Maatriksi astme arvutamine definitsiooni järgi. Maatriksi auaste ja maatriksi alusminoor

Olgu A maatriks suurustega m\ korda n ja k on naturaalarv, mitte üle m ja n: k\leqslant\min\(m;n\). Väike k-s tellimus maatriks A on k-ndat järku maatriksi determinant, mille moodustavad maatriksi A suvaliselt valitud k rea ja k veeru ristumiskohas olevad elemendid. Alaealiste tähistamisel märgime ülemiste indeksitena valitud ridade numbrid ja alumise indeksina valitud veergude numbrid, järjestades need kasvavas järjekorras.

Näide 3.4. Kirjutage maatriksi erineva järgu alaealised

A=\begin(pmaatriks)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmaatriks)\!.

Lahendus. Maatriksi A mõõtmed on 3\ korda4. Sellel on: 12 I järgu alaealist, näiteks alaealist M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 2. järgu alaealised, näiteks M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 3. järku alaealised, näiteks

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

Maatriksis A, mille mõõtmed on m\ korda n, nimetatakse r-ndat järku minoorset põhilised, kui see on nullist erinev ja kõik (r+1)-ro järgu minoorid on võrdsed nulliga või neid pole üldse olemas.

Maatriksi auaste nimetatakse põhimolli järjekorraks. Nullmaatriksis puudub alusmoll. Seetõttu on nullmaatriksi aste definitsiooni järgi võrdne nulliga. Maatriksi A aste on tähistatud tähisega \operaatorinimi(rg)A.

Näide 3.5. Leia kõik põhimollid ja maatriksi auaste

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Lahendus. Kõik selle maatriksi kolmandat järku minoorsed väärtused on võrdsed nulliga, kuna nende determinantide kolmas rida on null. Seetõttu saab põhiline olla ainult maatriksi kahes esimeses reas asuv teist järku moll. Läbides 6 võimalikku alaealist, valime nullist erineva

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmaatriks)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmaatriks) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Kõik need viis alaealist on põhilised. Seetõttu on maatriksi auaste 2.

Märkused 3.2

1. Kui maatriksis on kõik k-ndat järku mollid võrdsed nulliga, siis on ka kõrgemat järku mollid võrdsed nulliga. Tõepoolest, laiendades (k+1)-ro järgu molli üle mis tahes rea, saame selle rea elementide korrutiste summa k-ndat järku mollite kaupa ja need on võrdsed nulliga.

2. Maatriksi järk on võrdne selle maatriksi nullist erineva minoori kõrgeima järguga.

3. Kui ruutmaatriks ei ole ainsus, on selle järjestus võrdne selle järjestusega. Kui ruutmaatriks on ainsuses, on selle järjestus väiksem.

4. Nimetusi kasutatakse ka auastme kohta \operaatorinimi(Rg)A,~ \operaatorinimi(ring)A,~ \operaatorinimi(aste)A.

5. Ploki maatriksi auaste on defineeritud kui tavalise (numbrilise) maatriksi auaste, st. sõltumata selle ploki struktuurist. Sel juhul ei ole plokimaatriksi auaste väiksem kui selle plokkide auaste: \operaatorinimi(rg)(A\mid B)\geqslant\operaatorinimi(rg)A Ja \operaatorinimi(rg)(A\mid B)\geqslant\operaatorinimi(rg)B, kuna kõik maatriksi A (või B ) minoorsed on ka plokkmaatriksi (A\mid B) minoorsed .

Teoreemid molli ja maatriksi auastme alusel

Vaatleme peamisi teoreeme, mis väljendavad maatriksi veergude (ridade) lineaarse sõltuvuse ja lineaarse sõltumatuse omadusi.

Teoreem 3.1 minoori alusel. Suvalises maatriksis A on iga veerg (rida) lineaarne kombinatsioon veergudest (ridadest), milles asub põhimoll.

Tõepoolest, ilma üldistust kaotamata eeldame, et maatriksis A, mille suurus on m\ korda n, asub põhimoll esimeses r reas ja esimeses r veerus. Mõelge determinandile

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmaatriks),

mis saadakse maatriksi A alusmollile omistades vastava st elemendid read ja k-s veerg. Pange tähele, et mis tahes 1\leqslant s\leqslant m ja see determinant on võrdne nulliga. Kui s\leqslant r või k\leqslant r , siis determinant D sisaldab kahte identset rida või kahte identset veergu. Kui s>r ja k>r, siis on determinant D võrdne nulliga, kuna see on (r+l)-ro järgu moll. Laiendades determinanti mööda viimast rida, saame

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

kus D_(r+1\,j) on viimase rea elementide algebralised täiendid. Pange tähele, et D_(r+1\,r+1)\ne0, kuna see on põhimoll. Sellepärast

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Kus \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

need. k-s veerg (mis tahes 1\leqslant k\leqslant n) on põhi-molli veergude lineaarne kombinatsioon, mida meil oli vaja tõestada.

Põhiteoreem on mõeldud järgmiste oluliste teoreemide tõestamiseks.

Tingimus, et determinand oleks null

Teoreem 3.2 (vajalik ja piisav tingimus, et determinant oleks null). Selleks, et determinant oleks võrdne nulliga, on vajalik ja piisav, et üks selle veergudest (üks selle ridadest) oleks ülejäänud veergude (ridade) lineaarne kombinatsioon.

Tõepoolest, vajalikkus tuleneb põhimolloori teoreemist. Kui determinant ruutmaatriks n-s järk on võrdne nulliga, siis on selle järk väiksem kui n, s.t. vähemalt üks veerg ei kuulu alus-minoori hulka. Seejärel on see teoreemi 3.1 järgi valitud veerg nende veergude lineaarne kombinatsioon, milles asub põhimoll. Lisades sellele kombinatsioonile vajadusel muid nullkoefitsientidega veerge, saame, et valitud veerg on maatriksi ülejäänud veergude lineaarne kombinatsioon. Determinandi omadustest tuleneb piisavus. Kui näiteks determinandi viimane veerg A_n \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) lineaarselt väljendatuna ülejäänu kaudu

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

seejärel lisage A_n veergu A_1 korrutatuna (-\lambda_1), seejärel veeru A_2 korrutisega (-\lambda_2) jne. veerg A_(n-1) korrutatuna (-\lambda_(n-1)) saame determinandi \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) nullveeruga, mis on võrdne nulliga (determinandi omadus 2).

Maatriksi järgu invariantsus elementaarteisenduste korral

Teoreem 3.3 (järgu muutumise kohta elementaarteisenduste korral). Maatriksi veergude (ridade) elementaarsete teisenduste käigus selle järjestus ei muutu.

Tõepoolest, las olla. Oletame, et maatriksi A veergude ühe elementaarse teisenduse tulemusel saime maatriksi A". Kui sooritati I tüüpi teisendus (kahe veeru permutatsioon), siis järjekorda mis tahes minoorne (r+l)-ro maatriksist A" on kas võrdne maatriksi A järku vastava minoorse (r+l )-ro või erineb sellest märgi poolest (determinandi omadus 3). Kui viidi läbi II tüüpi teisendus (korrutades veeru arvuga \lambda\ne0 ), siis iga maatriksi A" suurusjärgu alamoor (r+l)-ro on võrdne vastava minooriga (r+l) -ro maatriksi A suurusjärku või sellest erinev tegur \lambda\ne0 (determinandi omadus 6) Kui teostati III tüüpi teisendus (liidetakse ühele veerule teine ​​veerg, mis on korrutatud arvuga \Lambda), siis mis tahes maatriksi A" (r+1) järgu moll on kas võrdne maatriksi A vastava minoorse (r+1) järguga (determinandi omadus 9) või kahe summaga alaealised (r+l)-ro maatriksi A järku (determinandi omadus 8). Seetõttu on mis tahes tüüpi elementaarteisendusel kõik maatriksi A" järgu minoorsed (r+l)-ro võrdsed nulliga, kuna kõik maatriksi A suurusjärgu minoorsed (r+l)-ro on võrdne nulliga Seega on tõestatud, et veergude elementaarteisenduste korral ei saa järgmaatriks suureneda.Kuna elementaarteisendused on elementaarteisendused, ei saa maatriksi auaste veergude elementaarteisenduste korral langeda, st ei muutu. Samamoodi on tõestatud, et maatriksi auaste ei muutu ridade elementaarteisenduste korral.

Järeldus 1. Kui maatriksi üks rida (veerg) on ​​selle teiste ridade (veergude) lineaarne kombinatsioon, saab selle rea (veeru) maatriksist kustutada ilma selle järjestust muutmata.

Tõepoolest, sellise stringi saab nulliks muuta elementaarteisenduste abil ja nullstringi ei saa lisada põhimolli.

Järeldus 2. Kui maatriks taandatakse kõige lihtsamale kujule (1.7), siis

\operaatorinimi(rg)A=\operaatorinimi(rg)\Lambda=r\,.

Tõepoolest, kõige lihtsama vormi (1.7) maatriksil on r-ndat järku alusmoll.

Järeldus 3. Iga mitteainsuse ruutmaatriks on elementaarne, teisisõnu, mis tahes mitteainsuse ruutmaatriks on samaväärne sama järku identiteedimaatriksiga.

Tõepoolest, kui A on n-ndat järku mitteainsuse ruutmaatriks, siis \operaatorinimi(rg)A=n(vt märkuste 3.2 lõige 3). Seega, viies maatriksi A elementaarteisendustega lihtsaimale kujule (1.7), saame identiteedimaatriksi \Lambda=E_n , kuna \operaatorinimi(rg)A=\operaatorinimi(rg)\Lambda=n(vt Järeldus 2). Seetõttu on maatriks A ekvivalentne identiteedimaatriksiga E_n ja selle saab sealt lõpliku arvu elementaarteisenduste tulemusena. See tähendab, et maatriks A on elementaarne.

Teoreem 3.4 (maatriksi järgu kohta). Maatriksi järjestus on võrdne selle maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalse arvuga.

Tegelikult lase \operaatorinimi(rg)A=r. Siis on maatriksil A r lineaarselt sõltumatut rida. Need on read, milles asub põhimoll. Kui need oleksid lineaarselt sõltuvad, siis oleks see alaline teoreemi 3.2 järgi võrdne nulliga ja maatriksi A aste ei oleks võrdne r-ga. Näitame, et r on maksimaalne lineaarselt sõltumatute ridade arv, s.o. kõik p read on lineaarselt sõltuvad p>r-st. Tõepoolest, nendest p ridadest moodustame maatriksi B. Kuna maatriks B on maatriksi A osa, siis \operaatorinimi(rg)B\leqslant \operaatorinimi(rg)A=r

See tähendab, et vähemalt üks rida maatriksist B ei kuulu selle maatriksi alusmolli. Seejärel on see põhimolli teoreemi järgi võrdne nende ridade lineaarse kombinatsiooniga, milles alusmoll asub. Seetõttu on maatriksi B read lineaarselt sõltuvad. Seega on maatriksil A maksimaalselt r lineaarselt sõltumatut rida.

Järeldus 1. Maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalne arv on võrdne lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalse arvuga:

\operaatorinimi(rg)A=\operaatorinimi(rg)A^T.

See väide tuleneb teoreemist 3.4, kui rakendada seda transponeeritud maatriksi ridadele ja arvestada, et minoorsed transponeerimise käigus ei muutu (determinandi omadus 1).

Järeldus 2. Maatriksi ridade elementaarsete teisenduste ajal säilib selle maatriksi mis tahes veergude süsteemi lineaarne sõltuvus (või lineaarne sõltumatus).

Tegelikult valime antud maatriksist A mis tahes k veergu ja koostame nendest maatriksi B. Maatriks A" saadakse maatriksi A ridade elementaarteisenduste tulemusena ja maatriks B" maatriksi B ridade samade teisenduste tulemusena. Lause 3.3 järgi \operaatorinimi(rg)B"=\operaatorinimi(rg)B. Seega, kui maatriksi B veerud oleksid lineaarselt sõltumatud, s.t. k=\operaatorinimi(rg)B(vt Järeldus 1), siis on maatriksi B" veerud samuti lineaarselt sõltumatud, kuna k=\operaatorinimi(rg)B". Kui maatriksi B veerud oleksid lineaarselt sõltuvad (k>\operaatorinimi(rg)B), siis on maatriksi B" veerud samuti lineaarselt sõltuvad (k>\operaatorinimi(rg)B"). Järelikult säilitatakse maatriksi A mis tahes veergude puhul lineaarne sõltuvus või lineaarne sõltumatus elementaarsete rea teisenduste korral.

Märkused 3.3

1. Teoreemi 3.4 järelduse 1 kohaselt kehtib 2. järelduses näidatud veergude omadus ka iga maatriksiridade süsteemi puhul, kui elementaarteisendusi teostatakse ainult selle veergudel.

2. Teoreemi 3.3 järeldust 3 saab täpsustada järgmiselt: mis tahes mitteainsuse ruutmaatriksi, kasutades ainult selle ridade (või ainult veergude) elementaarteisendusi, saab taandada sama järku identiteedimaatriksiks.

Tegelikult saab ainult elementaarseid reateisendusi kasutades taandada iga maatriksi A lihtsustatud kujule \Lambda (joonis 1.5) (vt teoreem 1.1). Kuna maatriks A on mitteainsuses (\det(A)\ne0), on selle veerud lineaarselt sõltumatud. See tähendab, et maatriksi \Lambda veerud on samuti lineaarselt sõltumatud (Teoreemi 3.4 järeldus 2). Seetõttu langeb mitteainsuse maatriksi A lihtsustatud vorm \Lambda kokku selle kõige lihtsama vormiga (joonis 1.6) ja on identsusmaatriks \Lambda=E (vt teoreemi 3.3 järeldus 3). Seega, teisendades ainult mitteainsuse maatriksi ridu, saab selle taandada identiteedimaatriksiks. Sarnane arutlus kehtib ka mitteainsuse maatriksi veergude elementaarteisenduste puhul.

Korrutise aste ja maatriksite summa

Teoreem 3.5 (maatriksite korrutise järgu kohta). Maatriksite korrutise järjekord ei ületa tegurite astet:

\operaatorinimi(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operaatorinimi(rg)A,\operaatorinimi(rg)B\).

Tõepoolest, olgu maatriksite A ja B suurused m\ korda p ja p\ korda n . Määrame maatriksile A maatriksi C=AB\koolon\,(A\keskmine C). Muidugi seda \operaatorinimi(rg)C\leqslant\operaatorinimi(rg)(A\mid C), kuna C on osa maatriksist (A\mid C) (vt märkuste 3.2 lõige 5). Pange tähele, et iga veerg C_j on maatriksi korrutamisoperatsiooni kohaselt veergude lineaarne kombinatsioon A_1,A_2,\ldots,A_p maatriksid A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Sellise veeru saab maatriksist (A\mid C) kustutada ilma selle järku muutmata (Teoreemi 3.3 järeldus 1). Kriipsutades maha kõik maatriksi C veerud, saame: \operaatorinimi(rg)(A\mid C)=\operaatorinimi(rg)A. Siit, \operaatorinimi(rg)C\leqslant\operaatorinimi(rg)(A\mid C)=\operaatorinimi(rg)A. Samamoodi saame tõestada, et tingimus on samaaegselt täidetud \operaatorinimi(rg)C\leqslant\operaatorinimi(rg)B, ja teha järeldus teoreemi kehtivuse kohta.

Tagajärg. Kui A on siis mitteainsuse ruutmaatriks \operaatorinimi(rg)(AB)= \operaatorinimi(rg)B Ja \operaatorinimi(rg)(CA)=\operaatorinimi(rg)C, st. maatriksi aste ei muutu, kui seda korrutada vasakult või paremalt mitteainsuse ruutmaatriksiga.

Lause 3.6 maatriksite summade astme kohta. Maatriksite summa aste ei ületa terminite ridade summat:

\operaatorinimi(rg)(A+B)\leqslant \operaatorinimi(rg)A+\operaatorinimi(rg)B.

Tõepoolest, loome maatriksi (A+B\keskel A\keskel B). Pange tähele, et maatriksi A+B iga veerg on maatriksite A ja B veergude lineaarne kombinatsioon. Sellepärast \operaatorinimi(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operaatorinimi(rg)(A\mid B). Arvestades, et lineaarselt sõltumatute veergude arv maatriksis (A\mid B) ei ületa \operaatorinimi(rg)A+\operaatorinimi(rg)B, a \operaatorinimi(rg)(A+B)\leqslant \operaatorinimi(rg)(A+B\mid A\mid B)(vt punkt 5 märkustes 3.2), saame tõestatava ebavõrdsuse.

Olgu antud mõni maatriks:

.

Valime selles maatriksis suvalised stringid ja suvalised veerud
. Siis determinant järjekord, mis koosneb maatriksielementidest
, mis asub valitud ridade ja veergude ristumiskohas, nimetatakse alaealiseks järjekorra maatriks
.

Definitsioon 1.13. Maatriksi auaste
on selle maatriksi nullist erineva minoori suurim järjekord.

Maatriksi auastme arvutamiseks tuleks arvesse võtta kõiki selle madalaimat järku alaealisi ja kui vähemalt üks neist erineb nullist, siis alustada kõrgeima järgu alaealiste arvestamist. Sellist lähenemist maatriksi auastme määramisel nimetatakse piirdemeetodiks (või alaealiste piiritlemise meetodiks).

Probleem 1.4. Määrake maatriksi auaste alaealiste ääristamise meetodil
.

.

Kaaluge näiteks esimest järku ääristamist,
. Seejärel kaalume teist järku ääristamist.

Näiteks,
.

Lõpuks analüüsime kolmandat järku piirdeid.

.

Seega kõrgeim järjekord minoorne nullist erinev on 2, seega
.

Ülesande 1.4 lahendamisel võite märgata, et mitmed teist järku piirnevad alaealised on nullist erinevad. Sellega seoses kehtib järgmine kontseptsioon.

Definitsioon 1.14. Maatriksi põhimoll on mis tahes nullist erinev moll, mille järjestus on võrdne maatriksi auastmega.

Teoreem 1.2.(Alus-moll teoreem). Alusread (baasveerud) on lineaarselt sõltumatud.

Pange tähele, et maatriksi read (veerud) on lineaarselt sõltuvad siis ja ainult siis, kui vähemalt ühte neist saab esitada teiste lineaarse kombinatsioonina.

Teoreem 1.3. Lineaarselt sõltumatute maatriksi ridade arv on võrdne lineaarselt sõltumatute maatriksi veergude arvuga ja võrdub maatriksi auastmega.

Teoreem 1.4.(Vajalik ja piisav tingimus, et determinant oleks võrdne nulliga). Selleks, et määraja - järjekorras oli võrdne nulliga, on vajalik ja piisav, et selle read (veerud) oleksid lineaarselt sõltuvad.

Maatriksi auastme arvutamine selle definitsiooni alusel on liiga tülikas. See muutub eriti oluliseks kõrge järgu maatriksite puhul. Sellega seoses arvutatakse praktikas maatriksi auaste teoreemide 10.2–10.4 rakendamise, samuti maatriksi ekvivalentsuse ja elementaarteisenduste mõistete kasutamise põhjal.

Definitsioon 1.15. Kaks maatriksit
Ja nimetatakse samaväärseteks, kui nende auastmed on võrdsed, s.t.
.

Kui maatriksid
Ja on samaväärsed, siis pange tähele
 .

Teoreem 1.5. Maatriksi auaste elementaarteisenduste tõttu ei muutu.

Nimetame elementaarmaatriksteisendusi
ükskõik milline järgmised sammud maatriksi kohal:

Ridade asendamine veergudega ja veergude asendamine vastavate ridadega;

Maatriksiridade ümberkorraldamine;

Joone, mille elemendid on kõik nullid, maha kriipsutamine;

stringi korrutamine nullist erineva arvuga;

Lisades ühe rea elementidele teise rea vastavad elemendid korrutatuna sama arvuga
.

Teoreemi 1.5 järeldus. Kui maatriks
saadud maatriksist kasutades lõplikku arvu elementaarteisendusi, siis maatriksit
Ja on samaväärsed.

Maatriksi järgu arvutamisel tuleks see taandada trapetsikujuliseks, kasutades lõplikku arvu elementaarteisendusi.

Definitsioon 1.16. Trapetsikujuliseks nimetame maatriksesituse vormi, kui kõrgeima järgu nullist ääristavas minooris kaovad kõik diagonaalsetest allpool olevad elemendid. Näiteks:

.

Siin
, maatrikselemendid
nulli minna. Siis on sellise maatriksi esitusvorm trapetsikujuline.

Reeglina taandatakse maatriksid Gaussi algoritmi abil trapetsikujuliseks. Gaussi algoritmi idee seisneb selles, et maatriksi esimese rea elementide korrutamisel vastavate teguritega saavutatakse see, et kõik esimese veeru elemendid asuvad elemendi all.
, muutuks nulliks. Seejärel korrutades teise veeru elemendid vastavate teguritega, tagame, et kõik teise veeru elemendid asuvad elemendi all.
, muutuks nulliks. Seejärel jätkake samal viisil.

Probleem 1.5. Määrake maatriksi aste, taandades selle trapetsikujuliseks.

.

Gaussi algoritmi kasutamise hõlbustamiseks võite vahetada esimest ja kolmandat rida.








.

On ilmne, et siin
. Kuid tulemuse elegantsema vormi viimiseks võite jätkata veergude ümberkujundamist.










.

Arvu r nimetatakse maatriksi A auastmeks, kui:
1) maatriksis A on nullist erinev r-järgu moll;
2) kõik järgu (r+1) ja kõrgemad alaealised, kui need on olemas, on võrdsed nulliga.
Vastasel juhul on maatriksi auaste kõrgeim kõrvalaste peale nulli.
Nimetused: rangA, r A või r.
Definitsioonist järeldub, et r on positiivne täisarv. Nullmaatriksi puhul loetakse auaste nulliks.

Teenuse eesmärk. Interneti-kalkulaator on loodud leidmiseks maatriksi auaste. Sel juhul salvestatakse lahendus Wordi ja Exceli vormingus. vaata lahenduse näidet.

Juhised. Valige maatriksi mõõde ja klõpsake nuppu Edasi.

Definitsioon . Olgu antud maatriks auastmega r. Maatriksi iga, mis erineb nullist ja mille järjekord on r, minoorset väärtust nimetatakse põhiliseks ning selle komponentide ridu ja veerge nimetatakse põhiridadeks ja -veerudeks.
Selle definitsiooni kohaselt võib maatriksil A olla mitu põhimolli.

Identiteetmaatriksi E auaste on n (ridade arv).

Näide 1. Arvestades kaks maatriksit, ja nende alaealised , . Millist neist võib pidada põhiliseks?
Lahendus. Minor M 1 =0, seega ei saa see olla ühegi maatriksi aluseks. Minor M 2 =-9≠0 ja selle järjekord on 2, mis tähendab, et seda võib võtta kui alusmaatriksid A või/ja B, kui nende auaste on 2. Kuna detB=0 (kahe proportsionaalse veeruga determinandina), siis maatriksi B alusmolliks võib võtta rangB=2 ja M 2. Maatriksi A auaste on 3, kuna detA=-27≠ 0 ja seetõttu peab selle maatriksi põhimoll järjekord olema võrdne 3-ga, see tähendab, et M 2 ei ole maatriksi A aluseks. Pange tähele, et maatriksil A on üks põhimoll, mis on võrdne maatriksi A determinandiga.

Teoreem (aluse molli kohta). Maatriksi mis tahes rida (veerg) on ​​selle põhiridade (veergude) lineaarne kombinatsioon.
Järeldused teoreemist.

1. Iga (r+1) veeru (rea) maatriks auastmega r on lineaarselt sõltuv.
2. Kui maatriksi auaste vähem numbrit selle read (veerud), siis selle read (veerud) on lineaarselt sõltuvad. Kui rangA võrdub selle ridade (veerude) arvuga, siis on read (veerud) lineaarselt sõltumatud.
3. Maatriksi A determinant on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui selle read (veerud) on lineaarselt sõltuvad.
4. Kui lisate maatriksi reale (veerule) veel ühe rea (veeru), mis on korrutatud mis tahes arvuga peale nulli, siis maatriksi järjestus ei muutu.
5. Kui kriipsutada maatriksis maha rida (veerg), mis on teiste ridade (veergude) lineaarne kombinatsioon, siis maatriksi järjestus ei muutu.
6. Maatriksi järjestus on võrdne selle lineaarselt sõltumatute ridade (veergude) maksimaalse arvuga.
7. Lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalne arv on sama kui lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalne arv.

Näide 2. Leidke maatriksi auaste .
Lahendus. Maatriksi järgu definitsiooni alusel otsime kõrgeima järgu molli, mis erineb nullist. Esmalt teisendame maatriksi lihtsamaks vormiks. Selleks korrutage maatriksi esimene rida (-2) ja lisage see teisele, seejärel korrutage see (-1) ja lisage see kolmandale.

Maatriksi järjestus on oluline numbriline tunnus. Kõige tüüpilisem probleem, mis nõuab maatriksi auastme leidmist, on lineaarse süsteemi ühilduvuse kontrollimine. algebralised võrrandid. Selles artiklis anname maatriksi astme mõiste ja kaalume selle leidmise meetodeid. Materjali paremaks mõistmiseks analüüsime üksikasjalikult mitme näite lahendusi.

Leheküljel navigeerimine.

Maatriksi järgu määramine ja vajalikud lisamõisted.

Enne maatriksi auastme määratluse väljaütlemist peaksite hästi mõistma alaealise mõistet ja maatriksi alaealiste leidmine eeldab determinandi arvutamise oskust. Seega soovitame vajadusel meelde tuletada artikli teooriat, maatriksi determinandi leidmise meetodeid ja determinandi omadusi.

Võtame maatriksi A järjestusega . Olgu k mingi naturaalarv, mis ei ületa väikseimat arvudest m ja n, see tähendab, .

Definitsioon.

Väike k-s tellimus maatriks A on järjestuse ruutmaatriksi determinant, mis koosneb maatriksi A elementidest, mis paiknevad eelnevalt valitud k reas ja k veerus ning maatriksi A elementide paigutus säilib.

Ehk kui maatriksist A kustutame (p–k) rida ja (n–k) veerud ning ülejäänud elementidest loome maatriksi, säilitades maatriksi A elementide paigutuse, siis determinant saadud maatriks on maatriksi A järgu k minor.

Vaatame näite abil maatriks-molli definitsiooni.

Mõelge maatriksile .

Paneme kirja selle maatriksi mitu esimest järku molli. Näiteks kui valime maatriksi A kolmanda rea ​​ja teise veeru, vastab meie valik esimest järku minoorile . Teisisõnu, selle minoori saamiseks kriipsutasime maatriksist A maha esimese ja teise rea, samuti esimese, kolmanda ja neljanda veeru ning moodustasime ülejäänud elemendist determinandi. Kui valime maatriksi A esimese rea ja kolmanda veeru, saame minoori .

Illustreerime käsitletavate esimese järgu alaealiste saamise protseduuri
Ja .

Seega on maatriksi esimest järku minoorsed maatriksielemendid ise.

Näitame mitut teist järku alaealist. Valige kaks rida ja kaks veergu. Näiteks võtke esimene ja teine ​​rida ning kolmas ja neljas veerg. Selle valikuga on meil teist järku moll . Selle molli saab koostada ka maatriksist A kolmanda rea, esimese ja teise veeru kustutamisega.

Teine maatriksi A teist järku moll on .

Illustreerime nende teist järku alaealiste ehitust
Ja .

Samamoodi võib leida maatriksi A kolmandat järku minoori. Kuna maatriksis A on ainult kolm rida, valime need kõik. Kui valime nendest ridadest kolm esimest veergu, saame kolmandat järku minoorse

Selle saab konstrueerida ka maatriksi A viimase veeru maha kriipsutades.

Teine kolmanda järgu alaealine on

saadakse maatriksi A kolmanda veeru kustutamisel.

Siin on pilt, mis näitab nende kolmanda järgu alaealiste ehitamist
Ja .

Antud maatriksi A jaoks pole kolmandikust kõrgemat järku minoorseid, kuna .

Mitu k-ndat järgu alaealist on järgu maatriksis A?

K järku alaealiste arvu saab arvutada kui , kus Ja - kombinatsioonide arv vastavalt p-st k-ni ja n-st k-ni.

Kuidas saame maatriksi A kõik järgu p minorid konstrueerida n võrra?

Vajame palju maatriksirea numbreid ja palju veerunumbreid. Kirjutame kõik üles p-elementide kombinatsioonid k-ga(need vastavad maatriksi A valitud ridadele järgu k molli koostamisel). Igale reanumbrite kombinatsioonile lisame järjestikku k veerunumbri n elemendi kombinatsioonid. Need maatriksi A ridade ja veerunumbrite kombinatsioonide komplektid aitavad koostada kõiki k järku minoorseid.

Vaatame seda näitega.

Näide.

Leia kõik maatriksi teist järku mollid.

Lahendus.

Kuna algse maatriksi järjestus on 3 korda 3, on teise järgu alaealiste kogusumma .

Kirjutame üles kõik maatriksi A 3 kuni 2 reanumbrite kombinatsioonid: 1, 2; 1, 3 ja 2, 3. Kõik 3–2 veerunumbrite kombinatsioonid on 1, 2; 1, 3 ja 2, 3.

Võtame maatriksi A esimese ja teise rea. Valides nende ridade jaoks esimese ja teise veeru, esimese ja kolmanda veeru, teise ja kolmanda veeru, saame vastavalt alaealised.

Esimese ja kolmanda rea ​​jaoks on meil sarnase veergude valikuga

Teisele ja kolmandale reale tuleb lisada esimene ja teine, esimene ja kolmas, teine ​​ja kolmas veerg:

Seega on leitud maatriksi A kõik üheksa teist järku minoori.

Nüüd saame jätkata maatriksi auastme määramist.

Definitsioon.

Maatriksi auaste on maatriksi nullist erineva minoori kõrgeim järk.

Maatriksi A astet tähistatakse kui Rank(A) . Võite leida ka tähistusi Rg(A) või Rang(A) .

Maatriksi auaste ja maatriksi minoorsete definitsioonide põhjal võime järeldada, et nullmaatriksi auaste on võrdne nulliga ja nullmaatriksi auaste ei ole väiksem kui üks.

Maatriksi auastme leidmine definitsiooni järgi.

Niisiis, esimene meetod maatriksi auastme leidmiseks on alaealiste loendamise meetod. See meetod põhineb maatriksi järjestuse määramisel.

Peame leidma järjestusmaatriksi A auaste.

Kirjeldame lühidalt algoritm selle probleemi lahendamine alaealiste loetlemisega.

Kui maatriksis on vähemalt üks element, mis erineb nullist, siis on maatriksi auaste vähemalt võrdne ühega (kuna on olemas esimest järku minor, mis ei võrdu nulliga).

Järgmisena vaatame teise järgu alaealisi. Kui kõik teist järku alaealised on võrdsed nulliga, on maatriksi auaste võrdne ühega. Kui teist järku on vähemalt üks nullist erinev moll, siis loetleme kolmanda järgu mollid ja maatriksi auaste on vähemalt võrdne kahega.

Samamoodi, kui kõik kolmanda järgu alaealised on nullid, on maatriksi auaste kaks. Kui on vähemalt üks kolmanda järgu alaealine peale nulli, siis on maatriksi auaste vähemalt kolm ja liigume edasi neljanda järgu alaealiste loendamise juurde.

Pange tähele, et maatriksi auaste ei tohi ületada väikseimat arvu p ja n.

Näide.

Leidke maatriksi auaste .

Lahendus.

Kuna maatriks on nullist erinev, ei ole selle aste väiksem kui üks.

Teise järgu alaealine erineb nullist, seetõttu on maatriksi A aste vähemalt kaks. Liigume edasi kolmanda järgu alaealiste loendamise juurde. Neid kokku asju.

Kõik kolmanda järgu alaealised on võrdsed nulliga. Seetõttu on maatriksi auaste kaks.

Vastus:

Aste(A) = 2 .

Maatriksi auastme leidmine alaealiste ääristamise meetodil.

Maatriksi järgu leidmiseks on ka teisi meetodeid, mis võimaldavad saada tulemuse väiksema arvutustööga.

Üks selline meetod on serva minoor meetod.

Tegeleme ääremolli mõiste.

Öeldakse, et maatriksi A (k+1) järgu moll M ok piirneb maatriksi A järgu k minoorse M-ga, kui minoorsele M ok-le vastav maatriks “sisaldab” mollile vastavat maatriksit. M .

Ehk siis piirnevale mollile M vastav maatriks saadakse piirdemollis M ok vastavast maatriksist, kustutades ühe rea ja ühe veeru elemendid.

Mõelge näiteks maatriksile ja võta teise järgu alaealine. Paneme kirja kõik piirnevad alaealised:

Alaealiste ääristamise meetodit põhjendab järgmine teoreem (esitame selle sõnastuse ilma tõestuseta).

Teoreem.

Kui kõik maatriksi A k-ndat järku minooriga n-ga piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, siis kõik maatriksi A järgu (k+1) mollid on võrdsed nulliga.

Seega ei ole maatriksi auastme leidmiseks vaja läbida kõiki alaealisi, mis on piisavalt piirnevad. Järkjärgu maatriksi A k-ndat järku mollidega piirnevate alaealiste arv leitakse valemiga . Pange tähele, et maatriksi A k-ndat järku minoori piirnevaid alaealisi ei ole rohkem kui maatriksi A (k + 1) järgu molli. Seetõttu on alaealiste piiritlemise meetodi kasutamine enamasti tulusam kui lihtsalt kõigi alaealiste loetlemine.

Liigume edasi maatriksi auastme leidmisele alaealiste ääristamise meetodil. Kirjeldame lühidalt algoritm seda meetodit.

Kui maatriks A on nullist erinev, siis esimest järku minoorseks võtame maatriksi A mis tahes elemendi, mis erineb nullist. Vaatame selle piirnevaid alaealisi. Kui need kõik on võrdsed nulliga, on maatriksi auaste võrdne ühega. Kui on vähemalt üks nullist erinev piirnev alaealine (selle järjekord on kaks), siis käsitleme selle piirnevaid alaealisi. Kui need kõik on nullid, siis Aste (A) = 2. Kui vähemalt üks piirnev alaealine on nullist erinev (selle järjekord on kolm), siis käsitleme selle piirnevaid alaealisi. Ja nii edasi. Selle tulemusena on Aste(A) = k, kui kõik maatriksi A (k + 1) järku piirnevad alaealised on võrdsed nulliga või Aste(A) = min(p, n), kui on olemas mitte- järgu molliga piirnev null-moll (min( p, n) – 1) .

Vaatame näite abil maatriksi auastme leidmiseks alaealiste ääristamise meetodit.

Näide.

Leidke maatriksi auaste alaealiste piiritlemise meetodil.

Lahendus.

Kuna maatriksi A element a 1 1 on nullist erinev, võtame seda esimest järku minoorsena. Alustame nullist erineva piirneva molli otsimist:

Leitakse teist järku servamoll, mis erineb nullist. Vaatame selle piirnevaid alaealisi (nende asjad):

Kõik teist järku molliga piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, seetõttu on maatriksi A aste võrdne kahega.

Vastus:

Aste(A) = 2 .

Näide.

Leidke maatriksi auaste kasutades piirnevaid alaealisi.

Lahendus.

Esimest järku nullist erineva minoorina võtame maatriksi A elemendi a 1 1 = 1. Teise järgu ümberkaudne moll ei ole võrdne nulliga. See alaealine piirneb kolmanda järgu alaealisega
. Kuna see ei ole võrdne nulliga ja selle jaoks pole ühtegi piirnevat molli, võrdub maatriksi A auaste kolmega.

Vastus:

Aste(A) = 3 .

Auastme leidmine elementaarmaatriksteisenduste abil (Gaussi meetod).

Vaatleme teist võimalust maatriksi auastme leidmiseks.

Järgmisi maatriksteisendusi nimetatakse elementaarseteks:

• maatriksi ridade (või veergude) ümberkorraldamine;
• maatriksi mis tahes rea (veeru) kõigi elementide korrutamine suvalise arvuga k, mis erineb nullist;
• rea (veeru) elementidele lisades maatriksi teise rea (veeru) vastavad elemendid, korrutatuna suvalise arvuga k.

Maatriksit B nimetatakse samaväärseks maatriksiga A, kui B saadakse A-st, kasutades lõplikku arvu elementaarteisendusi. Maatriksite samaväärsust tähistatakse sümboliga “~”, st kirjutatud A ~ B.

Maatriksi järgu leidmine elementaarmaatriksteisenduste abil põhineb väitel: kui maatriksist A saadakse maatriksist A lõpliku arvu elementaarteisenduste abil, siis Rank(A) = Aste(B) .

Selle väite kehtivus tuleneb maatriksi determinandi omadustest:

• Maatriksi ridade (või veergude) ümberkorraldamisel muudab selle determinant märki. Kui see on võrdne nulliga, siis ridade (veerude) ümberpaigutamisel jääb see võrdseks nulliga.
• Maatriksi mis tahes rea (veeru) kõigi elementide korrutamisel suvalise arvuga k, mis ei ole null, on saadud maatriksi determinant võrdne algmaatriksi determinandiga, mis on korrutatud k-ga. Kui algse maatriksi determinant on võrdne nulliga, siis pärast mis tahes rea või veeru kõigi elementide korrutamist arvuga k on saadud maatriksi determinant samuti võrdne nulliga.
• Maatriksi teatud rea (veeru) elementide liitmine maatriksi teise rea (veeru) vastavate elementide korrutatuna teatud arvuga k ei muuda selle determinanti.

Elementaarteisenduste meetodi olemus seisneb maatriksi, mille auaste peame leidma, taandamises elementaarteisenduste abil trapetsikujuliseks (konkreetsel juhul ülemiseks kolmnurkseks).

Miks seda tehakse? Seda tüüpi maatriksite järjestust on väga lihtne leida. See võrdub ridade arvuga, mis sisaldavad vähemalt ühte nullist erinevat elementi. Ja kuna maatriksi auaste elementaarsete teisenduste tegemisel ei muutu, on saadud väärtus algse maatriksi auaste.

Toome illustratsioonid maatriksitest, millest üks tuleks saada pärast teisendusi. Nende välimus sõltub maatriksi järjestusest.

Need illustratsioonid on mallid, milleks teisendame maatriksi A.

Kirjeldame meetodi algoritm.

Peame leidma nullist erineva maatriksi A järjestuse (p võib olla võrdne n-ga).

Niisiis, . Korrutame maatriksi A esimese rea kõik elemendid . Sel juhul saame samaväärse maatriksi, mis tähistab seda A (1):

Saadud maatriksi A (1) teise rea elementidele liidame esimese rea vastavad elemendid, korrutatuna . Kolmanda rea ​​elementidele liidame esimese rea vastavad elemendid, korrutatuna . Ja nii edasi kuni p-nda reani. Võtame samaväärse maatriksi, tähistame seda A (2):

Kui kõik saadud maatriksi elemendid, mis asuvad ridades teisest kuni p-ndani, on võrdsed nulliga, on selle maatriksi auaste võrdne ühega ja sellest tulenevalt on algse maatriksi aste võrdne ühele.

Kui ridades teisest kuni p-ndani on vähemalt üks nullist erinev element, jätkame teisenduste läbiviimist. Pealegi toimime täpselt samamoodi, kuid ainult joonisel märgitud maatriksi A (2) osaga.

Kui , siis korraldame maatriksi A (2) read ja (või) veerud ümber nii, et “uus” element muutub nullist erinevaks.

Definitsioon. Maatriksi auaste on maksimaalne lineaarselt sõltumatute ridade arv, mida peetakse vektoriteks.

1. teoreem maatriksi astme kohta. Maatriksi auaste nimetatakse maatriksi nullist erineva minoori maksimaalseks järjestuseks.

Alaealise mõistet käsitlesime juba determinantide tunnis ja nüüd teeme selle üldistamiseks. Võtame maatriksis teatud arvu ridu ja teatud arvu veerge ning see "kui palju" peaks olema väiksem kui maatriksi ridade ja veergude arv ning ridade ja veergude jaoks peaks see "kui palju" olema sama number. Siis kui mitu rida ja mitu veergu on ristumiskohas meie algsest maatriksist madalamat järku maatriks. Determinant on maatriks ja on k-ndat järku moll, kui mainitud "mõned" (ridade ja veergude arv) on tähistatud k-ga.

Definitsioon. Alaealine ( r+1) järjekord, mille sees asub valitud alaealine r-ndat järjekorda nimetatakse antud molli jaoks piiritlemiseks.

Kaks kõige sagedamini kasutatavat meetodit on maatriksi auastme leidmine. See alaealistega piirnemise viis Ja elementaarteisenduste meetod(Gaussi meetod).

Piirnevate alaealiste meetodi kasutamisel kasutatakse järgmist teoreemi.

2. teoreem maatriksi astme kohta. Kui molli saab koostada maatriksielementidest r järku, mis ei ole võrdne nulliga, siis on maatriksi auaste võrdne r.

Elementaarse teisendusmeetodi kasutamisel kasutatakse järgmist omadust:

Kui elementaarteisenduste abil saadakse trapetsikujuline maatriks, mis on samaväärne algse maatriksiga, siis selle maatriksi auaste on ridade arv selles, välja arvatud read, mis koosnevad täielikult nullidest.

Maatriksi auastme leidmine alaealiste ääristamise meetodil

Piirav alaealine on antud alaealisest kõrgema järgu alaealine, kui see kõrgema järgu alaealine sisaldab antud alaealist.

Näiteks maatriksit arvestades

Võtame molli

Piirnevad alaealised on:

Algoritm maatriksi järgu leidmiseks järgmiseks.

1. Leia teist järku alaealised, mis ei võrdu nulliga. Kui kõik teist järku alaealised on võrdsed nulliga, võrdub maatriksi auaste ühega ( r =1 ).

2. Kui on vähemalt üks teist järku moll, mis ei võrdu nulliga, siis moodustame kolmanda järgu piirnevad mollid. Kui kõik kolmandat järku piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, on maatriksi auaste võrdne kahega ( r =2 ).

3. Kui vähemalt üks kolmandat järku piirnevatest alaealistest ei ole võrdne nulliga, siis moodustame piirnevad alaealised. Kui kõik neljanda järgu piirnevad alaealised on võrdsed nulliga, on maatriksi auaste võrdne kolmega ( r =2 ).

4. Jätkake nii kaua, kuni maatriksi suurus seda võimaldab.

Näide 1. Leidke maatriksi auaste

.

Lahendus. Teise järgu alaealine .

Piirame sellega. Seal on neli piirnevat alaealist:

,

,

Seega on kõik kolmandat järku piirnevad alaealised võrdsed nulliga, seetõttu on selle maatriksi auaste võrdne kahega ( r =2 ).

Näide 2. Leidke maatriksi auaste

Lahendus. Selle maatriksi auaste on võrdne 1-ga, kuna kõik selle maatriksi teist järku alaealised on võrdsed nulliga (selles, nagu kahes järgmises näites piirnevate alaealiste puhul, palutakse kallitel õpilastel kontrollida, kas ise, kasutades võib-olla determinantide arvutamise reegleid), ja esimest järku alaealiste hulgas, st maatriksi elementide hulgas on nullist erinevaid ühendeid.

Näide 3. Leidke maatriksi auaste

Lahendus. Selle maatriksi teist järku minoorsed on ja kõik selle maatriksi kolmandat järku mollid on võrdsed nulliga. Seetõttu on selle maatriksi auaste kaks.

Näide 4. Leidke maatriksi auaste

Lahendus. Selle maatriksi auaste on 3, kuna selle maatriksi ainus kolmanda järgu moll on 3.

Maatriksi järgu leidmine elementaarteisenduste meetodil (Gaussi meetod)

Juba näites 1 on selge, et alaealiste piiritlemise meetodil maatriksi auastme määramise ülesanne nõuab suure hulga determinantide arvutamist. Siiski on võimalus arvutusmahtu miinimumini vähendada. See meetod põhineb elementaarmaatriksteisenduste kasutamisel ja seda nimetatakse ka Gaussi meetodiks.

Järgmisi tehteid mõistetakse elementaarmaatriksteisendustena:

1) maatriksi mis tahes rea või veeru korrutamine nullist erineva arvuga;

2) maatriksi mis tahes rea või veeru elementidele teise rea või veeru vastavate elementide lisamine sama arvuga korrutatuna;

3) maatriksi kahe rea või veeru vahetamine;

4) "null" ridade eemaldamine, st need, mille elemendid on kõik nulliga võrdsed;

5) kustutada kõik proportsionaalsed read peale ühe.

Teoreem. Elementaarse teisenduse käigus maatriksi auaste ei muutu. Teisisõnu, kui kasutame maatriksist pärit elementaarteisendusi A läks maatriksisse B, See.