise,
. Võttes arvesse I ja β avaldisi, saame:

Süsteemi võrrandid liites jõuame võrrandini

Siit leiame kiirenduse a lasti

Saadud võrrandist on näha, et niidi pinged on samad, st. =1, kui silindri mass on palju väiksem kui raskuste mass.

Näide 2.4. Õõneskuuli massiga m = 0,5 kg on välimine raadius R = 0,08 m ja sisemine raadius r = 0,06 m. Pall pöörleb ümber selle keskpunkti läbiva telje. Teatud hetkel hakkab kuulile mõjuma jõud, mille tulemusena muutub kuuli pöördenurk vastavalt seadusele
. Määrake rakendatud jõu hetk.

Ülesande lahendame kasutades pöörleva liikumise dünaamika põhivõrrandit
. Peamine raskus on õõneskuuli inertsmomendi määramine ja nurkkiirendus β leitakse kui
. Õõneskuuli inertsimoment I on võrdne raadiusega R kuuli ja raadiusega r kuuli inertsimomentide vahega:

kus ρ on kuuli materjali tihedus. Leiame tiheduse, teades õõnsa palli massi

Siit määrame palli materjali tiheduse

Jõumomendi M jaoks saame järgmise avaldise:

Näide 2.5. Õhuke varras massiga 300 g ja pikkusega 50 cm pöörleb nurkkiirusega 10 s -1 horisontaaltasandil ümber varda keskosa läbiva vertikaaltelje. Leia nurkkiirus, kui varras liigub samal tasapinnal pöörlemise ajal nii, et pöörlemistelg läbib varda otsa.

Kasutame nurkimpulsi jäävuse seadust

(1)

(J i - varda inertsimoment pöörlemistelje suhtes).

Isoleeritud kehade süsteemi puhul jääb impulsimomendi vektorsumma konstantseks. Tulenevalt asjaolust, et varda massi jaotus pöörlemistelje suhtes muutub, muutub ka varda inertsimoment vastavalt punktile (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)

On teada, et varda inertsimoment massikeskpunkti läbiva ja vardaga risti oleva telje suhtes on võrdne

J 0 \u003d mℓ 2/12. (3)

Steineri teoreemi järgi

J = J°+m a 2

(J on varda inertsimoment suvalise pöörlemistelje suhtes; J 0 on inertsimoment massikeskpunkti läbiva paralleeltelje suhtes; a- kaugus massikeskmest valitud pöörlemisteljeni).

Leiame inertsimomendi telje suhtes, mis läbib selle otsa ja on vardaga risti:

J 2 \u003d J 0 +m a 2, J2 = mℓ2/12 +m(l/2) 2 = mℓ2/3. (neli)

Asendame valemid (3) ja (4) valemiga (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = m ℓ 2 ω 2 /3

ω 2 \u003d ω 1 /4 ω 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2,5 s -1

Näide 2.6 . massimeesm= 60 kg, seisab platvormi serval massiga M = 120 kg, pöörleb inertsiga ümber fikseeritud vertikaaltelje sagedusega ν 1 =12 min -1 , läheb selle keskele. Arvestades platvormi ümmarguse homogeense kettana ja inimest punktmassina, määrake, millise sagedusega ν 2 platvorm hakkab seejärel pöörlema.

Arvestades: m = 60 kg, M = 120 kg, ν 1 = 12 min -1 = 0,2 s -1 .

Leia: v 1

Lahendus: Vastavalt probleemi seisukorrale pöörleb platvorm koos inimesega inertsist, s.o. kõigi pöörlevale süsteemile rakendatavate jõudude tulemuseks olev moment on null. Seetõttu on "platvormimehe" süsteemi jaoks impulsi jäävuse seadus täidetud

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

kus
- süsteemi inertsmoment, kui inimene seisab platvormi serval (arvestasime, et platvormi inertsmoment on võrdne (R on raadius p
platvorm), inimese inertsimoment platvormi servas on mR 2).

- süsteemi inertsimoment, kui inimene seisab platvormi keskel (arvestasime, et platvormi keskel seisva inimese moment on võrdne nulliga). Nurkkiirus ω 1 = 2π ν 1 ja ω 1 = 2π ν 2 .

Asendades kirjutatud avaldised valemiga (1), saame

kust soovitud pöörlemiskiirus

Vastus: v 2 =24 min -1.

Pöörleva liikumise peamised dünaamilised omadused on nurkimment pöörlemistelje z ümber:

ja kineetiline energia

Üldjuhul leitakse energia nurkkiirusega pöörlemisel järgmise valemiga:

, kus on inertsi tensor .

Termodünaamikas

Täpselt samadel põhjustel nagu translatsioonilise liikumise puhul, tähendab võrdsus, et termilise tasakaalu korral on üheaatomilise gaasi iga osakese keskmine pöörlemisenergia: (3/2) k B T. Samamoodi võimaldab võrdse jaotumise teoreem arvutada molekulide ruutkeskmise nurkkiiruse.

Vaata ka

Wikimedia sihtasutus. 2010 .

Vaadake, mis on "pöörleva liikumise energia" teistes sõnaraamatutes:

Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Energia (tähendused). Energia, mõõde ... Wikipedia

LIIKUMISED- LIIKUMINE. Sisu: Geomeetria D.................452 Kinemaatika D.................456 Dünaamika D. ...................461 Mootorimehhanismid ......................465 D uurimise meetodid. inimesest ..........471 Patoloogia D. isikust ............. 474 ... ... Suur meditsiiniline entsüklopeedia

Kineetiline energia energia mehaaniline süsteem, olenevalt selle punktide kiirustest. Jaotage sageli translatsiooni- ja pöörlemisliikumise kineetiline energia. Täpsemalt öeldes on kineetiline energia erinevus kogu ... ... Vikipeedia vahel

α-peptiidi termiline liikumine. Peptiidi moodustavate aatomite kompleksne värisev liikumine on juhuslik ja üksiku aatomi energia kõigub laias vahemikus, kuid võrdsusseadust kasutades arvutatakse iga ... ... Wikipedia keskmise kineetilise energiana

- (prantsuse marées, saksa Gezeiten, inglise tide) perioodilised kõikumised veetase tänu kuu ja päikese külgetõmbejõule. Üldine informatsioon. P. on enim märgatav piki ookeanide kaldaid. Vahetult pärast suurima mõõna mõõnaperioodi hakkab ookeani tase tõusma ... ... entsüklopeediline sõnaraamat F. Brockhaus ja I.A. Efron

Külmutuslaev Ivory Tirupati esialgne stabiilsus on negatiivne Stabiilsusvõime ... Wikipedia

Külmlaeva Ivory Tirupati esialgne stabiilsus on negatiivne Püsivus ujuvvahendi vastupanuvõime välised jõud, põhjustades selle veeremise või kärpimise ja naasmise tasakaaluseisundisse häiriva ... ... Wikipedia